广东中考数学考点分析（通用8篇）
广东中考数学考点分析 篇1
人生最重要的不是所站的位置，而是所朝的方向!
中考常见考点归纳
考点1：数的简单计算（相反数、倒数、绝对值、平方根、立方根）
考点2：数的综合计算（零指数、负指数、方根、三角函数、绝对值化简等）考点3：科学计数法
考点4：三视图、轴对称图形和中心对称图形
考点5：概率统计（统计三数和求简单事件的概率，小题）
考点6：式子有意义条件及非负数之和
考点7：式的简单计算或判断对错（幂的计算、乘法公式、根式与分式等计算）考点8：式的综合计算（主要考查整式与分式的基本计算化简求值）考点9：因式分解
考点10：相交线、平行线以及所产生的角之间的关系
考点11：正多边形的内角、外角和
考点12：三角形的边、角关系
考点13：圆中角的转换（圆心角、圆周角）
考点14：弧长和扇形面积
考点15：解方程、方程组
考点16：不等式的性质和求解
考点17：尺规作图
考点18：三角形全等、相似的证明
考点19：解直角三角形
考点20：方程或函数应用题
考点21：函数图像（小题）
考点22：概率统计（数据分析或用树状图列表求概率，大题）
考点23：函数综合题（求一次函数和反比例、二次函数的解析式及交点坐标）考点24：几何综合题（三角形、四边形、圆两两结合考查，求证角相等、线段相等、圆的切线等，有时还有平移、旋转、折叠出现）
考点25：代数几何综合题为压轴题（以三角形、四边形、抛物线等图形为母版结和动态、面积、最值等问题，难度系数高）
追求卓越,挑战极限,从逆境中寻找希望,人生终将辉煌!
广东中考数学考点分析 篇2
数学中考题型分为:选择题、填空题、简答题.
一、选择题
考生要注意归纳选择题的做法, 如排除法、比较法、先易后难法等.要看清题意和各选择支的细微不同点, 谨慎作答.
1. 基本概念辨析题:涉及各章中形似而不神似的概念, 要求弄清各概念间的区别与联系.
2. 性质和判定的混合题:
涉及“图形与证明”中图形性质与判定, 考查基本图形的对称性, 辨认轴对称图形及中心对称图形等.
3. 易错的计算题:如“数与式”的计算.考生要认真细致地作答, 并考虑检验或取值范围.
4. 多角度分析题:要求考生多角度的思考, 得出不同的结论.
(1) “统计与概率”中, 计算数据组的各种统计量, 认读统计图表, 要求考生有读图、释图能力.
(2) “图形与证明”中, 结合图形剖析条件得出初步结论, 并由这些结论深入思考得出新的结论.
(3) 根据图像判断:不等式与一次函数的增减性关系、方程与函数图像的关系、折线图、分段函数的实际意义等.
(4) “视图与投影”中简单物体的三视图, 根据三视图描述基本几何体或实物原型.
二、填空题
主要考查基本知识与基本技能, 相对简单.难点是最后的开放性填空题, 要求学生不仅要注重知识的记忆, 更要从根本上去理解, 学会知识的迁移.
1. 直观呈现型:涉及各章易混淆的知识点, 要求考生注重基本知识的积累, 争取这类题型不失分.
2. 简单计算:
常出现“数与式”“方程和不等式”的计算, 函数图像中的符合要求的点的坐标或函数的解析式.要求考生注重基本技能的训练.
3. 找规律题:
“数与式”中给出有规律的排列, 要求写出确定的项或它们的和等;“空间与图形”中给出有规律的一组图像, 探求后面图像的形状与性质.考生应准确把握规律, 并考虑是否蕴含特殊性.
4. 条件缺失题或多结论题:
属于开放题, 答案常常不唯一.要求多角度思考, 填出缺失的条件或得出的不同结论.涉及“空间与图形”中给出几个条件, 求出一系列结论的题.考生应尽力从简易熟悉的知识点起, 保证解答的正确性.
5. 辅助画图分类思考:属于开放题, 要求根据题意自己画图, 分类思考.考生要周全思考, 不能草率造成漏解.
三、简答题
简答题考查学生语言表达能力和知识的综合运用能力.考生要注意答题的规范性.平时多关注社会热点, 注意把课本知识与实际生活相联系.做综合运用题时要注意按顺序、分步骤、分层次解答, 注意语言简练和各部分之间的逻辑关系.
1. 计算题:
“数与式”“特殊角的三角形函数值”的计算, “分解因式”“圆”中的计算等.这里的计算难度略高于填空题和选择题中的计算, 考生要注意语言表达的准确和格式的规范化.
2. 方程与不等式:常有用换元法解的整式方程, 考虑检验的分式方程, 解不等式并将解在数轴上表示等.
3. 作图题:
利用基本作图或它们的组合去完成.考生应重视作图的准确规范, 特别注意保留作图的痕迹和将作图结论明确化.
4. 图形与证明题:
基本图形的性质或判定的证明题, “相似三角形”与“四边形”相结合, 与“圆”有关的证明, 建立解直角三角形模型来解决实际问题.考生常根据实际添加适当的辅助线 (如平行线、垂线、取中点等) .主要考查学生逻辑推理的条理性、严密性.
5. 求解析式及满足条件的点或线:
考生根据题意初步判断函数类型再加以确定, 常用待定系数法解决, 特定数量、形状、位置关系问题需辅以图形, 并大多归结为方程解决.
6. 组成命题并证明:
给出若干条件, 要求选取适当条件分别作为命题的题设和结论, 组成命题并加以证明.多见“图形与证明”中.考生要会用试探法从简单或熟悉的条件着手, 组成正确的命题, 注意潜伏的易错命题.
7. 补全统计图表:
通过对已有统计图表的认读, 提取有效信息, 补全图表, 再计算表示数据集中程度、离散程度的统计量, 用样本估计总体的思想解决实际问题.
8. 决策分析题:
特点是阅读量大, 信息量大, 学生需要有较强的提取有效信息的能力.常见的是将“方程与不等式”“函数”相结合求最佳方案, “统计与概率”根据统计量结合实际取舍问题.
9. 由特殊到一般的归纳题:
在一组前提条件下, 分别添加不同条件得出相应结论, 最后归纳出一般情形.如“图形与证明”, 讨论点与线段、直线、圆, 直线与圆, 两条直线的不同位置, 根据三角形的分类, 不同特殊四边形的条件下, 得出对应结论再加以归纳总结.
1 0. 动态组合题:
常与图形的变化 (平移、翻折、旋转) 结合, 研究重叠部分面积的最值情况, 求满足条件的点的坐标、函数的解析式、角度、线段的长度、多边形周长的范围或最值问题.或将“相似三角形”与“函数”“圆”结合, 求解析式后研究函数性质, 研究何时相似等.近年出现了与高中数学内容及思维方式靠拢的综合题, 难度较大.
综合性解答题有两类:一是所提的若干问题是并列的, 彼此独立, 互不关联.解答时可不理会这个次序, 各自独立展开, 没有步骤上先后之分;二是所提的若干问题是递进的, 彼此间存在层次上的联系, 后面的解答依赖于前面的结果, 考生要从相对简易题着手, 逐个击破.此类题对考生而言, 得益点是设置有梯度, 让不同层次的同学有不同的收获;受伤点是一旦前面的小题受阻, 后面的只能望题兴叹.考生应善于将前面结论及时添加成为新条件来解决后面的小题.
广东中考数学考点分析 篇3
一、近年来中考数学的考点
每年的中考数学试卷表明，代数与几何的分值大致比例是6：4。中考数学的主要知识点的分值分布详见下表：
选择题和填空题的知识点分布大致有：数与式、空间与图形、统计与概率、方程与不等式、图形的认识、函数及其图象。整套试卷分析下来，基本上是基础题占80～100分，中等难度题占20～30分，较难题占10～20分，选择题和填空题的最后一题和解答题的最后两题就是该类题型的压轴题。试卷中分值最高的压轴题是第27题和第28题，分别占12分和14分，从某种程度上讲，学生拉开数学分数档次靠的就是最后两题，这就需要老师和学生在最后的压轴题上下工夫。下面笔者分析了近五年来的最后两题的考点，供大家分析和思考。
二、对近五年南通市数学中考最后两道压轴题的考点分析
1.2009年南通市数学中考试卷（题目略，下同）
第27题考查了：一次函数的解析式、一次函数的性质（系数）与图象的关系。
第28题考查了：圆、相似三角形的性质，是动点题型，也是综合的数形结合的题目，考查了多方面的知识。
2.2010年南通市数学中考试卷
第27题考查了：函数解析式、全等三角形、相似三角形（也是一道综合题）。
第28题考查了：一次函数、二次函数、圆的性质（也是一道动点题）。
3.2011年南通市数学中考试卷
第27题考查了：抛物线（二次函数解析式）。
第28题考查了：反比例函数。
4.2012年南通市数学中考试卷
第27题考查了：相似三角形、平行四边形性质、勾股定理（也是一道动点题，是几何综合题）。
第28题考查了：二次函数、相似三角形。
5.2013年南通市数学中考试卷
第27题考查了：相似三角形，是三角形移动问题。
第28题考查了：二次函数、反比例函数、勾股定理、相似三角形、解一元二次方程。
综合以上分析，最后两道压轴题的考点主要集中在：
1.二次函数（解析式、性质、抛物线图象）；
2.相似、全等三角形；
3.动点问题：有点动、有线动、有三角形动；
4.圆与三角形、二次函数相结合。
三、中考数学复习的策略
根据以上分析结果，笔者制定出对中考数学考点的复习策略：
1.二次函数、抛物线问题
要求掌握二次函数的一般式、顶点式和零点式；抛物线的对称轴；二次函数图象的特点；二次函数与一元二次方程的关系；函数的极值。
2.图形相似、全等问题
全等三角形、相似三角形的判定方法、性质、证明方法；要求掌握作辅助线的方法：倍长法、截短法、作平行线、作高、作中线、作角平分线、作垂线等。
3.动点问题
要求看清动点是怎么运动的，并且找到不动点，找到和不动点的关系、找到函数关系式；另外因为点是运动的，还要注意不同阶段点的特点，这需要分阶段分析状况。
4.数形结合问题
函数与几何图形相结合的问题，这类问题比较具有综合性，结合了多方面的知识，难度比较大，它考查的是学生灵活运用知识的能力，是近年来中考数学的趋势，是考查学生综合能力的题型。
2018年广东省中考数学分析 篇4
2018年广东省中考数学试卷与前几年相比，在知识内容、题型、题量等方面总体保持稳定，在稳定的基础上既考查了四基——基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本活动经验，又突出课本核心内容，注重联系社会实际与学生生活实际，考查学生的运算能力、推理能力、应用意识和综合意识，更加重视数学思想和数学方法的积累。
试卷结构
由于2018年的考纲较之前没有大的改变，故今年广东省中考数学试卷与前两年相比，在知识点、题型、分值分布等方面总体保持稳定。
题型与题量
全卷共分为5大题，25小题，满分120分。
知识板块占比统计 考查数与式的题目每年相对固定，所占分值稳定在30分左右，属于基础知识，复习这一板块的时候需要重点掌握基础知识。方程与不等式这一板块，大部分是小题，但每年会有一个解答题来考查方程与不等式，出现在18-20题范围内，2018年的分值比重有所增加。而函数这一部分则相对稳定，一般在选择题和23题考查，复习这一部分内容时，要掌握好各个函数间的关联性及其交点问题。
几何这一板块，三角形一直是考查的重点，基础题和解答题都会有涉及，分值约占全卷23.3%，今年运用三角形的知识来解题的比重相当大。这几年不再会单纯地考查特殊四边形，而是与图形的翻折、转换与函数等联系起来。图形的认识与变换在2018年的比重相对比较稳定，求角度及线段长度问题分值占比较大。圆的知识板块经常稳定在10%左右，压轴题会出一个关于圆的解答题，要求思维清晰、方法多样，并注重几何体系的知识网络。
统计与概率部分，2018年没有考查概率，而全卷统计部分分值仍为10分。
近三年每题考查知识点的情况
选择题
今年选择题的整体水平与去年持平，但是题目考点方面有新的改变：选择第1题，过往都是考查相反数、倒数、绝对值，而今年考查实数大小比较，与2014年类似；而第3题则考查了近三年未曾考过的三视图。
选择题
题号
20*** 有理数比较大小 相反数 相反数 2 科学记数法 科学记数法 数轴 3 三视图 求补角 中心对称图形 4 中位数
一元二次方程求参数的值 科学记数法 5 对称图形（轴对称）众数
正方形的性质 6 解不等式
对称图形（轴对称和中心对称）中位数 7 三角形相似的性质 用函数图象求点坐标 点坐标 8平行线的性质 整式计算 锐角三角函数 9 一元二次方程的判别式 圆的基本性质 整体思想求值 10 几何问题分段函数图像 正方形性质、相似 几何问题分段函数图像
【典例分析】
分析：考查学生对有理数的基本认识。
分析：三视图主要考查学生对图形的观察、推理、想象等多方面能力，锻炼学生立体图形与平面图形的相互转化。填空题
填空题要求学生不仅要了解这个知识点，而且要达到理解、掌握的程度。今年的填空题，对各种公式的考查力度增强，学生要根据公式的特征来解决新的情境，灵活应用。
今年试题考点与往年试题类似，但阅读量增加，提高了对基本概念和定义灵活运用的能力要求。
填空题
题号 2018 2017 2016 11 圆周角定理 因式分解 算术平方根 12 因式分解，完全平方公式 多边形内角和 因式分解 13平方根 数轴、比较大小 求不等式组的解集 14 二次根式和绝对值的性质 概率 弧长公式 15 阴影部分面积计算 整式运算（整体代入）矩形与勾股定理 16 图形找规律 矩形中的折叠问题 矩形中的折叠问题
【典例分析】
该题考查的主要知识点为反比例函数、全等三角形。该题阅读量很大，需要考生耐心地把文字描述转换成数学语言，通过设点、代入、解方程等步骤，算出B2、B3的坐标，从而发现规律。因此，今后的考生需要注意这种考查方式，更多地去了解利用图形找规律的方法。解答题
（一）解答题
（一）主要考查对实数的综合运算能力、分式的化简求值和基本的尺规作图，一定要注意细心计算，不要出错，并且规范答题格式。
解答题一
题号 2018 2017 2016 17 实数的计算（绝对值、0指数幂，负指数幂）实数的计算（绝对值、0指数幂，负指数幂）实数的计算（绝对值、0指数幂，负指数幂）18 分式化简求值 分式化简求值 分式化简求值 19（1）作垂直平分线
（2）利用菱形和垂直平分线的性质求角度数
二元一次方程组应用题
（1）作垂直平分线（2）利用中位线求边长
【典例分析】
该题型连续3年出现相似的尺规作图，都是作线段的垂直平分线，考查基本的尺规作图，利用菱形和垂直平分线的性质等求角度。因此，考生需要注意常规作图题的解题思路。解答题
（二）解答题
（二）中的三道解答题都是平时练习中的经典题目。改变点是在考点分布上，应用题从6分题回归到了7分题进行考查。
解答题二
题号 2018 2017 2016 20（1）分式方程应用（2）一元一次方程应用
（1）作垂直平分线（2）利用外角求角度 分式方程的应用 21 数据分析（条形、扇形、估算）
几何证明与计算（菱形的性质、等腰三角和等边三角形的性质）解直角三角形 22 矩形折叠问题
（1）证三角形全等（2）证等腰三角形
数据分析（频数分布图、扇形、估算）数据分析（条形、扇形、估算）
【典例分析】
2017年考查二元一次方程的应用；2018年将应用题调整到了7分，设置了两问，与以往方程搭配不等式不同的是，今年两问都是方程的应用，其中第（1）问考查分式方程的应用，第（2）问考查一元一次方程的应用。考查考生灵活选用所学方程解决实际问题的能力，准确找到等量关系是解题的关键。解答题
（三）今年的压轴题考查的模型与往年相似：
23题为直线与二次函数的综合，同样是以求解析式与点的坐标形式入手，增加了对存在性问题的探索，考查考生的探究能力；求点坐标存在性问题的计算量较大；
24题是圆与四边形的综合，问题设置仍是“两证一算”，结合了垂直平分线的性质与判定、三角形相似或全等来证明相切，其中（2）（3）问都可以灵活选用多种方法进行解题；
压轴的25题为几何与函数综合问题，与往年的以四边形为载体不同，今年是以特殊三角形为载体结合双动点与等面积法、利用分类讨论思想求图形面积以及利用函数思想求最值，是学生们熟悉的题型及常用的解题思想，体现了高中数学对学生的数学能力的要求。
解答题三
