高三立体几何证明题训练

高三立体几何证明题训练（共16篇）

高三立体几何证明题训练 篇1

高三数学 立体几何证明题训练

班级姓名

1、如图，在长方体

ABCDA1B1C1D1中，AA1ADa，AB2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．（Ⅰ）求证：DE平面BCE；（Ⅱ）求证：AF//平面BDE．

D

1F

E

C1

A1

C

B

A

ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且AA1面ABCD

ADAA1，F为棱AA1的中点，1的中点，M为线段BD

（1）求证：MF//面ABCD；（2）求证：MF面BDD1B1；

2、如图，已知棱柱，DAB60，

DC

1B1

M

AF

C

A3、如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中点，F为ED的中点。（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；（II）求证：CF//平面BAE。

4、如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。

（2）求三棱锥D

D1BC//平面C1DE；

（1）求证：BD15、如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BAABCD，E为PC的中点。PA＝AD＝AB＝1。

AD，CDAD,CD2AB,PA 底面

（1）证明：EB//平面PAD；（2）证明：BE平面PDC；（3）求三棱锥B-PDC的体积V。

6、如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，∠

1ABC = ∠BAD = 90，PA = BC =AD．(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面PCD；

2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB ？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

PB

C

D7、已知ABCD是矩形，AD4,AB2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA面ABCD.P

(1)证明：PF⊥FD；(2)在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD.A E

B

F

D

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1,M的中点。(Ⅰ)求三棱锥ABDF的体积；(Ⅱ)求证:AM//平面BDE；

8、如图，已知正方形

9、如图，矩形

是线段EF

为CE上的点，且

ABCD

中，AD平面ABE，AEEBBC2，F的体积.BF平面ACE。Ⅰ）求证：AE平面BCE；

（Ⅱ）求证；

AE//平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥CBGF

C

B10、如图，四棱锥P—ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．

(I)求证：平面PDC平面PAD；(II)求证：BE//平面PAD．

11、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=BC．（1）证明FO//平面CDE；（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．

P

E

D

C

A

B

A

D

C12、如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥C－BEP的体积．

13、如图，在矩形ABCD中，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′

（Ⅰ）求证：平面AC′D

⊥平面ABC′；

（Ⅱ）若AB=2，BC=1，求三棱锥C′—ABD的体积。

14、如图,在四棱锥P

ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD，且

PAPD

(Ⅰ)

AD，若E、F分别为PC、BD的中点。2

EF //平面PAD；(Ⅱ)求证:平面PDC平面PAD；

高三立体几何证明题训练 篇2

中学数学新课标将原初中平面几何中的部分内容, 移到高中作为选讲内容.其中有些是现行初中课标教材删减的内容, 如:直角三角形中的射影定理, 圆的弦切角、相交弦、切割线定理.查阅2009年实施课标高考的各省平面几何选作题, 发现初中生也都能做.

例1 (2009年广东文) 如图1, 点A、B、C是圆O上的点, 且AB=4, ∠ACB=30°, 则圆O的面积等于__.

解法1: (利用圆周角与圆心角的关系) 连结OA、OB, 因为∠ACB=30°, 所以∠AOB=60°, △AOB为等边三角形.因此圆O半径 r=OB=AB=4, 从而圆O的面积S=πr2=16π.

解法2: (用三角形中的正弦定理) 设△ABC外接圆圆O半径为 r, 则由正弦定理有

$2r=\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{4}{\sin 30°}=8$,

得 r=4.故圆O面积S=πr2=16π.

例2 (2009年广东理) 如图2, 点A、B、C是圆O上的点, 且AB=4, ∠ACB=45°, 则圆O的面积等于__.

简析:可参考例1的两种解法, 求得圆O的半径$r=2\sqrt{2}$, 则圆O面积为8π.

点评:以上两例, 在初中平面几何中也属于基本题.可见高考题中的题目也有简单题, 甚至连初中生也很容易做出.

例3 (2009年江苏卷) 如图3, 在四边形ABCD中, △ABC≌△BAD.求证:AB//CD.

证明1:由△ABC≌△BAD, 得∠ACB=∠BDA, 则A、B、C、D四点共圆, 因而∠CAB=∠CDB.

再由△ABC≌△BAD, 又得∠CAB=∠DBA.

所以∠CDB=∠DBA, 从而AB//CD.

证明2:同上证得A、B、C、D四点共圆, 得∠ADC+∠ABC=180°.

又由全等三角形得∠DAB=∠ABC,

则∠ADC+∠DAB=180°, 所以AB//CD.

点评:证明1和证明2的关键是利用了四点共圆, 则同弧所对的圆周角相等.再由内错角或同旁内角的方法证得两线平行.实际上, 本例还有多种证法, 如分别由两个全等三角形的顶点C、D作底边AB上的高, 由高相等, 立得结论;又如过对角线的交点作AB的垂线, 可证四边形关于这条垂线成轴对称.

例4 (2009年宁夏海南) 如图4, 已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H, ∠B=60°, F在AC上, 且AE=AF. (1) 证明:B、D、H、E四点共圆; (2) 证明:CE平分∠DEF.

证明: (1) 在△ABC中, 由∠B=60°, 知

∠BAC+∠ACB=120°.

又AD、CE是角平分线, 所以∠HAC+∠ACH=60°, 则∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EHD+∠B=180°, 所以B、D、H、E四点共圆.

(2) 由B、D、H、E四点共圆, 得∠AHE=∠B=60°.

再连结BH, 知BH平分∠B, 则

∠HED=∠HBD=30°.

又由AE=AF, AH平分∠EAF, 得AH⊥EF, 则∠HEF=30°.

可见∠HED=∠HEF=30°, 所以CE平分∠DEF.

点评:对于 (1) 小题, 也可利用三角形的外角关系来证∠BDH+∠BEH=180°.另外, (1) 小题的结论为 (2) 小题的证明提供了重要条件, 这是系列问中常见的情形.应注意在解证后一小题时, 不要忽视前一小题的结论.

例5 (2009年辽宁省) 如图5, 已知△ABC中, AB=AC, D是△ABC外接圆劣弧$\stackrel{⌢}{AC}$上的点 (不与点A, C重合) , 延长BD至E. (1) 求证:AD的延长线平分∠CDE; (2) 若∠BAC=30°, △ABC中BC边上的高为$2+\sqrt{3}$, 求△ABC外接圆的面积.

解: (1) 由条件知ABCD是圆内接四边形, 则∠CDF=∠ABC, ∠EDF=∠ADB=∠ACB.

