高中数学的分类教学

2024-07-01

高中数学的分类教学（精选10篇）

高中数学的分类教学篇1

摘要：素质教育不仅培养学生的基础能力, 更注重提升学生对问题的观察、思考和分析能力。要想使学生能够更加有条理的阐述对问题的理解, 高中数学教师就应该教会学生分类的方法, 通过分类的思想来思考问题, 从而简化对问题的理解, 提高解决问题的效率。

关键词：高中数学,教学,分类思想,分类方法

“新课改”要求增强学生的创新意识, 培养出更多的创新型人才。而在高中数学教学中, 分类方法便是一种培养创新思维的重要方法, 因此培养学生的分类思想及教会学生分类方法, 显得尤为重要, 应该贯穿在整个高中的数学教学内容当中。

一、分类思想在高中数学教学中的重要性

培根在《习惯论》中说过:“思想决定行为, 行为决定习惯”。教给学生方法之前, 先要树立和培养他们的分类意识和思想。

在日常生活当中, 我们在有很多方面都用到了分类思想, 例如在洗衣服时应该把深、浅色的衣服分开;在摆放物品时应该把同一类物品放在一起……对于高中数学教学而言, 分类思想则是根据数学对象的本质属性呈现出的相同点和不同点, 把这些对象划分成为不同的种类的思想。

分类思想在数学中应用得非常广泛, 是一种解决数学问题的重要逻辑方法。通过使用分类思想, 能够把复杂的数学问题简单化;而通过分类的过程, 又能够提高学生思维的缜密性, 提高学生在解题过程中的条理性, 从而提高学生研究问题与解决问题的能力。

二、分类思维在高中数学教学中的培养

如果能把分类思想迁移到高中数学的教学当中, 能够非常有效的提高学生的解题效率。虽然很多数学教师都认识到讲授数学思想方法的重要性, 可是在实际的教学情况中, 很少有数学教师能够真正的在课堂中渗透数学思想方法, 而分类思想作为数学思想方法中最基础的一种, 高中数学教师在进行教学设计时, 就应该充分的把分类思想与教学内容想结合, 在教学当中不断的渗透分类思想。学生只有充分地掌握具体的分类方法, 才能够更好地利用分类思想提高解决问题的效率。比如在讲数的分类时, 随着所学知识的拓展, 数的分类就有所不同。最开始我们将数分成正数、负数与零, 在引进实数的概念之后, 又可分成有理数和无理数, 甚至进一步分成实数与虚数。通过这种分类方法来定义数, 就能够使学生更加明确数的分类, 从而更好的掌握分类。如此反复地渗透分类思想, 有助于培养学生的分类意识, 使学生在学习与积累当中, 掌握一些分类的原则, 从而提高学生分析、解决问题的能力。

为了将分类思想有效地融入到教学中, 高中数学教师就应该努力钻研教材, 对教材中体现分类思想的内容进行充分的强调, 明确的指出分类思想在简化数学问题上的功能, 从而不断的培养学生的分类意识, 更好的解决复杂的数学问题。

同时, 在高中数学教学当中合理的渗透分类的思想方法, 对于教学本身也有很多的便捷之处。通过数学教师对教材内容的分类, 能够使学生更加清晰、更加有条理的理解问题, 把握分类的方法, 从而提高教学效率, 使学生在潜移默化当中, 也逐渐形成分类的思想。

三、分类方法在高中数学教学中的运用

(一) 常用的分类方法

高中数学中有许多问题都是需要利用分类来解决的, 学生只有掌握了这些分类方法, 才能够更加巧妙地解决问题。

1.根据数学概念分类

在许多数学题中, 有一些数学概念是已经给出的, 学生在解答这种类型的题目时, 就需要按照概念分类的方式来进行划分。例如在解绝对值不等式时, 就可以利用绝对值的概念, 利用几何图形配合解决。

2.根据数学性质、法则分类。在解决某些数学题时, 需要使用到数学对象的具体性质或者一些特殊规定, 就能够更加便捷地解决问题。例如在研究函数的单调性问题时, 若是要判断函数的单调性, 通常使用方法的有定义法、导数法及初等函数的单调性结论等。若是要证明函数的单调性, 则只能用定义和导数来证明。

3.根据图形的基本特征和相互之间的关系分类。例如在对棱柱进行分类时, 就可以按照侧棱与底面垂直与否进行分类, 一般可以分成斜棱柱与直棱柱;而在划分直线与圆的位置关系时, 就可以根据直线和圆的交点个数进行分类, 可以分成直线与圆相离、相切和相交。

(二) 选用恰当的分类方法

在学生领悟了分类思想以后, 要想让学生更加自觉、有目的性地运用分类思维, 教师就需要搜集一些典型的分类问题, 让学生选用恰当的分类方法举一反三。

首先, 教师应该让学生充分的了解到分类思想使用的具体方面, 这样学生才能够更加有针对性的使用分类方法。例如, 在解决集合{a, b, c, d}的所有子集这一问题时, 教师就可以教会学生通过分类的方法, 把这个整体的集合划分成为不同的部分, 按照不同部分的性质再归为一类, 这样就能够非常轻松的求出子集。通过分类, 可以划分成五类, 即不含有任何元素、含有1个元素、含有2个元素、含有3个元素、含有4个元素几类。这样, 学生能够非常有条理、清晰的解决这类繁琐的问题。其次, 在学生初步具备分类思想以后, 也会出现一些问题:不能够准确的选择分类标准。由于针对同一个对象, 如果使用不同的分类标准, 所划分出来的类别也不相同, 而有些学生虽然掌握了分类思想, 但是在分类时却只会盲目的划分, 也不能够及时的解决问题。所以, 教师在日常的教学活动当中, 应该教会学生更多的分类技巧, 通过练习使学生更加熟练的选择具体的分类方法, 从而简化并解决问题。

总而言之, 数学教师不仅仅应该引导学生学会分类的思想, 还应该让学生学会具体的应用方法, 这样才能够提高学生解决问题的能力。同时, 高中数学教师应该选择更多的典型例题, 强化学生的分类思想, 使学生能够熟练的运用分类方法, 更快速的解决数学问题, 提高学生的学习效率。

参考文献

[1]姚辉娟.高中数学教学中思想方法的渗透[J].教育实践与研究 (B) , 2013, 07:57-59.

分类思想在高中数学教学中的运用篇2

关键词：高中数学；分类思想；运用

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）13-205-02

数学是一门基础性学科，与此同时更是一门极具挑战性的学科。虽然数学是我们从小学就开始接触的，但高中数学在这之前学的还是相差很多。高中之前学的数学为高中数学奠定了基础，而高中数学则是在那基础上的发展与进步。本文主要针对分类思想在高中数学教学中的运用作出相关的举例说明，希望通过本文的论述，使大家能够了解分类思想的定义、作用及方法等。通过分类思想，能够更好地帮助学生解决高中数学中的难点难题，有助于学生建立科学的数学思维

一、当前高中生对数学的认知

其实，一谈起数学，可能许多文科生都觉得会是一场噩梦，甚至有些理科生都很难理解。高中数学需要的是科学的思维方式及科学的解题方法。如果只是一个劲儿地“死解题”，就往往会陷入一个“死循环”，把自己困在了固定的思维方式中。因此，在高中数学中，学生需要的是明确清晰的思维方式，观察、比较、分析，最终能够清晰地阐明自己的思想和观点。高中数学教学中的分类思想相对来说应用比较广泛，并且也是比较实用的一种方式。分类思想，就是在我们解题的时候，通常会发现这一题包含了多种情况，这时候我们就需要围绕主体思想，将多种情况分类说明，分别研究。通过学会分类思想的学习方式，学生可以形成良好的逻辑思维，更好的解决实际问题。

学生在学习的过程中，是不可能一下子就能自己领会形成科学的思维方式的，这都需要教师的循序渐进的引导来帮助学生逐步形成。高中数学老师在教学过程中，应该有明确的分类思想的概念，在教学过程中一步一步向学生灌输分类思想的思维模式，让学生在平时的学习中深刻领会到分类思想的精髓及运用方法。那么到底分类思想在高中数学教学中是如何运用的呢？在运用过程中又应该注意些什么呢？