题号 2018 2017 2016 23 函数小综合（一次函数、二次函数、分类讨论点的存在性）函数小综合（一次函数、二次函数、锐角三角函数）函数小综合（一次函数、二次函数、锐角三角函数）24 圆综合（1）平行的判定、垂直平分线的判定与性质；（2）圆的切线证明、三角函数与三角形相似、全等；
（3）等腰三角形的性质、相似、全等
（1）圆切线的性质、圆的基本性质、角平分线（2）切线的性质、平行和等腰三角形（3）全等、相似的证明和性质、求弧长（1）相似证明（2）三角形性质（3）圆的切线证明 25 图形变换，动态问题，数形结合
（1）利用旋转的性质、含特殊角的直角三角形，等边三角形的判定与性质求角度（2）等面积法求线段长度（3）双动点问题求三角形面积与二次函数最值
图形变换，动态问题，数形结合（1）求点的坐标（2）等腰三角形存在性讨论（3）二次函数、分类讨论、数形结合等求面积最小值
图形变换，动态问题，数形结合（1）平行四边形的判定（2）全等三角形的性质和判定（3）二次函数、分类讨论、数形结合等求面积最大值 【典例分析】
该题考查圆与四边形的综合，对考生的要求有了明显的提高。需要对辅助线进行灵活处理，要求学生具有数学思维的完整性和注重方法的积累。此题考查了学生对于全等、相似等多种方法的综合，因此，考生需要关注一题多解的题型。
致2019考生
1、打基础，重能力。
以新课标为提纲，立足双基，注重提高分析和解决问题的能力，注意思维能力的锻炼和良好数学习惯的养成并且切实提高计算能力。比如20题，23题，25题对计算能力的要求较高。
2、强联系，搭模型。
注意初中数学知识体系的形成与梳理，注意数学思想、方法的积累与归纳；特别是压轴题，是区分考生数学成绩的一个关键，会着重考查多个知识点的综合整理、分析。因此，我们要有一个清晰的知识网络，把各个知识点相关联。而压轴题通常会在模型的基础上来改进，因此需要掌握课上所讲的模型，熟练运用数学思想来突破难题。
3、积方法，活运用。
广东中考数学考点分析 篇5
1．【多选题】2018 年全国两会前夕，人民日报推出微视频《为了共产党人的使命》。“百姓谁不爱好官? 把泪焦桐成雨。生也沙丘，死也沙丘，父老生死系。”这是习近平为一名共产党人所作的词，他的名字叫焦裕禄。在习近平看来，共产党人就是要像焦裕禄一样，时刻不忘自己的初心和使命。中国共产党人的初心和使命是 A.为中国人民谋幸福 B.为中华民族谋复兴 C.以经济建设为中心 D.建设世界第一强国
二、【答案】AB 2．【多选题】“刷脸”进站，“导航”上车，便捷换乘，网站和移动端购票系统不断升级，自助取票机大量投放，智慧春运有效地疏解了购票难，火车站通宵排长队买票已成为历史...从来没有哪一个春运，像这次如此从容。2018年3 月12 日，为期40天的春运悄然落幕。春运四十年，走到如今，真是换了人间。是如今的客流量减少了吗，非也，2018年仅仅春节期间，就有超过4 亿人次出行。而在春运全部40 天时间里，全国将有近30亿人次出行。春运的变迁
A.是中国翻天覆地变化的一个缩影 B.见证着我国经济社会的飞速发展 C.表明国人外出务工的人越来越少 D.是我国综合实力日益强大的写照 【答案】ABD 3．【多选题】2018年2月4日，改革开放以来第20个，进入新世纪以来第15个指导“三农”工作的中央一号文件发布，文件名为《中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见》，对实施乡村振兴战略进行了全面部署，充分体现了党中央终坚持把解决好“三农”问题作为全党工作重中之重的战略思想，把振兴乡村作为实现中华民族伟大复兴的一个重大任务，发出了全党全社会持之以恒强农惠农富农的时代强音。党中央全面研究实施乡村振兴战略说明我们党坚持
A.立党为公，执政为民 B.共同富裕，以人为本 C.深化改革，重视民生 D.对外开放，民族振兴 【答案】ABC 4．【多选题】人多水少、水资源时空分布不均，人均水资源量不足世界平均水平的1/3,亩均水资源量也仅为世界的1/2,全国600 多个城市，有400 多个存在不同程度的缺水....这些焦灼的数字,是我国经济驶入快车道的时候不得不面对的现实。如何解决人水矛盾，已经成为整个社会的重要话题。下列有利于我国“人水和谐”可持续发展道路越走越宽的有
A.尽量减少农业灌溉面积 B.保护水体资源少受污染 C.发挥南水北调工程作用 D.落实全民节水行动计划 【答案】BCD 5．【多选题】2018年1月1日起，我国首部“绿色税法”——《中华人民共和国环境保护税法》开始实施，对大气污染物、水污染物、固体废物和噪声四类污染物，过去由环保部门征收排污费，现在改为由税务部门征收环保税。首部“绿色税法”的实施说明我国
A.坚持依法治国基本方略 B.实施可持续发展的战略 C.坚持对外开放基本国策 D.坚持共同富裕根本原则 【答案】AB 6．“加大网络提速降费力度，实现高速宽带城乡全覆盖，扩大公共场所免费上网范围，明显降低家庭宽带、企业宽带和专线使用费，取消流量“漫游’费，移动网络流量资费年内至少降低30%，让群众和企业切实受益，为数宇中国、网络强国建设加油助力。”今年政府工作报告，给7.53 亿中国手机用户送上了“贴心大礼包”。此举 A.体现以科技为中心的发展理念 B.表明电信运营商不再考虑利润 C.彰显以人民为中心的发展思想 D.勾勒出网民无需付费的新图景 【答案】C 7．2017年12 月31日，国家主席习近平发表了二O一八年新年贺词:“慧眼”卫星遨游太空,C919 大型客机飞上蓝天，量子计算机研制成功,海水稻进行测产，首艘国产航母下水，“海翼”号深海滑翔机完成深海观测，首次海域可燃冰试采成功，洋山四期自动化码头正式开港，港珠澳大桥主体工程全线贯通，复兴号奔驰在祖国广袤的大地.上....事实再一次向世人证明
A.自主创新我最强，领跑世界不可挡 B.科技创新捷报传，创造伟力应点赞 C.科技再攀新高峰，创新强国已建成 D.综合国力大发展,世界科技我领先 【答案】B 8．在德国莱比锡市世界超级计算机大会上，发布了最新的世界超级计算机500强排行榜。由国防科技大学研制并落户国家超级计算广州中心的天河二号超级计算机再次位居榜首，获得世界超算“三连冠”。这也是天河系列超级计算机第4次问鼎世界超算之巅。这说明（）A．我国科技总体水平已经赶超发达国家,成为创新型国家 B．我国仍然面临发达国家在科技方面占优势的压力 C．我国大力实施科教兴国战略并取得显著成效 D．发展高新技术是我国当前的中心工作 【答案】C 9．我国自开始推行“单独二孩”政策，当局原本预计新政策推行后，每年将增加超过200万个新生儿，符合条件的1100万对夫妇当中，只有70万对提出申请，而获批的仅62万对，远远低于官方预期。这说明（）A.人们的生育观念在发生改变，生育意愿变弱 B.我国应该立即取消计划生育政策
C.我国新增人口多 D.人口问题就是发展问题 【答案】A 10．到2016年，我国将彻底淘汰普通照明的白炽灯，预计可节电480亿千瓦时，对此中国照明电器行业结构优化升级，推动实现“十二五”节能减排目标任务，积极应对全球气候变化，具有重要意义。这表明我国坚持的基本国策是（）A.以人为本，科学发展 B.对外开放，科教兴国 C.统筹兼顾，协调发展 D.节约资源，保护环境 【答案】D 11．古代丝绸之路是东方与西方之间经济、政治、文化进行交流的主要道路。习近平主持召开中央财经领导小组第八次会议提出推进丝绸之路经济带和21世纪海上丝绸之路建设，筹建亚洲基础设施投资银行，设立丝路基金。这意味着（）
A.我国的对外开放和交流合作将进一步扩大 B.我国利用外资的综合优势和总体效益将显著提高 C.跨国公司将成为经济全球化的重要载体 D.“走出去”将成为我国对外开放的重大战略 【答案】A 12．我们要向资本主义发达国家学习先进的科学、技术、经营管理方法以及其他一切对我们有益的知识和文化，闭关自守、固步自封是愚蠢的。与这段材料最相符合的观点是（）A．资本主义国家的文化比我们发达 B．我们要发展，就必须坚持对外开放 C．对外文化交流的形式有多种多样 D．我们只有学习资本主义的文明成果才会发展 【答案】B 13．亚洲基础设施投资银行（简称亚投行），由中国倡导建立，重点支持亚洲地区基础设施建设。已经批准了来自欧、亚、非、大洋及拉丁美洲等57个国家作为其创始成员国。亚投行的设立有利于（）①促进亚太地区交流，加快经济一体化 ②促进亚洲和世界的经济繁荣与发展 ③扩大全球总需求，促进世界经济复苏 ④解决亚洲国家在发展中的各种困难 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 14．下列说法与“党和国家的生命线、人民群众的幸福线”这一宣传标语相符合的是（）A.坚持统筹城乡发展，全面建成小康社会 B.坚持教育优先发展，提高中华民族素质 C.坚持依法治国基本方略，实现又好又快发展 D.坚持党的基本路线，保障社会公平正义 【答案】D 15．建设中国特色社会主义的总依据是（）A.社会主义初级阶段 B.资源短缺
C.我国是世界上最大的发展中国家 D.生态环境恶化 【答案】A 16．西非埃博拉疫情时史上规模最大的一次，很多国家纷纷参加援救行动。其中，中国提供了4批紧急救援，总额达7.5亿人民币，覆盖非洲13个国家和联合国、卫生组织、非盟等国际和地区组织。这 ①体现了我国对外开放的基本国策 ②展示了中国是一个负责任大国的形象 ③表明了中国在国际事务中发挥着决定性作用 ④体现了国际人道主义的精神
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【答案】D 17．阅读材料，回答问题。
【聚焦2017年中央经济工作会议】2017年12月18日至20日,中央经济工作会议在北京举行。让我们通过下列关键词了解这次会议精神。★发展成就
会议认为，党的十八大以来，我国经济实力再上新台阶，经济结构出现重大变革，经济体制改革持续推进，对外开放深入发展，人民获得感、幸福感明显增强，生态环境状况明显好转。（1）党的十八大以来,我国取得上述成就的根本原因是什么? ★科技创新
会议强调，要大力培育新动能，强化科技创新，推动传统产业化升级，培育一批具有创新能力的排头兵企业。（2）请结合所学知识谈谈为什么要强化科技创新？ ★绿水青山
会议认为，只有恢复绿水青山，才能使绿水青山变成金山银山。（3）为恢复绿水青山,我们青少年能做些什么? 【答案】(1)①开辟了中国特色社会主义道路，形成了中国特色社会主义理论体系，确立了中国特色社会主义制度；(2)①科学技术是第一生产力，是先进生产力的集中体现和重要标志；②科技进步和创新是经济发展的决定性因素；③创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力；④提高民族创新意识，增强民族创新能力，关系到中华民族和整个社会主义事业的兴衰成败；⑤目前，我国的科技、经济发展，总体上与世界先进水平相比还有很大的差距。因此，我们要树立全民族创新意思和创新能力。
(3)①从现在开始树立可持续发展观念，积极向公众宣传保护环境和合理利用资源的基本国策；②从身边的点滴小事做起，培养保护环境、节约资源的习惯，为国家和可持续发展作出贡献。③积极同破坏资源、污染环境的行为作斗争。
18．材料一：40年风雷激荡，40年岁月峥嵘。小岗村的一只“包干契约”，写下波澜壮阔的时代叙事；深圳蛇口的主题博物馆，讲述先行者的勇敢探索；奔流不息的黄浦江，见证着“因改革而兴”的“浦东奇迹”„„从1978年出发，共和国40年改革开放的辉煌必将载入史册。
材料二：历史的接力棒传到了我们这一代人手上，改革进入深水区，每往前一步都不容易。发展不平衡不充分的一些突出问题尚未解决，民生领域还有不少短板，社会文明尚需提高，社会矛盾和问题交织叠加„„十九大报告提出的困难与挑战，正是改革下一步需要发力之处。
你校学生会正在举办“庆祝改革开放四十年”主题宣传活动，请你参与并完成如下任务。（1）请结合材料一用几个关键词概括中国改革开放的基本特征。（至少两个）（2）直面困难和挑战，改革开放应如何持续推进？（三个方面即可）
【答案】（1）开拓创新；艰苦奋斗；担当使命；国强民富；民族振兴；繁荣昌盛；发展进步；中国特色；等等。（2）坚持以经济建设为中心；不断扩大对外开放；坚持以人民为中心的发展思路；坚持走共同富裕之路；不断加强社会主义精神文明建设；深入培育落实社会主义核心价值观；持续推进依法治国；坚持创新驱动战略；等等。19．“创业”“创新”“创客”成了热词，某校九年级（3)班的同学以此为话题，展开了一次探究活动.下面是他们搜集的部分资料: 机遇和挑战
进入21世纪以来，新一轮科技革命和产业变革正在孕育兴起，世界主要国家都在寻找科技创新的突破口，抢占未来经济科技发展的先机。在这场科技创新的大赛场上我们不能 落伍，必須奋起直追、力争超越。经过多年努力，我国科技整体水平大幅提升，一些重要领域 跻身世界先进行列。但从总体上看，我国科技创新基础还不牢，自主创新特別是原创力还不强，关健领域核心技术受制于人的格局没有从根本上改变。只有把核心技术掌握在自己手 中，才能真正掌握竞争和发展的主动权。
【我思考】通过上述材料，你能得出什么结论？（2分)改革是动力
面对全球新一轮科技革命与产业变革的重大机遇和挑战.面对实现“两个一百年”奋斗目标的历史任务和要求，必须激发全社会的创新活力和创造潜能，营造大众创业、万众创新的良好环境.，如果说大众创业、万众创新的潮流推动中国这艘大船行稳致远，那么改革就是推动创业、创新的重要动力。【我分析】为什么说改革是推动创业、创新的重要动力？（6分> 创新“超人”李超，鞍钢集团鞍钢股份公司冷轧厂4号线设备作业区作业长兼党支部副书记。参加工作25年来，勤学不辍、苦练本領，干-行、钻一行、精一行。获得过国家发明专利5項、专有技术4項、国际发明金奖1项、国家科技进步奖1项。主导完成多项国内外首创、国际领先的技术改造革新项目，创造经济效益上亿元。被中宣部授予全国“时代楷模”荣誉称号。【我践行】事迹给了我们怎样的人生启迪？ 【答案】
【我思考】只有创新，才能不受制于人，才能赶超发达国家。（2分）
【我分析】只有全面深化改革，破除一切束缚创业创新的桎梏，才能让一切想创业创新能创业创新的人有机会，有舞台实现自己的人生价值，把各类主体的创造潜能充分激发出来，释放民智民力，增加社会财富，形成大众创业、万众创新的生动局面。（6分）
【我践行】在学习、创造、奉献中实现自己的人生价值。（2分）
20．材料：我是一只小小鸟，喜欢唱歌和舞蹈。可是近来很烦恼，栖息之地日渐少。想要远迁换新巢，空中气体似毒药。夜里强光把眼照，晕头转向路难找。一头栽在污水旁。耳边有语在诉怨。垂危鱼儿泪已干，沙尘狂舞迷我眼。强张小口向人唤，及时悔过尚不晚。望君热爱大自然，共建和谐谋发展。（1）这首小诗反映的环境问题有哪些？请提取信息说明。（6分）（2）针对存在问题，我国应坚持走一条什么样的发展之路？（2分）【答案】
广东中考数学考点分析 篇6
2016深圳中考数学考点、知识点总结
一、初中数学常考知识点 Ⅰ.代数部分:(一)数与式：
1、实数：（1）实数的有关概念；常考点：倒数、相反数、绝对值(选择第1题)（2）科学记数法表示一个数(选择题前第5题)（3）实数的运算法则：混合运算（计算题）
（4）实数非负性应用：代数式求值（选择、填空）
2、代数式：代数式化简求值（解答题）
3、整式：（1）整式的概念和简单运算、化简求值（解答题）
（2）利用提公因式法、公式法进行因式分解（选择填空必考题）
4、分式：化简求值、计算（解答题）、分式取值范围（一般为填空题）（易错点：分母不为0）
5、二次根式：求取值范围、化简运算（填空、解答题）
(二)方程与不等式：
1、解分式方程（易错点：注意验根）、一元二次方程（常考解答题）
2、解不等式、解集的数轴表示、解不等式组解集（常考解答题）
3、解方程组、列方程（组）解应用题（若为分式方程仍勿忘检验）（必考解答题）
4、一元二次方程根的判别式
(三)函数及其图像
1、平面直角坐标系与函数
（1）函数自变量取值范围，并会求函数值；
