中考数学中的素质教育

2024-06-12

中考数学中的素质教育（共10篇）

中考数学中的素质教育篇1

随着新课标的实施, 大批贴近生活实际、贴近学生生活、体现时代要求的新型应用题涌现出来, 好多学生中考之后说好多题看不懂, 更别说解题了, 为什么呢?这类题型往往需要先阅读较多的文字, 要求考生对文字、符号、图形和式子进行概括、分析, 对所提供的材料进行观察、实验、猜想、调整, 就其本质进行归纳、加工提炼, 然后作出解答.学生如何才能有效地解决应用题呢?从语言学习的角度来看, 数学教学必须重视数学阅读.把数学阅读融于数学课堂, 已成重中之重.首先, 要认真学习新课标、新理念, 在新课程背景下, 教师不能限于“课堂上精讲多练”, 更不能天天担心学生不会做, 而在课堂上反复透彻地讲, 陪着学生做题.从新课标要求看, 而应该让学生养成学习的习惯, 以达到学生能独立学习的要求, 使学生成为学习的主体.从应试来看, 数学阅读题已成为近几年中考、高考中的热点.分析近几年的中考题, 提高初中生“数学阅读”已迫在眉睫.如何提高“数学阅读”呢?下面谈几点看法:

一、中考中常见阅读题类型

1. 方法迁移型阅读

该类试题要求通过阅读材料, 理解解题过程, 掌握解题方法, 并能运用这些方法解决新问题.

例1在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码, 方便记忆.原理是:如对于多项式x4-y4, 因式分解的结果是 (x-y) (x+y) (x2+y2) , 若取x=9, y=9时, 则各个因式的值是: (x-y) =0, (x+y) =18, (x2+y2) =162, 于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2, 取x=10, y=10时, 用上述方法产生的密码是:________. (写出一个即可)

分析通过阅读, 以学生已有的数学知识为基础, 设计探究性阅读题目, 主要考查学生观察、分析、类比和探究新知识, 并运用新知识解决问题的能力.

解答案为:101030

2. 归纳、猜想型阅读

此类问题, 常常是事先给出问题背景, 但在问题背景中却蕴含某种变化规律或不变性的结论.

例2为了求1+2+22+23+…+22008的值, 可令S=1+2+22+23+…+22008, 则2S=2+22+23+24+…+22009, 因此2S-S=22009-1, 所以1+2+22+23+…+22008=22009-1.仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是 () .

分析该类试题要求通过阅读材料提供的新知识、新方法, 收集解题信息, 在模拟的基础上进行知识迁移, 拓展应用它要求读者通过阅读与理解, 不仅要归纳、猜想出背景问题所蕴含的规律或结论, 还要应用所蕴含的规律或结论去解答后面所提出的新问题.

3. 改错型阅读

此类问题, 以阅读一篇作业为主, 常常是事先给出详细的解答过程, 但在解答的过程中却设下错误的陷阱, 解答者必须要认真读题, 仔细审题, 在“细”字上下工夫, 可谓细节决定成功.例如, 阅读下列题目的解题过程:

例3已知a, b, c为△ABC的三边, 且满足a2c2-b2c2=a4-b4, 试判断△ABC的形状.

∴△ABC是直角三角形.

问: (1) 上述解题过程, 从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:___.错误的原因为_____________.

(2) 本题正确的结论为:________.

分析该类试题要求通过阅读材料, 弄清材料中的本质内涵, 找出错误之处、错误原因, 从而订正错误, 写出正确的解题过程.

4. 试验探究型阅读

以贴近学生生活实际的题材为背景, 来考查从各类统计图表中读取相关数据、相关信息及绘制统计图表等能力.

例4 (2009绵阳市) 将正整数依次按下表规律排成四列, 则根据表中的排列规律, 数2009应排的位置是第___行第___列.

分析该类试题要求通过阅读材料, 从中归纳数式规律、图表规律、算理规律, 然后运用发现的规律解决与此类似的实际问题, 已达到解决问题的目的.

针对中考数学阅读理解题, 解题思路主要是“阅读—理解—应用”, 解题关键在于处理问题, 获取信息.从中挖掘相关信息, 掌握其中解题的关键技巧.将数学阅读融入课堂, 是提高学生数学解题能力的重要途径.

二、进行数学阅读的方法

任何学习能力的培养都必须结合具体的教学活动来进行.同样数学学习过程中阅读能力的培养也应该寓于数学教学之中, 以数学知识为载体展开.数学阅读能力的培养必须与数学教学有机结合起来, 才能符合数学教育发展的规律, 才能取得较好的效果.学生阅读能力的发展和提高离不开教师正确、恰当的指导与引导.

具体做法:课前阅读:就是课前预习课本, 让学生自读课本并自学上课的内容, 找出其中的重、难点.

课后阅读:阅读复习内容和数学小故事.

阅读方法和技巧的形成, 是一个长期、渐进的过程, 不是一蹴而就就能显示出其特有的功能, 因此, 需要我们和学生克服急躁和功利心理, 而坚持不懈地努力下去.

摘要：把数学阅读融于课堂, 为学生学习服务, 已成当务之急.首先, 要认真学习新课标、新理念, 在新课程背景下, 教师不能限于“课堂上精讲多练”, 更不能天天担心学生不会做, 而在课堂上反复透彻地讲, 而应该养成学习的习惯, 以达到学生能独立学习的要求, 使学生成为学习的主体.

关键词：中考,数学阅读

解读中考数学中的双动点问题篇2

1 以双动点为载体，探求函数图象问题

例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.

(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；

(2)写出图3中M，N两点的坐标；

(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.

评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.

2 以双动点为载体，探求结论开放性问题

例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.

(1)求∠BAO的度数.

(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.

(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.

(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.

解 (1)∠BAO=60°.

(2)点P的运动速度为2个单位/秒.

评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P的速度为2，然后建立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.

3 以双动点为载体，探求存在性问题

例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.

(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；

(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.

评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握.

4 以双动点为载体，探求函数最值问题

例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题：

(1)当0

(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式； (图10为备用图)

②求y的最大值.

解 (1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BO⊥AC于O，则OB=89，因为AE=x，所以S2=4x，因为HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)，当S1=S2时， 4x=x(16-2x)，解得x₁=0(舍去)，x₂=6，所以当x=6时， S1=S2.

(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，

当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，

所以S1=(16-x)(2x-16)，所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50.

当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，

所以当x=13时，y的最大值为82.

综上可得，y的最大值为82.

评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.

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解密中考数学中的“阅读理解” 篇3

一、考情比照

近几年全国中考数学试卷中,涉及阅读理解型问题的试题每套都有,其特点有:

(1)全面性:选择题、填空题、解答题都有分布.

(2)创新性:考查数学思想方法、理论依据和方案设计等.

(3)综合性 :考查阅读理解能力、观察思考能力、分析判断能力、抽象概括能力、类比能力.

(4)灵活性 :有的信息直接给出 ,有的隐含其中 ,有的众多知识的交汇编拟成题目.

(5)思想性 :体现化归思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想、数学建模思想、数形结合思想等.

二、考题探源

1. 在往年中考题中探源

探索规律:71= 7,个位数字是7;72 = 49,个位数字是9;73= 343,个位数字是3;74 = 2401,个位数是1……由此可判断7100的个位数字是 __________.

[精析 ] 本题通过观察发现71,72,73,74的个位数字依次是7,9,3,1, 且当n取5,6……时, 个位数字按规律循环出现,有了这样的规律,问题不难解决.

2. 在高中数学中探源

阅读材料,解答问题.

方程x2= -1在实数范围内无解 ,如果假想一个数记为i,并规定i2= -1,那么方程x2 = -1可以化为x2 = i2,则x = ±i是方程x2= -1的两个根 ,对于i具有如下性质 : i1 = i,i2 = -1;i3= i2·i = -i,i4= i2·i2= (-1)·(-1) = 1,i5= i4·i = i,i6= i4·i2=-1,i7= i4·i3= -i,i8= i4·i4= 1·1 = 1,……

(1)请你观察上述等式,根据发现的规律填空:

i4n+1= ______,i4n+2=______,i4n+3=______,(n为自然数 ).

