建模方法与数学解题

建模方法与数学解题（通用11篇）

建模方法与数学解题 篇1

数学提供给人类的不仅仅是现成的知识和工具, 更重要的是提供给人类的思想和方法。在数学方法中, 从宏观层面上看具有典型数学特征、影响和作用最大的是公理化方法和数学模型方法以及随机思想方法。

“数学模型方法” (Mathematical Model Method) 简称MM方法, 它不仅是处理数学理论问题的一种经典方法, 而且也是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法。

一般认为, 模型是指所研究对象或者事物的有关性质的一种模拟物。同一研究对象, 为了不同的目的, 可以有许多不同的模型。每个模型的特征由构造模型的目的决定。模型可以分成形象模型和抽象模型。形象模型包括直观模型、物理模型等, 抽象模型包括思维模型、符号模型、数学模型等。数学模型乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系, 采用形式化数学语言, 概括地或近似地表述出来的一种数学结构。

数学模型方法, 它是根据研究的目的将研究的某种事物系统, 采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系, 抽象出数学模型, 通过对数学模型的研究, 使实际问题得以解决的一种数学方法。

一、数学建模竞赛是数学模型方法应用的平台

1.建模竞赛的宗旨体现着数学模型方法的应用

数学模型方法作为解决实际问题的一种模式, 它突出地表现了原始问题的数学加工过程及数学模型的选择、分析过程, 模型的求解、再分析、再求解的迭代过程。

数学建模竞赛的是将实际问题作为赛题, 这些问题没有现成的求解公式和方法, 学生们必须根据题意, 提出合理的假设, 综合利用自己所学的数学理论和方法, 综合分析、建立数学模型, 然后设计出计算方法并利用计算机将问题进行求解。

由于赛题都是从工程技术及管理工作中提炼出来的具体课题 (有些经过适当的简化和剪裁, 以适应竞赛者的数学水平和计算量) , 参赛中首先从量和型多个侧面去考察实际问题, 尽可能通过抽象、简化, 确定出主要的参量、参数, 应用与各学科有关的定律、原理建立起它们之间的某种关系, 即将具体问题数学化 (模型的建立) , 其次利用所学的各种数学知识、借助各种资源 (文献、网络、计算机等) 求解问题, 最后分析结果的正确性、合理性, 若有必要再次修正并求解模型。

数学建模竞赛是对实际问题的求解, 它完整地表现了学数学和用数学的关系, 是数学模型方法的具体运用。

2.建模竞赛的方式使数学模型方法的应用成为可能

数模竞赛方式是开放式的, 参赛者在三天之内可以借助于任何资源, 不仅可以查阅任何书籍, 期刊资料, 而且可以使用各种计算机。近年来, 计算机技术的飞速发展促进了人们运算能力的迅速提高, 改进了人们观察问题的方式和方法, 许多原来无法实现的模型化方法如今已变得切实可行。

数学建模竞赛的赛题来源于实际, 有的用数学模型来量化表示较为困难, 竞赛过程中可利用计算机模拟, 根据实际问题特性, 按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行状况, 并依据大量模拟结果对系统或过程进行定量分析。反过来, 若数学模型在某种意义下描述了对象内在特性的数量关系, 已得到了解析形式的解, 推广而利用计算机模拟则完全模仿对象的实际演变过程, 验证解的正确性

模型的求解很多的情况下涉及到大量的计算, 以至于模型的求解很难实现。众所周知, 计算机以其飞快的计算速度, 惊人的准确性使过去由于计算量太大, 无法进行数学计算的问题具有解决的可能。Mthematica、Matlab、Lingo等专用软件包的出现, 使得用数学方法处理各种复杂变量的能力大大提高。竞赛试题的求解体现的这些软件包的综合应用。

二、数学模型方法的应用推动了数学建模竞赛的有序展开

1.数学建模课程的开设普及了数学模型方法的应用

数学建模竞赛活动的开展有其鲜明的时代背景, 是对我们传统教学 (只重视知识的传授) 的一个冲击, 适应了新形式下培养应用型人才的需求。在高等学校理工科人才的培养中, 完全有必要把培养学生运用数学建模解决实际问题的意识, 学习和掌握数学建模的方法和技能作为提高大学生综合素质的一项重要内容。 为实现这一目标, 各高校相继开设了数学实验和数学建模等课程, 较为系统地介绍数学模型方法, 围绕着具体的实例从模型的准备、模型的假设、模型的构成、模型的求解、模型的分析讲解并实践数学模型方法。

数学建模课程的开设, 丰富和完善了数学模型方法的内容。课程的开设从早期的具体模型的讲解逐步过渡到建模方法的归类、提炼, 将常用的数学模型概括为:初等模型、代数模型、微积分模型、数值分析法建模、常微分方程模型、差分方程模型、优化模型、随机数学模型等, 这些系统的建模方法极大地丰富了数学模型方法的内容。

数学建模等课程的开设, 使广大同学在大学其间接受较为系统的数学模型方法的训练, 为学生掌握这一解决应用问题的方法提供了平台, 进而普及并推广了数学模型方法。

2.数学模型方法的完善提升了数学建模竞赛的层次

我们知道, 实数系的时间的模型, 微积分是物体运动的数学模型方法, 欧氏几何是关于直觉空间形体 (刚体运动下图形结构不变的形体) 关系分析的数学模型方法, 自然数1, 2, 3…是用以描述离散数量的数学模型方法.

计算机的广泛应用和科学技术的数学化趋势, 使得数学模型方法已经非常广泛地应用于自然科学、工程技术科学与社会科学的一切领域中。例如, 经济科学、军事科学、交通运输等管理科学领域.都无例外地应用着数学模型方法.近几年的竞赛试题《中国人口增长预测 (2007年试题) 》, 《数码相机定位 (2008年试题) 》, 《乘公交, 看奥运 (2007年试题) 》等是很好的说明。

随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透, 一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。当用数学方法研究这些领域中的定量关系时, 数学建模就成为首要的、关键的步骤。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大, 为数学建模竞赛试题的选择提供了广阔的新天地。

摘要：数学提供给人类的不仅仅是现成的知识和工具, 更重要的是提供给人类的思想和方法。本文论述了数学建模竞赛与数学模型方法的关系。数学建模竞赛是数学模型方法应用的平台, 数学模型方法的恰当应用推动数学建模竞赛的有序展开。

关键词：数学,数学建模竞赛,数学模型方法,学生

参考文献

[1]涂荣豹, 季素月.数学课程与教学论新编[M].江苏教育出版社, 2007, 12.

[2]徐利治.数学方法论选讲[M].华中理工大学出版社, 2001, 15.

[3]周远清, 姜启源.数学建模竞赛实现了什么[N].光明日报, 2006.1.11.

[4]姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社, 2003.

[5]陈思水, 王峰.数学建模与实验[M].北京:科学出版社, 2007.

建模方法与数学解题 篇2

【关键词】中职数学 解题教学 要素 程序

数学解题活动是一种创造性的思维活动，是学生学习数学的重要方式，是实现数学教学目标的重要途径和手段，是中职数学教学的重要组成部分。本文在分析数学解题要素的基础上探讨数学解题的一般程序，提出了数学解题教学的策略、方法和技巧。

一、数学解题要素

解题，无论是计算还是推理，都是不断地运用已知条件和已知命题进行转化的过程，就是把未知的问题归结为已经解决过的问题。

（一）数学解题的要素

1.认识的资源

任何解题都是以一定的数学知识，包括陈述性知识和程序性知识作为必要条件的认识的资源，主要是指与解题有关的数学基础知识、基本技能和由基本图形、模式、方法构成的知识组块。

在实际解题中，起重要作用的是对认识资源的合理组织，即解题者良好的认知结构，它使解题者遇到有关问题时，能够根据其特征迅速地从自己的记忆库中提取所需知识，迅速地联想起大脑中贮存的知识组块（基本的图式、模式和方法），直觉敏锐地进行识别、分析，形成对问题的整体综合判断和预测，从而得到解题方法和思路。

