中考数学与圆有关的证明问题

中考数学与圆有关的证明问题（共4篇）

中考数学与圆有关的证明问题 篇1

定理是工具方法最重要

与圆有关的问题潘鸿威

一、选择题

1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）

A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形

2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（）

A．3对B．2对C．1对D．0对

（1）(2)(3)(4)

3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（）

A．①②③④B．①③②④

C．①④②③D．②③①④

4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，•2.3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；•③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

5．在⊙O中，C是AB的中点，D是AC上的任意一点（与A、C不重合），则（）

A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB

C．AC+CB>AD+DBD．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定

6．如图2，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．如图3，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．•下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正确的有（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

9．如图5，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，•垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下

；③AP=BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是（）ADBD列结论：①CH=CP；②

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(5)(6)(7)(8)

10．如图6，在⊙O中，AB=2CD，那么（）

;B．;A．AB2CDAB2CD

;D．AD与2CD的大小关系可能不确定C．AB2CD

二、填空题

11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB为直径，MN•为弦，•试写出一个你认为正确的结论：_________．

12．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm，6cm，OO的长为3cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________． 13．如图7，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线），写出一个你认为正确的结论____________． 14．已知⊙O的直径为10，P为直线L上一点，OP=5，那么直线L与⊙O•的位置关系是_______．

15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现以O为圆心，•分别以2，2．5，3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________．

16．以等腰△ABC的一腰AB为直径作圆，交底边BC于D，则∠BAD与∠CAD•的大小关系是∠BAD________∠CAD． 17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C为圆心，以

AB•的位置关系是____________． 18．如图8所示，A、B、C是⊙O上的三点，当BC平分∠ABO时得结论_________．

三、解答题 19．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．

20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．

21．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

22．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，ABAF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．

23．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．

24．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．

（1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．

25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？

中考数学与圆有关的证明问题 篇2

引例:已知直线l:y=x-1,Q是圆C:(x+3)2+y2=1上任意点,求点Q到直线l的距离的最小值和最大值。

【分析】这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离,这一结论在解题时可直接应用。

变式1:由直线y=x-1上一点向圆C:(x+3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为______。

【分析】求切线长的值____,应连接圆心和切点,构造直角三角形。如图2因为PA2=PC2-r2,PA的大小取决于PC的大小,问题转化为求PC的最小值,归纳至引例。

变式2:已知P为直线y=x-1上一动点,过P作圆C:(x+3)2+y2=1的切线PA,PB,A、B为切点,则当PC=_____时,∠APB最大。

【分析】∠APB=2∠APC,即求∠APC的最大,在RT△PAC中利用其正弦值可转化为求PC的最小值,归纳至引例。

变式3:已知P为直线y=x-1上一动点,过P作圆C:(x+3)2+y2=1的切线PA,PB,A、B为切点,则四边形PACB面积的最小值为____。

【分析】利用S四边形PACB=2S△PAC将求面积的最小值转化为PA的最小值,即求切线段的最小值问题。归纳至引例。

不同设问方式,考查内容都是有关圆上一动点到直线的距离的最值问题,将其转化为圆心到直线的距离问题即可迎刃而解,数形结合,动点变定点的转化思想得到充分展现。

二、几何代数来争艳,路死谁手真难辨

数学的美妙在于思维的延展和方法的多样,同一个问题不同解决方法,既可以从“数”的角度思考又可以从“形”的方面探讨,下面,笔者通过一个例子的三种不同解决方法揭示几何与代数的密不可分的关系。

方法(一):利用所求式子的几何意义

方法(二):利用函参数方程,转化为三角函数

【分析】本例也可以利用圆的参数方程,将问题转化为三角函数的最值求解。

解:题(1)

方法(三):利用二次函数与二次方程

【分析】题(1)利用圆的方程把y用x表示,将所求式子表示成关于x的二次函数求值域;题(2)(3)均可设所求式子为t,用含x,t的式子表示y,并代入圆的方程,得到关于x的一元二次方程,方程有解,△≥0即可。

本例的解决,正应了一句老话“条条大路通罗马”,几何性质,三角函数,二次函数二次方程多种解题方法的灵活应用,为学生提供了更多的选择,究竟哪种方法使解题过程变得“快,狠,准”,选择权在学习者手中,事实上,无论是哪种方法都在向我们解释几何和代数你中有我,我中有你的密不可分的关系。

三、几何问题代数化,函数不等试一下

平面解析几何的重要内容,是让学生感受运用代数方法处理几何问题的思想。有些问题利用何几何性质无法求解,应考虑利用代数思想将问题转化为函数问题。

本例中充分体现了函数思想,转化思想,不等式知识在解析几何中的应用,揭示了解析几何“用代数思想解决几何问题的本质”当问题转化为函数后,海阔天空,迎刃而解。

在解决与圆有关的最值问题时,应“数”和“形”两方面结合考虑。“形”主要是利用圆的对称性,切线的性质,将最值问题转化为与圆心有关的问题,动点变为定点。“数”即利用方程,函数,不等式等思想将几何问题代数化,从而解决。笔者谨希望通过对有圆有关的最值问题的探究,能让同学们对此类问题有更深入的理解,同时也为后续继续学习圆锥曲线打下坚实基础。

