中学数学解题教学

中学数学解题教学（精选12篇）

中学数学解题教学 篇1

有些题目, 不少学生平时会做, 但在考试中常会出现“会而不对, 对而不全, 全而不完美”的遗憾现象.如何让学生把会做的题目都做对?关键是落实.学生成绩的提高主要不是靠教师讲出来的, 而是靠学生做出来且在做中悟出来的.因此要抓教师与学生双方的落实.

一、精选例题习题, 教学生学会审题

例题习题的选择要有针对性、典型性、综合性、灵活性, 要注重基础和重点, 注意梯度, 由易到难, 容量恰当, 要求适度, 能起到触类旁通、举一反三的作用.

有些题目不难, 但由于审题的原因会出现漏解或误解的情况.

例1若方程表示双曲线, 则m的取值范围是.

不少学生只考虑到而忽视从而漏掉了焦点在y轴上的情况.

例2已知求sin ycos2x的最大值.

解答本题常有如下的错解:由造成错解的原因是没有挖掘题中的隐含条件, 其实sin y的取值限制了sin x的取值, 由

所以当时, sin y-cos2 x取得最大值.

像这样出现错解或漏解问题很多, 因为题目不难, 并非不会做, 犯的错误实际上可以避免.造成错解或漏解的原因很明显, 是审题环节上出现了问题.为避免这样的错解或漏解, 要教会学生审题即正确理解题目的意思.教会学生正确地理解题目中有关名词、数学符号、图形、术语及有关语句的含义, 弄清楚哪些是已知条件, 哪些是未知条件.在教学过程指导学生审题要规范, 读题要细心、耐心, 把认真审题形成自觉的习惯, 通过认真审题挖掘隐含条件, 寻找解题突破口, 从而制定解题方案策略, 对于关键步骤、易出错的步骤, 要边做边检查, 做到一次成功.

二、注重针对性训练

通过针对性的训练, 不但能使学生获得成功学习的体验, 还能强化学生的基础知识、基本技能、基本方法.例如, 设计等差数列课内训练题.

例3等差数列{an}中, 已知a10=100, a100=10, 求a110.

针对性训练:等差数列{an}中, 已知ap=q, aq=p (p≠q, p, q∈N+) , 求ap+q.

例4等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知S10=100, S100=10, 求S110.

针对性训练:等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知Sp=q, Sq=p (p≠q, p, q∈N+) , 求Sp+q.

例5若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn, Tn, 已知的值.

针对性训练:若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn, Tn, 已知

通过这样有针对性的训练, 能及时帮助学生巩固等差数列的基础知识, 能逐步提高学生解决等差数列问题的能力;通过这样有针对性的训练, 让学生尝试错误、暴露错误, 使学生学会数学思维, 提高数学修养.通过剖析错误, 让学生加深对数学概念、定理、公式的理解, 树立学好数学的信心;通过这样有针对性的训练, 让学生积极地面对错误, 不回避错误, 使错误成为一种自我教育的资源.

三、强化规范性训练

解题不规范就可能出现“会而不对, 对而不全, 全而不完美”的遗憾现象, 因此教学过程中要对学生进行解题规范性训练.

1. 规范语言转换

数学命题是由特定的数学语言 (文字、符号、图形) 组成, 解题活动就是数学语言的转换过程.通过语言转换, 理解题意即审题, 由此确定解题方案.

2. 规范解题依据

数学解题的依据应是教材中定义、定理、公式及其数学概念.特别要掌握每个定义、定理、公式具备的条件, 否则将出现错误的结果.

例如, 平面内到点A (3, 6) 的距离与到直线l:2x-3y+12=0的距离相等的点的轨迹是_______.如果忽视抛物线定义中“定点F不在定直线l上”这一隐含条件, 就会填上轨迹是“抛物线”, 实际上本例中点在直线上, 故动点的轨迹是过点且垂直于直线的直线.

3. 规范解题模式、答题格式

数学应用题要按设、列、算、答四个程序进行, 立体几何对作、证、算三个环节要处理妥当.

例6在四面体V-ABC中, AB=BC=2a, ∠ABC=120°, VA⊥平面ABC.

(1) 求二面角V-BC-A的大小;

(2) 求异面直线AC与VB所成角的余弦值;

(3) 求点A到平面VBC的距离.

分析:空间角的大小都是通过平面图形来度量的, 因此正确地作出表示空间角的平面角是关键.通常根据有关角的定义, 利用相关的定理作出平面角, 并将它置于某个三角形内, 而后通过解三角形来解决问题.即由作角、找含角的三角形、解三角形三步完成.

(1) 因为VA⊥平面ABC, 所以可用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角.过A作AD⊥CB交其延长线于点D, 连VD, 则VD⊥BC, 故∠VDA就是二面角V-BC-A的平面角, 可在Rt△VDA中求其大小.

(2) 过B作BE∥AC交AD于E, 则∠VBE或其补角为异面直线AC与VB所成角, 可在△VBE中通过求∠VBE的余弦值得到所求.

(3) 求距离应是先作出表示距离的线段, 然后运用相关公式, 依题设条件进行计算.由 (1) 知, CD⊥VD, CD⊥AD, 可得CD⊥平面VAD, 从而平面VAD⊥平面VDC.在平面VAD内过A作AH⊥VD于H, 则AH⊥平面VDC, 即AH⊥平面VBC, 故AH为点A到平面VBC的距离, 在Rt△VAD中可求得AH的长.

除注意解题模式还应规范答题模式.教材中典型例题及每年高考试题的参考答案与评分标准都给出了解答题答题的基本格式, 这些都可以作为平时学习与训练的样本、模式.答案要做到准确、简洁、全面, 既注意结果的验证与取舍, 又要注意答案的完整.同时还要规范书面表达形式.规范的书面表达不但要做到字迹工整, 还要语言叙述规范.规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整, 详略得当、言必有据.要避免随意性, 切不可杜撰数学符号和数学术语.此时, 还应加强限时训练.通过限时训练提高练习的效率, 做到练习考试化, 使学生在考试的环境中紧张有效的学习.

四、及时反馈, 归纳总结

学生的作业、做完的试题要及时批阅, 在批阅过程中把学生出现的问题进行归纳统计, 找出解题的误区或知识上存在的欠缺, 有针对性地指导学生弥补不足, 搞好复习, 提高学习效率.同时, 还要及时归纳总结, 对解题中涉及到的基础知识、解题方法、数学方法、数学思想、暴露出的问题、易错点进行归纳总结;对于那些“会而没有做对”的题目要重点分析、反思、总结、统计;对于错题要分析、反思出错的原因、症结, 并进行针对性的纠错训练.

中学数学解题教学 篇2

一、问题的提出

1.学生解题过程中普遍存在的问题

著名的数学教育家波利亚说过：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”但目前学生在解题过程中还存在一些问题：

基本概念理解不深刻，基本运算易失分。

审题阅读有待加强，对应用题、文字量大的试题有恐惧心理。

书写格式不规范，数学语言表达不严密。

对陌生题束手无策，尽管有些学生做题不少，一旦碰到没做过的，失误较多，甚至有些题找不到解题思路。

2.当前解题教学设计存在的误区

对于学生解题中存在的问题，我们要反思自己的解题教学设计.在数学解题教学设计中，常见的形式是“例题讲解、学生模仿、变式训练”.即教师通过思考，发现了解决问题的逻辑思路，将这种逻辑思路传递给学生，然后由学生进行模仿训练和变式训练.这种一招一式的归类，缺少观点上的提高或实质性的突破，对问题的“提出“和“应用”研究不足。

现代意义上的“解题教学设计”注重的是解决问题的过程、策略以及思维方法，更注重解决问题过程中情感、态度和价值观的培养。

基于此，本文旨在以新的视角重新审视解题教学设计，想方设法将这种逻辑环节转化为学生发现问题思路的心理环节。

二、基于心理取向的解题教学设计

基于心理取向的教学设计，重在对学生探究发生问题思路的认知结构分析，针对学生思维活动的序列展开，适应学生的心理需求，通过不断地提出问题，研究问题，在此过程中，针对具体问题的特征，萌生具体的数学观念，并检验这些观念正确与否，从而决定再生观念等的多伦循环过程。

那么如何实现解题教学设计的心理取向呢？我们看一个具体解题教学的例子。

例1如图，已知抛物线y= x2+bx+c（b，c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（-1，0）。

（1）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y= x2+bx+c交于点E.点D是x轴上一点，其坐标为（2，0），当C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S。

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有 个。

（1）（2）学生很容易解答出来，结论为（1）+c，?2c；（2）y= x2? x?2.关于（3）的思路：①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当?1

教师设计这道解教学的思路可以划分为以下几个环节：（1）从教师自己获得的解题思路中定位关键环节；（2）追踪获得解题思路时处理关键环节的数学观念的源头；（3）揣摩并模拟学生萌生处理关键环节的数学观念指令的心理活动过程。

针对例1的思路，教师需要确定教学设计的关键环节在于两个“数学观念”的形成：

（1）①中面积的求法由于点P位置的变化需要进行分类讨论；

（2）由①中求得的S的范围为基础，获得△PBC的个数，不妨称为“枚举”的数学观念。

师：要求△PBC的面积取值范围，大家有什么想法？

生1：如果能够获得面积S的一个表达式，就能求出范围，可是，我不知道如何获得这个表达式.我尝试过割和补的方法，都不行。

生2：我在尝试求面积时发现如果点P在抛物线AC段运动时，面积S

即0

生3：如果能找到△PBC这个三角形的底和高就好办了？

师：如果我们单纯地以PC、PB、CB为底，好像没法找到相应的高，怎么处理呢？

生4：既然以以PC、PB、CB为底，没法找到相应的高，那么我想能不能过点P作 轴交 于，把它分成三角形 和三角形。

师：真是好想法！大家试探生4同学的这种想法能否实现。

生5：我发现了。

当0

生6：我得到了，当?1

师：很好！生4的创造性观念的贡献已经由生5和生6解决.那么当 为整数时，这样的三角形有几个呢？

生7：由0

生8：当0

数学解题思路表达的逻辑过程要求简练合理，数学解题思路发生的心理过程要求自然流畅，这两者的合理整合是教学设计的理想状态.在我们的教学设计中，力求达到两者的平衡，将知识产生的逻辑过程利用学生已掌握的数学观念进行心理解释.如果教师在解题教学设计时如果能创造性地提出环环相扣又不道明的提示语，让学生养成这样的习惯，掌握这样的方法，形成这样的意识，那么学生的心灵就能从眼睛的专制中解放出来.于是这种依据数学知识发生的逻辑线索，偏向于学生数学知识生成的心理过程，整合这两者的优势，促进数学教学的高层次目标的实现的基本保证.参考文献：