二、分类讨论的步骤

1、确认分类讨论的对象。要想进行分类讨论，首先就得明确分类讨论对象，构想分类的情况，只有这样，才能开始着手分类讨论。2、进行科学的分类。明确了分类讨论的对象后，就要对对象进行科学分类，把能想到的情况分类列出，分类研究。3、分类讨论。把各种情况科学分类以后，就应该进行分类讨论，针对不同情况，作出不同的解释。4、归纳总结。最后的步骤就是把这些情况及结果分类讨论出来后，进行总结归纳。

三、分类讨论应该注意的问题

分类讨论其实需要两个步骤。第一步，分类讨论应该坚持科学合理的标准，准确详细的叙述，尽量做到把所有情况都能想到。第二步，根据题目给出的条件及要求，分类讨论。在分类讨论的时候应该注意题目的条件限制。

分类思想在高中数学教学中，并不是能够一朝一夕形成的，教师在传授的过程中要不停地渗透，灌输，将分类思想逐渐传输给学生，让学生慢慢接触分类思想，在学习的过程中慢慢领会，慢慢学会运用分类思想，科学运用，帮助自己解决数学问题。因此，教师在传授分类思想的过程中，可以在解答数学系列的相关问题的时候，一步一步分类列出，使学生能够直观地看到分类出来的结果，更直观地接受知识；可以在做一些数学运算的时候也逐步推导，让学生在推导的过程中看到分类思想的优势及特点。比如第一，由定理、公式、性质的条件限制引起的分类讨论需要学生从这样的方面进行思考。有些数学定理、公式、性质是分情况给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式等。比如，设等比数列的公比为q，前n项和为Sn>0（n=1，2，3，…），求q的取值范围是________.

第二，由实际问题中引发的分类讨论则需要学生从实际生活出发，然后进行考虑。比如某服装厂有10名工人，其中4人仅会剪裁，3人仅会缝纫，另外3人所有的都会，现需选出6人完成一件工作，需要剪裁的、缝纫的各3人，问有多少种方案？

分析：从题目中可以得知6人完成一件工作，那么首先，因有6人会缝纫，故有6种选法，但此时不清楚选出的缝纫的人中有几个是都会的，这时候就需要分类讨论，分不同的情况。

解析.因由于这个是等比数列，而Sn>0，所以a1=S1>0，q≠0。

（1）.当q=1时，Sn=na1>0，满足题目要求；

（2）.当q≠1时，Sn=>0，即n>0（n=1，2，3，…），则有（1）或（2），由（1）得-1，所以q的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）。

第三，数学概念的分类讨论，比如求解y=x+1+x-2-2这个函数的值域。上述函数的零点值为-1和2，因此应该分别以这两个零点值进行分类，把定义域划分成x∈（-∞，-1）、[-1，2]、[2，+∞）三段进行讨论，结果可以求出：

①若x∈（-∞，-1），则函数为y=-2x-1。

②若x∈[-1，2]，则函数为y=1。

③若x∈[2，+∞），则函数y=2x-3。最后将以上三种情况的结论综合起来就可以得出这道题的答案：y=-2x-1（x<-1）1（-1≤x≤2）2x-3（x>0）。通过分段函数图象得出这个函数的值域应该是[1，+∞）。

其实，高中数学已经是学生学习的生涯中一道门槛，也是很多学生的弱点所在，但是同时，高中生的思维也已经相对成熟了很多，所以相对来说，高中生更能很快接收分类思想的精髓。要知道，分类思想不向有些数学知识一样，仅仅通过几节课就能很快接受，所以这就需要教师花费更多的时间来设计教学，在备课的时候有意识的把分类思想渗透在自己的教学中，在解题的时候慢慢让学生进一步学习到分类方法。

总而言之，分类讨论是一种极其重要的高中数学教学方法。要学好高中数学，掌握学习的方法是非常重要的，数学是一门很需要技巧的学科，盲目的解题，像无头苍蝇一样往往只会使自己陷入困境。而在学习的过程中运用分类思想的能够帮助学生学习知识，接受知识，有利于增强学生的自信心，调动学生学习的积极性，增加学生的学习兴趣。分类讨论的思想方法在数学问题的解答中应用十分广泛，同时更是占据了极其重要的地位。基本上大部分数学问题都可以用分类讨论的思想来解决，同时由于分类思想在高考中占据了很重要的份额，如果学生能够学会很好的运用分类思想，能够帮助学生在高考中解决难题，拿取更多的分数，在高考中取得更好的成绩。

参考文献：

[1] 韩文国.高中数学教学实施素质教育的思考[J].佳木斯教育学院学报，2010（3）.

[2] 冯利琼.类比思想在高中数学中的应用[J].科技信息，2009（3）.

高中数学的分类教学篇3

一、分类讨论的教学策略

1. 按需而分

分类讨论是按照数学对象的相同点和相异点, 将数学对象区分为不同种类的思想方法.它是根据研究数学对象、数学问题过程的需要进行分类讨论, 需要是根本.在教学过程中要挖掘教材中采用分类讨论解决问题的材料, 渗透、孕育分类讨论思想, 同时一定要让学生体验到分类讨论的必要性, 是解决问题的需要而讨论, 逐步内化为学生的思想意识.

2. 恰当确定分类的标准, 不重不漏

分类讨论解决问题, 首先根据问题的需要而分类讨论, 其次要确定划分的标准, 同一次分类要按统一标准进行.确定划分的标准: (1) 对事件进行整体分类, 从集合的意义讲, 分类要做到各类的并集等于全集, 以保证分类的不遗漏;任意两类的交集等于空集, 以保证分类的不重复. (2) 根据需要局部再分类, 即问题需要多级讨论, 要逐级分类, 每一局部问题都得到解决, 整个问题才得到解决.

3. 力争避免讨论

有时候分类讨论是解决问题的必需, 但有时候通过认真分析问题的本质意义, 采用代换的方法, 换一种思维方式解决问题, 常可避免繁杂的讨论, 给出简洁的解法.

二、高中数学中引起分类讨论的主要原因

高中数学教材中分类讨论的知识点大致有:绝对值概念的定义;根式的性质;一元二次方程根的判别式与根的情况;二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向;反比例函数xk的反比例系数k, 正比例函数的比例系数k, 一次函数kx+b的斜率k与图像位置及函数单调性关系;幂函数xn的幂指数n的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系;指数函数y=ax及其反函数y=logax中底数a, 当a>1及0

三、利用分类讨论思想解题时要考虑的原则

在解分类讨论的题时应充分考虑到四大原则:

1. 同一性原则:分类应按同一标准进行, 即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据.

2. 互斥性原则:

分类后的每个子项应当互不相容, 即做到各个子项相互排斥, 也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项, 又属于另一个子项.

3. 相称性原则:分类应当相称, 即划分后子项外延的总和 (并集) , 应当与母项的外延相等.

4. 层次性原则:

分类有一次分类和多次分类之分.一次分类是对被讨论对象只分类一次;多次分类是把分类后所得的子项作为母项, 再次进行分类, 直到满足需要为止.有些对象的分类情况比较复杂, 这时常采用“二分法”来分类, 就是按对象有无某些性质进行分类, 把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念, 一直分到不能再分为止.

四、分类讨论解题的一般步骤

确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围;正确选择分类标准, 合理分类;逐类、逐段分类讨论;归纳并作出结论.

例设k∈R, 问:方程 (8-k) x2+ (k-4) y2= (8-k) (k-4) 表示什么曲线?

分析第一步, 确定讨论对象及其范围.因为方程系数中含有参数k, 所以将k视为研究对象, k的取值范围是全体实数R.

第二步, 选择正确分类标准, 合理分类.当k≠4且k≠8时, 方程可变形为x2k-4+y28-k=1, (k-4) 与 (8-k) 的正负会引起曲线有不同的类型, 故“4”和“8”是一个分界点, 而k-4=8-k与k-4>0, 8-k>0, 但k-4≠8-k所表示的曲线也是不一样的, 因此, “6”也是一个分界点, 所以对k进行正确的分类应为: (-∞, 4) , 4, (4, 6) , 6, (6, 8) , 8, (8, +∞) .