2.启发法

启发法，即一系列开启和指导数学解题活动、克服解题困难、发现解题思路的方法。启发学生去联想，可以通过一系列建议性或启发性的问题来加以回答。

3.元认知水平

元认知是对自我认知的认知，是认知主体对自身的心理状态、认知能力和认知策略方面的认识、监控和调节。在具体的数学解题活动中，则体现在对所进行的解题活动（解题模式的识别、解题策略的选择、解题途径的探索、解题方案的构思等）的自我意识、自我评估和自我调整。自我调整是在自我评估后采取的对策行为，一般根据自我评估的反馈信息，针对解题中的薄弱环节或存在的问题，在新的起点上调整自己的解题策略，修正原先的解题途径，使思维活动回到正确的轨道上来。

4.信念系统

数学解题中的信念系统，泛指影响解题的非智力因素，即解题者学习积极性方面的因素，诸如态度、意志和情感等方面的个性品质。解题中的观念，主要是指解题者的数学观，即怎样看待数学，怎样看待解题。一般说来，观念正确有助于明确学习目的，端正学习态度，使人保持旺盛的求知欲，积极地、主动地去解决面临的问题。解题中的情感，主要是指主体从事解题活动的愿望和决心。主体只有热爱自己所从事的工作，或者对其产生浓厚的兴趣，并发展成为一种爱好、一种追求，奋斗才有动力，才能勇于克服各种困难。消极的情感对人们的行为起阻碍作用，它会分散人的注意力，削弱人的意志力，从而使人无法进行正常的解题活动。

（二）数学解题教学中存在的主要问题

当前，在实际的数学解题教学中有两个方面的问题比较突出：

一是只注重方法的传授，忽视方法的获取过程。经常可以看见这样的情形：课堂上，无论计算还是推理，也无论是难题还是简单题，教师一看便能给出绝妙的解法，学生听得头头是道，可课后却一无所获，学生在解题时只能去模仿，而不能有效地进行分析和思考。究其原因在于：教师只是扮演了一个表演者、一个成果的展示者，而学生只是一个旁观者、欣赏者，看到的只是教师的思维成果。

二是只满足于问题的解决，不注重反思深化。有的教师为讲题而讲题，只强调高难度，不注重引导学生进行回顾和反思：对解题过程和方法进行总结归纳，对题目的条件和结论进行拓展延伸，以达到由例及类、由特殊到一般、举一反三、触类旁通之功效，导致学生缺乏问题意识、创新意识。

二、数学解题的一般程序

（一）审题

审题，就是通过读题理解题意。具体地说，就是要弄清题目的已知事项、未知事项和结构特征。弄清已知事项的要求是：罗列明显条件，挖掘隐含条件；把条件符号化、图表化；写出条件的等价形式，把条件做适合解题需要的转换。弄清未知事项的要求是：罗列解题目标；分析目标之间的层次关系；弄清解题目标的等价说法。弄清结构特征的要求是：判明题目的类型；推敲题目的叙述可否做不同的理解；观察数、式或图形的结构特征；如果题目是用文字表示的，设法改用图、式、表格或符号来表示，使之直观、具体；分析条件和目标之间可能的联系。

（二）探索解题方法

1.回想。根据题目中涉及的主要概念，回想它的定义是什么。

2.联想。如果直接套用现成的知识解决不了问题，就必须进行联想。

3.猜想。如果经过联想，问题仍然解决不了，不妨大胆进行猜想。猜想的途径，可以从特殊猜想一般，也可以从特殊猜想特殊；可以从相似的或相近的猜想同构的模型，也可以突破旧模式，跃出新形象。解题中常用的猜想方式有观察猜想、归纳猜想、类比猜想、想象猜想、直觉猜想等。

（三）阐述解答

就是在找到解题方法以后，把它付诸实施，即具体地进行计算和推理，并把求解过程用数学语言表述出来。准确、简洁、清楚的表述是数学基本功的体现，也是数学语言能力的反映。教师应重视解答的表述：一是要求正确无误；二是要求规范严谨，做到步步有据、合乎逻辑，包括作图、计算、推理；三是要求简洁清楚、层次分明，尽量使用数学语言。

（四）反思深化

在阐述解答后，再对原题的条件、结论和解题方法进行思考，设法去揭示隐藏在眼前具体情形中的一般模型，实现解题技巧与程式训练相结合。

【参考文献】

[1]骆小平.促进技校生数学课堂的几点建议[J].语数外学习，2013（05）.

高三数学解题方法与策略探究 篇3

1.培养学生逻辑思维能力

教师不但要教会学生解题方法,更重要的是培养学生的逻辑思维,学会解题思路.最能体现 学生逻辑 能力就是 排列组合题和逻辑推理题.

用0,1,2,3,4,5,6这7个数字,根据下列条件可以组合成多少个没有重复数字的数,求个位,百位都是 偶数的四 位数有多少个?这种问题我们要学会分类,理清头绪,有逻辑有条理的来解题.个位和百位都是偶数,那么因为个位和百位比较特殊,所以我们用特殊位置法:个位和百位都是偶数,那么我们先在0,2,4,6这四个偶数中选择2个排在个位和百位,然后其他几个数字任意排列,这里又要分两种情况考虑:

(a)个位和百位中有一个0,那么先把0放在个位或者百位C12=2,然后剩下3个中选择一个偶数放在另外一个位置上C13=3,最后把剩下的五个数选择放在剩余位置上全排列A25=20,所以这种情况下的个数 =2×3×20=120.

(b)个位和百位中没有一个是0,那么在三个偶数中选择两个放在个位和百位上全排列有A23=6,然后千位上从剩下的4个(因为要除去0)中选择一个有C14=4,最后十位上从剩下的4个中选择一个C14=4,所以这种情况下的个数 =6×4×4=96,因此满足题目的个数 =120+96=216个.

这类题型不但培养了逻辑思维能力,提高了学生学习的积极性和主动性,而且化被动为主动,提高了学习效率.

2.培养学生发散思维能力

高三的数学题 复杂并且 难度较大,需要学生 自己开动 脑筋,积极探索.

例,“已知集合A = {x∈R|(x-20)[x-(3a+1)]<0},B = (2a,2a+1),求使B属于A的实数a的取值范围”.

解释:集合A即是二次不等式(x-20)[x- (3a+1)]<0的解集,若想使B包含于A,则方程(x-20)[x-(3a+1)]=0的两根为x1=20及x2=3a+1必须分布在区间(2a,2a+1)之外,或端点上.

方法1:(1)当二次函数f (x)= (x-20)[x-(3a+1)]与x轴的交点分布在区间(2a,2a+1)之外时,从二次函数图象分析得,必须且只需f (2a)<0且f (2a+1)<0,解得a<-1,a>10.

(2)当二次函数f (x)= (x-20)[x-(3a+1)]与x轴的交点至少有一个在区间(2a,2a+1)的端点上时,必须且或只需20=2a且3a+1≥2a+1 (1)

或20=2a+1且3a+1≤2a (2)

或3a+1=2a且20≥2a+1 (3)

或3a+1=2a+1且20≤2a (4)

由(1)得a=10,由(2)得a=9.5且a≤-1,无解.由(3)得a=-1.由(4)得a=0且a≥10,无解,

总之,a的取值范围是(- ∞,-1]∪ [10,+ ∞).

方法2:从二次函数f (x)的二次项系数为正数来看,二次函数的图象是 一个开口 向上的抛 物线.由于要求 二次函数f(x)= (x-20)[x-(3a+1)]与x轴的交点分布在区间(2a,2a+1)之外或端点上,故分析抛物线与直线x=2a及x =2a+1的交点,符合题意的情况只有这两个交点都在x轴下方或x轴上,即当且仅当f (2a)≤0且f (2a+1)≤0时符合题意,解得a的取值范围是(- ∞,-1]∪ [10,+ ∞)”.

在基础知识巩固之后,学生还是要多做题,丰富自己的知识面和题型种类,寻找各个 题型的相 同点,建立知识 点之间的连接,使学生轻松解答数学难题,练习题达到一定数量后,要总结做题规律,做到从特殊到普遍,普遍到特殊的灵活转化.

