几何证明题初二数学

2024-06-18

几何证明题初二数学（共14篇）

几何证明题初二数学篇1

1.在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。

2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

3.。如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。

4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。

5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？

6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。

1.求证四边形ABCD是菱形。

2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。

7.已知正方形ABCD中，角EAF=45度，F点在CD边上，E点在BC边上。求证：EF=BE+DF

几何证明题初二数学篇2

一、读题

1. 读题要细心, 有些学生一看到某一题前面部分有

似曾相识的感觉, 就直接写答案, 这种还没有弄清楚题目讲的是什么意思, 题目让你求证的是什么都不知道, 这非常不可取, 我们应该逐个条件的读, 给的条件有什么用, 在脑海中打个问号, 再对应图形来对号入座, 结论从什么地方入手去寻找, 也在图中找到位置.

2. 要记.

这里的记有两层意思.第一层意思是要标记, 在读题的时候每个条件, 你要在所给的图形中标记出来.如给出对边相等, 就用边相等的符号来表示;第二层意思是要牢记, 题目给出的条件不仅要标记, 还要记在脑海中, 做到不看题, 就可以把题目复述出来.

3. 要引申.

难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来, 所以我们要会引申, 那么这里的引申就需要平时的积累, 平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固, 平时训练的一些特殊图形要熟记, 在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论, 然后在图形旁边标注, 虽然有些条件在证明时可能用不上, 但是这样长期的积累, 便于以后难题的学习.

对于读题这一环节, 我们之所以要求这么复杂, 是因为在实际证题的过程中, 学生找不到证明的思路或方法, 很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件, 而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生.

二、分析

指导学生用数学方法中的“分析法”, 执果索因, 一步一步探究证明的思路和方法.教师用启发性的语言或提问指导学生, 学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择, 以及相应的分析、综合、概括等认识活动, 思考、探究, 小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法.而对于分析证明题, 有三种思考方式:

1. 正向思维.对于一般简单的题目, 我们正向思考, 轻而易举可以做出.

2. 逆向思维.

顾名思义, 就是从相反的方向思考问题.运用逆向思维解题, 能使学生从不同角度、不同方向思考问题, 探索解题方法, 从而拓宽学生的解题思路.这种方法是推荐学生一定要掌握的.在初中数学中, 逆向显, 数学这门学科知识点很少, 关键是怎样运用, 对于初中几何证明题, 最好用的方法就是用逆向思维法.如果学生已经上九年级了, 证明题不好, 做题没有思路, 那一定要注意了:从现在开始, 总结做题方法.有些学生认真读完一道题的题干后, 不知道从何入手, 建议从结论出发.例如:可以有这样的思考过程:要证明某两个角相等, 那么结合图形可以看出, 有可能是通过证两条边相等, 等边对等角得出;或通过证某两个三角形全等即可;要证三角形全等, 结合所给的条件, 看还缺少什么条件需要证明, 证明这个条件又需要什么, 是否需要做辅助线, 这样思考下去……我们就找到了解题的思路, 然后把过程正着写出来就可以了.这是非常好用的方法.

3. 正逆结合.

对于从结论很难分析出思路的题目, 我们可以结合结论和已知条件认真的分析, 初中数学中, 一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的, 所以可以从已知条件中寻找思路, 比如给我们某个角的角平分线, 我们就要想到会得到哪两个角相等, 或者根据角平分线的性质会得到哪两条线段相等.给我们梯形, 我们就要想到是否要做辅助线, 是作高, 或平移腰, 或平移对角线, 或补形等等的辅助线.正逆结合, 战无不胜.

三、书写过程

分析完了, 理清思路了.就要根据证明的思路, 用数学的语言与符号写出证明的过程.

证明过程的书写, 其实就是把证明的思路从脑袋中搬到纸张上.这个过程, 对数学符号与数学语言的应用要求较高, 在讲解时, 要提醒学生任何的“因为、所以”在书写时都要符合公理、定理、推论或与已知条件相吻合, 不能无中生有、胡说八道, 要有根有据!证明过程书写完毕后, 对证明过程的每一步进行检查, 是非常重要的, 是防止证明过程出现遗漏的关键.

四、巩固提高

课后布置相应的练习, 让学生及时巩固, 再现所学知识, 并利用类比的方法进行新知识的求解证明, 进一步掌握求解证明的方法技巧, 从而提高学生的能力.

