高中数学解题教学研究

高中数学解题教学研究（共11篇）

高中数学解题教学研究 篇1

数学是人类文明的结晶, 数学的结构、图形、布局和形式无不体现数学中美的因素.教师在问题解决过程中, 若能从应用数学审美的角度出发, 审视问题结构的和谐性, 追求问题解决方案的简单性、奇异性、新颖性, 挖掘命题结论的统一性, 带领学生进入数学美的王国, 陶冶情操, 这对于诱发学生的求知欲, 激发他们的学习兴趣, 提高学习效率, 培养创造性思维能力是不言而喻的.

一、审视数学美, 启迪问题解决的思路

美的观点一旦与数学问题的条件与结论的特征相结合, 人们就能凭借已有的知识和经验产生审美直觉, 从而确定解题的总体思路和入手方向.因此, 数学美感在解决数学问题的过程中能启迪思维, 引导人们探索解决数学问题的新思路.

如, 在新授定理“a, b∈R+, (当且仅当a=b时取“=”号) ”的应用时, 给出了如下的例题及变式:

例1已知x>0, 求的最小值.

变式1 x∈R, 函数有最小值吗?为什么?

变式2已知x>0, 求的最小值.

变式3函数的最小值为2吗?

由该例题及三个变式的解答, 使学生加深了对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握, 为定理的正确使用打下了较坚实的基础.

从命题的外在形式美的特征得到启示, 找到了美的解法, 这绝不是偶然的巧合, 而是在和谐美的指引下的必然结果.因此, 我们说, 问题解决过程中, 应从全方位、多层次、多角度审视数学美, 这为问题解决提供了一个重要途径.

二、挖掘数学美, 简化问题解决的捷径

数学中的数、式、形有着优美的结构.而这一美的结构往往隐蔽在问题之中, 这就需要我们充分挖掘隐含在问题中的“美”.我们如能有意识地引导学生从数学审美的角度, 充分挖掘问题中数量关系或空间形式的简单性、秩序性等, 加以简单化、秩序化, 就可以使解题者走许多捷径, 还可以发现具有创造性的解法.

例2已知:x, y, z∈R+, 且x+y+z=6, 求f (x, y, z) =xy2z3的最大值.

评析数学中的数、式、形有着优美的结构, 呈现出许多秩序美、对称美的形式.挖掘到本题中条件x+y+z=6, 对于x, y, z是均衡的, 亦即是对称的.又结论xy2z3是由字母次数依次递增, 存在着秩序美的形式.考虑到诸多方面的美, 利用不等式致使已知条件出现秩序美形式的结论, 由此, 将已知条件转化为具有秩序美的形式:

, 即f (x, y, z) =xy2z3≤108等号当且仅当即x=1, y=2, z=3时成立, 故f (x, y, z) 的最大值f (1, 2, 3) =108.

本题的解决挖掘了秩序美这一特征, 从而找到了简化问题的解决捷径.

三、创造数学美, 探索问题解决的途径

在解决问题时, 呈现在我们面前的往往是错综复杂的数量关系或繁杂的图形, 从其形式上难以发现其是否存在“美”的形式, 有时, 甚至无从下手.但是, 经过我们努力去发现, 构造, 运用其可能的对称性、和谐性, 往往可以找到解决问题的途径.也就是说, 可以利用问题形式的变换与化归.而变换与化归的依据在于各种形式问题在其本质上的和谐与统一.通过变换与化归, 创造其美的形式, 达到解决问题的目的.

例3证明三角形三内角的平分线的连乘积小于三边的连乘积.

如图, 如果记三角形的三边分别为a, b, c, 三边上的角平分线相应为ta, tb, tc, 那么要证的结论是tatbtc

在这个式子中, 无论是对ta, tb, tc来说, 还是对a, b, c来说都是对称的.要证的结论也是对称的.但一般的不可能有ta

同样可得.显然问题得到解决.

该问题的解决, 体现了从不对称到对称这一过程, 而这一数学美的创造过程, 为我们提供了问题解决的途径.

在解题教学中有意识地加强数学美育, 使学生对数学美的感知均有不同程度的提高, 学习热情也日益高涨.他们学习数学成了一种自觉行为, 对于课本中的思考题不要求做的, 大部分学生都能自觉地去钻研, 有时还能想出多种方法, 以美促知激发了学生的学习兴趣, 尝到了成功的喜悦, 同时提高了教育教学质量.

高中数学解题教学研究 篇2

一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函

数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于

将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应

关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。

3.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野

5、数形结合思想的论文 数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。

（1）、以“数”化“形”

由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件，将数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题。解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系。因此，对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。

（2）、以“形”变“数”

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂 的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

（3）、“形”“数”互变

“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。

高中数学数列试题解题技巧研究 篇3

【关键词】高中数学 数列试题 解题技巧

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）01-0164-01

在高中数学教学的过程中，数列试题的解题技巧一直都被受关注，不仅是高中数学教师谈论的重点，也是教师们研究的重要话题。高中生对数学数列知识存在欠缺，也就是对一些知识没有完全的领会，致使他们在解题的过程中遇到了困难，因此需要找出解题技巧，帮助他们解决相应的难题，进而促进学生更好地学习数学数列试题知识。

一、数列在高中数学中的重要地位

高中数学在教学的过程中，数列是一个独立的教学版块，并且对数列还分章节进行了非常详细的讲解，由此我们可以看出，数列在高中数学教学过程中占据着重要的地位。数列知识与其他数学知识也有着紧密的联系，一些较为综合的解题技巧与解题思路大多都是在数列开始进行计算，将数列当做知识背景，对高中生进行其他数学相关知识的考查，例如，不等式、函数以及方程等数学知识都与数列有着密不可分的关联，如果高中生进入大学之后，还会学习极限知识，同样的它也与数列有着关联，所以在高中时期，高中生学会数列知识，掌握它的试题解题技巧是非常重要的[1]。

二、高中数学数列试题解题技巧研究

1.对数列基本概念进行研究

在高中数学数列试题解题的过程中，有一些试题需要利用通项公式以及求和公式等直接进行运算。对于这种类型的数列试题一般并没有任何详细的解题技巧，需要高中生直接将掌握的公式带到具体的试题中解题。例如：己知等差数列{an}，Sn是前n项的和，并且n*属于N，如果a3=5，S10=20，求S6。通过所知条件，可以将等差数列中的求和公式以及通项公式相互结合，先计算出数列试题中的首相与公差，再根据知道的条件，将结果直接带入求和公式里面，就可以算出正确的结果。这种类型的数列试题就是考查高中生对数列基本概念的理解。因此，教师在教学的时候，需要注意对数列概念的讲解。

2.通项公式

在最近几年的数学高考题目中，对数列通项公式考察的试题相对较多，因此对数列求和是掌握的重点内容，数列求和的方法分为三种，分别是错位相减法、合并求和法、分组求和法。

错位相减法是推导求和常用的方法，这种解法常会直接运用到数列前n项和的求和试题中。错位相减法适用于等差数列或者是等比数列前n项求和的过程中，所以教师在讲授解题技巧时，应当慢慢的引导高中生，让他们掌握基本解题规律。

合并法求和。在数列试题进行考察的过程中，一般会存在一些比较特殊的数列，如果将它们的个别项单独组合在一起，能够找到它存在的特殊性，如果是面对这种类型的题目时，它的解题技巧是高中生先将数列试题里面可进行组合的项找出来，然后求得它们的结果，在进行整体的求和计算，这样就能够顺利的计算出正确结果。例如，a1=2，a2=7，an+2=an+1-an，求S1999。通过初步计算发现这个是试题中的数列不是等差数列，也不是等比数列，但是a6m+1=2、a6m+2=7一直到a6m+5=-7、a6m+6=-5，因此得出S1999=0，也就是a1999=a1999+0，得出a1999=2也就是a1999=2。