(2)用i表示方程x2+ 2 = 0的根是 ______________.

[精析 ]本题关键是在阅读理解的基础上 ,依据题目所提供的新知识、新信息,运用对比、模仿、迁移等手段加以理解和运算,此题既考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力,又能考查学生的自学能力、信息的收集和迁移应用能力.

三、范例选讲

数学家们研究发现,弹拨琴发出声音的音调高低,例如,三根弦长度之比是15∶12∶10,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨 , 它们将分别发出很调和的乐声do,mi,so. 研究15,12,10这三个数的倒数发现 :,我们称15,12,10这三个数为一组调和数,现有一组调和数:x,5,3(x > 5),则x的值是____ .

答案:15.

四、预测与建议

1. 随着新课程改革的推进 ,初中升学考试的题型越来越新,测试范围越来越广,阅读理解型试题在中考试卷中占的比例越来越大,常见题型有:

1 阅读新知识,研究新应用.

2 阅读新的数学公式,理解运用新公式.

3 在阅读理解解题过程中总结解题思路和方法,通过阅读特殊范例,推出一般结论.

4通过阅读图表信息, 解决实际问题或探索图形性质.

2. 解答这类型试题一般有以下几个步骤 :

1阅读给定材料提取有用信息

解答阅读理解题,读题很重要,要注意情景、数据、关键语句、图表中蕴含着的大量信息,筛选出有用的信息,并进行适当的加工,避免受思维定式的影响. 通过提炼信息,在头脑中建立初步印象.

2分析、归纳信息,建立数模

对阅读理解类题,理解题意要全面,避免想当然,要在看懂内容的同时,注意蕴含的数学思想和方法,注意迁移发展,探索创新,其关键在于文字语言向数学语言的“翻译”和“转化”,包括符号语言、图形语言、数表、关系式等.

3解决数模,回顾检查

在建立好数学模型后,善于总结反思,及时发现问题纠正错误,克服因侥幸思想带来不必要的失误.

3. 目前有很多学生对阅读理解型问题的处理和解决存在一定的障碍和困难. 遇到实际问题,往往不理解题意,不熟悉问题背景,对已知的条件认识不全面、不到位,甚至认识有偏差、有错误,不能熟练正确地解决问题.

1加强数学学习与现实的联系. 数学学习的基础首先是学生的生活经验. 平时要加强现实生活和数学学习之间的联系,让学生具有实践活动的机会.

2让学生在具体的数学活动中体验数学知识. 平时要从学生所熟悉的现实情境和已有的知识经验出发,使学生体会到数学就在自己身边, 就存在于自己熟悉的现实生活中. 教师要善于引导学生把生活经验上升到数学概念和方法,并能反过来解决实际问题.

3培养学生数学的角度提出问题、发现问题. 把实际问题转化为数学问题并解决实际问题. 让学生运用多种方法解决问题,从不同的角度、途径来思考和解决问题.

透视数学中考题中的勾股定理应用篇4

一、直接用勾股定理计算

例1 （2015·吉林长春）如图1，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______.

【分析】本题根据△ABE的面积为8可求出正方形边长为4，再根据勾股定理即可求出BE的长.

解：过E作EM⊥AB于M，如图2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，

∵△ABE的面积为8，

∴AB×EM=8，得：EM=4，

即AD=DC=BC=AB=4，

∵CE=3，由勾股定理得：BC2+CE2=BE2，

∴BE2=42+32=25，

∴BE=5.

【点评】本题求出正方形边长是关键，求出边长后直接利用勾股定理进行计算.

二、勾股定理和逆定理并用证垂直

例2 （2013·内蒙古包头）如图3，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=_______度.

【分析】首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，从而得出答案.

解：连接EE′，如图4，

∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′，

∴∠EBE′是直角，

∴△EBE′是直角三角形，

∵△ABE与△CBE′全等，

∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C，

∴∠BEE′=∠BE′E=45°，

∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，

∴EC2=E′C2+EE′2，

∴△EE′C是直角三角形，

∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=90°+45°=135°.

【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出△EE′C是直角三角形是解题关键.

三、利用勾股定理解决实际问题

例3 （2015·福建厦门）已知A，B，C三地位置如图5所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是_______km;若A地在C地的正东方向，则B地在C地的_______方向.

【分析】根据勾股定理来求AB的长度.由于∠C=90°，A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向.

解：∵∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，

∴AB2=AC2+BC2，∴AB2=42+32=25，

∴AB=5（km）.

又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向.

【点评】本题考查了勾股定理的应用和方向角.这类问题的解决策略是运用勾股定理建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.

四、利用勾股定理经典图创设问题

例4 （2015·湖南株洲）如图6是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，EF=2，那么AH等于_______.

【分析】一方面根据图形特征得出线段之间的关系AE-DE=2，另一方面利用面积关系：正方形ABCD的面积-正方形EFGH的面积=四个全等直角三角形面积和，得出AE×DE=48，再利用勾股定理得出AE2+DE2=AD2=AB2=100推出AE+DE=14，最后解二元一次方程组即可算出DE长，即AH的长.

解：∵AB=10，EF=2，

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100-4=96，

设AE为a，DE为b，即4×ab=96，

∴2ab=96，a2+b2=100，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，

∴a+b=14，∵a-b=2，

解得：a=8，b=6，

∴AE=8，DE=6，∴AH=DE=6.

【点评】勾股定理有着悠久的历史，它曾经引起很多人的兴趣.本题就是在我国汉代数学家赵爽创制的弦图的基础上改编得到的.本题考查的就是弦图中的各线段之间、图形面积之间的关系和勾股定理.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）

如何解中考数学试卷中的难题篇5

数学中考中的难题主要有以下几种：1.思维要求有一定深度或技巧性较强的题目。2.题意新或解题思路新的题目。3.探究性或开放性的数学题。

对难题进行分类专题复习时，教师应该把重点放在对学生进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练和引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上，并培养学生解题的直觉思维。教师应当先把难题进行分类，然后进行分类训练。在课堂上教师不必每题都要学生详细写出解题过程，一类题目写一两题就行了，其它只需要求学生能较快地写出解题思路，以后再写出详细的解题过程即可。

教师可以将中考中的难题分以下几类进行专题复习。

1. 与一到两个知识点联系紧密的难题

例.在⊙O中，C是弧AB的中点，D是弧AC上的任一点(与点A, C不重合)，则(%%)。

(A) AC+CB=AD+DB%%

(B) AC+CB

(D) AC+CB与AD+DB的大小关系不确定

教学引导：与线段大小比较有关的知识是什么?(三角形任意两边之和大于第三边或大边对大角等)

如何把AC+CB与AD+DB组合在一个三角形中比较大小呢?

附解答方法：以C为圆心，以CB为半径作弧交BD的延长线于点E连结AE, CE, AB。

在△CEB中，CE+CB>BE，即AC+CB>AD+DB，故选(C)。

评议：本例教学关键是引导学生把AC, CB, AD, DB这些线段构造在一个三角形上。

这类难题，教学的关键是引导学生紧扣与题目相关的知识点，直到把问题解决。

2. 综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题

这类难题的教学关键是要求学生运用分析和综合的方法，运用一些数学思想和方法，以及一定的解题技巧来解答。

例：某公司在甲，乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆。已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元;从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。

(1)设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y的关于x的函数关系式;

(2)若要求总运费不超过900元。问共有几种调运方案?

(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元?

