大学数学的开放题教学

大学数学的开放题教学（共7篇）

大学数学的开放题教学 篇1

20世纪60年代, 培养具有创新精神和创造能力成为对高质量人才培养的新标准, 各国政府纷纷对教育内容和教育方式进行了改革, 开放式教学也由此拉开序幕。1971年, 日本一个27人的学者群体, 率先研究数学开放题的教学问题, 并于1977年发表了名为《算术、数学课的开放式问题及改善教学的新方案》的报告, 此举引进世界各国教育界的重视, 欧美各国相继开展数学开放题的教学研究, 美国中小学教材中有也开始出现了相当多的数学开放题。1980年, 我国首次有人将数学开放题引入, 目前随着数学开放题成为中考和高考的新题型, 研究数学开放题的人越来越多。开放题“open-endedproblem”, 有解释其为开放结果的问题, 对此国内的说法很多, 目前的说法归纳起来大致有下面四种:条件不完备, 结论不唯一, 解题策略多样和解决方向不唯一。我认为, 不应该狭义地去理解数学开放题, 因为数学开放题是直接针对课堂教学改革而提出的, 同时又是针对当前学生的, 在研究数学开放题时, 应该更多地考虑教学和学生两个因素。大学数学正处于教学改革的关键时刻, 教学的内容和教学方法该往何处发展, 是当前的一个非常重要的问题。开放式教学是相对于传统的封闭式教学而言的, 它的教学模式更加灵活, 内容更注重实用性和学生个体的发展性, 重视培养学生利用数学知识和数学方法解决实际问题的能力, 重视发挥学生的创新精神和实践能力, 因此在大学数学教学中开展开放式教学具有重要的意义, 开放题是开放式教学的一个重要环节, 通过恰当的开放题情景设计, 促进课堂教学和学生的课后活动, 在学生心理上和思想上起到积极的作用, 这可以作为开放题设计的一个重要思路, 下文我们将针对大学数学开放题设计的几个出发角度进行阐述。

一、大学数学开放题教学设计

研究怎样来设计数学开放题, 考察数学开放题的设计思路以及如何评价对开放题教学和研究都是很有意义的。在此我们着重介绍几个针对开放题教学设计的出发点。

(一) 将封闭题改变为开放题

传统的封闭题一般是指“条件确定, 答案唯一”的问题, 开放题突出“条件不确定, 答案不唯一, 解法多样和解决问题的方向多面”, 在教材中, 有很多只要稍作修改就可以由封闭题转化为开放题的具体例子。

(二) 从生活中提取开放题的问题情景

将数学与生活实际相联系, 让学生体会到生活中处处有数学, 体验学习数学的乐趣, 积极主动地学习有价值的数学, 这无疑是解决当前社会和文化背景下学生普遍感觉数学抽象、枯燥的一个极好的途径。从生活实例创设开放题, 让学生在学习数学过程中实实在在地体会到其中的生活化元素, 将凝固的数学变为生动的数学, 让理论的数学成为实践的数学, 将封闭的课堂教学变为学生积极参与, 积极思考。例如, 讲授二重积分的概念时, 引入愚公移山的故事, 设计让学生利用等高线地形图帮助愚公计算山的体积。学生经过开放性的思考, 发现利用等高线地形图, 当地图的精度越高, 计算出的体积越精确, 从而引发学生对一般曲顶柱体体积计算方法的思考。

(三) 从数学体系本身出发设计开放题

数学本身具有高度的逻辑性和严密性, 从数学体系本身出发设计开放题, 不仅可引导学生对数学体系的探索, 更可带领学生站在更高的角度观察数学, 从题海战术到高屋建瓴, 让学生从题海中跳出来, 从更广的角度去审视数学的内容、思想和方法。例如, 在讲解函数时, 我们可以通过讲解研究新函数的方法:用复合、反函数、四则运算的原理, 将新函数拆分成若干旧函数 (简单函数、已知性质的函数) , 通过研究旧函数 (简单函数、已知性质的函数) 来研究新函数, 并在随后的学习过程中, 通过求导和求原函数建立新函数, 使学生理解导数和不定积分的内涵。

(四) 从数学建模中提取开放题实例

数学建模给学生以机会, 从应用的角度去分析和研究数学, 使得学生能够更灵活的应用数学知识, 更开放地去思考实际问题和数学问题, 多角度、多途径、多层次地寻找解决问题的方法。因此数学建模问题可以作为开放题的一个重要来源。但因为历来数学建模只针对部分精英学生, 题目相对来说比较复杂, 这就需要教师对其进行化简和提炼, 使其符合学生的认知水平, 并对学生能够起到启迪思想的作用。

二、小结

目前对开放题的研究主要集中在中小学数学教育上, 这是由于中考和高考中出现了部分开放题, 从而学校教育在此刺激下已逐渐形成良好的研究氛围。大学数学教育在当前的大学学生学习水平多层次化、学生的需求多样化面前面临很多需要解决的问题, 虽有一部分教师也开始关注开放式教学和开放题的设计, 但到目前还仅限于局部。在大学数学教学过程中开展开放题教学, 不仅能够延续学生在中学中对开放题的兴趣, 更能鼓励学生自主思考, 提高其创新的能力。大学数学教学改革是我国高等教育改革的一个重要部分, 相信开放式教学及开放题教学必将引起人们的重视, 教学也将从内容灌输逐步走向思想和素质的培养和提高。

参考文献

[1]夏昌华.在高等数学教学中引进数学开放题的尝试[J].数学通报, 2003.

[2]谭金锋.融入数学开放题, 改进大学数学课堂教学[J].大学数学, 2009.

[3]陈建仁.数学开放题教学模式探讨[J].内蒙古大学学报, 2005.

