数学解题过程的要求

2024-05-26

数学解题过程的要求(通用7篇)

数学解题过程的要求 篇1

摘要:众所周知,数学有很强的逻辑性,在解题过程中着重因果关系、条件和结论的联系,在证明题中更是如此。通过例题说明在数学解题过程中的严谨性的重要性,在此基础上,讨论解题思路的灵活性及其必要性。

关键词:解题,严谨性,灵活性

数学这门学科涉及的知识较多,实际应用也较为广泛。在数学研究中,定义的描述要恰到好处,定理证明的逻辑性要强,因果关系明确,解题思路清晰,给实际问题的解决提供可靠的理论基础。因此,应做到第一,准确地表述并理解数学概念、公式、法则、定理的含义,注意定义、公式、法则、定理中的一些关键性词语,使之精确化,并学会用数学符号语言表示。第二,推理的每一步都要有根据,要符合逻辑要求,证明过程要借助严密推理和计算,在作图中也包含推理过程。因此,在解题过程中要注重严谨性,答题要规范,事实上,灵活的分析思路也同样重要。因为,第一,通过解题熟悉数学中的常用方法,能够做到举一反三,并非是机械地解题,麻木地代公式,而应多分析,多观察,做到一题多解。第二,减少思维定式的影响,注重开阔思路,及时调整,正难则反,化简为繁,提高思维的灵活性。

一、严谨性分析及严谨的重要性

先引入一个结论,Lagrange中值定理之推论:如果函数f(x)在区间(a,b)内满足f′(x)=0,则在(a,b)内,f(x)=C,为常数。下面举例说明。

说明:由(3)式和(4)式才可得到结论。因此,在证明中要确保过程的严谨性。

说明:闭区间上的连续函数一定存在最值,因此闭区间上的可导函数一定存在最值。但在实际问题中,往往会出现开区间,要根据实际情况指出在其唯一驻点处达到最值。所以,实际问题的分析在严谨性上要求更高。

二、灵活性分析及灵活解题的必要性

例2.在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,点E在AC上,AD和BE交于点F,BC=b,BD=a,AE=b,EC=a求∠BFD。

分析:令a=b,即D与C重合,此时∠BFD变为∠BEC,且BC=EC=a=b,即∠BEC=45°,因此,∠BFD=45°。

说明:此分析思路适合于选择题和填空题,同时也为解答题提供答案。

例3.已知函数f(x)=x3-x,设a>0,若过点(a,b)可作y=f(x)的图象的三条切线,证明:-a<b<f(a)。

分析:函数y=f(x)在(t,f(x))处的切线方程为y=(3t2-1)x-2t3。

过点(a,b)可作y=f(x)的图象的三条切线相当于曲线y=f(x)的三条切线都过点(a,b),即存在三个t,使得y=(3t2-1)x-2t3过点(a,b),换句话说,关于t的方程b=(3t2-1)a-2t3存在三个不同的实数根。

令g(t)=2t3-3at2+a+b,即,g(t)的图象经过三次t轴,函数先增加,后减小,再增加,函数图象先上升经过一次t轴到达极大值点,后下降经过t轴到达极小值点,再上升又经过t轴。

因为,g′(t)=6t2-6at,令g′(t)=6t2-6at=0,得驻点t1=0,t2=0在t1=0处得到极大值g(0)a+b>0,在t2=a处得到极小值g(a)=-a3+a+b<0。

所以,有-a<b<f(a)。

说明:此方法将不熟悉的问题的描述转化为熟悉的语言描述,成为常规问题,需要具备灵活的思路,使得解题有迹可循。

分析:方法一,利用等比数列前项和公式可求出结果为100。

综上,在数学的解题或者证明过程中,逻辑严密固然重要,但是能灵活运用知识,开阔思路,对解题也有很大的帮助。因此,在具体的数学问题及其实际应用中,既要注重逻辑性,要求过程严谨,又要注重灵活性,思维敏捷。事实上,既需要熟练地运用公式,辨别题型的模式,又需要转换视角,化陌生问题为熟悉知识,同时避免出现思维定式。爱因斯坦说过,想象力比知识更重要。即知识是重要的,想象力建立在知识的基础上,但是更重要。没有丰富的想象力,就没有惊人的洞察力,就谈不上灵活地解决问题了。子曰,学而不思则罔,思而不学则殆。勤学善思是解决问题的关键。

参考文献

林剑斌.浅谈学生解题严谨性和规范性的培养对策[J]..福建中学数学,2009(10).