第三步, 逐类、逐段分类讨论.

k=4时, 方程变为4x2=0, 即x=0表示直线.

k=8时, 方程变为4y2=0, 即y=0表示直线.

k≠4且k≠8时, 原方程化为

ⅰ.当k<4时, 表示双曲线.

ⅱ.当4

ⅲ.当k=6时, 表示圆.

ⅳ.当6

ⅴ.当k>8时, 表示双曲线.

第四步, 归纳并作出结论.

高中数学的分类教学篇4

【关键词】分类讨论思想高中数学应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）23-0122-01

随着新课程的推进，不但对老师的教学有了新的要求，同时对学生的学习能力也有了一定的要求，学生要在学习数学的过程中，具有观察、比较、分析、讨论、总结和灵活运用的能力，更要明确的知道自己的思想观点，进而能够不断提高自身的数学素养，才能够适应社会发展的需要。那么高中数学是初中数学的延伸，其内容更加抽象难懂，想要提高数学素养和数学学习能力，必须采取分类讨论思想的教学方式，这样才能有效的培养高中生的逻辑性、思考能力和综合的解题能力。

一、分类讨论思想的概念和作用

所谓分类讨论思想便是根据数学的本质特点，根据其中的相同和不同点，将数学题、概念和综合题等这些研究对象划分为不同的种类，这样的思想便是分类讨论思想。分类和比较像是形影不离的朋友，比较是分类的基础和前提条件，而分类便是比较的结果。分类讨论思想是贯穿于高中数学的整个学习阶段的，不同的处理问题方式便会得到不同的数学结果，学生在解答数学题的同时，老师要加强对周密性的训练，让学生能够正确的进行分类，不出现遗漏和重复的现象。在正确的分类之后，要分开对每个类型进行内容的研究。从而使在不同的情况下得出正确的问题。然而在分类思想的基础上，要加上积极的讨论，使学生们在同一个问题，运用不同的方式得出正确的答案。当然，想要运用好分类讨论思想，便要求学生有较强的学习能力，要求老师引导学生具有分类讨论思想的解题意识，进而能够在解题的过程中有意识的运用，逐渐的掌握分类讨论思想方法，帮助学生们克服以往数学学习中的盲目和不知所措，在此基础上不断克服困难，不断的提高自身的数学探索能力。

二、加强分类讨论思想的实践运用

学生对分类讨论思想的方法有运用的意识之后，便是要进行实践的训练，只有在不断的训练中才能够灵活的运用分类思想，进而更好的学习数学科目。比如在学习函数时这道题，已知函数f（x）=sin（π-ωx）·cos ωx+cos2ωx （ω>0）的最小正周期为π，求ω的值数。根据这道题，可以先让学生观察已知和未知条件，坚持科学合理的分类思想标准，准确详细的进行叙述，进而让学生们进行分类讨论，找到最便捷的解题方式，以清晰的逻辑和明确的思想进行分析，然后得到正确的答案。由已知条件f（x）=sin（π-ωx）·cos ωx+cos2ωx可以解出第一步sinωx cosωx+1/2，第二步1/2sin 2ωx+1/2cos 2ωx+1/2，最终得出1/2sin2ωx+1/2+1/2，然后又根据ω>0，可以得出ω=1。当然分类讨论思想并非是朝夕能够养成的，因此在课堂中不同类型的数学题，老师都需要引导学生进行不同的分类讨论思想，进而在不断的训练中，逐渐具有思考的缜密性、思维意识和逻辑能力之后，进行系统的掌握，这样才能够不断促进学生研究问题的能力，探索规律的意识与能力。

三、创设丰富的情景，提高学生自觉灵活应用的能力

学习的最终目的便是会用，分类讨论思想学习方法也不例外。老师在课内和课外都要善于创设情景，让学生身临其中，能够自觉灵活的应用，这便是学习的最高境界。数学的学习总归是比较枯燥的，适当的创设情景，不但可以激发学生学习数学的热情，更能在不知不觉中达到有效的记忆，在创设的情景中灵活运用分类讨论思想。另外老师在创设丰富情景的同时，一定要根据学生们的学习状态和特点进行创设，还要多结合生活，让学生在熟悉的情景中掌握所学方法。当然在所创设的情景数学题中，老师要引导学生不断学习和探索的精神，在不断的解题过程中应用这一思想，克服和化解之前解题过程中的随意性和不知所措性，灵活的做到分类适当化，有效的提高自身的数学综合解题的能力。

总结：

综上所述，分类讨论思想方法确实是适合高中生学习数学的有效方式，老师在教学中要不断的将这一思想方法渗透到课堂中，让学生潜移默化的掌握住分类讨论思想学习方法的精髓，进而不断拓展学生自身的思维能力和逻辑能力，达到一个良好的学习状态。

参考文献：

[1]金莹.例析分类讨论思想在概率交汇题中的运用[J].语数外学习（高考数学）.2012（01）

高中数学的分类教学篇5

一、函数方程中分类讨论问题

分类讨论思想是将一个问题细分成几个小问题, 然后对每个小问题进行讨论, 实现将问题化整为零, 从而简化解题过程。由于数学知识涉及范围广, 比如说曲线、不定式方程等都是多变的, 不同的情况有不同的答案, 同样数值的负数与正数带入方程所得到的结果会完全不一样, 探究问题可能出现的答案要将每个情况都考虑进去, 要能对数学问题深入分析, 深入讨论。而在此基础上要将相关理论理解透彻, 才能游刃有余地解题。

在解决函数方程中分类讨论问题时要充分结合函数图形, 从四个象限分别探讨, 不要漏掉原点等特殊情况, 注意按照题目要求, 推理得出x值能否为负数或者为小数, 进而根据x值限定范围得出y值的范围。分类讨论要结合具体的题目内容, 不能盲目地进行, 否则很难得出正确答案。

二、解析几何中分类讨论问题

所有需要进行分类讨论的问题首先要有一个确定的对象, 即要讨论的是那个因变量, 特别是在含参数的不等式中, 一般讨论的是参数的大小, 参数为正数或负数, 其解答方程的过程都是完全不同的。另外, 在进行解析几何等这类图形与方程结合的数学问题时, 往往以建立目标函数为突破口, 结合函数与点的关系, 设点为未知数, 代入进方程中, 进而解出表达式方程值。

以苏教版高中数学教学为例, 在解析几何中分类讨论的问题, 例如在x Oy平面上给定曲线y2=2x, 设点A (a, 0) , a为整数, 那么求出曲线上的点至点A点距离最小的函数表达式。在解决这类解析几何问题时, 首先要懂得曲线图形的基本含义, 以及各种曲线图形的表达式, 学生可以随机定点大致画出图形, 以便进行解题。在针对有平方的函数中, 要注意进行正负数讨论, 设在曲线图形上任意一点为M (x, y) , 那么点A至曲线上点的距离表达式为|MA|2= (x–a) 2+y2, 将y2等换成2x则有|MA|2= (x–a) 2+2x, 这个方程可简化成|MA|2=[x– (a–1) ]2+ (2a–1) , 由题意函数方程可知, x取值范围在正数范围中, 且大于等于零, 那么进行分类讨论时, 就可以a–1是否大于等于零做讨论。若a–1大于零, 则大括号内的方程表达式为x-a+1, x=0时, MA距离为a2, 对不同方面进行讨论, 从而得到完整的函数表达式, 另外在解题时注意找到分类的标准。找出题中隐藏的限定范围值。

三、排列组合中分类讨论问题

在排列组合中分类讨论问题上, 要了解组合的含义, 另外这类题目比较复杂, 对学生的思维能力考验较强, 需要很强的逻辑思维能力, 将组合的各种可能因素都要考虑到。且这类题目解答比较烦琐, 很容易引起学生厌烦, 但只要把握解决题目的规律就能确保结果正确。