数学开放题教学重在“开放” 篇2

一、探究思路开放:猜想与实验的无缝对接

猜想和实验是学习数学的两种重要方法。数学猜想是人们依据已有数学知识和经验,运用非逻辑的思维方法,凭借直觉而作出的假设和预测。它是人们探索数学规律、发现数学知识的手段和策略。数学研究更需要实验,数学家有时通过成百上千次的实验、观察、联系、归纳、类比、猜想才发现一个真理,最后用特有的严谨数学语言表达出来。教科书一般都把问题背景和探索过程省略了,这就需要学生在学习时进行必要的“时空穿越”,以亲临其境的姿态进行探寻。

从这个意义上说,教师应在教学过程中为学生提供丰富的现实背景,激发学生的学习积极性,引导学生从不同角度进行大胆猜想,并给予他们充足的自主探索、实验操作和合作交流时空,在问题解决过程中帮助学生积累广泛的数学活动经验,发展数感,提高探索、发现和创新能力。

课始,笔者用课件出示一个长方形花坛和一个正方形花坛,问学生会算这两幅图形的面积吗?因为没有标出相关数据,学生无法直接解答。在得到否定回答后,教师给这两幅图分别覆盖上方格图(每个方格边长1厘米),学生很自然地就能调用原有知识经验口答出两幅图的面积。这种通过数方格的方式推导平面图形面积的方法为学生的后续学习做了回顾、示范和铺垫。教师接着设疑,出示一个平行四边形,让学生猜想一下它的面积会用怎样的算式来计算呢?让学生充分发表自己的观点。因为受到长方形、正方形面积计算方法的影响,学生有可能出现三种不同的假设,即:6×5、6×4、5×4。教师及时抓住学生的疑惑,适时激发思考:这3种假设都正确吗?可能有几个正确算式?(提示:假设有可能都不对)教师指出:数学思考不能只停留在假设阶段,更重要的是要寻找方法验证假设,并顺势板书:假设—验证,为本课学习归纳出第一条路径。

这一过程从长方形、正方形的面积计算方法引入,引发学生对旧知识回顾,再出示一个平行四边形,让学生根据自身已有知识经验猜想,教师罗列出三种不同想法后,引导学生评判,从而进一步诱发学生进行校验,为学生搭建了概念学习的多元开放的探究架构。

二、探究过程开放:特例与归纳的内在关联

波利亚曾精辟地指出:“数学有两个侧面,一方面是欧几里得式的严谨科学,从这个方面看,数学像是一门系统的演绎科学,但另一方面,创造过程中的数学,看起来却像是一门试验性的归纳科学。”诚哉斯言,数学不是一门实验性的科学,故而在学习过程中不能将观察到的结果、实验性的验证作为判断数学命题真假的充分依据,但实验对数学发现及探求数学问题的解决思路起着重要作用。正如欧拉所言:“数学这门学科,需要观察,也需要实验。”

受长方形面积计算方法的定势和干扰,不少学生认为平行四边形的面积等于相邻两条边的乘积,这是学生认知中最大的障碍。为了突破这个难点,执教者对教科书进行了大胆重组,让学生放开手脚在猜想验证中自主探索,体现研究思路多元,研究方法开放。在学生猜想同一个平行四边形有三种不同的计算方法后,及时组织师生互动,让学生通过反思认识到这三种假设有可能一个都不对,也有可能只对一个。正所谓不愤不启,学生身处思维的困顿之中,教师启发、点拨学生可以用数方格的方法尝试实验。

师生合作用边长1厘米的小正方形铺一铺,实验发现图2中用20个完全一样的小正方形一个一个地铺平行四边形,无法铺满整个平行四边形,即平行四边形的面积比20cm2大。因此,5×4=20cm2是错误的。继续用小正方形铺,如图3所示铺上28个小正方形时,就会超出平行四边形,也就是说平行四边形的面积小于28cm2,故5×6=30 cm2也是错误的。剩下的假设———6×4=24cm2就一定正确吗?教师放手学生继续猜测。师生合作、讨论,寻找问题解决的办法,教师注意搜集整理学生想法,诱发学生思考,揭示转化策略,并和学生一道借助课件演示尝试通过剪、拼的方式,把图中多余部分平移、擦去后(图4),学生发现平行四边形的面积恰好是6×4=24cm2。教师适时与学生一起回顾6cm、4cm分别在图形中所担负的角色———它们分别为一组对应的底和高,从而概括出平行四边形的面积=底×高。到这儿似乎大功告成了,殊不知这个实验仅是一个个例,这个计算公式是否具有普适性,还需要进一步证明。拉普拉斯:“在数学里,发现真理的主要工具是归纳和类比。”归纳和类比环节在过往的教学实践中常常被忽略。为了帮助学生亲历学习的整体过程,自觉经历知识的产生过程,笔者在教学时还设计了归纳、类比的环节,与上述猜、想实验环节遥相呼应,以数学的姿态逼近问题本质。

第一层次:思想渗透。出示图5,学生猜测后教师启发方法,课件演示验证,将学生懵懂的表象认知转化为清清晰的认知,即:把不规则图形通过剪、移、拼,转化成长方形,面积不变。

下面的两个图形面积相等吗?

第二层次:数据实证。操作实验时,学生通过小组合作把一个平行四边形转化成长方形。教师给出活动小贴士:

选一选:从信封中任意选择一个平行四边形。

说一说:小声商量一下,我们小组准备怎样转化。

动动手:两人一组,剪一剪、移一移、拼一拼,我们有什么发现?

小组活动后展示交流,重点呈现同一图形不同小组不同的剪法,凸显转化效果相同,即通过剪、移、拼,把平行四边形转化成了长方形。让学生感悟开普勒的言论:数学就是研究千变万化中不变的关系。自然过渡到数据整理阶段,因为教师事先提供了5种不同的平行四边形,小组合作轻松完成表格的填写(表1)。对照表格中的数据,讨论并回答教科书第8页的三个思考题,从众多的事实中通过不完全归纳得出平行四边形的面积计算方法。

这样,通过实证的教学模式,引导学生参与猜测、动手操作、收集数据、分析数据的全过程,使学生在亲身体验和思考过程中,主动发现、建构知识,逐渐学会用数学眼光观察身边的事实,从层层递进中追根溯源,不断释疑明理,让数学知识以科学的形态出现,让学生在开放探究中深刻感悟到知识本质,体验到探索与发现的快乐,初步懂得孤证不一定为假,多证不一定为真的道理,最终实现基础知识习得、基本技能练习、数学思想方法渗透、基本活动经验积累的有机达成。