又AB=AC, 知∠ABC=∠ACB, 故∠CDF=∠EDF, 从而AD的延长线DF平分∠CDE.

(2) 如图6, 设△ABC外接圆的圆心为O, 连结AO并延长交BC于H.由AB=AC, 知AH⊥BC.连结OC, 则∠OCA=∠OAC=15°.又∠ACB=75°, 则∠OCH=60°.设圆半径为 r, 则${\rm O}{\rm H}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$.由$r+\frac{\sqrt{3}}{2}r=2+\sqrt{3}$, 得 r=2.从而外接圆面积为4π.

评析:上述各例都与圆有关.这是因为圆可与全等三角形, 相似三角形, 四边形等知识交汇, 构建成综合性较强的试题, 从而能较全面地考查学生分析探究、综合归纳、逻辑推理能力.下面一组高考题供研习.

1. (2008年广东) 已知PA是圆O的切线, 切点为A, PA=2, AC是圆O的直径, PC与圆O交于点B, PB=1, 则圆O的半径R=__.

2. (2008年宁夏、海南) 如图7, 过圆O外一点M作它的一条切线, 切点为A, 过点A作直线AP垂直直线OM, 垂足为P. (1) 证明:OM·OP=OA2; (2) N为线段AP上一点, 直线NB垂直直线ON, 且交圆O于点B.过点B的切线交直线ON于K.证明:∠OKM=90°.

3. (2008年江苏) 如图8, 设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E, ∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EC·EB.

4. (2007年广东) 如图9, 圆O的直径AB=6, C为圆周上一点, BC=3.过C作圆的切线 l, 过A作 l 的垂线AD, AD分别与直线 l、圆交于点D、E, 则∠DAC=__, 线段AE的长为__.

5. (2007年宁夏、海南) 如图10, 已知AP是⊙O的切线, P为切点, AC是⊙O的割线, 与⊙O交于B、C两点, 圆心O在∠PAC内部, 点M是BC的中点. (1) 证明A, P, O, M四点共圆; (2) 求∠OAM+∠APM的大小.

练习题提示与答案:

1.连AB, 用特殊直角三角形;也可用切割线定理.答:$\sqrt{3}.$

2.用直角三角形中射影定理.

3.用切割线定理.

4.用Rt△AEB≌Rt△BAC, 30°, 3.

5. (1) 连OP、OM, 用对角互补; (2) 90°.

一道几何证明题思路剖析 篇3

从命题者提供答案看，是由条件BA=BA′联想到等腰三角形，进而想到证明BD为底边AA′的高，思路是顺畅的，也无可厚非，但证明用了3次三角形相似，显然超过了课程标准要求.这促使笔者深思、细研，思索着有没有其它解法？

解题是由条件出发，运用已有定义、定理、法则，通过运算、推理得到结论的过程.因此，题干条件是什么、能得到什么结论、需要什么条件、条件与结论之间用什么方法打通、有哪些思路，这是解题者必须思考的问题.那么该题有其它通性通法吗？

结合本题，结论是证明D为AA′的中点，那么，遇到中点问题（已知中点或证明中点）我们还可以想到什么呢？从另一角度考虑，是否可以构造“8”字型或“A”字型或其他思路，这难道不是通性通法呢？

3解题反思

3.1关注解题通法，增强学生的解题能力

优秀的几何题一般存在多种解法，而辅助线通常是解决问题的桥梁，巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”，与标准答案不同的上述几种解法，其巧妙之处在于添加了辅助线，辅助线使未知与已知有了更紧密的联系，无需通过证明3次相似，证明过程大为简洁，体现了数学方法的多样性，同时也从侧面说明这是一道难得的好题，是训练学生数学思维的好素材.由此可见，通过一题多解，可以加深和巩固学生所学知识，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系，掌握各部分知识的转化关系，从而达到培养思维广阔性的目的.

3.2重视学会解题，拓展学生的思维空间

在解题教学中，题目是载体，解题是过程，方法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的，因此，解题教学切忌就题论题，片面追求容量，忽视教学功能的发掘、开发.引导学生学会解题层面的回顾与反思：如解题中用到了哪些知识？解题中用到了哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法、更一般的方法或更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？

3.3关注模型思想，强化学生的识模能力

拿到一道试题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一主题、哪一章节？与这一章节的哪个类型的问题比较接近？解决这个类型的问题有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了，这就是解题中的模式识别.运用模式识别可以简洁回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？我们说就从辨认题型模式入手，向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进.正如本文中所提到的构造“A字型”、“8字型”或“共点双垂直型”等基本模型，因此在平时的教学中，教师要引导学生从习题中提炼出常用的基本模型，再推广模型，并通过典型问题帮助学生认识模、用模，从而强化学生对基本模型的理解.

参考文献

[1]钱德春.对数学解题“繁”与“简”的辨析与思考[J].中学数学杂志，2015

（10）：17-21

[2]沈岳夫.对一道“新定义”型折叠题的解法探析[J].数理化学习（初中版），2015（11）：2-3

立体几何证明大题答案 篇4

1．（本题满分9分）

证明：

（1）AEEDEF//DCAFFCEF平面BCDEF//平面BCD

DC平面BCD

…………4分

（2）AD平面BCDBCADBC平面BCD………9分 BCCDBC平面ACD

ADCDD

1.证明：过A作AD⊥PB于D，由平面PAB⊥平面PBC，得AD⊥平面PBC，故AD

⊥BC，又BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB2、证明：（1）连结A1C1，设AC11B1D1O1

连结AO1， ABCDA1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形

AC11AC11AC且 AC

又O1,O分别是AC1C1AO且O1C1AO 11,AC的中点，O

AOC1O1是平行四边形

C1OAO1,AO1面AB1D1，C1O面AB1D1

C1O面AB1D1

（2）CC1面A1B1C1D1CC!1B1D

又AC11B1D1，B1D1面A1C1C

即ACB1D11

同理可证ACAB1，1

又D1B1AB1B1

面AB1D1AC1

16.（满分12分）如图，在三棱锥S-ABC中，SABSACACB90，（Ⅰ）证明SC⊥BC；（Ⅱ）若已知AC2,BC,SB29, 求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小。

解：（Ⅰ）证明: ∵SABSAC90 ∴SA⊥AB,SA⊥AC 又AB AC=A∴SA⊥平面ABC …………2分

又BC平面ABC∴BC⊥SA；……………3分

又ACB90即BCAC…………………4分 又AC SA=A∴BC⊥平面SAC………5分

又SC平面SAC∴SC⊥BC………………6分

（Ⅱ）解： ∵SC⊥BCAC⊥BC………………7分 ∴SCA是侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角………………………8分 在Rt