中学数学解题教学指导浅析 篇3

关键词：中学数学；解题教学指导

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2015）22-080-01

在数学教学过程中，解题是重要的内容，并且具有至关重要的作用。学生通过解题可以学会数学思维，掌握数学知识、概念、技能，并且可以对数学定理进行正确和深度理解。教师在日常教学过程中，通过解题教师，可以对学生解题能力进行培养，进而提升学生的数学素养。在数学教师开展解题教学的过程中，切忌在表面停留，不能仅实施一般实践，必须要坚持从学生角度出发，切实将学生作为教学活动的根本。本文便探讨中学数学解题教学指导。

一、指导审题养成学生思考习惯

在中学数学解题教学中，审题是发现解题思路，掌握解题方法的前提和基础，在日常教学中，很多学生看到数学题以后，立刻拿起笔解题，而后又发现自己思路存在错误和漏洞。这样不审题便进入解题环节是错误的，通过审题，学生可以将数学问题看的透彻，想的全面，高质量的审题能够使解题具有事倍功半的效果。因此，教师必须要注重指导学生养成审题的习惯，审题的过程便是思考的过程。正确的审题方式如下所示：首先，学生的思维应不被局限于一个问题中，应该全面了解数学题里所要表现的意义和所要考核的知识。其次，学生要将相关示意图和图形规范画出。而后学生要将学会转换题目，将看似很难的数学题目，转换成为通俗易懂的语言，并且对题目进行解剖，将其分成几个重要的部分。最后，慎重思考解题应包括几个步骤，需要使用哪些方式方法等。

例如，在教授图形的平移相关知识的时候，教师为学生展示如上图所示的数学题。教师要引导学生，在看到这道数学的时候，不要盲目计算和选择答案，应明确该题目的考点，考题考核内容为平移的性质，考题为一道几何图形问题，通过运用几何图形来考核学生平移性质相关知识。而后，教师引导学生分析数学题，在解答该题目的过程中，要结合平移基本性质来确定四边形ABFD周长，C四边形ABFD=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC，这样便可以得出答案。这个时候，同学们争先恐后举手解答该题目。同学认为：结合题意，把周长是16cm的△ABC，沿着BC方向向右平移2cm，而后得到△DEF。所以，AD=CF=2cm，而BF=BC+CF=BC+2cm，而DF=AC。又因为AB+BC+AC=16cm。所以，C四边形ABFD= AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=20cm。因此，答案为C。

二、指导学生获得解题思路

数学解题教学不仅是一门科学，还是一门重要的艺术。解题能够有效促进学生发展自身思维，培养学生多方面能力。在数学解题教学过程中，教师要指导学生通过正确的路径来获得解题的思路。通常情况下，获得解题思路必须要经历三个主要的步骤。首先，要对题意进行理解，并且从题意中提取自己需要和对自己有用的知识，比如图形结构特征以及数式特点等。其次，从自身记忆存储中将相关信息提取出来，比如基本模式、定理、公式等。最后，有效组合上述两组信息，使其可以组合成为与逻辑相符的和谐结构。比如，题目如图所示：该题目的考点包括垂线、邻补角和对顶角。教师要引导学生获得解题思路，理解该题目考核的内容为对顶角、垂线以及邻补角，题目中的每一句话都是对自己有用的信息，而后提取自己头脑中的相关知识，而后使二者有机结合起来。题目中OM是一条射线，OM对∠AOC进行评分，而∠AOM为35°，进而得出∠MOC为35°，再看题目中的条件可知，ON⊥OM，进而得出∠CON=∠MON-∠MOC，得出答案。解答详细步骤为：因为射线OM平分∠AOC，又因为∠AOM为35°，所以，∠MOC为35°，又因为ON⊥OM，所以，∠MON为90°，所以，∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°。所以，答案为C。

三、注重培养学生反思意识

反思意识是指从多角度和多层次来解决问题，进而对问题进行全面、全方位的思考、考察以及分析，对问题理解进行深化，对思维过程进行优化，对思维本质进行揭示，对一般规律进行探索，对知识之间相互联系进行沟通，进而促进知识迁移和同化，并且产生新的理解和发现。所以，在解题的时候，教师必须要引导学生认知自己的解题活动，具有计划和有目的地进行发展，进而培养反思意识。此外，在解题以后，教师还要引导学生开展反思活动，明确所用的解题方法是否是最优方法。从本质上提升学生的思维品质，完善学生的认知结构，使学生养成坚强意志。

四、结语

中学数学解题步骤教学方法的应用 篇4

关键词：中学数学,解题,教学方法

由于受到高中学生的年龄特点以及长时间受中小学教学方式的影响, 学生或多或少养成了对教师的过分依赖、学习缺乏独立思考、满足于感性认识或操之过急、急于求成等不良习惯.这些不良习惯如不及时纠正, 将会严重影响学生今后的学习.所以, 在中学数学教学的阶段, 注意学生优良学习习惯的养成显得十分重要.本文结合自己的教学实践, 谈谈培养学生良好数学学习习惯的一些做法.

一、规范解题步骤训练, 使学生养成良好的数学解题习惯

我们在教学中, 经常发现许多已经升入高中的学生, 在练习数学解题时常常出现证题逻辑顺序颠倒、因果关系出现错位、证题条件不够充分等毛病, 还会看到一部分学生在做较复杂的计算题时, 准确性很差, 屡次出现不应该出现的错误, 影响了数学的学习.究其原因, 我们认为除了基础知识掌握和运用不够准确之外, 另一个原因是在中学数学教学的起始阶段, 没有养成良好的思维及学习习惯.为了解决这些毛病, 在中学数学教学中, 要从以下两方面抓起:

首先, 要狠抓解题步骤的规范化训练.我们知道只有从解题步骤、格式的规范化入手, 进行严格要求、反复训练, 才能克服学生学习敷衍了事、马马虎虎、不负责任的毛病.长时间的坚持训练及严格要求, 必然会使学生养成优良的学习习惯, 增强思维能力.

其次, 要狠抓计算能力的训练, 强化认真习惯的培养.学生计算准确性差的问题, 不仅是由于在知识的掌握和运用上存在问题, 而且也是由一些不良习惯所造成的.为防止上述现象的发生, 应该首先从态度抓起, 使学生养成良好的学习习惯.我在高中数学教学中, 利用有理数的混合运算, 进行学习习惯的强化训练, 收到较好的效果.另外要强化检查.学生做题快不快、准不准确, 要靠强化检查和评比这个手段来实现.还要鼓励学生, 寻找出现错误的原因.学生计算出现的错误是基础知识掌握不准的原因, 还是不良习惯促成的原因, 教师要帮助学生认真查找, 进行分类, 及时纠正, 也可以让学生自我总结.长此以往, 对学生学习认真习惯的养成, 培养严谨治学的态度是大有裨益的.

二、“课堂展示”的训练, 培养学生探索问题的思维和数学语言表达的能力

高中阶段学生具有好胜、表现欲强的特点.所以, 高中学生回答问题时的热情很高, 显得课堂气氛格外热烈.这是一件好事, 但这并不是说, 谁回答问题快、敢于发问, 就一定能学好数学.我们发现, 高中学生往往习惯于较简单、直观问题的思考, 学生的思考缺乏深层次的思维.在教学中, “课堂展示”是培养学生探索问题思维习惯的有效途径.在教学中教师要依据学导案尽量给予学生课堂展示的机会和时间.学生能分析的教师决不分析, 学生能解释的教师决不解释, 充分相信学生解决问题的能力.

三、培养学生的自学能力, 使学生养成独立思考的习惯

部分高中学生对教师仍有强烈的依赖感, 他们习惯于将自己的思维机械地服从于教师的指挥, 学习缺乏主动性和自我思考意识, 一旦离开了教师就不会学习了.所以在高中阶段, 应尽快实现“扶着学生走———领着学生走———放手让学生自己走”的目的.为此, 在教学中应做到“导———帮———放”三大步骤.导:即教师引导学生会阅读数学教材.教师通过学导案, 和学生一起分析每章节教学目标, 每个问题包含了几层意思, 层次之间的知识结构是什么等等.使学生能够根据老师的讲解初步掌握阅读数学教材的要领.帮:即教师引导学生自己阅读教材的实践过程.学生根据教师的示范, 已掌握了某些要领, 再结合教师的引导, 学生尝试着去分析、去探索, 从而得出结论.因此, 教师要首先根据教材的知识结构, 事先编好阅读提纲, 使学生边看书边寻找这些问题的答案, 从而掌握和理解教材.放:即通过以上两步的训练之后, 学生的自学能力就会逐步提高, 为正确解题奠定了基础, 初步具备了独立学习的条件.此时教师可以不搞过多的限制、过细的辅导, 尽量让学生独立地思考.这里所谓的“放”绝不是放手不管, 而是有条件、有目的的放, 是让学生自己放开思路, 大胆实践, 是针对那些有自学能力的学生而言的, 是对自学能力的更高要求.在此基础上教师应加强检查, 及时解决学生在学习过程中遇到的疑难问题.这样, 经过反复的长时间的训练, 学生独立思考的习惯就会养成, 从而摆脱学习上依赖教师这个“拐棍”, 学会自己走路, 真正成为学习的主人.

培养学生认真的学习态度、独立思考能力和不断探索问题的精神是提高学生素质的重要条件, 尤其在大力实施素质教育的今天, 更值得我们不断去探讨、尝试和追求.