三、练习视角开放:传统与创生的有机结合

苏步青先生认为学习数学要多做习题,边做边思索;先知其然,然后知其所以然。从这个角度看,基本知识习得、基本技能训练、基本思想方法内化、基本活动经验的反刍需要恰到好处的、适当的、开放性的练习。传统教学经验表明:新知识巩固的最佳路径是从不同维度设计指向性问题。一道好题的价值之一就在于它能产生其他一些好题,数学开放题作为一种答案不惟一的习题,自上世纪70年代出现后一直方兴未艾,日常数学学习中渗透开放题能有效撬动学生的数学思考模式,打开别样思路,促进学生思维发展,特别是学生的创造性思维培养。

基于这样的考量,笔者设计了三个层次的练习,即基本练习、变式练习和开放练习。在基本练习中增添变式的介入,从对第三个平行四边形面积的正确计算中强化平行四边形面积等于对应底乘对应高,全面透彻地掌握基本概念。

在变式练习中设计一个操作活动,将长方形木框通过拉动变形为平行四边形,给学生提供了另一扇观察变与不变的“窗户”。辨析中从另一个维度再次证明平行四边形的面积≠相邻两条边的乘积,强化教学难点认知。直观再现拉动前后周长不变、面积变小的事实,给学生充分表达自我感受及见解的机会,提供课件演示让模糊的感知变得更清晰,从而明晰两者变与不变的内在联系。

开放练习是本课设计的亮点之一,根据教科书编制特点及对教学重难点的理解,将传统数学习题改变问题呈现方式———“变封为开”,设计了“在方格图上画一个面积为12平方厘米的平行四边形”的练习题,以期通过综合开放题的练习实现对教学难点的深入突破。在日常数学课堂教学中植入开放题元素,努力实现开放题教学与常态课堂教学的有机融合,这是一个颇具挑战性的问题,对学生空间想象力、发散思维能力的要求较高,成为本课中学生数学思维深化的一个重要环节。学生在四年级时已有画平行四边形的经验,问题解决中的主要挑战来自于对等底等高平行四边形的理解不够熟练,囿于长方形的长期刺激所带来的底和高对应相等的平行四边形的认知局限等,限制了解决方案的数量。在这一过程中,学生的独立思考、小组的合作讨论、教师的适当点拨、师生的互动交流都能为丰富问题答案的呈现锦上添花,从而引导学生就某一底和高画出不同的平行四边形,也可从不同的底和高画出更为丰富的平行四边形。这样把数学开放题引入常态课堂教学,不仅为封闭的数学习题系统注入了一池活水,还可以更大力度地培养学生的创新意识和创新能力,进一步增强数学课堂的亲和度和时代色彩。

总之,从开放题到开放教学,不仅是研究的深化,也是一种时代趋势,更是一次前瞻转型。以开放课堂牵引学生能力向纵深发展,破解学生能力培养方式的瓶颈,以数学素养的提升为有效出发点及落脚点,能更好地致力于学生的健康、快乐成长。

参考文献

[1]杨传冈.小学数学开放题教学行思[J].教育探索,2015(11).

数学开放题及其教学 篇3

一、数学开放题的分类

数学命题一般可根据思维形式分为假设-推理-判断三部分, 数学开放题是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题.根据数学命题的三部分, 大致可将数学开放题分为以下几类.

1. 条件开放型

在数学命题中若假设是未知的元素, 则这类问题称为条件开放题.这类问题是通过给定结论来反求满足结论的条件, 而满足结论的条件并不唯一.

例1空间四边形ABCD中, E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点, 请回答下列问题:

(1) 满足什么条件时, 四边形EFGH为平行四边形?

(2) 满足什么条件时, 四边形EFGH为矩形?

(3) 满足什么条件时, 四边形EFGH为正方形?

简析: (1) 要使四边形EFGH为平行四边形, 可通过一组对边平行且相等或两组对边分别平行来得到.因此取E、F、G、H分别为各边中点或当AE∶AB=AH∶AD=CF∶CB=CG∶CD时, 四边形EFGH为平行四边形.

(2) 、 (3) 略.

例2试写出定义域与值域相同的函数.

简析:首先考虑最简单的函数, 再从这些简单的函数中引申、推广.本题中函数定义域的确定是非常重要的, 可先确定定义域 (x1, x2) 或[x1, x2], 再确定函数解析式.可取,

(3) y=, x∈ (0, 1) .

例3写出5个解集为 (2, 3) 的不等式.

简析:利用x>2且x<3即可得到.

这类题通常以基本知识为背景设计而成, 主要考查学生基础知识的掌握程度以及归纳能力.

2. 结论开放型

在数学命题中判断未知的这类数学开放题称为结论开放题.这类问题是在条件给定的情况下探索结论的多样性.

例4设f (x) 是定义域为R的偶函数, 又是最小正周期为π的周期函数, 而且f (x) 在!0, 2π"上是增函数, 试写出f (x) 的解析式.

简析:由于f (x) 是周期函数, 容易想到从三角函数入手, 因此可得到:

(2) f (x) =k·cos 2x+b (k<0, k, b为常数) ;

例5正六边形ABCDEF的中心为O, 以6个顶点及O点中任两点一个作为向量的起点, 另一个作为向量的终点, 利用这些向量写出他们之间的等式.

简析:向量的等式关系可以从以下几个方面考虑: (1) 两向量相等; (2) 实数乘向量; (3) 两向量和; (4) 两向量差; (5) 两向量的内积.

例6试构造三个不同的棱长相等的多面体, 使它们的体积均为18 cm3, 分别求出它们的棱长并画出它们的图形.

简析:我们考虑三种不同的多面体为:正方体、正三棱柱、正四面体, 当然也可以是正四棱锥或底面是菱形的直四棱柱等 (解、图略) .

这类问题主要考查学生的发散性思维和对所学知识的应用能力.

3. 策略开放型

若数学命题的未知要素为推理则为策略开放题.这类题目要求学生综合运用所学的数学知识来探索数学问题.

例7某无尘粉笔 (50支装) 的小包装 (长方体) 尺寸为9×5×7.5 cm3, 现准备将12盒小包装组成一个大包装, 请设计一个包装方案, 并计算这个方案的大包装表面积为多少平方厘米.