二、树立解题过程中反思意识

1.反思解题错误

在几何问题中,我们要从图形中挖掘出深层次的东西,否则会很容易做错题.

例如,为什么函数y=f (x)与y=f-1(x)的图象关于直线y =x对称,则y =f (x)与x =f-1(y)却有相同的图象;又如,为什么当f (x-1)=f (1-x)时,函数y=f (x)的图象关于y轴对称,而y =f (x-1)与y=f (1-x)的图象却关于直线x =1对称,不透彻理解一个图象对称性与两个图象的对称关系的区别,两者很容易混淆.

2.理解数学例题,掌握多题一解

在实践经验中,没有任何方法比方程更万能,应用题、几何题、推理题等等都离不开方 程,下面一道 例题充分 表现了方 程的多题一解作用.

设an是关于x的方程xn+nx-1=0(n属于正自然数,x属于正实数)的根,试证:(1)an ∈(0,1);(2)an+1 <an.

三、反思解题方法,理解数学哲理

在学会解题方法,要学着自己总结归纳,把学会的知识变成自己的,学会灵活运用.例如,“用数学归纳法证明:x2n-y2n(n属于N* )能被x+y整除.”

第一种证明方法:

1.当n=1时,有x2-y2= (x+y)(x-y)可知能被x+y整除.

第二种证明方法:

每一道题从不同角度进行思考,会得出不同的解法,我们要学会归纳总结,找出适合自己的方法.

数学的设计原则与解题方法 篇4

一、情趣性

我常这样包装作业：“连线题”美名其曰“手拉手”或“最佳搭档”;“改错题”变成“火眼金睛辨对错”或者“我当小医生”;将“选择题”改成“快乐ABC” 或“猜猜我是谁”;“计算题”变为“计算擂台赛”;“应用题”美名其曰为“生活在线”，“思考题”改成“聪明屋”或“智慧加油

二、选择性

黄沙如海，找不到绝对相同的两颗沙粒;绿叶如云，寻不见完全雷同的一双叶片，学生也如此。所以我们要立足于“针对有差异的学生，实施有差异的教育，完成有差异的发展”上寻找作业与新课标的最佳结合点，从而避免出现“会了，懂了继续做;不会，不懂却不做”的现象。设计“弹性”作业，以满足不同层面的学生的需要，切实实现“人人能练习，人人能发展”的目标。

比如在作业布置时，利用“作业超市”的形式设置三类题目。一星级：基础型作业，适合中下学生完成;二星级：提高型作业，基础中略带灵活性，适合中上学生完成;三星级：拓展型作业，这种题目有一定难度，主要是针对基础好的学生设计的，有利于培养学生思维和深刻性。在“作业超市”里，学生可自主选择类型，也可以各种类型自由搭配，做到因人而异，各取所需。如，在学习“乘法简单应用题”之后，设计这三类的作业，供学生自由选择。

三、生活性

数学课程改革的重要策略之一，就是把数学教学与学生原有的生活经验密切联系起来。荷兰数学家弗赖登尔在他指出“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。”为此，作业练习设计应从学生熟悉的生活实际与生活环境的联系寻找例子，让学生在现实情境和已有的生活经验中体验和理解数学。这样，才能使学生对新知识产生亲切感，认识到现实生活中隐藏着丰富的数学学问，让学生感到现实生活中处处有数学，处处用数学。

数学题的解题方法

1.比较法

通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。

比较法要注意：

(1)找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。

(2)找联系与区别，这是比较的实质。

(3)必须在同一种关系下(同一种标准)进行比较，这是“比较”的基本条件。

(4)要抓住主要内容进行比较，尽量少用“穷举法”进行比较，那样会使重点不突出。

(5)因为数学的严密性，决定了比较必须要精细，往往一个字，一个符号就决定了比较结论的对或错。

例题

0.75的最高位是( )，这个数小数部分的最高位是( );十分位的数4与十位上的数4相比，它们的( )相同，( )不同，前者比后者小了( )。

这道题的意图就是要对“一个数的最高位和小数部分的最高位的区别”，还有“数位和数值”的区别等。

2.公式法

运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。它体现的是由一般到特殊的演绎思维。公式法简便、有效，也是孩子学习数学必须学会和掌握的一种方法。但一定要让孩子对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。

例题

计算59×37+12×59+59

59×37+12×59+59

=59×(37+12+1)……运用乘法分配律

=59×50……运用加法计算法则

=(60-1)×50……运用数的组成规则

=60×50-1×50……运用乘法分配律

=3000-50……运用乘法计算法则

=2950……运用减法计算法则

3.分析法

把整体分解为部分，把复杂的事物分解为各个部分或要素，并对这些部分或要素进行研究、推导的一种思维方法叫做分析法。

依据：总体都是由部分构成的。

思路：为了更好地研究和解决总体，先把整体的各部分或要素割裂开来，再分别对照要求，从而理顺解决问题的思路。

也就是从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决为止，这种解题模式是“由果溯因”。分析法也叫逆推法。常用“枝形图”进行图解思路，多写要素多画图是最有效的分析方式。

例题

玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。问平均每天超过计划多少件?

思路：要求平均每天超过计划多少件，必须知道：计划每天生产多少件和实际每天生产多少件。计划每天生产多少件已知，实际每天生产多少件，题中没有告诉，还得求出来。要求实际每天生产多少件玩具，必须知道：实际生产多少天，和实际生产多少件，这两个条件题中都已知。

4.方程法

用字母表示未知数，并根据等量关系列出含有字母的表达式(等式)。列方程是一个抽象概括的过程，解方程是一个演绎推导的过程。 方程法最大的特点是把未知数等同于已知数看待，参与列式、运算，克服了算术法必须避开求知数来列式的不足。有利于由已知向未知的转化，从而提高了解题的效率和正确率。

例题

一个数扩大3倍后再增加100，然后缩小2倍后再减去36，得50。求这个数。

5.特例法

对于涉及一般性结论的题目，通过取特殊值或画特殊图或定特殊位置等特例来解题的方法叫做特例法。特例法的逻辑原理是：事物的一般性存在于特殊性之中。

例题

大圆半径是小圆半径的2倍，大圆周长是小圆周长的倍，大圆面积是小圆面积的()倍。

可以取小圆半径为1，那么大圆半径就是2。计算一下，就能得出正确结果。

建模方法与数学解题 篇5

一、对待初中学生解题错误的态度

在初中数学教学中，教师害怕学生出现解题错误，对错误采取严厉禁止的态度是司空见惯的。在这种惧怕心理支配下，教师只注重教给学生正确的结论，而不注重揭示知识形成的过程，害怕启发学生进行讨论会得出错误的结论。长此以往，学生只接受了正确的知识，但对错误的出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误但改不对。持这种态度的教师只关心学生用对知识而忽视学生会用知识。

例如，在讲有理数运算时，由于只注重得出正确的结果，强调运算法则、运算顺序，而对运用运算律简化运算注意不够，但后者对发展学生运算能力却更为重要。总之，这种对待错误的态度会对教学带来一些消极的影响。基于上述原因，教师对待错误的惧怕心理和严厉态度转变为承受心理和宽容态度是十分有意义的。因为数学学习实际上是不断地提出假设，修正假设，使学生对数学的认知水平不断复杂化，并逐渐接近成熟的过程。从这个意义上说，错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习的某个阶段的水平，而不能代表其最终的实际水平。此外，正是由于这些假设的不断提出与修正，才使学生的能力不断提高。

二、初中学生解题错误的原因

学生顺利正确地完成解题，表明其在分析问题，提取、运用相应知识的环节上没有受到干扰或者说克服了干扰。在上述环节上不能排除干扰，就会出现解题错误。

就初中学生解题错误而言，造成错误的干扰来自以下两方面：

（1）小学数学的干扰 。在初中一开始，学生学习小学数学形成的某些认识会妨碍他们学习代数初步知识，使其产生解题错误。例如，在小学数学中，解题结果常常是一个确定的数。受此影响，学生在解答下述问题时出现混乱与错误。原题是这样的：礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前1排多1个座位，第2排有几个座位？第3排呢？设m为第n排的座位数，那么m是多少？求a=20，n=19时，m的值。学生在解答上述问题时，受结果是确定的数的影响，把用n表示m与求m的值混为一谈，暴露出其思考过程受到上述干扰的痕迹。