（2）坐标系内点的特征；
（3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析（选择8题）
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2、一次函数（解答题）
（1）理解正比例函数、一次函数的意义、会画图像（2）理解一次函数的性质
（3）会求解析式、与坐标轴交点、求与其他函数交点（4）解决实际问题
3、反比例函数（解答题）
（1）反比例函数的图像、意义、性质（两支，中心对称性、分类讨论）
（2）求解析式，与其他函数的交点、解决有关问题（如取值范围、面积问题）
4、二次函数（必考解答题）
（1）图像、性质（开口、对称性、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点等）
（2）解析式的求解、与一元二次方程综合（根与交点、判别式）
（3）解决实际问题
（4）与其他函数综合应用、求交点
（5）与特殊几何图形综合、动点问题（解答题）
Ⅱ.空间与图形
（一）图形的认识
1、立体图形、视图和展开图（选择题）
（1）几何体的三视图，几何体原型相互推倒
（2）几何体的展开图，立体模型相互推倒
2、线段、射线、直线（解答题）
（1）垂直平分线、线段中点性质及应用
（2）结合图形判断、证明线段之间的等量、和差、大小关系
（3）线段长度的求解
（4）两点间线段最短（解决路径最短问题）
3、角与角分线（解答题）
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（1）角与角之间的数量关系
（2）角分线的性质与判定（辅助线添加）
4、相交线与平行线
（1）余角、补角
（2）垂直平分线性质应用
（3）平分线性质与判定
5、三角形
（1）三角形内角和、外角、三边关系（选择题）
（2）三角形角分线、高线、中线、中位线性质应用（辅助线）
（3）三角形全等性质、判定、融入四边形证明（必考解答题）
（4）三角形运动、折叠、旋转、平移（全等变换）、拼接（探究问题）
6、等腰三角形与直角三角形
（1）等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理及逆定理
（2）等腰三角形、直角三角形与四边形或圆的综合
（3）锐角三角函数、特殊角三角函数、解直角三角形（解答题）
（4）等腰、直角、等腰直角三角形与函数综合形成的代几综合题（压轴题必考）
7、多边形：内角和公式、外角和定理（选择题）
8、四边形（解答题）
（1）平行四边形的性质、判定、结合相似、全等证明
（2）特殊的平行四边形：性质、判定、以及与轴对称、旋转、平移和函数等结合应用（动点问题、面积问题及相关函数解析式问题）
（3）梯形：一般及等腰、直角梯形的性质、与平行四边形知识结合，计算、加辅助线
8、圆（必考解答题）
（1）圆的 有关概念、性质
（2）圆周角、圆心角之间的相互联系
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（3）掌握并会利用垂径定理、弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面面积、全面积公式
（4）圆中的位置关系：要会判断：点与圆、直线与圆、圆与圆
（5）重点：圆的证明计算题（圆的相关性质与几何图形综合）
（二）图形与变换
1、轴对称：会判断轴对称图形、能用轴对称的知识解决简单问题
2、平移：会运用平移的性质、会画出平移后的图形、能用平移的知识解决简单问题
3、旋转：理解旋转的性质（全等变换），会应用旋转的性质解决问题，会判断中心对称图形
4、相似：会用比例的基本性质、三角形相似的性质证明角相等、相似比求线段长度（解答题）
Ⅲ.统计与概率
（一）相关概念的理解与应用：平均数、中位数、众数、方差等（选择题）
（二）能利用各种统计图解决实际问题（必考，解答题）
（三）会用列举法（包括图表、树状图法）计算简单事件发生的概率（解答题，填空题）
二、初中数学各部分知识框架
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第一部分《数与式》
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定义：有理数和无理数统称实数.分类有理数：整数与分数无理数：常见类型(开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数）实数实数运算法则：加、减、乘、除、乘方、开方运算定律：交换律、结合律、分配律数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法相关概念:有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子（a2，a,a)单项式：系数与次数分类多项式：次数与项数加减法则：加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项mnmnmnmnmnmnam01mmmamp幂的运算:aaa;aaa;(a)a,(ab)ab;();a1;ambbap整式单项式单项式；单项式多项式；多项式多项式乘法运算:单项式单项式；多项式单项式混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先平方差公式：(ab)(ab)a2b2乘法公式完全平方公式：(ab)2a22abb2分式的定义：分母中含可变字母分式分式有意义的条件：分母不为零分式值为零的条件：分子为零，分母不为零数与式aamaam分式;(通分与约分的根据）分式的性质：bbmbbm通分、约分，加、减、乘、除分式的运算先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化）化简求值整体代换求值定义：式子a(a≥0)叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于.0.a(a0)22二次根式的性质：(a)a;aa(a0)最简二次根式（分解质因数法化简）二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式分母有理化（“单项式与多项式”型）加减法：先化最简，再合并同类二次根式二次根式的运算aa乘除法：abab;；（结果化简）bb定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底）提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底）22公式法平方差公式：ab(ab)(ab)分解因式222完全平方公式：a2abb(ab)方法2十字相乘法：x(ab)xab(xa)(xb) 分组分解法：（对称分组与不对称分组）
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第二部分《方程与不等式》
定义与解：一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.应用：确定类型、找出关键量、数量关系定义与解：解法：代入消元法、加减消元法二元一次方程（组）方程简单的三元一次方程组：简单的二元二次方程组：定义与判别式(△=b2-4ac)一元二次方程解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法.分式方程定义与根（增根）：解法：去分母化为整式方程，解整式方程，验根.1.行程问题：2.工程（效）问题：3.增长率问题：（增长率与负增长率）4.数字问题：（数位变化）类型5.图形问题：（周长与面积（等积变换））方程与不等式6.销售问题：（利润与利率）方程的应用7.储蓄问题：（利息、本息和、利息税）8.分配与方案问题：1.线段图示法：常用方法2.列表法：3.直观模型法：一般不等式解法一元一次不等式条件不等式解法解法：（借助数轴）1.不等式与不等式不等式（组）2.不等式与方程一元一次不等式组应用3.不等式与函数4.最佳方案问题 5.最后一个分配问题
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第三部分《函数与图象》
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①各象限内点的特点：②坐标轴上点的特点x轴：纵坐标y=0；y轴：横坐标x=0.③平行于x轴，y轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标）直角坐标系④不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法）关于x轴对称(x相同，y相反）⑤对称点的坐标关于y轴对称(x相反，y相同）关于原点O对称(x，y都相反）一、三象限角平分线：y=x正比例函数：y=kx(k≠0)（一点求解析式）二、四象限角平分线:y=-x函数表达式一次函数：y=kx+b(k≠0)（两点求解析式）增减性：y=kx与y=kx+b增减性一样，k＞0时，x增大y增大；k＜0,x增大y减小.一次函数平移性：y=kx+b可由y=kx上下平移而来；若y=k1x+b1与y=k2x+b2平行，则k1k2,b1≠b2.垂直性： 若y=kx+b与y=kx+b垂直，则kk1.112212求交点：（联立函数表达式解方程组）正负性：观察图像y＞0与y＜0时，x的取值范围（图像在x轴上方或下方时，x的取值范围）k表达式：y(k≠0)(一点求解析式）x①区域性：k＞0时，图像在一、三象限；k＜0时，图像在二、四象限.k＞0在每个象限内，y随x的增大而减小；②增减性k＜0在每个象限内，y随x的增大而减小.反比例函数性质③恒值性：（图形面积与k值有关）④对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形.函数求交点：（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小）①一般式：y=ax2bxc,其中(a0),2（k,h)为抛物线顶点坐标；表达式②顶点式：y=a(xk)h,其中(a0),③交点式：y=a(xx)(xx),其中(a0)，x、x是函数图象与x轴交点的横坐标；1212①开口方向与大小：a＞0向上，a＜0向下；a越大，开口越小；a越小，开口越小.②对称性：对称轴直线x=-b2aa＞0，在对称轴左侧，x增大y减小；在对称轴右侧，x增大y增大；③增减性性质a＜0，在对称轴左侧，x增大y增大；在对称轴右侧，x增大y减小；2④顶点坐标：（-b,4acb）二次函数2a4a22b4acbb4acb⑤最值：当a＞0时,x=-，y最小值=；a＜0时，x=-，y最大值=.2a4a2a4a示意图：画示意图五要素（开口方向、顶点、对称轴、与x、y交点坐标）a与c：开口方向确定a的符号，抛物线与y轴交点纵坐标确定c的值；b的符号：b的符号由a与对称轴位置有关：左同右异.符号判断Δ=b24ac：Δ＞0与x轴有两个交点；Δ＝0与x轴有两个交点；Δ＜0与x轴无交点.abc：当x=1时，y=a+b+c的值.abc：当x=-1时，y=a-b+c的值. ①求函数表达式：函数应用②求交点坐标：③求围成的图形的面积(巧设坐标）：④比较函数的大小
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第四部分《图形与几何》
直线：两点确定一条直线线射线：线段：两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角.角的度量与比较：1060”，1’60”；角余角与补角的性质：同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等，角的位置关系：同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角对顶角：对顶角相等.几何初步相交线垂线：定义，垂直的判定，垂线段最短.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线平行线性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行判定：平行于同一条直线的两条直线平行 平面内，垂直于同一条直线的两直线平行的对边的邻边的对边定义：在RtABC中，sin=斜边，cos=斜边，tan=的邻边1330cos300,tan300；sin30，223三角函数2200特殊三角函数值sin45，cos45,tan4501；22310，cos600,tan3003.sin6022应用：要构造Rt△，才能使用三角函数.共 16 页
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按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形分类按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；边面积与周长：C=a+b=c，S=1底高.2三角形的内角和等于180度，外角和等于360度；角三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.一般三角形中线：一条中线平分三角形的面积性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线判定：到角两边的距离相等的点在角的平分线上.内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等.线段高：高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部）中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；中垂线判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等三角形等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形.性质等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等都为60度.有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形有两角相等的三角形是等腰三角形；判定有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形；有两个角是60度的三角形是等边三角形.一个角是直角或两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；性质直角三角形中，300的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.证一个角是直角或两个角互余；判定有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：若a2+b2=c2，则∠C900. 全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等；性质全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等.全等三角形判定：ASA，SAS，AAS，SSS，HL.