SCB中，由BCSB

初一几何证明题 篇5

1．过一点

2．过一点，有且只有直线与这条直线平行；

3．两条直线相交的，它们的交点叫做；4．直线外一点与直线上各点连接的中，最短；A B 5．如果C[图1]6．如图1，AB、CD相交于O点，OE⊥CD，∠1和∠2叫做，∠1和∠3叫做，∠1和∠4叫做，∠2和∠3叫做；A7．如图2，AC⊥BC，CD⊥AB，B点到AC的距离是A点到BC的距离是，C点到AB的距离是D43

8．如图3，∠1=110°，∠2=75°，∠3=110°，∠4=；CB

二．判断题[图2][图3] 1．有一条公共边的两个角是邻补角；（）2．不相交的两条直线叫做平行线；（）

3．垂直于同一直线的两条直线平行；（）4．命题都是正确的；（）

5．命题都是由题设和结论两部分组成（）6．一个角的邻补角有两个；（）三．选择题

1．下列命题中是真命题的是（）A、相等的角是对顶角B、如果a⊥b，a⊥c，那

么b⊥cC、互为补角的两个角一定是邻补角D、如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c 2.下列语句中不是命题的是（）A、过直线AB外一点C作AB的平行线CF B、任意两个奇数之和是偶数C、同旁内角互补，则两直线平行D、两个角互为

补角，与这两个角所在位置无关A 3．如图4，已知∠1=∠2，若要∠3=∠4，则需（）DA、∠1=∠3B、∠2=∠3C、∠1=∠4D、AB∥CDC [图4] 4．将命题“同角的补角相等”改写成“如果„„，那么„„”的形式，正确的是（）

A．如果同角的补角，那么相等B．如果两个角是同一个角，那么它们的补角相等 C．如果有一个角，那么它们的补角相等D．如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等 四．解答下列各题 ：P 1.如图5，能表示点到直线（或线段）的距离的线段QAC 有、、；ABF 2.如图6，直线AB、CD分别和EF相交，已知AB∥CD，OREBBA平分∠CBE，∠CBF=∠DFE，与∠D相等的角有∠[图5][图6]D∠、∠、∠、∠等五个。C 五．证明题E[图8]如图7，已知：BE平分∠ABC，∠1=∠3。求证：DE∥BCB[图7]CADB

六．填空题

1．过一点可以画条直线，过两点可以画 2．在图8中，共有条线段，共有个锐角，个直角，∠A的余角是； 3．AB=3.8cm，延长线段AB到C，使BC=1cm，再反向延长AB到D，使AD=3cm，E是AD中点，F是CD的中点，则EF=cm ；

4．35.56°=度 分秒；105°45′15″—48°37′26 ″ 5．如图9，三角形ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，AD与BE交于F点，则图中共有E 6．如图10，图中共有条射线，七．计算题BDC 1．互补的两个角的比是1：2，求这两个角各是多少度？[图9]

A2．互余的两角的差为15°，小角的补角比大角的补角大多少？E

BDC[图10] 1．如图11，AOB是一条直线，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC=34°56′求∠BOD的度数；

DC 八．画图题。1.已知∠α，画出它的余角和补角，并表示出来AOB

[图11]北 2.已知∠α和∠β，画一个角，使它等于2∠α—∠β北偏西20

几何证明题 篇6

1.在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的.长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O?为什么?

答题要求:请写出详细的证明过程，越详细越好.

ED平行且等于1/2BC

取MN为BO,OC中点

则MN平行且等于1/2BC

得到ED平行且等于MN，则EDNM是平行四边形

则OD=OM,又M为BO中点，显然BO=2OD

一定过

假设BC中线不经过O点，而与BD交与O

同理可证AO=2OG

再可由平行四边形定理得到O与O重合

所以必过O点

2.在直角梯形ABCD中，角B=角C=90度，AB=BC，M为BC边上一点。且角DMC=45度

求证：AD=AM

(1)几何证明题,首先画图

哎没图不好说啊

就空说吧 你在纸上画图

先看已知条件,从已知条件得出直观的结论.

因为M是BC边上一点,在三角形DMC中,角DMC=45度,角MCD=角C=90度,可以知道角MDC=45度,则三角形DMC是个等腰直角三角形,MC=CD.

又AB=BC,M是BC边上一点,MC长度小于BC,所以知道这个直角梯形是以CD为上底,AB为下底,图形先画对

接下来求证

要证AD=AM,从已知条件中得知,MC=CD,

则作一条辅助线就可得证

连接AC

∵AB=BC,角B=90度∴三角形ABC是个等腰直角三角形

∴角BCA=45度

∴角DCA=角BCD-角BCA=45度=角BCA

所以三角形AMC≌三角形ADC(MC=CD,角DCA=角BCA,AC=AC――边角边)

所以AD=AM得证

(2)延长CD至F点~CF=AB 连接AF~~因AB=BC ~SO ~ABCF是正方形~剩下的就容易了~只要证AFD~和ABM ~是一样的3角形就OK 了~~哎~快没碰几何了~那些专业点的词我都忘了~这题应该是这样吧 ~不知道有没错

回答者： fenixkingyu - 试用期 一级 -8-7 19:23

上楼的有两处错误:

1.描述错误,ABCF不是四边形,ABFC才是.

2.按照条件并不能证明ABFC是正方形.

注意:要证明四边形是正方形,必须证明2个问题:

1.该四边形是矩形;2.该四边形是菱形。

(3)把图画出来就好解了。我是按自己画的图解的，楼主画梯形下面是BA，上面是CD，然后在按我的文字添加辅助线就行了，度那个圆圈打不出来，我就没写了。

证明：连接MD，AM，连接AC并交MD于E

因为 角DMC=45，角C=90

所以 三角形MCD为等边直角三角形，既角CDM=45

又 角B=90 AB=BC

所以 角CAB=45

由 梯形上下两边平行，则内对角相加为180度

因 角CAB 角DMB=45+45=90

所以 角EDA 角DAE=90

既 AC垂直于MD

在等腰直角三角形CDM中则有ME=ED，且AC垂直于MD

所以 AE是三角形AMD的中垂线

高三立体几何证明题训练 篇7

1构造等边三角形证明不等式

例1设x, y, z是介于0与1之间的实数.求证:x (1-z) +y (1-x) +z (1-y) <1.

