数学归纳法的证明

数学归纳法的证明（共12篇）

数学归纳法的证明 篇1

有关双变量递推式P (n, m) 的命题是比较常见的, 有些这种命题的证明用传统意义下的数学归纳法难以证明, 需用二重数学归纳法.下面结合例题介绍二重数学归纳法的用法.

一、一个变量依赖于另一变量

1. 变量m在变量n内取值

这种情形等同于单变量递推式的证明, 即用传统的数学归纳法对m归纳证明即可.

例1证明:Cn+1m=Cnm+Cnm-1 (n≥1, 1≤m≤n, m, n∈Z+) . (证明略)

2. 变量m与变量n交错

如果在递推过程中出现既有n>m, 又有m>n的情况, 证明时有时需要做两步假设.

例2已知T00=1, Tnm=p Tnm-1+q Tn-1m-1, m∈Z, n∈N, 且当m<0或m>n时Tnm=0, 证明:Tnm=Cnmpn-mqm.

证 (1) 由T00=1, 得T10=p T00+q T0-1=p,

由递推公式, 易证T0n=pn=C0npnq0.

(2) Tnn=p Tnn-1+q Tn-1n-1=q Tn-1n-1, 依次递推, 易得

(3) 假设当m=k时, Tnk=Cnkpn-kqk成立.

那么当m=k+1时, 由 (1) , 有Tk+1k+1=1.

假设对任何大于1的整数s, 有

Tk+1k+s=Ck+1k+sp (k+s) - (k+1) qk+1=Ck+1k+sps-1qk+1, 那么,

上式说明对任何正整数t, Tk+1k+t=Ck+1k+tpt-1qk+1均成立, 即对任何正整数n, k,

Tk+1n=Ck+1npn-k-1qk+1均成立.

由 (1) (2) (3) 可知, 等式成立.证毕.

二、两变量相互独立

对于相互独立的两变量m, n, 可用下列命题来证明.

(1) 验证命题P (1, n) 对于任意自然数n及命题P (m, 1) 对于任意自然数m都成立;

(2) 假设命题P (n+1, m) 与P (n, m+1) 成立, 证明P (n+1, m+1) 成立.

那么, 对于任意的自然数m, n, 命题P (n, m) 成立.

例3设f (m, n) 满足f (m, n) ≤f (m, n-1) +f (m-1, n) , 其中m, n是正整数, m, n≥2, 且f (1, n) =f (m, 1) =1, (m, n∈N) , 求证:f (m, n) ≤Cm-1m+n-2.

证设原命题为P (m, n) .

(1) 对于一切的自然数n, m (>0) , 有f (1, n) =1=C01+n-2, f (m, 1) =1=Cmm+-11-2, 即命题P (m, 1) , P (1, n) (m, n∈N+) 成立.

(2) 假设命题P (m+1, n) 及P (m, n+1) 成立,

即f (m+1, n) ≤Cm-1m+n且f (m, n+1) ≤Cm-1m+n-1, 那么

f (m+1, n+1) ≤f (m+1, n) +f (m, n+1) ≤Cm-1m+n+Cm-1m+n-1=Cmm+n, 即命题P (m+1, n+1) 成立.

由 (1) (2) , 对任意的自然数m, n, f (m, n) ≤Cm+n-2m-1, (m>0, n>0) 成立.

数学归纳法的证明 篇2

哥德尔所做的数学证明如下：

公理1（二分法）：一个性质是肯定的当且仅当它的否定是否定的。公理2（闭合）：一个性质是肯定的，如果它必然蕴含一个肯定的性质。

定理1：一个肯定性质的逻辑上是一致的（可能有某个特例）定义1：某物是类上帝的当且仅当它具备所有的肯定性质。

公理3：“是类上帝的”是一个肯定性质。

公理4：一个肯定性质是必然肯定的。

定义2：当且仅当x拥有特征P并且特征P必然是最基本的性质时，那么特征P即为x的本质。

定理2：如果x是类上帝的，那么类上帝的是x的本质。

定义3：x必然存在，如果x的本质不必然有某个实例。

公理5:“是必然存在”是肯定的。

定理3：必然有某个x,x 是类上帝的。

你是如何评判这样一个抽象的证明呢？到底有多少人能读懂它？这个证明是深思熟虑的结果还是疯子的胡言乱语？

注：哥德尔（1906——1978），严谨的数学家，杰出的奥地利数学家，也是20世纪最为优秀的逻辑学家之一，他的不完备定理不仅应用于数学，而且在计算机，经济学以及自然科学等领域都影响深远。1930年起执教于维也纳大学。1940年

数学证明思维模型的建构与应用 篇3

数学证明模型  数学教学设计  长时间的思考

一、数学证明的内涵与方式

关于“证明”的释义，《现代汉语词典》将其界定为“用可靠的材料来表明或断定人或事的真实性”。由此，我们可以将数学证明刻画为：从真理性的数学知识出发、运用演绎推理的形式说服别人接受从命题的题设条件过渡到题断结论的真实性的一种信念。演绎推理的形式只有在数学领域内，才被认为是唯一有效的证明方式;其他情况下，证明过程大部分是以个人经验和接受权威的证实为基础的。数学证明过程，是经过主体的思维活动，选择合适的真理性的数学知识，把作为外在信息的题设条件中的杂乱无章的元素，通过演绎推理，组织成为具有因果关系序列结构的题断结论要求的过程。

外在于主体的客体信息，是由人类心理已经具有的观念（源于真理性的知识或曾经经历过的活动经验等，提供给主体处理面临新信息时的活动意向或指令）而赋予了外在信息以知识结构的意义，否则，客体就是无意义的“物自体”[1]。而这种赋予外在信息以意义的过程就是一系列的合情推理的心理活动过程，将这些合情推理的真实性结论转化为条分缕析的演绎推理及其表达的过程就构成了数学证明。