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多边形：多边形的内角和为（n-2）1800，外角和为3600.定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.直角梯形性质：两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等.梯形特殊梯形两腰相等的梯形是等腰梯形；等腰梯形判定对角线相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形；两组对边分别平行且相等性质：平行四边形的两组对角分别相等两条对角线互相平分两组对边分别平行平行四边形一组对边平行且相等判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等对角线互相平分共性：具有平行四边形的所有性质.性质个性：对角线相等，四个角都是直角.四边形矩形先证平行四边形，再证有一个直角；判定先证平行四边形，再证对角线相等；三个角是直角的四边形是矩形.共性：具有平行四边形的所有性质.性质个性：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等.菱形先证平行四边形，再证对角线互相垂直；判定先证平行四边形，再证一组邻边相等；四条边都相等的四边形是菱形.性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.正方形证平行四边形矩形正方形判定证平行四边形菱形正方形1梯形：S=（上底下底）高=中位线高 2平行四边形：S=底高面积求法矩形：S长宽菱形：S=底高=对角线乘积的一半正方形：S边长边长=对角线乘积的一半
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点在圆外：d＞r点与圆的三种位置关系点在圆上：d＝r点在圆内：d＜r弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系圆的轴对称性垂径定理定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、五组量的关系：两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别相等.同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；圆的中心对称性圆周角与圆心角半圆（或直径）所对的圆周角是900；900的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.相交线定理：圆中两弦AB、CD相交于P点，则PAPAPCPD.圆中两条平行弦所夹的弧相等.相离：d＞r直线和圆的三种位置关系相切：d＝r(距离法）相交：d＜r圆性质：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）圆的切线直线和圆的位置关系判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角切线长定理：如图，PA=PB，PO平分∠APB2切割线定理：如图，PAPCPD.外心与内心：相离：外离（d＞R+r），内含（d＜R-r）圆和圆的位置关系相切：外切（d=R+r），内切（d=R-r）相交：R-r＜d＜R+r）nn弧长公式：l2rr弧长360180扇形面积公式：Snr21lr3602弧长圆的有关计算 1圆锥的侧面积：S侧2rlrl(r为底面圆的半径，l为母线）22圆锥的全面积：S全rrl
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第五部分《图形的变化》
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①轴对称指两个图形之间的关系，它们全等②对应点的连线段被对称轴垂直平分轴对称（折叠）③对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行）轴对称④图形折叠后常用勾股定理求线段长①指一个图形轴对称图形②轴对称图形被对称轴分成的两部分全等①平移前后两个图形全等②平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）平移③平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或共线）④平移的两个要素：平移方向、平移距离①旋转前后的两个图形全等②旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等，且它们的夹角等于旋转角旋 转③旋转前后对应角相等，对应线段相等④旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角①大小、比例要适中视图的画法②实线、虚线要画清平行投影：平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线视图与投影投影中心投影：点光源射出的光线下的投影，影子不平行视点、视线、盲区投影的计算：画好图形，相似三角形性质的应用ac基本性质：adbc图形的变化bdacabcd比例的性质合比性质：bdbdacmab...m等比性质：...kk，（条件bd...n≠0)bdnbd...n2黄金分割：线段AB被点C分成AC、BC两线段（AC＞BC），满足AC=BCAB， 则点C为AB的一个黄金分割点性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等相似多边形判定：全部的对应边成比例、对应角相等①对应角相等、对应边成比例性质②对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比相似形③面积的比等于相似比的平方①有两个角相等的两个三角形相似相似图形②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似相似三角形判定③三边对应成比例的两个三角形相似④有一条直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似射影定理：在Rt△ABC中，∠C900，CD⊥AB，则AC2=ADAB，22 BC=BDAB，CD=ADBD（如图）①位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质位似图形②位似图形对应点所确定的直线过位似中心 ③通过位似可以将图形放大或缩小
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第六部分《统计与概率》
普查：总体与个体（研究对象中心词）两查抽样调查：样本与容量（无单位的数量）折线图（发展趋势与波动性横纵轴坐标单位长度要统一）三图条形图（纵坐标起点为零高度之比等于频数或频率之比）扇形图（知道各量的百分比可用加权平均数求平均值）算术平均数平均数参照平均数加权平均数三数众数(可能不止一个）中位数（排序、定位）1222方差：s2(xx)(xx)(xx)12n统计与概率n(一组数据整体被扩大n倍，平均数扩大n倍，方差扩大n2倍）；三差（一组数据整体被增加m，平均数增加m，方差不变）标准差：方差的算术平方根s极差：最大数与最小数之差（方差与标准差均衡量数据的波动性，方差越小波动越小） 必然事件：（概率为1）确定事件事件不可能事件：（概率为0）不确定事件：（概率在0与1之间）频率：（试验值，多次试验后频率会接近理论概率）比例法（数量之比、面积之比等）两率概率：求法列表法（返回与不返回的两步实验求概率）树状图（返回与不返回的两步或两步以上的试验求概率）
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第 16
广东中考数学考点分析 篇7
考点1已知数列的前几项求通项公式
根据所给数列的前几项求其通项公式时, 需仔细观察分析, 抓住以下几方面的特征, 并对此进行归纳、联想, 具体如下: (1) 分式中分子、分母的特征; (2) 相邻项的变化特征; (3) 拆项后的特征; (4) 各项符号的特征等.
考点2由an与Sn的关系求通项公式
an与Sn的关系的应用是高考的常考内容, 且多出现在选择题或填空题中, 有时也出现在解答题中.常有以下两个命题角度: (1) 利用an与Sn的关系求通项公式an; (2) 利用an与Sn的关系求前n项和Sn.
例2已知数列{an}的前n项和为Sn, 若a1=1, an+1=3Sn, 则数列{an}的通项公式为___.
考点3由递推公式求通项公式
考点4数列的单调性及其应用
对于数列的单调性及其应用, 常见的考查方式有: (1) 判断数列的单调性; (2) 利用数列的单调性求数列中的最大 (小) 项; (3) 由数列的单调性来求解某个参数的取值范围.
考点5等差数列的基本运算
等差数列基本量的计算是高考的常考内容, 多出现在选择题、填空题或解答题的第 (1) 问中, 属容易题.高考对等差数列基本量的计算的考查常有以下三个命题角度: (1) 求公差d、项数n或首项a1; (2) 求通项公式或特定项; (3) 求前n项和.
例5设Sn为等差数列{an}的前n项和, 若a1=1, 公差d=2, Sn+2-Sn=36, 则n= () .
(A) 5 (B) 6
(C) 7 (D) 8
考点6等差数列的判定与证明
判定数列{an}为等差数列的常用方法有: (1) 定义法:证明对任意正整数n, 都有an+1-an等于同一个常数; (2) 等差中项法:证明对任意正整数n, 都有2an+1=an+an+2后, 可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1, 根据定义得出数列{an}为等差数列; (3) 通项公式法:得到an=pn+q后, 得an+1-an=p对任意正整数n恒成立, 根据定义判定数列{an}为等差数列; (4) 前n项和公式法:得到Sn=An2+Bn后, 根据Sn, an的关系, 得出an, 再使用定义法证明数列{an}为等差数列.其中在解答题中常应用定义法和等差中项法, 而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.
例6 (1) 若{an}是公差为1的等差数列, 则{a2n-1+2a2n}是 () .
(A) 公差为3的等差数列
(B) 公差为4的等差数列
(C) 公差为6的等差数列
(D) 公差为9的等差数列
解析: (1) 当n≥2时, 因为a2n-1+2a2n- (a2n-3+2a2n-2) = (a2n-1-a2n-3) +2 (a2na2n-2) =2+2×2=6, 所以{a2n-1+2a2n}是公差为6的等差数列.故选C.
考点7等差数列的性质及应用
等差数列{an}的常见性质有: (1) an=am+ (n-m) d (n, m∈N*) ; (2) 若k+l=m+n (k, l, m, n∈N*) , 则ak+al=am+an; (3) 若{an}的公差为d, 则ak, ak+m, ak+2 m, … (k, m∈N*) 是公差为md的等差数列; (4) 若Sn是等差数列{an}的前n项和, 则数列Sm, S2 m-Sm, S3 mS2 m, …也是等差数列.
例7 (1) 在等差数列{an}中, 已知a6=2, a16=6, 则a66=____.
(2) 已知数列{an}是项数为奇数的等差数列, 奇数项之和与偶数项之和的比值为5∶4, 且所有项的和是99, 则这个数列的中间项等于____.
解析: (1) 由等差数列的性质可知, a6, a16, a26, …成等差数列, 且该数列的首项是2, 公差是4.因为a66是该数列的第7项, 所以a66=2+6×4=26.故填26.
考点8等差数列的前n项和及其最值
例8在等差数列{an}中, a1=7, 公差为d, 前n项和为Sn, 当且仅当n=8时, Sn取得最大值, 则d的取值范围为___.
解析:当d<0时, Sn存在最大值.因为a1=7>0, 所以数列{an}中所有非负项的和最大.
考点9等比数列的基本运算
等比数列的基本运算是高考的常考内容, 题型既有选择题、填空题, 也有解答题, 难度适中, 属中低档题.常见的命题角度有: (1) 求首项a1、公比q或项数n; (2) 求通项公式或特定项; (3) 求前n项和.
例9在各项均为正数的等比数列{an}中, a1=2, 且2a1, a3, 3a2成等差数列, 则数列{an}的通项公式为___.
因为a1=2, 所以数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n.故填an=2n.
考点10等比数列的判定与证明
考点11等比数列的性质及其应用
例11 (1) 在等比数列{an}中, 已知a6=2, a16=6, 则a66=___.
(2) 已知一个项数为偶数的等比数列{an}, 首项为1, 其奇数项的和为85, 偶数项的和为170, 则等比数列{an}的项数n=___.
解析: (1) 由等比数列的性质可知, a6, a16, a26, …成等比数列, 该数列的首项是2, 公比是3, a66是该数列的第7项.所以a66=2×36=1 458.故填1 458.
考点12分组转化法求和
例12已知等比数列{an}中, 首项a1=3, 公比q>1, 且3 (an+2+an) -10an+1=0 (n∈N*) .
(1) 求数列{an}的通项公式;
考点13错位相减法求和
错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}, 即an=bn·cn的前n项和的方法.这种方法运算量较大.在应用错位相减法求和时, 若等比数列的公比为参数, 应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
例13已知数列{an}的前n项和Sn=3n, 数列{bn}满足b1=-1, bn+1=bn+ (2n-1) (n∈N*) .
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 求数列{bn}的通项公式;
当n=1时, 2×31-1=2≠S1=a1=3,
(2) 因为bn+1=bn+ (2n-1) ,
以上各式相加, 得bn-b1=1+3+5+…+ (2n-3) = (n-1) 2 (n≥2) .