以上就是我们研究的初中数学几何证明题“读”、“析”、“述”、“练”的教学模式.虽然实践表明:“读、析、述、练”这种几何证明题教学模式, 有助于激发学生学习证明题的兴趣;有助于学生数学解题水平的提高;有助于学生数学学习能力的发展.但我们在以后的教学过程中, 还将不断改进、不断完善, 以便能更有效地提高我校初中数学教学的效率.

初中数学几何证明题教学探讨篇3

关键词：初中数学；几何证明题；提高质效

提及初中数学几何证明题，不少学生就头皮发麻，找不到思路，面对各种各样的图形和线条就犯晕，几乎束手无策，更不用说作出精确的辅助线了；有的学生则是风风火火地写了满满一张纸，仔细一看，逻辑混乱，不知所云；还有的学生步骤简单，跳跃幅度大，因果关系没有整理清晰，关键步骤没有写清楚便匆匆得到要证明的结论，多多少少有些滥竽充数的嫌疑，自然也就拿不到证明题的完整分数了。对于数学教师来讲，初中几何证明题也是教学上的一大难点，似乎在教学中花了不少的力气，但还是有不少的学生对几何证明题的掌握程度无法令人满意，达不到新一轮课程改革的基本要求。如何針对初中数学几何证明题的特点，调动学生的主观能动性，提高几何证明题的教学效果，我结合个人教学实际，谈几点粗浅看法。

一、尊重教材

苏教版初中数学几何教材中，有几个重点环节，如平行线、轴对称图形、中心对称图形、相似图形等，这些章节的知识几乎无一例外都有证明题可供考查。与这些知识点相关的证明题，一般来说难度不小，对于刚刚接触几何知识的初中生来讲，是一个很大的挑战。要抓好这部分证明题的教学，我认为首先就是要尊重教材。

教材是一切教学工作的根源。教材中有很多经典的例题，这些例题几乎可以涵盖初中几何所有的知识点，可以说，把教材上的例题讲通讲透，学生能完全消化教材的例题，应该说学生就可以解决百分之八十的基本证明题。现实状况下，有些几何教师对证明题的讲解存在认识的误区，认为没有什么值得仔细讲、反复讲的，尽快讲完直接进入课后练习。这种教学方式是不科学的，也是不合理的，我认为教材上的例题，至少要到边到角地讲三遍，每一遍都有不同的任务，第一遍是让学生大致了解题目要求证明的结论和题目提供的条件；第二遍是让学生明白如何通过给定的条件和现有的定理逐步得到要证明的结论，第三遍则是让学生做好细节上的处理工作。

二、做好细节的规范书写

初中几何证明题有着严谨的格式要求，证明题的书写还需要思路明确、步骤清晰、过程精练，这样的证明过程才能得到更高的评价。教学实际中，通常遇到学生证明步骤烦琐，证明格式不规范，箭头指来指去，看得头晕眼花，不少数学老师对此大为光火。其实，更多的时候，我们要反思自己在教学中是否做得到位，做得细心。

有的数学教师对于证明题示例的细节上把握不够，他们认为只要我能把证明思路、关键的步骤给学生演示一下就够了，至于其他的地方，没有必要过于苛求。比如在板书的过程中，有的为了赶进度，图简单省事，一些看似不重要的证明步骤一笔带过，有的书写不够规范，有的字迹过于潦草，黑板上箭头指来指去，如同一幅军事作战指挥图，学生看起来很累，也很容易产生歧义。

如果教师是这种教学心态，那么也无法搞好几何证明题教学工作的，首先几何证明题本身就是一个严谨、严密的逻辑推理过程，没有做好细节自然就漏洞百出，所以，要充分认识到细节的重要性，为学生做好细节示范。其次，学高为师，身正为范，这也是对教师教学工作的一个基本要求。如果教学时间不是很充足，宁愿放弃示范也不能匆匆了事，一定要把握细节，注意火候，只有我们自己做得足够好，才能理直气壮对学生提要求。

三、抓好强化训练

初中几何证明题的教学，离不开强化训练。这种强化训练既要训练学生的逻辑思维，还要训练学生的答题规范性。比如，在三角形、多边形和圆这些章节的几何证明题中，有不少的题目要求学生作辅助线，不然难以解答。

要能准确作出辅助线，并熟练地运用各种定理来证明几何题，就需要平时进行一定量的强化训练。这种强化训练一定不能走入了题海的误区，训练的题目最好是由老师提前把关，量不能太大、太复杂让学生产生畏难的心理，也不能过于简单，我认为以书本上的例题为参考，适当提高点难度为宜。比如，我们可以在一堂课专门训练如何作辅助线，只要作出了辅助线，我们不要求学生完完整整地书写出整个证明过程，但要注意作出辅助线后续的工作，防止学生误打误撞，只要求他们说出证明的思路就可以进入下一题了。