分组法求和。在数列试题进行考察的过程中，有一些数列它本质上不属于等差数列，也不属于等比数列的范围，如果是将它拆开，可以将其划分到不同的等差数列或者是等比数列范围内，这类数列求和时的解题技巧，可以使用分组法求和来进行运算。然后再将其拆分成简单的求和数列，进行分别求和能得出的结构合并之后，就是我们解题的正确结果。例如，已知数列{an}，n为正整数，通项公式是an=n+3^n，要求计算出该数列前n项的和Sn，通过初步计算，我们可以得出，这个数列不是等差数列，也不是等比数列，但是经过仔细观察后可以发现，n+3^n的前半部分是等差数列，后半部分则是等比数列，因此可以将其分开进行计算，得到结果后在进行相加得出正确结果[2]。

三、结束语

通过上述内容，我们可以看出，高中数学数列试题因为其特殊性，与其他的数学知识联系密切，再加之近几年以来，数列试题频频出现在数学高考的试题当中，更是让高中数学数列成为了教师讲课、教学研究的重点，而为了有效提升高中生的解题效率，教师应在教学的过程中，教会高中生一些解题技巧，是高中生面临这类试题时，能够快速的计算出正确结构，提升他们的数学成绩。

参考文献：

高中数学复习解题教学方法研究 篇4

一、教学生学会思考

我在本届高三第一轮复习时曾出过这样一个题:一个三角形纸片内有99个点, 连同三角形的顶点共102个点, 无三点在同一条直线上, 如果以这些点为三角形顶点, 把这三角形纸片剪成小三角形, 问这样的小三角形共有多少个?优秀生很快找到了点数变化的规律, 但部分普通生和困难生却一筹莫展, 为了探究这部分学生头脑中已有的数学认知结构, 我将题作了如下变换:已知等差数列{an}中, a3=1, a4=3, 求a102.学生很快解出a102=199, 这说明等差数列通项公式他们不存在任何问题, 我随即让他们回到原题, 但仍然解题失败, 那么他们的思维障碍究竟在哪里?于是我又将题作如下变换:一条线段上取n个点, 连同线段的两个端点共 (n+2) 个点, 记以其中任两点为端点的线段的条数为bn, 求bn.对此, 学生也很快得出bn=0.5 (n+1) (n+2) , 此时我提示:将原题条件“102个点”改为“n个点”, 学生忽然明白了.从此题解题过程中可以发现:学生的思维不能在“特殊”与“一般”之间转换, 或者说不能在“特殊”与“一般”之间建立一条强有力的通道.教师若能成为学生思维的引路人, 学生怎会不产生享受智慧的快乐呢?特别是在第二轮复习时要求更高, 教师的角色更应是学生思维发展的促进者, 是学生潜能的开发者, 是数学问题的研究者.

这里要特别强调的是:与学会数学思维同步的是学会数学运算.精确是数学的一个重要特点, 这决定了那些优美的数学结论往往是与复杂的数学运算结伴同行的“学会思考”与“学会运算”的关系可比喻为汽车两边的车轮不可偏废某一方.作为普通中学的学生更是要抓好这一点, 学生在做解析几何题时经常会遇到思路清楚但就是得不到数学结论的情况, 因此, 我常把“解题”比作“游泳”“骑自行车”, 我们知道不到水中就永远学不会游泳, 不到自行车上就永远学不会骑自行车, 光在旁边看甚至研究其理论都是徒劳的.数学大师欧拉一生勤于计算, 因此被称为历史上“最多产作家”, 直到他生命最后一刻仍在运算, 当他停止了运算也就停止了生命.我们常常说学生“眼高手低”, 就是说学生缺少数学运算这条“腿”, 因此, 在高三解题教学中我特别重视“落实”两字, 不然要真正提高解题能力就是一句空话.

二、深化解题反思是提高学生数学解题能力的有效途径

高三学生解题不少, 但不少学生解题能力提高缓慢, 尤其是当新问题情景出现时, 反映出的应变与迁移能力并不强, 究其原因:一方面部分教师的解题教学仅仅停留在表面层次上, 缺乏精辟分析和画龙点睛式的总结, 缺乏在方法上怎样进行解题回顾与反思的指导;另一方面, 多数学生解题追求数量的积累, 缺乏解题反思的习惯, 因而对解题过程的认识仍处于感性阶段, 也就是说解题量的积累没有促使质的转变.如何走出茫茫题海?解题反思犹如渡船, 把学生的思维从感性引向理性.反思的作用很多:第一, 反思解题错误, 领悟数学原理.对错误解法的反思不仅是为了找到改正的依据, 而且有着更深层的作用.其一, 它是正确思路得以产生的“母机”, 错误根源的暴露往往伴随着正确认识的产生.其二对各种可能思路的研究充分暴露了学生的思维过程, 在此过程中引导学生进行全方位、多角度反思, 可增强解题教学的针对性, 学生逐渐由“误”到“悟”, 领悟数学原理.第二, 反思一题多解, 领会数学思想.由于每位学生思维的角度、方式、水平等方面的差异, 因而学生的解答往往呈多样性, 这正是数学教学中丰实的“矿产资源”, 必须充分发掘利用, 并通过反思加以提炼, 以领悟数学思维的实质, 培养学生思维的发散性.第三, 反思多题一解, 领悟数学模型.一个数学问题, 从多个角度加以思考, 这是思维的发散性.同样, 多个数学问题从一个角度加以思考, 这就是思维的收敛性.在遇到问题的开始阶段, 由于解题尚处于探索阶段, 因而常呈发散性, 一旦通过分析比较, 确立了解题方案, 思维必定趋于收敛, 当一种思考方法在不同情景下多次奏效, 就会引起积极的强化作用.此时, 若能及时引导学生对多题进行反思, 从中感悟出数学模型的功能, 将会大大增强解题策略的选择与判断.第四, 反思解题策略, 领悟数学哲理.数学解题活动是一个由联想所学知识, 运用数学思想方法, 选择解题策略, 不断由低级向高级逐步抽象的复杂的心理过程, 因而解题反思的对象应逐渐由数学知识与数学方法这些相对具体的层面向数学观念、解题策略等更高层次发展, 使解题者能从更高的观念、更宽的视野、更理性的眼光去思考数学问题, 领悟数学哲理.

解题并非多多益善.解题后反思可以发掘题目的精髓, 看透问题的本质, 这是提高数学“悟性”, 培养“元认知”能力的最佳时机, 教学中, 只有抓住这一契机, 积极引导学生从题内走向题外, 进而达到以较小的解题量取得最佳的学习效果的理想境界, 真正让广大学生告别茫茫题海, 充分享受数学王国中的乐趣和情趣.

参考文献

[1]何双谊.从《怎样解题》谈例题教学[J].高中数学教与学, 2004 (12) .