教学引导：

(1) 先把题目的数量关系弄清楚，引导学生把本题数量关系表格化：

(2) 引导学生写出y与x的函数关系式后，运用函数的性质解答题目的后两问。

附解答过程：

解: (1) y=30x+50 (6-x) +40 (10-x) +80 (2+x) =20x+860。

(2) 20x+860≤900, x≤2, ∵0≤x≤6, ∴0≤x≤2。

因为x为非负整数，所以x的取值为0, 1, 2。

因此，共有3种调运方案。

(3)因为y=20x+860，且x的取值为0, 1, 2。由一次函数的性质得x=0时，y的取值最小，ymin=860(元)。此时的调运方案是：乙仓库的6辆全部运往B县，甲仓库的2辆运往B县，10辆运往A县，最低费用为860元。

评议：本题运用函数的思想，可以给解题带来了简便。

3. 开放性，探索性数学难题

无论是开放性还是探索性的数学难题，教学重点是教会学生把握问题的关键。

例：请写出一个图像只经过二，三，四象限的二次函数的解析式。

教学点拨：二次函数的图像只经过二，三，四象限，就是不能经过第一象限，即当x>0时，y<0。什么样的解析式的二次函数必有x>0时y<0呢?这是问题的核心。

(答案：当二次函数y=ax2+bx+c中a, b, c都为负时，必有x>0时，y<0，如：y=-x2-2x-3。)

中考数学中的素质教育篇6

我的特殊经历 (中学数学教师、大学数学教师、《数学通报》杂志编辑、北京师范大学出版社编辑等) 使得我从另一个角度留心搜集、整理了有关各地中考、全国高考、全国大学生数学建模竞赛中的出版趣题。由于篇幅所限, 本文不宜多评价, 宜摆结果及简洁答案。据我的不完全统计, 共10个题, 其中:2004年, 中考1个题;2005年, 中考2个题;2006年, 中考1个题, 全国大学生数学建模竞赛2个题;2009年, 初中数学竞赛1个题;2010年, 中考2个题, 高考1个题。出现的频率还算是比较高的, 但是是随机的、没有一定的规律。2010年似有增加的趋势。摇摇印数彩色/元

各地中考、全国高考、全国大学生数学建模竞赛与出版资格考试均属于绝密级国家及部委或县市级考试, 涉及千家万户的和谐与稳定。这些考试互相影响、互相启发, 应用性日益增强, 对于普及出版及相关知识起到了一定的推动作用。黑白/元

以下试题涉及出版业内的名词有:对开、8K (八开) 、装订、对折、印数、封面、封底、印制、制版费、印刷费等。X摇

例1[2010年中考山东省潍坊市数学试题第12题 (选择题压轴题) 3分]:P 0.1

如图1所示, 一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形ABCD沿EF对开后, 再把矩形EFCD沿MN对开, 依此类推.若各种开本的矩形都相似, 那么等于 ( ) .

【答案】B

【评注】 (1) 考查数学知识:多边形相似中的矩形相似;

(2) 实际生产中, 各种纸张的尺寸及比值均接近, 例如:

787/1092=0.72;850/1168=0.73;889/1194=0.74;

880/1230=0.72;890/1240=0.72;900/1280=0.70;

1000/1400=0.71;710/930=0.76……

例2[2005年中考北京市海淀区数学试题第22题 (全卷倒数第4题) 6分]:

印刷一本书, 为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数, 可按如下方法操作:先将一张整版的纸, 对折一次为4页, 再对折一次为8页, 连续对折三次为16页, ……然后再排页码.如果想设计一本16页的毕业纪念册, 请你按图2、图3、图4 (图中的1, 16表示页码) 的方法折叠, 在图5中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码.

【答案】

【评注】编辑、印制人员都不一定再需要了解这件事了, 方正激光照排系统已成功解决了。册1≤a<5 5≤a<10

例3[2004年中考江苏省苏州市数学试题第28题 (全卷倒数第2题) 7分2].:22.0

某中学为筹备校庆活动, 准备印制一批校庆纪念册.该纪念册每册需要10张8K (八开) 大小的纸, 其中4张为彩页, 6张为黑白页.印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成, 制版费与印数无关, 价格为:彩页300元/张, 黑白页50元/张;印刷费与印数的关系见下表.张-10.7 0.612348 9 16 1512134

(1) 印制这批纪念册的制版费为_________元;

(2) 若印制2千册, 则共需多少费用?

(3) 如果该校希望印数至少为4千册, 总费用至多为60000元, 求印数的取值范围. (精确到0.01千册)

【答案】 (1) 1 500; (2) 27 500元; (3) 4≤x≤4.5或5≤x≤5.04P 0.129 6 0.345 6 0.345 6 0.153 6 0.025 6

【评注】简单的数学模型 (一次函数) , 接近出版业界真实情况, 类似出版资格考试。

例4[2010年中考山东省东营市数学试题第22题 (全卷倒数第3题) 10分]:

成如本图y6/所元示的矩28形50包0书3纸6 0中0, 0虚4线1是000折痕5, 3阴500影是裁…剪…掉的部分, 四个角均为大小相同的正方形, 正方形的边长为折叠进去的宽度.

(1) 设课本的长为a cm, 宽为b cm, 厚为c cm, 如果按如图所示的包书方式, 将封面和封底各折进去3cm, 用含a, b, c的代数式, 分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽;

(2) 现有一本长为19cm, 宽为16cm, 厚为6cm的字典, 你能用一张长为43cm, 宽为26cm的矩形纸, 按图所示的方法包好这本字典, 并使折叠进去的宽度不小于3cm吗?请说明理由.

【答案】 (1) (2b+c+6) cm, (a+6) cm; (2) 所给矩形纸不能包好这本字典.

例5[2006年中考河北省课改卷数学试题第15题 (填空题压轴题) 3分]:

小宇同学在一次手工制作活动中, 先把一张矩形纸片按图7的方式进行折叠, 使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm;展开后按图8的方式再折叠一次, 使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm, 再展开后, 在纸上形成的两条折痕之间的距离是________cm.

【答案】1

【评注】灵活、有趣。

例6[2010年高考全国Ⅰ卷理科数学试题第18题12分]:

投到某杂志的稿件, 先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过, 则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审, 则再由第三位专家进行复审, 若能通过复审专家的评审, 则予以录用, 否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5, 复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.

(I印) 数求a投/千到册该杂志的1篇1稿≤件a<被5录用的概率;5≤a<10

(II) 记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数, 求X的分布列及期望

【答案】 (I) P (稿件被录用) =0.40.

(II)

期望EX=4×0.4=1.6.

全国大学生数学建模竞赛, 是目前国内高校参加学生人数最印多数的x赛/册事。19925年00, 0由中8国00工0业1与0应00用0数1学5 0学00会数…学…模型专业成委本员y/会元组织举2办8 5了00我国361 000城0市4的1 0大00学生53数50学0模型…联…赛。从1994年起, 由国家教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛, 每年一次。数学建模竞赛的题目由工程技术、经济管理、社会生活等领域中的实际问题简化加工而成, 没有事先设定的标准答案, 但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。竞赛要求3个大学生在72小时内共同完成一篇论文。题目从A题和B题中任选一题。

2006年全国大学生数学建模竞赛A题“出版社的资源配置”是与出版社有关的题目:

例7[2006年全国大学生数学建模竞赛A题“出版社的资源配置”]:

出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等, 它们都捆绑在书号上, 经过各个部门的运作, 形成成本 (策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等) 和利润。

某个以教材类出版物为主的出版社, 总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析, 将总量一定的书号数合理地分配给各个分社, 使出版的教材产生最好的经济效益。事实上, 由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量, 因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后, 各个分社 (分社以学科划分) 根据分配到的书号数量, 再重新对学科所属每个课程做出出版计划, 付诸实施。

资源配置是总社每年进行的重要决策, 直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息 (主要是需求与竞争力) 通常是不完全的, 企业自身的数据收集和积累也不足, 这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。

本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料, 请你们根据这些数据资料, 利用数学建模的方法, 在信息不足的条件下, 提出以量化分析为基础的资源 (书号) 配置方法, 给出一个明确的分配方案, 向出版社提供有益的建议。