挖掘解题过程中的数学思想方法 篇2

【例题】求过一点P0(2,)且与圆(x-1)2+y2=4相切的直线方程.

1. 数形结合

“过一点P0(2,)且与圆(x-1)2+y2=4相切的直线”是一种抽象的语言,若赋予几何意义,就变得非常直观形象,也使已知条件中的点与圆的位置关系、所求的直线的特征明朗化和简单化.“……画出图形看看.”这就是由数量关系到图形的转化,以此来寻找解题的突破口.另一方面,对图形的性质,又可以赋予数量意义,寻找恰当表达问题的数量关系式,用代数的方法使问题得到解决.“如何求k?能否找出关于k的等量关系?结合图形试一试.”这是由图形到数量关系的转化,“直线与圆相切”的性质是圆心到直线的距离等于圆的半径,于是列出相应的代数式-k+=2;又如“直线与圆相切只有一个公共点”转化为“由y-=k(x-2)与(x-1)2+y2=4组成的方程组有唯一解,则Δ=0”.数形结合的实质是抽象的数学语言与直观的图形相结合,是抽象思维与形象思维相结合,发挥数与形的优势的互补与整合,是数学上常用的方法.

2. 联想、类比

“以前见过求直线方程的题目吗?是怎样的题目?”这是激起学生的联想.在尝试解决一个新问题时,教师引导学生通过观察,回忆已有的相关知识和解题经验,寻找新问题和熟知问题之间的关联.要回忆起某些和目前的题目有联系而且以前已经得到解决的题目,通常都不是很困难.相反,有时我们找到的题目很多,需要在其中选出一道有用的题目,这时,类比的思想也被调动起来.“把现在这个题跟以前的题目进行对比,已知条件相同吗?”在观察、比较中,选出一个类似的、较易的问题,然后利用它的方法或利用它的结果来解决当前的问题.又如“这个题目的结论或者解法能否推广应用到其它题目?”举一反三,触类旁通,新问题得以解决,学到了新的知识,新知识再次被应用,得到了巩固和发展.联想、类比的方法有助于产生一个解决问题的“好念头”,是探索问题解决过程中的重要方法.

3. 化归转化

“想到这个题可以转化为怎样的题目吗?”如果我们对当前的数学题不能马上有思路,就会考虑到化归转化策略.

本案例中,待解决的问题是“求过一点且与圆相切的直线方程”,通过数形结合、观察、联想、类比、尝试,最终化归为一个已解决的问题“求已知一点和一法向量的直线方程”. 为了实施有效的化归,有时转化问题的条件,有时转化问题的结论,有时转化问题的外部形式,如,“求过一点P0(2,)且与圆(x-1)2+y2=4相切的直线方程”通过待定系数法可转化为“求直线方程y-=k(x-2)的系数k”,“如何求k?”再通过数形结合,又转化为“求解另一个含k的方程”.总之,在解决问题的过程中,应当以变化的观点看待问题,遵循化归的原则,化陌生为熟悉,化未知为已知,化繁为简,最终能得到一个解决问题的方案.

4. 顺推与逆推相结合

在解决数学问题时,人们的思考习惯大多是正面的、顺向的.对例题的解答,一开始就遵循顺向思维的,即由已知出发,分析已知条件的特征,把当前的问题转化为已得到解决的题型来解答.而在探讨例题的其它解法时,是结合已知和未知量,设出所求的直线方程y-=k(x-2),再挖掘未知系数k满足的等量关系,求出k,从而解得所求的直线方程,这里既有顺向也有逆向的思维.特别地,在顺向解题遇到困难时,更应该考虑到逆向推导的策略,不妨从未知量出发逆向思考,或者考虑顺推与逆推相结合.

5. 反思与调节

“回顾”是解题过程中一个很好的习惯.“大家能检验这个结果吗?有其它方法求这个直线方程吗?”检验结果、探索解题方法的多维性是为了巩固知识并更好地利用它.“哪种解题方法最好?能否直接得到问题的答案?”通过对整个解题过程的反思,使解题者对解题过程有一个重新的认识,对解题方法有一个恰当的评价,提高解题的有效性.“这个题目的解法能否推广应用到其它问题?”通过练习,让解题方法得以再實践,在实践中再反思,并在原有的解题方法的基础上作出分类、改进和调节,以实现解题方法的优化.反思与调节是一种更高层次的思维,是优化解题方法的重要途径,也是让学生学会创造性地解题的一种思维训练.