简析:考虑到实际情况, 大包装应为一个长方体.

(1) 12个小长方体排成一排, 称为1×12包装方案;

(2) 2×6包装方案;

(3) 3×4包装方案;

(4) 2×2×3包装方案.

例8今设计一条隧道, 要求通行的车辆限高为3 m, 限宽为1.6 m, 并可以两辆车对开, 对开时两车保持横向距离不少于0.6 m, 问如何设计?

简析:隧道的剖截面可为半圆形、抛物线形、半椭圆形, 也可用两个几何图形组合而成.

例9某系统电脑由四个整流二极管 (串、并) 联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8.若要求系统的可靠度大于0.85, 请设计二极管的联结方式.

这类问题主要考查学生对问题的探索能力以及创新能力.

4. 综合型

综合开放题只给出情景, 其条件、解题方法和策略以及结论都要学生自行设定和寻找.这类问题对于学生综合运用所学知识以及创新能力的要求较高.

例10甲、乙、丙三个班在本学期中的三次数学考试成绩如下:

试比较甲、乙、丙三个班成绩的优劣.

简析:要比较三个班成绩的好坏, 可能有的同学会用平均成绩来比较, 而有的同学则可能用平均方差来比较, 还有的同学则可能用总成绩来比较.可让学生根据实际的需要和自己的理解, 来分析数据并得出结论.

二、开放题教学

开放题教学背景广泛, 但因其具有条件不充分、方法多样、思维空间大、思维难度高等特点, 学生解题时往往不知应如何下手.因此, 在平时的教学中应根据学生的认知规律, 循序渐进地, 由封闭一步一步地走向开放, 把开放题不断地渗透到平时的教学中去.同时应把握好以下几个方面:

1. 以教材为本, 适当把一些课本上的题目改编为开放题.

如可以把条件、结论完整的例题或定理改成给出条件, 先猜结论, 再进行证明的形式;也可以改成给出多个条件, 进行整理、筛选后才能求解或证明的题目;还可以进一步变换条件, 引申推广.提高这样的改造, 使课本上的常规性的题目具有了开放题的形式更充分的发挥了例题的功能.

2. 在课堂中注重变式教学, 通过变式教学使一题多用、多题重组.

引导学生从不同的角度, 用不同的方法来思考问题, 从而拓宽思路, 培养思维的敏捷性和灵活性, 培养学生知识和方法的迁移能力, 达到举一反三、触类旁通的效果.

3. 教师应改变传统的教学方法, 在教师的主导下, 坚持以学生作为探究的主体.

在学习的过程中, 引导学生自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题, 激发其强烈的求知欲和创造欲, 培养学生的发散思维和创新能力.

4. 开放题的教学要适度.

大学数学的开放题教学 篇4

【片段回放】

师:同学们在今天的复习课上都展示了自己扎实的数学学习功底。下面就让我们带着满满的自信一起进入数学探索环节。 (PPT出示)

探索题:五个不同的分数单位相加的和为1。

师:看到这个题目, 你的第一感觉是什么?

生1:好难啊!感觉无从下手。 (众生点点头)

生2:要是能填五个一样的分数单位就好了。 (众生笑)

生3:前面我算过的和是1, 可惜现在是求5个不同的分数单位之和为1。

生4:我感觉这题要用技巧才能解决, 不能死拼硬凑。

生5:上节课, 我们练习过把一个分数单位拆分成两个分数单位的和, 估计用得着。

师:看来同学们的经验很丰富呀。通过交流, 大家明白了题意, 也明确了解决问题的方向。在小组活动开始之前, 请认真阅读活动提示。 (PPT出示)

活动提示:

1.想一想:你遇到过几个分数单位相加的和等于1或接近1的情况吗?

2.写一写:把你想到的用算式写下来。

3.议一议:在小组内说说自己的想法, 大家讨论讨论看哪个组的方案多?

友情提醒:如果本组内解答有困难, 可以邀请老师参与小组学习。

师:通过小组学习, 哪个小组愿意率先把自己组的研究成果和大家一起分享一下呢?

生6:我们组是这样想的三个分数单位的和为1, 现在要求五个分数单位的和为1, 如果能把这三个分数单位中的任意2个分数分别拆成2个分数单位的和就有了答案。

生6: (指生5的算式) 请仔细观察一下, 这位同学答案符合题目要求吗?

众生:不符合。因为有两个分数单位是相同的。

师:谁有不同的拆分方案?

生10:我们组想到了前几天老师讲解的思考题, 3、4、5、6四个连续自然数的倒数和是, 如果再加上一个, 和就是1了。算式是

师:这一组同学能根据过去学过的知识来解决新问题, 非常好。还有不同的做法吗?

生11:我们组想到的是所以前四个分数单位的和为, 只需要再加上一个就能得到1, 算式是

【教后体悟】

一、“前测”学情, 有序引导

与传统“封闭题”相比, 开放题解题过程逻辑推理强、条件的看似不充分、问题答案的不唯一等原因决定了其解题策略往往是非常规的, 没有固定的、现成模式可遵循。过去那种完全凭借死记硬背、机械模仿、经验堆砌、解题技巧的解题模式难以准确有效地找到问题解答的契入点和突破口, 解决开放题需要学生充分调动自己已有的知识储备, 潜心思考, 挖掘潜能, 寻找突破口。

德国著名的教育家第斯多惠说:“教育的艺术不在于传授本领, 而在于激励、唤醒和鼓舞。”前测时, 我发现学生在学习这一内容之前, 常碰到, 知晓了2、3、4、5四个连续自然数的倒数和为, 学过形如的计算题, 会把一个分数单位裂分为两个分数单位之和……所有这些都为孩子们完成本节开放题探究提供了必要的知识保证。课堂上, 因为心中有了底气, 所以我才能在学生解题时给予精准的点拨与提示, 激励、唤醒、鼓舞学生的旧知觉醒。巡查小组活动时有学生提及, 我就点醒学生如何由“三”变“五”, 并提醒拆分时一要有序思考、二要注意不能重复, 指导、帮助学生开展积极的思维活动, “给学生足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”, 充分运用联想、猜测、直觉、类比等多种思维方法进行深入的思考和探索, 分层次、全方位、多角度进行探讨, 捕捉思考、讨论过程中迸发的点滴灵感及顿悟, 及时梳理形成具有个性特征的解题思路或策略, 在个体问题解决的同时注重横向比较、辨析及纵向综合、整合, 尝试建立合适的问题解决模型。