分析本题直接证明非常困难, 考虑到左边是两个因式乘积之和的形式, 而两因式乘积通常与几何中求图形面积的问题有关, 因此考虑构造等边三角形或矩形来解.

解构造如图1所示的边长为1的等边三 角形ABC, 分别在AB上取AD=x, BE=y, CF=z, 则BD=1-x, CE=1-y, AF=1-z.连DE, EF, FD, 则

2构造圆形证明不等式

例2已知a, b, m都是正数, 且a<b.求证:a+m/b+m>a/b.

分析待证的不等式可转化为a (b+m) <b (a+m) .若令a (b+m) =bx, 其中x<a+m, 这就使我们联想到相交弦定理, 因此, 可构造圆来解决.

证明如图2, 以a+b+m为直径作⊙O, 在直径AB上取点P, 使AP=a, PB=b+m.因为b>a, 所以P不是圆心, 过P做弦CD, 使PC=b.设PD=x, 由相交弦定理得

3构造长方形证明不等式

例3已知a, b, c, d都是正有理数, 求证:

分析此题初看, 似乎无从下手, 但仔细观察其整体结构与三角形中三边间关系相似, 再观察被开方数结构, 容易联想到勾股定理, 它们都是直角三角形的斜边, 凑在一起就构造出矩形.

4构造正方形证明不等式

例4已知x, y, z均为正数, 求证:

5构造梯形证明不等式

例5已知a, b, c, d均为正数, 求证:

6构造长方体证明不等式

例6已知:a>0, b>c, c>0, , 求证

分析由条件a2+b2+c2=1与长方体对角线的性质12=a2+b2+c2相似, 不妨构造出一个长方体, 其长、宽、高分别为a, b, c, 加以证明.

7构造正方体证明不等式

例7已知锐角α, β, γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1, 求证:

证明如图7, 由已知条件构造正方体ABCD-A1B1C1D1, 使∠C1AD =α, ∠C1AB=β, ∠C1AA1=γ, 又设AD=a, AB=b, AA1=c, 则易证

8构造四面体证明不等式

例8已知x, y, z为正数, 求证:

分析注意到x2+xy+y2=x2+y2-2xycos120°, 于是我们可以把看成以x, y为两边, 夹角为120°的三角形的第三边, 从而得到下面证法.

证明如图8, 在平面上任取点O, 作∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°, 截OA=x, OB=y, OC=z, 连AB, BC, CA, 则三边的长分别是由AB+AC>BC就得要证的不等式.

综上所述可知:注意构造几何图形证明代数不等式的专题研究, 符合新课程改革关于“……让学生的思维活跃起来”的理念要求, 有利于提高学生的专题总结水平, 有利于学生在研究总结的过程中, 拓展视野, 启迪思维, 有利于学生系统灵活地掌握所学的知识内容, 对于帮助学生理解课本内容, 培养探索精神和创新意识, 提高解题水平和发展思维能力, 均颇有益处.

练习1设x, y, z∈R+, 求证:

提示构造如图9所示的四面体, 设在三面 体V-ABC中, VA=x, VB=y, VC=z, 且∠AVB= ∠BVC=∠CVA=60°, 由余弦定理分别求得:

在△ABC中, 由AB+BC>AC即得所证.

练习2已知a, b, x, y均为正实数, 且a2+b2=1, x2+y2=1, 求证:ax+by≤1.

提示构造如图10所示的圆, 在直径AB=1的两侧任作Rt△ABC和Rt△ADB, 使AC=a, BC=b, BD=x, AD=y.由勾股定理, 知a, b, x, y满足题设条件, 根据托勒密定理, 得AC·BD+BC·AD=AB·CD, 因为CD≤AB=1所以ax+by≤1.

练习5同例2, 略.

提示构造如图13所示的Rt△DEC和Rt△ABC, 显然n>m, 所以a+m/b+n<a+m/b+m, 又因为a/b=a+m/b+n, 所以a/b<a+m/b+m.

练习6已知a, b, c都是正实数, 求证:

练习8设a, b, c, d都是正数, 满足a/b=c/d, 且a最大, 求证:a+d>b+c.

提示如图16, 取线段AC=a, 在AC上取B点, 使AB=d, 以BC为直径作圆O, 不妨设b≥c, 作割线AD=b, 交圆E, 作OF⊥AD.因为AC·AB=AE·AD, 即ad=b·AE, 所以AE=c, 又

参考文献

初中数学几何证明题教学探讨 篇8

关键词：初中数学；几何证明题；提高质效

提及初中数学几何证明题，不少学生就头皮发麻，找不到思路，面对各种各样的图形和线条就犯晕，几乎束手无策，更不用说作出精确的辅助线了；有的学生则是风风火火地写了满满一张纸，仔细一看，逻辑混乱，不知所云；还有的学生步骤简单，跳跃幅度大，因果关系没有整理清晰，关键步骤没有写清楚便匆匆得到要证明的结论，多多少少有些滥竽充数的嫌疑，自然也就拿不到证明题的完整分数了。 对于数学教师来讲，初中几何证明题也是教学上的一大难点，似乎在教学中花了不少的力气，但还是有不少的学生对几何证明题的掌握程度无法令人满意，达不到新一轮课程改革的基本要求。 如何針对初中数学几何证明题的特点，调动学生的主观能动性，提高几何证明题的教学效果，我结合个人教学实际，谈几点粗浅看法。

一、尊重教材

苏教版初中数学几何教材中，有几个重点环节，如平行线、轴对称图形、中心对称图形、相似图形等，这些章节的知识几乎无一例外都有证明题可供考查。 与这些知识点相关的证明题，一般来说难度不小，对于刚刚接触几何知识的初中生来讲，是一个很大的挑战。 要抓好这部分证明题的教学，我认为首先就是要尊重教材。

教材是一切教学工作的根源。 教材中有很多经典的例题，这些例题几乎可以涵盖初中几何所有的知识点，可以说，把教材上的例题讲通讲透，学生能完全消化教材的例题，应该说学生就可以解决百分之八十的基本证明题。 现实状况下，有些几何教师对证明题的讲解存在认识的误区，认为没有什么值得仔细讲、反复讲的，尽快讲完直接进入课后练习。 这种教学方式是不科学的，也是不合理的，我认为教材上的例题，至少要到边到角地讲三遍，每一遍都有不同的任务，第一遍是让学生大致了解题目要求证明的结论和题目提供的条件；第二遍是让学生明白如何通过给定的条件和现有的定理逐步得到要证明的结论，第三遍则是让学生做好细节上的处理工作。