通过一定量的题目进行强化训练，学生面对各种看似复杂的图形问题，能凭着直觉作出精确的辅助线，作出了辅助线之后解题的思路也就渐渐呈现出来，能较大幅度提高证明题的解题效率。

总而言之，初中数学几何证明题是整个初中数学教学的一大难点，作为数学教师要抓好教材例题的讲解，教学上遇到困难及时带领学生回归教材，多多少少能获得启发和提示。同时也要端正教学心态，在板书和示范上尽量做细做实，切忌一笔带过，草草了事。最后要以一定量的题目及时强化训练，帮助学生牢固掌握知识点和定理的运用，这样才能提高几何证明题的教学质效。

初二上几何证明题007 篇4

1．如图，已知AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，求证：△ADF是等腰三角形．

C BE

2．C已知：如图DC⊥CA，EA⊥CA，CD＝AB，CB＝AE，说明BD⊥BE的理由．

BAC

3．C已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC，BE⊥AC．求证：BH=AC． A

4．C如图，△ABC的两条高AD、BE相交于H，且AD＝BD．试说明下列结论成立的理由． ⑴∠DBH＝∠DAC；⑵△BDH≌△ADC．

BDC

5．C已知，如图，△ABC的两条高BD和CE相交于F，CF = AB，求证：DB = DC．

6．C如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD延长线于点E．求证：BD＝2CE．

几何证明题初二数学篇5

21．在△ABC 中，AB  AC，A 0，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD，再将线

段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上．（1）如图 1，直接写出 ABD和CFE 的度数；

（2）在图1中证明： E CF；（3）如图2，连接 CE，判断△CEF 的形状并加以证明．

图

图2

2．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，DE的延长线与BC相交于点F，连接AF．

（1）如图1，若BAC==60，DF2BF，请直接写出AF与BF的数量关系；

（2）如图2，若BAC＜=60，DF3BF，猜想线段AF与BF的数量关系，并证明你的猜想；解：

3.已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且∠APD=45°，求证BD=CE．

图1 图

4.在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，D是AC边上的动点，E是BC边上的动点，AD=BC，CD=BE．

（1）如图1，若点E与点C重合，连结BD，请写出∠BDE的度数；（2）若点E与点B、C不重合，连结AE、BD交于点F，请在图2中补全图形，并求出∠BFE的度数．

5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；

（2）求证：CF=AB+AF．

中考数学几何证明压轴题篇6

(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=

∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证

明你的结论；

(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°时，求sin∠BFE的值.2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD

是什么特殊四边形？并证明你的结论．

F3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测

量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长

线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜

想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

A(B(E)图13－1 图13－

2图13－

31.[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM

(2)等腰三角形.证明：因为DEDF,EDCFBC,DCBC.所以，△DEC≌△BFC 21.即DC=BC.2

所以，CECF,ECDBCF.所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD90 即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BEk,则CECF

2k，所以EF.因为BEC135，又CEF45，所以BEF90.所以BF3k 所以sinBFEk1.3k3

2.[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四边形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

几何证明题初二数学篇7

比如:△ABC中, AB=AC, BD、CE是高。

求证:BD=CE

证明:∵S△=AB×CE=AC×BD, 又AB=AC

∴BD=CE

或者:∵在Rt△CDB中sin∠DCB=, 在Rt△CEB中sin∠DCB=, 又∠DCB=∠EBC

∴CE=DE

除用全等证明的通法解决这个简单几何问题外, 用面积法和三角函数法也很简洁。这种方法对于一些较复杂的几何题目也同样适用。

例1:在△ABC中, AB=AC, CG⊥BA交BA的延长线于点G。一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放, 该三角尺的直角顶点为F, 一条直角边与AC边在一条直线上, 另一条直角边恰好经过点B。

(1) 在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度, 猜想并写出BF与CG满足的数量关系, 然后证明你的猜想;

(2) 当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时, 一条直角边仍与AC边在同一直线上, 另一条直角边交BC边于点D, 过点D作DE⊥BA于点E。此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度, 猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系, 然后证明你的猜想;

(3) 当三角尺在 (2) 的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置 (点F在线段AC上, 且点F与点C不重合) 时, (2) 中的猜想是否仍然成立? (不用说明理由)

证明: (2) 连接AD, S△ABC=AB×CG=AB×DE+AC×DF, 又AB=AC

所以:CG=DE+DF

也可以借助三角函数来证明:

证明∵在Rt△BED中sin∠B=

∴DE=BDsin∠B

同理在Rt△DFC中, DF=DCsin∠ACB

∴DE+DF=BDsin∠B+DCsin∠ACB, 又∠B=∠ACB

DE+DF= (BD+DC) sin∠B=BC sin∠B

∵在Rt△BGC中CG=BCsin∠B

∴DE+DF=CG

(3) 问方法与 (2) 一样

此题是2007年河北省中考试题, 在多年没有考截长补短类几何证明的情况下, 出现这样的题目, 很多学生束手无策, 如果我们平时教学中, 注意培养学生从多角度思考问题, 防止思维定势解题干扰, 提高学生思维的深度, 学会一题多解, 学习效果会更好些。用面积法和函数法解决M+N=P型题目一般思路是:找到三条垂直的线段分布的三角形, 利用面积和差、等线段关系证明结论, 或者找到三条垂线所在的直角三角形, 借助三角函数以及相等的线段、角来解决。

例2:正方形ABCD中, 直线MN经过点A, DE⊥MN, BF⊥MN, CG⊥MN, 求证: (1) DE=BF+EF (2) BF=DE-CG (3) 如果点M绕A点旋转到CD上 (2) 的结论会发生变化吗?

面积法: (图2-1)

证明:连接DM、AC。

∵S△AHD=S正=S△ABH+S△HCD, 又S△HCD=S△AHC

AH×DE=AH×BF+AH×CG

∴DE=BF+CG

即:BF=DE-CG

三角函数法:

简证:∵DE=ADsin∠1, BF=BHsin∠2, CG=CHsin∠3

易证:∠1=∠2=∠3又AD=BC

∴BF+CG= (BH+HC) sin∠2=BC sin∠2

∴BF+CG=DE

即:BF=DE-CG

(3) 结论发生变化:BF=DE+CG连接AC、HB (图2-3)

S△1AHB=S正1=S△BCH+S1△AHD, 又S△HCB=S△AHC

AH×BF=AH×CG+AH×DE

BF=CG+DE

也可以用三角函数证明:

简证:∵BF=ABcos∠2, DE=DHcos∠1, CG=CHcos∠3

易证:∠1=∠2=∠3又AB=DC

∴DE+CG= (DH+HC) cos∠1=DCcos∠1

∴BF+CG=DE

即:BF=DE-CG

这也是一道中档截长补短可以解决的证明题, 由于可以构造直角三角形, 并且可以找到面积和角的相等关系, 因而也可以借助面积法和函数方法解决, 解法比较简洁巧妙。

以下各题供学习分析使用

1:已知;△ABC中, AB=AC, M是底边BC上一点, MD⊥AC, ME⊥AB, BF⊥AC

(1) 求证:MD+ME=BF

(2) 如果点M在BC的延长线上, 其他条件不变, 结论 (1) 会变化吗? (图2)

2:已知正方形ABCD中, 对角线AC和BD交与O点, P是AD上一动点, PE⊥AC, PF⊥BD。 (图3)

求证:PE+PF=OB

几何证明题添加辅助线索引篇8

证明几何题一般需添加辅助线,所以我们在分析思考一道几何题的证明方法时,也就要考虑添加什么样的辅助线的问题(辅助线的类型分为直线型和圆型两种)。我们知道,添加有用的辅助线,能使命题的条件与结论有机联系起来,便于由此及彼。或改造原题图形,以应用某一定理;或造成新的等量,借以得到欲证的等量。那么怎样添加有用的辅助线呢?这是一个很难回答的问题。因为几何题目繁多,辅助线的添加法也多种多样,没有一定成规。为了探求添加辅助线的方法,我们不妨把常见的几何题按所需证明的结论分为若干类,一旦你决定用哪种方法来证,你就按照这种方法的要求添加辅助线。比如你要用全等三角形来证两线段(或两角)相等,你就添加辅助线构造全等三角形。你要用“两平行线被第三线所截,同位角相等内错角相等”来证两角相等,你就要添加平行线。