二、“开放”有度, 心中有底

课堂“开放”的程度应由教师根据全课的教学目标从整体上予以把握, 毕竟课堂教学的时间有限, 正确答案不可能一一列举呈现, 譬如, 符合上例要求的答案计有23种之多。在学生受启发, 裂项后得到一组正确答案后, 我没有紧抓这一突破口鼓励学生继续进行二分裂或三分裂, 追逐更多的结果; 而是继续听取其他小组的观点, 丰盈学生的解题思路, 撞击学生的思维触点, 催生学生智慧的火花, 追寻别样的课堂精彩。在明晰几种主要解题思路后, 教师通过方法小结灵活地将课堂研讨引伸至课后, 鼓励学生在数学自习课或数学学习小组内继续探寻更多的符合题意的答案, 届时教师也可给予进一步的跟踪指导, 从而有效保护学生的数学探索欲望以及学习兴趣。

三、“多向”思维, 着力发展

日常开放题教学, 教师需要进一步转变观念, 不仅关注学生的问题解决, 同时要敏锐体察学生开放题问题解决过程中思维发展的微妙变化, 观察、记录、整理、分析学生思维发展的动态。比如在这道题解决过程中我着重考察学生小组活动时对某个分数单位的分拆能力, 具体观察拆分过程中二分拆还是三分拆使用较多, 并关注拆分后学生对不同分数单位的把握及灵活使用, 即举一反三能力的锻炼。同时重视学生思维的宽度、速度及力度的训练, 具体表现为不纠缠于某一解题思路, 而是充分给予学生表达不同解题思路的机会, 加强对学生问题解决过程中表现出的思维深刻性、广阔性、敏捷性、灵活性、评判性、独创性等思维品质的深度研判。从细微处着眼, 观察、记录、思考、总结开放题具体习题类型对学生思维品质影响的具体表现, 从而能够针对不同学生的思维发展现状及时调整习题解决的进程及方向, 实施有针对性的训练, 进而全面提升学生的思维能力。

四、“关系”处理, 共生双赢

摭谈初中数学开放题的教学价值 篇5

所谓开放型题, 就是指那些条件不完整、结论不确定或不唯一的数学问题, 这些问题一般没有明确、固定的解题方法, 它需要解题者通过敏锐的观察、缜密的分析和准确的推理、判断等探索活动来确定所需求的结论、条件或方法。常见的开放题型大致可以分为以下三种:

1. 条件开放探索类。

这类题的特征是缺少确定的条件, 仅给出问题的结论, 让解题者分析探索使结论成立的条件, 而满足结论的条件往往不唯一。这类问题的解答要求解题者要善于从问题的结论出发, 逆向思考, 探因索由。

2. 结论开放探索类。

这类题常给出问题的条件, 让解题者根据条件探索相应的结论, 并且符合条件的结论往往呈现多样性, 或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断, 甚至要求解题者探求条件在变化中的结论。这类题它要求解题者能充分利用条件进行大胆而合理的猜想, 发现规律, 得出结论。这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

3. 策略开放性问题类。

一般指解题方法不唯一或解题路径不明确的问题, 这类问题要求解题者不应循规蹈矩选择通法通解, 而应标新立异, 不走寻常路, 寻找最优解题方案和过程。一般来说, 开放题具有以下特点: (1) 非完备性:开放题的组成要素常常是不完备的:要么条件不充足, 要么结论被隐去, 要么解题思路和方法不明确。 (2) 不确定性:对于条件开放题而言, 其条件可能或不足或多余;对于结论开放题而言, 其结论或不定或不唯一;对于策略开放题而言, 其解题策略和依据常是不唯一的。 (3) 发散性:在解答开放题时, 一般不能从定式思维模式出发, 而应从多角度、多层次寻找答案, 因而思维模式和方向呈现出发散性。 (4) 探究性:开放题的解答没有固定的、现成的模式可循, 解题者常常要进行多次尝试和调整, 通过不断优化自己的解题方案才能找到答案, 因而, 开放题的解决需要具有大胆的探索精神和一定的探索能力。 (5) 层次性:开放题的设置可以满足不同层次学生的需求, 使他们都能在自己的能力范围内探索问题, 从而体现出层次性。 (6) 发展性:开放题能够有效促使学生认知结构发生质的变化, 能较大程度地提高和发展学生的知识和能力水平。 (7) 创新性:开放题能有效引发学生对问题进行全方位、多角度、深层次地思考, 有利于促使他们创造性地寻求解题途径和解题方案, 因而对培养学生的创新意识和创造能力大有裨益。其实, 学生解决开放题的过程就是一种创造过程, 就是一种创新能力和创新精神的培育过程。

二、有效利用开放题, 充分发挥开放题的教学价值

1. 利用开放题教学, 能锤炼学生的思维能力, 培养他们的创新意识和创造能力。

对于开放题教学, 老师应有开放的思想、开放的视野和开放的情怀, 教学中要能够灵活利用开放的形式、开放的手段和开放的途径, 培养学生的开放的思维, 不断锤炼他们的思维能力, 提升他们的思维品质, 进而培养他们的创新意识和创造能力。由于开放题具有多样性、层次性和探索性的特点, 它提供给学生的问题情境往往比封闭题所能提供的问题情境更加丰富、繁杂、新奇、有趣, 尤其是一些与实际生活相嫁接的问题, 容易引发学生的兴趣, 吸引学生进行探究, 因而更能激发学生的积极思考和大胆地想象。学生为了解决这些开放题, 常常需要不断变换思维的方式和角度, 不断地进行尝试和探索, 这无疑能大大地提升他们的思维品质, 使他们思维的广阔性、灵活性、深刻性和全面性得到有力的拓展和延伸。我们知道, 解答开放题, 一般没有固定的、明确的程序, 也不是使用某种技能就能顺利完成的, 它需要解答者灵活选择有效的思维方法, 不断调整自己的解题策略去尝试、探索, 并且这种探索性活动带有鲜明的个性化特点, 不同的人往往有不同的表现和不同的成果, 这样一来, 就更容易激起学生的创造欲望, 引发他们对问题进行全方位、多角度、深层次地思考, 努力寻求高效的解题方法或构造新颖的解题方案。因此, 学生解决开放题的过程就是一种创造过程, 就是一种创新能力和创新精神的培育过程。教学中灵活、有效地利用开放题, 无疑有利于培养他们的创新精神和创造能力。