（2）初中数学前后知识的干扰。随着初中知识的展开，初中数学知识本身也会前后相互干扰。例如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3—7中7前面的符号“—”是减号给学生留下了深刻的印象。紧接着学习代数和，又要强调把3—7看成正 3与负7之和，“—”又成了负号。学生不禁产生到底要把“—”看成减号还是负号的困惑。这个困惑不能很好地消除，学生就会产生运算错误。

学生在解决单一问题与综合问题时的表现也可以说明这个问题。学生在解答单一问题时，需要提取、运用的知识少，因而受到知识间的干扰小，产生错误的可能性小；而遇到综合问题，在知识的选取、运用上受到的干扰大，容易出错。总之，这种知识的前后干扰，常常使学生在学习新知识时出现困惑，在解题时选错或用错知识，导致错误的发生。

三、减少初中学生解题错误的方法

（1）课前准备要有预见性。预防错误的发生，是减少初中学生解题错误的主要方法。讲课之前，教师如果能预见到学生学习本课内容可能产生的错误，就能够在课内讲解时有意识地指出并加以强调，从而有效地控制错误的发生。例如，讲解方程x/0.7—（0.17—0.2x）/0.03=1之前，要预见到本题要用分式的基本性质与等式的性质，两者有可能混淆，因而要在复习提问时准备一些分数的基本性质与等式的性质的练习，帮助学生弄清两者的不同，避免产生混乱与错误。因此备课时，要仔细研究教科书正文中的防错文字、例题后的注意、小结与复习中的应该注意的几个问题等，同时还要揣摸学生学习本课内容的心理过程，授业解惑，使学生预先明了容易出错之处，防患于未然。

（2）课内讲解要有针对性。在课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。对于容易混淆的概念，要引导学生用对比的方法，弄清它们的区别和联系。对于规律，应当引导学生搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，了解它们的用途和适用范围，以及应用时应注意的问题。教师要给学生展示揭示错误、排除错误的手段，使学生会识别错误、改正错误。要通过课堂提问及时了解学生情况，对学生的错误回答，要分析其原因，进行针对性讲解，利用反面知识巩固正面知识。课堂练习是发现学生错误的另一条途径，出现问题，及时解决。

（3）课后讲评要有总结性。要认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误，加以评述。通过讲评，进行适当的复习与总结，也使学生再经历一次调试与修正的过程，增强识别、改正错误的能力。

数学建模的教学方法与策略研究 篇6

1数学建模的概述和意义

简单来说, 数学建模就是指数学模型的建立过程, 主要是通过利用数学方式和方法解决实际问题。具体的过程是首先将所考察和研究的现实问题转化为数学问题, 建立相应的数学模型, 然后求解提炼的数学模型解决所探究的现实问题[1]。如果对数学建模方法没有一个系统的掌握, 只知道一些碎片化的零散知识, 在遇到现实问题时就难以用数学建模的方式去解决和处理。虽然数学建模的方式和模式不存在固定、统一和通用, 但在一定程度上, 还是存在一些具有普遍适应性的基本方法。

2数学建模的教学方法与策略

2.1注重数学建模方法的各环节之间的联系

2.1.1重视数学建模方法的步骤

首先, 需要对于数学建模方法的各个步骤的含义、作用、特点以及各个步骤之间的关系及相互作用做出详细的讲解和阐述, 并解释其各步骤应该注意的问题[2]。然后从数学建模的方法层次对情境感知、问题理解、做出假设、提炼模型、求解模型、解释应用和模型评价等各个步骤展开分析。在教学时, 注意讲解步骤时需要在同一个现实问题的背景之中。使学生能够系统的掌握数学模型方法的建立, 为以后模仿建模与独立建模提供可循的依据和原则指导。

2.1.2重视普遍适应性的数学建模方法

普遍适应的数学建模方法, 对于解决现实问题是最简单可行的, 也是在解决现实问题时, 应该首先采用的办法。包括关系分析、理论分析、数据分析、图形分析、平衡原理法等数学建模基本方法。

2.1.3注意其他相关的数学建模方法

包括极限建模、微分建模、微分方程建模、积分建模、统计建模、概率建模、层次分析等多种方式的教学。

2.2对于数学建模方法采取分阶段的教学方式

数学建模方法的教学需要分阶段进行展开, 遵循由简单到复杂, 由容易到困难的阶梯状教学模式。其中, 由容易到复杂可分为初级建模、典型建模与综合建模三个部分。初级建模是指数量关系比较明显, 比较容易展开, 运用基本的数学方法和知识就可以解决, 求解简单明确, 可以不用过多整理分析;典型建模是指所要探究的现实问题涉及面比较广, 文字说明解释比较多, 用容易的数学式子较难表述出来, 需要经过判断分析, 做出恰当的假设。去掉一些本质之外的因素, 量与量的关系较容易发现, 所求结果并不是十分精确, 需要进一步的简单评价和分析说明;综合建模是指主要来源于生产生活的中的实际问题。都是没有经过转化和抽象的原始问题。问题的背景信息不明确, 一般情况只有问题的基本要求和情境, 在求解过程中除了数学知识, 还要用到一定的在数学领域之外的知识。切入问题困难, 量与量的关系也较难发现。需要花费较多的精力去收集整理和分析判断所用的信息和数据[3]。

2.3加强数学建模方法的多元化表征

对数学建模方法的教学需要从多角度多元化的表征, 运用数学建模, 可以用多种途径来解决现实问题, 同一数学建模以不同的方式在不同的情境中可以多次出现, 对于同一种数学建模方法要以不同的方式多角度多方面的分析, 从而使其中隐含的关键要素不断的呈现出来, 有助于学生掌握并运用到其他新的情境中去, 提高对数学建模以及现实问题的灵活掌握。数学建模方法采用单一的视角和现实问题, 会使学生容易错失对于数学建模的其他重要方面理解, 并会导致学生在现实问题中不能够灵活多样的运用, 因此在具体的教学中, 注意展示数学家建模的方法间的多维关联, 加强数学建模的方法的多元表征, 实施对数学建模方法的多维分析[4]。

2.4将数学建模方法与现实问题联系交叉

数学建模方法的提出就是为了解决现实问题, 因此在数学建模的教学中需要同具体的现实情境联系交叉。抽象的数学建模方法在现实问题的应用中存在着很多的变量, 这就要求在教学中, 注意覆盖多种现实问题, 在丰富的现实问题中, 向学生讲授数学建模方法的多个方面。由于不同问题所蕴含的情境也不相同, 采用相同的数学建模方法的不同现实问题, 能够反映出数学建模的方法的不同其他方面与特性, 反之, 对一种数学建模方法需要采用多角度的拟定问题情境, 充分的展示出其数学建模方法的多样情境支持。

3数学建模教学的教学方法的具体案例

3.1案例介绍

有一只鸭子想要游到河流对岸的某个位置O, 若是这只鸭子的方向始终朝着河流对岸的O, 求这只鸭子的游动曲线。

3.2模型假设和建立

首先假设河流两岸为平行直线, 河流宽度为H;鸭子游水的速度为b, 水流速度为a, 两者均为常数;将鸭子出发点的位置设为A;鸭子的游动方向自始至终指向O[5]。

取O点为坐标原点, 河流的顺水方向定位X轴, 河流对岸则是Y轴指向。若是能求出p (x, y) 关于时间t的表达式。具体如下图所示:

3.3模型计算求解

例如取a=1, b=2, h=10, △t=0.3, 则结果如下表所示:

4结语

综上所述, 如今的大学教学中, 对于数学建模的应用十分普遍, 因为数学建模具有形象直观的功能, 所以在数学建模讲述的案例比较容易被大家所理解, 因而, 数学建模得到了大学老师的重视和青睐。然而, 数学建模的教学方法在实际的应用中, 因为假设错误或者语言漏洞, 给数学建模教学带来了严重的阻碍。基于此, 为了促进数学建模的发展, 必须对数据建模的教学方法存在的问题, 进行妥善处理, 才能进一步推动大学数学教学的进步。

参考文献

[1]蒲俊, 张朝伦, 李顺初, 等.探索数学建模教学改革提高大学生综合素质[J].中国大学教学, 2011, (12) :24-25, 70.