[附录]

附件1.问卷调查表;

附件2.问卷调查数据 (5年) ;

附件3.各课程计划及实际销售数据表 (5年) ;

附件4.各课程计划申请或实际获得的书号数列表 (6年) ;

附件5.9个分社人力资源细目。

以上附件1—5的内容略。对此感兴趣的读者可以浏览以下网站, 下同。http://www.mcm.edu.cn/html_cn/section/033046c1b33c2ea9c1d6bd4c5a4020fb.html

为庆祝全国大学生数学建模竞赛10周年和15周年, 2001年和2006年分别举办了两次全国大学生数学建模竞赛夏令营。题目是从A, B, C三题任选一题。2006年A题题目“教材出版业的市场调查、评估和预测方法”, 内容可以浏览网站http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/546743e795148f826941a6c3da3ef478.html或参见【作业3】。

无独有偶, “跟风”命题, 比比皆是。可参见以下作业。

【以下为备用练习题, 供编辑老师拼版用】

【作业1】[2005年中考陕西省数学试题第21题 (全卷倒数第5题) 8分]:

某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物, 若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时, 投入的成本与印数间的相应数据如下:

(1) 经过对上表中数据的探究, 发现这种读物的投入成本y (元) 是印数x (册) 的一次函数, 求这个一次函数的解析式 (不要求写出x的取值范围) ;

(2) 如果出版社投入成本48 000元, 那么能印该读物多少册?

【作业2】[2009年第4届《时代学习报》数学文化节试题]:

一本书的出版成本包括固定成本和变动成本两部分, “稿费+排版费”是固定的, 而“印刷费+纸张费”与印刷的书的数量成正比例.

现有一种图书, 每本的定价为8元, 假定以定价卖出.当印刷2 000册并全部卖出时, 出版社不赚不赔;当印刷3 000册并全部卖出时, 可得利润5 000元, 则此书的固定成本是多少元如果印刷4 000册并全部卖出时, 出版社可得利润多少元.

【作业3】[2006年全国大学生数学建模竞赛夏令营题目A题]:

某出版社出版多类高等教育和职业教育的教材。从出版社的战略发展、投资策略、生产安排、销售方式和产品策划等业务考虑, 需要对出版社的市场占有率 (市场份额) 及其逐年变化进行调查。请你设计有效而可行的调查方法, 并且建立调查数据的分析模型, 以及对市场作出科学评估和预测的方法。

本题的附录中给出的基础数据是问卷式普查数据, 由于抽样成本的限制, 普查是不可取的, 而且抽样数应该在调查目的的基础上尽量少。

题目说明:

1.由于抽样成本, 普查不可取, 但是抽样方法的样本数和调查效益之间有平衡关系, 确定你的抽样数时应该考虑这种平衡关系。

2.完整地描述你的调查方法, 并且清楚地给出你的模拟数据。如果使用问卷式抽样调查 (不限于问卷式) , 请给出问卷格式。

3.给出基于调查数据的市场评估和预测模型, 并用数据说明你的方法的有效性和科学性。

4.在附录1中给出了一个参考的问卷格式, 也给出与该问卷相关的一个数据库 (附录4) 。这个数据库是包含10个省, 全部学生 (为了减少数据量, 假定全班学生填表相同, 因此每个专业只有一个学生填写问卷) 的模拟答卷 (包括3年的) , 作为本竞赛题的背景数据。

5.附录2中给出供本题提供的数据库的29类教材名称以及分类号, 附录3给出某出版社各类教材的3年销售量, 可供查询。

6.在附录4中也给出10个省所有学校名称以及其专业名称, 你可以用在这些检索词确定你对数据库的取样查询。

7.如果你自行选用数据, 请给出调查数据的可靠性和合理性的检验方法和数据来源。

对此感兴趣的读者可以浏览以下网站。http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/546743e795148f826941a6c3da3ef478.html

中考数学中的素质教育篇7

中考前的复习阶段, 有条件也有必要形成相对完整的数学模块.经过三年的初中学习, 学生掌握了许多知识点, 但中考前的数学复习, 不应该是对以前所教知识点的简单回忆, 而是需要通过系统复习, 打破知识的原有界限, 使相关的知识有机地联系起来, 组合成数学模块, 帮助学生构建牢固的知识体系.同时, 在大量的教学实践和经验积累的基础上, 将具有同类功能的思想方法或能力项组合成模块, 使其整体功能大于部分之和.

一、应用知识模块加强知识纵横联系, 帮助学生构建牢固的知识网络

初中阶段学生所要掌握的知识点很多, 复习过程中, 将这些知识点进行整合, 组合成数学知识模块, 更有利于学生对所学知识的理解和掌握.组成知识模块的形式有许多, 可以按照以下几种方式进行组合.

1. 几个知识点加以拓展, 组合成简单的知识模块

将几个简单的知识点拓展延伸, 推导出新的知识或常见的结论, 这就可以整合成简单的知识模块.初中教材中, 类似的知识模块有许多, 教师要善于指点学生, 及时加以归纳总结.这些简单的知识模块, 不仅能促进学生对知识点的理解, 而且有利于提高学生的解题速度.

如:知识模块1 (图1) BD平分∠ABC, DE∥BC, 则BE=DE.

知识模块2 (图2) OD, OE分别是一对邻补角∠AOC和∠BOC的平分线, 则DO⊥EO.

例1

如图3, 在△ABC中, O是AC上的任意一点 (不与点A, C重合) , 过点O作直线l∥BC, 直线l与∠BCA的平分线相交于点E, 与∠DCA的平分线相交于点F.

说明:OE=OF.

探索:当点O在何处时, 四边形AECF为矩形?为什么?

分析

OE=OF的说明, 实质上就是以上知识模块1的应用;探究四边形AECF为矩形, 在掌握知识模块1和模块2的基础上, 很容易发现“O为AC的中点”时, 四边形AECF满足对角线互相平分且有一个内角∠ECF=90°, 满足了判定矩形的条件, 从而快速解题, 达到事半功倍的效果.

2. 围绕某个内容进行知识点归纳, 组合为整体的知识模块

在平时数学教学过程中, 经常针对某个特定的内容展开学习, 出现了众多知识点, 学生对于这些知识的理解往往是零碎的、孤立的.复习阶段, 完全可以借助对知识的梳理, 把围绕这一内容的核心知识点联结归纳在一起, 组合为整体的知识模块, 形成清晰的知识网络, 加深学生对重点知识内容的理解.

如:将一元二次方程中相关知识点加以整合, 组成知识模块3.

已知:x1, x2是ax2+bx+c=0的两根, 则应该有以下结论成立:

(1) a≠0 (条件中隐含方程是一元二次方程)

(2) Δ≥0 (方程有两个实根)

(3) (韦达定理运用的前提是Δ≥0)

(4)

(5) ax12+bx1+c=0, ax22+bx2+c=0.

3. 架设孤立知识点之间的桥梁, 组合成综合的知识模块

初中数学中, 许多知识点看似孤立, 实质上各知识点之间存在彼此的联系.在复习过程中要善于挖掘, 发现契机, 架起联系各知识点之间的桥梁.

如:在复习过程中, 许多综合解答题经常出现直角三角形及斜边上的高组成的图形.此图形蕴含了众多的知识点, 而且它们之间存在因果关系, 不妨将这些知识点组合成综合的知识模块4, 形成一个统一的整体.既强化学生对知识的理解, 更有利于在解题过程中发散学生的思维, 灵活运用知识模块可以解决一系列问题.

知识模块4 (图4) 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB, 则有以下结论成立:

(1) ∠ACD=∠B, ∠BCD=∠A (由同角的余角相等得出)

(2) AB2=AC2+BC2, AC2=AD2+CD2, CB2=DC2+BD2 (勾股定理)

(3) △ABC∽△ACD∽△CBD (由三角形相似判定得出)

(4) AC2=AD·AB, BC2=BD·AB, DC2=AD·BD (射影定理)

(5) (面积两种求法)

例2

如图5, AB是半圆O的直径, 点C是半圆上的一点, 过点C作CD⊥AB于D, AD∶DB=4∶1, 求AD, CD的长.