高中数学解题教学研究 篇5

关键词：解题教学；讲与练；懂与会；一题多解；解题反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）05-075-2

如果说“问题”是数学的心脏，那么“解题”就是数学的灵魂。解题教学自然是数学教学中最重要的内容之一。教之道在于度，学之道在于悟。章建跃先生在《数学教育心理学》中指出“有效教学的精髓应是培养学生的数学悟性”，然而在平时的教学中，如何把握教之“度”，从而促进学之“悟”已然成为许多老师纠结的一项课题，本文就这一问题谈谈个人的一丝看法。

一、讲与练之“度”

讲与练是解题教学的双翼。毫无疑问，解题教学中教师需要做“慢镜头”式的示范和讲解，学生则需要在思维的参与下顺畅听懂，在及时的练习中加以模仿，在不断的模仿中逐渐理解，在理解的基础上熟练运用，在运用的过程中领悟本质。这就是我们常说的“精讲多练”的内涵。至于具体到一堂课，究竟讲多长时间、练多长时间，不好一概而论。一般而言，学生基础差、能力弱的，课堂上可能就要多讲一点，反之则可以少讲一点。同样的道理，困难的问题课堂上要多讲一点，容易的问题课堂上就少讲一点；知识方法形成阶段多讲一点，巩固阶段就少讲一点。讲的最低要求是学生能够“听懂”，衡量是否“听懂”的标准是会不会“模仿”，这也是“练”的前提条件。

讲的关键在于解剖、暴露解法形成的思维过程，而不只是充当一个“熟练的演绎者”呈现完整的解题过程。

波利亚在“怎样解题表”中给出了一个宏观解题程序：弄清问题、拟定计划、执行计划、检查答案。具体地，我们可以把解题过程分解为以下的一串问题：

①它是一个什么范畴的问题？要解决什么问题？即“目标”是什么？

②现有哪些材料（条件）？有没有“潜在”的、“隐含”的条件？从题目的叙述中获取“符号信息”，从题目的图形中获取“形象信息”等。

③有哪些工具？条件与结论之间有什么联系？从已经学过的相关概念、定理、公式、基本模式和解题经验中提取。

④还缺少（需要）什么？能否以现有的条件，在工具的助推下满足这个需求？

⑤在相关工具的作用下，从条件到结论，是否形成了一个和谐、缜密的逻辑结构？

⑥结论是否完备、纯粹？

上述过程的顺利实施既需要充分的知识储备、基本的经验积累，也需要丰富的联想、机智的策略。

例1 已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N，求AM·AN的值。

讲解：

Q1：这是一个什么问题？——解析几何中的“直线和圆”的位置关系。

Q2：解析几何的本质是什么？——借助坐标系，用代数的方法解决几何问题。

Q3：“直线和圆”的位置关系中最关键的量是什么？——圆心到直线的距离。

Q4：本题要解决什么问题？——起点相同、方向相反的两个向量的数量积。

Q5：求两个向量的数量积有哪些办法？——a·b=|a|·|b|·cos（符号运算）；若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2（坐标运算）；结合图形对向量a，b做适当的“拆分”后再行运算（图形运算）。

Q6：本题宜选择哪个办法？——注意到在平面直角坐标系中，A点的坐标已知，只要求出M，N两点的坐标，即可用坐标运算求AM·AN。

Q7：本题还有哪些条件？M，N两点的坐标是否可求？怎么求？——注意到N点是直线l，m的交点，而直线m的方程已知，只需有直线l的方程，即可通过解方程组求得N点坐标，又直线l过点A，故可以设直线l的斜率（关注斜率不存在的情况）。M点是直线l被椭圆截得的弦的中点，在有直线l方程的条件下，可以通过解方程组，结合韦达定理求出M点坐标。

Q8：是否可以顺利实施？——

讲解题，追求的是方法形成的过程顺理成章、自然流畅，学生感同身受、跃跃欲试；而不是显示老师的功力神奇，总有巧妙的方法横空出世，让学生心悦诚服、顶礼膜拜，然后再进行牵强附会的解释、一招一式的归类。讲解题，就是引导学生奔着目标有序前进。

二、懂与会之“悟”

“上课听起来全懂，自己做的时候不会”是数学学习中普遍存在的现象，困扰着很多学生和家长，甚至也困扰着部分教师。这其中可能有老师讲的原因，即所谓讲的不得法、不到位，但更重要的原因是“懂”和“会”根本就是学习过程中的两个相距遥远的阶段，一个是学习的起点，一个是学习的终点，其间隔着几乎全部的学习过程，这个过程就是“悟”。所谓“悟”一定不是老师讲了几道例题之后跟学生说“你们去悟吧”这么简单。“悟”是在听懂的基础之上，在练习中模仿、模仿中理解，理解后运用、运用中反思，这么一系列思维活动所产生的结果。学生的悟需要有对象、有素材，这就是老师的讲；学生的悟需要有载体、有行动，这就是练习中的模仿、尝试、思考；学生的悟需要有过程、有空间，这就是练习中的理解、运用、反思。教师讲的太少，学生悟的素材就单薄，悟的结果就难免片面、肤浅；教师讲的太多，学生悟的空间就被挤压，难免导致思维固化、流于模仿。

解题反思是悟的核心过程，是学生对知识方法吸收内化的一个环节，是学习活动的一个高级阶段。什么时候反思？反思什么？怎么反思？我想可以从以下几个方面指导学生进行解题反思。

①对解题结果的反思。解题结果是否回答了题目的设问？解题结果是否和实际问题相吻合？推导的过程中是否改变了变量的范围？逻辑上有没有漏洞？讨论的范围是否完备？有没有遗漏什么条件、限制？等等。对解题结果的反思能使学生的思维更加严谨，同时也是解决“会而不对、对而不全”这个老大难问题的有效办法。

②对解题过程的反思。题目涉及到的知识点有哪些？它们是怎么联系起来的？解答的切入点在哪？关键点在哪？警戒点（易错的地方）在哪？还能用什么方法解（一题多解）？有哪些题也是这样做的（多题一解）；条件可以变变吗？设问可以改改吗？我们不必要求学生对每一道题都做如此这般的大动作，但也绝不能每一道题都做完就丢。

“一题多解”对于促进学生沟通知识点之间的联系，对于培养学生思维的开阔、灵敏、深刻、创新，即提升学生的思维品质，对于激发学生的学习兴趣，对于充分发挥一道题的教学功能等方面确有其价值。解题教学中虽不必刻意追求“一题多解”，但也不能以“问题解决”为唯一目标，而应该让自然生动的各种解法竞相呈现。在上例中，Q8之后，可以继续：

Q9：上述解答中，求M，N两点坐标的过程运算量较大，特别是求M点的坐标。能否回避M点的坐标？——由Q5知道，用符号运算和图形运算都有可能。

Q10：如果选择符号运算，注意到AM和AN方向相反，只需要求出它们的模即可求得数量积。求|AN|仍需要N点的坐标，但求|AM|可以由“垂径定理”结合“勾股定理”实现——因为M是PQ的中点，所以|CM|即为C到直线l的距离，|CM|=|k-3|k2+1，

有|AC|=10，所以|AM|=10-（k-3）2k2+1=|3k+1|k2+1；而|AN|=5k2+1|1+3k|，

所以AM·AN=|AM|·|AN|·cosπ=-5。

Q11：如果选择图形运算，那么需要考虑向量AM能否“拆分”成坐标比较容易求的若干个向量的和（差）呢？——注意到CM⊥AM，不难想到将AM“拆分”成AC+CM（垂直关系是在研究向量数量积时，进行拆分的一个“节点”）。

其实例还有一条“幽僻”的路，甚至可以回避N点的坐标：连结CA并延长交直线m于B（见下图），则有|AB|=510，直线CA的方程：3x-y-3=0，可见CA⊥m，所以三角形AMC和三角形ABN相似，得：|AM|∶|AB|=|AC|∶|AN|，|AM|·|AN|=|AB|·|AC|=5，

所以，AM·AN=|AM|·|AN|·cosπ=-5。这个方法看似简洁明快、无限风光，但是，它来的实在太突兀、太玄妙（怎么想到连结CA、怎么想到CA⊥m、怎么想到……），没有模仿的可能、没有举一反三的可能、没有任何启发意义，这一类奇思妙想的解法，我一直认为仅供欣赏，所谓平平淡淡才是真。此外，这个方法的关键知识点是相似三角形，已经完全背离了解析几何的本质，失去了作为一道解析几何题的价值。“多解”还是“一解”，不是选题和讲题的关键，选题要看题目是能否体现概念的本质，体现重要的思想方法；讲题要让思维充分暴露、学生全程参与、过程自然流畅、解法水到渠成。