[2]王诗云, 单锋, 刘勇进, 等.大学生数学建模的发展历程[J].林区教学, 2012, (7) :100-102.

[3]宋云燕, 朱文新.浅析大学数学教学中数学建模思想的融入[J].教育与职业, 2015, (10) :76-77.

[4]陈绍刚, 黄廷祝, 黄家琳, 等.大学数学教学过程中数学建模意识与方法的培养[J].中国大学教学, 2010, (12) :44-46.

建模方法与数学解题 篇7

数列是高中数学试题中的重要构成部分,数列知识是高中数学非常关键的一部分.但是学生在学习数学知识的时候,对数列知识掌握程度明显不够,导致在解题的时候总是出现相关的问题.事实上,数列解题与其他的数学知识有着高度的相似性.解题的时候同样存在着解题技巧.学生掌握相应的解题技巧与方法,才能够快速解数列试题.

一、数列在高中数学中的重要性

在高中数学知识系统中,数列可以说是一个单独的知识模块.数列在高中数学教材中占据着非常重要的位置.从知识背景的角度来说,数列知识是数学知识与教学的一个融合点.数学试题中的综合性解题思路与技巧都来源于数列.根据数列的知识体系,研究分析数列中的不等式、函数以及相关方程,并有效地将其结合在一起,对学生后期数学知识的学习具有非常重要的意义.事实上,大学数学中的极限与数列存在着一定的联系.数列是离散数学的一种,同时也是一种比较特殊的函数.学生在高中阶段掌握数列知识,可为其后期的数学学习打下坚实的基础.

二、数列试题解题方法与技巧

分析数列试题构成,综合分析来说,数列试题考查多体现在基本概念和通项公式与方法.学生在学习数列的时候,应当重视这两方面知识内容的掌握.

首先,基本概念.数列试题在考查基本概念的时候,学生最重要的是要学会运用通项与公式和性质.

第一,通项与公式的运用.分析这类题目,可发现这其中并没有任何的技巧可言.学生在解题的时候只要利用相关的公式将其直接带入进行计算便可.如,设{an}为等差数列,求前n项和.从这道题目的已知条件就可了解到,解题的时候只要结合等差数列通项公式和前n项求和公式,求出数列的首项与公差.根据题目已有的条件,将结果带入到等差数列的前n项求和公式,就能够求出等差数列Sn的数值.实际上,这一类题目,并没有要求学生掌握什么技巧,只要学生熟记数列的基本概念,且教师重视课堂知识的传递,而不是知识的积累,就能够帮助学生将此类题目顺利解答出.

第二,性质的考查.分析近几年高考的数列试题,就可发现,试题要求学生能够使用变化的方法来掌握数列性质,继而掌握数列知识内容.如,已知等差数列{an}中,存在a3+a7=37,求a2+a4+a6+a8=?在学习等差和等比数列的时候,就了解数列有这么一个性质,如果m+n=p+q,那么就可得出am+an=ap+aq(am·an=ap·aq).根据题意就能够得出3+4=2+5=1+6,由此便可将其应用到题目中,这样就可得出a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=2×37=74.这一类题目,主要考查学生对数列问题的综合理解与掌握.但是在教学活动开展的过程中,教师应重视对知识的推理,加深学生对性质的了解和掌握.

其次,对通项公式与方法的考查.从最近几年的高考数学试题中,可了解到数列的相关问题是重点考查的问题,而教师在教学活动开展的过程中,应当重点讲解数列求和的相关问题,而这其实也是高考数列重点考查的内容.通常情况下,在解答数列试题的时候,最常用的仍旧是这么几种方法.

第二,分组法求和.在数列试题中,有部分数列并不是等差数列,同时也不是等比数列.但是如果将其拆分成几个不同的部分,就会发现是等比数列或等比数列的组合.对于这类试题,通常采用的方法是分组求和方法,将其拆分成容易求和的数列,分别求和后,再合并求和.

结语

总而言之,在高中数列试题解答的过程中,学生掌握相应的解题技巧与方法,对提高解题速度具有重要的意义.同时有效的解题方法有利于学生取得理想的成绩.因而,讲解数列解题方法和技巧显得非常重要.

摘要：在高中数学知识学习的过程中,数列可以说是非常重要的一部分.学生要想在高中数学考试中获得较为理想的成绩,就需要掌握必要的数列解题思路与解题技巧.本文就高中数学数列试题解题方法与技巧进行简单分析.

关键词：高中数学,试题,解题方法

参考文献

[1]曹辉.高中数学数列试题的解题方法与技巧研究[J].数理化解题研究,2015,13(18):789.

建模方法与数学解题 篇8

关键词：初中数学,选择题,解题方法,技巧

选择题的解题方法较多,常用的方法有直接求解法、取特殊值、代入验证法、筛选排除法、数形结合法、实验操作法等,要准确迅速的求解,必须根据题目特点熟练掌握解题方法与技巧。

一、直接求解法

不管备选答案,从已知条件出发,运用概念、法则、公式与定理等,进行运算或推理,求出结果,做出选择。

例1:直角三角形的两条直角边分别为5,12,分别以此三角形的三个顶点为圆心的三个圆两两相外切,则这三个圆的半径为()

A.3,4,5B.2,3,10C.4,5,6D.1,4,7

解析:三个圆的半径由直角三角形的三边而定,由勾股定理得两直角边为5和12的直角三角形斜边为13,设两两相外切的三个圆半径为r1,r2,r3,根据两圆外切圆心距等于两半径之和得:r1+r2=5,r1+r3=12,r2+r3=13,解方程组得:r1=2,r2=3,r3=10,选择答案B。

点评:用勾股定理求得直角三角形斜边后,利用两圆外切时圆心距为两圆半径之和得三元一次方程组是解决问题的关键。

二、取特殊值法

对于一个命题,如果符合条件的全部情况都成立,那么对于符合条件的特殊情况必定也成立,这样的问题可以用取特殊值的方法解决。如当所给的条件中含有字母,且不易直接判断计算时,可以取字母符合条件的特殊值,将繁杂的字母算式转化为简单的数字计算,从而得到答案。

解析:可从巧取特值的角度出发,把其中的一个未知数设为0,则可以暂时隐去这个未知数,而就另一个未知数的式子来分解因式,达到化二元为一元的目的。令y=0,得:x2+2x-3=(x+3)(x-1);令x=0,得:-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。将两次得到的系数1,1;-2,4。十字交叉相乘,即:1×4+(-2)×1正好等于原式中xy项的系数。因此,x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。选择答案D。

点评:在解答选择时,如果题目字母符合赋予特殊值的条件,赋予其特殊值,可简化计算,提高解题效率,节约解题时间。

三、代入验证法

根据题目所给的已知条件进行验证,看得到的结果是否满足题目的要求,若不满足就排除,如果满足,它就是应选择的正确答案。

例3:二次函数的顶点为(-2,3)且过点(0,11),则这个二次函数的解析式是()

解析:因为备选答案中所给的四个函数的图象都经过点(0,11),所以只需将点(-2,3)的坐标逐一代入备选答案中只有B选项成立,故选择答案B。

点评:备选答案中的四个函数当=0时y的值均为11,即四个函数的图象都经过点(0,11),只需验证顶点坐标(-2,3)满足哪个函数就行。

四、筛选排除法

对于正确答案有且只有一个的选择题,根据题目所给的已知条件,运用数学知识进行推理、演算,把不正确的选项通过筛选一一排除,最后剩下一个选项必是正确的。在筛选排除过程中要抓住问题的本质特征

例4:当k>0、b<0时,函数的图象通过()

A.1.2.3象限B.1.3.4象限C.2.3.4象限D.1.3.4象限

解析:若图象过1.2.3象限,则k>0,b>0与条件不符;若图象过1.2.4象限,则k<0,b>0不符:若图象过2.3.4象限,则k<0,b<0不符:若图象过1.3.4象限,则k>0,b<0与条件相符,故选D。