参考文献

[1]杨仓洲.万变不离其宗《高中数理化》,2010.10

[2]慕芸蔚.数形结合解答圆中最值问题的策略《数学爱好者》,2008.9

[3]周金龙.破解与圆有关的最值问题《高中生之友》,2015.1

与圆有关的最值问题 篇3

1.形如形式的最值问题

例1.已知实数满足方程，求的最大值和最小值。

解：原方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆，=表示的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设=，即。

当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值，此时，解得。

所以的最大值为，最小值为﹣。

归纳：在圆的方程的条件下，求的最值，可看作和两点的连线的斜率的最值。当动直线与圆相切时，动直线的斜率取到最大值及最小值。

2.形如形式的最值问题

例2.已知实数满足方程，求的最大值和最小值。

解：表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆周的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是。

总结：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题，在计算圆外一定点到圆上一动点的距离的最值时，应当先画出定点和圆心的连线与圆的两个交点，然后计算定点和圆心两点的距离，该距离加上半径就是的最大值，该距离减去半径就是的最小值。

3.形如形式的最值问题

例3.已知实数满足方程，求的最大值和最小值。

解：可看作是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时圆心到直线的距离等于半径，即，解得。

所以的最大值为，最小值为。

归纳：

形如的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题。当动直线与圆相切时，动直线在轴上的截距取到最值。

4.圆上的动点到直线的距离的最值

例4.圆上的点到直线的距离的最大值。

解：圆的圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最大值为。

归纳：对于计算圆上的点到直线的距离的最值时，应该过圆心作直线的垂线，这条垂线所在的直线与圆产生两个交点。问题就转化为圆心到直线的距离的问题。当直线与圆相离时，圆心到直线的距离加上半径就是最大值，圆心到直线的距离减去半径就是最小值。

5.圆的弦最短问题

例5.已知直线经过，直线与圆相交，求直线被圆C截得的弦长的最小值，此时直线的方程。

解：当⊥PC时，所截得的弦最短。

此时

根据线段PC，弦长的一半，圆的半径组成的直角三角形。

最短弦长为，

此时，，所以

所以，又经过点，

所以此时直线的方程为，

即

归纳：当经过圆内一定点的直线被圆截得的弦长最小时，定点和圆心的连线垂直于弦，此时劣弧最短，弦把圆分成的两部分的面积和周长之差最大。

6.圓与基本不等式的综合运用

例6.若直线始终平分圆的周长，求的最小值。

解：由，得圆心，

因为直线平分圆的周长，即直线经过圆心，所以

所以=

当且仅当，即时取等号。

所以的最小值为。

归纳：当直线平分圆的周长和面积时，直线经过圆心。利用圆的几何性质列出满足基本不等式的条件。运用基本不等式求形如，，等式子的最大（小）值。

怎样证明直线与圆相切？ 篇4

在直线与圆的各种位置关系中，相切是一种重要的位置关系．

现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法：

(1)利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端．

例1：已知：△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．

求证：PA是⊙O的切线．

证明：连接EC．

∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．

∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且过A点，则PA是⊙O的切线．

(2)利用切线的判定定理——在已知条件中，有“一条直线过圆上某一公共点(即为切点)，但没有半径”，于是先连接圆心与这个公共点成为半径，然后再证明这条直线和这条半径垂直．

例2：以Rt△ABC的直角边BC为直径作⊙O交斜边AB于P，Q为AC的中点． 求证：PQ必为⊙O的切线．

证明 连接OP，CP．

∵BC为直径，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．

又∵Q为AC中点，∴QP=QC，∴∠1=∠2．

又OP=OC，∴∠3=∠4．

又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．

∵P点在⊙O上，且P为半径OP的端点，则QP为⊙O的切线．

说明：要证PQ与半径垂直，即连接OP．这是判别相切中添辅助线的常用方法．

(3)证明“d=R”——在已知条件中“没有半径，也没有与圆有公共交点的直线”，于是过圆心作直线的垂线，然后再证明这条垂线的长(d)等于圆的半径(R)．

例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC与D，且AD=BC，E、F为AB、AC的中点，O为EF2的中点。

求证：以EF为直径的圆与BC相切．

证明：作OH⊥BC于H，设AD与EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，则OHDM是矩形．

∴OH是⊙O的半径，则EF为直径的圆与BC相切.思考题：

1．AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=CD，EF过点C，EF⊥BD于G．

求证：EF是⊙O的切线．

提示：连接CO，则OC是⊙O的半径，再证OC⊥EF．

2．DB是圆的直径，点A在DB的延长线上，AB=OB，∠CAD=30°．求证：AC是⊙O的切线．