二、数学证明思维模型建构

在发生数学证明的思维活动中，发现证明思路的信息元素序列结构的本质，势必通过设法使题设条件元素组成正确率比较高的信息脉络轮廓（与知识框架相比较）——元素序列结构的雏形，借此信息脉络轮廓的中介才能选择出成功性比较高的数学知识（定义、公理或定理）组织信息，从而决定选择与利用数学知识作为封装信息的结构框架（其实是知识结构框架与信息轮廓的互相吸引与适应的过程），生成有价值的信息结构（类似于主体所选用的数学知识结构）。

本研究试图建立证明的思维模式，这一过程可以概略地叙述为：首先，主体从题设条件信息元素中选择并确定出“支点信息”，选择“支点信息”的心理活动又是由外在信息与已经内化并保存在意识中的数学知识结构之间的互相吸引、相互诱导、相互调整而获得的;其次，基于“支点信息”，并在“支点信息”这一“凝聚核”的作用下，使外在诸多的外围信息元素组织成一种脉络轮廓;最后，由这种信息轮廓提示主体选择数学知识框架来封装题设条件的信息元素，获得某种结构，从而赋予题设条件信息以某种知识结构的意义（如图1所示[2]）。

从这一模型中可以看出，在分析题设条件信息元素伊始，主体不可能迅速确定地把握信息元素所能组成具有结论意义上的结构，就势必动用自己的知识库中的知识框架猜想信息元素可能具有某种结构。依据信息的某个侧面（“支点信息”）赋予“支点信息”决定的知识结构，再将信息元素组织成具有知识结构的意义，如果不成功，就会更换“支点信息”，再做一轮循环。在这一系列思维活动环节中，一定离不开猜想（即合情推理）的作用。因此，证明的思维活动过程环节就是不断地生成猜想（合情推理）与检验猜想、证实或证否猜想，证实了就可以转化为演绎推理，形成证明过程，证否就要更换“支点信息”，再生信息轮廓的又一轮循环。

三、例示数学证明思维模式在教学设计中的应用

教师产生合适的教学行为，并非完全从现代教育理念中演绎来的，而是重在观照现代教育理论，分析具体的知识性质特点，分析学生发生具体知识的心理活动的特点中获得的;从反思与分析自己的课堂教学行为的实践中获得的[3]。证明模式的建立为数学证明教学设计时教师优化分析活动的教学行为提供了方向。

数学教学行为构成要素的基础主要体现在互相关联的三个侧面：对要传授的数学知识点的结构所呈现的环节及其连接中介组成序列的理解（“教材分析”），对学生萌发数学知识（环节及其连接中介）的心理环节（呈现的是观念形态）及其过渡性中介的把握（“学情分析”），通过创造性工作找到这二者之间的联系（“关联分析”）。由此设计出合适的教学过程，使知识的环节及其连接中介适应于学生发生知识的心理活动环节（观念形态）及其过渡性中介的辨证运动过程。下面的框架图（图2[4]）是数学教学设计的一般分析模型。

图2  数学教学设计框架图

要发挥证明的思维模型的教育价值，就要教师在第三项“关联分析”上做足功夫，而“关联分析”效果如何取决于“学情分析”与“教材分析”的效果，因此，“三项分析”构成了证明教学设计的基础。数学证明思维活动的“关联分析”过程主要在于认真研究学生选择“支点信息”，确定知识框架，由知识框架把外围信息组织成有序的逻辑环节序列，从而，贯通从题设条件到题断结论的过程。学生正是在教师的引导下，经由这种过程将学生的“短时间的思考”方式转化为“长时间的思考”方式，发展一系列的思维品质。证明思维模式建构，为教学设计“三项分析”活动的展开提供了可以参考的程序序列。

例题：已知，如图3，在矩形ABCD中，从点A向对角线BD作垂线，P为垂足，从点P向BC，CD分别作垂线，垂足分别为E、F。求证：

①

图3

教材分析：由数学证明思维模式可知，证明过程就是运用已经掌握了的数学知识框架将题设条件组织成题断结论的过程。如何选择知识框架构成探究证明思路可否实现的关键环节，它取决于“支点信息”的选择，本例的“支点信息”应该是什么？由于题设条件是如图3的一个图形，线条多，组成了庞杂的系统，难于从题设条件中确定“支点信息”。于是，我们转而从结论式①出发，即将结论式①作为“支点信息”来进行试探，那么，它所决定的知识框架该是什么？通过联想，检索我们已经掌握的数学知识，由sin2？琢+cos2？琢=1②的形式与等式①的形式具有相似性，可以将其确定为封装题设条件信息的知识框架加以试探。下面，我们只需检验，由题设条件的相关信息的设定，从等式①可以过渡到等式②就可以了。

学情分析：“教材分析”由证明思维模式出发，可以找到一条从题设到题断的可能通路，这条思路确保教师可以顺利地利用一种办法解决这道题。但是，教师的想法与论证能否转化为学生发生证明思路的有序的心理活动过程呢？这就需要教师进行“学情分析”，即从学生心理活动的角度来考察证明思路发生的可能性，从而在教学中进行层层铺垫，启导学生自己发现证明思路。发生这条思路具有两个方面的疑难：其一，由“支点信息”①决定知识框架②的选择，这是学生思维活动的疑难;其二，实现从“支点信息”①决定知识框架②的学生思维活动的可能性，这是学生获得技术性手段的疑难，即技能技巧的疑难。两项疑难对于一般学生来说，都必须要经过“长时间的思考”才能解决，正因如此，数学证明可以严格地训练学生的数学思维，优化多方面思维品质。

关联分析：从“教材分析”与“学情分析”所得到了的结论中找出沟通这两项分析所得到结论的元素，进行教学设计。下面是笔者证明这道题的真实课堂教学过程实录（其中，省略号表示学生思维的中断处）。