以苏教版高中数学为例, 排列组合中分类探讨问题上, 例如四个男孩和三个女孩站成一排, 在男孩小明前面必须站有一个女孩, 且前面的女孩数量一定小于后面的男孩数量, 那么有几种排法?解排列问题时, 要注意何为一种排法, 像此类排列问题, 每个男孩女孩站位不同都是不同的排法。因此, 对每一个人排列都要进行分类探讨。在讨论时可以按照前面的女生个数进行讨论, 由题可知女生只有三个人, 且最多情况是小明前有两个女生。那么第一, 小明前面只有一个女生, 那么就有A3A5种方案;第二, 小明前面有两个女生, 那么就有A3A4, 第三, 小明前面有一个女生和一个男生, 那么就有C3C4A3A4, 将以上三类情况加起来, 得到最终结果。在做排列组合题时, 要充分结合题意, 将每种情况都考虑进行, 防止漏掉等情况。

高中数学的分类教学篇6

一、分类讨论思想的概念

在数学题中, 每个结论都有其成立的条件, 每一种数学方法也有它自己的适用范围.在数学问题中, 当问题所给出的对象不能够用统一的形式进行研究的时候, 就需要以一定的标准、按照不同情况对其进行分类研究, 转化成若干类小问题, 并得出每一类的结论, 最后综合每一类的结果, 找到整个问题的答案.这个过程就叫做分类讨论, 这种思想称为分类讨论思想.

二、哪些问题需要进行分类讨论

1.数学中有一些概念、性质、定理、公式、法则是分类的定义或分类讨论所给出的, 如实数的绝对值、直线与平面所成的角、完全平方式的算术根等, 这些数学的概念都是分类定义的, 在运用它们时需进行分类讨论.

例1 若undefined, 则x的取值范围是 ( ) .

undefined

分析我们知道, 对数函数的单调性是由x∈ (0, 1) 和x∈ (1, +∞) 这两种情况来确定的, 因而如果从对数函数单调性的角度来解答, 也应分两种情况:①即当x>1时, 函数为增;②当0

2.某些数学概念、数学公式有范围和条件限制, 当解题过程的变换需突破这些范围或限制条件时, 必然要分类讨论.研究含参数的方程、函数不等式等问题时, 由参数值的大小的变化而导致结果的变化, 也需要分类讨论, 如异面直线所成角、反正弦的主值、等比数列前n项和公式等.

例2 已知undefined, 试求undefined的最小值.

分析本题要注意隐含条件对结果的制约作用, 将整体化为部分, 经分类讨论解答后可得函数undefined的最小值是undefined

3.在推理过程中, 如果遇到数量大小的不确定, 图形位置或形状不确定时, 必须要用分类讨论来保持解题结果的完整性, 如几何图形中由于图形的变化或形状不确定, 使问题结果具有多种可能性.

例3 与空间不共面的四个点距离相等的平面共有 ( ) 个.

A.7 B.6 C.5 D.4

分析由空间四点不共面可知它们不可能都位于某一平面的同一侧, 满足条件的平面可以分为两类:①将已知的四点隔成一侧3个, 另一侧1个, 这样的平面有4个;②将已知的四点隔成每侧各有两个, 这样的平面有3个.综上可知答案为A.

4.在某些问题中, 运算的实施需要一定条件, 如除法中必须满足除数不为零, 开偶次方被开方式必须非负, 对数运算的真数必须大于零, 等等, 当需要实施这些运算时就要考虑用分类讨论.另外在某些问题中, 能满足已知条件的不止一种, 需要对所有的可能情况进行分类讨论.

例4 若A={x|x2+ (m+2) x+1=0, x∈R}, 且A∈R+=∅ (空集) , 则实数m的取值范围为 ( ) .

A.m≤-2 B.m≥-2

C.m>-4 D.m≥0

分析由A∈R+=∅, 可知方程x2+ (m+2) x+1=0没有正根, 可能情况有两种:①方程没有实根;②有实根但没有正根.分别从 (m+2) 2-4<0和 (m+2) 2-4≥0来解, 得出答案为C.

三、分类讨论的方法和步骤

1.确定分类的对象和标准

分类的对象是指使问题变幻不定的因素, 分类标准就是使变幻不定的问题转化为相对稳定的问题的分类界值.分类讨论的第一步是要确定分类的对象和分类的标准, 要确定分类讨论的对象和分类标准, 必须要首先明确引起讨论的原因是什么.

2.依据分类的原则进行科学分类

分类讨论思想实际上就是逻辑划分, 是将整体化为部分来解决问题的数学思想方法.用分类法来解题时, 必须保证分类时不重不漏, 并力求最简.设全域为集合A, 每一种分类都是集合A的子集, 那么把所有子集相并, 必然等于集合A;任意子集相交, 必然为空集.

3.逐类讨论、求解, 注意分类的层次性

当一次分类不能解决问题或讨论的对象为两个以上时, 必须进行多层次分类.每一层次的分类必须要有各自统一的分类标准.另外, 在同一次讨论中, 只能确定一个标准.

4.进行结论的归纳和总结, 得出最终答案

分类讨论结论的归纳有三种方式:并列归纳.并集归纳和交集归纳.并列归纳是将讨论的结果用并列复句的形式给出;并集归纳是对每一类归纳的结果求并集并作为最后的结论;交集归纳是对每一类归纳的结果求交集作为最后的结论.

例5 设M={x|x2+4x=0}, N={x|x2+2 (b+1) x+b2-1=0}, 若M∩N=N, 求b的值.

解由已知得, M={0, -4}.

∵M∩N=N,

∴N⊂M.

按集合N中所含元素的个数分类:

(Ⅰ) 若N=∅, 则4 (b+1) 2-4 (b2-1) <0, 解得b<-1.

(Ⅱ) 若集合N含有一个元素:

①当N={0}时, 则b2-1=0, 得b=±1.

当b=1时, N={x|x2+4x=0}={0, -4};

当b=-1时, N={x|x2=0}={0}.

∴b=-1.

②当N={-4}时, 则b2-8b+7=0, 解得b=1或b=7.

当b=1时, N={0, -4}, 此类无解;

当b=7时, N={x|x2+16x+48=0}={-12, -4}.

(Ⅲ) 若集合N中含有两个元素即N={0, -4}, 此时解得b=1.

综上, b≤-1或b=1.

四、如何在教学中渗透分类讨论思想

1.充分挖掘数学教材中的分类讨论思想

数学是思想方法和知识的结合, 两者缺一不可.教材中很多地方包含了分类讨论问题, 教师要充分挖掘蕴含在教材中的分类讨论思想, 并予以阐述、揭示和强调, 引起学生对这种数学思想的重视.

2.在解题指导中突出分类讨论思想方法的运用

教师是教学过程的主导, 教师有效地指引对学生数学思想和能力的形成具有不可估量的作用.“中学数学的首要任务就是加强解题训练”, 解题是培养学生数学能力和思维的重要手段.通过对题目的解决, 能够从中提炼出方法, 并上升到思想的高度.

3.在作业中培养学生自觉运用分类讨论思想的习惯

“实践出真知”, 作业是学生实践和巩固课堂知识的途径, 合理布置作业, 能够激发学生独立思考, 体会题目中蕴含的分类讨论思想, 获得成就感, 从而养成自觉运用分类讨论思想的习惯.

4.在教学过程中加强分类讨论思想的培养

分类讨论思想的形成和掌握不是一蹴而就的, 需要老师在教学过程中循序渐进地指导.在进行概念教学时, 老师应让学生了解概念、结论产生的背景及其运用, 理解其基本概念, 感悟其中蕴含的数学思想.例如在不等式的关系教学中, 有一题:“设a∈R, 解关于x的不等式a2x2+2ax-3<0.”可向学生说明, 在解此不等式时由于a∈R, 因此, 不能按一元二次不等式的解法进行求解, 因为当a=0时, 原不等式化为-3<0, 解集为R, 因此解题必须应分为a=0与a≠0这两种情况进行讨论.在求出a2x2+2ax-3<0的两根数值时也需对其进行讨论.