参考文献

[1]李德堂.新课标下中学数学教学的策略研究[J].新课程:教研, 2010, 2 (11) :155-157.

[2]仲秀英.促进学生积累数学活动经验的教学策略[J].数学教育学报, 2010, 19 (5) :35-36.

中学数学解题教学 篇5

前 言

中学数学教学的目的,归根结底在于培养学生的解题能力,提高数学解题能力是数学教学中一项十分重要的任务。提高学生解题能力始终贯穿于教学始终,我们必须把它放在十分重要的位置。那么,如何才能提高学生的解题能力,具体方法上讲主要可以从以下几方面入手:

一、培养“数形”结合的能力

“数”与“形”无处不在。任何事物,剥去它的质的方面,只剩下形状和大小两个属性,就交给了教学去研究了。初中数学两个分支——代数和几何,代数是研究“数”的,几何是研究“形”的。但是研究代数要借助“形”,研究几何要借助“数”,“数形整合”是一种趋势,越学下去,“数”与“形”越密不可分。到了高中就出现了专门用代数方法研究几何问题的一门课,叫做“解析几何”。在初二建立平面直角坐标系后,研究函数的问题就离不开图像了。往往借助图像能使问题明朗化,比较容易找到问题的关键所在,从而解决问题。在今后的数学学习中,要重视“数形结合”的思维训练,任何一道题,只要与“形”沾上了一点边,就应该根据题意画出草图来分析一番。这样做,不但直观,而且全面,整体性强,容易找出切入点,对解题大有益处。尝到甜头的人就会慢慢养成一种“数形结合”的好习惯。

二、培养“方程”的思维能力

数学是研究事物的空间形式和数量关系的,最重要的数量关系是等量关系,其次是不等量关系。最常见的等量关系就是“方程”。比如等速运动中,路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系,可以建立一个相关的等式:速度ⅹ时间=路程,在这样的等式中,一般会有已知量,也有未知量,像这样含有未知量的等式就是“方程”,而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程。我们在小学就已经接触过简易方程,而初一则比较系统地学习解一元一次方程,并总结出解一元一次方程的五个步骤。如果学会并掌握了这五个步骤,任何一元一次方程都能顺利地解出来。初

二、初三我们还将学习解一元二次方程、二元二次方程组、分式方程,到了高中我们还将学习指数方程、对数方程、线性方程、参数方程、极坐标方程等。解这些方程的思维几乎一致,都是通过一定的方法将它们转化一元一次方程或是一元二次方程的形式,然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决。物理中的能量守恒,化学中的化学平衡式,现实中的大量实际运用,都需要建立方程,通过解方程来求出结果。因此同学们一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好,进而学好其它形式的方程。所谓的“议程”思维就是对于数学问题,特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系,善于用“方程”的观点去构建有关的方程,进而用解方程的方法去解决它。

高中数学反思解题教学探索 篇6

【关键词】高中数学;教学实践;反思

1.创设数学解题情境，提升反思解题水平

教师在进行数学反思解题教学探索过程中，需要手段对数学知识和课程进行科学合理的设置，并且要与实际情况紧密结合，激发学生的学习热情，引导学生积极主动的进行思考和分析，并在深入理解题目内涵的基础之上对题目进行正确的解答。创设良好的数学解题情境是教师进行反思教学的重要内容，能够有效降低学生的学习难度，减轻学生的负担，提升学生的学习效率。教师在为学生创设情境之前需要对学生的实际学习情况进行深入的了解，并以此为基础为学生创设良好的解题情境，让学生全身心投入到学习环境中，活跃课堂氛围，激发学生的学习积极性，也能够逐步提升学生的反思能力。教师在为学生选择和设置课题时要把握好难易程度，不仅要与教学要求紧密相连，还要重视学生的反思和反馈。例如，在讲解到“三角函数”的相关知识时，教师为了有效增强学生的反思能力，可以采用任务教学法，为学生设计具有启发性的任务和问题，以任务为基础为学生进行数学反思解题情境的创设，让学生寻找解题的关键，并逐步形成解题思路，良好的完成各项学习任务，有效提升解题反思水平。

2.完善数学解题思维，反思一题多解问题

在高中数学解题过程中，经常会遇到同一个问题有几种不同解法的情况，这就要求教师要引导学生进行反思，在反思中找到同一问题的不同解法。因此，教师在高中数学反思解题教学中，当学生在解决一个问题后，教师要有目的的引导学生对解决的这一问题以及解题的过程和方法进行反思，看看能否想到其他的解题方法或者简便方法。通过这样的方式，教师能够逐步激发学生的学习兴趣，培养学生热爱钻研和深入思考的精神，同时也能够发散学生的思维，让学生在解决数学问题的同时能够对数学知识进行全面的掌握，也能够逐步学会用反思的思维解题，不断完善数学解题思维。

教师在引导学生解决数学问题时要锻炼和培养学生的反思意识，让学生在解决某一数学问题时都能够深入思考和认真观察，重视解题反思，以期用最佳的方法或者是最多元化的解题手段解决问题，确保学生在反思解题教学中受益匪浅。

3.明确数学解题对象，反思总结解题技巧

在高中书写反思解题教学中，教师要充分发挥引导作用，激发学生的学习积极性，引导学生明确数学解题反思的对象，从而有针对性的解决不同的数学难题。学生在数学解题时需要反思大量的内容，这时，教师就要引导学生明确数学解题反思的对象，包括数学解题规律、解题手段、解题技巧、解题中涉及的数学问题等。通过这样形式的解题反思，学生能够逐步总结规律和技巧，积极主动的进行解题反思，强化自己的数学思维和记忆，提升数学解题能力，建立良好的反思意识。例如，在解决一题多变问题时，教师需要引导学生明确反思的对象是已学知识和已经解决的数学问题，通过调动已学知识和已解问题的相关思维和反思，就能够对这些变式问题进行快速的解答，从而不断总结解题技巧。

例如，原题：f（x）=■的定义域为R，求m的取值范围

解：由题意mx2+8x+4≥0在R上恒成立

∴m>0且Δ≤0，得m≥4

变1：f（x）=log3■的定义域为R，求m的取值范围。

解：由题意mx2+8x+4>0在R上恒成立

∴m>0且Δ<0，得m>4

变2：f（x）=log3（mx2+8x+4）的值域为R，求m的取值范围。

解：令t=mx2+8x+4，则要求t能取到所有大于0的实数，

当m=0时，t能取到所有大于0的实数

当m≠0时，m>0且Δ≥0？圯0<m≤4

∴0≤m≤4

变3：f（x）=log3■的定义域为R，值域为[0，2]，求m，n的值。

解：由题意，令y=■∈[1，9]，得（y-m）x2-8x+y-n=0

y≠m时，Δ≥0？圯y2-（m+n）y+mn-16≤0

∴1和9是y2-（m+n）y+mn-16=0的两个根

∴m=n=5

∴当y=m时，x=■=0，∵x∈R也符合题意 ∴m=n=5

4.总结

通过对高中数学解题教学的深入研究，可以发现在高中数学教学实践中不能够将得到数学问题的答案作为终点，而是要对解答的每一个数学问题进行反思，反思其解题过程和方法，争取选择最为合理和准确或者是多样化的解题方法解决问题。教师在实际教学中要发挥积极的指导作用，引导学生进行有效反思，帮助学生减轻解题压力和负担，有效提升学习成效。

【参考文献】

[1]张国立，王福权.浅谈高中数学解题中的反思教学[J].高中数理化，2014，（31）：91-93

[2]刘旭，周曼曼.走进充满活力的数学课堂——高中数学教学课堂解题教学反思[DB].http：//www.zytxs.com

中学数学解题教学 篇7

一、培养学生养成仔细认真审题的习惯

1.仔细认真地审题是解题的前提

审题的基本要求是: (1) 全面了解题目的文字叙述, 理解全部条件和结论, 画出必要的准确图形或示意图; (2) 整体考虑题目, 挖掘条件内涵和相互联系, 必要时要对条件或结论进行化简或转化, 以利于解法的探索; (3) 挖掘隐蔽条件; (4) 判明题型, 预见解题的策略.事实上, 审题能力主要体现在对题目的整体认识、对条件和目标的化简与转换以及发现隐蔽条件等方面的能力上.

【例1】 已知a, b, c都是实数, 求证:2a- (b+c) , 2b- (a+c) , 2c- (b+c) 三个数中至少有一个数不大于零, 而且至少有一个数不小于零.

如果审题中能考虑到“所证的三个数之和正好等于零”这一整体特征, 则不难用反证法得出正确判断, 使问题得到解决.

2.解题计划实施遵循的三个原则

审题以后, 应探索解题途径拟定解题计划, 探索过程中应遵循下列原则:

(1) 回想原则.根据题目中涉及的主要概念, 回想它的定义是怎样的?根据题目的条件、结论及其结构, 回想与它们有关的公式、定理、法则是什么?回想你的知识体系中, 是否储存过这些定义、公式、定理、法则?能否直接利用这些知识来解题?

(2) 联想原则.如果直接套用现成知识解决不了问题, 就必须进行联想.解题时的联想, 就是要求在你的知识体系中, 找出与题目很接近的或很相似的原理、方法、结论或命题来, 变通使用这些知识, 看能否解决问题.联想是一种发散思维, 是发现解题途径的一种基本思维方法.联想的思维基础往往是类比推理, 即由特殊到特殊的推理, 把解决某种特殊情况的原则和方法迁移过来, 应用在相似的情况上.

(3) 猜想原则.如果对解决问题的途径、原则和方法不能马上找到, 可以去选择一些接近于解决问题的途径、原则和方法, 这就是提出猜想.然后设法论证这个猜想是否真实.猜想不是胡思乱想和任意拼搏, 它也是一种科学思维活动.它是以已有的表象 (如数量关系的描述、图象的示意等等) 为引发物, 按逻辑推理的规律而进行的思维活动.猜想的思维基础往往是归纳推理, 即由特殊到一般的推理, 也就是对特殊情况的结论进行去伪存真, 由表及里, 找出共性由此猜想一般性的结论是什么.