师：题设条件中具有几个直角三角形，并且这些直角三角形都相似，因此，可以得到许多比例式，也可以得到许多相等的角，但是，并不能明确地知道我们可以选择与组合哪些条件，从而可以过渡到结论式①。怎么办？（注：提示学生选择“支点信息”）

生1：我们可以从结论式①反过来求索条件（注：学生确定了“支点信息”），即用分析法试探，……

师：一个很好的想法，如何试探？

生2：将结论①转化为一个已知的数学公式：sin2？琢+cos2？琢=1②（注：从“支点信息”确定知识框架，解决了确定知识框架的疑难），再从已知条件出发，获得公式②，……

师：又是一个很好的想法，如何从题设条件出发，构造公式②？

生3：我们假设

师：③、④成立吗？怎么办？

生4：重点研究等式③，由于③左边是两个线段之比，右边是一个数的三次方，两边的指数不和谐一致，于是，考虑将左边也变成一个数的三次方的形式，首先把左边变成三个数积的形式：……

师：生4提出了非常合理的想法，可以从图3中选择出线段x，y，从而得到等式⑥吗？

生5：我想这样选择线段x，y：在Rt△ABP中，知等式⑦显然成立（注：解决了从题设条件信息到知识框架途径的疑难），从而等式③成立，同理，等式④成立，于是，等式①成立。

这种教学设计的过程，旨在通过启发法，促进学生自己探究问题解决的思路活动，学生的数学知识不是经过直接授受、机械记忆的方式发生的，教师通过自己的探究活动，将数学知识融入主观意向的因素，进而由这种意向的作用产生相应的“数学观念”，形成相应的假设，教学过程中，教师应想方设法使这些数学观念在教师与学生之间、在主观与客观之间相交相融，甚至移植。教师将探究数学结构认识所生成的情感中裹夹着的“数学观念”先在地移入学生的思维框架中。使学生在发生某特定的数学知识以前，他们的思维结构中先在地建立奥苏贝尔意义上的“锚基”，或维果斯基意义上的“最近发展区”，使学生数学知识发生找到相应的凭依。

从这个例子中可以看出，这些理念的实现，需要教师的三项分析能力。证明思维模式提供教师“教材分析”与“学情分析”的心理意向，由于证明的过程就是寻找知识框架封装题设信息、形成题设信息元素的序列、构成逻辑因果关系的过程，而知识框架的选择取决于“支点信息”的确定。这个思维模型对这两点揭露无疑，为教师的“三项分析”提供了非常明确的程序，从而为教师的有效教学设计奠定了基础。这是它提供了教学设计的价值所在。

数学证明思维模型的建立，使我们发现了数学证明思维活动的实质性内涵与组成环节，从而为教师关于数学证明的教学设计提供了一套可以参考的程序，增加教学设计的有效性。利用数学证明的教育资源可以培养学生运用证据说话的能力，这是生活在民主社会中的人必备的素质;可以促进学生将适应生存的“短时间的思考”转化为实现自我实现目的所需要思维基础“长时间的思考”的能力，为发挥学生的智力潜能作出贡献。

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参考文献

[1] [德]康德.纯粹理性批判[M].蓝公武，译.北京：商务印书馆，2012.

[2] 张昆.渗透数学观念的教学设计方法研究：以一元一次方法教学为例[D].重庆：西南大学，2011.

[3] 张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J].数学教育学报，2015（1）.

[4] 张昆.数学教学设计的新视角——适应学生认识方式的研究[J].教学与管理，2015（4）.

[作者：张昆（1965-），男，安徽合肥人，淮北师范大学数学科学学院中学高级教师，博士。]

关于数学证明题的教学 篇4

一、从结论着手, 找出条件与结论之间的关系, 解决问题

证明题与其他类型的题有所不同, 有个突出的特点就是目的性明确。针对这个特点, 我向学生讲明:证明题其实比化简题要好做得多, 每一个题明确地指出要达到什么目的, 这样, 只要我们仔细分析条件与结论的关系, 确定所采用的途径, 就可以证明了。

这个等式左式比较复杂, 可作为条件由它推出右式。先看右式, 发现右式的函数是正切函数, 角是半角, 而左式的函数都是正弦函数, 角有整角与倍角, 要想以左式推出右式, 我们发现必须首先把左右两式的角统一起来。这样就有了解决的方法。

二、创造条件, 解决问题

1. 有些题目的条件与结论之间的关系并不明显, 这时就有必要对结论进一步进行分析, 找出使结论成立的条件, 然后再把它与题中的条件联系起来, 来确定证明途径。

例如, 若方程 (b-c) x2+ (c-a) x+ (a-b) =0的两根相等, 试证:a、b、c成等差数列.

这个题目的条件与结论的关系就不明显, 所以我们先分析使a、b、c成等差数列的条件, 根据定义可知, 如果a-b=c-b则a、b、c成等差, 进一步还有:如果2b=a·b{或b= (a+b) /2}, 则a、b、c成等差, 而由条件“方程两根相等”, 可得判别式“△=0”.而得到关于a、b、c之间的一个等式, 从中只要得到2b=a+c即可, 所以这个题的证明过程应为:

整理得: (c+a-2b) 2=0即2b=a+c∴a、b、c成等差数列.