③对解题规律的反思。某一章节的问题、某一类型的问题，其求解方法往往有其规律性。

解题反思需要空间，课堂要舍得“留白”为课堂反思提供空间，课后不布置过多的作业为课后反思提供空间。

研究高中数学解题的思维策略分析 篇6

一、科学划分考题类型,明确考查的知识点

学生在学习高中数学的过程中,必须要具备良好的解题技巧,掌握科学的解题思路,运用各种思维策略来提高解题效率和质量. 教师必须要引导学生进行认真审题,让学生意识到,审题时并不只是简单地理解题目中的文字,而且要学会分析题目所属的类型. 高中数学教学过程中涉及的知识点多种多样,教师应引导学生进行科学的知识点划分,明确考题所要考查的知识点. 举个例子,针对函数相关问题, 教师可以让学生将其划分为多元函数、抽象函数以及三角函数等不同部分,实现对相关知识点的细化,提高高中数学的解题针对性和有效性. 数学考题容易发生变化,且题型繁多,相当一部分学生为了提高解题效率和质量,十分重视习题训练,不断提高练习量,以便更好地了解数学题目形式变化. 但是,一味采用题海战术并不能保证良好的解题效果. 教师在开展高中数学教学时,必须要给予学生科学的学习方法指导,促使学生养成良好的学习习惯,提高其学习效果. 函数在整个高中数学教学过程中占据重要地位,函数题目相对较抽象,且十分复杂,学生在解题过程中常常感到十分困难. 事实上,函数类题目具备一些特有的性质以及结构特征,借助抽象化的方法,可以将其概括成为一类考题. 针对此类题目,除了要针对函数具体由来进行分析外,学生还必须要学会应用相应的知识点来快速、有效解题.

举个例子,针对函数y = f( x + 1) ,如果其值域在[- 1, 1]范围内,对函数式f( 3x + 2) 具体值域进行解答. 第一步, 应针对该题目的具体类型进行明确,再确定其所要考查的知识点为函数值域问题. 学生通过认真审题可知,题目中包含的函数共计两个,其中一个是y = f( x + 1) ,该函数是已知的,其具体值域在[- 1,1]范围内,而题目中还包含第二个函数,即y = f( 3x + 2) ,本题需要计算的是y = f( 3x + 2) 的具体值域. 学生必须要针对考题的已知条件以及未知条件两者间存在的关系进行深入分析,保证考题相关问题能够实现与相关数学知识点的相互对应,进而得出以下结论: 抽象函数实际值域与其定义域以及对应法息息相关,以上两个函数的变量分别为x + 1和3x + 2,这两大变量拥有一样的取值范围,其对应法则也一致,所以,以上两大函数式在值域上保持一致,均在[- 1,1]范围内.

二、培养学生数学意识,提高其解题能力

三、加强对学生的解题反思指导

教师应该引导学生在解题之后进行反思,总结相关解题经验,提高自己的解题技巧,具体做法为: 首先,针对解题过程中的得失进行思考,了解高中数学解题过程中存在哪些障碍,学生应明白如何解决这些障碍,该通过什么样的解题思维进行解题. 其次,针对高中数学的解题模式进行思考,也就是分析自己在高中数学解题过程中应选择什么方法和手段进行解答,学生还应该思考自己选用的解题方式是否具备大范围应用的价值,并且设想题目条件发生变化时解题方法应做何种改变,是否存在相应的解题规律,寻求最佳解题方法,增强其解题能力. 最后,针对高中数学解题过程中的数学思想方法进行思考,分析自己在解题时能不能主动和熟练应用相关数学思想方法. 数学思想是对数学知识的一种抽象概括,具备一定的策略性特点,能够指导学生进行科学的问题解答. 教师在题目讲解时应鼓励学生学会提炼和归纳各种数学知识,应用相应的数学思想,提高解题效率和质量.

摘要：教师要想不断提高学生的高中数学解题能力,促使其掌握相关思维策略,就必须要加强对学生的解题指导.教师除了要引导学生认真进行审题,科学进行考题类型划分,明确题目所要考查的知识点外,还应该培养学生良好的数学意识,并对学生进行相应的解题反思指导.

关键词：高中数学,解题,思维策略

参考文献

[1]黄春华.技巧策略思维——高中数学解题的三重境界[J].数理化解题研究(高中版),2015,09:22-23.

高中数学变量代换解题方法的研究 篇7

一、将变量代换解题方法应用到高中数学中的意义

在高中数学教学中发现, 具有一定的难度的数学知识占据较大部分, 由于数学知识本身就具有较强的逻辑性, 很容易在学习中遇到学习障碍, 更会降低学生学习兴趣, 为解决此类问题, 高中数学在教师应打破常规教学模式, 应用新型教学方法, 如变量代换解题方法, 并将其运用到现实教学中。

在利用变量代换解题方法的过程中, 最重要的部分就是让学生掌握代换方法, 随着变量代换解题方法的运用, 不仅让复杂的解题思路变得简单化, 还有效降低了解题难度, 让学生可以顺利解决问题, 调动了学生学习数学知识的兴趣。但同时也要注意到一些高中数学知识内容还存在难度较高的题目, 学生自主解题能力较差, 因此, 教师在日常教学中应多应用变量代换解题方法, 引起学生的学兴趣[1]。在教学中发现, 利用变量代换解题方法解决相对复杂的不等式知识效果很好, 由此可见, 正确运用变量代换解题方法可以有效提升学生的解题速度。

二、不同变量代换解题方法在高中数学中的运用

1. 三角变量代换

对于三角变量代换解题方法来说, 多用于解决积分, 在现实生活中的运用也十分广泛, 它主要是利用了三角恒等知识来解题的[2]。利用三角变量代换就是用合适的三边代换或三角代换, 让代数问题变为三角函数问题, 这样既能简化证明, 还可以顺利将问题解决。

如已知a+b≤r (2a+b) , (a, b为任意数) , 求r的取值范围。

为解决该问题, 教师可以先与学生共同分析题目, 让学生根据现有条件并结合所学知识解题, 在学生自行解题以后, 教师再对其解题中存在的不足进行讲解。该题目的解题思路很清晰, 可以先让不等式两端分别除以b, 进而取得a/b+1≤r[2 (a/b) +1], 然后运用变量代换, 取得a/b= (1/2) tanz (0<z<90°) , 学生在看到该步的时候就会知道接下来该如何解题, 最后得知r≧3。这样就完成了解题。

2. 函数变量代换

函数应该是很多高中学生最不愿学习的内容, 其原因在于函数知识过于抽象, 不易理解, 这些都是影响解题难度的重要因素, 这样一来就使很多学生不了解应该怎样解题, 经常会增加不必要的解题步骤, 影响了学生解题速度与准确性。同时, 不少函数题目并不是单纯的仅有一种等式, 基本都是涵盖了多种等式知识, 这也是学生在学习数学知识中最常见的问题。为提升学生的函数解题速度, 教师就要发挥自身的引导作用, 让学生快速掌握解题技巧, 尤其是要注意变量代换解题方法的运用, 这样不仅可以让函数等式更为简化, 还可以有效降低解题难度, 让学生对函数知识学习产生兴趣。