分析

此题是圆中简单的综合题, 由直径AB得出∠ACB=90°, 借助以上的综合知识模块, 运用三角形相似、勾股定理、面积两种求法或射影定理很容易得出

二、应用技能模块发展学生数学能力, 实现由知识到技能的转化

学生掌握数学知识, 不能依赖死记硬背, 而应该以理解为基础, 在知识应用中不断巩固和深化, 实现由知识到技能的转化.数学技能需要经过一定的训练形成, 但不能走入题海训练的误区.在复习过程中, 教师注重技能模块的归纳, 能很好地减轻学生的课业负担, 提高复习的效率.

如:初三数学中经常遇到的综合应用:二次函数y=ax2+bx+c与x轴两交点间的距离, 可以形成以下技能模块:设抛物线与x轴两交点坐标分别为A (x1, 0) 、B (x2, 0) , 则x1, x2是方程ax2+bx+c=0的两根, 由根与系数的关系知:所以

求解两点间距离的技能模块, 包含了许多知识:二次根式的化简、公式的变形、一元二次方程根与系数的关系等.可以看出, 技能模块是建立在已有数学知识经验基础上的, 技能模块有助于数学知识的理解和巩固, 促进学生数学能力的形成, 在解题时借助技能模块把知识内化为一种本能.

例3

已知抛物线y=x2- (2m+4) x+m2-10与x轴交于A, B两点, 若求抛物线的函数关系式.

例4

已知函数y=x2+2x+c的图像与x轴的两交点的横坐标分别是x1, x2, 且x12+x22=c2-2c, 求c.

分析

例3、例4看似不同, 深究后会发现, 实质上它们包含的知识是相同的, 解答过程也非常类似, 都可以应用上面的技能模块来完成, 从而避免类似题型的重复训练.

三、应用方法模块归纳科学的解题方法, 领悟数学思想方法的重要

数学思想方法是数学教学的精髓, 是考查学生综合素质的一个重要依据.中考的综合解答题, 通常渗透了多种数学思想方法, 所以数学思想方法也是中考考查的重点.复习过程中, 教师应该以知识和技能为载体, 注重归纳科学的解题方法, 形成方法模块.同时, 引导学生感悟其中的数学思想, 从而提高学生分析问题和解决问题的能力.

如:在复习相似三角形时, 会遇到多种复杂的图形, 在找三角形相似时, 学生往往感觉眼花缭乱, 无从下手;或者看不懂图形, 不能迅速求解;或者忙于训练不同的题目, 以求熟练.事实上这些复杂的图形, 是由简单的图形变化组成的, 以下给出了常见的几个图形, 很形象地展现这一变化过程 (如图6) .

可以看出, 看似孤立的多个图形, 可借助初中阶段常见的三种变换:旋转、翻折、平移, 运用转化的思想方法, 实现由图a到图d的变化, 图d和图e体现了特殊与一般的思想.把这些整合在一起, 组合为识图的方法模块, 教给学生识别复杂图形的方法, 使问题化难为易, 化繁为简.

再如:初中阶段函数关系解析式的求解, 是中考的重要考点.复习时, 有的教师为了能使学生牢固掌握, 布置了大量练习, 不断机械、反复地训练, 加重了学生的负担, 效果却不明显.事实上, 可以总结为方法模块:用待定系数法处理, 无论是一次函数、反比例函数或二次函数, 先根据题意设函数解析式, 再对照解析式中有几个参数, 就对应找几个等量关系, 然后转化为方程组求解.相信此类方法模块的总结, 不仅使学生感受到方程的思想方法, 而且更易受到学生的欢迎, 复习效果更佳.

四、应用经验模块积累有效的活动经验, 提供学生后续学习的保障

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志, 是数学教学的重要目标.数学活动的形式有许多, 数学问题的分析和解决过程也是一种“有效的数学活动”.复习阶段, 教师应该注重帮助学生积累有效的活动经验, 及时总结问题解答过程中的注意点、要点、方法等, 形成经验模块, 这对于学生后续学习中, 利用已有经验探索比较复杂的类似问题, 是相当有益的.

可以看出, 中考复习中, 应用数学模块进行教学, 可以帮助学生形成知识网络, 构建牢固的知识体系, 在提高学生数学能力的同时, 使学生走出题海战术的误区, 减轻学生负担, 提高复习的质量和效率.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011版) .北京:北京师范大学出版社.

[2]何乃忠, 等.新课程有效教学疑难问题操作性解读.北京:教育科学出版社, 2007.

[3]杨裕前, 董林伟, 主编.义务教育课程标准实验教科书数学.南京:江苏科学技术出版社, 2007.

[4]卜以楼.模块教学:积累活动经验的有效载体——从《矩形的判定》教学说起[J].数学教学研究, 2010 (7) .

数学应用性问题在中考中的体现篇8

一、关注社会热点, 取材于实际问题

丰富的生产、生活实践, 多彩的经济社会活动, 为应用题的创新提供了取之不尽的广阔资源, 取材于实际问题是创新应用的一个鲜明特点。

例在车站开始检票时, 有a (a>0) 名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后, 仍有旅客继续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加, 检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口, 则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口, 则需10分钟将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕, 以使后来到站的旅客能随到随检, 至少要同时开放几个检票口?

该题联系生活实际, 设计巧妙, 要求学生有较强的阅读理解能力, 综合应用不等式、方程等方面的知识;对学生如何运用所学数学知识解决实际问题 (即将实际问题转化为数学问题) 的能力提出了较高的要求, 是一道考查学生分析问题和解决问题能力的好题。

二、以数学建模切入, 解决有关问题

将实际问题转化为数学问题是解应用题的关键, 而这个转化过程就是数学建模过程, 传统的中考应用题主要是建立方程模型, 而近年来各地中考试题中越来越多地出现了需要建立不同方程模型来解决的新颖独特生活问题的应用题。

1. 函数模型。

函数应用题主要是考查学生应用数学知识分析和解决实际问题的能力, 解这类问题的关键是对题目的审读和理解, 要熟练掌握用一个变量的代数式表示另一个变量, 建立两个变量间的等量关系, 这里需要有扎实的列代数式的数学功底。

例某商场在销售旺季临近时, 某品牌的童装销售价格呈上升趋势。这种童装开始时的售价为每件20元, 并且每周 (7天) 涨价2元, 从第6周开始, 保持每件30元的稳定价格销售, 直到第11周结束, 该童装不再销售。

(1) 请建立销售价格y (元) 与周次x之间的函数关系。

(2) 若该品牌童装的全部进货当周售完, 且这种童装每件进价z (元) 与周次x之间的函数关系式为z=-8 (x一8) 2+12, 1≤x≤1 1, 且x为整数, 那么该品牌童装在第几周售出后, 每件获得的利润最大?最大利润为多少?