2. 反证法是数学中一种重要的证明方法, 有些题借用反证法要比其他方法简单得多了。

关于这种方法学生感觉到比较困难的地方是:什么样的题适合用此方法? (此处需要给学生讲明白反证法实际上是利用“原命题”与“逆否命题”之间的等价关系) 。一般是直接去证明“原命题”太复杂, 而其“逆否命题”比较容易证明时采用反证法。有时所要证明的命题结论包含很多方面, 对这些方面必须一一加以证明时, 也可采用反证法。用反证法证明时, 如果在保证你证明的过程没出现错误的情况下, 当推出与原条件或其他事实相矛盾结论时, 就可以结束证明, 并说明原命题是正确的。

3. 数学归纳法是利用自然数集的性质来完成无限递推的过程, 达到证明的目的, 它是一种完全归纳法。

学生借用这种方法进行证明题时, 感到困难的地方就在第二步的证明上, 不会将要证的结论与假设有机联系起来。在这里要给学生讲清第二步中的假设与要证明的部分是一个整体, 命题假设是条件, 要证明的是结论。在证明过程中必须用到假设的结论, 如果没用到假设, 而得到的证明必定是错误的证明。在利用假设的条件进行证明时, 必须要进行比较, 明确它们的异与同, 然后采取相应的方法, 进行证明。

要提高证明题的能力, 还需要有一定的基础知识及一定逻辑思维能力。

摘要：为提高学生的逻辑思维能力, 必须抓好数学课证明题的教学。证明题是数学教学中的一块比较重要的教学内容, 证明题最主要的就是要找到相互之间的关系, 找到每个条件相互之间可能存在的联系。简单举了几个例题, 以此找到证明题教学中的一些方法。

关键词：数学,证明题教学,方法

参考文献

[1]林秀珍.如何提高数学几何证明题的解题能力[J].中学数学参考, 2012 (25) :80.

2016考研数学：定积分的证明 篇5

定积分及其应用这部分内容在历年真题的考察中形式多样，是考试的重点内容。启航考研龙腾网校老师希望同学们要加以重视！

定积分的证明是指证明题目中出现积分符号的一类题目，一般的解题思路和常见的证明题大同小异，但是由于积分符号的出现，往往使得同学们有这样那样的不适应，在这里呢，和同学们一起总结下关于这类题目的一般解题思路。常见的关于定积分的证明，主要包括以下几

类

问

题。

2、定积分中值定理命题的证明。一般利用连续函数的介值定理、微分中值定理、积分中值定理等来证明，其关键是构造辅助函数。

3、定积分不等式的证明。一般有三种方法。①利用被积函数的单调性、定积分的保序性和估值定理证明。

②将定积分的上(下)限改为变量，从而将定积分不等式化为函数不等式，再用微分学方法证明。

第24讲 推理证明与数学归纳法 篇6

推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法.由于解答高考试题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中.从近几年的新课标高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主.当然有些省市（如山东卷、广东卷、海南、宁夏）没有单独考查此内容，因为解答与证明题本身就是一种合情推理与演绎推理，作为一种推理工具是很容易被解答题与证明题接受的.

命题特点

本讲考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，这为创新性试题的命制提供了空间.

从近几年高考试题中可以看出，高考命题在推理与证明方法的考查呈现以下特点.（1）考查的主要方式是对它们原理的理解和用法，难度多为中档题，也有高档题；（2）从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法；（3）与导数、数列、不等式相结合，用数学归纳法证明不等式是命题的热点.

1. 运用归纳推理与类比推理发现结论

例1 在平面几何里，有“若[△ABC]的三边长分别为[a，b，c]内切圆半径为[r]，则三角形面积为[SΔABC=12a+b+cr]”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体[ABCD]的四个面的面积分别为[S1，S2，S3，S4]，内切球的半径为[r]，则四面体的体积为________”.

解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中[12]类比为三维图形中的[13]，得四面体[ABCD]的体积[V=13S1+S2+S3+S4r].

答案 [V=13S1+S2+S3+S4r].

点拨 归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.

2. 利用综合法证明有关命题

例2 如果[a，b]都是正数，且[a≠b]，

求证：[a6+b6>a4b2+a2b4].

解析 因为[a6+b6-（a4b2+a2b4）=a4（a2-b2）+b4（b2-a2）][=（a2-b2）（a4-b4）]=[（a2+b2）（a2-b2）2]，

又因为[a>0，b>0]且[a≠b]，

所以[（a2+b2）（a2-b2）2>0]，即[a6+b6>a4b2+a2b4].

点拨 作差法属于综合法的一种，利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论.

3. 利用分析法证明有关命题

例3 求证：[a-a-1

解析 要证[a-a-1

所以只需证明[a（a-3）<（a-2）（a-1）（a≥3）]，两边平方得[a2-3a

∵[0<2]恒成立，∴原不等式得证.

点拨 （1）在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件.

（2）用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语.

4. 反证法证明相关问题

例4 若[a，b，c]均为实数，且[a=x2-2y+π2]，[b=y2][-2z+π3]，[a=z2-2x+π6]，求证：[a，b，c]中至少有一个大于0.

解析 设[a，b，c]都不大于0，则[a≤0，b≤0，c≤0]，所以[a+b+c≤0].

而[a+b+c=（x2-2y+π2）-（y2-2z+π3）+（z2-2x+π6）]

=[（x2-2x）+（y2-2y）+（z2-2z）+π]

=[（x-1）2-（y-1）2+（z-1）2+π-3]，

所以[a+b+c>0]，这与[a+b+c≤0]矛盾，

故[a，b，c]中至少有一个大于0.

点拨 从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法.比如这类带有“至少有一个”等字样的数学问题.

5. 数学归纳法

例5 已知数列[{bn}]是等差数列，[b1=1，b1+b2+…][+b10=145]，

（1）求数列[{bn}]的通项公式[bn]；

（2）设数列[{an}]的通项[an=loga（1+1bn）]（其中[a>0]且[a≠1]），记[Sn]是数列[{an}]的前[n]项和，试比较[Sn]与[13logabn+1]的大小，并证明你的结论.

解析 （1）设[{bn}]的公差为[d]，由题意得，

[b1=1，10b1+10（10-1）2d=145，?b1=1，d=3，]∴bn=3n-2.

nlc202309032100

（2）由①知，[Sn=loga（1+1）+loga（1+14）+…+][loga（1+13n-2）=loga[（1+1）（1+14）…（1+13n-2）]，]

而[13=][loga3n+13]，

于是比较 [Sn]与[13logabn+1]的大小[?]比较[（1+1）（1+14）…（1+13n-2]）与[3n+13]的大小.