参考文献

[1]韩文国.高中数学教学实施素质教育的思考[J].佳木斯教育学院学报, 2010 (3) .

[2]江春梅.新课程下高中数学教学策略初探[J].中国校外教育, 2010 (2) .

高中数学的分类教学篇7

一、SOLO分类评价理论的基本概念

SOLO英文解释为Structure of the Observe Learning Outcome, 即可观察到的学习结果的结构。这一理论对于学生的学习水平的评价是一种很好的方式方法、同时也是比较科学、合理地以等级划分的评价方式。 SOLO评价理论的思想, 对于学生解决某一问题的过程中, 总有一个过程, 不可能一次性的全面理解问题、利用自身所学完美的解决问题。因此, 是一个循序渐进的而过程, 对于所学知识从初始认知慢慢达到完全理解、转换自身所学的过程, SOLO对这个认知过程分为了5 个不同的层次, 很好的体现出了学生对于所学知识所处于的认知阶段。

SOLO的五个层次为下列描述:

1.前结构层次。学生对问题并未真正的理解, 依据以前所学试图解决问题, 但被以往知识经验所误导, 其实就是学生根本不具有解决问题的能力, 问题没有得到合理回答。

2.单一结构层:学生对于问题有一定的理解, 但是理解单一, 只能关注到某个要点内容。

3.多元结构层。学生能关注到问题的多个特征, 能是不具备将这些问题特征有机结合, 不能融会贯通。

4.关联结构层。学生能把问题的多个特征及其相关信息有机结合, 利用自身所学解决问题。

5.抽象拓展结构层。学生能够高度理解问题, 运用自己的理解进行概括总结, 并能在具体问题上进行扩展延伸。

二、SOLO分类评价理论在高中数学教学中的具体应用

SOLO分类评价理论可以很好地把学生的对于教学内容的认知程度反馈给教师, 教师根据SOLO的评价理论对于学生的掌握程度做出合理的判断, 以便根据学生的掌握情况合理的调整、布置课堂规划。

(一) 利用SOLO评判学生思维水平

学生的学生水平、思维水平只有真正反馈给教师, 教师才能做到因材施教, 避免浪费时间、精力。

如:f (x) =2/5*sin (ωx-π/9) -/5cos (ωx-π/9) (ω>0)

求解: (1) f (5) 的值

(2) 若f (x) 的最小正周期为 π, f (b) =0 (b∈ (0, π/2) ) , 求解cos (b)

对于这一问题, 根据SOLO的评价标准, 学生的掌握水平可作以下分类:

1.前结构层次:学生并不能理解问题的含义, 更不会利用所学知识解答问题, 认知基础为0, 教师对于此阶段的学生应重点关注, 对于基础基础知识及时辅导。

2.单一结构层次:学生能够利用自身所学解决第一个问题, 利用公式解决f (5) 的值, 但是对于第二个问题却不知所云, 这部分学生对于问题知其然不知其所以然, 基础知识相对薄弱。

3.多元结构层次:这部分学生对于两个问题能有一定的认识, 很好地解决第一个问题, 对于第二个问题, 能把函数式先进行转换为f (x) =cosωx, 再根据这一转换公式进行换算, 解答第二个问题。

4.关联结构层次:对于两个问题有很好的认知, 能够及时发现解决第二个问题的思路。

5.抽象拓展结构层:这些学生面对题目中的两个问题能够轻松应对, 在日常练习中, 面对类似的题目, 也能够将函数解析式通过一定的变化转换为解答问题所需的形式, 对于这部分学生, 也能很好地将课堂教学转换为自身学识。

(二) SOLO评价理论指导下的变式教学

SOLO评价理论指导我们对学生的思维水平做出正确的评价, 从而改进数学教学。在数学课堂上如何更好地提高学生思维水平的层次是我们教师的追求目标, 变式教学是一种很好的教学方法。它可以让学生的思维从前结构水平或单一结构水平不断的发展, 经过多元结构水平, 达到关联水平和抽象拓展水平。

例如, 在高三总复习时, 我们可以利用变式法去讲解比较复杂的三角函数平移转换的问题。大部分学生对三角函数知识有一定的了解和掌握, 但知识点之间不能很好的联系起来, 针对这种情况我们可以试着设置一组题目引导学生逐步深入, 让他们的思维从低层次到高层次逐步发展建立起来。

( 三) SOLO评价理论指导下的试题评分设置

之前, 我们的评分标准是找得分点, 根据得分点去给学生打出评分, 这种评分标准是看不出学生的思维水平的, 然而得分低的学生思维水平就一定低吗? 得分高的学生思维水平就一定高吗? 毋庸置疑, 答案是否定的。因此, 我们要在试题评分时采取SOLO评价法, 根据学生在做题时呈现出来的思维水平进行打分。不拘泥于标准答案, 我们要深入此题目考察时的思维层次的划分。这样的评分方法才更科学、更有说服力, 更能为课堂教学效果的评价提供有利的依据。

总之, 在日常教学活动中, 教师应根据SOLO的评价理论, 不单单依靠学生考试成绩, 结合学生学些的思维层次进行评价, 如上述例题所示, 同时, 对于固定答案的习题, 教师也不应单纯依据学生答案给与评判, 还应深入了解学生对于该问题的认知水平, 合理的运用SOLO分类评价理论, 确保学生的学习水平、思维水平能够准确地反馈给教师, 而后根据实际情况合理调节、规划课堂内容, 才能真正体现素质教学的需求。

参考文献

高中数学中分类讨论思想的探究篇8

一、弄清分类讨论的原因

( 1) 由数学概念而引起的分类讨论: 如绝对值的定义, 不等式的定义, 二次函数的定义, 直线与平面所成的角, 直线的倾斜角, 两条异面直线所成的角等问题.

( 2) 由数学运算引起的分类讨论: 如导数的正负号, 除法运算中除数不为零, 偶次方根为非负数, 不等式两边同乘以一个正数、负数, 三角函数的定义域, 对数运算中真数与底数的要求等问题.

( 3) 由函数的性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论: 如函数的单调性、等比数列的前n项和公式等问题.

( 4) 由参数的变化而引起的分类讨论: 如含参数的方程、不等式, 含参数的函数的单调性、值域 ( 最值) 等问题.

( 5) 由图形不确定引起的分类讨论: 如角的终边所在的象限, 点、线、面的位置关系等问题.

( 6) 其他根据实际问题具体分析而引起的分类讨论: 如排列组合, 概率等实际问题.

二、确定分类讨论依据

实质上, 分类讨论是“化整为零, 各个击破, 再积零为整”的数学策略. 对于何时需要分类讨论, 则要视具体问题而定, 并无规定. 但可以在解题时不断地总结经验. 常见的情形略举以下几例:

1. 依据数学概念分类讨论

解析由已知并结合集合的概念, C中的元素分两类:①属于A元素; ②不属于A而属于B的元素. 并由含A中元素的个数1、2、3, 而将取法分三种.

所以满足集合C的个数有C110·C62+ C210·C61+ C310·C06=540.

点评本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题, 正确地解题的前提是合理科学的分类, 达到分类完整及每类互斥的要求, 还有一个关键是要确定C中元素如何取法.

2. 依据数学运算分类讨论

例2 已知a∈R, 讨论函数f ( x) = ex ( x2+ ax + a + 1 ) 的极值点的个数.

①当 Δ > 0, 即a < 0 或a > 4 时, 方程x2+ ( a + 2 ) x + ( 2a + 1) = 0 有两个不同的实根x1, x2, 不妨设x1< x2.

于是f' ( x) = ex ( x - x1) ( x - x2) , 从而有下表:

即此时f ( x) 有两个极值点.

②当 Δ = 0, 即a = 0 或a = 4 时, 方程x2+ ( a + 2 ) x + ( 2a + 1) = 0 有两个相同的实根x1= x2.

于是f' ( x) = ex ( x - x1) 2,

故当x < x1时, f' ( x) > 0; 当x > x1时, f' ( x) > 0.

因此f (x) 无极值点.

③当 Δ < 0, 即0 < a < 4 时, x2+ ( a + 2) x + ( 2a + 1) > 0恒成立,

故f ( x) 为增函数, 此时f ( x) 无极值点.