因为b1=-1, 所以bn=n2-2n (n≥2) .
又上式对于n=1也成立,
所以bn=n2-2n (n∈N*) .
两式相减, 得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2 (n-2) ×3n.
考点14裂项相消法求和
例14已知各项都为正数的数列{an}的前n项和Sn满足:Sn2- (n2+n-1) Sn- (n2+n) =0.
(1) 求数列{an}的通项公式;
由于{an}是各项都为正数的数列, 所以Sn>0.
所以Sn=n2+n.所以a1=S1=2.
当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+n- (n-1) 2- (n-1) =2n.
综上所述, 数列{an}的通项公式为an=2n.
(2) 证明:由于an=2n,
考点15等差数列与等比数列的综合问题
解决等差数列与等比数列的综合问题, 关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列, 部分项成等比数列, 那么要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来, 研究这些项与序号之间的关系;如果两个数列是通过运算综合在一起的, 就要从分析运算入手, 把两个数列分割开, 再根据两个数列各自的特征进行求解.
考点16等差数列与等比数列的实际应用
数列应用题的建模思路是: (1) 确定模型类型:一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型; (2) 准确解决模型:解模就是根据数列的知识, 求数列的通项、数列的和、解方程 (组) 或者不等式 (组) 等, 在解模时要注意运算准确; (3) 给出问题的答案:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案, 在解题中不要忽视了这一点.
考点17数列与其他知识的交汇
数列在高考中常与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题, 虽然近几年高考对数列的考查难度有所降低, 但为做到有备无患, 在备考中仍应引起高度重视.常见的命题角度有: (1) 数列与函数的交汇; (2) 数列与不等式的交汇.
例17已知数列{an}的前n项和为Sn, 且Sn=2an-2.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 设bn=log2a1+log2a2+…+log2an, 求使 (n-8) bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.
解析: (1) 由Sn=2an-2, 得a1=2.
所以数列{an}是以a1=2为首项, 2为公比的等比数列.
所以an=2n (n∈N*) .
故实数k的取值范围为 (-∞, -10].
配套练习:
2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+2n+1, 则数列{an}的通项公式为___.
3.已知数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+ (2n-1) ·an= (n-1) ·3n+1+3, 则数列{an}的通项公式为___.
4.已知函数y=f (x) , 数列{an}的通项公式是an=f (n) (n∈N*) , 那么“函数y=f (x) 在[1, +∞) 上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
11.已知等比数列{an}的公比q>0, 且a2=1, an+2+an+1=6an, 则数列{an}的前4项和
13.在等差数列{an}中, a2+a3+a4=15, a5=9.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 对任意n∈N*, 在an与an+1之间插入3n个数, 使这3n+2个数成等差数列, 记插入的这3n个数的和为bn, 求数列{bn}的前n项和Tn.
(A) 600天 (B) 800天
(C) 1 000天 (D) 1 200天
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 求证:数列{bn}是等比数列;
(3) 若cn=an·bn, 求证:cn+1<cn.
参考答案:
1.B.
3.an=3n.
4.A.
7.2 016.
8.12.
9.6.
10.证明略.
13. (1) 设数列{an}的公差为d.
所以Sn=1×31+2×32+3×33+4×34+…+n×3n, 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+ (n-1) ×3n+n×3n+1.
15. (1) 设等比数列{an}的公比为q.
因为a4+S4, a5+S5, a6+S6成等差数列,
16.B.
所以cn+1<cn.
(安徽余其权)
六、不等式部分
考点1比较两个数 (式) 的大小
比较大小的常用方法有: (1) 作差法.其中的关键是变形, 当两个式子都为正数时, 有时也可以先平方再作差. (2) 作商法. (3) 函数的单调性法.
由此猜测, C>A>B>D.
故填C>A>B>D.
考点2不等式的性质及其应用
利用不等式的性质进行命题的判断是经常考查的考向, 同时, 不等式的性质与充分条件、必要条件相结合也是一个重要的考向.
考点3一元二次不等式的求解
若一元二次不等式中含有参数, 则需要进行分类讨论.讨论的顺序是:二次项的系数、根的存在性以及根的大小关系等.
例3若关于x的不等式x2- (a+1) x+a<0的解集中恰有3个整数, 则实数a的取值范围是 () .
(A) (4, 5) (B) (-3, -2) ∪ (4, 5)
(C) (4, 5] (D) [-3, -2) ∪ (4, 5]
解析:原不等式可化为 (x-1) (x-a) <0.当a>1时, 得1<x<a, 此时解集中的整数为2, 3, 4, 所以4<a≤5;当a<1时, 得a<x<1, 此时解集中的整数为-2, -1, 0, 所以-3≤a<-2.所以a∈[-3, -2) ∪ (4, 5].故选D.
考点4一元二次不等式恒成立问题
对于一元二次不等式, 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方, 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.也可转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
例4若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1, 2]上恒成立, 则实数a的取值范围为___.
解析:因为4x-2x+1-a≥0在[1, 2]上恒成立, 所以4x-2x+1≥a在[1, 2]上恒成立.
令y=4x-2x+1= (2x) 2-2×2x+1-1= (2x-1) 2-1.因为1≤x≤2, 所以2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知:当2x=2, 即x=1时, y有最小值0.所以实数a的取值范围为 (-∞, 0].故填 (-∞, 0].
考点5二元一次不等式 (组) 表示的平面区域
在确定二元一次不等式 (组) 表示的平面区域时常常采用:直线定界, 特殊点定域, 即先作直线, 再取特殊点并代入不等式 (组) .若满足不等式 (组) , 则不等式 (组) 表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.同时注意:当不等式带等号时, 边界为实线, 不带等号时, 边界为虚线, 特殊点常取原点.
不等式组表示的平面区域D如图1中阴影部分所示.
考点6求目标函数的最值
考点7线性规划的实际应用
利用线性规划解决实际问题的求解步骤如下: (1) 审题:仔细阅读材料, 抓住关键, 准确理解题意; (2) 设元:设出未知量x, y, 并列出约束条件和目标函数; (3) 作图:准确作图, 平移找点 (最优解) ; (4) 求解:代入目标函数求解 (最大值或最小值) ; (5) 检验:根据结果, 检验反馈.
例7某玩具生产公司计划每天生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个, 生产一个卫兵需5分钟, 生产一个骑兵需7分钟, 生产一个伞兵需4分钟, 已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元, 生产一个骑兵可获利润6元, 生产一个伞兵可获利润3元.则每天的利润最大是___元.
解析:设每天生产的卫兵个数为x, 骑兵个数为y, 则伞兵个数为100-x-y, 所得利润w=5x+6y+3 (100-x-y) =2x+3y+300.
约束条件为
目标函数为w=2x+3y+300.
作出可行域, 如图2中阴影部分所示.
考点8利用基本不等式判断不等式成立
利用基本不等式时, 有时要创造的运用, 常见的技巧有合理拆分项或配凑项, 其中拆与凑的目的在于创造满足基本不等式的条件.通常是考虑将整式拆分或配凑成与分母的代数式有关系 (相等、倍分等) 的式子与常数的和.
例8已知a, b∈R, 且ab≠0, 则下列结论恒成立的是 () .
解析:当a, b都是负数时, 选项A不成立;当a, b一正一负时, 选项B不成立;当a=b时, 选项D不成立;只有选项C是正确的.故选C.
考点9利用基本不等式求最值
利用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数, “二定”是指应用基本不等式求最值时, 和或积为定值, “三相等”是指满足等号成立的条件.同时, 在利用基本不等式求最值时, 要根据式子的特征灵活变形, 配凑出积、和为常数的形式, 然后再利用基本不等式求解.
考点10基本不等式的实际应用
利用基本不等式求解实际应用题时, 首先需要读懂题意, 提炼出有用信息, 建立数学模型, 然后转化为数学问题求解.当运用基本不等式求最值时, 若等号成立时自变量不在定义域内, 则不能使用基本不等式求解, 此时需要根据变量的范围, 利用对应函数的单调性求解.
(1) 将2017年该产品的利润y (万元) 表示为年促销费用m (万元) 的函数;
(2) 该厂家2017年的促销费用投入多少万元时, 厂家的利润最大?最大利润为多少万元?
故该厂家2017年的促销费用投入3万元时, 厂家的利润最大, 最大利润为21万元.
配套练习:
1.若a=1816, b=1618, 则a与b的大小关系为___.
(A) 0个 (B) 1个
(C) 2个 (D) 3个
(A) {x|x≥4} (B) {x|x<4}
(C) {x|-3<x<0} (D) {x|x<-3}
4.设奇函数f (x) 在[-1, 1]上是单调函数, 且f (-1) =-1.若函数f (x) ≤t2-2at+1对所有的x∈[-1, 1]都成立, 则当a∈[-1, 1]时, t的取值范围是___.
7.已知A, B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知一件A产品需要在甲机器上加工3小时, 在乙机器上加工1小时;一件B产品需要在甲机器上加工1小时, 在乙机器上加工3小时.在一个工作日内, 甲机器至多只能使用11小时, 乙机器至多只能使用9小时.A产品每件利润300元, B产品每件利润400元, 则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是____元。
8.下列不等式一定成立的是 () .
9.已知x>0, y>0, x+3y+xy=9, 则x+3y的最小值为___.
(1) 若一次喷洒4个单位的净化剂, 则有效净化时间可达多少天?
参考答案:
1.a<b.
2.D.
3.B.
4. (-∞, -2]∪{0}∪[2, +∞)
5.1.
7.1 700.
8.C.
9.6.
(安徽彭配伟)
七、立体几何专题
考点1空间几何体的三视图
对三视图的考查主要是:不同视图之间的关系、由实物图画三视图以及通过三视图获取空间几何体的特征, 求空间几何体的表面积和体积.
例1已知一个三棱锥的俯视图与侧 (左) 视图如图1所示, 俯视图是边长为2的正三角形, 侧 (左) 视图是有一条直角边长为2的直角三角形, 则该三棱锥的正 (主) 视图可能为 () .
解析:由已知条件, 得三棱锥的直观图如图2所示, PC⊥底面ABC, 正 (主) 视图是直角三角形, 中间的线是看不见的线PA形成的投影, 应为虚线.故选C.
评注:在三视图中, 正 (主) 视图和侧 (左) 视图一样高, 正 (主) 视图和俯视图一样长, 侧 (左) 视图和俯视图一样宽, 即“长对正, 宽相等, 高平齐”.
考点2空间几何体的直观图
与直观图有关的题型主要有两种, 一是结合斜二测画法判断还原图的形状, 二是结合斜二测画法求解面积问题.
例2已知正三角形OAB的边长为a, 建立如图3所示的平面直角坐标系xOy, 则它的直观图的面积是_____.
评注:解决有关斜二测画法问题时, 一般在已知图形中建立直角坐标系, 尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴, 图形的对称中心为原点, 注意两个图形中关键线段长度的关系.
考点3空间几何体的表面积
处理空间几何体的表面积问题的思路是将空间问题转化为平面问题.多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理;旋转体的表面积问题要注意其侧面展开图的应用.
例3某几何体的三视图如图5所示, 则该几何体的表面积为 () .
评注:以三视图为载体的几何体的表面积问题, 关键是分析三视图, 从而确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系.
考点4空间几何体的体积
空间几何体的体积是每年高考的热点, 常与三视图结合考查.高考对空间几何体的体积的考查常有以下三个命题角度: (1) 求简单几何体的体积; (2) 求组合体的体积; (3) 求以三视图为背景的几何体的体积.
例4如图6, AB=8, BC=10, AC=6, DB⊥平面ABC, 且AE∥FC∥BD, BD=3, FC=4, AE=5, 则该几何体的体积为___.
解法1:如图7, 取CM=AN=BD, 连接DM, MN, DN, 用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
所以该几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.故填96.
评注:求几何体体积的类型及思路: (1) 若给定的几何体是柱体、锥体或台体, 则可直接利用公式进行求解. (2) 若给定的几何体的体积不能直接利用公式得出, 则常用等体积转换法或割补法进行求解.其中, 等体积转换法多用来求三棱锥的体积. (3) 若以三视图的形式给出几何体, 则应先根据三视图得到几何体的直观图, 然后根据条件求解.
考点5与球有关的切、接问题
与球有关的切、接问题是高考命题的热点, 也是考生的难点、易失分点, 命题角度多变, 常见的命题角度有: (1) 正四面体的内切球; (2) 直三棱柱的外接球; (3) 正方体 (长方体) 的外接球; (4) 四棱锥 (三棱锥) 的外接球.
例5已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上, 若AB=3, AC=4, AB⊥AC, AA1=12, 则球O的半径为 () .
解析:
如图8所示, 由球心作平面ABC的垂线, 则垂足为BC的中点M.
评注: (1) “切”的处理:解决与球的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体, 解答时首先要找准切点, 通过作截面来解决.如果内切的是多面体, 则作截面时要抓住多面体过球心的对角面来作. (2) “接”的处理:把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点, 即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
考点6空间点、线、面之间的位置关系
平面的基本性质是立体几何的理论基础, 高考中常结合线线、线面和面面平行与垂直来判断, 多采用穷举法, 即对各种位置关系都要加以考虑, 要充分发挥模型的直观性作用.
其中正确命题的个数是 () .
(A) 0 (B) 1
(C) 2 (D) 3
解析:①中若a与b是异面直线, 则c至少与a, b中的一条相交, ①正确;②中平面α⊥平面β时, 若b⊥c, 则b⊥平面α, 此时不论a, c是否垂直, 均有a⊥b, ②错误;③中当a∥b时, 有a∥平面β, 由线面平行的性质定理可得a∥c, ③正确;④中若b∥c, 则当a⊥b, a⊥c时, a与平面β不一定垂直, 此时平面α与平面β也不一定垂直, ④错误.所以正确命题的个数是2.故选C.