取[n=1]，有[（1+1）=83>43=3?1+13].

取[n=2]，有[（1+1）（1+14）>83>73=3×2+13].

推测 [（1+1）（1+14）…（1+13n-2）>][3n+13]（*），下面用数学归纳法证明.

（1）当[n=1]时，已验证（*）式成立.

（2）假设[n=k（k≥1）]时（*）式成立，即[（1+1）（1+14）…][（1+13k-2）>][3k+13]，

则当[n=k+1]时， [（1+1）（1+14）…（1+13k-2）（1+13（k+1）-2）>]

[3k+13（1+13k+1）][=3k+23k+13k+13]，

∵[（3k+23k+13k+13）3-（3k+43）3]

[=（3k+2）3-（3k+4）（3k+1）2（3k+1）2=9k+4（3k+1）2>0]，

∴[3k+133k+1（3k+2）>3k+43=3（k+1）+13]，

[∴（1+1）（1+14）…（1+13k-2）（1+13k-1）>3（k+1）+13]，

即当[n=k+1]时，（*）式成立.

综上可知，（*）式对任意正整数[n]都成立.

于是，当[a>1]时，[Sn>13logabn+1].

当[0

点拨 比较大小的方法常用的有：作差比较法、作商比较法、函数单调性法等等.此例采用的方法为“计算、归纳、猜想、论证”的方法，即通过计算、归纳，猜想得出一般性的结论，然后用数学归纳法加以证明.这也是解决问题的一种常用方法.

备考指南

1. 在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面现象的相似甚至假象去类比，就会犯机械类比的错误.

2. 合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明；演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.

3. 综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用.

4. （1）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.

（2）用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论[P]，再说明所要证明的数学问题成立.

限时训练

1. 观察下列各式：[55=3125，56=15625，57=78125，…，]则[52014]的末四位数字为 （ ）

A.[3125] B.[5625] C.[0625] D.[8125]

2.已知结论：在正三角形[ABC]中，若[D]是边[BC]的中点，[G]是三角形[ABC]的重心，则[AGGD=2].若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体[ABCD]中，若[△BCD]的中心为[M]，四面体内部一点[O]到四面体各面的距离都相等，则[AOOM]等于 （ ）

A.1 B.2 C.3 [ 11 12 12 13 16 13 14 112 112 1415 120 130 120 15 …] D.4

3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第[n]行有[n]个数且两端的数均为[1n（n≥2）]，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如[11=12+12]，[12=13+16]，[13=14+112]，…，则第[7]行第[4]个数（从左往右数）为 （ ）

A. [1140] B. [1105] C. [160] D. [142]

4.[p=ab+cd，q=ma+nc?bm+dn（m，n，a，b，c，d）]均为正数，则[p，q]的大小为 （ ）

A.[p≥q] B.[p≤q] C.[p>q] D.不确定

5. 设[a=lg2+lg5]，[b=ex（x<0）]，则[a]与[b]的大小关系为 （ ）

A.[a>b] B.[a

6. 某个与正整数[n]有关的命题，如果当[n=k（n∈N?，k≥1）]时，该命题成立，则一定可推得当[n=k+1]时，该命题也成立，现已知[n=5]时，该命题不成立，则 （ ）

A. [n=4]时，该命题成立

B. [n=6]时，该命题成立

C. [n=4]时，该命题不成立

D. [n=6]时，该命题不成立

7. 用数学归纳法证明不等式[1n+1+1n+2+…][+12n<1324（n≥2，n∈N）]的过程中，由[n=k]递推到[n=k+1]时，不等式左边 （ ）

A. 增加了一项

B. 增加了两项[12k+1，12k+2]

nlc202309032100

C. 增加了B中两项但减少了一项[1k+1]

D. 以上各种情况均不对

8.给出下列三个类比结论：①[（ab）n=anbn]与[（a+b）n]类比，则有[（a+b）n=an+bn]；②[loga（xy）=logax+logay]与[sin（α+β）]类比，则有[sin（α+β）=sinαsinβ]；③[（a+b）2][=a2+2ab+b2]与[（a+b）2]类比，则有[（a+b）2=a2+2ab+b2].其中结论正确的个数是 （ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

9. “因为指数函数[y=ax]是增函数（大前提），而[y=（13）x]是指数函数（小前提），所以函数[y=（13）x]是增函数（结论）”，上面推理的错误在于 （ ）

A.大前提错误导致结论错误

B.小前提错误导致结论错误

C.推理形式错误导致结论错误

D.大前提和小前提错误导致结论错误

10.一个赛跑机器人有如下特性：①步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米或1.9米；②发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；③当设置的步长为[a]米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔[a]秒.则这个机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是 （ ）

A.48.6秒 B.47.6秒

C.48秒 D.47秒

11.如图所示，第[n]个图形是由正[n+2]边形拓展而来[（n=1，2，…）]，则第[n-2]个图形共有_____个顶点. [①][②][③][④]

[12]. 如图都是由边长为[1]的正方体叠成的图形，例如第（[1]）个图形的表面积为[6]个平方单位，第（[2]）个图形的表面积为[18]个平方单位，第（[3]）个图形的表面积是[36]个平方单位.依此规律，则第[n]个图形的表面积是__________个平方单位.

[（1）][（2）][（3）][（4）]

13.设函数[f（x）=xx+2（x>0），]观察[f1（x）=f（x）=xx+2，] [f2（x）=f[f1（x）]=x3x+4]，[f3（x）=f[f2（x）]=x7x+8]，[f4（x）=f[f3（x）]]

[=x15x+16]…

根据以上事实，由归纳推理可得，当[n∈N+且n>1]时，[fn（x）=f[fn-1（x）]=]________.