二、做好细节的规范书写

初中几何证明题有着严谨的格式要求，证明题的书写还需要思路明确、步骤清晰、过程精练，这样的证明过程才能得到更高的评价。 教学实际中，通常遇到学生证明步骤烦琐，证明格式不规范，箭头指来指去，看得头晕眼花，不少数学老师对此大为光火。 其实，更多的时候，我们要反思自己在教学中是否做得到位，做得细心。

有的数学教师对于证明题示例的细节上把握不够，他们认为只要我能把证明思路、关键的步骤给学生演示一下就够了，至于其他的地方，没有必要过于苛求。 比如在板书的过程中，有的为了赶进度，图简单省事，一些看似不重要的证明步骤一笔带过，有的书写不够规范，有的字迹过于潦草，黑板上箭头指来指去，如同一幅军事作战指挥图，学生看起来很累，也很容易产生歧义。

如果教师是这种教学心态，那么也无法搞好几何证明题教学工作的，首先几何证明题本身就是一个严谨、严密的逻辑推理过程，没有做好细节自然就漏洞百出，所以，要充分认识到细节的重要性，为学生做好细节示范。 其次，学高为师，身正为范，这也是对教师教学工作的一个基本要求。 如果教学时间不是很充足，宁愿放弃示范也不能匆匆了事，一定要把握细节，注意火候，只有我们自己做得足够好，才能理直气壮对学生提要求。

三、抓好强化训练

初中几何证明题的教学，离不开强化训练。 这种强化训练既要训练学生的逻辑思维，还要训练学生的答题规范性。 比如，在三角形、多边形和圆这些章节的几何证明题中，有不少的题目要求学生作辅助线，不然难以解答。

要能准确作出辅助线，并熟练地运用各种定理来证明几何题，就需要平时进行一定量的强化训练。 这种强化训练一定不能走入了题海的误区，训练的题目最好是由老师提前把关，量不能太大、太复杂让学生产生畏难的心理，也不能过于简单，我认为以书本上的例题为参考，适当提高点难度为宜。 比如，我们可以在一堂课专门训练如何作辅助线，只要作出了辅助线，我们不要求学生完完整整地书写出整个证明过程，但要注意作出辅助线后续的工作，防止学生误打误撞，只要求他们说出证明的思路就可以进入下一题了。

通过一定量的题目进行强化训练，学生面对各种看似复杂的图形问题，能凭着直觉作出精确的辅助线，作出了辅助线之后解题的思路也就渐渐呈现出来，能较大幅度提高证明题的解题效率。

总而言之，初中数学几何证明题是整个初中数学教学的一大难点，作为数学教师要抓好教材例题的讲解，教学上遇到困难及时带领学生回归教材，多多少少能获得启发和提示。 同时也要端正教学心态，在板书和示范上尽量做细做实，切忌一笔带过，草草了事。最后要以一定量的题目及时强化训练，帮助学生牢固掌握知识点和定理的运用，这样才能提高几何证明题的教学质效。

初一几何证明题练习 篇9

1、如图，∠B=∠C，AB∥EF，试说明：∠BGF=∠C。（6

解：∵ ∠B=∠C

∴ AB∥CD（）又∵ AB∥EF（）

D

∴

∥）∴ ∠BGF=∠C（）

2、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，FG⊥AB于G，ED//BC，试说明

∠1=∠2，以下是证明过程，请填空：（8分）解：∵CD⊥AB，FG⊥AB

∴∠CDB=∠=90°(垂直定义)

∴_____//_____(∴∠2=∠3(又∵DE//BC

∴∠1=∠2()

3、已知：如图，∠1+∠2=180°，∴∠=∠3(试判断AB、CD有何位置关系？并说明理由。（8分）

4、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B = 30°，你能算出∠EAD、∠

DAC、∠C的度数吗？（7分）

A

EDC5、如图，已知EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。

解：∵EF∥AD（已知）

∴∠2=（又∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠3（等量替换）∴AB∥（o））

∴∠BAC+=180（o）

∵∠BAC=70（已知）∴∠AGD=°

6、如图，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系。

解：AB∥CD，理由如下：

过点E作∠BEF=∠B ∴AB∥EF（）

∵∠BED=∠B+∠D（已知）且∠BED=∠BEF+∠FED ∴∠FED=∠D ∴CD∥EF（∴AB∥CD（7、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度数。（6分）

8、如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。（6分）））

9、已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整：（1）∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥______

（2）∵∠3=∠5（已知），∴AB∥______,（_______________________________）（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴_______∥________,（________________________________）

10、已知，如图14，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°。（1）∵∠1=∠ABC(已知)

∴AD∥()（2）∵∠3=∠5(已知)

∴AB∥()（3）∵∠2=∠4(已知)

∴∥()（4）∵∠1=∠ADC(已知)

∴∥()（5）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知）

∴∥()

11、如图15，（1）∵∠（已知）

∴AC∥ED()

（2）∵∠2=(已知)∴AC∥ED()（3）∵∠A+=180°(已知)∴AB∥FD()（4）∵AB∥(已知)∴∠2+∠AED=180°()

（5）∵AC∥(已知)∴∠C=∠1()B

A 图1

C

DD 图1

5F

B

C12、（4分）已知：如图15，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2。求证：BE∥CF。

证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC（已知）

∴∠1＋∠3＝90º，∠2＋∠4＝90º（）∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余

又∵∠1＝∠2（）

∵∠3＝∠4（）∴BE∥CF（）

13、（9分）已知：如图16，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠D。

图1

5证明：∵∠1＝∠2（已知）

∴）∴∠BAD＋∠B＝）又∵AB∥CD（已知）

∴180º（）∴∠B＝∠D（）

图1614、在空格内填上推理的理由

（1）如图，已知AB//DE，∠B=∠E，求证：BC//EF。

证明： AB//DE（）

B

E

O

C F

∴ ∠B=（）

又∠B=∠E（）

∴=（等量代换）

∴//（）

（2）已知，如图，∠1=120°，∠2=120°，求证：AB//CD。

证明：∠1=120°，∠2=120°（）∴∠1=∠2（）

又=（）

∴∠1=∠3（）

∴AB//CD（）（3）已知，如图，AB//CD，BC//AD，∠3=∠4。求证：∠1=∠

2证明：AB//CD（）

A3 C

D

A

B

∴=（）

又 BC//AD（）

∴=（）

又∠3=∠4（）

∴∠1=∠2（）

15、（1）如图12，根据图形填空：直线a、b被直线c所截（即直线c与直线a、b都相交），已知a∥b，若

∠1＝120°，则∠2的度数＝__________，若∠1=3∠2，则∠1的度数=___________；如图13中，已知a∥b，且∠1+2∠2=1500，则∠1+∠2=_________0

c a

c

A

a

C

B G

E

图1

4F D

（2）如图14

2b

b

图1

3图12

∵∠B＝∠______；∴AB∥CD（________________________）； ∵∠DGF＝______；∴CD∥EF（________________________）； ∵AB∥EF；∴∠B＋______＝180°（________________________）；（3）已知：如图15，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF。证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）∴==90°（）∵∠1=∠2（已知）∴BE∥CF（）