二、引导学生总结基本概念、性质和应用规律

在学习一定内容之后, 注意总结一些基本概念、性质和应用规律, 将有益于提高解题能力.例如, 在代数方面, 可做如下一些归纳:

1.当a是任意实数时, $\sqrt{a{}^2}$的值必须区别a>0, a<0, a=0三种情况, 或由$\sqrt{a{}^2}=|a|$转化为对绝对值进行讨论.

2.根式加减时, 必须先化为同类根式;根式乘除时, 必须先化为同次根式.

3.因式分解有提取公因式法、公式法、分组分解法 (其中二次三项式还有配方法、十字相乘法) 、综合法、待定系数法等.

4.列方程解应用题的步骤是:审题、设元、列式 (列出等量关系) 、解方程、检验、作答.其中分析等量关系的辅助方法有译式法、图象法、模拟实验法等.

5.一元二次方程的解法有直接开方法、因式分解法、公式法、图像法等.

6.解分式方程的思想是化为整式方程, 解根式方程的思想是化为有理方程, 解超越方程的思想是化为代数方程.但解分式方程、根式方程、超越方程都必须考虑增根与失根的可能性.

7.解高次方程的思想是降次、转化, 解方程组的思想是消元、降次、转化.

8.作函数图象的步骤是设值、定点、边线三部曲.根据定义, 求导数的步骤是求差分、差商、微商三部曲.根据定义, 求定积分的步骤是分割、作积、求和、取极限四步曲等.

三、培养学生运用数学思想方法来解题

1.培养学生数形结合的思想和能力

“数”与“形”无处不在.借助图形能使问题明朗化, 不但直观, 而且全面, 整体性强, 能比较容易地找到问题的关键所在, 对解题大有益处.比如: (1) 求几个图象围成的图形的面积, 需要根据函数解析式求出特殊点的坐标, 通过整合图形、分割图形或补全图形来求解. (2) 河边取水问题, 可利用轴对称的性质, 构造两点之间线段最短得到最小值. (3) 两边之差最大问题, 通过构造三角形, 根据两边之差都小于第三边来解决等等.

2.培养学生的转化的数学思想

解数学题最根本的途径是“化难为易, 化繁为简, 化未知为已知”.比如:我们熟知的解分式方程就是通过去分母将分式方程转化为一元一次方程或一元二次方程来解, 再经检验确定分式方程的解.

【例2】 如图1, 矩形ABCD中, BC=2, DC=4, 以AB为直径的半圆O与DC相切于点E, 则阴影部分的面积是______.

解此题时就应注意将不规则图形转化——将阴影部分面积转化为规则图形来求面积.连接OE, 交BD于点F, 则△OFB≌△EFD,

∴S阴$=\frac{1}{4}S{}_{\odot }=\text{π}.$

3.培养学生分类讨论的思想

要求学生在考虑问题时一定要周全, 考虑多种可能性.

【例3】 圆中两平行弦长分别为6 cm、8 cm, 半径为5 cm, 则两弦之间的距离是多少?

学生总出现只考虑一种情况的答案:当两弦在圆心两旁时, 如图2所示;忽略了两弦在圆心同旁时的情况.

四、让学生注意积累解题的技能技巧

不少数学问题, 通常的解法繁琐冗长, 但有一些解法却十分简明、清楚, 能给人以启迪, 这种事半功倍的解题方法是一种技巧.在解题过程中不仅要步步注意检验, 防止差错, 而且还应注意解题技巧, 避免不必要的解题过程.

【例4】 当$a=\frac{4}{\sqrt{5}-1}$时, 求$\frac{1}{2}a{}^3-a{}^2-2a+1$的值.

解:$\because a=\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\sqrt{5}+1,$

$\begin{array}{l}\therefore \text{原}\text{式}=\frac{1}{2}[a(a-1){}^2-5(a-1)-3]\\ =\frac{1}{2}[5(\sqrt{5}+1)-5\sqrt{5}-3]=1.\end{array}$

显然, 以上解法, 都很为简捷, 具有较高的解题技巧.

五、回顾与探讨解题过程, 加强解后反思

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚说过:“数学问题的解决仅仅只是一半, 更重要的是解题之后的回顾.”由此可见解题过程中的反思不仅能巩固所学知识, 而且能提高学生总结、归纳、概括、综合问题的意识和能力.因此数学教师平时应教育学生注重解题反思, 以训练学生的思维.解数学题绝不能解一题丢一题, 这样是无助于解题能力提高的.要善于进行总结, 具体来说就是解题后可以从解题方法、解题规律、解题策略等多方面进行多角度、多侧面总结, 这样才能举一反三、触类旁通, 提高解题能力.

【例5】 等腰三角形腰上的高与腰之比为$\frac{2}{\sqrt{2}}$, 求此等腰三角形的底角.

错解:如图3, BD为等腰△ABC腰上的高,

$\begin{array}{l}\text{由}\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}‚\therefore \sin A=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \therefore \angle A=45°.\end{array}$

∴等腰△ABC的底角为67.5°.

总结教训, 提高辨析错误的能力, 也是提高解题能力的有效方法.本例构图过程中, 应对等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形进行分类讨论, 这里仅考虑了顶角是锐角的情形导致了漏解.当顶角A是钝角时, 由$\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 得$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore \angle A=135°.$

综上所述, 学生解题能力的提高是一个潜移默化的过程, 是在亲自参与解题实践中不断提升的过程, 教师在数学教学过程中应当注意结合自己班级的实际情况, 综合运用多种手段与方式培养与提升学生的审题能力, 把握基本概念、定理、公理的能力, 运用多种方式解题的能力以及独立思考并解题的能力, 从而有效地提高学生的数学解题.

参考文献

[1]符海妹.初探中学生解题能力的培养[J].数学学习, 2008 (4) .

[2]姜月娥.例谈提高数学解题能力的有效途径[J].数学月刊 (中学版) , 2009 (5) .

[3]朱仁义.浅谈学生数学解题能力的培养[J].池州学院学报, 2009 (6) .

[4]胡惠颜, 杨毅茹.浅谈学生数学解题能力的培养[J].福建中学数学, 2008 (6) .

浅谈数学解题方法的教学 篇8

强调能者为师, 才能充分体现和实现学生的主体地位, 让学生畅所欲言, 尽情表述自己对某知识点的理解与想法, 讨论、争论、直至面红耳赤, 教师适时、适当地给予解释或分析, 这不仅不能埋没教师的地位, 更能体现教师把握教材、驾驭课堂的能力。“带着知识走向学生”, 不过是“授人以鱼”;“带着学生走向知识”, 才是“授人以渔”。

学生在学习的过程中, 有时一题有多种解法, 可以采取学生交流, 讲解的方法。通过不同学生的不同解法的展示, 不仅使学生意识到知识的灵活性, 增强一部分学生对数学的兴趣以及另外一部分学生的信心, 而且让学生经历探究解题方法的过程, 优化解题方法, 更会对整个班集体的学习起到一定的推动。

一、探究问题, 形成方法

教师在数学教学中, 要充分尊重学生的创造性实践, “学生是数学学习的主人, 教师是学生学习的组织者引导者”, 教师要努力为学生提供探究的平台, 提供充足的时间和空间, 让学生获得广泛的数学活动的机会。布鲁纳曾说“每个学生都有着一种与生俱来的需要和欲望, 这种欲望和需要是学生产生学习动机的源泉。”如教学分数应用题:某工程队12天完成一项工程的2/7, 完成全部工程要多少天?如果教师只引导学生列出算式12÷2/7=42天, 虽简捷准确但数学价值却大量流失, 应让学生走进数学, 自主探究问题。生1:计算这个问题, 应先求出1天的工作量, 也就是工作效率, 工作总量除以工作效率就是工作时间, 应先计算2/7÷12, 再用总量1÷ (2/7÷12) 。这个学生是从工程问题的角度用工程问题的解题思路来探究形成方法的。生2:可把整个工程看作整体1, 12天完成工程的2/7, 这项工程中有几个2/7, 就用几个12天, (1÷2/7) ×12=42天。这个学生用分单元除法来计算工程问题, 有自己的方法和思考。生3:因为12天完成工程的2/7, 也就是把整个工程看成单位1, 把这项工程平均分成7份, 12天完成了全部工程的2份, 完成1份需要几天, 再乘以7份, (12÷2) ×7=42天。这个学生根据每份工程需要的天数和总工程的份数探究解题方法。生4:可以把整个工程看成单位1, 12天所对应的分率中2/7, 用12÷2/7就能求出全部工程所需的天数。这个学生直接利用分率的方法来解题, 已知一个数的几分之几是多少, 求这个数。相同的问题, 学生思考的角度不同, 得到的方法也不同, 经历的思考过程也不相同, 也就是真实的教学, 让每个学生个性化学习得到充分展示的教学。

二、解决问题, 优化方法

学生在解决问题的过程中, 对所采用的方法进行了深入细致的思考, 探究出自己的方法。如上例分数应用题的求解, 教师面对四种方法, 何去何从呢?这里首先要澄清一个基本认识, 鼓励学生自主探究解决问题的方法, 必然会出现百花齐放的多种解法, 在这多种解法之中没有优劣之分, 教师要针对每种计算方法让学生自己体会、感悟, 使这种方法产生更大的利用价值, 也就是让自己所选用方法优化, 而不是教师在这几种方法之中排出三六九等的计算方法。相对于学让来说, 每一种方法的产生都是在自己的深刻思考之后得出的最为欣赏和擅长的方法。优化方法的过程应当是教师引导学生对自己探究的方法进行自我反思、自我完善, 致力于分析、归纳自己方法的优点和缺点, 及时修正或补充。如上例在学生完成四种方法之后, 教师再引导学生对自己的方法进行反思, 生1的方法从工程问题来优化, 用单位1除以工作效率可以看出工作效率的倒数即这工作天数, 先求2/7÷12=1/42, 1/42的倒数为42, 不必再用1去除。生2的方法先求整体1中有几个12天的工作量, 比较简捷。生3采用的方法可以结合比例求解, 2/7需要12天, 是有2:7=12:x, 这种方法可以和比例求解相互融通。生4的方法按分率求解, 直接简捷。学生对每种方法充分思考之后, 教师要充分尊重学生的比较和选择, 让学生选择使用自己的最合适的方法, 充分激活学生的创造性思维, 让学生充分展示自我, 获得巨大的成功和快乐。