3. 导数变量代换

导数也是高中学生重点学习内容之一, 通过对数学知识研究可以发现, 每种数学知识都不是独立存在的, 都与其他知识相关联, 具有一定的高效与统一性, 要解决好数学问题, 就要注意与各个知识的联系, 将所有知识综合在一起。对于导数知识学习来说, 最重要的就是认识到学习的意义所在, 不仅要认识到几何意义, 还要认识到物理知识。很多学生在学习这部分知识的过程中所了解到的基本都是表面知识, 很少设计深层次研究, 更无法全面深入的分析, 这样并不利于解题的顺利进行。针对这种情况, 教师在让学生运用导数变量代换解题方法的过程中国, 应注意以下几个问题:第一, 具有函数性质的导数;第二, 具有隐函数的导数;第三, 积分函数导数[3]。

通过以上研究得知, 变量代换解题方法是高中数学解题中一种较为有效的方法, 不仅可以有效提升学生的解题速度, 还能让学生对数学知识学习产生兴趣。本文研究了将变量代换解题方法运用到高中数学教学中的意义, 并提出了三种变量代换解题方式, 希望能为高中数学教师带来有效参考, 做好高中数学教学工作。

摘要：高中数学一直是学生学习遇到问题最多的部分, 由于高中数学是高考主要科目之一, 所以, 怎样做好高中数学教学就成为所有高中数学教师重要研究问题。在实际教学中发现, 很多学生都不能正确理解与学习函数知识, 更不了解解题方法, 针对这种情况, 不少高中数学教师将变量代换解题方法应用进来, 有效提升了学生快速解题能力。本文将从将变量代换解题方法应用到高中数学中的意义入手, 重点研究不同变量代换解题方法在高中数学中运用的方式。

关键词：高中数学,变量代换,解题方法

参考文献

[1]沈小芳.代换法在高中数学解题中的应用[J].考试周刊, 2015, 25:38-39.

[2]李玉莲.代换法在高中数学解题中的巧妙应用[J].数理化学习, 2015, 06:8.

高中数学解题教学研究 篇8

一、拓展学生的思维

1. 求过两直线交点的直线方程

( 1) 归纳梳理

1求过两条直线的交点的直线方程时, 一般是先通过解方程组, 得到交点坐标, 再结合其他条件, 求出直线方程.

2求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的直线方程时, 可利用直线系方程得到.

( 2) 典例精析

【例1】求经过两直线2x - 3y - 3 = 0和x + y +2 = 0的交点, 且与直线3x + y - 1 = 0平行的直线的方程.

解: 解方程组, 得

∴两直线的交点坐标为（ -3/5, 7/5）.

又∵所求直线与直线3x + y - 1 = 0平行,

∴所求直线的斜率k = - 3.

由直线的 点斜式方 程得

∴所求直线的方程为15x + 5y + 16 = 0.

4. 运用解析法证明平面几何问题

( 1) 归纳梳理

用解析法解决平面几何问题时, 关键是结合图形的性质、特征建立平面直角坐标系. 建立平面直角坐标系的原则有两个: 1要尽可能多地将已知点建在坐标轴上, 这样便于运算; 2如果条件中有互相垂直的两条直线, 那么要考虑将其建为坐标轴; 如果图形具有中心对称性, 那么可以考虑将图形中心建为原点; 如果具有轴对称性, 那么可以考虑将对称轴建立为坐标轴.

( 2) 典例精析

【例2】如图1所示, 已知△ABC是直角三角形, 斜边BC的中点为M, 建立适当的平面直角坐标系, 求证AM =1/2BC.

证明: 以Rt△ABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴, 建立如图1所示的平面直角坐标系.

设B、C两点的坐标分别为 ( b, 0) , ( 0, c) .

∵斜边BC的中心为M,

∴点M的坐标为 (0 + b) /2, (0 + c) /2) , 即 (b/2, c/2) .

由两点间 的距离公 式得

又

所以| AM | =1/2| BC | , 即AM =1/2BC.

二、注重学生能力迁移

“迁移是指一种学习对另一种学习的影响. ”按其效果可以分为正迁移 ( 一种学习对另一种学习的促进作用) 和负迁移 ( 一种学习对另一种学习的干扰作用) 两种类型, 我们所说的迁移一般都是指正迁移. 知识迁移能力是将所学知识应用到新的情境中, 解决新问题时所体现出的一种素质和能力, 包含对新情境的感知和处理能力、旧知识与新情境的链接能力、对新问题的认知和解决能力等层次. 形成知识的广泛迁移能力可以实现知识点之间的贯通理解和转换, 有利于学生认识事件的本质和规律, 提高解决问题的灵活性和有效性.

【例3】求过两直线l1: x = - 2与l2: 2x + y + 3 = 0的交点P, 且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.

分析: 先根据题意求出交点坐标, 再进行分类讨论;也可以利用直线系方程求解.

解法一: 由方程组, 解得, 所以交点P的坐标为 ( - 2, 1) .

根据题意知, 当截距不等于0时, 设所求直线l的方程为x/a+y/b= 1,

根据题意可得, 解得

所以所求直线l的方程为x/ (- 1) +y/ (- 1) = 1, 即x + y + 1= 0.

当截距均为0时, 设所求直线l的方程为y = kx ( k≠0) ,

把P ( - 2, 1) 代入y = kx, 解得k = -1/2.

所以所求直线l的方程为y = -1/2x, 即x + 2y = 0.

综上所述, 所求直线l的方程为x + y + 1 = 0或x +2y = 0.

解法二: 设所求直线的方程为x + 2 + λ ( 2x + y + 3) = 0 ( λ≠0) ,

整理得 ( 2λ + 1) x + λy + 3λ + 2 = 0.

当3λ + 2 = 0, 即λ = -2/3时,

所求直线l的方程为, 即 x + 2y = 0符合题意.

当3λ + 2≠0, 即λ≠ -2/3时,

所求直线l的方程满足, 解得λ =- 1,

所以所求直线l的方程为x + y + 1 = 0.

综上所述, 所求直线l的方程为x + 2y = 0或x + y +1 = 0.

三、加强变式训练

在新课程标准的指引下, 数学教学方法也在不断改进、创新. 数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里, 而是让学生对知识和技能初步理解与掌握后, 进一步的深化和熟练, 使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三. 应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段. 所谓“变式”, 就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化. 即教师可不断更换命题中的非本质特征; 变换问题中的条件或结论; 转换问题的内容和形式;配置实际应用的各种环境, 但应保留好对象中的本质因素, 从而使学生掌握数学对象的本质属性.

【例4】已知点A ( a, - 5) 与B ( 0, 10) 间的距离是17, 求a的值.

变式: 已知点A ( 1, 2) , B ( 3, 4) , C ( 5, 0) , 求证:△ABC是等腰三角形.

分析: 求出三角形的三边长, 比较三边长的大小即可.

证明: 因为

所以| AC| = | BC| .

又因为A, B, C三点不共线,

所以△ABC是等腰三角形.

高中数学解题教学研究 篇9

自从人教版的数学新课标教材在全国范围内广泛试用后, 数学思维的拓展越来越成为高中数学教育的重点.数学思维是传统数学研究方式的深化, 它蕴含了数学解题中的探索性思考方式, 由于新课标的出现, 数学思维在高中数学教育中也出现一定程度的更新.类比思维是高中数学教育中的一个重点, 它是建立在探究性数学研究的基础上的, 在数学教育中灌输给学生良好的类比思维方式, 可以有效引导学生去观察数学事理中的异同点, 有助于学生开展创造性研究, 积极发现问题, 并努力认识问题.通俗地讲, 类比思维就是运用一定的逻辑思维, 将两种事物进行比较, 寻找事物之间存在的异同点, 它可以使学生的思维得到拓展, 不断调动学生学习数学知识的积极性, 并提升学生的数学解题能力.