点评:本题的另一种解法更为简便,即根据直线与、轴的截距来判断函数图象在平面直角坐标系里的位置,k>0直线与轴正半轴相交,b<0直线与轴负半轴相交,画出直线在平面直角坐标系里的大致图象,所以函数图象过1.3.4象限,选择答案D。

五、数形结合法

数形结合是数学中重要的思想方法,解答与图形图象有关的选择题时,根据已知条件准确地画出图形图象,通过观察与比较,发现图形图象的特征,从而作出正确的选择。

六、实验操作法

由题设提供文字、图形、图象的信息或提供操作的指向,一般有折纸、剪纸画图等,通过实验操作得出正确选项。

例6:把一个半圆形纸片连续对折两次后,用剪刀剪去弓形部分,展开后得到一个五边形,半圆直径与另外两边的夹角分别为()

A.75°,75°B.60°,60°C.67.5°,67.5°D.65°,65°

解析:把半圆形纸片两次对折剪裁后,得到的五边形除半圆直径外的其余四条边都相等(剪裁时弓形的弦长),进而可想到若把另一个和它全等的五边形拼在一起就可得到一个正八边形,因为(8-2)×180°÷8=135°,而展开后的五边形恰好是正八边形的一半,半圆直径与另外两边的夹角恰好是正八边形内角的一半,所以选择答案C。

点评:圆形纸片通过三次对折剪裁后,得到的多边形是正八边形。解题的关键是把通过实际折纸与剪裁的操作后得到的有四边相等的五边形,通过联想与所学知识的联系,动手操作翻转(反转)图形后得到正八边形,问题就迎刃而解了。

建模方法与数学解题 篇9

关键词：高中数学教学,解题训练,情境创设,问题提出

在新课程改革不断深入的过程中, 数学思想在高中数学教学中的渗透不断增多, 数学问题实际应用的受重视程度也越来越高。而解题训练的模式没有脱离数量大的特点, 一些学生在努力学习的同时对数学产生排斥心理, 对数学的兴趣也逐渐消失。这种矛盾与数学教学过程中的价值理念有很大的关系。新课程标准提倡积极主动的探索模式与学生数学应用意识的培养, 问题情境创设是符合新课程标准要求的有效教学方式。

一、创始问题情境的实际重大意义

情境教学法是指在教学过程中, 教师根据教学内容的要求, 有目的地创设或引入具有一定情绪色彩的, 使学生如临其境, 如见其人, 如闻其声, 以形象为主体的生动具体的场景, 使学生受到情绪的感染, 引起感情上的共鸣, 以情人理, 情理交融, 从而帮助学生理解教材, 并使学生的心理机能得到发展的方法。情境式教学的核心在于激发学生的情感。数学情境式教学就是指借助于数学情境提供的信息, 通过联想、想象和反思, 发现数量关系与空间形式的内存联系, 进而能够提出问题、研究问题、解决问题。同时伴随着一种积极的情感体验, 其表现为对客观世界的探索欲望, 对新知识的渴求, 对数学的热爱等。

(一) 摆脱传统学习方式的束缚

学习方法改革是新课程改革中的重要课题, 传统教学理念的基础是学生的客观、知识受体地位, 而新课程理念需要突出学生的能动性、独立性与主体地位。创设问题情境的教学模式与现代教育理念相适应, 在数学课堂教学中让学生处于特定的情境中, 能主动学习寻找问题, 培养学生对知识的探究能力, 让学生在实践过程中锻炼提出、分析与解决问题的能力, 提高学生学习兴趣。

(二) 营造良好的学习氛围

在以往的教学中, 将数学基础知识的传授与技能的训练作为教学重点, 忽视了学生思维能力的训练与培养。而创设情境能够活跃课堂气氛, 突出学生的主体地位, 激发学生的学习兴趣, 提高学习成绩。

(三) 促进教师教学理念的改变

在现代教育理念指导下的高中数学教育教学过程中, 探索过程的重要性不断突出, 教学重心更偏向于数学思维的灵活体现。数学是逻辑思维与客观规律的集合, 典型情境的创设能够让学生在探究过程中, 充分理解数学概念的形成与定理的推理过程。在不断创新变化的课堂环境中, 传统的教学理念必然会被逐渐削弱, 且被融合新课理念的教学活动与观念所替代。

(四) 使学生创新能力得以发挥

在数学课堂教学中创设问题教学情境, 能够让学生不断发现与提出问题的过程中, 应用已经掌握的知识与实践经验进行处理, 既能够实现教学目标, 又能够体现学生问题处理的个性化。利用情景教学的特殊作用, 培养学生的创新能力, 结合实践教育, 将当前的学习内容与将来的实践应用相结合, 让学生的创新能力得到充分发挥。

二、情境创设与问题提出的方法

(一) 数学学科文化的渗透

新课程理念中, 数学教学目标包括了情感体验, 以及动机、兴趣、习惯、态度、意志、自信等多种非智力因素。因此在问题情境教学中, 充分融合数学文化的内容能够体现数学在价值、情感等方面的重要作用。情境创设法能够充分体现数学文化的价值, 比如高斯的倒序相加在等差数列求和中的应用、杨辉三角发展中的相关历史内容等。

(二) 生活化情境的创设

数学是来源于生活的自然学科, 很多数学问题都是从生活与生产实践中存在的问题抽象出来的。以抽象概念为核心的数学给学生的印象往往是脱离实际生活的, 严密的逻辑性让学生望而却步, 不利于人性化教学。通过情境的创设能够让学生在学习过程中产生强烈的求知欲, 通过生活化问题的解决优化课堂教学效果。比如应用生活中交易折扣的计算、实际物体称重等问题, 都能够启发学生思维, 提高学生的学习兴趣。

(三) 创设情境的相关性

首先必须明确创设某一情境的意图是什么, 情境与教学目标是否具有相关性。若不认真考虑情境与所学知识之间能否建立有效的联系, 以及如何通过这种联系让学生体会并掌握新知识, 则创设的情境可能不适合特定的数学学习内容, 因而它就无法直接为新的数学知识的学习提供支持, 不能为学生对特定的数学形式的理解提供有效的帮助, 甚至可能引起学生的注意力偏离教学内容, 从而收到负面的教学效果。

(四) 典型数学问题的解答

问题情境的创设是充分利用学生主观能动性的教学过程, 通过引导学生思维解决问题达到教学目标。数学问题是培养学生思维能力的重要途径, 融合在情境中能够充分激发学生的求知欲。

三、结语

问题情境创设能够有效激发学生对数学学习的兴趣, 通过直观的教学方式让学生充分理解抽象的教学内容, 实现数学学习理念中情感活动与智力活动的融合, 统一抽象思维与形象思维, 从而获得传统数学解题教学中无法达到的教学效果。总之, 教学方法不是一成不变的, 任何事物也都具有局限性, 这就要求教师必须学会变通, 能够因人而异, 在实践中摸索和总结最适宜学生的教学方法, 并且要学会积累, 让学生在知道是什么的同时也更清楚地明白为什么。

参考文献

[1]陈连.高中数学情境教学创设探讨[J].中学数学, 2012 (9) :78.

建模方法与数学解题 篇10

【关键词】选择题方法小题不能大做特值

中图分类号：G633.6

数学选择题是数学试卷的重要组成部分，一般选择题十小题占五十分。高考选择题注重多个知识点的小型结合，渗透了各种数学思想和方法，体现了利用基础知识考能力的新导向。因此选择题成为拉开考生的时间差、分数差的加大区分度的必要题型，而考生往往难以把握好这一部分的得分。下面就选择题的解题和方法技巧谈谈我在教学中的一点体会。

题型一：直接法

就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。

例1、设F1、F2为双曲线 -y2=1的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=90o，则△F1PF2的面积是（）

A.1B. /2C.2D.

解∵|PF1|-|PF2|=±2a=±4，∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16，

∵∠F1PF2=90o，∴ = |PF1|·|PF2|= （|PF1|2+|PF2|2-16）.