其实, 近几年来, 围绕函数相关的知识点, 出现了许多背景新颖、视点独特的试题, 这些试题, 既考查了函数相关知识的理解与掌握, 又考查了学生的创新应用能力, 同时还考查了学生对数学建模、数形结合分类讨论等数学方法的应用能力。

2. 统计、概率模型。

统计是初中数学的传统知识, 而概率则是课程标准下新增的一部分内容, 其有关知识与思想方法在现实生活和科学领域中有着广泛的应用。

例口袋中有五张完全相同的卡片, 分别写有1cm、2cm、3cm、4cm、5cm, 口袋外有两张卡片, 分别写有4cm和5cm。现随机从袋内取出一张卡片, 与口袋外的两张卡片放在一起, 以卡片上的数量分别作为三条线段的长度, 回答下列问题:

(1) 求这三条线段能构成三角形的概率;

(2) 求这三条线段能构成直角三角形的概率;

(3) 求这三条线段能构成等腰三角形的概率。

有关统计概率的应用已不再限于现学教材中的内容, 它以新颖别致的取材、富有创造力的设问, 来考查学生现学现用的能力, 这类题能够较好地考查学生的综合素质和能力, 具有创新性, 体现了数学课标下全面发展的要求。

三、探索、开放类问题

这类问题是近几年中考命题的新趋势, 它是在数学教育界提出“问题解决”背景下悄然兴起的一种新题型, 和常规习题相比, 这类题形式新颖、格调清新, 解题过程中需要较多的创造性和探索性, 所以对考查学生的创新能力、想象能力、发散思维能力有其独特的作用。

例如图, ⊙A和⊙B是外离两圆, ⊙A的半径为2, ⊙B的半径为1, AB=4, P为连接两圆圆心的线段AB上的一点, PC切⊙A于点C, PD切⊙B于点D。

(1) 若PC=PD, 求PB的长;

(2) 试问线段AB上是否存在一点P, 使PC2+PD2=4?如果存在, 问这样的点P有几个?并求出PB的值;如果不存在, 请说明理由。

该题的特点是要求学生自己通过推理来判断结论的存在与否, 这就要求学生有一定的思维能力。对这类题的解答一般思路是:先对结论作出肯定的假设, 然后从假设出发, 结合已知条件 (或挖掘出隐含条件) , 运用方程思想、数形结合思想等手段, 进行正确的计算、推理, 再对得出的结论进行分析检验, 判断是否与题设、公理、定理等相吻合。若无矛盾, 说明假设正确, 由此得出符合条件的数学对象存在;否则, 说明不存在。

中考数学中的素质教育篇9

关键词：中考命题；变化；小学数学；课程改革

G632.474

随着素质教育的不断深入，中考命题出现了明显变化，并且有新的小学课程改革出台。数学教学大纲指出：“数学教学过程中，发展思维能力是培养学生能力的核心。”所以小学数学教学不仅是教授数学知识，而且需要有效培养学生的思维能力，以显著增强学生的综合素质，促进学生的全面发展。

一、中考命题变化

（一）重视知识的实用性

中考是高中的招生考试，所以具备相应的选拔性。所以在中考命题中不仅重视对“双基”的考查，更加重视对数学能力的考查，试题注重开放性、创新性以及实用性，试题具备较强的时代气息。例如：2001年中国足球实现了中国人44年的梦想，在世界杯预选赛的8场比赛中，胜场次数是平场次数与负场次数之和的3倍，并且平场次数与负场次数相同。在比赛中胜一场可以得3分，平一场可以得1分，负一场不得分，求中国队的总积分是多少？这些题目与学生的实际生活有密切关系，可以对学生的实际运用能力进行考查。

（二）重视学生的实际掌握能力

在中考中很多题目侧重于对学生运用所学知识解决实际问题的能力进行考查。例如：一条河流的同侧有A、B两个村庄，如果想在河边构建一个供水站，需要怎样选择建址才可以尽可能的节省水管？这些问题都侧重于对学生动手能力的考查，学生只有对数学知识进行灵活掌握，才能够运用相应的数学知识解决实际问题。

二、小学数学课程改革的变化

（一）重视知识来源

在小学数学教学材料中，对新知识进行引入时十分重视新知识的来源，让学生了解到新知识的学习是为了解决新的问题。例如：对元、角、分的认识、二十四时计时法等内容进行引入时，先对引入相应知识的必要性进行阐述，这样不仅可以有效调动学生的积极性，激发学生的求知欲望，吸引学生的学习兴趣，而且有利于提升教师对教学过程的重视力度，从而提高教学效果。

（二）构建问题情景

在新的教学材料中十分重视培养学生实际动手对相应问题进行解决的能力。例如：对空间图形知识进行讲解时，这些知识都是学生日常生活中经常出现的，所以将教学知识与学生的生活经验和知识背景进紧密结合，让学生在教室里、校园里、家里等地方寻找所学的数学，使学生可以感受到数学就在自己身边，举目望去，到处都是相应的数学信息。这样不仅可以提升学生的动手能力，而且有利于增强学生解决实际问题的能力。

（三）重视学生语言的表达、理解能力

著名教育学家苏步青曾经讲过，语文学习在学习任何学科中起到一个相当重要的作用，语文学习不好的学生将会在其他学科学习过程中受到较大限制。同样的道理，学生对于语言能力的理解和表达在某种程度上都会在数学问题中起到相应作用。例如：对方程知识进行学习时，学生需要将自己的解题思路清晰表达出来，但是学生却不知道如何用语言表达使他人可以清晰理解。所以在新的教学材料中更加重视对学生语言表达能力、理解能力的培养，例如：在教材中对概念定理进行了严格定义，有效加强了学生对语言理解能力的认知。

三、针对改革的落实措施

（一）培养学生良好的思维习惯

诱导思维进程，养成良好的探索精神，形成有效的思维习惯，是对学生独立思维和独立思考能力进行培养的关键，这就要求教师为学生的思维创造留下充足的时间和空间。在实施教学过程中，关注学生的思维动向，积极诱导学生，不要把教学作为任务传达给学生，而是让学生在学习过程中感受到学习的魅力。

（二）加强提出问题的深度和质量

著名的数学家、教育家波利亚认为：“学生不知道如何学习，不知道怎样提出高质量问题。而高质量问题可以将学习转变成“为什么”，“怎么办”，让学生学会举一反三。”通过高质量的思考与高质量的问题来培养学生的思维习惯。这样能够有效的提高学生的学习热情，增强学生的学习注意力，提升学生的综合能力。

（三）丰富教学方法，发挥学生的主体作用

随着小学数学课程改革的进行，在日常教学过程中需要充分发挥学生的主体作用，以对学生的独立思维进行有效培养。例如：在乘、除法计算过程中，教师可以为学生创建一个熟悉、有意义的学习情景，提出相应的有效问题，引导学生运用所学过的知识，结合自身的解题经验对解决问题的方法进行探索，从而使学生在以后面对类似问题时可以有自己的方法进行解决。再如：对认识钟表进行讲解时，教师可以让学生对生活中多种多样的钟表进行收集，可以让学生对钟表产生丰富的认识。同时带领学生动手操作，制作出简易的钟表，从而让学生对时、分、秒的概念进行深刻认识。此外，教师还可以通过钟表知识的讲解，引导学生学会珍惜时间，以对学生良好的思想与习惯进行有效培养。对教学方法进行丰富与完善，充分发挥学生的主体作用，使学生对数学知识产生更加深刻的印象。

在中考命题变化中可以看出小学教育需要重视培养学生的知识应用能力、思维能力、创新能力。所以在小学数学课堂改革过程中，教师需要重视学生的主体地位，引导学生进行自主学习，提升学生的思维能力与解决问题的能力，从而有效促进学生的全面发展。

参考文獻：

[1]杨晓航.浅谈新课程下初高中数学衔接问题[J].河南机电高等专科学校学报.2016（03）.

中考数学中的素质教育篇10

双动点问题是指题设图形中存在两个动点, 它们从同一地点或不同地点出发, 在相同时间内沿不同途径运动的一类开放题.双动点问题是近年来中考中一个热点题型, 也是学生的一个难点, 这类题综合性强、开放性高, 要求学生能从运动、变化的角度去思考问题, 解答这类题目除了要牢固掌握相关的数学知识外, 还要综合运用数形结合、分类讨论、方程、函数转化等数学思想方法去探究解题的思路.本文以2011年全国各地的中考动点类问题为例进行分析, 以供参考.

一、两动点同时同地同速运动问题

这类问题中, 两动点运动的速度相同, 但运动方向不同, 其运动距离可用代数式表示, 然后结合动点在运动中所构成的特殊几何图形, 并依据图形的几何性质, 运用数形结合的思想方法, 使问题获得解决.