（4）已知：如图16，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角。求证：∠ACD=∠B。证明：∵AC⊥BC（已知）∴∠ACB=90°（）∴∠BCD是∠DCA的余角

∵∠BCD是∠B的余角（已知）∴∠ACD=∠B（）（5）已知，如图17，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD∥BE。

证明：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠（）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=（）

∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（）=∴∠3=（）∴AD∥BE（）

16、已知，如图，∠1＝∠2，∠A＝∠F。求证：∠C＝∠D。证明：∵∠1＝∠2（已知）

∠1＝∠3（）

∴∠2＝∠（）∴BD∥）∴∠4＝∠C（）又∵∠A＝

∴AC∥）∴＝∠D（）∴∠C＝∠D（）

17、已知，如图，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，求证：FG∥BC。

证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知）

∴∠BED＝900，∠BFC＝900（）∴＝（）∴ED∥（）∴＝∠BCF（）又∵∠1＝∠2（已知）

∴∠2＝（）

∴FG∥BC（）

图15

E C D

D

图16

A

D 4

C

图17

E

18．如图，已知AB//CD，AE//CF，求证：BAEDCF。

19．如图，AB//CD，AE平分BAD，CD与AE相交于F,CFEE。求证：

CBE

A

FD

AD//BC。



CM20．如图，已知AB//CD，B40，CN是BCE的平分线，CMCN，求B

A

D

F

B

C

E的度数。

A

B

N

M

C

D

初一数学几何证明题 篇10

1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z

证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.过F点分别作AC,BC上的高交于p,Q点.根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=Fp,EM=EN.过D点做BC上的高交BC于O点.过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.则X=DO,Y=HY,Z=DJ.因为D是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD

同理可证Fp=2DJ。

又因为FQ=Fp,EM=EN.FQ=2DJ，EN=2HD。

又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO=FQ+EN

又因为

FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。

因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。

当∠BON=108°时。BM=CN还成立

证明;如图5连结BD、CE.在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ΔCDE

∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠CEN

∵∠CDE=∠DEC=108°,∴∠BDM=∠CEN

∵∠OBC+∠ECD=108°,∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°,∴∠DBM=∠ECN。

谈几何证明题的一题多证 篇11

例：试证两边上的高相等的三角形是等腰三角形。

已知：在€%=ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB且BD=CE。

求证：€%=ABC是等腰三角形。

分析：要证三角形是等腰三角形，可证其两内角相等，要证两内角相等，可证含此两角的某两个三角形全等，这是一条思路；因为所给条件是两高相等，所以用面积公式证明更为简捷，这是另一条思路；或者根据条件中的直角三角形，用三角函数或勾股定理来证明，这又是一条思路；如发现四点共圆，则运用等弦对等弧，等弦对等圆周角，也能证明此题；如果注意到所给条件特殊，那么用解析法也易证明。

初二上几何证明题011 篇12

1．C如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，试说明：

(1)∠ECD＝60°；(2)CE＝AC+DC．

E

BCD

2．C如图所示，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连结AD、BE．求∠BAD+∠CBE的度数（要有说理的过程）． A

DCB

E3．如图，C为AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交DC于点M，BD交EC于点N． 求证：⑴AE＝BD；⑵CM＝CN．D E

M ABC

4．C如图，已知C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE交CD于点G，BD交CE于点H．求证：GH∥AB．

E

D

CB A

5．C如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD边上的一点，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC． 求证：DE＝EC． AD

E

BC

6．C如上图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AD＋BC＝AB．

初二上几何证明题004 篇13

1．C如图，BD是△ABC的一条角平分线，AE∥BD，交CB的延长线于点E，F为AE的中点． 求证：BD⊥BF．

A

D

EBC

2．C如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC．求证：AC垂直平分BD．

A

BD

C

3．C如图，已知AE∥BF，AE＝BF，AC＝BD．你能判断ED与CF相等吗？请说明你的理由．

E

DB

AC

4．C如图，AB＝CD，AE＝FD，BF＝EC．求证：AF＝ED． F B

A

E C

5．C如图，PA＝PB，PC是△PAB的中线，∠A＝55°，求：∠B的度数．

A

C6．C如图：在△ABC中，AD = AE，点D、E在BC上，CE = BD，写出AB = AC的说理过程．A

高三立体几何证明题训练 篇14

1-1. (改编)已知M是等腰△ABC底边BC上的任意一点,求证:|AB|2=|AM|2+|BM|•|MC|.

1-2. (改编)已知△ABC中,M是BC边上任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AM|2+|BM|•|MC|,求证:△ABC是等腰三角形.

2. (人教B版P71例4)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶点D的坐标.

2-1. (改编)已知点M(a,b)关于x轴的对称点为N,点M关于y轴的对称点为P,则|PN|的长度为()

A. 2B.

C. 0D. 2a

2-2. (改编)已知A(1,2),B(4,-3),在y轴上存在一点Q,使|QA|-|QB|最小,并求其最小值.

2-3. (改编)求y=+的最小值.

3. (人教B版P91习题2-2B组第1题)三条直线l1,l2,l3的位置如图所示,它们的斜率分别为k1,k2,k3,试比较k1,k2,k3的大小.

3-1. (改编)已知过点A(1,2)和点B(a,3)的直线分别与x轴的负半轴和y轴的正半轴相交,则a的取值范围是__________.

3-2. (改编)已知实数x,y满足y=-2x+8,当2≤x≤3时,求的最大值和最小值.

3-3. (改编)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+的值等于___________.

4. (人教B版P91习题2-2 B组第6题)(1) 已知△ABC的三个顶点坐标为A(0,5),B(1,-2),C(-6,4),求BC边上的中线所在直线的方程;

(2) 已知A(-1,2),B(2,1),C(0,4),求三条高所在直线的方程.