二、类比思维可以加强数学解题中对于新旧知识的对比

在高中数学题中, 类比形式的题型约占所有题型的1/3之上, 而有些题型虽然看似非类比式题型, 但实际上也可以通过类比思维进行解答, 而且运用类比思维的解题速度也可能会提高.运用类比思维解答高中数学题, 一个重要的优势在于它可以加强学生将新知识与旧知识进行联系, 这样便促进了数学教学内容的不断丰富和深化.在一堂内容丰富的数学课上, 学生的创造性思维就会被激发出来, 在不断巩固学生基础知识的基础上, 可以在学生脑海里构筑自己的知识结构框架.

下面以一则数学实例对类比思维的这种优点做具体解释, 数学实例的题材为数列.在数列题中, 等差数列和等比数列之间无论是定义还是通项公式都非常相似, 因此我们可以运用类比思维考查等差数列, 从而探究等比数列的性质.

例1假设数列{an}与{bn}都是无穷数列, 问题如下:

(1) 现设{an}与{bn}都是等比数列, 通过两个数列的某种运算得到新数列{an+bn}, {anbn}, 那么, 这两个新数列是否也都是等比数列?如果是, 分别求出它们的通项公式和前n项和的公式;如果不是, 请说明理由.

(2) 请类比 (1) , 并根据等差数列提出有关命题, 写出等差数列的前n项和的公式, 用含有首项和公差的形式表示.

分析 (1) 解答第一问, 我们需从两个数列的公比入手, 根据{an+bn}和{anbn}是否存在公比即可判定它们是否属于等比数列.在判定属于等比数列以后, 我们也必然知道它们的公比, 于是根据等比数列求和公式即可解得前n项和的公式.

(2) 首先讨论两个新数列的性质, 然后从等比数列的乘类比到等差数列的和, 讨论其公差是否为零, 从而求得等差数列的通项公式, 于是前n项和公式便迎刃而解.

解 (1) 设{an}和{bn}的公比分别为q1和q2, 又设cn=an+bn, 于是有cn2-cn+1cn-1= (a1q1n-1+b1q2n-1) 2-

当q1=q2时, 任对一个自然数n, 且n大于等于2, cn2=cn+1·cn-1恒成立, 因此有{an+bn}为等比数列, 且其公比即为q1;

当q1=q2=1时, 前n项和公式为Sn=n (a1+b1) ;

当q1=q2≠1时, 前n项和公式为Sn= (a1+b1) · (1-q1n) / (1-q1) .

但当q1不等于q2时, 任对一个自然数n, 且n大于等于2, 有cn2不等于cn+1cn-1, 因此{an+bn}不是等比数列.

又设dn=anbn, 任对一个自然数n∈N+, 有dn+1/dn=an+1bn+1/anbn=q1q2, 所以数列{anbn}为等比数列, 且公比为q1q2.

当q1q2=1时, 前n项和公式为Sn=n (a1b1) ;

当q1q2不等于1时, 前n项和公式为Sn=a1b1· (1-q1nq2n) / (1-q1q2)

(2) 观察 (1) 中{an+bn}、{anbn}的公比性质, 我们发现有乘积形式的数列{anbn}的公比为q1q2, 即原数列的公比之积, 而首项也是原数列首项之积;{an+bn}的首项为 (a1+b1) , 当存在公比时, 其公比恰好为原数列的公比.

设{an}和{bn}都是等差数列, 其公差分别为d1, d2, 于是推测:

Ⅰ.{an+bn}为等差数列, 且公差为d1+d2, 前n项和公式为Sn= (a1+b1) ·n+n (n-1) (d1+d2) /2.

当d1, d2至少存在一个为零时, {anbn}也为等差数列, 若d1=0, 则Sn=a1b1n+n (n-1) ·a1d2/2;若d2=0, 则1n11Sn=a1b1n+n (n-1) ·b1d1/2.

Ⅱ.当d1, d2都为零时, {anbn}不是等差数列.

点评例1主要考查了数列题的类比推理, 其中主要涉及了等比数列与等差数列之间的性质转换, 在类比推理的过程中, 主要涉及等比数列类推到等差数列时关于公比和首项之间的推理对应, 但总体而言, 该题属于基础性类比推理题.

三、类比推理思维可以促进数学知识的条理化

数学是一个不断积累逻辑思维的过程, 这要求学生将已学知识进行有条理地整合, 促进学生对数学知识的理解并不局限于量的增加, 而是质的提升.下面通过一则类比推理的例子, 说明类比推理思维在促进数学知识条理化中的重要意义.

例2如图所示, ABC-A1B1C1为一斜三棱柱, 点P为ABC-A1B1C1其中一条侧棱BB1上的任意一点, 过点P分别作垂线PM垂直于AA1, PN垂直于CC1, 垂足分别为M, N, 连接MN.

(1) 证明:MN垂直于CC1;

(2) 任给一个△DEF, 存在如下余弦公式:DE2=DF2+EF2-2·DF·EF·cos∠DFE.现将此公式拓展到空间图形, 类比平面三角形的余弦定理, 推测斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式, 并给出相应证明.

分析 (1) 在斜三棱柱中, 有CC1平行于BB1和AA1, 欲证MN垂直于CC1, 即CC1垂直于MN, 我们可从CC1垂直于MN所在平面PMN入手, 若CC1垂直平面PMN得证, 则必有该题结论成立.

(2) 该题的第二问主要考查平面中三角形的余弦定理在空间图形中的推广, 其中联系的线索为余弦定理.在空间立体几何中, 还考查了学生对二面角的熟悉程度和应用.这里的类比主要是从平面中的线类比到空间中的面, 两条线的交角类比到空间两个面所成二面角.利用第一问的结论, 对于余弦公式PM2=MN2+PN2-2·MN·PN·cos∠PNM, 两边同乘以CC12即可得到斜三棱柱三个侧面的面积, 于是得证.

解 (1) 证明:由条件PM垂直于AA1, PN垂直于CC1, 且PM, PN∈平面PMN, 可得CC1垂直于平面PMN.

又因为MN∈平面PMN, 所以CC1垂直于MN, 得证.

(2) 类比平面三角形的余弦公式, 推测斜三棱柱ABC-A1B1C1中的“余弦定理”为:

其中∠PNM为平面ABB1A1和平面BCC1B1所成的二面角 (由PN垂直CC1和MN垂直CC1即可得到) .

证明在△PMN中, 有余弦定理

因为PM垂直于AA1, PN垂直于CC1, CC1垂直于MN, 因此在式 (1) 两边同乘以CC12, 有

点评本题通过线和面积的转化以及线线垂直向面面垂直转化, 利用类比思维得到新的结论, 其中第一问是第二问的铺垫.本题旨在通过平面与空间的转变, 考查学生类比思维的应用能力, 促进学生对平面知识和空间几何知识的融会贯通.

四、结语

通过类比思维能力的训练, 可以促进学生在解题过程中加强新旧知识的对比、数学知识的梳理, 可以深化学生的数学思想和发现新问题的能力, 有助于学生开阔视野.在数学教学过程中, 要充分重视类比思维的应用, 培养学生的创新能力, 达到素质教育的要求.

参考文献

[1]方青云.类比思想在数学学习中的重要作用[J].理科教学探索, 2011 (11) .

高中数学解题教学研究 篇10

一、拓展学生的思维

1.求过两直线交点的直线方程

（1）归纳梳理

①求过两条直线的交点的直线方程时，一般是先通过解方程组，得到交点坐标，再结合其他条件，求出直线方程.

②求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的直线方程时，可利用直线系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行的直线的方程.