常常有这样的情形,对某一几何题,我们一时还不知道该用哪种方法来证,或者也知道需用某种方法,但走了几步后,走不下去了,该怎么办呢?这时你仔细检查一下题设条件,或许能从中得到某种启发,因为题设条件常常暗示了添加辅助线的方法,比如有以下几种情况:1.题设条件有线段的中点,常作中位线中线或弦心距;2.题设条件中有三角形的中线,常作平行四边形(只需将中线延长一倍或三分之一);3.题设条件中有直径,常作出直径上的圆周角(是直角);4.两圆相交,常作公共弦(此公共线把两圆联系起来,便于找到等量关系,比如说,在两圆内可找到这弦所对的圆周角);5.两圆相切,常作连心线(它通过切点)和公切线(可在两圆内找到等于弦切角的圆周角);6.给了线段的垂直平分线,常利用“线段垂直平分线上的点,到线段两端的距离相等”;7.给了角平分线,常利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”;8.给了切线,常作过切点的半径(它垂直于切线);9.多边形常用的辅助线是对角线,把多边形分成若干三角形,然后应用三角形有关的定理去解决;10.有关梯形问题,常用的辅助线是由小底两端作大底的垂线,或由小底一端作一腰的平行线;或作另一对角线的平行线等。

只要我们熟练地掌握了所学过的定义、公理和定理,做过一定数量的练习题,并注意不断总结经验,就可以从中体会到添加“辅助线”的规律性。当然这种规律性是无法用三言两语概括起来的。是不是添加辅助线就可以万事大吉?其实,也不是这样,添加辅助线只是打开了我们的解题思路。只要我们大家多多交流各自的点滴体会,就可使点滴之水汇成江河,突破中学数学中平面几何这个薄弱的环节。

几何证明题初二数学篇9

BCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分DAB和CBA． 25．如图10，在A

（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；（2）比较DP与PC的大小；

cm，（3）画出以AB为直径的O，交AD于点E，连结BE与AP交于点F，若AD

5AP8cm，求证△AEF∽△APB，并求tanAFE的值．

2007年

图10

25．如图12，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(2，0)B(8，0)，以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD．（1）求C，M两点的坐标；

（2）连接CM，试判断直线CM是否与

P相切？说明你的理由；

（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2008年 25．如图11，P与O相交于A，B两点，P经过圆心O，点C是P的优弧AB上

任意一点（不与点A，B重合），连结AB，AC，BC，OC．（1）指出图中与ACO相等的一个角；

（2）当点C在P上什么位置时，直线AC与O相切？请说明理由；（3）当ACB60时，两圆半径有怎样的大小关系？说明你的理由．（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．

图1

12009年

25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，BE2.（1）求EC∶CF的值；

（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；

（3）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

FB E C B E C图13-1 图13-

22010年

25．如图11-①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CECB.（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点（如图11-②所示）.若ABAD2，求线段BC和EG的长.A D AB 图11-①

C B C 图11-② G

25．如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交

于点B．

(1)求证：直线AB是⊙O的切线．

(2)当AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．

2012年

25．如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．

（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；

（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．

25、如图13，在ABC中，∠BAC=90，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于点D，DEAC于点E，BE交O于点F，连接AF的延长线交DE于点P。

（1）求证：DE是O的切线。

（2）求tan∠ABE的值；

几何证明题初二数学篇10

【备考策略】

此题型为近六年来的热点题型，通常以三角形或四边形为背景进行考查，通过AAS,SSS,ASA,SAS,HL证明三角形全等，通过全等，求出所问问题.1.熟练掌握全等三角形的性质和判定； 2.熟练掌握特殊四边形的性质和判定.（一）以三角形为背景的证明

1.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE.2.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向三角形外作等边△BCE，等边△ACF，过点A作AM∥FC交BC于点M，连接EM.求证：AB=ME.3.已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF.2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明

求证：DE=DF.（二）以四边形为背景的证明

4.如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF.求证：（1）△AEH≌△CGF；（2）四边形EFGH是菱形.5.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若AB=3，AC=5，求四边形AECF的面积。

6..如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；

2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明

(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．

7.如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，连接PA、PB.点为上一点，且∠1=∠2.求证：PC=PE

A1P2BCD【作业】

1.在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D，以CD为边作如图所示的正方形CDEF，交AC于点G.(1)求证：GF＝BD；

(2)若FG＝3，BC＝5，求四边形GEBC的面积．

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明

BC上，且DE＝CF，连接OE、OF.求证：OE＝OF.3.如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG，连接AF、BF，延长BD交AF于H.求证：(1)BH⊥AF；

(2)若AC＝4，CB＝6，求DH的长．

4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF＝∠ADF.(1)求证：△ADE≌△BFE；

(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由．

附：2017年中考典型试题

一道几何证明题的思路剖析篇11

关键词：思路剖析；一题多解；思维突破；通性通法

对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事，通过研究把蕴含其中的数学思想方法揭露出来，挖掘出问题的本质属性.这样可以提高学生的空间想象、逻辑思维能力，分析和解决问题的思维技能，优化数学的思维品质，而且还可以培养学生探索创新的能力.下面，笔者通过实例进行探讨.