4-1. (改编)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).

(1) 若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程:

(2) 若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.

4-2. (改编)在平面直角坐标系xOy中,等腰△ABC的顶点A的坐标为(1,1),点B,C都在坐标轴上.

(1) 举出满足上述条件的△ABC的例子;

(2) 在解决问题(1)的过程中,你是否发现△ABC的规律?

5. (人教B版P92习题2-2B组第11题)光线从点M(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后,被x轴反射,求反射光线所在直线的方程.

5-1. (改编)一条光线从点M(5,3)射出后,被直线l反射,入射光线与l的交点为,-,求反射光线所在直线的方程.

5-2. (改编)以A(4,5)为一个顶点,能否在x轴上找一点B,另在直线l:2x-y+2=0上找一点C,构成△ABC,使其周长最小?若存在,求出这个最小值;若不存在,说明理由.

6. (人教A版P117习题3-3B组第4题)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,求a的值.

6-1. (改编)两条相互平行的直线分别过A(6,2),B(-3,-1),且各自绕着A,B旋转,如果两平行线间的距离为d.

(1) 求d的取值范围;

(2) 求当d取最大值时,两直线的方程.

6-2. (改编)已知点A(a,6)到直线y=x-的距离d分别取下列各值时,求a的值.(1) d=4;(2) d>4.

6-3. (改编)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d,则d的取值范围是()

A. 0≤d

C. d>D. d≥

7. (人教B版P94例4)求过点A(6,0),B(1,5)且圆心在直线l:2x-7y+8=0上的圆的方程.

7-1. (改编)圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于点A,B,其圆心为P,若∠APB=90°,则实数c的值为()

A. -3 B. 3

C. 2D. 8

7-2. (改编)与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是__________.

8. (人教B版P98例3)已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)距离之比为的点的轨迹,求这个曲线的方程并画出曲线.

8-1. (改编)由一点Q到一条曲线的距离定义为QR的最短距离(R是该曲线上的动点).有一动点P,它到圆周x2+y2=1的距离等于它到直线x=2的距离,则点P的轨迹方程是()

A. y2=9-6xB. 4x2+4y2=9

C. y2=3-2xD. x=

8-2. (改编)到两定点O,A距离比为常数k(k>0)的动点M的轨迹方程是什么?

8-3. (改编)已知动点P(x,y)满足x2+y2-|x|-|y|=0,O为坐标原点,则|PO|的取值范围是___________.

8-4. (改编)已知AB是圆O的直径,且|AB|=2a,点M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP|=|MN|,求点P的轨迹方程.

9. (人教B版P100例2)已知圆的方程是x2+y2=r2,求过圆上一点M(x,y)的切线方程.

9-1. (改编)已知圆的方程是x2+y2=r2,过圆外一点M(x0,y0)作圆的的切线MA,MB,切点分别为A,B,求直线AB的方程.

10. (人教B版P113第14题)已知一条直线过点P(2,1)且与圆x2+y2相交,截得弦长为2,求这条直线的方程.

10-1. (改编)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB的长为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

10-2. (改编)已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx,且l与圆C相交于P,Q两点,M(0,b),且MP⊥MQ.

(1) 当b=1时,求k的值;

(2) 当b∈1,时,求的k取值范围.

1-1. 取BC的中点O为坐标原点,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.设出A,B,C的坐标,利用距离公式求证.

1-2. 作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(c,0),D(d,0).利用距离公式列式求证.

2-1. A. 2-2. P0,,最小值为.

2-3. .数形结合,转化为点P(x,0)到A(0,1)和B(2,2)的距离之和最小.

3-1. ,+∞. 3-2. 将看作点(x,y)与(0,0)连线的斜率,则可得最大值是2,最小值是.

3-3. .利用三点共线性质并灵活处理数据.

4-1. (1) 3x+y=0,x+y+2=0;(2) (-∞,-1].

4-2. (1) 取B(0,1),C(1,0)或B(0,0),C(2,0)或B(0,0),C(0,2)等.

(2) 任意取定一个d(d≥1),以A为圆心,d为半径画弧与坐标轴相交(或相切),将交点适当地标为B和C,可得.

5-1. x-3y-10=0.

5-2. 分别求A关于x轴,直线l的对称点A′,A″,连结A′,A″交于x轴,l于点B,C,此时|AC|+|BC|+|AB|=|A′A″|

=4.

几何证明题及其答案1 篇15

（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG：GC的值．

A

B

例2：已知如图2-4-28，BE是⊙O的走私过圆上一点作⊙O的切线交EB的延长线于P．过E点作ED∥AP交⊙O于D，连结DB并延长交PA于C，连结AB、AD．

（1）求证：ABPBBD．

（2）若PA=10，PB=5，求AB和CD的长．

例3：如图2-4-29，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，圆心O1在2E

图2-4-27

E

P

图2-4-28

图2-4-28

⊙O2上，连心线O1O2与⊙O1交于点C、D，与⊙O2交于点E，与AB交于点H，连结AE．

（1）求证：AE为⊙O1的切线．

（2）若⊙O1的半径r=1，⊙O2的半径R

3，求公共弦AB的长．

2（3）取HB的中点F，连结O1F，并延长与⊙O2相交于点G，连结EG，求EG的长

．

例4如图2-4-30，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线交于点D．（1）求证：DA=DC

（2）当DF：EF=1：8且

ABAC的值．

（3）将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到⊙O外，如图2-4-31，使EF与OB的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF于点D．试猜想DA=DC是否仍然成立，并证明你的结论．

图2-4-30

图2-4-30

【提高训练】

1．如图2-4-32，已知在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连结DE并延长与AC的延长线相交于点F．若DE=EF，求证：BD=CF．

B E

F

图2-4-

322．点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形．（1）如图2-4-33，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形．（2）当点O移动到△ABC外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由．（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．

A

D

FBC

图2-4-3

33．如图2-4-35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=450．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长．（2）∠CDE的正切值．

CB

E

图2-4-3

400

4．如图2-4-35，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=2，∠ABC=120，∠ACB=45，连结OB交AC于点E．（1）求AC的长．（2）求CE：AE的值．（3）在CB的延长上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并加以证明你的结论．

图2-4-3

55．如图2-4-36，已知AB是⊙O的直径，BC、CD分别是⊙O的切线，切点分别为B、D，E是BA和CD的延长线的交点．（1）猜想AD与OC的位置关系，并另以证明．（2）设ADOC的值为S，⊙O的半径为r，试探究S与r的关系．（3）当r=2，sinE长．