数学解题过程的要求 篇3

著名数学家波利亚在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段:弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾, 这个过程就包括解题反思.那么什么是解题反思呢?解题反思是对整个解题活动深层次的思考, 是再发现、再创造的过程.在教学中, 我们常常看到有不少同学做完一道题后不假思索, 急于做其余的题目, 以为这样能力就得到提高了.其实一个数学问题的解决并不等于会解这道题目, 而应该更深一步地去挖掘题目的隐含条件、命题的目的、所涉及的知识要点和数学思想方法, 进一步探讨解题过程的思维方式是否正确、合理、严谨?解决问题的策略是否巧妙?还有其他的解法吗?本题的解法和结论能否进一步推广?学生认知的形成是自己主动建构的过程, 为了提高学生的解题能力, 我认为应该倡导和训练学生进行有效的解题反思, 培养学生反思意识、形成反思习惯, 更好地发挥反思的作用.在教学中我试探着让学生从以下几个角度去反思, 培养学生的思维能力, 优化学生的思维品质.

一、反思解题误区, 培养思维的严谨性

解题不怕错, 怕的是一错再错.很多同学对错题没有认真反思, 致使事后对产生错解的概念依旧模糊、思路依然老套、考虑还是不周, 第二次解此题时照样漏洞百出, 缺乏思维的严谨性.

因此反思错解, 要多问几个为什么.为什么解错了?错在哪里?还有哪些题目也要注意这个问题?

例1 过点P (1, -2) 作圆x2+y2=1的切线, 求切线方程.

错解 设过点P (1, -2) 的切线方程为y+2=k (x-1) .

则圆心 (0, 0) 到切线-kx+y+k+2=0的距离等于半径1,

|k+2|k2+1=1, 解之, 得k=-34.

则所求的切线方程为3x+4y+5=0.

反思 从结果上看, 圆只有一条切线, 但点P在圆外, 应该有两条切线, 上述解答不正确.究其原因, 是还有一条斜率不存在的直线被弄丢了, 这条直线不适合用点斜式方程.所以对直线方程的使用要分清类别, 不能漏解.易知x=1为圆的另一条切线方程.这种解题缺乏思维的严谨性, 还有哪些题也易患类似错误呢?要引导学生积极归纳.

反思解题误区还要注意结论的合理性、正确性等问题, 避免出现“地球直径为3 cm”等有悖于生活常理的低级错误.

学生如果经常这样反思错题, 就会知道哪些题目要注意隐含条件, 哪些公式成立有限制条件, 这样的反思有利于学生解题时多一个心眼, 考虑问题周全细致.

二、反思解题思路, 培养思维的深刻性

由于学生的智力差异, 总有部分学生对解题的思路不求甚解, 因此教师要积极引导学生回顾和整理解题思路, 概括解题思想, 使解题过程清晰化, 思维条理化、精确化和概括化.

例2 若函数y=mx-1mx2+4mx+3的定义域为R, 求实数m的取值范围.

反思 将问题转化为mx2+4mx+3=0的解集为空集.当m=0时, mx2+4mx+3=0无解;当m≠0时, Δ= (4m) 2-4m·3<0, 得到0<m<34, 故m[0, 34) .

数学解题思路灵活多变, 解决方法途径众多, 应如何选择最佳思路、最简捷的方法?通过解题反思, 形成解题策略, 掌握规律, 探求共性, 再由共性指导我们去解决碰到的类似问题, 便可迎刃而解, 发挥多题同解的优势, 培养学生思维的深刻性.

三、反思解题方法, 培养思维的灵活性

对已经解决的问题进行方法的再思考, 是提高解题效益的重要途径之一.首先, 方法的再思考可以省去重新熟悉一个新题的时间, 在已经熟悉的背景下, 转换思维角度, 运用新方法、新手段, 开辟新途径.其次, 重新思考解题方法, 能提高思维的层次, 站在一个新的高度上重新审视这个问题, 容易产生巧思妙解.第三, 新方法的产生会有“众里寻他千百度, 蓦然回首, 那人却在灯火阑珊处”的美妙感觉, 能够激励学生学习的信心, 激发学习者进一步战胜数学困难的热情.还有, 在方法的再思考的过程中, 能够进行多角度探索, 不仅串联知识, 而且巩固方法, 尽管有时没有获得新颖的方法, 也会有其他不匪的收益.

