立体几何证明线面平行

2024-09-07

立体几何证明线面平行（精选9篇）

立体几何证明线面平行篇1

线线问题及线面平行问题

一、知识点 1 1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//ca//c．

3.等角定理：4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，b

1AA

推理模式：A,B,l,BlAB与l

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O(0,

28．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作ab．

9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（210．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．

异面直线的的定义要注意“相交

11．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．

12．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共a点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直

线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分

类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，a//． a13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：l,m,l//ml//．

14.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：l//,l,ml//m．

lm个平面

二、基本题型

1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）

（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）

2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角； ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面__Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，这与____矛 ∴BD、E,F,G,H分别是空间四边形四条边AB,BC,CD,DA的中点，（1）求证四边形EFGH是

2）若AC⊥BD时，求证：EFGH为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

HF

；（4）

若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.6 间四边形ABCD中，ADBC2，E,F分别是AB,CD的中点，EFAD,BC7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.8．在长方体ABCDABCD中，已知AB=a，BC=b，AA=c(a＞b)，求异面直线DB与AC

9．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别

是AB、PC1）求证：MN//平面PAD；（2）若MNBC4，PA 求异面

直线PA与MN10．如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M、N分别在AC、BF上，且AMFN求证：MN//平面CBE

参考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD, ∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C, 又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4.答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面  ∵Aa，Da，∴ a .∵Pa，P .∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴ b ，c ，这与a、b、c∴BD、AE5.证明（1）：连结AC,BD，∵E,F是ABC的边AB,BC上的中点，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四边形EFGH证明（2）：由（1）四边形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EFEH，∴EFGH为矩形.解（3）：由（1）四边形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF

2AC3,EH

BD

1∴由平行四边形的对角线的性质 EGHF2(EF

EH)20.B

D解（4）：由（1）四边形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30º角，∴EF、EH成30º角，AC3,EH

BD

2∴四边形EFGH的面积 SEFEHsin30

3.解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MNAC,MNBD，∴MN是AC与BD的公垂线段且MN

NB

2∴AC与BD间的距离为2.6.解：取BD中点G，连结EG,FG,EF，∵E,F分别是AB,CD的中点，∴EG//AD,FG//BC,且EG

2AD1,FG

BC1，∴异面直线AD,BC所成的角即为EG,FG所成的角，EGFGEF

2EGFG

在EGF中，cosEGF

，G

∴EGF120，异面直线AD,BC所成的角为60．

7.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD1成角90.8.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.9.略证（1）取PD的中点H，连接AH，NH//DC,NH

12DC



NH//AM,NHAMAMNH为平行四边形 MN//AH,MNPAD,AHPADMN//PAD

解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由

MNBC

4，PAOM=2，ON=

所以ONM300，即异面直线PA与MN成30010.略证：作MT//AB,NH//AB分别交BC、BE于T、H点

AMFNCMT≌BNHMTNH

从而有MNHT为平行四边形MN//THMN//CBE

立体几何证明线面平行篇2

关键词：线面平行,证明方法,应用

题目:如图1所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD.

分析:线面平行的证明用几何法和向量法都可以去证,本题也不例外,题目虽很简单,但其证明方法却包罗了线面平行的主要的证法.

证法1:(用线面平行的判定定理来证)连结B1C,根据正方体的性质知,B1C∥A1D,因为M、N分别是C1C、B1C1的中点,所以MN∥B1C,所以MN∥A1D.又因为MN平面A1BD,A1D平面A1BD.所以MN∥平面A1BD.

证法2:(用面面平行的性质定理来证)取C1D1的中点G,连结NG、MG,则根据正方体的性质得,MN∥B1C,B1C∥A1D.所以MN∥A1D.同理可得,MG∥A1B.所以平面A1DB∥平面NMG.又因为MN平面NMG.所以MN∥平面A1BD.

“三法”证明线面平行篇3

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

三、法向量法

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

一、由线线平行证明线面平行

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

三、法向量法

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

线面平行证明“三板斧” 篇4

线面平行是高考的重点，也是平行关系中的核心。在证明线面平行的过程中，如何快速的找到证明的思路，此文的目的就在于此。将证明的过程程序化，可以帮助学生形成良好的思维习惯，也可以引导学生学会去总结。

第一斧：从结论出发，假定线面平行成立，利用线面平行的性质，在平面内找到与已知直线的平行线。

例１：如图正方体ABCDA1BCＥ为11D1中，DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。

招式讲解：三点确定一个平面，已知直线只需再有一点即可确定一个BD1已有二点，平面。为了更直观的找到两平面的交线，选择第三点时有技巧可寻。平面AEC将空间分为两个部分，第三点可选在与线段BD1的另一侧，本题中即Ｄ点。三点组成的三角形，除BD1的另两边BD，则两交点形成的直线与BD1平DD1必然与平面AEC相交，行。在实际证明过程中，两交点在题中的位置越特殊，越有可能为正确的辅助线。