时，求AD和OC的3图2-4-36

答案

例1.分析与解答（1）∵四边形 ABCD是正方形，∴∠BCF+∠FCD=90，BC=CD．

∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE．

∴∠ECD+∠FCD=90．∴∠BCF=∠ECD．∴△BCF≌△DCE

（2）在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90． ∴

4．

∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90． ∴DE∥FC．∴△DGE∽△CGF．∴DG：GC=DE：CF=4：3．

例2.分析与解答（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠1=∠2． ∵ED∥AP，∴∠P=∠PED．

BD． 而∠3=∠BED，∴∠3=∠P．∴△ABD∽△PBA．∴ABPB

（2）连结OA、AE．由切割线定理得，PAPBBD．即1025(5BE)，∴BE=15．又∴△PAE∽△PBA，∴

AEPA

2，即AE=2AB． ABPB

在Rt△EBA中，152AB2(2AB)2，∴ABAB、PB代入ABPBBD，得BD=9． 又∵∠BDE=90，ED∥AP，∴DC⊥PA．∴BC∥OA．∴∴BC

BCPB

． OAPO

515

3．∴CD=12 25

例3.分析与解答（1）连结AO1．∵O1E为⊙O2的直径，∴∠O1AE=90． 又∵O1A为⊙O1的半径，∴AE为⊙O1的切线．

（2）∵O1A=r=1，O1E=2R=3，△AO1E为Rt△，AB⊥O1E，∴△AO1E∽△HO1A．∴O1AO1HO1E． ∴O1H

1． ．AB2AH

3（3）∵F为HB的中点，∴

HF=HF

1AB，4∴O1F

．

∵HO1FGO1E． ∴Rt△O1HF∽Rt△OGE．∴1

O1FHF

． 

O1EEG

HF

O1E

 ∴EG，即EGO1F例4.分析与解答（1）连结OC，则OC⊥DC，∴∠DCA=90-∠ACO=90-∠B．

又∠DAC=∠BAE=90-∠B，∴∠DAC=∠DCA．∴DA=DC．

（2）∵DF：EF=1：8，DF

EF=8DF= 又DC为⊙O的切线，∴DC2DFDE18．

∴DC

∴ADDC

AFADDF

AEEFAF

∴ABACAEAF24．

（3）结论DA=DC仍然成立．理由如下：如图2-4-31，延长BO交⊙O于K，连结CK，则∠KCB=90．

又DC是⊙O的切线，∴∠DCA=∠CKB=90-∠CBK．

00

又∠CBK=∠HBA，∴∠BAH=90-∠HBA=90-∠CBK． ∴∠DCA=∠BAH．∴DA=DC． 提高部分：【答案】1．过D作DG∥AC交BC于G，证明△DGE≌△FCE2．（1）证明DG∥EF即可

（2）结论仍然成立，证明略

（3）O点应在过A点且垂直于BC的直线上（A点除外），说理略．33．（1）BE=5（2）tanCDE

4．（1）AC（2）CE:AE，PB=2BC，∴CE：AE=CB：PB． 2

（3）∵CE:AE

∴BE∥AP．∴AO⊥AP．∴PA为⊙O的切线

5．（1）AD∥OC，证明略

（2）连结BD，在△ABD和△OCB中，∵AB是直径，∴∠ADB=∠OBC=90． 又∵∠OCB=∠BAD，∴Rt△ABD∽Rt△OCB．

∴

ADAB

．SADOCABOB2rr2r2，

七年级下几何证明题（精选） 篇16

角ACD>角BAC>角AFE

角ACD+角ACB=180度

角BAC+角ABC+角ACB=180度

所以角ACD=角BAC+角ABC

所以角角ACD>角BAC

同理：角BAC>角AFE

所以角ACD>角BAC>角AFE

解∶﹙1﹚连接AC

∴五边形ACDEB的内角和为540°

又∵∠ABE+∠BED+∠CDE=360°

∴∠A+∠C=180°

∴AB∥CD

﹙2﹚过点D作AB的垂线DE

∵∠CAD=∠BAD,∠C=∠AED

AD为公共边

∴Rt△ACD≌Rt△AED

∴AC=AE,CD=DE

∵∠B=45°∠DEB=90°

∴∠EDB=45°

∴DE=BE

AB=AE+BE=AC+CD

﹙3﹚∵腰相等，顶角为120°

∴两个底角为30°

根据直角三角形中30°的角所对的边为斜边的一半

∴腰长=2高

=16

﹙4﹚根据一条线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

∴该交点到三角形三个顶点的距离相等

解∶﹙1﹚先连接AC

∴五边形ACDEB的内角和为540°

∵∠ABE+∠BED+∠CDE=360°

∴∠A+∠C=180°

∴就证明AB∥CD

♂等鴏♀栐薳2010-05-3017:33

(1)解：过E作FG∥AB

∵FG∥AB

∴∠ABE+∠FEB=180°

又∵∠ABE+∠CDE+∠BED=360°

∴∠FED+∠CDE=180°

∴FG∥CD

∴AB∥CD

(2)解：作DE⊥AB于E

∵AD平分∠CAB,CD垂直AC,DE垂直AB

∴CD=DE,AC=AE

又∵AC=CB,DE=EB,AC⊥CB,DE⊥EB

∴∠ABC=∠EDB=45°

∴DE=EB

∴AB=AE+EB=AC+CD

(3)16CM

(4)3个顶点

如图已知在四边形ABCD中，∠BAD为直角，AB=AD，G为AD上一点，DE⊥BG交BG的延长线于E，DE的延长线与BA的延长线相交于点F。

1.求证AG=AF

2.若BG=2DE,求∠BDF的度数

3.若G为AD上一动点，∠AEB的度数是否变化?若变化，求它的变化范围;若不变，求出它的度数，并说明理由。

解：由题意得

1)∠BAD=∠DAF=90°

∵∠5=∠6(对顶角)

∠1=∠2=90°

∴∠3=∠4

∵AB=AD

∴△BAG≌△DAF(ASA)

∴AG=AF

2)由1)可知BG=DF,∴DF=2DE

∴BE为△BDF的中线

又∵BE⊥DF

∴BE为△BDF的高线

∵△BDF的中线与高线重合∴△BDF是等腰三角形

又∵∠DBF=45°

∴∠BDF=∠F=(180°-∠DBF)/2=67.5°

3)变化