例3 求函数y=x+1x的值域.

方法一 当x>0时, y2x1x=2;

x<0时, y=-[ (-x) +1-x]-2.

∴值域为 (-∞, -2]∪[2, +∞) .

方法二y=1-1x2=x2-1x2

x在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 时y′>0, 函数单调递增,

x在 (-1, 0) 和 (0, 1) 时y′<0, 函数单调递减, 结合函数图像可清楚地认识到y的取值,

∴值域为 (-∞, -2]∪[2, +∞) .

这是一道比较简单的问题, 经过多种思考, 获得丰富的方法, 巩固了分类讨论的思想、数形结合的思想、绝对值的性质、均值不等式、方程的思想、换元的方法, 等等, 较大程度地扩大了解题的收益.

四、反思题目变式, 培养思维的广阔性

在平时课堂教学中, 教师应引导学生多角度、多方位地变换问题的条件或结论, 进行变式教学.这样, 不仅能强化学生对基础知识的理解和掌握, 更能把握住问题的关键和本质, 提高学生思维能力, 深化学生思维.

五、反思引申推广, 培养思维的变通性

在平时课堂教学中, 要不失时机地将问题作适当的引申, 以沟通和总结出具有相同数量关系的不同问题的解答方法, 举一反三, 触类旁通, 不仅有助于学生进一步理解题目的数量关系, 掌握解题规律, 而且有利于训练学生思维的变通性.教学中要创设情景, 加强对习题反思, 引导学生进行类比和归纳, 引发他们的猜想, 提高他们的解题能力, 养成解题反思习惯.

综上, 全面实施素质教育, 培养学生的思维能力, 优化学生思维品质, 要从“授人以鱼”变为“授人以渔”, 注重培养学生主动探究问题的意识, 要引导学生从解题的思路形成过程中去反思问题的内在联系和规律, 领悟心得, 真正体现“以学生发展为本”的教育理念.

参考文献

数学解题过程的要求 篇4

摘 要 数学解题思维过程是指从理解问题开始,从经过探索思路转换问题直至解决问题,进行回顾的全过程的思维活动。培养学生表达数学解题思维过程的能力,有利于提升学生的思维能力、口语表达能力,教学质量也可以得到提升,实现学科之间的渗透。

关键词 数学思维过程 口语表达

中图分类号:G623.5 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2016)21-0051-02

一、问题提出

刚刚接手新班级学生,由于我们的教法不同于以往教师的方法,同学们都怕上我们的数学课。在教学中,我们发现学生的数学学习积极性不高,思维能力偏低,数学表达能力较弱。并且多数学生对自己的作业只知其然而不知其所以然,能正确算出结果但说不出自己的解题思维过程。因此,我们迫切地想培养学生表达数学解题思维过程的能力,以提升学生的思维能力、口语表达能力和数学成绩,实现学科之间的渗透。

二、研究内容

1.培养学生数学思维过程表达的习惯;

2.研究学生表述数学解题思维过程的方法和技巧。

三、研究目标

1.提高学生的数学成绩;

2.激发学生的数学学习兴趣;

3.培养学生的思维能力、口语表达能力,实现学科间的渗透。

四、研究步骤

(一)准备阶段

通过问卷调查和访问对五年级学生数学学习情况和解题思维过程表述情况做调查了解。

(二)实施阶段

1.分小组学习,对解题思维过程表述的方法进行指导;

2.通过教学案例让学生掌握表述方法;

3.通过练习课进一步完善表述解题思维过程的要求,养成表述解题思维过程的习惯;

4.阶段性反思。

(三)总结阶段

1.撰写小结报告;2.整理《成果集》。

五、问题的研究

(一)现状分析

通过新接手学生的教学感受以及调查发现,原来的数学教学多数采用传统模式:教师讲例题——学生听——学生模仿练习——教师批改——学生改错,这种教学方式使学生感觉数学课枯燥乏味,他们只知其然不知其所以然,只会机械地模仿教师讲解的例题,严重抑制学生的思维以及口语表达能力,长期以来学生形成一种惰性、依赖性,在做作业的过程中懒得动脑筋,甚至出现抄袭作业现象。

(二)小组分类指导

由于学生还不习惯表述解题的思维过程,我们先分小组进行方法指导。大体模式为先回答本题结果,再表述解题过程。进行小组指导时从典型题目开始,先从简单题目开始慢慢向复杂题目过渡。学生先尝试着表述,教师再指导学生有条理并且用简洁的数学语言表述,及时纠正学生表述中的错误和不足。例如:

1.填空题:0.372.4=( )

指导学生表述为:括号里面应填3.72,因为根据商不变性质,除数扩大10倍,被除数也应扩大10倍,所以结果是3.72。

2.判断题:

三角形的底是4cm,高是5cm,面积是20cm2。 ( )

指导学生表述为:这道题是错的,因为三角形的面积=底赘還,结果应该是4=10cm2。

3.计算题:

解方程 3x+6=21

指导学生表述为:这个方程的解是x=5,我是这样解的:3x在这个方程中充当一个加数,根据一个加数=和-另一个加数得,3x=21-6=15,3x=15;x又充当了一个因数,根据一个因数=积髁硪桓鲆蚴茫瑇=15=5,所以方程的解是x=5。

(三)渗透入平时的教学和练习中,逐步养成习惯

对于新课教学还是练习课教学,在教学过程随时追问学生的解题思路,让学生慢慢形成表述自己解题思维过程的意识和习惯。利用课内练习让学生有机会表述自己的解题思维过程,利用课外练习每周至少2课时来让学生自己讲解练习。

(四)阶段性反思

在课题研究中,我们发现因为学生一开始表述自己的解题思维过程有困难,不愿意起来表述,导致教学进度有些缓慢,也没有太多的时间让学生在练习课中表述自己的解题思维过程。针对以上问题我们及时进行完善:1.采取激励手段让学生敢于表述自己的解题思维过程;2.减少作业练习量,精选有代表性的练习。

六、成效与思考

(一)成效

1.学生综合能力得到提高。通过这样长时间的让学生在课堂中,练习中不断表述自己的解题思维过程,学生开始不再害怕上数学课,数学学习兴趣越来越浓烈,课堂气氛活跃。学生由原来的不敢说、不愿说、不会说逐步变得表述越来越有条理,思路也非常清晰。

2.学生数学成绩提升。在去年六年级(1)班的数学教学中,我一直要求学生表述解题思路,六年级(1)班的小考数学取得了优异成绩。全县100分才有23人,我任教的六(1)班就有两人,在三合中学招生考试中,参考人数当中3名同学分别排名第四、第五、第九名。

3.促进其他学科的学习。例如对语文的学习也有很大帮助,学生在语文学习中的表述也是非常的有条理,得到了胡丽波老师和周占超老师的肯定。

(二)思考

通过研究实践,学生掌握表述解题思维过程的方法,养成表述解题思维过程的习惯。在培养学生表述解题思维过程的习惯中,应注意以下几点:

1.坚持利用练习讲解来要求学生表述解题思维过程,一开始进度可以慢一 些,学生掌握表述的方法以后就可以加快进度。

2.让学生用简洁的语言表述解题思维过程。

参考文献:

[1]教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[M].北京:北京师范大学出版社,2011.

数学解题过程的要求 篇5

一、理清思路, 从问题的思考角度培养学生的学习习惯

高效课堂教学除了概念的讲解之外, 主要集中在解题能力的培养上。学生不仅要理解例题, 而且要做大量的练习题。在解题训练中, 教师首先要引导学生分析题意, 明确思路, 再动笔解题。培养学生解题思路时, 教师可以要求学生严格遵守一定的解题程序去思考, 以形成良好的解题习惯。进行解题思考时, 学生首先要仔细地读题, 弄清楚题目考察什么, 明确各个数据之间的关系, 然后解题。有必要时可以把相关的数据关系先列出来, 以提高解题的效率, 也提高解题的准确度。例如, 学习求“圆柱的侧面积、表面积”的方法时, 教师先不必急着答题, 而是引导学生进行观察, 思考可以用什么方式来计算。经过观察, 学生知道了表面积和侧面积可以用半径、高和周长来分解计算, 解题就容易了。从读题、思考、发现规律到最后解题, 学生的思路都非常清晰, 形成了良好的解题思考习惯, 学习过程就易提高效率和质量。