2. 开放题教学有利于营造民主的教学氛围, 培养学生合作学习的能力和习惯。

由于开放题结果的多样性和解题策略的不唯一性, 往往不同的学生就会有不同的解题思路和解题策略, 当然也会出现不同的解答结果, 这就为他们之间进行交流、合作学习提供了较大的空间。教学中, 如果老师能合理组织教学, 还课堂给学生, 给他们思考的空间、讨论的空间、合作的空间, 就能大大激活课堂, 使课堂教学充满智慧张力和民主气息。新课程强调培养学生的自主、合作、探究式学习能力和习惯, 利用开放题教学, 就是一种有效的途径和方式。教学中, 我们发现, 学生在解决问题过程中, 常常会与同伴进行探讨, 或陈述自己的解题思路、解题方法, 或指出对方的思维漏洞, 知识缺陷, 甚至会点出对方一些学习方式、学习习惯的不足, 显然, 这是一种相互启发、相互促进、共同提高的课堂生态, 这样的课堂, 最有利于学生的智慧碰撞、情感交融, 能很好地促进他们形成良好的合作学习习惯。

3. 开放题教学有利于学生体验成功的愉悦, 树立学习数学的信心。

进入初中, 随着数学知识量的增加, 思维难度的提高, 许多同学感到学习困难, 自信心严重受挫。利用开放题教学, 就有利于让学生在学习中体验成功的愉悦, 克服自卑心理, 从而增强学习数学的信心。由于开放题条件和结论具有的不确定性, 解题思路的多向性, 以及问题解答的层次性和探究性特点, 学生在解答过程中, 就可根据自己的认知结构, 思维惯性和熟练技能去寻求解答问题的途径或方案, 这样他们的解题思路和策略, 就会彼此不同, 他们的答案也会千差万别。这样, 他们就不会因为自己的答案与众不同, 而怀疑自己、否定自己, 他们也可以在解题中享受解决问题的成功愉悦感, 久而久之, 就会克服自卑心理, 增强学习数学的信心。

摘要：如今, 开放型试题已成为中考的必考试题。开放题在开发学生的思维潜能, 培养良好思维品质, 促进学生创新意识和创造能力的发展, 发挥着重要作用。实际教学中, 为了更好地利用开放题, 发挥它的教学价值, 必须明确它的含义和分类, 掌握它的特点, 在此基础上才能深入开掘它的价值, 才能在教学中灵活、有效利用, 实现它的教学价值。

关键词：初中数学,开放题,教学价值

参考文献

[1]刘萍.数学开放题与学生主体意识的培养[J].中学数学教学, 1999, (1) .

大学数学的开放题教学 篇6

一数学开放题的基本内涵

数学开放题是在20世纪70年代后数学教学实践中开始出现的一种新题型。数学开放题是指条件、结论及其解题策略都不固定, 具有开放性的问题。如题目“已知梯形ABCD及其中上、下底AB//CD, 现添加条件___使梯形ABCD是等腰梯形”就是为满足结论, 但条件不唯一的问题, 即答案并不唯一的开放题, 它要求学生在掌握好梯形和等腰梯形的基本概念、特征和基本条件等基础知识的基础上进行逆向思维找到问题解决的条件。再如北京市2006年的中考题题目“某居民小区搞绿化, 要在一块矩形空地上建花坛, 现征集设计方案, 要求设计的图案由圆和正方形组成 (圆和正方形的个数不限) 。并且使整个矩形场地成轴对称图形。请在下边矩形中画出你的设计方案。”就是要求学生进行发散思维, 理清思路, 大胆创造。

相比于小学生, 初中生正处于具体符号运算和形式符号运算的交替阶段, 他们的抽象思维和发散能力已经开始形成, 有部分初中生已经具有了较高水平的抽象思维和发散能力, 他们在数学解题中不仅已经具备了基本的数学计算能力和常规问题的解题能力, 还能自己去发现新问题。因此, 针对初中生的实际心智发展水平, 教师在数学教学中要根据其知识结构和学习生活经验, 设计一些开放题给他们。同时, 一个问题的开放度常常取决于提问的方式。

数学开放题的基本特征是: (1) 不确定性, 即问题不一定必然有解, 答案也不必唯一; (2) 强调探究性和发散性, 即没有现成的和固定的解题模式; (3) 非完备性, 即题目中的条件并不完备, 导致答案并不确定; (4) 发展性, 教师在开放题教学中不能简单地注入式教学, 而要着眼于学生的具体解题过程中的发散性思维和创新思维能力的培养。当然, 开放题也是针对特定学生的知识结构和生活经验, 也就是说, 在7年级是开放题, 到9年级就未必是了。比如类似对多个球队两两进行循环赛, 问一共有多少场比赛的问题, 学生掌握组合知识属于开放题, 但在学习和掌握了组合知识之后则又转变为一道封闭题了。

总之, 在平常的数学教学中, 教师视具体的教学情况设计一些开放题进行教学, 从近的来看, 无疑可以调动学生学习的积极性, 训练学生的思维能力, 也可以让学生更深刻地理解一些基本的数学概念和定理;从远的来看, 可以拓展学生的思维空间, 有利于培养学生的表达、批判和创新能力。

二初中数学开放题的设计原则和基本要求

数学开放题的设计要求教师必须具有高度的业务素质以及处理问题的灵活应变能力。在开放题的编制中, 教师必须遵循一些基本的要求, 掌握一些基本的方法。

1. 数学开放题设计的基本原则

第一, 要保证题目设计的科学性。数学题目的科学性是衡量题目质量最重要的标志, 也是题目编制的最基本要求, 它直接决定了学生能否通过对题目的训练达到预期的教学目标。开放题的设计也是如此。一般来说, 数学老师在设计开放题目时, 必须要严格定位测试范围, 要以数学课程标准为基本依据, 反映学科核心知识、基本方法和技能;题目内容必须要正确无误, 陈述性语言要精确, 有明确要求且必须可行, 不能有误导或歧义, 同时还要考虑教学评价或测试评分的可操作性。