三、拓展问题, 创新方法

学生掌握了一定的方法后, 教师要进一步创设情境, 拓展问题, 充分让学生应用方法, 创新方法, 达到举一反三, 触类旁通的效果。通过上列问题的教学, 学生亲自参与和经历了方法的产生和应用, 教师此时要进一步创设情境, 在此问题的基础上增加深度和难度, 开展深层次的思维训练。教师适时启发点拨, 提供给学生充分探索与发现的时间和空间, 最大限度的让学生从事数学实践, 真正掌握知识技能和思想方法, 从而获得更广泛的活动经验。如完成练习:某粮店上午运来大米和面粉共84袋, 其中面粉占2/7。下午又运来一批面粉, 这时面粉占大米和面粉的2/5, 下午运来面粉多少袋?此题相对前一题来说, 好像复杂好多, 但如果探究得法, 恰当的运用上面的解题方法, 则此题化繁为简。在此问题中尽管单位1或总量发生了变化, 但其中大米的量没有变化, 抓住这一关键来解题。上午运来粮食84袋, 面粉则有84×2/7=24袋, 大米则有60袋。下午运来面粉后, 大米占总量的1-2/5=3/5, 面粉占总量的2/5, 此问题可以变通为:粮店有大米60袋, 面粉24袋运来一批面粉后, 大米占总量的3/5, 面粉占总量的2/5, 又运来面粉多少袋?此问题与前一例如出一辙, 学生会迎刃而解:1÷ (3/5÷60) ; (1÷3/5) ×60; (60÷3) ×5;60÷3/5。计算总量为100袋, 那么下午运来面粉100-84=16袋。综上所述, 教师还可以引导学生列出综合算式, 进一步深化计算方法。首先根据大米量不变求出下午运来面粉后的总袋数, 84× (1-2/7) ÷ (1-2/5) =100袋, 再减原有量84袋即84× (1-2/7) ÷ (1-2/5) =16袋。

数学难题解题技巧的分类教学 篇9

纵观中考数学试题整体, 其难点在于最后的压轴题, 在保证各个题型的基础题拿分的情况下, 最后的压分题成为了考生拉开分数及档次的关键题.总的来说, 最后的考题既灵活又贴近知识点, 就像一层窗户纸一样, 捅破了就很容易拿分, 如果在知识点上无法得到很好的分析也就没有了突破口, 徘徊在试题之外是很多考生遇到的解题瓶颈.所以, 数学的难题就是把知识点汇总到一起, 把这些知识点分解开来问题就变得容易了.

二、中考数学难题之实战技巧

做一道题时, 先按照“常规出牌”方式, 就是基本的解题思路来思考, 如果遇到难题, 还是把题目分解开来.

如:在直角梯形ABCD中, AD//BC, ∠B=90°, AD=24 cm, BC=26 cm, 动点M从A开始沿AD边以1 cm/s的速度运动, 动点N从点C开始沿CB边向B以3 cm/s的速度运动, M, N分别从A, C同时出发, 当其中一个点到达端点时, 另一点也随之停止运动, 该运动时间为t s, 问题为:当t分别为何值时四边形MDNB为等腰梯形?

这道题属于中度偏难的题型, 学习成绩在中等水平的学生都可以解答出来.怎样分解这道题?首先, 得了解什么是梯形及它的性质, 能使用哪些辅助线;其次, 通过已知的条件作两条高, 得出两个全等的等腰三角形和一个矩形;最后, 再利用矩形的对边相等解决这道题.

在做题时, 学生要学会把同一类型的题归为一类, 逐渐形成一套自己的解题思路, 学会举一反三, 这样难题就迎刃而解了.

随着新课改的实施, 中考命题趋势逐步削弱了对传统数学问题的单纯考查, 试题情境一般存在开放性、探索性、操作性 (平移、旋转、翻折) , 许多问题是以发现、猜测和探究为主线的新式题型.下面我们谈谈近几年中考的热点问题——图形变换.

图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四大变换, 近年全国各地的中考数学试题出现了不少有关图形变换的试题.作为新增加的内容, 图形与变换对于培养同学们空间观念、拓展几何的活动视野和研究途径, 都具有其他内容无法替代的作用, 因而, 图形与变换在近年来的中考数学试题中占有较大的比重.

旋转问题要明确旋转的三要素:旋转中心 (绕着哪个点) 、旋转方向 (顺时针、逆时针) 、旋转角度.除此之外, 还要始终把握旋转的性质:

1.对应点到旋转中心的距离相等.2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前、后的图形全等 (旋转前后两图形的对应线段、对应角分别相等) .旋转问题可归结为点的旋转、线段的旋转和图形 (一般为三角形) 的旋转.在旋转问题中往往将陌生问题转化为我们熟知的三角形问题去解决, 即要去寻找或构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形等, 将题目由繁化简.

例1 如图1, 已知正方形ABCD的边长为3, E为CD边上一点, DE=1.以点A为中心, 把△ADE顺时针旋转90°, 得△ABE′, 连接EE′, 则EE′的长等于.

分析 此题是对勾股定理、等腰直角三角形和旋转的性质综合运用能力的考查.

∵旋转前后图形全等,

∴由△ADE顺时针旋转90°后得△ABE′可知,

△ADE≌△ABE', 即AE'=AE.

∴△AE′E为等腰直角三角形.

undefined, 在Rt△ADE中, 由勾股定理可知undefined, 故undefined

三、把握综合分析能力

数学中考试题的命题者的命题目的是考查我们初中毕业的学生对初中数学基础知识的掌握情况, 试题当然都离不开初中的基础知识.所谓难题, 只是笼上几层面纱, 使我们不容易看到它的真面目.我们教师的任务就是教会我们的学生去揭开那些看起来神秘的面纱, 把握它的真面目.

对难题进行分类专题复习时, 应该把重点放在对学生进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练以及引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上, 并从中培养学生解题的直觉思维.应当先把难题进行分类, 然后进行分类训练.在课堂上不必每题都要学生详细写出解题过程, 一类题目写一两题就行了, 其他只要求学生能较快地写出解题思路, 回去再写出.一般可以将中考中的难题分以下几类进行专题复习:

第一类 综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题.

这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法, 运用一些数学思想和方法以及一定的解题技巧来解答.

例2 在△ABC中, 点I是内心, 直线BI, CI交AC, AB于D, E.已知ID=IE.求证:∠ABC=∠BCA, 或∠A=60°.

教学点拨 本题要运用分析与综合的方法, 从条件与结论两个方向去分析.从条件分析, 由ID=IE及I是内心, 可以推出△AID和△AIE是两边一对角对应相等, 有两种可能:AD=AE或AD≠AE, 从这可以推得∠ADI与∠AEI的关系.从结论分析, 要证明题目结论, 需要找出∠ABC与∠ACB的关系, undefined, 而undefined.从条件和结论两个方面分析, 只要找出∠AEI与∠ADI的关系就可以证明本题.

证明 连接AI, 在△AID和△AIE中, AD与AE的大小有两种可能情形:AD=AE, 或AD≠AE.

(1) 如果AD=AE, 则△AID≌△AIE, 有∠ADI=∠AEI.

undefined

即∠ABC=∠ACB.

(2) 如果AD≠AE, 则设AD>AE, 在AD上截取AE′=AE, 连接IE′, 则△AIE′≌△AIE.

∴∠AE′I=∠AEI, IE′=IE=ID.

∴△IDE'为等腰三角形, 则有∠E'DI=∠DE'I.

∵∠AE'I+∠DE'I=180°, ∴∠AEI+∠AIE=180°.

∴∠ACB+∠ () ABC (+∠ABC+∠) ACB=180°.

∴∠ABC+∠ACB=120°,

∴∠A=180°-120°=60°.

如果AD

第二类 开放性、探索性数学难题.

无论是开放性还是探索性的数学难题, 教学重点是教会学生把握问题的关键.

例3 请写出一个图像只经过二、三、四象限的二次函数的解析式.

教学点拨 二次函数的图像只经过二、三、四象限, 就是不能经过第一象限, 即当x>0时, y<0.什么样的解析式的二次函数必有x>0时, y<0呢?这是问题的核心.

(答案:当二次函数y=ax2+bx+c中a, b, c都为负数时, 必有x>0时, y<0, 如y=-x2-2x-3.)

四、揣摩问题实质

中考题型再新也离不开初中的基础知识, 所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识, 然后, 运用与之相关的基础知识, 通过分析、综合、比较、联想, 找到解决问题的办法.

例4 电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成, 未切割时的单晶硅材料是一种薄形圆片, 叫“晶圆片”.现为了生产某种CPU芯片, 需长、宽都是1 cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05 cm.问:一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由. (不计切割损耗)

教学引导 本题人人会入手做, 但要按一定的顺序切割才能得到正确答案.

方法 (1) 先把10个小正方形排成一排, 看成一个长条形的矩形, 这个矩形刚好能放入直径为10.05 cm的圆内, 如图中矩形ABCD.

∵AB=1, BC=10, ∴对角线undefined

(2) 在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小的正方形.这样新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可以看成矩形EFGH, 其长为9, 高为3, 对角线EG2=92+32=81+9=90<10.052.但新加入的这两排小正方形不能是每排10个, 因为102+32=100+9>10.052.

(3) 同理, ∵82+52=64+25=89<10.052, 而92+52=81+25=106>10.052, 所以, 可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形, 那么现在小正方形已有5层.

(4) 再在原来的基础上, 上下再加一层, 共7层, 新矩形的高可以看成是7, 那么新加入的这两排, 每排都可以是7个但不能是8个.∵72+72=49+49=98<10.052, 而82+72=64+49=113>10.052.

(5) 在7层的基础上, 上下再加入一层, 新矩形的高可以看作是9, 每排可以是4个, 但不能是5个.∵42+92=16+81=97<10.052, 而52+92=25+81=106>10.052.