二、规范解题过程, 培养学生良好的解题习惯, 提高解题的效率和准确度

教师要根据教学目标引导学生学习例题, 并创设相应的训练来提高学生的解题能力。大量的训练往往会导致学生忽略解题的过程而直接得出答案。这个习惯会影响解题的正确性, 也不符合数学解题规范要求。教师在教学中要强调按照规范解题的重要性, 无论是例题的讲解, 还是训练过程, 都要求学生严格按照步骤去做, 以形成良好的解题习惯。这不仅有助于学生清晰地读题, 列式, 而且减少误算和漏算, 提高解题质量。另外, 通过教师的示范和训练过程中的严格要求, 学生逐渐形成规范的解题习惯, 也能提高课堂的有序性和有效性。例如, 讲解“修400 米的路, 第一天修了25%, 第二天修了30%, 两天共修多少米?”这一例题时, 学生通过讨论得出可以有两种解题方法:400 ×25%+400×30%;400× (25%+30%) 。其解答过程, 教师引导学生严格地按照先算乘除法、后算加减法和先算括号内、后算括号外的规则, 完成解题。从读题、分析思考、明确运算规则到最后得出答案。解题过程, 教师的演示十分规范。学生掌握了解题规范, 解题的效率和质量都得到了提高。

三、二次检查, 形成良好的验算习惯和完善的数学学习习惯

小学数学需要验算和二次检查。良好的验算和二次检查习惯能够确保答题的正确性, 把由于马虎或者审题不细等纰漏纠正。课堂上, 教师讲解完例题之后, 要回过头来重新审视对题意的解读是否正确, 解题过程是否规范, 是否出现了计算错误, 让学生学会检查, 以培养学生的检验意识, 形成良好的检验习惯, 完善数学学习。例如, 在解完“25÷ (1-1/6) -25= ”这个算式之后, 学生回过头来检查, 发现括号内的运算过程出现了通分的错误, 于是立即纠正, 保证了解题的正确性。

四、教师详细指导, 从错误纠正方面促使学生形成良好的学习习惯

课堂教学, 教师要时刻关注学生的学习效果, 从解题思路上引导学生形成规范的模式。在巡视过程中, 要把学生解题过程中的疏漏和错误之处指出来, 并讲清楚为什么会出现错误, 让学生掌握正确的答题方式, 从而形成良好的解题习惯。严格规范的指导能促使学生感受到数学学科的严谨性, 无论是思考还是作答。例如, 复习“百分率”的相关内容, 教师出示了如下题目:学校体育达标情况:优秀650 人, 良好400 人, 合格250 人。根据这些条件, 你可以提出哪些不同的有关分数、百分数的问题?学生通过小组合作学习, 得出了:一个数是另一个数的几 (百) 分之几?如:优秀率是650÷ (650+400+250) =50%。一个数比另一个数多 (少) 几 (百) 分之几?如:优秀比良好人数多几分之几是 (650-400) ÷400=5/8, 作答中出现错误, 教师应巡视指导, 让学生根据题意中的数据关系, 结合相应概念进行思考, 列出关系式。在教师的指导中, 学生知道了如何去思考和作答此类题目。整个过程思路清晰, 利于良好习惯的养成。

数学解题过程的要求 篇6

已知三角形的三个顶点为A (0, 0) , B (10, 0) , C (2, 4) , P为△ABC三边围成的区域 (含边界) 内一点, 则P到三角形三边距离和的最大值为 () 。

作为最后一个选择题, 一大部分学生做起来有些困难, 花的时间比较多, 并且得分率不高, 在试卷分析时, 我特意挑出了这个问题分析:

“读完题目以后, 觉得这是一个什么类型的问题?”为了使更多的学生找到思路, 我总习惯引导他们分辨问题所属的类别, 找到解体的基本方向。

“应该是线性规划, 但是做起来比以前常碰到的问题要麻烦。”许多学生这样回答。

“有思路就不要怕麻烦, 关键是这个思路是否能帮助解决碰到的问题。能说下基本的思路吗?哪位同学愿意上来展示自己的做法?”解决数学问题, 重要的是通性通法, 也就是一般的问题如何用一般的方法做对做好。平时学生对问题有了初步认识以后, 我总是希望他们能将自己首先想到的基本想法表述出来。

在我的鼓励下, 学生A上讲台在黑板上写下了自己的做法:易得AC, BC所在直线方程分别为y=2x和x+2y-10=0, 记P (x, y) 到AB, BC, AC的距离为a, b, c, 根据点到直线的距离公式, 化简可知而P就在△ABC的区域内, 再根据线性规划可以知道目标函数在 (10, 0) 取到最大值所以选C。

由于事先就已经考虑过这个问题, A生书写得一气呵成, 但是因为计算, 还是花了5分钟左右的时间。学生们基本都是这个想法并且觉得有些麻烦。

“非常好!A同学用适当的数学语言清晰地表述了他的解题思路, 并且最后得到了正确的答案, 这比没有想法或者有想法表述不出来好多了。”在肯定了这种常规的做法之后, 我进一步提示:“这个问题的确有些麻烦对么?而且我们也似乎感觉到有其他更快的解法。”

说到这里, 许多学生都表示赞同, 但是又不知道如何下手。待学生思考片刻之后, 我再次引导他们:“我们依旧考虑一般的思路, 遇到求最值的问题, 我们除了线性规划, 依靠函数单调性之外, 还经常采用哪种做法?”