14.设数列[11，12，21，][13，22，31，…，][1k，2k-1，…，k1，….]这个数列第[2010]项的值是________；这个数列中，第[2010]个值为[1]的项的序号是__________.

15.在各项为正的数列[an]中，数列的前[n]项和[Sn]满足[Sn=12（an+1an）].

（1）求[a1，a2，a3]；

（2）由（1）猜想数列[an]的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.

16.已知函数[f（x）=ax+x-2x+1（a>1）].

（1）证明：函数[f（x）]在[（-1，+∞）]上为增函数；

（2）用反证法证明[f（x）=0]没有负根.

17.数列[an]的前[n]项和记为[Sn]，已知[a1=1]，[an+1=n+2nSn（n∈N+）].证明：

（1）数列[Snn]是等比数列；

（2）[Sn+1=4an].

18.在数列[an，bn]中，[a1=2，b1=4]，且[an，bn，an+1]成等差数列，[bn，an+1，bn+1]成等比数列[（n∈N?）].

（1）求[a2，a3，a4]及[b2，b3，b4]，由此猜测[an，bn]的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：[1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn<512].

圆锥曲线光学性质的数学证明 篇7

性质一从抛物线焦点出发的光线, 经过抛物线上的一点反射后, 反射光线平行于抛物线的轴。

数学模型一已知抛物线y2=2px (p>0) (如图1) , 过抛物线焦点的入射光线l1交抛物线于点M, 求证反射光线l2//x轴。

证明:设入射光线l1 (l1不垂直、不重合x轴时) 的斜率为k1, 反射光线l2的斜率为k2, 点M处切线的斜率为k, l与l1所成的角为α1, l与l2所成的角为α2, 则α1=α2

又设点的坐标为M (2pt2, 2pt) (t为参数) , 由斜率公式有

可知α1=α2=45度, ∴l2//x轴

若l1平行x轴时, 即t=0, 点M即为原点, 易知l2//x轴。

性质二从椭圆焦点出发的光线, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上。

数学模型二已知椭圆 (如图2) , 过椭圆左焦点F1 (-c, 0) 的入射光线l1交椭圆于点M, 求证:反射光线l2经过椭圆右焦点F2 (c, 0) 。

所以, 反射光线l2经过椭圆右焦点F2 (c, 0) 。

性质三从双曲线的一个焦点出发的光线, 经过双曲线反射后, 反射光线的延长线交于双曲线的另一个焦点上。

数学模型三已知双曲线 (如图3) , 过双曲线左焦点F1 (-c, 0) 的入射光线交双曲线l1的左支于点M, 求证:反射光线l2的反向延长线经过双曲线的右焦点F2 (c, 0) 。

证明:设点M的坐标 (asecθ, btanθ) (θ为参数) , l1的斜率为k1, l2的斜率为k2则

关键词：圆锥曲线,光学性质,数学证明

参考文献

[1]人教版.圆锥曲线的光学性质及应用

大学数学中不等式的证明方法 篇8

1．用数学归纳法证明不等式

数学归纳法是证明一些与自然数有关命题的基本方法，是数学证明的有力工具。但是用数学归纳法证明不等式时，却往往受挫，不过若能掌握若干技巧，将会使证明获得成功，到达胜利的彼岸。下面我们试对数学归纳法如何证明不等式进行举例说明。

从上式，无法判断n=k+1时是否成立，但是有：

因此可以改变命题成立的充分条件，求证：

证明：由已知得：

由以上两种情况可知，不等式(2)成立，从而对于命题(1)也成立，即得证。

2．用导数及单调性证明不等式

导数是研究函数性质的一种重要工具。例如，求函数的单调区间、求最大(小)值、求函数的值域等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质，因此，很多时候可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在不等式证明时的作用。

解题思路：运用导数知识证明不等式，常用的方法是利用函数的单调性。对于一些不易入手的不等式证明，可利用导数思想，先通过要证明的不等式构造一个函数，再判定其函数单调性来证明不等式成立。

例2，证明：若函数f, g在区间(a, b]上可导，且f'(x)>g'(x), f (a)=g (a)，则在(a, b]内有f (x)>g (x)。

证明：构造F (x)=f (x)-g (x)，由已知，得：F (x)在[a, b]上可导且F (a)=0。

∴F (x)在[a, b]上严格单调递增，即∀x∈(a, b]，有F (x)>F (a)=0，也就是f (x)>g (x)，∀x∈(a, b]。

3．利用导数求出函数的最值后，再证明不等式

在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。

例3，求证：n为正整数，当n≥3, 2n>2n+1。

证明：由已知得，要证原式，即需证：2n-2n-1>0 (n≥3)成立。

设f (x)=2x-2x-1 (x≥3)，则f'(x)=2xln2-2 (x≥3) 。

又∵x≥3，则f'(x)≥23ln2-2>0，所以f (x)在[3，+∞]上是增函数。

∴f (x)的最小值为f'(3)=23-2×3-1=1>0。

所以，n≥3时，f (n)≥f (3)>0，即n≥3, 2n>2n+1成立。

4．利用拉格朗日中值定理证明不等式

中值定理是证明不等式的重要工具，在此以拉格朗日中值定理举例说明如下：

例4，对f (x)=ln (1+x)应用拉格朗日中值定理，试证：对x>0，有0<<1。

5．用积分证明不等式

积分与不等式具有十分密切的关系，大学期间我们常用不等式来证明积分的性质，再利用积分的性质去证明不等式，下面的性质1和推论1在用积分法证明不等式时经常用到。

例5，设p, q是大于1的常数，且证明：对于任意x>0，有

证明：对x分两种情况讨论：

当01时，tp-1≤1，不等式两边关于t从x到1积分，得：

当x≥t≥1时，则当p>1时，tp-1≥1，不等式两边关于t从1到x积分，得：

故对于任意的x>0，有≥x，且不等式等号当且仅当x=1时成立。

二结束语

本文归纳总结大学数学中数学归纳法、单调函数法、最大最小值方法、中值定理方法和积分不等式性质方法，并通过实例说明五种不等式的证明方法的可操作性。

参考文献

高等数学中函数不等式的证明 篇9

关键词：高等数学,函数不等式,微分中值定理,函数的单调性,函数的极值与最值,函数的凹凸性

一、利用微分中值定理

二、利用函数的单调性

用函数的单调性证明的不等式适用于某区间上成立的函数不等式,对于数值不等式通常是通过做辅助函数完成的.