第二, 要坚持题目设计真正体现开放性。教师所设计的题目要能切实拓宽解决问题的途径, 有利于培养学生学习的主动性、趣味性、持久性和发散性思维的形成, 实现对学生创新精神和创新能力的考查。

第三, 要符合学生实际, 体现出层次性。题目要具有层次, 尽量减少繁杂的证明与计算, 尽可能做到新颖、解答简洁, 对不同认知水平的学生来说都有探索的余地, 在自已的能力范围内都能参与问题的解决并获得各自的解答。

2. 数学开放题的设计基本要求

设计要求是设计原则在开放题目设计过程中的具体体现。一般来说, 初中数学开放题设计要符合如下要求。

第一, 设计的题目要形式多样, 不同类型的题目设计方法也不一样。数学开放题目一般可分为条件开放题, 即通过增强题目内条件的探索性和选择性, 考查学生掌握知识的程度和分析问题的能力;策略开放题, 即一题多解, 以解决问题方法的多样性, 考查学生思维的灵活性和多角度、多层次、多途径探究解决问题的能力;结论开放题, 即条件既定, 但答案多样, 主要考查学生运用所学知识展开发散思维得出结论;综合开放题, 即前三种的混合, 更能培养学生创新能力和逆向思维能力。

面对如此多样的开放题目, 教师设计的题目要尽量涵盖上述类型, 不同的类型, 设计方法也不一样。以结论开放题为例, 笔者在中考前复习八年级下册的“相似三角形”内容时, 我先是引导学生将例题“已知:在Rt△ABC中, CD是AB上的高线。求证:△ACD∽△CBD∽△ABC。”推导完后, 问学生:“如果我们不看原题的求证结论, 只是根据题目中的已经条件, 你们看还能推导出什么结论?”学生立刻来劲了, 气氛变得很活跃, 并得出了许多结论, 如∠ACD=∠B, ∠DCB=∠A;△ACD∽△CBD, △CBD∽△ABC, △ACD∽△ABC;CD2=AD·BD, AC2=AD·AB, BC2=BD·AB等。

第二, 设计开放题的来源要多样。目前, 初中数学开放题的来源主要来自于封闭题的改造和实际生活的一些数学运用问题。教师在设计时, 既要立足于原有封闭题进行改编, 更要多从现实中的数学运用问题中发现素材, 设计开放题。以实际生活中的数学运用来设计开放题, 更能让学生认识到数学的意义, 提高其对数学的认知。取材于实际生活中的开放题目, 由于自然特点或由实际需要决定, 其条件往往不能完全确定。如在讲授一元二次方程时, 我设计了一个开放题:“某建筑物地基是一个边长为10m的正六边形, 要环绕地基开辟绿化带, 使绿化带的面积与地基面积相等, 请你给出设计方案。”结果, 学生的兴趣很高, 最终也提供了几种可供选择的方案。

第三, 设计的题目要尽量适合学生开展探究性活动。设计开放题从教学目标上来说, 就是为了提高学生的数学探究能力。如果在开放题中, 让学生通过相互合作, 自主探究, 做小科学家, 激发其创造力和发散性思维能力, 其教育价值不言而喻。在学完数据统计图相关知识以后, 我曾经设计过一道开放题, 要求学生在课后通过小组合作, 去了解大湖镇周边的河流污染情况, 并要求学生运用刚学的数据统计知识, 为大湖镇治理周边河流水污染提供可行性方案。这道题的意图在于要学生根据学过的数据统计知识调查周边河流水污染的原因, 然后设计治理方案, 以训练学生仔细调查研究、不怕吃苦的精神, 同时培养团队协作精神, 让学生感到所学知识有所用, 尝到成功的喜悦。

三初中数学开放题教学的基本要求

1. 课前要精心准备

课前精心准备是所有课程教学的基本要求, 对于开放题教学也是如此。在开放题教学中, 教师在课前的必要准备包括对学生的准确了解, 对开放题的精心设计和对教材例题和习题的研究。 (1) 教师必须准确地了解所教学生的数学知识掌握情况, 在设计和讲解开放题时能从学生实际情况出发, 根据学生的兴趣和爱好来选择开放型试题的讲解, 不能让一部分学生有能力和兴趣参与学习探究, 而另一部分学生或者没有能力, 或者没有兴趣。 (2) 教师要按照科学性、开放性和层次性的原则精心设计开放题。开放题要围绕教学目标设计, 由易到难、由旧知识到新知识逐步过渡, 数量和开放度都要适中。同时, 教师还要对教材作精心研究, 以了解教材中有关教学内容的可开放性和开放度, 分析哪些内容学生可以自主探究获得, 哪些内容不适合开放题教学。尤其是对教材中的例题和习题更是要精心研究, 了解哪些题目有必要将封闭题加以适当更改, 转化为开放题。

2. 在教学中重视学生的合作学习, 展开探究性学习

数学开放性试题的最大特点就是开放性和多元性, 即多种条件和多种解法。这类题目的解题过程一般需要学生或师生多人的合作才能完成。在具体的讲解过程中, 教师可以采用集体教学、小组教学、个别教学相结合等多种渠道相结合的方式, 并合理优化分组, 让每个小组中的每个成员都能畅所欲言、发表所见、集思广义、同力协作, 并让不同学习水平的学生, 解决不同的层次问题。

在数学开放题教学中, 教师不能简单地只看学生解决问题的答案对与错, 而更应注重观察学生的解题方法和过程。密切关注学生在解题过程中是否做到了合作学习、自主探究, 发挥了集体的智慧与力量。在学生的探究过程中, 教师不只是一个组织者和答案给予者, 更是一个引导者, 应该对学生的整个探究过程进行全程指导, 对错误行为予以纠正, 对正确的行为予以鼓励, 并认真细心地记录学生在学习过程中的每一个细节、动向、情景等表现, 逐一进行研究、探讨、反思, 总结得失, 为数学开放题收集资料, 积累经验。