评注:解决空间中点、线、面之间的位置关系的问题, 首先要明确空间位置关系的定义, 然后通过转化的方法, 把空间中的位置关系问题转化为平面问题解决.同时在解决位置关系问题时, 要注意几何模型的选取, 如利用正 (长) 方体模型来解决问题.
考点7异面直线所成的角
从近几年的高考试题来看, 异面直线所成的角是高考的热点, 题型既有选择题、填空题, 也有解答题, 难度为中低档题.高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度: (1) 求异面直线所成的角; (2) 由异面直线所成的角求其他量.
解析:如图9所示, 取PB的中点E, 连接DE, AE, 则DE∥BC.
所以∠ADE (或其补角) 是异面直线BC与AD所成的角.
评注:用平移法求异面直线所成的角的三步骤: (1) 一作, 即根据定义作平行线, 作出异面直线所成的角; (2) 二证, 即证明作出的角是异面直线所成的角; (3) 三求, 即解三角形, 求出作出的角, 如果求出的角是锐角或直角, 则它就是所求的角, 如果求出的角是钝角, 则它的补角才是所求的角.
考点8直线、平面平行的判定与性质
平行关系是空间几何中的一种重要关系, 包括线线平行、线面平行、面面平行, 其中线面平行在高考试题中出现的频率很高.
例8如图10, ABCD与ADEF均为平行四边形, M, N, G分别是AB, AD, EF的中点.
(1) 求证:BE∥平面DMF;
(2) 求证:平面BDE∥平面MNG.
证明: (1) 连接AE, 则AE必过DF与GN的交点O.连接MO, 则BE∥MO.
所以BE∥平面DMF.
(2) 因为N, G分别为平行四边形ADEF的边AD, EF的中点, 所以DE∥GN.
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点, 所以BD∥MN.
所以BD∥平面MNG.
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线, 所以平面BDE∥平面MNG.
评注:在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时, 一定要严格按照定理成立的条件规范书写步骤, 如把线面平行转化为线线平行时, 必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交, 则直线与交线平行.
考点9直线、平面垂直的判定与性质
对垂直问题的考查, 常常以棱柱、棱锥为载体, 考查学生对线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理的应用, 主要命题角度有:线线垂直的证明、线面垂直的证明以及面面垂直的证明.
例9如图11, 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, DB=BC, DB⊥AC, 点M是棱BB1上一点.
(1) 求证:B1D1∥平面A1BD;
(2) 求证:MD⊥AC;
(3) 试确定点M的位置, 使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
解析: (1) 证明:由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1, 得BB1∥DD1, 且BB1=DD1.
所以四边形BB1D1D是平行四边形.
所以B1D1∥BD.
(2) 证明:因为BB1⊥平面ABCD, AC平面ABCD, 所以BB1⊥AC.
(3) 当点M为棱BB1的中点时, 平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下:
取DC的中点N, D1C1的中点N1, 连接NN1交DC1于O, 连接OM, 如图11所示.
因为N是DC的中点, BD=BC,
所以BN⊥DC.
又因为DC是平面ABCD与平面CC1D1D的交线, 平面ABCD⊥平面CC1D1D,
所以BN⊥平面CC1D1D.
由题意可得O是NN1的中点,
所以BM∥ON, 且BM=ON.
所以四边形BMON是平行四边形.
所以BN∥OM.
所以OM⊥平面CC1D1D.
所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.
评注:垂直关系综合题的常见解法是: (1) 三种垂直的综合问题, 一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2) 垂直与平行的综合问题, 求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3) 垂直与体积结合的问题, 在求体积时, 可根据线面垂直得到表示高的线段, 进而求得体积.
考点10直线与平面所成的角
求直线与平面所成的角一般有两种方法:一是几何法, 即作出直线与平面所成的角, 再通过解三角形求角;二是向量法, 借助直线的方向向量和平面的法向量的夹角求直线与平面所成的角, 使用此方法的关键是建立适当的空间直角坐标系, 准确地求出直线的方向向量和平面的法向量.
例10在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求BB1与平面ACD1所成的角的余弦值.
取x=1, 得n= (1, 1, 1) .
评注:利用向量法求线面角时需注意:求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 (钝角时取其补角) , 取其余角即为所求.若求直线与平面所成的角的余弦值, 要注意利用平方关系sin2θ+cos2θ=1求出其值.不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹的角的余弦值为所求.
考点11二面角
二面角的求法有两种:一是利用线面关系作角, 解三角形求角, 即所谓几何法, 作面的垂线是作平面角的关键, 一般可借助面面垂直的性质定理作面的垂线, 因此, 条件中的面面垂直要善于挖掘, 用以作线面角或二面角的平面角;二是用向量法, 设二面角的平面角为θ, 两个半平面的法向量分别为n1, n2, 则θ=〈n1, n2〉或π-θ=〈n1, n2〉, 解题时要根据图形进行取舍.
例11如图13, 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中, O是AC的中点, A1O⊥平面ABC, ∠BCA=90°, AA1=AC=BC.
(1) 求证:A1B⊥AC1;
(2) 求二面角A-BB1-C的余弦值.
解析: (1) 证明:因为A1O⊥平面ABC,
所以A1O⊥BC.
又BC⊥AC, 所以BC⊥平面A1ACC1.
所以AC1⊥BC.
因为AA1=AC, 所以四边形A1ACC1是菱形.所以AC1⊥A1C.所以AC1⊥平面A1BC.所以A1B⊥AC1.
观察图形可知, 二面角A-BB1-C为锐角.
评注:利用法向量求二面角时要注意:某些平面的法向量在已知条件中隐含着, 不用单独求.同时注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角, 可结合图形进行, 以防结论失误.
考点12立体几何中的探索性问题
立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究, 对条件和结论不完备的开放性问题的探究.这类试题的一般设问方式是“是否存在”.解决这类试题时, 一般根据探索性问题的设问, 首先假设其存在, 然后在这个假设下进行推理论证, 如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设, 如果得到了矛盾就否定假设.
例12如图15, 在Rt△ABC中, ∠ACB=30°, ∠ABC=90°, D为AC的中点, AE⊥BD于点E, 延长AE交BC于点F, 将△ABD沿BD折起, 使平面ABD⊥平面BCD, 如图16所示.
(1) 求证:AE⊥平面BCD.
(2) 求二面角A-DC-B的余弦值.
(3) 在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC?若存在, 请指明点M的位置;若不存在, 请说明理由.
所以AE⊥平面BCD.
(2) 由 (1) 中AE⊥平面BCD, 得AE⊥EF.
由题意, 得EF⊥BD.
如图17, 以E为坐标原点, 以EF, ED, EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系, 不妨设|AB|=|BD|=|DC|=|AD|=2, 则|BE|=|ED|=1.
评注:对命题条件的探索常采用以下三种方法: (1) 先猜后证, 即先观察与尝试给出条件, 再给出证明. (2) 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件, 再证明充分性. (3) 把几何问题转化为代数问题, 探索出命题成立的条件.
配套练习:
1.如图1所示, 四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点 (长方体是虚拟图形, 起辅助作用) , 则四面体ABCD的三视图是 (用①②③④⑤⑥代表图形) () .
(A) ①②⑥ (B) ①②③
(C) (4) (5) (6) (D) (3) (4) (5)
2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图2所示的一个正方形, 则原来的图形是 () .
3.若某几何体的三视图如图3所示, 其中俯视图是个半圆, 则该几何体的表面积为 () .
4.某几何体的三视图如图4所示, 则当xy最大时, 该几何体的体积为 () .
6.已知两个不同的平面α, β和两条不重合的直线a, b, 则下列命题中正确的是 () .
(A) 若a∥b, bα, 则a∥α
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1) 求AC与A1D所成的角;
(2) 若E, F分别为AB, AD的中点, 求A1C1与EF所成的角.
8.如图5所示, 在三棱锥P-ABC中, 平面PAC⊥平面ABC, PA⊥AC, AB⊥BC.设D, E分别为PA, AC的中点.
(1) 求证:DE∥平面PBC.
(2) 在线段AB上是否存在点F, 使得过点D, E, F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在, 指出点F的位置并证明;若不存在, 请说明理由.
(1) 证明:CD⊥平面A1OC;
(2) 当平面A1BE⊥平面BCDE时, 四棱锥A1-BCDE的体积为36槡2, 求a的值.
(1) 求证:CM⊥EM;
(2) 求CM与平面CDE所成的角.
(1) 求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2) 若二面角M-QB-C为30°, 试确定点M的位置.
12.如图10, 在Rt△ABC中, AB=BC=4, 点E在线段AB上, 过点E作EF∥BC交AC于点F, 将△AEF沿EF折起到△PEF的位置 (点A与点P重合) , 使得∠PEB=60°, 如图11.
(1) 求证:EF⊥PB.
(2) 试问:当点E在线段AB上移动时, 二面角P-FC-B的余弦值是否为定值?若是, 求出其定值;若不是, 请说明理由.
参考答案:
1.B.正 (主) 视图是①;侧 (左) 视图是②;俯视图是③.
2.A.
3.C.
4.D.
5.B.
6.D.
7. (1) AC与A1D所成的角为60°.
(2) A1C1与EF所成的角为90°.
8. (1) 因为E是AC的中点, D是PA的中点, 所以DE∥PC.
所以DE∥平面PBC.
(2) 当F是线段AB的中点时, 过点D, E, F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.证明如下:
取AB的中点F, 连接EF, DF.
由 (1) 可知DE∥平面PBC.
因为E是AC的中点, F是AB的中点,
所以EF∥BC.
因为EF平面PBC, BC平面PBC,
所以EF∥平面PBC
因为DE∩EF=E,
所以平面DEF∥平面PBC.
所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行.
故当F是线段AB的中点时, 过点D, E, F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.
所以BE⊥AC, 即在题图7中, BE⊥A1O, BE⊥OC.
因为A1O∩OC=O, 所以BE⊥平面A1OC.
因为CD∥BE, 所以CD⊥平面A1OC.
(2) 由已知, 得平面A1BE⊥平面BCDE, 且平面A1BE∩平面BCDE=BE.
又由 (1) , 得A1O⊥BE.所以A1O⊥平面BCDE, 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.
10. (1) 如图1, 以C为坐标原点, 以CA, CB分别为x轴、y轴, 过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴, 建立空间直角坐标系.
设|EA|=a, 则A (2a, 0, 0) , B (0, 2a, 0) , E (2a, 0, a) , D (0, 2a, 2a) , M (a, a, 0) .
所以四边形BCDQ为平行四边形.
所以CD∥BQ.
因为∠ADC=90°, 所以∠AQB=90°, 即QB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD, 且平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以BQ⊥平面PAD.
所以平面PQB⊥平面PAD.
(2) 因为PA=PD, Q为AD的中点,
所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD, 且平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PQ⊥平面ABCD.
易知平面BQC的一个法向量为n= (0, 0, 1) .
因为二面角M-BQ-C为30°,
12. (1) 在Rt△ABC中, 因为EF∥BC, 所以EF⊥AB.
所以EF⊥EB, EF⊥EP.
(2) 在平面PEB内, 过点P作PD⊥BE于点D.
由 (1) , 得EF⊥平面PEB.所以EF⊥PD.
又因为BE∩EF=E, 所以PD⊥平面BCFE.
在平面PEB内过点B作直线BH∥PD, 则BH⊥平面BCFE.
如图3所示, 以B为坐标原点, 建立空间直角坐标系.
设PE=x (0<x<4) .
因为AB=BC=4, 所以BE=4-x, EF=x.
在Rt△PED中, ∠PED=60°,
易知平面BFC的一个法向量为n2= (0, 0, 1) .
设二面角P-FC-B的平面角为α, 则
(安徽杨德贵)
八、解析几何部分
考点1直线的倾斜角与斜率
本考点主要是以直线的倾斜角与斜率间的关系为载体, 考查直线的斜率 (倾斜角) 的范围问题.
例1已知直线l经过点A (1, 2) , 在x轴上的截距的取值范围是 (-3, 3) , 则直线l的斜率的取值范围是 () .
评注:求倾斜角的取值范围的一般步骤:先求出斜率k=tanα的取值范围;再利用三角函数的单调性, 借助图象, 确定倾斜角α的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.
考点2直线的方程
直线方程是解析几何的一个基础内容, 在高考中经常与其他知识结合考查, 对直线方程的考查主要有以下三个命题角度: (1) 已知两个独立条件, 求直线的方程; (2) 已知直线的方程, 求直线的倾斜角、斜率; (3) 已知直线的方程及其他条件, 求参数的值或取值范围.
例2经过点P (1, 4) 的直线在两坐标轴上的截距都是正的, 则当直线在两坐标轴上的截距之和最小时, 直线的方程为 () .
(A) x+2y-6=0 (B) 2x+y-6=0
(C) x-2y+7=0 (D) x-2y-7=0
解法1:直线过点P (1, 4) , 代入, 排除选项A, D;在两坐标轴上的截距为正, 排除选项C.故选B.
评注:在求直线的方程时, 应先选择适当的直线方程的形式, 并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时, 直线的斜率必须存在;两点式不能表示与坐标轴垂直的直线;截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.
考点3两条直线的位置关系
两条直线的位置关系主要考查直线平行、垂直的位置关系.最常见的考查方式是由平行或垂直求直线方程或参数的值.
例3已知过点A (-2, m) 和点B (m, 4) 的直线为l1, 直线l2的方程为2x+y-1=0, 直线l3的方程为x+ny+1=0.若l1∥l2, l2⊥l3, 则m+n的值为 () .