又∵|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=20.∴ =1，选A.

题型二：筛选法（也叫排除法、淘汰法）

就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。

例2、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（）

A.（1， B.（0， C.[ ， ] D.（ ，

解析：因 为三角形中的最小内角，故 ，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B，C，D，故应选A。

题型三：特例法

（1）特殊值

例3.已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C）

A.130B.170C.210D.260

解析：特殊化法。结论中不含m，故本题结论的正确性与m取值无关，可对m取特殊值，如m=1，则a1=S1=30，又a1+a2=S2=100∴a2=70，∴等差数列的公差d=a2–a1=40，于是a3=a2+d=110，故应选C

（2）特殊函数

例4、定义在R上的奇函数f（x）为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：①f（a）·f（-a）≤0；②f（b）·f（-b）≥0；③f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）；④f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）。其中正确的不等式序号是（）

A.①②④ B.①④ C.②④ D.①③

解析：取f（x）=-x，逐项检查可知①④正确。故选B。

（3）特殊数列

例5、已知等差数列 满足 ，则有： （ ）

A、 B、 C、 D、

解析：取满足题意的特殊数列 ，则 ，故选C。

（4）特殊点

例6、设函数 ，则其反函数 的图像是 （）

A、 B、 C、 D、

解析：由函数 ，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点（2，0）及（4，4）都应在反函数f-1（x）的图像上，观察得A、C。又因反函数f-1（x）的定义域为 ，故选C。

题型四：数形结合法

数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是使抽象思维和形象思维有机结合，通过“以形助数”或“以数解形”，达到使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

例7：当 时， ，则a的取值范围是【】

（A）（0，22）（B）（22，1）（C）（1，2）（D）（2，2）

【解析】设 ，作图∵当 时， ，

∴在 时， 的图象在 的图象上方。

根据对数函数的性质， 。∴ 单调递减。

∴由 时， 得 ，解得 。

∴要使 时， ，必须 。∴a的取值范围是（22，1）。故选B。

题型五：代入验证法：

通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法（当题干提供的信息太少、或结论是一些具体的计算数字时，用这种方法较为方便的）。

题型六：推理分析法

不同的选择题各有其不同的特点，某些选择题的条件与结论或结论与结论（即选择支）之间存在一些特殊关系，即抓住题中的位置特征、数值特征、结构特征进行推理分析，得出结论。推理分析法包括：逻辑分析法、特征分析法

①逻辑分析法：通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，肯定正确支的方法，称为逻辑分析法。

②特征分析法：根據信息，抓住数值特征、结构特征、位置特征（比如：定点、定线、拐点）进行大跨度、短思维链的推理、判断的方法，称为特征分析法。它体现了对知识的数、形、结构的深刻认识与状态把握，直觉、联想、猜想是思维的联结点。

总之，选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面。在解选择题时不宜“小题大作”，不宜繁算、死算。我们应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择，这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间。

参考文献：

建模方法与数学解题 篇11

一、数学建模教学与实践活动开展的历史与现状

浙江大学是从1983年起开设数学建模课程的。起初几年, 该课程只是面向数学系学生开设的选修课, 目的是希望学生通过该课程的学习和参加一定的建模实践, 亲身体会到数学虽是一门依赖于抽象思维的学科, 但决不是空中楼阁, 数学研究的问题大多具有很强的实际背景和广泛的应用前景, 脱离生产实际, 数学就失去生命力, 失去推动其发展的原动力, 由此来引发学生对实际课题研究的兴趣。此外, 鉴于当时有部分数学系学生认为数学比较抽象, 也希望通过这门课程和与之相匹配的实践环节使这些学生了解到打好数学基础的重要性, 激发他们学习和应用数学知识的积极性。数学建模课程的开设受到了学生的普遍欢迎, 基本上达到了预期的目的。

在数学系开课的成功使我们受到了很大的启发和鼓舞, 也使我们意识到要让学生认识到学习书本知识的重要性, 最好的办法就是让学生参与实际课题的研究, 在应用书本知识解决实际问题的实践环节中感受掌握知识的重要性, 并学会应用知识的方法与技巧。为此, 教师应当创造一定的机会和环境让学生们去运用书本知识、去实践, 在运用过程中开拓他们的进取精神、创新精神和竞争意识, 而数学建模课的开设恰好为他们提供了这样的机会。此后, 我们很快把在数学系教学实践中取得的经验推广到全校, 在学校开出了面向不同对象的各种数学建模课程, 形成了一定的规模。目前, 每年开设的数学建模课有数学系课程一门, 竺可桢学院混合班、工程高级班各一门, 全校性选修课2门, 全校通识课程3门, 工科研究生学位课1门, 每年听课和参与建模实践的学生多达上千人, 超过全校本科生总数的1/4。这些课程都要求学生参加一定数量的课外实践, 最后还须提交至少一篇课题研究报告或研究论文。实践证明, 数学建模和数学建模实践教育很受学生欢迎, 该课程和相应的实践环节大大激发了学生的学习兴趣, 的确起到了激发学生创新精神与进取精神的良好作用。

1992年, 我国开始举办每年一次的全国大学生数学建模竞赛。全国竞赛的举办对进一步扩大学生创新实践活动的参与面非常有利, 学校将数学建模教学实践活动和组织指导学生参加数学建模竞赛结合起来, 形成系列化的实践教育体系:对一年级新生做建模讲座, 让他们知道什么是数学建模, 为什么要建模;对二三年级学生, 开设数学建模课程, 引导他们参加建模实践, 指导并组织他们参加国内外大学生数学建模竞赛;对三四年级学生, 有选择性地指导部分学生参加SRTP (学生科研训练计划) 项目和毕业设计, 对一些实际课题进行较深入的研究。这种以数学建模带动科研课题研究的创新实践活动在加强素质教育、培养高素质创新型人才方面发挥的作用是其他课程无法取代的。

二、教学方法和教学模式的改革

学校加强数学建模教学活动大体经历了三个阶段:第一阶段为初创阶段 (1982-1992年) 。在这十年中, 我们开设了适合不同需求的各种数学建模课程, 建设了教学需要的教案和教材, 丰富了教学内容。第二阶段为全国竞赛举办后的前十年 (1992-2000年) , 由于全国竞赛的举办, 数学建模课程在全国所有高校中像雨后春笋般地开设出来, 全国竞赛的举办为我们进一步加强数学建模教学, 开展素质教育, 探索人才培养新途径创造了良好条件。在这十年中, 我们加强了对学生课外建模实践的指导, 举办了各种形式的学生建模讨论班、兴趣小组, 探索组织指导学生参加国内外大学生数学建模竞赛的经验, 使学生的参赛成绩有了明显的提高。第三阶段是2000年以来的近十年。在这十年中, 我们开展了将课堂教学、学生课外实践、组织学生参加各种建模竞赛有机结合起来的系列化、研讨式教学模式, 在学校“985工程”经费支持下, 创建了专供本科生课外建模实践使用的数学建模实践基地。我们将课堂教学、课外实践、组织参赛结合成一种系列化的教学模式, 吸引学生主动参与, 努力实现“三个转变”, 即由课堂教学为主向课堂教学与课外实践相结合转变;由灌输式教学向以学生自主学习为主的学习模式转变;由注重结果 (包括竞赛成绩) 向同时注重结果与过程的转变 (同时注重学生在参与过程中的成长与提高) 。具体做法是:在课堂教学中重点介绍运用数学知识和专业知识建立数学模型的基本方法与技巧, 以抛砖引玉的方式激发学生的学习积极性, 随后让学生在课外建模实践中理解和熟练这些基本方法与基本技巧, 让学生在科研实践中提高科研能力。要求学生在期末考试前至少提交一篇科研论文或课题研究报告, 以此作为学习数学建模课的平时成绩。由于全国竞赛参赛学生有限, 为满足广大学生的参赛要求、扩大参与面, 学校从2003年起正式举办每年一届的校级竞赛, 竞赛题难度尽量接近全国赛水平, 每年参赛学生多达上千人, 该项赛事已连续举办9届。