4.运用解析法证明平面几何问题

（1）归纳梳理

用解析法解决平面几何问题时，关键是结合图形的性质、特征建立平面直角坐标系.建立平面直角坐标系的原则有两个：①要尽可能多地将已知点建在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条直线，那么要考虑将其建为坐标轴；如果图形具有中心对称性，那么可以考虑将图形中心建为原点；如果具有轴对称性，那么可以考虑将对称轴建立为坐标轴.

（2）典例精析

【例2】 如图1所示，已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，求证AM=12BC.

证明：以Rt△ABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.

二、注重学生能力迁移

“迁移是指一种学习对另一种学习的影响.”按其效果可以分为正迁移（一种学习对另一种学习的促进作用）和负迁移（一种学习对另一种学习的干扰作用）两种类型，我们所说的迁移一般都是指正迁移.知识迁移能力是将所学知识应用到新的情境中，解决新问题时所体现出的一种素质和能力，包含对新情境的感知和处理能力、旧知识与新情境的链接能力、对新问题的认知和解决能力等层次.形成知识的广泛迁移能力可以实现知识点之间的贯通理解和转换，有利于学生认识事件的本质和规律，提高解决问题的灵活性和有效性.

【例3】 求过两直线l1：x=-2与l2：2x+y+3=0的交点P，且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.

分析：先根据题意求出交点坐标，再进行分类讨论；也可以利用直线系方程求解.

解法一：

由方程组x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交点P的坐标为（-2，1）.

根据题意知，当截距不等于0时，设所求直线l的方程为xa+yb=1，

根据题意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直线l的方程为x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

当截距均为0时，设所求直线l的方程为y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直线l的方程为y=-12x，即x+2y=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

设所求直线的方程为x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

当3λ+2=0，即λ=-23时，

所求直线l的方程为

-13x-23y=0，即x+2y=0符合题意.

当3λ+2≠0，即λ≠-23时，

所求直线l的方程满足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直线l的方程为x+y+1=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.

三、加强变式训练

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新.数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，而是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三.应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段.所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.

【例4】 已知点A（a，-5）与B（0，10）间的距离是17，求a的值.

变式：已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三边长，比较三边长的大小即可.

证明：因为

又因为A，B，C三点不共线，

所以△ABC是等腰三角形.

总之，在高中数学教学中，我们广大数学教师必须认真学习新课标，深入研究新教材，并根据自己学生的特点，注意做好以上几个方面的教学工作，就一定能够实现提高解题教学有效性的目标，从而有效提高学生的数学素养.

（责任编辑 钟伟芳）

解题教学是高中数学教学的中心工作，只有学生的解题效率提高了，学生的解题能力才能得到有效的提升，教学质量才能真正得到提高.笔者根据多年的教学实践经验，就如何提高高中数学解题教学的有效性谈一些粗浅的看法.

一、拓展学生的思维

1.求过两直线交点的直线方程

（1）归纳梳理

①求过两条直线的交点的直线方程时，一般是先通过解方程组，得到交点坐标，再结合其他条件，求出直线方程.

②求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的直线方程时，可利用直线系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行的直线的方程.

4.运用解析法证明平面几何问题

（1）归纳梳理

用解析法解决平面几何问题时，关键是结合图形的性质、特征建立平面直角坐标系.建立平面直角坐标系的原则有两个：①要尽可能多地将已知点建在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条直线，那么要考虑将其建为坐标轴；如果图形具有中心对称性，那么可以考虑将图形中心建为原点；如果具有轴对称性，那么可以考虑将对称轴建立为坐标轴.

（2）典例精析

【例2】 如图1所示，已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，求证AM=12BC.

证明：以Rt△ABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.

二、注重学生能力迁移

“迁移是指一种学习对另一种学习的影响.”按其效果可以分为正迁移（一种学习对另一种学习的促进作用）和负迁移（一种学习对另一种学习的干扰作用）两种类型，我们所说的迁移一般都是指正迁移.知识迁移能力是将所学知识应用到新的情境中，解决新问题时所体现出的一种素质和能力，包含对新情境的感知和处理能力、旧知识与新情境的链接能力、对新问题的认知和解决能力等层次.形成知识的广泛迁移能力可以实现知识点之间的贯通理解和转换，有利于学生认识事件的本质和规律，提高解决问题的灵活性和有效性.

【例3】 求过两直线l1：x=-2与l2：2x+y+3=0的交点P，且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.

分析：先根据题意求出交点坐标，再进行分类讨论；也可以利用直线系方程求解.

解法一：

由方程组x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交点P的坐标为（-2，1）.

根据题意知，当截距不等于0时，设所求直线l的方程为xa+yb=1，

根据题意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直线l的方程为x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

当截距均为0时，设所求直线l的方程为y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直线l的方程为y=-12x，即x+2y=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

设所求直线的方程为x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

当3λ+2=0，即λ=-23时，

所求直线l的方程为

-13x-23y=0，即x+2y=0符合题意.

当3λ+2≠0，即λ≠-23时，

所求直线l的方程满足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直线l的方程为x+y+1=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.

三、加强变式训练

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新.数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，而是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三.应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段.所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.

【例4】 已知点A（a，-5）与B（0，10）间的距离是17，求a的值.

变式：已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三边长，比较三边长的大小即可.

证明：因为

又因为A，B，C三点不共线，

所以△ABC是等腰三角形.

总之，在高中数学教学中，我们广大数学教师必须认真学习新课标，深入研究新教材，并根据自己学生的特点，注意做好以上几个方面的教学工作，就一定能够实现提高解题教学有效性的目标，从而有效提高学生的数学素养.

（责任编辑 钟伟芳）

解题教学是高中数学教学的中心工作，只有学生的解题效率提高了，学生的解题能力才能得到有效的提升，教学质量才能真正得到提高.笔者根据多年的教学实践经验，就如何提高高中数学解题教学的有效性谈一些粗浅的看法.

一、拓展学生的思维

1.求过两直线交点的直线方程

（1）归纳梳理

①求过两条直线的交点的直线方程时，一般是先通过解方程组，得到交点坐标，再结合其他条件，求出直线方程.

②求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的直线方程时，可利用直线系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行的直线的方程.

4.运用解析法证明平面几何问题

（1）归纳梳理

用解析法解决平面几何问题时，关键是结合图形的性质、特征建立平面直角坐标系.建立平面直角坐标系的原则有两个：①要尽可能多地将已知点建在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条直线，那么要考虑将其建为坐标轴；如果图形具有中心对称性，那么可以考虑将图形中心建为原点；如果具有轴对称性，那么可以考虑将对称轴建立为坐标轴.

（2）典例精析

【例2】 如图1所示，已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，求证AM=12BC.

证明：以Rt△ABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.

二、注重学生能力迁移

“迁移是指一种学习对另一种学习的影响.”按其效果可以分为正迁移（一种学习对另一种学习的促进作用）和负迁移（一种学习对另一种学习的干扰作用）两种类型，我们所说的迁移一般都是指正迁移.知识迁移能力是将所学知识应用到新的情境中，解决新问题时所体现出的一种素质和能力，包含对新情境的感知和处理能力、旧知识与新情境的链接能力、对新问题的认知和解决能力等层次.形成知识的广泛迁移能力可以实现知识点之间的贯通理解和转换，有利于学生认识事件的本质和规律，提高解决问题的灵活性和有效性.

【例3】 求过两直线l1：x=-2与l2：2x+y+3=0的交点P，且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.

分析：先根据题意求出交点坐标，再进行分类讨论；也可以利用直线系方程求解.

解法一：

由方程组x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交点P的坐标为（-2，1）.

根据题意知，当截距不等于0时，设所求直线l的方程为xa+yb=1，

根据题意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直线l的方程为x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

当截距均为0时，设所求直线l的方程为y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直线l的方程为y=-12x，即x+2y=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

设所求直线的方程为x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

当3λ+2=0，即λ=-23时，

所求直线l的方程为

-13x-23y=0，即x+2y=0符合题意.