证明展示证明：连结BD与ＡＣ交于点Ｏ，连结OE

Ｅ、Ｏ分别为DD1、BD中点

OE//BD

1又OE平面AEC，BD1平面AEC

BD1//平面AEC

招式点评

优点：招式简洁，证明过程简易。

缺点：与平面的交点若不是特殊点，会出现能找出平行线，但难于证明的情况。再有就是平面的另一面可能在题目中难以找到第三点。实战试招１：

如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，点Ｆ为PC中点，求证：

PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直线作平行四边形

例2：如图，正方体ABCDA1BCE为A1B111D1，上任意一点，求证：AE//平面DC1

招式讲解：通过平行四边行找平行线是高中

立体几何中的常见手段。若能够找到平行四

边行的相邻两边，则就能作出平行四边形。

本题中AE可做为平行四边形的一边，则另一

边可以是A1E,EB1,AB,AD,AA1，若考虑到可在题目中较为容易的画平形

四边形则只有EB1和AD。这时，可以发现以AE,AD两边所作的平行四边形为本题所要的。

证明展示

证明：过E点作AD的平行线，交C1D1与F点，连结DF

EF//A1D1，A1E//D1F

四边形A1EFD1为平行四边形 EFA1D1

EF//AD且EFAD

四边形ADFE为平行四边行

AE//DF又AE平面DC1,DF平面DC1

AE//平面DC1

招式点评

优点：招式本身的关键在于平行四边行，同学们比较熟悉，因此接受起来比较快。

缺点：找平行四边形的思维过程中可能的情况比较多，要一个一个去排除，需要一定的逻辑思维能力。再有，招式本身不能解决所有题目要注意变招。

实战试招

2如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E为B1C1的中点，F为AA1的中点，求证：A1E//平面BCF 1

第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。

例3：如图，四棱锥PABCD，底面ABCD

为正方形，E，F，G分别为PC,PD,BC的中点，求证：PA//平面EFG 招式讲解：面面平行到线面平行的方法中，寻找与平面EFG平行的平面是解题的关键，而寻找平行平面遵循一定的方法其实是很容易找到的。两条相交直线可以确定一个平面，已知直线PA可以看作是一条，我们只需要找EF,EG,FG中三条边中任何一条线的平行线即可。但所找的平行线还需满足一个条件，与已知直线PA相交。题目中，EF与FG的平行线都很容易找到，比如我们找到满足要求的EF的平行线AB，则PA与AB所组成的平面PAB就是我们所要找到平面。接下来我们的任务就是证明平面PAB//平面EFG。

证明展示

证明：E,F分别为PC与PD中点

EF//DC,又DC//AB

EF//AB,又EF平面EFG,AB平面EFG

AB//平面EFG

E,G分别为PC,BC中点

PB//EG,又EG平面EFG,PB平面EFG

PB//平面EFG

又ABPBB

平面PAB//平面EFG PA平面PAB

PA//平面EFG

招式点评

优点:与前二斧而言使用范围最广的招式,套路式的方法很容易找到证明的思路。大部分的题目都可以使用这招得到解决，只不过是证明过程的长度有所不同而已。

缺点：由于证明面面平行，必须先证两个线面平行，所以不论题目难易过程都较长。步骤多，要写好要下一番功夫。

实战试招

3如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）D为BC的中点，求证：AC1//平面AB1D

总结：线面平行证明的三种方法中，多数题目其实都可以用第一、二种方法得到解决，因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长，但其思路是很固定的，实践过程中更容易为同学们所掌握。一个题目可能有几种证法，同学们练习时可以三种方法都去试一试，看看有几种办法可以解决。在熟悉以后，解题过程中可按照招式一、二、三的顺序依次去思考。

另：对于考试中的另一重点，垂直关系就很难总结为平行中一样固定的模式，但解题时也有一定规律可寻，详情在另一文中讲述。

地址:广东省中山市小榄镇小榄中学姓名:刘晓聪

线面平行的证明中的找线技巧篇5

1.已知直线a∥平面，直线a∥平面，平面平面=b，求证a//b．

分析：利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．

证明：经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d，∵a∥平面，a∥平面，∴a∥c，a∥d，∴c∥d，又∵d平面，c平面，∴c∥平面，又c平面，平面∩平面=b，∴c∥b，又∵a∥c，所以，a∥b．

2．已知：空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//A平面BCD．证明：连结BD，在ABD中，∵E,F分别是AB,AD的中点，∴EF//BD，EF平面BCD，BD平面BCD，∴EF//平面BCD．

3、已知：空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.求证:EF∥平面BCD。

证明：连结BD，在△ABD中，∵E、F分别是AB、AD的中点 ∴ EF∥BD

B正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.又 EF平面BCD，BD平面BCD，∴EF∥平面BCD（直线和平面平行判定定理）

证法一：如图9-3-4（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN, ∴

PMAB

PEAE,QNDC



BQBD

.∴

PMAB



QNDC

.∴即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN.又∵MN面BCE，PQ面BCE，∴PQ∥面BCE.证法二：如图9-3-4(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.∵AD∥BC,∴

DQQB



AQQK

.又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，∴

AQQK

APPE

.则PQ∥EK.∴EK面BCE，PQ面BCE.∴PQ∥面BCE.点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.5 已知：如图9-3-6，面α1∩面α2=b,a∥面α1,a∥面α