“不等式!”学生们异口同声地回答。

“对, 利用不等式求最值需要定值, 这个问题里面有定值吗?”

“有!三角形面积是定值!”男生B抢着说.

“非常好, 那看看这个问题可不可以换个角度思考呢?是不是可以看成是不等式中求最值的问题呢?”提出问题之后, 学生们拿出草稿纸开始思考。根据面积, 他们很快得到了

“那a+b+c的最大值明显是啊。”男生B忽然喊出来。

“为什么呢?你能不能解释一下?”B生脑子灵光, 很快迸发了灵感。这时是一个引导学生思维过程数学化的一个好机会。

这时B生说:“显然的啊, 在前面的定值下要a+b+c最大当然是a=0而且b=0了, 这时c就是啊。”

在B生的解释下, 部分学生立即明白了, 可是有些学生仍旧似懂非懂。我接着问B生:“你这样的解释不够清楚, 能把你的想法用式子表示出来吗?”B生感觉这就是一种直觉, 要用式子表示好像比较困难。这时, 一个女生C站起来说:“徐老师, 能不能这样表示啊?前面是个定值, 只要后面是0, a+b+c就取到最大了, 这样就能说明为什么最大值在P落在B点的时候取到了。”

有了C生的回答, 学生基本明白过来了, 她把B生的直觉很快地用式子表达了出来。全班同学鼓掌表示对她回答的肯定。

最后总结时我对学生说:对问题不妨多思考, 这是哪种类型的问题?解决这种问题的基本方法是什么?一种方法或许就是一种看问题的角度。通过变换角度看看是否各种解法都是有效的。如果碰到的问题似乎用常识或者感觉就可以说明了, 那就要借助这种机会好好考虑下, 这其中的转换是不是蕴涵相应的数学原理呢?是否用一些简单的数学式子就能清楚地说明了呢?如果解决问题时得到了突如其来的灵感, 想想其中蕴含的数学思想是什么, 如何表述, 久而久之, 复习效果才会更好, 思维也更为严密!

现在新课改在全国如火如荼地展开, 就数学来说, 新课改强调学生对数学思想的应用, 淡化偏、烦、难的问题。也就是学生在碰到问题的时候, 能够“数学地”去解决, 比如画图思考、量化指标、类比分析, 这样才是数学教育的道, 是通过学习数学, 真正能留给学生的有用的东西。

数学教育的意义不是培养数学家, 更不是培养解题机器, 而是培养人的数学观念和数学思想, 通过开拓头脑中的数学空间, 进而促进人的全面素质的发展和提高。按奥加涅相在《中小学数学教学法》中所说, 数学思维的基本成分可分为具体思维 (指与事物的具体模型密切联系和相互作用的一种思维) 、抽象思维 (指摆脱研究对象的具体内容, 进行一般性质的研究的思维) 、直觉思维 (指越过中间阶段, 从整体上考虑问题、迅速接触到问题答案的一种思维) 、函数思维 (指从数学对象、性质之间的相互关系中认识事物的一种思维) 四类。在解决该复习题的时候, 虽然学生B很快地反应出来答案, 但是他仍旧需要教师进一步的引导, 将他的“直觉”用大家都能接受看懂的符号表达出来。这些是交流的需要, 更是数学科学精神的需要。问题的解决不能都靠“直觉”靠“灵光一现”, 数学教人诚实和正直。只要一个命题没有被证明, 它就暂时不能纳入到真理宝库中去, 人们就有理由去怀疑, 而不管提出命题的人的资历和声望有多高。倘若命题得到证明, 那么它的真理性便得到认同, 并被普遍采纳和执行, 也不存在人微言轻的现象。

数学思维训练可使学生的思维品质得以改善和提高, 这正是高考复习前进行解题训练的初衷。作为数学教育工作者, 我们要好好利用这样的机会, 提高学生的数学思维能力, 让学生的思维在经过系统的训练之后更加灵活、更加严谨, 让平时的思考带有批判性、广阔性及创造性。