现在总共排了9层, 高度达到了9, 上下各剩下约0.5 cm的空间, 因为矩形ABCD的位置不能调整, 故再也放不下1个小正方形了.

所以, 10+2×9+2×8+2×7+2×4=66 (个) .

评议 本题解题的关键是:①一排一排地放小正方形, ②利用圆的内接矩形的对角线就是圆的直径的知识.

在难题的教学中, 我们不能只把结论告诉学生, 更重要的是要让学生知道解题的思维方式, 我们不要急于把题目的解法告诉学生, 应当引导学生自己去解题.

结语 中考数学的教学关键在于抓住解题思路, 紧跟命题趋势, 善于分析问题, 把握问题实质.在众多难题中我们不难发现, 难题的组成离不开基础知识的组合衔接, 所以, 掌握基础知识, 善于运用基础知识达到举一反三成为解开各种难题的钥匙.很多开放性试题成为今年考试中的主流, 但实质上万变不离其宗, 其内在贯穿的知识点也无非是平时学生们要掌握的基本要点和技巧.同时, 在平时的教学中, 为学生拨开云雾, 引导学生自我分析.这样, 更有针对性, 更有条理地分析问题, 解决难题, 使思路更明晰, 考试更轻松.

摘要：每年初中数学中考, 一般把试题分为基础题、中档题及难题.放眼中考数学几年来的命题趋势, 不难发现难题的组成不过是简单基础题的组合, 在其中如何更好地衔接每一个知识点是突破难题的关键, 所以, 在教学中既需要学生通过总结知识和考题思路, 也要求教学队伍对解题技巧和命题趋势进行透彻分析, 以求在中考数学中取得理想成绩.

关键词：解题技巧,综合分析,把握问题实质

参考文献

[1]薛金星.初中数学——解题方法与技巧[M].北京:北京教育出版社, 2010.

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[3]左传波.动态解析中考数学压轴题[M].上海:科学出版社, 2011.

[4]佘宁.举一反三解题经典[M].上海:上海科技教育出版社, 2006.

中学数学中的解题教学及案例分析 篇10

一、寻求教学途径

传统数学教学适应不了现代化社会经济发展的需求,课堂大都是以教师讲授为主,采用灌输式教学,此类教学模式并不注重学生主观能动性的培养,课堂教学效率低。教师应全面分析新课改的重要核心,合理转变教育观念,从而将课堂还给学生,以科学合理的教学方式培养学生的自主探究能力,引导学生参与课堂实践活动,从而有效提高课堂效率。教师应有目的地展开各种组合试验,将习题转为已知类型,帮助学生选择最佳解题方式,之后再严格检验,并对其进行修正,从而确定科学有效的解题计划。在此期间,教师应引导学生深刻理解题意,展开广泛联想,从而有效培养学生的思维广阔性。同时,强调一题多解的重要性,采用合理的方式培养学生思维的广阔性及深刻性,以便提高学生的发散思维能力。教师应积极引导学生全方面思考问题,从而促使学生积极实践,从而有效开发学生智力,更好地启迪学生的思维和提高学生自身的逻辑推理能力。教师应注重变式训练,有效培养学生的思维活跃性,这样才能有效提高学生的解题能力。变式教学主要是对数学中的各种定理及问题以不同角度、不同层次、不同情形、不同背景变式,这样就能暴露问题的本质,以便提示不同知识点之间的联系。采用变式教学,促使一题多用,且多题组合,可以给人新鲜感,从而唤起学生的好奇心及求知欲,充分激发学生的创新精神,以扩展其创新思维。这种方式可以提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,有效扩展学生的思维空间。

比如,如图1所示,PA为⊙O切线,A为其切点,PCB为⊙O割线,求证:(1)△PAC~△PBA,(2)PA2=PC·PB。

变式1:保证基本图形不变,如果PCB过圆心O时,可得出△BAC直角三角形,如图1(2)所示。

变式2:保证基本图形布标,添加∠BAC平分线AM,且将其交于BP于D,可得PA=PD,如图1(1)所示。

变式3:保证基本图形不变,添∠APB平分线,且将其AB、AC交于F、E,可得:1)AE=AF,2)△AEP~△BFP,3)△PCE~△PAF,如图1(3)所示。

变式4:保证基本图形不变,添∠BAC、∠APB平分线,AM、PF,可得:1)AM⊥PF,2)FN=NE,3)AN=ND,如图1(4)所示。

二、注重课堂练习效果

练习可有效检测学生的学习效果,并快速提高学生的学习能力。练习可巩固基础知识,能够让学生掌握更多的操作技能,从而有效解决常规问题。教师应通过实验、尝试、归纳、总结等方式深化知识,这样学生才能做许多条件不完备且解题方法多样的开放性问题,体现出练习的趣、精、活、新等特点。教师还应通过学生的实际学习情况,发现其间存在的问题并及时补救,这样才能真正检测学生的学习目标达成度。教师应根据实际情况设计多层次练习,让学生在不同层次中全面掌握各种知识,从而获得更高的学习效率。教师还应积极组织学生参与各种数学问题研究及讨论,使学生了解数学问题的形成及发展,从而培养学生对数学学习的兴趣,以便深化知识点记忆,提高学生数学学习效果。教师应采取适当的方式指导学生参与数学活动,使学生能够独立探究数学问题,有效培养学生的实践能力,增强学生的创新精神。这样学生的思维才能更加深刻,更全面地认识问题。数学学习应注重不断解决问题,在学生学习定理及公式推导之后,再引导学生参与各种活动,让学生自己去探究定理与公式形成及发展过程,使其用自身的经验去总结其规律及方法,从而深刻体会数学学习的乐趣。学生的知识能力有限,数学探究活动中极易出现差错,抑或是认识缺失。这时,教师应鼓励学生,不可严厉指责,并允许学生有自己的创新想法及不同的建议,这样才能更好地保护学生的学习积极性。

三、解题后反思

学生成长环境与个人天赋是不同的,学生数学能力亦是不同的。在实际的数学教学中,一些学生极易犯错误,从而影响了他们的学习效率及学习效果。教师应培养学生合理分析各种数学基础知识的能力,使他们掌握更多的解题方法,从而形成正确的思维习惯,提升学生数学能力。一些学生在完成作业或者是解题训练时,只顾完成题目,草率了事,没有把知识融会贯通,一到解综合题时就茫然,无从下手,甚至见过的题目也无法解答。而解题后反思与总结是解决这一问题的有效途径。例如,学习完人教版九年级下册27.2相似三角形的判定这一章节后,学生通过完成课后作业,对相似三角形判断有了初步的了解与印象。教师可以带领学生对课后的习题进行反思并加以对相似三角形的判定模型进行归纳:

通过这反思与归纳,使学生对三角形相似这部分内容有了深刻的理解,并能够在解题的应用中有章可循,减少了盲目性。这样,学生在以后的实践中就能应用这些解题方法与思路,顺藤摸瓜,初步构建数学模型,把握知识的迁移与联系。同时,通过解题之后的反思,不但有利于学生解题经验的积累,而且对于学生反思能力与反思意识的提升也具有非常重要的意义,达到了拓展思维的目的。

四、结束语

综上所述,学生数学解题能力的提高十分关键,教师不可急于求成,盲目地采用题海战术,习题训练应具备一定的针对性,务必讲求质量及效益。同时,在日常数学教学中,教师应采用适当的方式引导学生展开全方位思考,培养学生的多向性思维,让学生在解题中获得乐趣,总结出自己的解题方法与思路。

参考文献

[1]许青林.中学数学化归思想及其应用[J].吕梁高等专科学校学报,2007(01).

[2]张馨月,李文铭.中学数学中解题步骤知识的教学思考[J].沈阳师范大学学报:自然科学版,2012(01).

基于数学结构思想的解题教学 篇11

关键词数学结构思想数学结构解题教学

一、 问题的提出

解题教学是数学教学过程中的一个重要组成部分。在平时的教学过程中，我们经常发现学生在解题时不能准确提取题目中的有用信息，无从下手，或者不能及时更换思维策略，不知所措， 从而导致学生数学学习上的困难。

例1P是函数y=f（x）图象上的点，Q是函数y=g（x）图象上的点，且P，Q两点之间的距离PQ能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离。按这个定义，求函数f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之间的距离。

此题选自2013年上海浦东新区二模试题卷。解决这道题有两个突破点：

（1） y=f（x）是一个幂函数，图象就是抛物线y2=x在第一象限的曲线；y=g（x）是圆（x-2）2+y2=1在第一象限的半圆曲线；（2）点P到定圆上点Q的距离，要转化为点P到圆心的距离，第二个突破点是解题的难点。

其实，解决例1时，我们若是能联想到结构相近的另一类问题，解题就会有所突破。如

引例：求圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最小距离。

对于引例，教师应指导学生抓住：研究圆上的动点到某直线的距离，可以借助定点圆心到该直线的距离的探究。利用圆的特征，实施 从“动”到“定”的转化。而结合引例，再来分析例1，区别在于y=f（x）的图象不是直线，且点P为动点，故要设点P的坐标，表示出点P到圆心的距离，进而借助函数解决问题。

从以上解题分析我们能感受到数学结构思想对解题的帮助。教师平时的解题教学中，应引导学生通过解题，理解和分析题中数学结构和知识特征，使得学生积累并掌握一定的数学知识结构和数学模型，进而用动态思维做到问题的转化和知识的创新。

二、 数学结构思想

结构思想是皮亚杰等发展起来的现代教育理论，法国布尔巴基学派认为数学的发展是各种结构的建立和发展，建立了数学结构思想学说，探讨诸多数学结构间的统一性。

数学结构通常分为两大类：纯数学结构和一般数学结构。纯数学结构从宏观上提出“结构”指代数结构、拓扑结构、顺序结构等；另一类为一般数学结构，即为了实现数学的教育功能而强调的数学知识间的广泛关联性，在此前提下提出的一些数学结构。如与数的知识有关的复数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明的程序结构等等。数学结构思想的核心是“结构”。数学结构思想提出通过研究数学表面上的差异，探索数学知识间联系和一致性的方法和观点，对数学本质进行再认识与再处理。