3. 开放题教学要坚持循序渐进

数学开放题的解题与教学是一个逐步启发学生自主学习、创新思维的过程。而这个过程也是学生对某一开放题的逐步深入了解, 逐步推进解决的过程。因此, 教师在具体教学过程中不能急于求成, 或者怕教学秩序的失控或者怕教学时间不够, 而草草结束解题过程, 直接给学生答案。因为这样的话, 学生的创新思维和逆向思维还没有来得及充分发挥, 在整个过程中学生得不到应有的锻炼。其实, 一般开放题都需要较长时间的学习与探究, 学生要想掌握这类题型的解法, 往往需要很长的一个练习与思维过程。教师要有耐心, 题目数量可以不多, 但每一道题都要实现其基本目的, 否则, 一堂课则变成了游戏课。

4. 在开放题解题完毕后, 要总结规律

开放题的设计教学目的在于培养学生的数学能力, 而不是简单地就题论题。因此, 当开放题各种解题方法都已经展现、结论都推断出来后, 教师应该让学生自己小结或给学生总结。这种总结应该能起到画龙点睛的作用, 从而让学生比一比各种策略的孰优孰劣, 找一找各种结论的规律, 最后上升到共性的总结, 启发学生对结论一般化的认识, 寻找数学学习的规律, 挖掘题目中所包含的数学思想和数学方法。

高中数学开放题教学之我见 篇7

高中数学的开放题具有内容和形式多样化、解题思路发散性的特征, 它不像封闭性题目那样简单、乏味, 单靠纯记忆、套模式来解题, 一般需要运用多种思维方法, 通过多角度、全方位进行分析探索, 从而获得多种结论, 要求学生的逻辑思维特别严谨.从类型上看, 开放题可以分为条件开放型、结论开放型和策略开放型三种, 如果“未知的”是解题假设, 那么就称为条件开放型;如果“未知的”是解题目标, 那么就称为结论开放型:如果“未知的”是解题推理, 那么就称为策略开放型.

二、数学开放题的教学意义

数学开放题给学生的创造性学习提供了一个宽松, 自由的环境, 与其他题目相比, 数学开放题更加注重解题的过程, 全体学生都可以参与解答过程而不管是属于何种程度和水平, 数学教师将开放题用于教学不仅是实施素质教育的重要途径, 而且具有巨大教育价值.数学开放题强调数学知识的整体性, 能培养学生的计算、演绎等严格推理的能力;强调数学教学的思维性, 能反映学生高层次的能力和开放性、创造性的思维;强调解决问题的过程, 能使教师注意对学生解决问题思路的分析, 并作出最切中要害的点评.同时, 通过对数学开放题的讨论和解决, 能展示和提高自己的数学才能, 使学生感受到数学带来美感, 并享受到解决问题的乐趣.

三、如何引入数学开放题

从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题, 已引起了广大数学教育工作者的极大关注, 开放题的研究已成为数学教育的一个热点.

1. 开放题问题的构建

开放问题的构建主要从两个方面进行, 其一是问题本身的开放而获得新问题, 其二是问题解法的开放而获得新思路.

例1季节性服饰在当季即将到来之时, 价格呈上升趋势, 设某服饰开始时定价为10元, 并且每周 (7天) 涨价2元, 5周后开始保持20元的价格平稳销售, 10周后当季即将过去, 平均每周削价2元, 直到20周末该服饰不再销售.

这道题明显属于问题本身具有开放性, 函数概念的形成, 一般是从具体的实例开始的, 但在函数的教学过程中, 很多教师往往忽视了函数的实际应用意义, 这道题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释, 体会到数学概念的一般性和背景的多样性, 对问题的理解是开放的.

例2如果一个四面体的三个面是直角三角形, 那么, 第四个面可能是: (1) 直角三角形; (2) 锐角三角形; (3) 钝角三角形; (4) 等腰三角形; (5) 等腰直角三角形; (6) 等边三角形.请说出你认为正确的那些序号.

这道题属于问题解法具有开放性, 主要考查学生的空间想象能力和探索能力.答案分为三种情形 (如图1、图2、图3所示) , 其中第三种情形容易被忽视.

第一种情形:△ABC是锐角三形. (2) 正确.当a=b=c时△ABC是等边三角形, (6) 正确.

第二种情形:第四个面△ABC是直角三角形. (1) 正确.

第三种情形:∠ADB>90°, △ABD是钝角三角形, (3) 正确.

2. 开放题思路的引导

通过对以上两道开放题的探讨, 可以看出, 开放题的解题策略和解题结果是不确定的, 因此, 对开放题的解决不可能由教师一个人来完成, 应该充分调动学生的主体性, 让学生积极参加到对开放题的讨论中, 发挥集体的力量, 最大限度地把一切可能的因素考虑在内.

发散思维是指在思维过程中信息向各种可能的方向扩散, 不局限于既定的模式, 从不同的角度寻找解决问题的各种途径, 高中数学开放题能够有效地培养学生的发散思维, 因此, 教师在辅导学生解题过程中, 要重视引导学生发散思维.

“反思”是最容易被忽视的, 在解题以后, 回头对解题活动加以反思、探讨、分析与研究是非常重要的环节.在得出结论后, 教师要重视和学生一起反思, 思考命题者的意图是什么;想考察高中阶段哪个知识点的应用能力;命题所提供条件的应用是否完备;解题过程是否严密等.通过反思, 深化对知识的理解, 促进知识结构的不断分解组合, 也培养学生对试题的鉴赏能力.

摘要：开放题是数学教学中的一种新题型, 其核心是培养学生的创造意识和创造能力, 激发学生独立思考和创新的意识.在现行的高中数学教学中, 教师适当地引入开放题, 并注意引导学生学习解答开放题的方法, 能对数学教学产生“举一反三”的效果, 是对学生进行素质教育的一种有效途径.

关键词：高中数学,开放题,素质教育

参考文献

[1]赵香叶.谈数学开放题的教育价值与设计艺术[J].教育教学论坛, 2011 (19) .

[2]山军.数学开放题的特征与编制的方法[J].高等函授学报 (自然科学版) .2011 (6) .