综上所述: 当a < 0 或a > 4 时, f ( x) 有两个极值点; 当0≤a≤4 时, f ( x) 无极值点.

点评本题分类有两层, 先依据方程的根的情况进行分类讨论, 然后分区间讨论f' ( x) 的符号, 来确定f ( x) 取极值的情况.

3. 依据数学中的定理、公式和性质分类讨论

例3 设等比数列{ an} 的公比为q, 前n项和Sn> 0 ( n = 1, 2, 3, …) .

( 1) 求q的取值范围;

解析 ( 1) 由{ an} 是等比数列且Sn> 0, 可得a1= S1>0, q≠0.

当q = 1 时, Sn= na1> 0;

解①式得q > 1,

解②式, 由于n可为奇数, 可为偶数, 得- 1 < q < 1.

综上所述:q的取值范围是 (-1, 0) ∪ (0, +∞) .

又∵ Sn> 0, 且- 1 < q < 0 或q > 0.

点评本题涉及等比数列前n项和公式的合理选取, 要注意对公比q的两种情况①q = 1, ②q≠1 讨论.

4. 依据题目中字母的取值范围分类讨论

例4 设函数f ( x) = ax2- 2x + 2, 对于满足1 < x < 4 的一切x值都有f ( x) > 0, 求实数a的取值范围.

解析本题应先对二次项系数a分a > 0, a < 0, a = 0三种情况讨论, 再在a > 0 时将对称轴相对于闭区间的位置关系分: 在闭区间左边、右边、中间三种情况讨论.

①当a = 0 时, f ( x) = - 2x + 2, f ( 1) = 0, f ( 4) = - 6, ∴不合题意.

综上所述: 实数a的取值范围是a >1/2.

点评含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题, 要先对开口方向讨论, 再对对称轴相对于闭区间的位置关系进行分类讨论.

5. 依据图形位置或性质变动分类讨论

例5 已知矩形ABCD中, AB = 1, BC = a ( a > 0) , PA⊥平面ABCD, 问BC边上是否存在点Q, 使得PQ⊥QD并说明理由.

解析由于矩形是变动的, 在BC边上是否存在Q使PQ⊥QD与a的取值有关, 因此需分类讨论. 建立空间直角坐标系如图所示, 设Q ( 1, y, 0) , P ( 0, 0, c) , D ( 0, a, 0) , 则

整理, 得y2- ay + 1 = 0, 判别式 Δ = a2- 4, 且a > 0.

①当a2- 4 < 0, 即0 < a < 2 时, BC边上不存在点Q满足PQ⊥QD;

②当a2- 4 = 0, 即a = 2 时, BC边上有且只有一点满足PQ⊥QD, 此时y = 1, 即Q为BC边的中点;

点评当已知条件不能确定图形的位置时, 在求解或证明过程中, 则需根据可能出现的图形位置进行分类. 此类问题在立体几何和解析几何中较为常见.

三、把握分类讨论应遵循的原则和步骤

1. 原则: 分类的对象是确定的, 标准是统一的, 其中最重要的一条是“不漏不重”.

2. 基本步骤: ( 1) 分类转化, 结合已知所涉及的知识点, 找到合理的分类标准; ( 2) 依次求解, 在每一类所满足的条件下, 逐类求解; ( 3) 汇总作答, 汇总分类结果, 得出结论.

四、分类讨论应注意的问题

在运用分类讨论解题时, 我们要明确分类的原因是什么? 对象是什么? 分几个类别? 不仅要掌握分类的原则, 而且要把握分类的时机, 重视分类的合理性与完整性.

高中数学的分类教学篇9

我国关于数学思想方法的提法最早出现是在上世纪70 年代，数学思想方法的重要性基本上是由低级到高级过程的逐步加以体现，我国早期关于数学思想方法的研究还是相对较少，绝大部分的研究是从二十一世纪才开始的，虽然这几年涌现了一些新的研究成果，研究的层次也在不断深入，然而，数学思想方法的实践和探索还处在一个崭新的阶段;对分类思想方法的研究相对比较薄弱，还没有形成较为成熟的研究模式或理论体系，分类讨论思想作为数学思想中的一种重要的思想方法，在高考中占有重要的比例。从近几年高考学生的答题情况来看，有关分类讨论的题得分率很低，学生出错往往是因为不知道何时、为何分类，在分类过程中存在重复与遗漏现象，通过研究分析相关文献资料，我发现关于数学分类讨论的思想方法的相关论文大多数都是结合例子的形式出现，因此，本文将在前人研究的基础上，进一步从分类讨论思想在集合、解不等式、函数、数列、排列组合与概率、圆锥曲线、实际问题方面浅谈自己对分类讨论思想的理解和在解题中的应用。由于分类讨论是具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，有关分类讨论的题目具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易，有中，也有难，题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域，因此探讨分类讨论思想在高中数学解题中的应用是具有实际意义的.

一、分类讨论思想概述

1、简述分类讨论思想

在解题时，我们常常遇到这样的一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题可能包含了多种情况，这就必须在条件所给的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这就是分类讨论的思想方法.分类思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，这里集中体现的是由大划小，由整体划为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合-分-合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想。

2、分类讨论的标准

分类也叫划分，是根据对象的相同和差异点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法，数学中的分类，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的差异点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。

一般地，在集合A上讨论某一数学问题时，可根据某个标准P，把A划分为子类，这时，在上实施对问题的讨论等价于在A上实施对问题的讨论，把P就叫做分类讨论的标准。

例如，对方程及来说，判断方程实根的情况其分类讨论的标准是还是还是，这时我们可以简单的说按分类。

又如，讨论函数的单调性，其分类讨论标准是还是，可以理解为按分类。

又如的值，其分类讨论标准可确定为是奇数还是偶数，并可简单的认为按分类。

3、分类讨论的原则

（1）同一性原则

分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据.可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集I，是I的子集并以此分类，且，则称这种分类（）符合同一性原则。

（2）互斥性原则

分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项.即对于研究对象I，是I的子集，且作为分类的标准，若，则称这种分类符合互斥性原则.

（3）相称性原则

分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等.

（4）层次性原则

分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次;多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止.

二、分类讨论思想在高中数学解题中的应用

1、分类讨论思想在集合中的应用

在集合运算中常常会遇到结合元素与集合，集合与集合之间的关系来分类讨论，尤其是对一些含参数的集合问题，常需要我们进行分类讨论才能求解，在高考中多以选择题的形式出现，因此要注意细心分类，避免出现遗漏，才能得出正确的结果.

例已知集合M=集合，集合

N=，若，那么的值为（）.

A.1 B.-1 C.1 D.0、1或-1

解：由已知条件，则有N=或N两种情况.

N=时，方程无解，此时=0.

当N时，此时，则有，即

若，则;若，则.

综上所述，故选择答案D.

例2 设，其中，如果，求实数的取值范围.

解：，因为.

（1） .

（2）.

即.此时方程化为.

即.所以满足条件.

（3）由韦达定理知

，得 .

综上所述，实数的取值范围为.

2、分类讨论思想在函数中的应用

在函数中涉及的分类讨论思想问题，主要有指数函数、对数函数的需要按照底数和分别进行讨论，二次函数的最值问题、分段函数的求值以及最值问题等有时候都需要用分类讨论的思想才能够求解，下面举例说明.

例 .

（1）求的定义域、值域.

（2）证明在定义域上是减函数.

分析：函数定义域即是个不等式的解集，而这个解集和的单调性都依赖于的单调性，所以顺理成章的要对和这两种情况进行分类讨论.

解：（1）由，得，当时，得，

当时，得.

又因为，故，于是当时.

当时，.

综上所述，当时，函数的定义域、值域都是;

当时，函数的定义域、值域都是.

（2）当时，任设，则，于是，

从而，即

当时，任设，则，

于是，从而，即

综上所述，无论还是，在其定义域内都是减函数.

例4 已知关于的函数的图像与轴总有交点，求的取值范围.