可见，运用数学结构思想实施数学解题教学，可以帮助学生形成完整的数学结构体系，提高学生掌握数学知识的效率。在解题教学中渗透数学思想方法，通过解题提高他们分析、解决问题的能力。

三、 数学结构思想在解题教学中的运用和实践

1. 联想数学结构，寻找知识联系，实现问题转化

注重数学结构思想的运用，有助于学生整体性数学思维水平的提高。数学结构思想的内涵是探索知识能力间的结构联系，以此为指导开展解题教学，使学生高层次地抓住问题本质。

如例题1，解题教学过程中，教师运用引例，借助变式训练，指导学生通过提取已有的数学结构，明确知识间的区别和联系，进一步提升和转化已有的知识结构，进行创造性思维，找到解决问题的方法。

2. 感知数学结构，识别知识特征，形成数学体系

理解和掌握数学结构思想有助于学生建立良好的数学认知结构。一道题目中，一个已知条件可以有几种不同的考虑角度，教师在解题教学过程中，适当引导学生，感知题目中的数学结构，识别各种结构具有的知识特征，进而选择合理的解决方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范围。

解析：

方法一：感知“两边一对角”的结构特征，想到“用正弦定理判断三角形解的个数”的知识，借助图形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再结合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“两边和一角”的结构特征，想到“用余弦定理表示角”的知识，设AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，结合x的范围利用基本不等式，得cosC≥32，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的边AB∩BC=B”的结构特征，想到“借助作三角形图，观察动角C的变化”的知识，先确定边BC，再以B为圆心，1为半径作圆，画出顶点A的轨迹，进而确定角C的变化，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

可见，学生审题过程中会出现多种思想火花，教师在数学结构思想的指导下，不要随意否定学生，应该让学生通过一题多解积累多种数学知识结构，形成系统知识体系。

3. 分析数学结构，合情归纳推理，达成目标简化

解题时，学生有时不能很快明确其中的突破点，教师在数学结构思想观下，引导学生合情推理，通过特殊到一般、类比归纳等方式，重新明确问题，进一步地分析其中的知识结构，建立恰当的数学模型，以达成目标的简化。

例3（江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考23题）

电子蛙跳游戏是： 青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点.

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根据解题过程中（1）的数学结构，借助归类进一步认识结构，实际是分步计数原理的应用。利用树形图，合情推理和猜想，对结构从特殊到一般的认识，从而应用结构，对相似结构处理方法和过程等进行合理迁移。

四、 结论

基于数学结构思想的数学解题教学，不单是教会学生解决某一道题，也不是提倡“形式主义”，而是要通过解题，借助变式、一题多解等教学方式，让学生领悟各种数学结构，体会蕴含的数学思想。培养学生利用已有的数学知识结构和模型，加深巩固所学的公式、概念和定理等，引导学生寻找知识联系，识别知识特征，合情归纳推理，提高解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]孙晓天.数学结构主义的思想与方法及其影响[J].东北师大学报自然科学版.1988（4）：25～29

[2]张奠宙，李士錡，李俊.数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003

[3]张宏斌.试述数学结构思想及其在数学教学中的运用[J].辽宁教育行政学院学报.2006（12）：125

[4] 沈良.略谈数学结构观下的解题与教学[J].数学通讯.2012（12）：1

（江苏省无锡市第六高级中学）endprint

摘要 利用数学结构思想指导学生进行数学解题，从结构和本质上认识数学，通过联想、感知和分析数学结构，提高学生对知识的系统掌握，领悟数学思想方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。

关键词数学结构思想数学结构解题教学

一、 问题的提出

解题教学是数学教学过程中的一个重要组成部分。在平时的教学过程中，我们经常发现学生在解题时不能准确提取题目中的有用信息，无从下手，或者不能及时更换思维策略，不知所措， 从而导致学生数学学习上的困难。

例1P是函数y=f（x）图象上的点，Q是函数y=g（x）图象上的点，且P，Q两点之间的距离PQ能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离。按这个定义，求函数f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之间的距离。

此题选自2013年上海浦东新区二模试题卷。解决这道题有两个突破点：

（1） y=f（x）是一个幂函数，图象就是抛物线y2=x在第一象限的曲线；y=g（x）是圆（x-2）2+y2=1在第一象限的半圆曲线；（2）点P到定圆上点Q的距离，要转化为点P到圆心的距离，第二个突破点是解题的难点。

其实，解决例1时，我们若是能联想到结构相近的另一类问题，解题就会有所突破。如

引例：求圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最小距离。

对于引例，教师应指导学生抓住：研究圆上的动点到某直线的距离，可以借助定点圆心到该直线的距离的探究。利用圆的特征，实施 从“动”到“定”的转化。而结合引例，再来分析例1，区别在于y=f（x）的图象不是直线，且点P为动点，故要设点P的坐标，表示出点P到圆心的距离，进而借助函数解决问题。

从以上解题分析我们能感受到数学结构思想对解题的帮助。教师平时的解题教学中，应引导学生通过解题，理解和分析题中数学结构和知识特征，使得学生积累并掌握一定的数学知识结构和数学模型，进而用动态思维做到问题的转化和知识的创新。

二、 数学结构思想

结构思想是皮亚杰等发展起来的现代教育理论，法国布尔巴基学派认为数学的发展是各种结构的建立和发展，建立了数学结构思想学说，探讨诸多数学结构间的统一性。

数学结构通常分为两大类：纯数学结构和一般数学结构。纯数学结构从宏观上提出“结构”指代数结构、拓扑结构、顺序结构等；另一类为一般数学结构，即为了实现数学的教育功能而强调的数学知识间的广泛关联性，在此前提下提出的一些数学结构。如与数的知识有关的复数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明的程序结构等等。数学结构思想的核心是“结构”。数学结构思想提出通过研究数学表面上的差异，探索数学知识间联系和一致性的方法和观点，对数学本质进行再认识与再处理。

可见，运用数学结构思想实施数学解题教学，可以帮助学生形成完整的数学结构体系，提高学生掌握数学知识的效率。在解题教学中渗透数学思想方法，通过解题提高他们分析、解决问题的能力。

三、 数学结构思想在解题教学中的运用和实践

1. 联想数学结构，寻找知识联系，实现问题转化

注重数学结构思想的运用，有助于学生整体性数学思维水平的提高。数学结构思想的内涵是探索知识能力间的结构联系，以此为指导开展解题教学，使学生高层次地抓住问题本质。

如例题1，解题教学过程中，教师运用引例，借助变式训练，指导学生通过提取已有的数学结构，明确知识间的区别和联系，进一步提升和转化已有的知识结构，进行创造性思维，找到解决问题的方法。

2. 感知数学结构，识别知识特征，形成数学体系

理解和掌握数学结构思想有助于学生建立良好的数学认知结构。一道题目中，一个已知条件可以有几种不同的考虑角度，教师在解题教学过程中，适当引导学生，感知题目中的数学结构，识别各种结构具有的知识特征，进而选择合理的解决方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范围。

解析：

方法一：感知“两边一对角”的结构特征，想到“用正弦定理判断三角形解的个数”的知识，借助图形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再结合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“两边和一角”的结构特征，想到“用余弦定理表示角”的知识，设AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，结合x的范围利用基本不等式，得cosC≥32，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的边AB∩BC=B”的结构特征，想到“借助作三角形图，观察动角C的变化”的知识，先确定边BC，再以B为圆心，1为半径作圆，画出顶点A的轨迹，进而确定角C的变化，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

可见，学生审题过程中会出现多种思想火花，教师在数学结构思想的指导下，不要随意否定学生，应该让学生通过一题多解积累多种数学知识结构，形成系统知识体系。

3. 分析数学结构，合情归纳推理，达成目标简化

解题时，学生有时不能很快明确其中的突破点，教师在数学结构思想观下，引导学生合情推理，通过特殊到一般、类比归纳等方式，重新明确问题，进一步地分析其中的知识结构，建立恰当的数学模型，以达成目标的简化。

例3（江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考23题）

电子蛙跳游戏是： 青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点.

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根据解题过程中（1）的数学结构，借助归类进一步认识结构，实际是分步计数原理的应用。利用树形图，合情推理和猜想，对结构从特殊到一般的认识，从而应用结构，对相似结构处理方法和过程等进行合理迁移。

四、 结论

基于数学结构思想的数学解题教学，不单是教会学生解决某一道题，也不是提倡“形式主义”，而是要通过解题，借助变式、一题多解等教学方式，让学生领悟各种数学结构，体会蕴含的数学思想。培养学生利用已有的数学知识结构和模型，加深巩固所学的公式、概念和定理等，引导学生寻找知识联系，识别知识特征，合情归纳推理，提高解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]孙晓天.数学结构主义的思想与方法及其影响[J].东北师大学报自然科学版.1988（4）：25～29

[2]张奠宙，李士錡，李俊.数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003

[3]张宏斌.试述数学结构思想及其在数学教学中的运用[J].辽宁教育行政学院学报.2006（12）：125

[4] 沈良.略谈数学结构观下的解题与教学[J].数学通讯.2012（12）：1

（江苏省无锡市第六高级中学）endprint

摘要 利用数学结构思想指导学生进行数学解题，从结构和本质上认识数学，通过联想、感知和分析数学结构，提高学生对知识的系统掌握，领悟数学思想方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。

关键词数学结构思想数学结构解题教学

一、 问题的提出

解题教学是数学教学过程中的一个重要组成部分。在平时的教学过程中，我们经常发现学生在解题时不能准确提取题目中的有用信息，无从下手，或者不能及时更换思维策略，不知所措， 从而导致学生数学学习上的困难。

例1P是函数y=f（x）图象上的点，Q是函数y=g（x）图象上的点，且P，Q两点之间的距离PQ能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离。按这个定义，求函数f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之间的距离。

此题选自2013年上海浦东新区二模试题卷。解决这道题有两个突破点：

（1） y=f（x）是一个幂函数，图象就是抛物线y2=x在第一象限的曲线；y=g（x）是圆（x-2）2+y2=1在第一象限的半圆曲线；（2）点P到定圆上点Q的距离，要转化为点P到圆心的距离，第二个突破点是解题的难点。