当3λ+2≠0，即λ≠-23时，

所求直线l的方程满足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直线l的方程为x+y+1=0.

综上所述，所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.

三、加强变式训练

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新.数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，而是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三.应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段.所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.

【例4】 已知点A（a，-5）与B（0，10）间的距离是17，求a的值.

变式：已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三边长，比较三边长的大小即可.

证明：因为

又因为A，B，C三点不共线，

所以△ABC是等腰三角形.

总之，在高中数学教学中，我们广大数学教师必须认真学习新课标，深入研究新教材，并根据自己学生的特点，注意做好以上几个方面的教学工作，就一定能够实现提高解题教学有效性的目标，从而有效提高学生的数学素养.

高中数学解题教学研究 篇11

关键词：高中数学,函数单调性,解题方法

据有效数据显示,近年来高考针对数学科目的考察当中有关函数知识的内容正在逐年增加,这说明高中阶段函数知识的学习是非常重要的. 函数单调性的知识在整个函数考察内容当中占有非常重要的比例,考察的侧重点和题型多种多样,因此, 高中数学教师在进行函数知识的讲解过程中应注重帮助学生深入掌握函数单调性含义,才能够提高学生灵活应对各种题型的能力,同时还要在解题过程中综合运用多种方法进行讲解.

一、关于函数单调性教学思考

1.分析教材

高中知识对函数单调性的安排位于函数概念知识的介绍之后,它主要研究函数值在自变量不断发生变化的过程中所产生的变化,这一点上,它与函数的周期性及奇偶性具有一定的相似之处. 只有将函数单调性的知识进行扎实的掌握才能够更好的学习导数和不等式等知识. 函数单调性知识的学习有助于学生逻辑和抽象思维的培养.

高中教材在安排函数单调性知识的过程中,首先以一次和二次函数作为开端,通过将两者之间随着自变量x的变化导致的函数值y的变化来观察其规律,通过了解单调性在二次函数中的体现来推断出一般函数的单调性概念[1].

2.教学思路

作为一个抽象的概念,函数的单调性是一个非常形式化的含义,高中阶段进行函数单调性的教学,能够很好的培养学生数形结合的思维,同时对于学生养成类比和概括等解决问题的方法具有重要的意义. 通过运用图像的方法来进行教学,能够更好的帮助学生理解和记忆函数的单调性知识的由来和应用, 在理解知识表层意识的基础上更加深入的理解知识背后的本质内容,这种教学方法能够有效摆脱传统教学当中机械记忆的弊端.

在进行高中函数单调性教学的过程中,教师首先应该从学生观察到的具体现象来入手,进行引导和讲解. 首先建立相关情境,让学生自主画出随着自变量的变化,函数值进行变化产生的图像,并引导学生通过观察,自己总结出函数单调性的概念; 其次,当学生建立起了对于函数单调性知识的初步认知后,教师应该让学生开始重点体会函数单调性变化的整个过程,通过自变量值的变化所引起的函数值的变化过程都要由学生亲身参与进行总结,加深学生对于函数单调性含义的理解[2].

二、正确运用函数单调性概念

1.函数单调性的概念

f( x) 为假设函数,x为定义域,且当x∈S时该函数成立,设x1和x2是区间W中任意的两个自变量,且W∈S,如果x1小于x2,那么f( x1) 大于f( x2) ,则说明在区间W当中函数f( x) 为单调递减函数; 反之,如果f( x1) 小于f( x2) ,则说明在区间W当中函数f( x) 为单调递增函数. 在研究函数单调性的过程中,如果没有给出明确的单调区间,该函数是不存在说明意义的[3].

2.有效应用函数单调性概念进行解题

当a不等于零时,给出f( x) = a/x + b为假定函数,将该假定函数的单调区间进行判断并写出其单调性.

解答: 由题可知,x不等于零,因此假定函数f( x) 的定义域是负无穷到零与零到正无穷的并集.

当a > 0时,当函数f( x) 的自变量x1和x2在负无穷到零这一区间之内时,假设x1大于x2,那么我们可以得出f( x) = f( x1) - f( x2) = a/x1- a / x2= a( x2- x1) /x1x2,并且零小于x1x2,x1大于x2,因此可以得出f( x) = f( x1) - f( x2) 小于零,也就说明f ( x2) 大于f( x1) ,所以我们可以得出结论在负无穷到零这一区间之内假定函数f( x) 是单调递减的,同样的,在零到正无穷这一区间当中函数f( x) 是单调递减的. 同理a < 0.

三、运用函数单调性进行解题的方法

高中阶段对于函数单调性的教学中,主要研究了它的定义、 导数、复合函数和图像,并结合研究,给出了相关解题方法.

1.运用定义进行解题的方法

首先,将自变量x1和x2作为某一单调区间当中的两个任意数; 其次,将函数值f( x1) 和f( x2) 进行对比,确定两者之间的大小关系; 最后,在严格遵守函数单调性概念的前提下,将单调区间进行确定,得出结论[4].

2.导数知识在解决函数单调性问题过程中的应用

假设D为某设定的区间,在该区间当中,如果函数f( x) 是可导的,并且f '( x) 等于零,则说明函数f( x) 为常函数. 当f( x) 为增函数时,其导数f '( x) 大于零; 当f( x) 为减函数时,其导数f '( x) 小于零.

相同的,假设D为某设定的区间,在该区间当中,如果函数f( x) 是可导的,如果该函数在区间D当中是减函数,那么它的导数一定小于等于零; 如果该函数是增函数,那么它的导数一定大于等于零. 经过这一系列研究之后,我们在判断函数的单调性的过程中就可以简单的以该函数的导数与零之间的关系来进行判定了. 当求出一个函数的导数值之后再进行判断函数的单调性就会将复杂的问题变得简单化. 这一方法,适用于在进行含参函数和高次函数的单调性求值时使用,它能够有效的将复杂的问题进行简单化.

3.复合函数在解决函数单调性问题过程中的应用

在高中的函数知识当中,将函数y = f( t) 与函数t = g( x) 相结合,就能够得到函数y = f( g( x) ) ,这是一个由内层函数t = g ( x) 与外层函数y = f( t) 组合而成的复合函数. 在判断这样一个复合函数的单调性的过程中,我们可以根据内外层函数的单调性来确定,经过推理,当复合函数是递减函数的时候,则说明内外层函数的单调性是不一样的,与之相反的,如果复合函数是递增函数的时候,则说明内外层函数的单调性是一致的.

4.函数图像在解决函数单调性问题过程中的应用

函数图像是解决函数问题中最常用的方法,学生对函数的图像进行观察,能够得到更直接的感受,在解题过程中通过数形结合的方法能够使问题变得更加简单直观. 通过观察函数的图像,我们能够看到当自变量不断变大的时候,在这一区间当中该函数的函数值是不断增加的,那么说明该函数在该区间内单调递增,相反的,如果自变量不断增大的时候,在这一区间当中该函数的函数值是不断减小的,那么说明该函数在该区间内单调递减.

高中数学教师在进行函数单调性教学的过程中,不仅可以让学生掌握一般函数的单调性及其求取方法,还可以引导学生记住几个特殊函数的单调性和图像,例如,f( x) = x + 1 /x,f( x) = x - 1 / x等.

同时,在判断函数单调性的过程中还可以通过观察函数图像的奇偶性的方法来进行. 以原点为中心,关于原点对称的区间内该函数的单调性相同时则说明该函数是奇函数; 如果关于原点对称的区间内该函数的单调性相反,则说明该函数是偶函数.