解：（1）当，即时，函数为一次函数，图像与轴有一个交点;（2）当时，此时函数为二次函数，，解得，，所以，当且时，函数图像与轴有交点.综上（1）（2）所述，当时，图像与轴总有交点.

3、分类讨论思想在解不等式中的应用

（1）涉及运算要求的分类讨论

我们在解题过程中，往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的，如解不等式当两边同时乘（除）以一个代数式时，要考虑代数式的值是否为负;解无理不等式时，去掉根号要考虑两边是否都大于等等.

例5 解不等式.

解：原不等式等价于

，或;

解得，或 .

所以原不等式解集为：.

（2）含参数不等式的分类讨论

在解含参数的不等式时，主要要搞清楚哪个是变量和哪个是参数，然后观察参数，对参数进行分类讨论，最后综合得出结果，下面举例说明.

例6 解关于的不等式.

分析原不等式是关于的一元二次不等式，可化为

由于与无法确定，此不等式无法解下去，因此对进行讨论，讨论的着眼点应该在与的大小上.

解： ⑴ 当时，，不等式的解集为

;

⑵ 当时，，不等式解集为

;

⑶ 当时，，不等式解集为

;

⑷ 当或时，，不等式解集为

（3）含绝对值不等式的分类讨论

在解绝对值不等式的时，要充分利用绝对值的含义，关键在于如何去掉绝对值的符号，这就需要进行分类讨论，去掉绝对值时取正还是取负，这也就是分类讨论思想在含绝对值不等式中的分类讨论.

例7 解不等式.

分析：解这个不等式的关键在于确定的符号，由于的不同取值，可能为正，可能为负数，也可能为零，所以这个时候要分类讨论，常运用零点分类讨论.

解：令，得;令，得;

所以在实数集内应以为分类标准，分成三个区间来讨论：

（1）当时，原不等式可化为，解得;

（2）当时，原不等式可化为，解得（舍去）;

（3）当时，原不等式可化为，解得;

综上所述，原不等式的解集合为.

4、分类讨论思想在数列中的应用

我们在解答数列问题时常常会出现一些不确定的因素，主要有三个问题的分类讨论，即对公差d、公比q、项数n的讨论是非常重要而且是显而常见的.但是又是容易被忽视从而导致解答过程不全面，因此我们必须对其对象进行分类讨论，才能得出合理的、正确的、完整的解答，比如等比数列的公比q是否为1;数列的项的个数为偶数还是奇数等等，下面以公差d和公比q举例进行说明.

例8 已知等差数列首项，它的前n项和为，求的值.

分析：由题意知是等差数列，，但是不知道公差d，所以关键就是找出d，并对d进行分类讨论.

解：在等差数列中，设公差为d.

当时，，.

==1

当时，

所以=

综上所述

例9 设等比数列的公比为q，前n项和

（1）求q的取值范围;

（2）设记的前项和为，试比较和的大小.

解：（1）因为是等差数列，由可得

首先对分类，分为和讨论;

当时，，

当时，

上式等价于不等式组：①

或 ②

解①式得解②得，对要分为奇数和偶数研究，由于可为奇数、可为偶数，得在把上述的分类讨论结果进行整合，整合时要注意等比数列的公比

综上所诉，的取值范围是

（2）由得

于是

下面的讨论中，要结合已知条件和（1）的结果进行分类.

即注意于是

5、分类讨论思想在排列组合与概率中的应用

排列组合是高中学习概率的基础，是高中数学中一段独特而重要的内容，在高考中占有重要的比例，也是每年高考的必考内容，在高考中排列组合主要是以选择题的形式出现，但是多数情况下是把概率和排列组合的知识融合起来在一起考，所以也有一定的难度，以下结合例子说明.

（1）在排列组合中的应用

例10 设集合I={1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子集A和B，

要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法

共有（）.

A.50种 B.49种 C.48种 D.47种

解：由题意得这是个计数问题，关键在于对题目条件的思考，（1）是A、B是非空子集;（2）是B中最小的数大于A中最大的数，怎样实现这两个条件呢！最好的方法就是应用分类讨论，从条件（2）中的“B中最小数入手”，显然有四种情形：

①B中最小数为2，此时A仅有1种选法，即A={1}，而B可以有8种选法，即3，4，5三个元素可以在B中，也可以不在B中.

② B中最小数为3，此时A有3种选法，即A={1}，{2}，{1，2}，而B可以有4种选法，即4，5两个元素可以在B中，也可以不在中.

③ B中最小数为4，此时A有7种选法，即A={1，2，3}的非空子集，而B有2种选法，即5可以在B中，也可以不在B中.

④B中最小数为5，此时A有15种选法，即A={1，2，3，4}的非空子集，而B仅有1种选法，即5在B中.

综上所述，不同的选择方法共有种，故答案选B.

（2）在概率与导数交汇题中的应用

例11 已知一组抛物线，其中为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（）.

A. B. C. D.

解析;这一组抛物线共条，从中任意抽取两条，共有种不同的方法。它们在与直线交点处的切线的斜率若，有两种情形，，从中取出两条，有种取法;若，有三种情形，若

有四种情形，或从中取出两条，有种取法;若，有三种情形，或或从中取出两条，有种取法;若有两种情形，从中取出两条，有种取法，由分类计数原理可知任取两条切线平行的情形共，故所求概率为，因此选择B.

（3）在概率与立体几何交汇题中的应用

例12 由正方体的8个顶点中的2个所确定的所有的直线中任取2条，这2条直线是异面直线的概率是（）.

A. B. C. D.

解析：8个顶点中的2个所确定的直线共种，从中任取2条有条，，而这2条是异面直线可以分三类讨论：（1）每条棱所组成的异面直线有12条，12条棱共条;（2）每条面对角线组成的异面直线有13条，12条面对角线1213条;（3）每条体对角线组成的异面直线有12条，4条体对角线共12×4条。除去重复的共有，所以这2条直线是异面直线的概率，因此，故选择答案B.

（4）在概率与方程交汇题中的应用

例13 设b和c分别是先后投掷骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重复按一个计），求方程有实根的概率.

解析：基本事件总数为，若使方程有实根，则

当当

当

目标事件个数为，因此方程有实根的概率为.

6、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用

在求解圆锥曲线问题时，由于曲线的形状、焦点、位置不同等的特殊性以及为了解题方便，可将问题分为不同种类，然后逐类研究解决，在求解时常需要进行讨论，从而达到解决问题的目的，这就常常需要分类讨论思想来解决，下面结合例题介绍分类讨论思想在解圆锥曲线问题中的应用.

（1）在焦点的位置不确定需要分类讨论

一般情况下，在圆锥曲线中，焦点不同，对应的双曲线也不相同.因此条件中如果没有明确焦点的位置，解题时需要分类讨论求解.

例14 已知双曲线的渐近线方程为，求其离心率.

解：由题意，设曲线方程为

（1）若

所以

（2）若

所以

综上所述，双曲线的离心率为

（2）点的位置不确定需要分类讨论

在圆锥曲线中，因为点的位置不确定，所以要进行分类讨论来求解.还有一种情况是若干个点的顺序也不确定，不同的顺序所得结果不相同，也需要分类讨论来解决.

例设、是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若、、是一个直角三角形的顶点，且，求的值.

解：由椭圆方程可得所以，由，所以不是直角点.

（1）若P为直角顶点，则 ①

根据椭圆定义知. ②

由①②得

（2）若为直角点，则，由此可得，所以

则

综上所述，得的值为

（3）抛物线开口方向不确定需要分类讨论

在解决圆锥曲线问题中抛物线问题时，抛物线开口方向不确定时需要进行分类讨论，与此问题类似的问题还有椭圆的长、短轴不确定，双曲线的实轴、虚轴不确定也需要讨论求解.

例16 求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并经过点A（2，一4）的抛物线的标准方程.

解：（1）如果抛物线开口向右，则设抛物线方程为.因为它经过点A（2，一4），所以故所求抛物线方程为.