三、解题反思

（一）关注解题通法增强学生的解题能力

优秀的几何题一般存在多种解法，而辅助线通常是解决问题的桥梁.巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”，与标准答案不同的上述几种解法，其巧妙之处在于添加了辅助线，辅助线使未知与已知有了更紧密的联系，无须通过证明3次相似，证明过程大为简洁，体现了数学方法的多样性.同时也从侧面说明这是一道难得的好题，是训练学生数学思维的好素材.由此可见，通过一题多解，可以加深和巩固学生所学知识，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系，掌握各部分知识的转化关系，从而达到培养思维广阔性的目的.

（二）重视学会解题拓展学生的思维空间

在解题教学中，题目是载体，解题是过程，方法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的，因此，解题教学切忌就题论题，片面追求容量，忽视教学功能的发掘与开发.引导学生学会解题层面的回顾与反思：如解题中用到了哪些知识？解题中用到了哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法、更一般的方法或更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？

（三）关注模型思想强化学生的识模能力

几何证明题初二数学篇12

美国数学家、数学教育家波利亚曾说过, “一个数学上的证明是演绎推理, 而物理学家的归纳论证, 律师的案情论证, 历史学家的史料论证和经济学家的统计论证都属于合情推理之列。” 数学结果的体现要依靠演绎推理, 而数学结论的发现以及证明的基本思路的获得就要依靠观察、实验、类比、联想等合情推理方法。之后, 人们对合情推理的含义和方法不断进行了深入的探讨。

《数学课程标准 (2011版) 》在 “ 课程目标” 中的总目标中明确提出, 让学生通过义务教育阶段的数学学习, 即在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中, 发展合情推理和演绎推理能力, 清晰地表达自己的想法, 学会独立思考, 体会数学的基本思想和思维方式。

二、合情推理的现状

在传统的数学教学中, 往往重演绎, 轻归纳、类比, 只满足于证明现成结论, 学生很少经历探究结论、提出猜想的活动过程。随着新形势下的教育观念和模式的变化, 数学教育的方向也正在慢慢地转变, 对数学教育及培养合情推理能力提出了更多更大的要求。例如, 人教版新教材中, 每个结论或定理出现之前都会涉及 “思考” 或 “探究”的环节。这就给我们传达一种信号, 即数学教育要注重引导学生从猜想、类比、归纳等一系列思想方法中找到规律, 发现新知, 提升认识。

三、合情推理的价值

细看近几年北京中考数学中的几何综合题, 得分率一直保持在40%左右, 本题成为学生数学成绩达到优秀水平的关键所在。题目本身来看, 它指引我们的学生做到在考试中学习, 在学习中完成考试, 在 “操作——观察——实验——猜想——验证”一系列的数学活动中, 启发学生由特殊到一般, 采取更为直接有效的方式获得突破, 得分通过。

1. 以2014 年北京中考数学第24 题几何综合为例

问题 (2) 中, 如图1, 借用题目中的对称性很容易连接AE构成等腰 △AED, 借用∠EAD=130° , 很容易得到∠ADF=25°

问题 (3) 与问题 (2) 相比条件变得更泛泛, 没有那么具体, 这样就会有一定的思维盲区, 这时候需要进行大胆的猜想, 并结合图形观察, 寻找突破口。问题 (2) 虽然不是常见的特殊角, 但相对于问题 (3) 较为具体, 这种情况下的线段AB, FE, FD之间的数量关系会是什么样子的呢? 如下图2:

由问题 (2) 知∠1=∠5=25°, ∠3=∠4=20°, 易得:∠2=45°, 即: ∠EFB=90°。那么, 求线段AB, FE, FD之间的数量关系, 利用对称性可转化为求线段AB, FB, FD之间的数量关系, 清楚地发现在Rt△FBD中, 线段BD, FB, FD存在勾股数的关系, 继而转化成, FB, FD之间的数量关系, 即: FB2+FD2=2AB2

借用这种特殊形式下推导的过程和经验, 进行下面的研究, 猜想图中一定有一些不变性, 这是笔者解题的关键。如图3:

通过作图和测量工具, 很容易推断, ∠EFB=90°, 在Rt△FBD中, 满足: FB2+FD22=BD2, 进而得到: FB2+FD2=2AB2

本题中, 如何推导∠EFB=90°成为接下的重点, 这样就会发现一个较为盲目和复杂的问题在 “ 操作——观察——实验——猜想——验证” 一系列活动中得到解释, 那些看似困难重重的考试题目, 却在大胆猜想、合情推理、稳步论证中解决了。