(A) -10 (B) -2
(C) 0 (D) 8
评注:在判断两条直线的位置关系时, 易忽视斜率不存在的情况.两条直线都有斜率可根据条件进行判断, 若无斜率, 要单独考虑.另外运用两平行直线间的距离公式时, 易忽视两方程中x, y的系数分别相等这一条件, 盲目套用公式导致错误.
考点4圆与方程
求圆的方程主要有两种方法:一是利用圆的几何性质求圆的方程;二是利用待定系数法求圆的方程.
例4已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点, 且圆C与直线x+y+3=0相切, 则圆C的方程为 () .
(A) (x+1) 2+y2=2
(B) (x+1) 2+y2=8
(C) (x-1) 2+y2=2
(D) (x-1) 2+y2=8
评注:解答与圆的有关问题时, 应注意数形结合, 充分运用圆的几何性质.
考点5与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题也是命题的热点, 它着重考查数形结合与转化思想, 常见的命题角度有: (1) 斜率型最值问题; (2) 截距型最值问题; (3) 距离型最值问题; (4) 建立目标函数求最值问题.
例5已知P是直线3x+4y+8=0上的动点, PA, PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线, A, B是切点, C是圆心, 那么四边形PACB的面积的最小值是____.
评注:求解与圆有关的最值问题常用的方法: (1) 借助几何性质求最值.处理与圆有关的最值问题, 应充分考虑圆的几何性质, 并根据代数式的几何意义, 借助数形结合思想求解. (2) 建立函数关系式求最值.根据题目条件列出关于所求的目标函数, 然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求最值, 利用基本不等式求最值是比较常用的.
考点6直线与圆、圆与圆的位置关系
本考点考查内容以直线与圆的位置关系为主, 考查直线与圆相切、相交问题, 常常涉及求弦长和讨论参数问题.
例6已知圆C:x2+y2-8y+12=0, 直线l:ax+y+2a=0.
(1) 当a为何值时, 直线l与圆C相切;
解析:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+ (y-4) 2=4, 所以圆C的圆心坐标为 (0, 4) , 半径为2.
(2) 过圆心C作CD⊥AB, 则根据题意和
解得a=-7或a=-1.
故直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.
考点7椭圆的定义及其标准方程
本考点主要考查: (1) 利用椭圆的定义求椭圆的标准方程, 或求解与焦点三角形有关的问题; (2) 用待定系数法求椭圆的标准方程.
解析:设椭圆的方程为mx2+ny2=1 (m>0, n>0, 且m≠n) .
因为椭圆经过P1, P2两点,
评注:用待定系数法求椭圆的标准方程的四个步骤: (1) 作判断:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上, 还是在y轴上, 还是两个坐标轴都有可能; (2) 设方程:根据上述判断设出方程; (3) 找关系:根据已知条件, 建立关于a, b, c的方程组; (4) 得方程:解方程组, 将解代入所设方程, 即为所求.
考点8椭圆的几何性质
椭圆的几何性质是高考的热点, 主要有以下三个命题角度: (1) 根据椭圆的性质求参数的值或取值范围; (2) 根据性质求椭圆的方程; (3) 求离心率的值或取值范围.
评注:求椭圆离心率的值或取值范围时, 一般是依据题设得出一个关于a, b, c的等式 (或不等式) , 利用a2=b2+c2消去b, 即可求得离心率的值或取值范围.同时在求解与椭圆的几何性质有关的问题时, 要结合图形进行分析, 当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时, 要理清它们之间的内在联系.
考点9双曲线的定义及其标准方程
本考点主要考查: (1) 判断双曲线的类型; (2) 求双曲线的标准方程; (3) 解决有关焦点三角形的问题.
评注: (1) 在应用双曲线的定义时, 要注意定义中的条件, 搞清所求轨迹是双曲线, 还是双曲线的一支.若是双曲线的一支, 则需确定是哪一支. (2) 在“焦点三角形”中, 正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点.另外, 还经常结合||PF1|-|PF2||=2a, 运用平方的方法, 建立它与|PF1||PF2|的联系.
考点10双曲线的几何性质
双曲线的几何性质及应用, 是高考命题的热点, 考查的角度主要有: (1) 求双曲线的离心率的值或取值范围; (2) 求双曲线的渐近线的方程; (3) 求双曲线的方程; (4) 求双曲线的焦点 (距) 、实轴长、虚轴长.
考点11抛物线的定义及其应用
本考点主要考查与抛物线的定义有关的最值、距离、轨迹等问题.
例11已知M是抛物线x2=4y上一点, F为其焦点, 点A在圆C: (x+1) 2+ (y-5) 2=1上, 则|MA|+|MF|的最小值是____.
解析:过点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线, 垂足为M1, 则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|.结合图形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C (-1, 5) 到y=-1的距离再减去圆C的半径, 即等于6-1=5.因此|MA|+|MF|的最小值是5.故填5.
评注:与抛物线有关的最值问题常常与抛物线的定义有关.如:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离, 构造出“两点之间线段最短”, 使问题得解;将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离, 利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”, 使问题得解.
考点12抛物线的标准方程与几何性质
本考点常常从两个方面进行考查: (1) 给出抛物线的方程研究几何性质; (2) 利用几何性质求抛物线的方程.
例12已知两点A (1, 0) , B (b, 0) , 如果抛物线y2=4x上存在一点C, 使得△ABC为等边三角形, 那么实数b的值为___.
评注:求抛物线方程的三个注意点: (1) 当坐标系已建立时, 应根据条件确定抛物线的方程属于四种类型中的哪一种; (2) 要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系; (3) 要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离, 利用它的几何意义来解决问题.
考点13直线与圆锥曲线的位置关系
例13已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1 (-2, 0) , F2 (2, 0) , 双曲线C上一点P到F1, F2的距离差的绝对值等于2.
(1) 求双曲线C的标准方程;
(2) 经过点M (2, 1) 作直线l, 交双曲线C的右支于A, B两点, 且M为AB的中点, 求直线l的方程;
(3) 已知定点G (1, 2) , 点D是双曲线C右支上的动点, 求|DF1|+|DG|的最小值.
两式相减, 得3 (x1-x2) (x1+x2) - (y1-y2) (y1+y2) =0.
因为M (2, 1) 为AB的中点,
所以直线l的方程为y-1=6 (x-2) , 即6x-y-11=0.
(3) 由已知, 得|DF1|-|DF2|=2, 即|DF1|=|DF2|+2.
所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2, 当且仅当G, D, F2三点共线时等号成立.
考点14最值与范围问题
(1) 求曲线E的方程;
(2) 设P是曲线E上的一点, 点B, C在y轴上, △PBC的内切圆的方程为 (x-1) 2+y2=1, 求△PBC的面积的最小值.
由抛物线的定义可知, 曲线E的方程为y2=2x.
(2) 法1:设P (x0, y0) , B (0, b) , C (0, c) , 则直线PB的方程为 (y0-b) x-x0y+x0b=0.
因为圆心 (1, 0) 到PB的距离为1,
整理, 得 (x0-2) b2+2y0b-x0=0.
同理可得 (x0-2) c2+2y0c-x0=0.
所以b, c是方程 (x0-2) x2+2y0x-x0=0的两根.
依题意, 得bc<0, 即x0>2.
所以△PBC的面积的最小值为8.
法2:设P (x0, y0) , 直线PB:y-y0=k (x-x0) .
整理, 得 (x20-2x0) k2+2 (1-x0) y0k+y20-1=0.
所以△PBC的面积的最小值为8.
评注:圆锥曲线中常见的最值问题有两类: (1) 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题; (2) 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.常见的解法有: (1) 几何法, 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义, 则考虑利用图形性质来解决; (2) 代数法, 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可先建立目标函数, 再求这个函数的最值, 常用基本不等式、配方法及导数法等求解.
考点15定点与定值问题
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线, 若切线都存在斜率, 求证:两切线的斜率之积为定值.
解析: (1) 设椭圆的半焦距为c.
因为圆心O到l的距离d=槡6槡1+1=槡3, 所以l被圆O截得的弦长为2槡2.所以b=槡2.
所以a2=3, b2=2, c2=1.
(2) 证明:设点P (x0, y0) , 过点P的椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k (x-x0) , 即y=kx+y0-kx0.
整理, 得 (3+2k2) x2+4k (y0-kx0) x+2 (kx0-y0) 2-6=0.
因为l0与椭圆E相切,
整理, 得 (2-x20) k2+2x0y0k- (y20-3) =0.
因为点P在圆O上, 所以x02+y02=5.
故两条切线的斜率之积为定值-1.
评注:圆锥曲线中定值问题的特点是特征几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.常用的解法是: (1) 从特殊入手, 求出定值, 再证明这个值与变量无关. (2) 引进变量法:其解题流程为
配套练习:
1.直线x+ (a2+1) y+1=0的倾斜角的取值范围是 () .
2.在平面直角坐标系xOy中, 设A是半圆O:x2+y2=2 (x≥0) 上一点, 直线OA的倾斜角为45°, 过点A作x轴的垂线, 垂足为H, 过H作OA的平行线, 交半圆O于点B, 则直线AB的方程是____.
3.“直线ax-y=0与直线x-ay=1平行”是“a=1”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
4.已知圆C关于y轴对称, 经过点 (1, 0) 且被x轴分成两段弧长的比为1∶2, 则圆C的方程为 () .
5.已知两点A (0, -3) , B (4, 0) , 若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点, 则△ABP的面积的最小值为 () .
6.已知曲线C的方程为ax2+ay2-2a2x-4y=0 (a≠0, a为常数) .
(1) 判断曲线C的形状.
(2) 设曲线C分别与x轴、y轴交于点A, B (A, B不同于原点O) , 试判断△AOB的面积S是否为定值?并证明你的判断.
(3) 设直线l:y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M, N, 且|OM|=|ON|, 求曲线C的方程.
(A) 30° (B) 60°
(C) 120° (D) 150°
11.已知抛物线y2=4x和直线l:x-y+5=0, 在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1, 到直线l的距离为d2, 则d1+d2的最小值为____.
(A) y2=4x (B) y2=-4x
(1) 求|AB|;
(2) 若直线l的斜率为1, 求b的值.
(1) 求椭圆C的方程;
(1) 求椭圆C的方程.
(2) 动直线l (斜率存在) 与椭圆C有且只有一个公共点, 问:在x轴上是否存在两个定点, 使它们到直线l的距离之积等于1?如果存在, 求出这两个定点的坐标;如果不存在, 请说明理由.
参考答案:
1.B.
3.B.
5.B.
(2) △AOB的面积S为定值.
证明如下:在曲线C的方程中令y=0, 得ax (x-2a) =0, 即A (2a, 0) ;
7.C.
9.A.设双曲线C的右顶点为B, 则B (a, 0) .
12.D.
消去y并化简, 得 (1+b2) x2+2cx+1-2b2=0.
当直线l的倾斜角不为0°时, 设其方程为x=my+4.
由Δ>0, 得 (24m) 2-4× (3m2+4) ×36>0, 即m2>4.
设A (my1+4, y1) , B (my2+4, y2) .
15. (1) 由题意, 得F (c, 0) , A (0, b) .
因为点P在椭圆C上,
所以b2+c2=a2=2.②联立①②, 解得c=1, b2=1.
联立 (1) (2) , 解得c=1, b2=1.
(2) 设直线l的方程为y=kx+m, 代入椭圆C的方程, 消去y, 并整理, 得
(2k2+1) x2+4kmx+2m2-2=0. (*)
因为方程 (*) 有且只有一个实根, 且2k2+1>0,
所以Δ=0, 即m2=2k2+1.
假设存在M1 (λ1, 0) , M2 (λ2, 0) 满足题意, 则
综上所述, 在x轴上存在两个定点M1 (1, 0) , M2 (-1, 0) , 它们到直线l的距离之积等于1.
广东中考数学考点分析 篇8
2009年是中华人民共和国成立60周年，新中国成立的相关问题和新中国建立后在政治、经济、外交等方面所取得的成就必将是今年历史中招考试的热点和重点。另外，2009年是中美正式建交30周年；2008年年底是改革开放30周年，这也将是2009年历史中招考试的热点。
重点考点一：1949年新中国成立
2009年是新中国成立60周年。
1第一届中国人民政治协商会议的召开(1949年9月，北平)
会议内容：通过《中国人民政治协商会议共同纲领》(它在1954年宪法制定以前，起临时宪法作用)，确定新中国的名称为中华人民共和国；中华人民共和国是工人阶级领导的、以工农联盟为基础的人民民主专政的国家，人民是国家的主人。大会选举毛泽东为中央人民政府主席，决定以五星红旗为国旗，以《义勇军进行曲》为国歌，以北平为首都并改名为北京，采用公元纪年。大会还决定在首都天安门广场建立一座人民英雄纪念碑，以表示对革命先烈的无限崇敬和缅怀。
2开国大典——新中国的成立
1949年lO月1日，开国大典在北京天安门广场隆重举行。毛泽东向全世界庄严宣告：中华人民共和国中央人民政府今天成立了!