例1 (2011年淮安) 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, 点P在AB上, AP=2, 点E, F同时从点P出发, 分别沿PA, PB以每秒1个单位长度的速度向点A, B匀速运动, 点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动, 点F运动到点B时停止, 点E也随之停止.在点E, F运动过程中, 以EF为边作正方形EFGH, 使它与△ABC在线段AB的同侧.设E, F运动的时间为t (t>0) , 正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.

(1) 当t=1时, 正方形EFGH的边长是____;当t=3时, 正方形EFGH的边长是____.

(2) 当0<t≤2时, 求S与t的函数关系式.

(3) 直接答出:在整个运动过程中, 当t为何值时, S最大?最大面积是多少?

分析 (1) 当t=1时, 可得EP=1, PF=1, EF=2即为正方形EFGH的边长;当t=3时, PE=1, PF=3, 即EF=4.

(2) 正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状, 依次为正方形、五边形和梯形.可分三段:①当 $0 ＜ t \leq \frac{6}{11}$ 时, ②当 $\frac{6}{11} ＜ t \leq \frac{6}{5}$ 时, ③当 $\frac{6}{5} ＜ t \leq 2$ 时, 依次求S与t的函数关系式.

(3) 当t=5时, 面积最大.

解 (1) 当t=1时, 则PE=1, PF=1,

∴正方形EFGH的边长是2;

当t=3时, PE=1, PF=3, ∴正方形EFGH的边长是4.

(2) ①当 $0 ＜ t \leq \frac{6}{11}$ 时,

S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2;

②当 $\frac{6}{11} ＜ t \leq \frac{6}{5}$ 时,

S与t的函数关系式是

$\begin{array}{l} y = 4 t^{2} - \frac{1}{2} \times [2 t - \frac{3}{4} (2 - t)] \times \frac{4}{3} [2 t - \frac{3}{4} (2 - t)] \\ = - \frac{73}{12} t^{2} + 11 t - 3 ； \end{array}$

③当 $\frac{6}{5} ＜ t \leq 2$ 时,

S与t的函数关系式是

$y = \frac{1}{2} (t + 2) \times \frac{3}{4} (t + 2) - \frac{1}{2} (2 - t) (2 - t) = 3 t .$

(3) 当t=5时, 最大面积是 $S = 16 - \frac{1}{2} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{3} = \frac{335}{24} .$

评析本题考查了动点函数问题, 其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质, 需要熟练地运用相似三角形和二次函数的知识, 确定正方形EFGH与△ABC重叠部分的几种形式, 从而分类求出分段函数和最大值.

二、两动点同时同地异速运动问题

由于两点在同一地点出发, 解题的关键主要是动点的运动时间和速度, 从而找出动点运动的轨迹, 其运动距离可用代数式表示, 找出其等量关系, 构建方程, 运用相应的数学思想方法, 使问题获得解决.

例2 (广西梧州) 如图, 在直角梯形ABCD中, AD//BC, ∠B=90°, AD=6 cm, AB=8 cm, BC=14 cm.动点P, Q都从点C出发, 点P沿C→B方向做匀速运动, 点Q沿C→D→A方向做匀速运动, 当P, Q其中一点到达终点时, 另一点也随之停止运动.

(1) 求CD的长.

(2) 若点P以1 cm/s速度运动, 点Q以 $2 \sqrt{2} c m / s$ 的速度运动, 连接BQ, PQ, 设△BQP面积为S (cm2) , 点P, Q运动的时间为t (s) , 求S与t的函数关系式, 并写出t的取值范围.

(3) 若点P的速度仍是1 cm/s, 点Q的速度为a cm/s, 要使在运动过程中出现PQ//DC, 请你直接写出a的取值范围.

分析 (1) 利用勾股定理即可求解.

(2) 分Q在CD上运动和DA上运动两种情况进行讨论求解.

(3) 分析PQ//DC成立时Q的运动情况求解.

解 (1) 过D点作DH⊥BC, 垂足为点H, 则有DH=AB=8 cm, BH=AD=6 cm.

∴CH=BC-BH=14-6=8 (cm) .

在Rt△DCH中, $C D = \sqrt{D Η^{2} + C Η^{2}} = 8 \sqrt{2}$ cm.

(2) 当点P, Q运动的时间为t (s) , 则PC=t.

①当Q在CD上时, 过Q点作QG⊥BC, 垂足为点G, 则 $Q C = 2 \sqrt{2} \cdot t .$

又 ∵DH=HC, DH⊥BC,

∴∠C=45°.

∴在Rt△QCG中, $Q G = Q C \cdot \sin ∠ C = 2 \sqrt{2} t \times \sin 45 ° = 2 t .$

$\begin{array}{l} 又 ∵ B Ρ = B C - Ρ C = 14 - t ‚ \\ ∴ S_{△ B Ρ Q} = \frac{1}{2} B Ρ \times Q G = \frac{1}{2} (14 - t) \times 2 t = 14 t - t^{2} . \end{array}$

$\begin{array}{l} 当 Q 运动到 D 点时所需要的时间 t = \frac{C D}{2 \sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = 4 ‚ \\ ∴ S = 14 t - t^{2} (0 ＜ t \leq 4) . \end{array}$

②当Q在DA上时, 过Q点作QG⊥BC,

$\begin{array}{l} 则 Q G = A B = 8 c m ‚ B Ρ = B C - Ρ C = 14 - t ‚ \\ ∴ S_{△ B Ρ Q} = \frac{1}{2} B Ρ \times Q G = \frac{1}{2} (14 - t) \times 8 = 56 - 4 t . \end{array}$

当Q运动到A点时所需要的时间

$\begin{array}{l} t = \frac{C D + A D}{2 \sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2} + 6}{2 \sqrt{2}} = 4 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} ‚ \\ ∴ S = 56 - 4 t (4 ＜ t \leq 4 + \frac{3 \sqrt{2}}{2}) . \end{array}$

综合上述, 所求的函数关系式是

$S = 14 t - t^{2} (0 ＜ t \leq 4) ‚ S = 56 - 4 t (4 ＜ t \leq 4 + \frac{3 \sqrt{2}}{2}) .$

(3) 分析PQ//DC成立的条件, 求出a的取值范围是 $a \geq 1 + \frac{4}{3} \sqrt{2} .$

评析本题考查了函数动点问题, 是一道以函数知识为背景的压轴题, 其中应用到解直角三角形的性质, 第 (1) 题比较简单, 第 (2) 题需要分类讨论写出分段函数解析式, 第 (3) 题需要熟练地运用代数知识和几何知识, 对平行存在的条件进行分析, 得出结果.

三、两动点同时异地同速运动问题

此类问题中, 由于两动点的运动时间和速度都相同, 因此, 它们运动的距离相等, 这是求解此题的关键, 再分析图形位置的变化位置, 注意运用分类讨论的思想方法, 不难求出其正确结果.

例3 (吉林) 如图, 梯形ABCD中, AD//BC, ∠BAD=90°, CE⊥AD于点E, AD=8 cm, BC=4 cm, AB=5 cm.从初始时刻开始, 动点P, Q分别从点A, B同时出发, 运动速度均为1 cm/s, 动点P沿A—B—C—E的方向运动, 到点E停止;动点Q沿B—C—E—D的方向运动, 到点D停止, 设运动时间为x s, △PAQ的面积为y cm2 (这里规定:线段是面积为0的三角形) .

解答下列问题:

(1) 当x=2s时, y=____cm2;当 $x = \frac{9}{2} s$ 时, y=____cm2.

(2) 当5≤x≤14时, 求y与x之间的函数关系式.

(3) 当动点P在线段BC上运动时, 求出y=S梯形ABCD时x的值.

(4) 直接写出在整个运动过程中, 使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值.

分析 (1) 利用三角形面积公式代入进去直接计算求解.

(2) 分时段讨论即可.

(3) 考虑当动点P在线段BC上运动时, 利用相对应的函数关系式即可求出.