三、利用函数的极值与最值

本方法适用范围也是在某区间上成立的不等式,证明方法基本上与第二种类似,这里与所作的辅助函数比较的不是函数的端点值,而是极值与最值.

四、利用函数的凹凸性

五、总结

数学归纳法的证明 篇10

一、数学归纳法定义

数学归纳法是一种数学证明方法, 主要用于证明在局部或整个自然数范围内某一个给定的命题是否成立, 在数论中, 数学归纳法主要是通过不同的方式证明无穷序列情形 (第一个, 第二个, 第三个……第N个, 一直下去无例外) 都是正确的数学定理。

在数列题中比较常见的数学归纳法应用情形是证明N值等于任何一个自然数时整个命题成立。证明过程主要包含两部分:首先, 证明n等于1时命题是成立的, 其次, 假设n等于m (m为任意自然数) 时命题成立, 从而推断出n等于m+1时命题也是成立的。原理就是先证明起点值是成立的, 再证明从一个值到下一个值的过程也是成立的, 只要满足这两点, 就可以证明所有自然数都能够适用于这个方法, 从而运用此方法解决问题。

二、在证明数列题中数学归纳法的应用

1. 先猜想再假设, 最后证明结论

本质上来讲, 数学归纳法是一种归纳与递推的数学思想, 是通过演绎法去解决无穷问题所采用的一种工具, 有了前面的P (n) , 必然会有后面P (n+1) 的证明过程。

以2014年广东省高考题为例进行应用分析:

题目:设数列{}的前n项和为Sn, 满足=-3-4, ∈N*, 且S3=15,

(1) 求a1, a2, a3的值

(2) 求数列{}的通项公式

解析:第 (1) 题为常规题, 通过已知条件就可以将前三项的值分别计算出来, 即a1=3, a2=5, a3=7。第 (2) 题中, 我们已经知道了数列前项和之间的关系, 这样就可以通过和的关系式来解答:

在解答过程中运用数学归纳法来验证:

=1时, 结论成立;

假设= (1) 时, =2+1,

=3+5+7+…+ (2+1) == (+2)

又因为=-3-4

所以 (+2) =-3-4

即=+6→=+1

所以=+1时, 结论成立

这样就可以得出{}的通项公式:=+1, ∈N*

在解题过程中通过猜想与假设, 再加上数学归纳法的特点, 借由=的情况推出=+1的情况, 一步步将结论证明出来, 即方便快捷又条理清晰。先猜想再假设最后证明结论, 这种数学归纳法的解题套路是一样的, 通过假设某一个条件, 使后面证明的结论更加简单, 这就要求我们必须认真思考题目中已知的条件, 从题目中获取信息做出正确的猜想, 只有这样才能最终得到正确的结论。

以2014年安徽省高考题为例进行应用分析:

题目:设实数>0, 整数>1, ∈N*, 证明:当x>-1且x≠0时, >1+px。

虽然这道题不是像我们熟识的其他题目一样用和来表示, 但本质上来说是一样的, 用数学归纳法来解答时步骤如下:

当p=2时, =+2x+1>1+2x, 此时不等式成立;

假设p=k, 不等式>1+kx成立, 那么当p=k+1时, 则

= (1+x) > (1+kx) (1+x) =+ (1+k) x+1>1+ (1+k) x

因此, 当x>-1且x≠0时, 整数>1, >1+px都是成立的。

2. 加强命题后再用数学归纳法证明

以2008年辽宁省高考题为例进行应用分析:

题目:在数列{}, {}中, =2, =4, 且, , 成等差数列, , , 成等比数列 (∈N*)

(1) 求, , 及, , , 由此猜测{}, {}的通项公式, 并加以证明

(2) 证明:+++…+<

在第 (2) 题中右边的式子和无关, 不能直接采用数学归纳法, 但可以先加强结论再用数学归纳法证明。

当=1时, ==<, 不等式成立

这时候用数学归纳法证明, 当时, ++…+<-

由第 (1) 题可以得出+=, =2时结论成立。

假设=时结论成立,

当=+1时, ++…++<-+<-+=-=-, 因此, 当=+1时, 结论也成立。

也就是说, 当时, +++…+<恒成立,

因此, ∈N*, +++…+<命题成立。

结语:

综上所述, 在高中数学课堂中, 数学归纳法是学生必学的一种方法, 熟练掌握数学归纳法能够帮助学生快速且条理的解决数列论证问题, 但目前, 由于学生缺乏对数学归纳法性质的理解, 难以熟练掌握数学归纳法, 在数列问题中也很少主动采用数学归纳法解决问题, 这对高中生的学习效果非常不利。在掌握方法的同时, 还要通过实例加以实践巩固, 熟练掌握数学归纳法, 在数列问题中主动应用, 提高做题速度和效率, 使数学教学效率事半功倍, 进一步提高高中学生的综合能力。

参考文献

[1]买买提阿不拉·阿吉.关于数学归纳法教学[J].和田师范专科学校学报, 2004 (02) .

证明——助翔数学严谨性的双翅 篇11

根据已知真实的判断来确定某一判断的真实性的思维.