2. 以2015 年北京中考数学几何综合第28 题为例

在本题问题 (1) 中问到, 判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明。

分析: 作图 (如图4) , 首先, 利用直尺和量角器, 结合常见的两条线段的数量和位置关系, 可以猜测: AH=PH, AH⊥PH。先分析相等的情况, 在几何综合中证明两个线段相等的方法, 较为突出的方法是证明三角形全等, 很容易找到△ADH≌△HPQ, 接下来的问题就简单了。

问题 (2) 中 “ 若点P在线段CD的延长线上, 且∠AHQ=152°, 正方形ABCD的边长为1, 请写出求DP长的思路 (可以不写出计算结果) ”, 分析: 这时我们就应该萌生以下几个问题:

1. 看上去和问题 (1) 没有任何的关系, 条件上和结论上都差别很大, 那么他们会存在关系吗?

2. 这种情况下的AH与PH的数量关系与位置关系还会是AH=PH , AH⊥PH吗?

3. “可以不写出计算结果”, 这是在向我们传达一种最后结果的表达形式吗?

(如图5) 观察, 测量操作, 得出猜想。

借用例1的推理形式我们进行猜想:

猜想1: 问题 (1) 和问题 (2) 直观上没有关系, 但他们存在一定的逻辑上的不变性。

猜想2: AH=PH , AH⊥PH, 而且这是解决问题 (2) 的关键。

猜想3: “可以不写出计算结果”, 这是暗示我们最后的结果不好计算, 是一种非常规的表达形式, 而且这种表达形式和152°有关。

通过直尺和测量, 猜想2 是成立的。接下来我们就利用猜想2 进行推理, 由∠AHQ=152°, ∠AHP=90°, QH⊥BD, 容易得到: ∠1=28°; 因为∠3=45°, 所以∠2=17°; 在Rt△APD中, ∠5=45° , 易得: ∠4=28° , 即可得到: PD=tan28°。

整个推理需要严谨合理, 接下来要做的就是, 如何推导在问题 (2) 条件下的AH=PH , AH⊥PH, 根据例1 的方法, 我们可以参考问题 (1) 求解AH与PH的数量关系与位置关系的方法, 找全等三角形, 很容易发现△ADH≌△PQH, 这样本题基本解决, 剩下的过程就是通过演绎推理证明你的求解。

中考数学中的几何综合题是大多数学生的障碍, 从上述的两个实例可以发现获得此类问题的解答思路, 就是要求学生从思考题目的整体结构和试题背景立意出发, 放下沉思冥想, 动手比一比, 画一画, 将特殊情况演变到一般情况, 得出结论, 再进行严谨有效的推理论证。合情推理的实质是 “发现”, 而找寻这类题目突破口的关键, 正是需要我们学会用合情推理的眼光看待他, 发现它, 获得猜想, 得出结论。希望这能给立足于中考数学的教学一点思考和帮助。

参考文献

[1] (美) G·波利亚.李志尧, 王日爽, 李心灿译.《数学与猜想 (第二卷) -合情推理模式》[M].北京:科学出版社, 1981.

[2]丁祖元.初中数学课堂教学应当渗透一点合情推理[J].课程与教学, 2013 (6) :55-57.

[3]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准 (2011年版) 解读[M].北京师范大学出版社, 2012.

[4]刘晓玫.关于推理能力问题的几点思考[J].数学教育学报, 2002 (5) :54-56.

[5]舒盛平.初中数学合情推理的研究[D].云南师范大学硕士研究生毕业论文, 2013.

几何证明题(提升题)（大全）篇13

（2）若BE是△ADF的中位线，且BE＋FB＝6厘米，求DC＋AD＋AB的长．

图

已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，求证：AB＝2OF.A

当代数式x+3x+5的值为7时，代数式3x+9x－2的值是_________．

24如图所示，△ABC中，∠BCA=90°，D、E分别是AC、AB的中点，F在BC的延长线上，∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形

F C

D C

（第24题）

25如图，在△ABC中，ACB90，CD⊥AB于D，AE评分∠BAC交CD于F，EG⊥AB 于G.求证：四边形CEGF是菱形.(第25题)

24.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．

25.如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E, 直线BM、NC交于点F。(1)求证：AN=BM；

(2)求证： △CEF为等边三角形；

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.七、24.选择第（1）种。证明：延长DE到点F,使EF=DE；∵点E是BC中点；∴BE=CE；又∵∠BEF=∠CED(对顶角相等)；∴△BEF≌△CED(SAS)；∴BF=CD，∠ F=∠CDE；又∵∠BAE=∠CDE；∴∠BAE=∠F；∴BF=AB；∴AB=CD。