(4) 根据相似三角形的判定和性质, 平行的判定, 分类讨论列出时间方程求解.

解 (1) 当x=2s时, 点P在AB上, 点Q在BC上,

$∴ y = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 .$

当 $x = \frac{9}{2} s$ 时, 点P在AB上, 点Q在CE上,

$∴ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot 4 = 9 .$

(2) 当5≤x≤9时,

$\begin{array}{l} y = S_{梯形 A B C Q} - S_{△ A B Ρ} - S_{△ Ρ C Q} \\ = \frac{1}{2} (5 + x - 4) \times 4 - \frac{1}{2} \times \\ 5 (x - 5) - \frac{1}{2} (9 - x) (x - 4) \\ = \frac{1}{2} x^{2} - 7 x + \frac{65}{2} . \end{array}$

当9<x≤13时,

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} (x - 9 + 4) (14 - x) \\ = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{19}{2} x - 35 . \end{array}$

当13<x≤14时,

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} \times 8 (14 - x) \\ = - 4 x + 56 . \end{array}$

(3) 当动点P在线段BC上运动时,

$\begin{array}{l} ∵ y = \frac{4}{15} S_{梯形 A B C D} = \frac{4}{15} \times \frac{1}{2} (4 + 8) \times 5 = 8 ‚ \\ \frac{1}{2} x^{2} - 7 x + \frac{65}{2} = 8 \end{array}$

, 即x2-14x+49=0, 解得x1=x2=7,

∴当x=7时, $y = \frac{4}{15} S_{梯形 A B C D} .$

(4) 设x s时, PQ与四边形ABCE的对角线平行, 根据相似三角形的判定和性质, 平行的性质, 分三种情况:

①当点P在线段AB上运动时, 有BP∶BQ=AB∶BC, 即 (5-x) ∶x=5∶4, 解得 $x = \frac{21}{9}$ ;

②当点P在线段BC上运动时, 有PC∶CQ=BC∶AB, 即 (9-x) ∶ (x-4) =4∶5, 解得 $x = \frac{61}{9}$ ;

③当点P在线段CD上运动时, 有PD∶DQ=AB∶BC, 即 (14-x) ∶ (x-4) =5∶4, 解得 $x = \frac{101}{9} .$

评析本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题, 看一个图形是否变化, 关键是看决定这个面积的几个量是否变化, 分析其变量从而求出此题.本题有助于培养学生的思维能力, 但难度较大, 有明显的区分度.

四、两动点同时异地异速运动问题

这类问题中, 两动点运动的时间始终相同, 由于各自不同的速度, 其运动轨迹不同, 那么在运动中就构成特殊的几何图形, 然后依据图形的几何性质, 用代数式表示出距离, 根据题意, 列出方程, 运用合适的数学思想方法, 使问题得以解决.

例4 (新疆乌鲁木齐) 如图, 在△ABC中, ∠B=90°, AB=6 m, BC=8 m, 动点P以2 m/s的速度从A点出发, 沿AC向点C移动.同时, 动点Q以1 m/s的速度从C点出发, 沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时, 它们都停止移动.设移动的时间为t s.

(1) ①当t=2.5 s时, 求△CPQ的面积;

②求△CPQ的面积S (m2) 关于时间t (s) 的函数解析式.

(2) 在P, Q移动的过程中, 当△CPQ为等腰三角形时, 写出t的值.

(3) 以P为圆心, PA为半径的圆与以Q为圆心, QC为半径的圆相切时, 求出t的值.

分析 (1) 过点P, 作PD⊥BC于D, 利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半, 即可求得PD的长, 然后利用三角形的面积公式即可求解.

(2) 分PC=QC和PQ=QC、PQ=PC三种情况进行讨论, 求解.

(3) PA为半径的圆与以Q为圆心, QC为半径的圆相切时, 分为两圆外切和内切两种情况进行讨论.在Rt△PFQ中利用勾股定理即可得到关于t的方程, 从而求解.

解在Rt△ABC中, AB=6 m, BC=8 m, ∴AC=10 m.

由题意得AP=2t, 则CQ=1t, 则PC=10-2t.

(1) ①过点P作PD⊥BC于D.

$\begin{array}{l} ∵ t = 2.5 s 时 ‚ A Ρ = 2 \times 2.5 = 5 (m) ‚ Q C = 2.5 m ‚ \\ ∴ Ρ D = \frac{1}{2} A B = 3 m ‚ \\ ∴ S = \frac{1}{2} \cdot Q C \cdot Ρ D = 3.75 m^{2} ； \end{array}$

②过点Q作QE⊥PC于点E,

$\begin{array}{l} 易知 R t △ Q E C \sim R t △ A B C ‚ ∴ \frac{Q E}{Q C} = \frac{A B}{A C} \cdot Q E = \frac{3 t}{5} ‚ \\ ∴ S = \frac{1}{2} \cdot Ρ C \cdot Q E = \frac{1}{2} \cdot (10 - 2 t) \cdot \frac{3}{5} t \\ = - \frac{3}{5} t^{2} + 3 t (0 < t < 5) . \end{array}$

(2) ①在△CPQ中, 当PC=QC时, 此时解得 $t = \frac{10}{3}$ 秒;

②在△CPQ中, 当PQ=QC时, 此时解得 $t = \frac{25}{9}$ 秒;

③在△CPQ中, 当PQ=PC时, 此时解得 $t = \frac{80}{21}$ 秒.

(3) 过点P作PF⊥BC于点F, 则△PCF∽△ACB.

则在Rt△PFQ中, $Ρ Q^{2} = Ρ F^{2} + F Q^{2} = (6 - \frac{6}{5} t)^{2} + (8 - \frac{8}{5} t - t)^{2} = \frac{41}{5} t^{2} - 56 t + 100 .$

当⊙P与⊙Q外切时, 有PQ=PA+QC=3t, 此时 $Ρ Q^{2} = \frac{41}{5} t^{2} - 56 t + 100 = 9 t^{2}$ , 整理得t2+70t-125=0.

解得 $t_{1} = 15 \sqrt{6} - 35 ‚ t_{2} = - 16 \sqrt{6} - 35 ＜ 0$ (舍去) .

故当⊙P与⊙Q外切时, $t = (16 \sqrt{6} - 35) s$ ;

当⊙P与⊙Q内切时, PQ=PA-QC=t, 此时, $Ρ Q^{2} = \frac{41}{5} t^{2} - 56 t + 100 = t^{2}$ ,

整理得9t2-70t+125=0, 解得 $t_{1} = \frac{25}{9} ‚ t_{2} = 5 .$

故当⊙P与⊙Q外切时, $t = \frac{25}{9} s$ 或5 s.

评析本题主要考查了相似三角形的性质以及圆和圆的位置关系, 正确把图形之间的位置关系转化为线段之间的相等关系是解题的关键.

从以上例题, 总结出解决双动点问题的总体思路是:在点的运动轨迹中, 寻找各种不同的情况, 构造出对应的图形, 从而找出运动中的特殊位置, 确定相应时间的分界点, 在动中求静, 在静中取出动的一般规律, 然后合理建构方程, 综合运用数形结合、分类讨论、方程、函数转化等数学思想方法, 从而赢得问题的求解.因此, 要想顺利解决双动点型问题, 必须重视基础知识和基本技能的培养和训练, 重视学习中的探究活动, 培养数学思想方法和数学能力, 从而在中考中数学取得优秀的成绩.

摘要：中考数学中的压轴题是考题中的重中之重, 因为这些试题往往在很大程度上决定了考分的高低, 而双动点型问题又是压轴题中频频出现的题型, 所以研究双动点型问题的解法有着深远的意义.因此, 本文结合2011年的中考数学试题谈谈压轴题中双动点型问题的解题策略.

关键词：中考,数学,压轴题,双动点,解析

参考文献

[1]葛云康.中考数学压轴题的解题策略[J].学科教学, 2008 (5) .

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