这一段晦涩难懂的文字，如果没有读懂，不要紧，请看一则生活中的例子：一天，好友向你询问去电影院该如何走，你向他描述了路线，但好友似乎仍有疑问，为了打消好友的顾虑，你领着他按照所说的路线顺利找到了电影院，这就是生活中的证明！数学上的证明其实也是这么的简单，即以一些基本的概念和公设（原本存在的道路）为基础，使用合乎逻辑的推理（适当的路线）去裁决某个判断是否正确（是否能抵达目的地）.

最早的数学证明是谁最先想到的呢？古代中国、古埃及、古巴比伦以及古印度在数学上均有很高的成就，但可惜的是，他们都未曾涉及证明，上天将填补这一空白的机遇留给了古希腊人.

公元前6世纪，被后世称作“希腊科学之父”的泰勒斯认为，对几何学的陈述不能凭直观合理就认可，必须经过严谨的逻辑论证. 这一位对知识抱有知其然更要知其所以然态度的学者对数学做出的最大贡献便是证明了包括“两直线相交，对顶角相等”在内的6个几何定理. 在泰勒斯之后的200年，另一位古希腊数学家欧几里得写出了不朽著作《几何原本》，这本书影响后世几千年，被认为是时至今日最为经典的数学教材. 《几何原本》的独特魅力不仅在于推导了一些美妙的定理，而且更在于它开创了一种新颖的认知和研究方式——公理化方法. 为了建立某种理论或得出某个结论，天文学家需要借助观测，化学家必须借助于实验，唯独数学家是个例外. 想要得到新的数学结论，时常需要从一些已知为真的命题出发，根据演绎推理的规律把它推证出来，这是一种由结论得出新的结论的纯推理过程. 这一过程堪称是人类想象力与创造力的极致体现，是思维之美的最佳展现！

可能你会疑惑不解，一些反复经受实践检验的真理，诸如“两直线相交，对顶角相等”这样的结论似乎无需琐碎的论证足可以为人们所接受，何必自寻烦恼多此证明一举呢？其实不然，法国数学家韦伊曾经这样说道：“严谨之于数学家犹如道德之于一般人. ”如此可见，严谨是数学的道德，数学存乎于斯而起始于斯. 任何直观上毫无漏洞，实践中屡试不爽的经验结论，唯有经受质疑与证明才能被视作真理，才能在奔涌的岁月长河中恒久不衰. 勾股定理历经两千多年，其正确性无懈可击，至今仍被奉为经典；300多年来，人们对费马大定理的真实性坚信不疑，可直到英国数学家怀尔斯成功将其证明的那一天，费马大定理才真正成为真理，质的飞跃正是由证明所开启！

学习数学好比是从事一项错综复杂的思维活动，不仅要与数打交道，更要学会与推理携手并进. 翱翔于数学的广阔天空，证明即是助翔的双翅，力量与美丽并存. 让我们亲近证明，不要拒它于千里之外. 细细品味你会发现证明的美，那是明辨是非之美，是明晰正误之美，是明断真伪之美，是明了真善之美.

数学归纳法的证明 篇12

一、“连半径,证垂直”

当直线与圆有明确的公共点时,连接该点和圆心,证明直线垂直于经过这点的半径.

例1如图1,已知AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD = OB,点C在圆上,∠CAB = 30°. 求证:DC是⊙O的切线.

思路要想证明DC是⊙O的切线, 只要我们连接OC,证明∠OCD = 90°即可.

证明:连接OC,BC.

∵AB为⊙O的直径 ,

∴∠ACB = 90°.

∵∠CAB = 30°,

∴ BC =1/ 2AB = OB.

∵BD = OB,

∴BC = BD = OB,

∴∠BOC = ∠BCO,∠BCD = ∠BDC.

∵∠BOC + ∠BCO + ∠BCD + ∠BDC = 180°,

∴∠BCO + ∠BCD = 90°,即∠OCD = 90°.

∴ DC是⊙O的切线.

【评析 】 一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论 ,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则直线就不是圆的切线.

二、“作垂直,证半径”

当不能确定直线与圆有公共点时,则作圆心到直线的垂线段,证明圆心到直线的距离等于半径长.

例2如图2, 已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E. 求证:OB与⊙D相切.

思路连接DE,过D作DF⊥OB于点F,证明DE = DF即可. 这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得.

证明:连接DE,过点D作DF⊥OB于点F.

∵ ⊙D与OA相切于点E,DF⊥OB于点F,

∴ ∠DEO = 90°,∠DFO = 90°,

∴ ∠DEO = ∠DFO.

∵ OC平分∠AOB,

∴ ∠EOD = ∠FOD.

∵ OD = OD,

∴ △EOD ≌ △FOD(AAS).

∴ DF = DE.

又 ∵ DF⊥OB,

∴ OB与⊙D相切.

【评析 】 一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径. 同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法,作辅助线时一定要注意表述的正确性.

例3如图3,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC. 求证:CD是⊙O的切线.

思路本题中既有圆的切线是已知条件, 又证明另一条直线是圆的切线. 也就是既要注意运用圆的切线的 性质定理, 又要运用圆的切线的判定定理. 欲证明CD是⊙O的切线,只要证明∠ODC=90°即可.

证明:连接OD.

∵ OC∥AD,

∴ ∠1 = ∠3,∠2 = ∠4.

∵ OA = OD,

∴ ∠1 = ∠2.

∴ ∠3 = ∠4.

又 ∵ OB = OD,OC = OC,

∴ △OBC ≌ △ODC(SAS).

∴ ∠OBC = ∠ODC.

∵ BC是⊙O的切线,

∴ ∠OBC = 90°.

∴ ∠ODC = 90°.

∴ DC是⊙O的切线.

【评析 】 本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理 ,一定要注意区分这两个定理的题设与结论,注意在什么情况下可以用切线的性质定理,在什么情况下可以用切线的判定定理. 希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识. 本题若作OD⊥CD,就判断出了CD与⊙O相切,这是不对的,这样做相当于还未探究、判断,就已经得出了结论,显然是错误的.