学校开设了多种针对不同对象的数学建模课程, 有面向尖子学生的必修课、面向一般学生的选修课、面向新生的通识课、面向二级学院学生的专业基础课以及面向研究生的学位课。课时数也各不相同, 从周学时2直到周学时5, 差异很大。在教学中我们感到, 开出不同层次的数学建模课更有针对性, 为学生预留了选择空间, 也使同一个班级的学生基础较为整齐, 教学效果更好。在教学中对于尖子班的优秀生, 我们更注重科研能力的培养, 注意采用抛砖引玉的教法, 多为学生预留一些可供继续研究的课题。对于较一般的学生, 我们会采取数学建模的常规教法, 用经典案例引路, 在分析案例中介绍建模技巧和方法, 布置小课题让学生课后训练, 逐步激发他们的学习兴趣与创新潜力, 并在课后的实践环节中锻炼提高他们。对原先基础较差的学生, 则必须首先激发他们的学习兴趣。我们往往先用较简单且较有趣味性的案例开路, 让他们体会到数学的确有用, 同时还需补充介绍一些知识与技能, 如简单的运筹学、数据拟合方法、概率统计方法和软件使用方法等, 并增加数学实验练习。我们认为, 数学建模不应仅是一门精英培养课程, 因为国家不仅需要大批高素质的科研人才, 也需要大批具有一定创新能力的应用型人才。数学建模课和其他课程一样, 要根据学生的情况来决定教学方法和教学内容, 要以学生为本, 用因材施教的方式开展教学改革才能收到较好的教学效果。

三、开展数学建模学生创新实践活动的主要收获

1.有效地激发了学生学习数学知识和专业知识的兴趣, 大大增强了他们的学习积极性与自觉性。在参加建模实践中, 学生们亲身体会到要创新首先必须学好前人积累起来的知识和技能, 从而大大激发了学生学习数学知识和专业知识的自觉性。同学们在建模实践中充分发挥自己的想象力, 研究各种他们感兴趣的科学或实际问题, 充分发挥自己的聪明才智, 证明了自身的价值。学生的研究兴趣非常广泛, 既有DNA测序问题、指纹鉴定的可信度问题、密码应当如何设计、蝉为什么要共鸣、计算机如何加强保密性……, 也有他们日常生活中遇到的一些现实问题, 涉及面十分广泛。时合试须是创开践了

2.学生提高了综合能力, 学会了自主学习。学生在大学中学到的知识终归是有限的, 而学习则应当是每个人终身的事情。在创新实践中, 学生们遇到许多课堂上从未学过的东西, 他们通过查阅资料、上网搜索, 找到并吸取了相关知识, 尝到了自主学习的甜头。1999年, 沈权等三位大二学生在研究防止污染问题时发现, 要描述污染现象最好用偏微分方程。为了攻克难题, 自学了污染方程, 并设计程序求出了污染源位置, 提出了防止污染发生的有效办法, 在美国竞赛中脱颖而出, 夺得了特等奖兼美国运筹与管理学会奖即“INFORMS奖” (Institute for Operations Research and Management Science) , 参赛论文被刊登在COMAP官方期刊The UMAP Journal上。2003年, 胡煜霄等3位同学在研究拍摄电影时应当如何保护特技演员的问题时遇到了材料科学中一些难题。经过研究, 他们提出了一套保护措施, 并从理论上证明了这些措施的有效性, 得到了美国专家的高度赞赏, 为学校第二次夺得了“INFORMS奖”。2011年, 戴奇骎等3位同学在分析能源供应与发电量供应的基础上, 建立微分方程研究三个彼此相对独立又存在联系的问题, 对电动机车未来的发展趋势做出分析, 发现只有当电动汽车的相对能源转换比大于0.85时, 总的环境污染成本才会下降。他们的研究为学校第3次夺得了“INFORMS奖”。

3.在国内外大学生数学建模竞赛取得优异成绩。学校学生从1995年开始参加国内外大学生数学建模竞赛, 开始成绩较为一般, 但从1999年起, 获奖情况有了根本改观, 一直处于国内高校前列。由学生建模兴趣小组自行发动组队参赛的2002年首届华东地区14所高校的数学建模联赛中, 一举夺得了全部奖项的一半;在美国竞赛方面, 累计获得特等奖4项 (1999、2003、2010、2011) , 其中INFORMS奖3项, 一等奖52项 (2000、2001年全部参赛队伍均获得一等奖) , 二等奖30项;在全国大学生数学建模竞赛中获得过一等奖34项 (含高教社杯奖, 2010年) , 二等奖46项。

4.学生竞争意识和创新意愿有了明显的提升。学生通过建模解决实际问题, 通过竞赛证实了自身价值, 增强了自信心和创新意识, 也大大激发了学习专业知识和参加创新实践的积极性, 这同样也是一种收获, 而且是比获奖本身更大的收获。学校历届参赛队员中很多人获得过本科生创新实践项目并有多人获得中国青少年创新奖, 初步实现了自身的价值。

5.培养了学生的团队精神。现代科技提出的许多科研课题和实际项目都不是个人可以完成的, 常常需要发挥集体的力量, 甚至需要打集团化战役。我们在组织学生开展创新活动时, 一般都要求学生组成研究小组, 提倡不同专业学生之间的合作, 提倡取长补短。建模实践实际上是一种科学研究的尝试, 是一种创新实践, 具有较大的挑战性。为完成研究任务, 必须培养团队精神和集体荣誉感, 这种团队精神的养成对学生是一种无形的收获。

6.取得了课程建设和教案、教材建设成果。在对学生进行创新实践教育的过程中, 我们逐渐积累了较丰富的对本科生开展素质教育的教学经验, 也积累了一批对学生进行创新实践教学的教案和研究课题, 为今后更好地开展素质教育奠定了一个较为扎实的基础。我们创建了浙江大学数学建模实践基地网站, 为开展建模教学建立了良好的教学平台;主编出版国家级规划教材、建模案例和学生论文汇编及点评等6部, 共300多万字;我们的教改成果“浙江大学数学建模课程建设与实践”于2000年获得浙江省教学成果一等奖。多年来建设的课程“数学建模”于2003年被教育部和省教育厅分别授予首批国家级精品课程和浙江省精品课程。我们的教学团队也于2006年被立项为国家级教学团队。

四、领导重视和广大学生踊跃参与是我们取得成功的基本保证

学校各级领导的重视和支持是我们取得成绩的根本保证。从2000年起, 学校就将建立数学建模实践基地列入浙江大学振兴行动计划, 列入“985工程”建设项目, 建立了专为学生开展建模实践活动的场所。教务部门也专门设立了鼓励学生参加课外科研活动的SRTP项目, 由教师、学生申请立项, 经批准后给予一定的经费支持。为了鼓励学生开展创新实践, 理学院和数学系也做出了相应决定, 设立对学生创新实践活动给予资助的SRTP项目。

学生积极参与是做好这项工作的群众基础。学生在创新实践中尝到了甜头, 参加课外科学研究的兴趣越来越浓厚, 综合素质也有了极大的提高。学生们积极报名参加学校举办的数学建模竞赛, 暑假期间还自己组队参加全国数学建模邀请赛, 并积极争取参加国内外大学生数学建模竞赛。

学校在开展数学建模教学改革、组织学生开展创新实践活动并组织学生参加国内外大学生数学建模竞赛方面取得一些成绩, 收到较明显的人才培养效果, 今后我们还要继续深入开展这项教学活动去争取更大的成绩。

摘要：2011年是全国大学生数学建模竞赛举办20周年。20年来, 该项赛事锻炼了一届又一届的大学生, 取得了出色的人才培养效益。以浙江大学在本科生中开展数学建模实践教学和组织学生参加数学建模竞赛所取得的成效为例, 证明开展数学建模教学和组织学生参加数学建模竞赛活动是激发学生创新意识与进取精神的好方法, 是高校素质教育的重要手段之一, 因而, 也是创新型人才培养的一种有效手段。

关键词：数学建模教学,实践教学环节,数学建模竞赛,素质教育,创新人才培养

参考文献

[1]李大潜.中国大学生数学建模竞赛[M].北京:高等教育出版社, 1998:265-275.