（2）如果抛物线开口向下，则设抛物线方程为，因为抛物线经过点A（2，一4），所以故所求抛物线方程为

本文先是介绍了分类讨论思想的含义以及分类的标准和原则，进而重点通过以上的例子使我们可以发现分类讨论思想在高中数学解题中的应用是相当多的，它能使许多看似非常复杂的问题简单化，因此在使用分类讨论思想解决数学问题的过程中要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重不漏，每次分类必须保持在同一标准.但要注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，难以用统一的形式或同一种方法进行处理的，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，也即是合-分-合，最终使得整个问题在总体上得到解决.有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深人研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单、明了，但是，由以上的讨论以及例题分析，我们可以看出分类讨论思想不是一个单一的思想，独立的思想，它也往往和数形结合思想、整体思想等等联系在一起，因此，要学好分类讨论思想，就要在日常生活中加强意识，更好的把它与其他思想相结合，做到举一反三、融会贯通的效果。

参考文献：

[1] 黄甫琴.分类讨论思想在解题中的应用[J].考试周刊.2012（65）.

[2] 闵祝伟.例谈“分类讨论思想”在解题中的应用[J].数学之友，2013（8）.

[3] 彭姚鲜.高中生运用分类讨论思想解决问题的调查与研究[D].苏州大学，2012.

[4] 仝瑞涛.反思分类讨论思想在高考解题中的应用[J].教育战线，2012（23）.

[5] 兰海防.分类讨论思想在中学数学中的应用[J]. 思想方法，2009（6）.

[6] 刘彩萍.高考数学中数学思想方法的研究及启示[D].上海师范大学，2010.

[7] 施建昌.分类讨论思想在解不等式中的应用[J].数理化学习（高中版）， 2005（4）.

[8] 张丽萍.圆锥曲线中的分类讨论思想[J].中学生数理化，2012（12）.

高中数学函数分类讨论解题探析篇10

一、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程的作用

1. 高中数学函数解题教学现状

函数是高中数学的主体内容, 它与高中数学很多内容都密切相关, 通过对函数的研究, 能够认识函数的性质、图象及其初步的应用, 因此函数思想在高中数学解题中的应用就显得尤为重要[1]. 高中数学学科对学生的逻辑思维能力要求较高, 尤其是高中数学知识中的函数知识, 这一部分知识十分抽象, 用明了的数轴来反映出一定的数学规律. 高中数学函数是在初中代数的基础上进行教学的, 这就表明了高中数学函数是代数的升华, 涉及到了函数的增长规律和解的分布规律, 在进行解题的教学过程中, 要帮助学生能够寻找到数轴的规律, 让学生更加全面的寻找到函数问题的结果.因此, 想要做好高中数学函数解题教学工作, 不仅仅要帮助学生树立良好的理科思维体系基础, 还要帮助学生形成深度剖析函数习题规律, 勤加练习函数习题的学习习惯. 但是, 在目前的高中数学函数解题教学过程中, 往往存在着数学教师的函数解题方法不够系统的情况, 这就导致高中数学教学过程只是单纯的沦为公式的背诵过程, 学生面对稍有难度的数学函数习题往往一筹莫展. 针对这样的情况, 就需要在对高中数学函数解题教学现状的总结基础上, 寻找出相应的改进手段.

2. 高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程作用

面对新时期教育部门提出的课程标准, 数学教育必须进行多方面的调整, 而教师将面对各种不同的考验与挑战[2]. 从高中数学函数解题教学现状, 可以看出, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要对高中数学函数分类讨论进行组合设计, 保证学生能够通过接受高中数学函数分类讨论思想, 开阔高中生的学习视野, 并帮助学生快速的明确一个数学函数问题的具体类型. 在这样的背景下, 通过进行高中数学函数分类讨论思想应用探究, 可以充分的发掘出该教学方式的优点, 让学生迅速的调用自己的知识储备, 迅速的找寻到解决这个函数问题的解题方法.

例1 令, 则x2+ 2y2= 16 ( 0≤x≤4, 0≤y≤2 槡2 ) , 则函数化为以u为参数的直线族y = x - u, 它与椭圆x2+ 2y2= 16 在第一象限的部分有公共点时直线y = x - u在y轴上截距的最大值与最小值为:.

分析: 等式右边根号内同为t的一次式, 如用简单的换元无法转化为二次函数求最值, 故用常规方法比较难. 如联想到直线的截距, 数形结合换元后, 以形助数, 则可轻松解决.

传统的函数的等式右边根号内同为x的二次式, 一般都是用简单的用换元法, 令很难用x表示t通过二次函数解决问题. 如果能引导学生学会借助于数形结合的方法来解决问题, 学生就容易理解, 也容易学会用换元的方法来解题, 效果就会更好.

二、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程策略探析

1. 利用高中数学函数分类讨论思想快速明确函数问题类型

为了让高中数学函数分类讨论思想发挥出应有的作用, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要为每一道数学函数问题进行深度的剖析. 具体的来说, 就是在进行一道数学函数问题的解题过程之前, 数学教师指引学生进行对函数习题的解读, 寻找到这一问题的解决途径, 进而在后续的过程更加高效的完成函数计算. 然后, 就可以帮助学生在解题的过程中, 形成自身的独特解题理念, 促进学生的函数解题效率提升. 与此同时, 教师可以利用高中数学函数分类讨论思想, 在传统的教学方法上添加自己的教学理念, 更加充分的调动学生学习的主观能动性.

例如, 在进行高中数学教学函数解题的教学过程中, 为了解决学生难以入手的问题. 高中数学教师就可以根据函数习题的类型, 对传统的函数问题分为“确定函数解的个数问题”“函数的单调性问题”“函数的间断点问题”, 并对这些不同类型的问题进行分类处理.通过这样的方式, 就可以让学生自主的进行函数解题方法的总结研究, 在课堂上营造浓厚的数学学习氛围, 促进高中生函数解题效率的提升.

2. 优化高中数学函数分类模式

在进行高中数学函数分类讨论思想的插入过程中, 高中数学教师要有针对性的进行高中函数解题数学教学模式的更新, 让高中生倾向于在进行函数解题之前, 进行对函数问题的分析, 找寻出恰当的解题方法促进高中数学教学效率的提升.

例如, 在进行高中数学函数解题教学模式的研究过程中, 要充分的注意到对于传统的高中函数解题教学方式的改革和探索, 将总结出函数问题类型放置在高中数学解题过程的优先级地位, 通过持续优化的教学过程来激发对于高中数学函数解题过程中的独立意识, 切实提升高中数学函数解题教学能力.

例2 求函数的最小值

解: 把看作点A ( x, 0) 与点B ( 0, 2) 的距离, 看作是点A ( x, 0) 与点C ( 4, 1) 间的距离, 如图1, 不难得出, 这个函数的最小值是| B'C | =5.

分析: 如果仅从代数的角度此题很难入手, 因此思维就要大胆的突破.联想到像两点间距离公式求解.如果在教学中利用函数分类模式引导学生去思考和分析, 引导学生从图形角度思考走出局限于代数的思考范围, 就可以帮助学生很好的实现思维的突破.达到正确解题的目的.

3. 勾勒新型高中数学函数分类结构

为了发挥出高中数学函数分类讨论思想在函数解题中的作用, 提升学生的高中数学函数解题效率. 因此, 在进行高中数学函数分类结构设计过程中, 就要根据高中生的特点, 优化高中数学教学形式, 进而有效促进高中函数解题效率的提升.

例如, 在进行高中函数解题数学的“求函数的单调性”的教学过程中, 学生通过初中代数的函数基础学习, 已经掌握了一定的函数解题基础, 在这样的背景下, 教师就可以让学生自主思考相应的解题方法. 然后, 让学生利用合适的函数解题方法进行对后续问题的分析, 帮助学生快速提升自身的函数解题效率.

例3 (首届创新杯全国数学邀请赛第二试试题) 若x、y为正实数, 且x + y = 4 求的最小值______.

解:设AB=4, AP=x, PB=y, AE=1, BD=2.因为, ED连线交AB与C.所以.故的最小值是5.

分析: 从代数式的形式可知, 求它们的和实际上是求两个Rt△的斜边的和, 所以转化为几何图形, 用数形结合求解.