八、25.（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形；∴AC=MC,BC=NC, ∠ACM=60°,∠BCN=60°；∴∠MCN=180°-60°-60°=60°；∴∠ACN=∠ACM +∠MCN =60°+60°=120°, ∠BCM=∠BCN +∠MCN =60°+60°=120°；∴∠ACN=∠BCM；∴△ACN≌△MCB(SAS)；∴AN=BM.(2)证明：∵△ACN≌△MCB；∴∠ANC=∠MBC；又∵∠MCN=∠BCN=60°, BC=NC；∴△ECN≌△FCB(AAS)；∴EC=FC；又∵∠MCN=60°；∴△CEF为等边三角形。（3）补全图形如下：

第（1）小题的结论还成立，但第（2）小题的结论不成立。

24．（本小题10分）阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：

7

xy

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：

2xy3，消去y化简得：2x27x60，∵△＝49－48>0，∴x1，x2 ． ∴满足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

25.已知菱形ABCD的周长为20cm；，对角线AC + BD =14cm，求AC、BD的长； 26如图，在⊿ABC中，∠BAC =90，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形； A

27.如图，正方形ABCD中，过D做DE∥AC，∠ACE =30，CE交AD于点F，求证：AE = AF；AB

CDF已知：正方形ABCD，E为BC延长线上一点，AE交BD于F，交DC于G，M为GE中点,求证：CF⊥CM

2.如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E求证：(1)∠EAD=∠EDA；(2)DF∥AC；(3)∠EAC=∠B.3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形.，DE、AC相交于点F.求证：（1）点F为AC中点；

（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；

（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论

B D C E

4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE。

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；

（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

B用关系式．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45º。翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、30E。若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长。（2）CD：DE的值。

四、读句画图，并证明

22．已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF。

求证：DE=BF。

23．已知在⊿ABC中，∠BAC=90º，延长BA到点D，使AD=

2AB，点E、F分别为边BC、AC的中点。（1）求证：DF=BE。（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG。

五、论证题

24．如图，在等腰直角⊿ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC

上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为E。（1）试论证PE与BO的位置关系和大小关系。

（2）设AC=2a , AP=x , 四边形PBDE的面积为y , 试写出y与x

之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

25．如图，梯形ABCD，AB∥CD，AD=DC=CB，AE、BC的延长线相交于点G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F。

（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）。

（2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由。

六、观察——度量——证明

26．用两个全等的等边三角形⊿ABC、⊿ACD拼成菱形ABCD。把一个含60º角的三角尺

与这个菱形叠合，使三角尺的60º角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图1），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。

CE图2

几何证明题练习篇14

1.如图1，Rt△ABC中AB = AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD = EC，AM⊥BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F。试判断△DEF的形状，并加以证明。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。

①画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形； ②点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN，如图2)。

附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由。

AMD

EEC

图 16

图 1

图 17

图 16图 15

2．（1）如图13－1，操作：把正方形CGEF的对角线 CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题 A 的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得 7分；选取③完成证明得5分。

① DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE； A ② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图13－2），其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。（2）：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后

（如图13－

3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

图

13-2 D

图13－

33．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.MN的形状是否发生改变？若不变，①当点N在线段AD上时（如图2），△P求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.N

A A A D D D B

图1 A B

D F C

F C

图

2F C B

M 图3 D F C

（第3题）A

图5（备用）图4（备用）

4.如图4，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3……△PnAn－1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3……

Pn都在函数y

(x > 0)的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3……An－1An都在x轴上。x

⑴求A1、A2点的坐标；

⑵猜想An点的坐标(直接写出结果即可)

图 1

55.如图5-1，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写

3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形； ②∠BAC = 90°(如图17)

附加题：如图5-3，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系。

AM图 17

图 18

M图 16

6.O点是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形．

（1）如图，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形．（2）当O点移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由．（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．

7.如图，已知三角形ABD为⊙O内接正三角形，C为弧BD上任意一点，已知AC=a，求S四边形ABCD。

D到直线l的距B、C、8.如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、离分别为a、b、c、d．

（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．(2)现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．

9.10.已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；

（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

D C

图②

图①

11.如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.ABC60，12.（北京市石景山中考模拟试题）（1）如图1，四边形ABCD中，ABCB，ADC120，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，四边形ABCD中，ABBC，ABC60，若点P为四边形ABCD内一点，且APD120，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．

第12题图１图2 13.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC

相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；

(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；

(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所

有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由..B

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