数学解题过程的要求 篇7

一、理清思路,从问题的思考角度培养学生的学习习惯

高效课堂教学除了概念的讲解之外,主要集中在解题能力的培养上。学生不仅要理解例题,而且要做大量的练习题。在解题训练中,教师首先要引导学生分析题意,明确思路,再动笔解题。培养学生解题思路时,教师可以要求学生严格遵守一定的解题程序去思考,以形成良好的解题习惯。进行解题思考时,学生首先要仔细地读题,弄清楚题目考察什么,明确各个数据之间的关系,然后解题。有必要时可以把相关的数据关系先列出来,以提高解题的效率,也提高解题的准确度。例如,学习求“圆柱的侧面积、表面积”的方法时,教师先不必急着答题,而是引导学生进行观察,思考可以用什么方式来计算。经过观察,学生知道了表面积和侧面积可以用半径、高和周长来分解计算,解题就容易了。从读题、思考、发现规律到最后解题,学生的思路都非常清晰,形成了良好的解题思考习惯,学习过程就易提高效率和质量。

二、规范解题过程,培养学生良好的解题习惯,提高解题的效率和准确度

教师要根据教学目标引导学生学习例题,并创设相应的训练来提高学生的解题能力。大量的训练往往会导致学生忽略解题的过程而直接得出答案。这个习惯会影响解题的正确性,也不符合数学解题规范要求。教师在教学中要强调按照规范解题的重要性,无论是例题的讲解,还是训练过程,都要求学生严格按照步骤去做,以形成良好的解题习惯。这不仅有助于学生清晰地读题,列式,而且减少误算和漏算,提高解题质量。另外,通过教师的示范和训练过程中的严格要求,学生逐渐形成规范的解题习惯,也能提高课堂的有序性和有效性。例如,讲解“修400米的路,第一天修了25%,第二天修了30%,两天共修多少米?”这一例题时,学生通过讨论得出可以有两种解题方法:400×25%+400×30%;400×(25%+30%)。其解答过程,教师引导学生严格地按照先算乘除法、后算加减法和先算括号内、后算括号外的规则,完成解题。从读题、分析思考、明确运算规则到最后得出答案。解题过程,教师的演示十分规范。学生掌握了解题规范,解题的效率和质量都得到了提高。

三、二次检查,形成良好的验算习惯和完善的数学学习习惯

小学数学需要验算和二次检查。良好的验算和二次检查习惯能够确保答题的正确性,把由于马虎或者审题不细等纰漏纠正。课堂上,教师讲解完例题之后,要回过头来重新审视对题意的解读是否正确,解题过程是否规范,是否出现了计算错误,让学生学会检查,以培养学生的检验意识,形成良好的检验习惯,完善数学学习。例如,在解完“25÷(1-1/6)-25= ”这个算式之后,学生回过头来检查,发现括号内的运算过程出现了通分的错误,于是立即纠正,保证了解题的正确性。

四、教师详细指导,从错误纠正方面促使学生形成良好的学习习惯

课堂教学,教师要时刻关注学生的学习效果,从解题思路上引导学生形成规范的模式。在巡视过程中,要把学生解题过程中的疏漏和错误之处指出来,并讲清楚为什么会出现错误,让学生掌握正确的答题方式,从而形成良好的解题习惯。严格规范的指导能促使学生感受到数学学科的严谨性,无论是思考还是作答。例如,复习“百分率”的相关内容,教师出示了如下题目:学校体育达标情况:优秀650人,良好400人,合格250人。根据这些条件,你可以提出哪些不同的有关分数、百分数的问题?学生通过小组合作学习,得出了:一个数是另一个数的几(百)分之几?如:优秀率是650÷(650+400+250)=50%。一个数比另一个数多(少)几(百)分之几?如:优秀比良好人数多几分之几是(650-400)÷400=5/8,作答中出现错误,教师应巡视指导,让学生根据题意中的数据关系,结合相应概念进行思考,列出关系式。在教师的指导中,学生知道了如何去思考和作答此类题目。整个过程思路清晰,利于良好习惯的养成。

学生的学习习惯的培养是每位教师都应该注重的问题。教师在教学过程中要提高自己的教学规范性、教学的示范性和引领性,保证课堂教学既完成教学任务,也培养学生的学习习惯,从而实现效益最大化。

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