其实，解决例1时，我们若是能联想到结构相近的另一类问题，解题就会有所突破。如

引例：求圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最小距离。

对于引例，教师应指导学生抓住：研究圆上的动点到某直线的距离，可以借助定点圆心到该直线的距离的探究。利用圆的特征，实施 从“动”到“定”的转化。而结合引例，再来分析例1，区别在于y=f（x）的图象不是直线，且点P为动点，故要设点P的坐标，表示出点P到圆心的距离，进而借助函数解决问题。

从以上解题分析我们能感受到数学结构思想对解题的帮助。教师平时的解题教学中，应引导学生通过解题，理解和分析题中数学结构和知识特征，使得学生积累并掌握一定的数学知识结构和数学模型，进而用动态思维做到问题的转化和知识的创新。

二、 数学结构思想

结构思想是皮亚杰等发展起来的现代教育理论，法国布尔巴基学派认为数学的发展是各种结构的建立和发展，建立了数学结构思想学说，探讨诸多数学结构间的统一性。

数学结构通常分为两大类：纯数学结构和一般数学结构。纯数学结构从宏观上提出“结构”指代数结构、拓扑结构、顺序结构等；另一类为一般数学结构，即为了实现数学的教育功能而强调的数学知识间的广泛关联性，在此前提下提出的一些数学结构。如与数的知识有关的复数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明的程序结构等等。数学结构思想的核心是“结构”。数学结构思想提出通过研究数学表面上的差异，探索数学知识间联系和一致性的方法和观点，对数学本质进行再认识与再处理。

可见，运用数学结构思想实施数学解题教学，可以帮助学生形成完整的数学结构体系，提高学生掌握数学知识的效率。在解题教学中渗透数学思想方法，通过解题提高他们分析、解决问题的能力。

三、 数学结构思想在解题教学中的运用和实践

1. 联想数学结构，寻找知识联系，实现问题转化

注重数学结构思想的运用，有助于学生整体性数学思维水平的提高。数学结构思想的内涵是探索知识能力间的结构联系，以此为指导开展解题教学，使学生高层次地抓住问题本质。

如例题1，解题教学过程中，教师运用引例，借助变式训练，指导学生通过提取已有的数学结构，明确知识间的区别和联系，进一步提升和转化已有的知识结构，进行创造性思维，找到解决问题的方法。

2. 感知数学结构，识别知识特征，形成数学体系

理解和掌握数学结构思想有助于学生建立良好的数学认知结构。一道题目中，一个已知条件可以有几种不同的考虑角度，教师在解题教学过程中，适当引导学生，感知题目中的数学结构，识别各种结构具有的知识特征，进而选择合理的解决方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范围。

解析：

方法一：感知“两边一对角”的结构特征，想到“用正弦定理判断三角形解的个数”的知识，借助图形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再结合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“两边和一角”的结构特征，想到“用余弦定理表示角”的知识，设AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，结合x的范围利用基本不等式，得cosC≥32，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的边AB∩BC=B”的结构特征，想到“借助作三角形图，观察动角C的变化”的知识，先确定边BC，再以B为圆心，1为半径作圆，画出顶点A的轨迹，进而确定角C的变化，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

可见，学生审题过程中会出现多种思想火花，教师在数学结构思想的指导下，不要随意否定学生，应该让学生通过一题多解积累多种数学知识结构，形成系统知识体系。

3. 分析数学结构，合情归纳推理，达成目标简化

解题时，学生有时不能很快明确其中的突破点，教师在数学结构思想观下，引导学生合情推理，通过特殊到一般、类比归纳等方式，重新明确问题，进一步地分析其中的知识结构，建立恰当的数学模型，以达成目标的简化。

例3（江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考23题）

电子蛙跳游戏是： 青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点.

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根据解题过程中（1）的数学结构，借助归类进一步认识结构，实际是分步计数原理的应用。利用树形图，合情推理和猜想，对结构从特殊到一般的认识，从而应用结构，对相似结构处理方法和过程等进行合理迁移。

四、 结论

基于数学结构思想的数学解题教学，不单是教会学生解决某一道题，也不是提倡“形式主义”，而是要通过解题，借助变式、一题多解等教学方式，让学生领悟各种数学结构，体会蕴含的数学思想。培养学生利用已有的数学知识结构和模型，加深巩固所学的公式、概念和定理等，引导学生寻找知识联系，识别知识特征，合情归纳推理，提高解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]孙晓天.数学结构主义的思想与方法及其影响[J].东北师大学报自然科学版.1988（4）：25～29

[2]张奠宙，李士錡，李俊.数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003

[3]张宏斌.试述数学结构思想及其在数学教学中的运用[J].辽宁教育行政学院学报.2006（12）：125

[4] 沈良.略谈数学结构观下的解题与教学[J].数学通讯.2012（12）：1

中学数学解题教学 篇12

高中数学所涉及的知识点较多，这些知识点在教材中分布较为散乱，因此在对这些知识点进行学习时，并没有太多的规律可以把控．随着新课程改革的深入，对素质教育提出了更高的要求，而学生解题能力的培养，正是素质教育的一种形式．学生解题能力的好坏，与其所学知识与理解情况有着直接联系．因此高中数学教学中，应当做好对学生解题能力的有效培养，把握学生在知识点学习每个阶段特征，并加以引导，再结合日常解题训练，使学生的解题能力得到有效提升，进而满足新课改与素质教育的要求．

二、学生解题能力的培养思路

(一)数形结合思路

高中数学有大多数内容都与数形结合相关，学生在解题时，应用数形结合思想，将几何图形与代数相结合，便能够对题中给定的已知与未知条件作出了解，从而对题目表达式中的相关数据与几何意义作出正确有效的分析，进而帮助学生找到解题思路与方法，做到对学生解题能力的有效培养．

(二)分情况讨论思路

针对情况不同展开讨论的思想，在高中数学解题中，起到较为有效的作用．应用该思路解题时，需要对题目作出深入分析，从而得出解题对象特征与性质，并将提问分为多种情况，在逐一作出分析．分情况讨论思想在运用时，所需要涉及的知识点较多，从而能够很好的对学生知识点掌握程度做到有效提升，能对学生分类思想及分类技巧作出有效考察;同时该解题思路也会在应用时产生多种方法，因此具备很强的逻辑性与综合性，因此，应用该思路解题时，需要对分类标准及对象作出明确，避免遗漏、重复问题的出现．通常分情况解题分类方式包含:依据事件可能性分类、依据图形位置分类等．

(三)函数结合方程思路

在解方程、几何、不等式及数列题时，通常需要用到函数思想．对于方程思想来说，其是高中数学的常见思路，其会在各种类型计算题目中出现，同时也能在应用中，帮助学生计算水平得到有效提升．近年来，高考试卷命题中，经常会考察学生对方程思想的掌握程度，同时也会对学生在多种形式转化与应用技巧作出考察．因此在解题时，需将函数思路与方程思想结合，并注意二者在不等式中间的转换．

三、学生解题能力培养的实践方案

(一)提升学生审题能力

有效审题是提升解题正确率与效率的基础，解题之前，每个人都需要对题目做到仔细阅读，对题目中已知条件与问题需作出了解，找出中间的关键因素，并对题目中存在的隐含条件做到有效挖掘，从而理清解题思路，完成最终的解题过程．在对学生审题能力进行培养时，教师可先对题目进行阅读，并将已知条件与关键因素标注出来，从而避免学生在解题时，出现重要条件的遗漏情况．在例题讲解时，教师需先对题目作出分析，只有这样，才能对学生审题能力起到有效的引导作用．

(二)培养学生一题多解

新课改对学生多向思维能力的培养有着一定要求，要求学生在数学学习时，能够从过程与方法、知识与能力、情感与态度这些不同维度上展开学习，从而在解题过程中做到一题多解，对一道相同的题目，从不同的思维维度上找出解题方法，进行解答，并最后对这些方法进行比较，选取最适合的一种方法．这样不仅能够培养学生的解题能力，还能够其思维与逻辑能力做到有效培养．

例1解不等式3<|2x-3|<5.

在解这道题时，有两种解题途径，可以此启发学生一题多解能力．

解法一:将绝对值定义为出发点，当2x-3≥0时，不等式可分为3<2x-3<5，通过计算得到3<x<4;当2x-3<0时，不等式可分为3<-2x+3<5，通过计算得到-1<x<0，从而得到不等式的解集为:{x|3<x<4或-1<x<0}．

解法二:将不等式转化为不等式组进行求解．

将不等式3<|2x-3|<5转化为|2x-3|>3且|2x-3|<5，通过计算得到3<x<4或-1<x<0．从而得到不等式的解集为:{x|3<x<4或-1<x<0}．

通过这两种方法的应用可以看出，要想对学生一题多解能力作出培养，首先需要教师的引导，让学生在整体把握的基础上，做到对一题多解能力的培训，并在学习过程中多家训练．让学生能够从多个角度解答问题，进而找到多种途径及办法，完成对题目的解答，使学生的解题能力得到有效培养．

(三)对错题做到深入探究

数学知识的掌握与解题能力的培养，都不是一朝一夕就能够解决的问题，而是需要一个探索的过程，在这个过程中出现的错误与偏差都是正常的．对于学生出现的错误问题，教师应当引导他们进行深入探究，对错题作出分析，从而帮助学生在审视自己的同时，能力得到提升．并通过对错题原因的分析，可避免此后该类错误的重犯，加深学生对知识的理解，并把握规律，做到对以后该类问题的有效解答．

总结

新课改的不断退镜，使得素质教育在高数数学教学中占据了较为重要的位置．同时高中数学也得到越来越多人的重视．在高中数学教学中，最根本问题是完成对学生解题能力的培养，只有学生解题能力得到培养，学生才能正确看待与学习高中数学，进而使高中数学教学质量与效率得到有效提升．

参考文献

[1]卢燕英.谈数学课上如何提高学生的解题能力[J].数学学习与研究2014(09).