3新中国成立的历史意义
国内意义：中华人民共和国的成立开辟了中国历史的新纪元(“新纪元”是指：中国半殖民地半封建社会的历史到此结束，反帝反封建的革命任务基本完成)。从此，中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家；中国人民从此站起来了，成为国家的主人。
国际意义：新中国的成立，壮大了世界和平、民主和社会主义的力量，鼓舞了世界被压迫民族和被压迫人民争取解放的斗争。
重点考点二：1979年中美正式建交
2009年是中美建交30周年，中美关系将是今年中招考试的重点。
中、美两国是当今世界的两个大国，两国关系的变化对世界具有重要影响，回顾两国关系的历史具有重要的现实意义。
1近代时期
①第二次鸦片战争期间，美追随英法，侵略中国。②1900年，美国参加八国联军侵华战争，后迫使中国签订《辛丑条约》。③1922年华盛顿会议上，迫使中国签订《九国公约》，使中国回到几个帝国主义国家共同支配的局面。
2现代时期
①建国前：美实行扶蒋反共的政策，出钱出枪援助蒋介石发动反共反人民的内战。②建国初：敵视中国，对新中国实行封锁禁运、包围威胁的政策。以美国为首的西方敌对势力阻挠中国恢复联合国合法席位；1950年派遣第七舰队驶入台湾海峡，阻挠我国解放台湾，并把战火烧到了中国东北，中国打响了抗美援朝战争。③20世纪70年代：中美关系正常化。1971年，基辛格秘密访华，同周恩来会谈。1972年，美国总统尼克松访问中国，
双方在上海签署《中美联合公报》。1979年，中美正式建立外交关系，美国承认只有一个中国，台湾是中国的一部分。两国关系结束了二十多年的对抗，走上了正常化。④20世纪90年代：1999年，以美国为首的北约首次越过联合国安理会，打着“人权高于主权”的幌子，发动科索沃战争，干涉并侵略一个主权国家，并轰炸中国驻南联盟大使馆，严重侵犯中国的主权。
30年来，中美关系虽然经历了不少曲折和起伏，但总体上是向前发展的。中美保持了领导人的互访和高级官员的磋商，两国在经贸、科技、文化、教育、军事等各个领域的交流与合作也不断取得进展。
重点考点三：1978年改革开放
2008年底是十一届三中全会召开30周年，是改革开放30周年，所以这将是2009年历史中招考试的热点，改革开放以来所取得的成就应该引起我们的关注。
1978年底，中共中央在北京召开十一届三中全会，作出把党和国家的工作重心转移到经济建设上来，实行改革开放的决策。十一届三中全会是建国以来党的历史上具有深远意义的转折。从此，中国历史进入了社会主义现代化建设的新时期。
1农村：实行家庭联产承包责任制
我国的改革首先从农村开始。
安徽凤阳小岗村的农民率先实行分田包产到户，极大地调动了农民的生产积极性。家庭联产承包为主的责任制建立在土地公有制基础之上，集体所有的土地长期包给各户农家使用，把农民的债权、利紧密地结合起来，这种生产关系推动了生产力的发展，农村开始富裕起来了。
2经济特区的建立
1980年，我国在深圳、珠海、汕头和厦门建立了四个经济特区，打开了对外开放的窗口。后又开放了广
州、上海等14个沿海城市，增设海南经济特区，设立上海浦东开发区，形成了经济特区——沿海开放城市——沿海经济开放区——内地，这样一个全方位、多层次、宽领域的对外开放格局。
3城市：进行国有企业改革
从1985年起，城市改革全面展开，重点是国有企业的改革。主要在三个方面进行：①把原来单一的公有制经济发展为以公有制经济为主体的多种所有制经济共同发展；②对国有企业实行政企分开，逐步扩大企业的生产经营自主权，实行经营责任制；③实行按劳分配为主多种分配方式并存的制度。我国大中型企业推行公司制、股份制，向建立现代企业制度迈进。
改革的本质是解放和发展生产力，改革开放是强国之路。
【模拟试题】
1右图是中华人民共和国的国旗，在征集国旗设计方案办公室，毛泽东接过图稿，眼睛为之一亮，说：这张不错，镰刀斧头可以去掉，把说明改一下，不说四颗小星代表四个阶级，五星红旗这个图案表现我们革命人民的团结，现在要团结，将来也要团结。这样，国旗设计方案在全场的热烈掌声中通过。决定五星红旗为国旗是在哪一次会议上(
)
A中共七大
B第一届中国人民政治协商会议
c中共八大
D第一届全国人民代表大会
21949年10月1日，在开国大典上，随着五星红旗的冉冉升起，乐队奏起《义勇军进行曲》，54门礼炮齐鸣28响。想一想，“礼炮齐鸣28响”的寓意是(
)
A当时有28个民族参加了开国大典
B人民解放军有28个方阵经过天安门广场
c中国共产党领导人民英勇奋斗28年
D有28个团体参加了第一届中国人民政治协商会议
3在复习历史时，老师问小刚新中国成立的历史意义有哪些，小刚的回答中错误的是(
)
A开辟了中国历史的新纪元
B结束了中国一百多年来被侵略被奴役的历史
C壮大了世界和平、民主、社会主义的力量
D从此，中国进入社会主义社会
42009年是我国一些重大事件的逢十周年纪念年，以下四个历史事件中，不符合这一要求的是(
)
5我国全方位、多层次、宽领域对外开放格局的层次，推行顺序正确的是
(
)
①沿海开放城市②经济特区③沿海经济开放区④内地
A②①③④
B④③①②
c②③①④
D①②③④
6毛泽东开创的农村包围城市的革命道路与邓小平开创的建设有中国特色的社会主义道路，两者最根本的共同点是(
)
A坚定不移地走社会主义道路
B坚持走群众路线
c实事求是，从中国国情出发
D借鉴苏联的成功经验
7下列哪一个城市，既是清政府第一批被迫开放的通商口岸，又是我国最早的经济特区城市(
)
A厦门
B珠海
c汕头
D深圳
8为了纪念中华人民共和国成立60周年，某校九年级(8)班的同学计划在班内举办一次“新中国建立后的伟大成就”图片展。下面是王奕同学搜集的相关图片，你觉得哪一个不该入选(
)
9阅读下列材料，回答问题。
材料一人民英雄纪念碑碑文：三年以来，在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄们永垂不朽!三十年以来，在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄们永垂不朽!由此上溯到一千八百四十年，从那时起，为了反对内外敌人，争取民族独立和人民自由幸福，在历次斗争中牺牲的人民英雄们永垂不朽!
材料二人民英雄纪念碑共有8幅汉白玉浮雕，镶嵌在碑座四周。从东面起，浮雕的主题分别为：“虎门销烟”、“金田起义”、“武昌起义”、“五四运动”、“五卅运动”、“南昌起义”、“抗日游击战争”、“胜利渡长江”，形象、概括地表现了百余年间中国革命的艰苦历程。
(1)决定在首都天安门广场建立人民英雄纪念碑的是哪次会议?
(2)结合材料一中的碑文填写下表：
(3)在人民英雄纪念碑的8幅浮雕中，哪一幅浮雕与统治中国22年的南京国民政府垮台有直接关系?
(4)请依据人民英雄纪念碑雕塑的选择标准，在社会主义现代化建设新时期选择一个重大事件的画面来表现中华民族走向富强的历史进程。(写出事件的名称和入选理由)
(5)今天，我们青少年应当怎样纪念革命先烈、继承革命事业?
10阅读下列材料，回答问题。
2009年是新中国成立60周年，我国的农业建设取得了巨大成就。今后，农业建设还将在不断破解新问题的过程中深入发展。
材料一到1952年底，全国近3亿无地或少地的农民分到了土地。在中国存在两千多年的封建土地制度被彻底废除了，农民成为土地的主人，在政治上、经济上翻了身，解放了生产力，农业生产获得迅速发展。
材料二一切财产由公社统一核算。统一分配。大办公社食堂，提倡吃饭不要钱。社员的自留地、家畜、果树等，都归公社所有。
材料三农村实行改革以后，农民高兴地说：“交够国家的，留足集体的，剩下都是自己的。”
(1)材料一和材料二分别反映了我国历史上哪些重大历史事件?
(2)材料三中农民拥护的是什么改革?作出这一重大决策的是我党历史上的哪一次会议?
(3)材料一、二、三中，哪些能够调动农民的生产积极性?
(4)通过阅读上述材料，我们应该吸取什么教训?
11 2008年是中国改革开放30周年，某校九年级(5)班同学准备举办专题展览，展示中国改革开放30年的伟大成就，同学们纷纷提出自己的设计思路，请你参加本次活动，完成下列思路设计。
(1)第一学习小组同学要按下列思路设计一套(4枚)纪念币纪念改革开放30周年，请你按他们的设计思路，填写所缺内容。
(2)第二学习小组同学要围绕“改革开放给人们生活所带来的巨大变化”这一主题来收集材料，请你帮他们完成材料的收集工作。
①写出至少两种收集材料的方式。
②第二学习小组应从人们生活的哪些方面来收集材料?
③请你举例说明改革开放给你的家庭和个人生活带来的变化。(举出两例，每例应含新生活方式及由此带来的影响)
(3)第三学习小组同学要通过“图文展板”，从政治、经济、国防、外交、科技、教育、文体等方面来展示中国改革开放的伟大成就。想一想，中国改革开放取得巨大成就的原因有哪些?
(4)活动感悟：通过本次活动，围绕中国改革开放30年取得的伟大成就，谈谈你的感想。
12阅读材料，结合所学知识，回答问题。
材料《复兴之路》，全景式追溯了中国近现代历史，着力一个影像的中国，理性且深情梳理了中华民族167年的伟大复兴道路……和其他大国的崛起不同，中国是从内忧外患的境地中一步步争取到独立自主和国家富强的。有着五千年辉煌灿烂历史的中华民族在那时候跌倒了，怎样重新站立起来，怎样才能有尊严地生活，知道幸福是什么感觉。
(1)材料中“有着五千年辉煌灿烂历史的中华民族在那时候跌倒了”，其中“跌倒了”指的是什么?
(2)在中华民族近代史上，由衰败到振兴的转折点是什么?
(3)材料中所说的使中华民族“重新站立起来”的历史事件是什么?领导中国人民“站起来”的是谁?
(4)领导中国人民“富起来”的是谁?为了使中国人民富起来，他作出了什么样的伟大决策?
13中、美两国是当今世界的两个大国，两国关系的变化对世界具有重要影响，回顾两国关系的历史具有重要的现实意义。
材料一
材料二近年来，随着中国经济的迅速发展，“中国因素”对世界的影响越来越显著，美国对此深有感触。过去，美国把中国锁定在亚太区域，而今天，美国和欧洲进行对话时要谈到中国，在解决非洲和中东问题时要提到中国，在解决朝鲜问题时更离不开与中国的合作。中国日益显著的增长力也使“中国威胁论”在美国甚嚣尘上。许多美国人并不了解中国，他们担心中国经济的快速增长会消耗掉世界的石油资源，污染了世界的环境，更担心中国军力的增强会导致中国用武力对付台湾。
请回答：
(1)据图一提供的信息，分析美国当时的对华政策。
(2)据图二、图三内容，结合所学历史知识，从美国、中国两个方面分析中美关系为什么能实现正常化。
(3)依据材料二，结合所学知识，谈谈中美关系为什么在曲折中向前方展。
(4)从中美关系的发展历程中，你得出了什么认识?
14阅读下列材料，回答问题。
中华人民共和国的成立结束了旧中国一百多年来的屈辱外交，开创了中国外交的新纪元。新中国奉行独立自主的和平外交政策，积极开展外交活动，取得了巨大的成就。中国政府充分展现了自己的组织能力和多边外交能力，在国際事务中的作用越来越大。
以下一组图片是某校同学收集的。他们遇到了以下几个问题，请你帮助解答。
(1)以“新中国外交足迹”为主题，按时间先后，重新整理这些图片的顺序。(写出图片英文序号即可)
，
(2)请为每一幅图片重新设计一个简洁、准确的主题。
(3)选出其中你最喜欢的一幅图片，说说它的精彩之处。
参考答案：
1B2C 3D4D5A6C7A8B
9(1)第一届中国人民政治协商会议。(2)①指的是1946－1949年的解放战争时期②指的是1919－1949年的新民主主义革命时期(3)胜利渡长江。(4)例如：农村实行以家庭联产承包为主的责任制；理由：农业生产得到大发展，农村开始富裕起来。香港、澳门回归；理由：中国人民洗雪了百年耻辱，标志着我国在完成祖国统一大业的道路上迈出了一大步。(言之有理即可)(5)我们青少年要深深懂得，中国人民革命的胜利，是千百万革命前辈的牺牲和艰苦斗争换来的，我们应发扬革命前辈艰苦奋斗、无私奉献的精神，努力学习，报效祖国。
10(1)材料一：土地改革；材料二：人民公社化运动。(2)家庭联产承包责任制。十一届三中全会。(3)材料一和材料三。(4)要从中国的具体国情出发，遵循经济发展的客观规律。或要有利于提高农民的生产积极性，有利于生产力的发展。或要依靠科学技术的进步来促进农业的发展等。(只要言之有理，意思相近，即可)
11(1)①中国改革开放总设计师(符合题意的其他理由也可)②十一届三中全会③开创包产到户或家庭联产承包责任制④深圳或珠海等(2)①社会调查、家庭采访、网上查询等。②衣、食、住、行、用等方面。③互联网(计算机)，促进信息传播；家用电话和手机普及，方便、加强了人们的联系、沟通；私家车等交通工具的使用，方便人们的出行。(言之有理即可)(3)原因：中国共产党的正确领导；邓小平理论的正确指导；科学技术的推动；改革开放的实施；全国人民的努力等。(写出其中任意两点即可)(4)改革开放是强国之路；中国特色社会主义道路是正确的；只有中国共产党才能发展中国等。(写出其中任意两点即可)
12(1)指中国遭遇西方列强发动的鸦片战争、甲午中日战争等一系列侵华战争。(2)抗日战争的胜利。(3)新中国的成立。毛泽东。(4)邓小平。把党和国家的工作重心转移到经济建设上来，实行改革开放的伟大决策。
13(1)敌视中国，对新中国实行封锁禁运、包围威胁的政策。(2)略。(3)略。(4)略。
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