2.求证：a∥b.证法一：过直线a作两个平面β1和β2，使得平面β1∩平面β1=c，面β2∩面α2=d.∵a∥面α1，a∥面α2，∴a∥c，a∥d.∴c∥d.∵d面α2,c面α2.∴c∥面α2.又∵c面α1，面α1∩面α2=b，∴c∥b.∴a∥b.证法二：经过a作一平面π，使得平面π∩面α1=k，面π∩面α2=l.∵a∥面α1，a∥面α2, ∴a∥k，a∥l，则k∥l∥a.∵三个平面α

1、α

2、π两两相交，交线分别为k、l、b且k∥l，∴k∥l∥b，则a∥b.证法三：在b上任取一点A，过A和直线a作平面和平面α1相交于l1，和平面α2相交于直线l2.∵a∥面α1,a∥面α2, ∴a∥l1,a∥l2.∵过一点只能作一条直线与另一直线平行，∴l1与l2重合.又∵l1面α1，l2面α2，∴l1与l2重合于b.∴a∥b.点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,b面α，则a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,则a∥c；(4)若a∥α；aβ,α∩β=b,则a∥b.6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ..证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.7.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D

四点共面；（2）面AMN∥面EFBD..证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如答图9-3-3，则由正方体性质得 B1D1∥BD.∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点，∴∴121

2B1D1.BD.∴E、F、B、D对共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.∵M、N为A1B1、A1D1的中点，∴MN∥EF，EF面EFBD.∴MN∥面EFBD.∵O,∴四边形PAOQ为平行四边形.∴PA∥OQ.而OQ平面EFBD，∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P，PA、MN面AMN，∴平面AMN∥平面EFBD.//

S72S。

证明：

GDGHGAC//BD

EACFBD

HEHAHAE//BF



ACBD

GAGB

9

21AE∥BF



BFAE

HBHA

1628

AC∥BD

SAECSBFD



212

ACAEsinA



BFBDsinB

37374

4∴ SBFD96正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如图所示）M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。求证：MN //平面BCE

证：过N作NP//AB交BE于P，过M作MQ//AB交BC于Q

NPEF



ABBF

NPMQ

又 ∵

NP//AB//MQMQPN



MN//面BCE

PQ面BCE

CF

FA求证：EF//面PCD

HFFB

MN//PQ

10.P为ABCD所在平面外一点，EPB，FAC，且EB

.证：连BF交CD于H，连PHAB//CD∴ ABF∽CFH∴ FA

CFFA

HFFB



在BPH中EB

EF//PH





EF面PCDPHPCD∴ 11已知：平面α∩平面β＝a求证：a、b、c证明：∵α∩β＝a，β∩∴a、bβ

∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b 而a、bβ，aα

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且aα，aγ ∴a∥c且a∥b ∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.12如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴

AFFM

DFBF

又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE ∴

AFFM

AEB1E

∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE ∵AD∥BC

∴FH∥BC，BCBB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得

BFBD

BHBA

又BF＝B1E，BD＝AB1 ∴

B1EAB1

BHBA

∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C EF平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.∴△END的面积为

立体几何证明线面平行篇6

一、选择题

1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确

2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35153．已知a＝1，－，b＝－3，λ，－满足a∥b，则λ等于()． 222

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()

A．(1，－1,1)3B.1，3，2



C.1，－3，2

二、填空题



D.－1，3，－

2

8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则

l1与l2的位置关系是_______．

9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．

三、解答题

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．

→

10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：

MN∥平面A1BD.证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1

则M0，1，N，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，22→

1

1于是MN＝，0，2

2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得

x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

11

又MN·n＝，0，·(1，－1，－1)＝0，22→

∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)若点G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面

BCC1B1.→→

证明(1)建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面．又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．(2)如图，设M(0,0，z)，→

→→

2

则GM＝0，－，z，而BF＝(0,3,2)，3

→→

由题设得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 22

，0、(0,0,1)．

22→22∴NE＝－，－1.22

2

2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、，1

22



→

22∴AM＝－，－1.22

→→

∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22

(2)由(1)知AM＝－，－1，22

→

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

线面平行面面平行性质学案篇7

2.2.3-2.2.4直线与平面平行及平面与平面平行的性质

【学习目标】

1、探究直线与平面平行的性质定理；

2、体会直线与平面平行的性质定理的应用；

3、通过图形探究平面与平面平行的性质定理；图形表示：

三、例题演示

4、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用。

【学习重点】

1、直线与平面平行的性质定理.2、通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。

【学习难点】

1、直线与平面平行的性质定理的应用.2、平面和平面平行的性质定理的证明和应用。

一、旧知重现

1、直线与平面的位置关系：直线在平面外(直线与平面相交、直线与平面平行)、直线在平面内。

2、直线与平面平行的判定定理：平面_____一条直线与此平面______的一条直线______，则该直线与

此平面平行。可以用符号表示为：“_______________________________________________________”。

简记为“________________________________”.3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的_____条_________直线分别________于另一个平面，则

这两个平面平行。可以用符号表示为：“_____________________________________________________”。

简记为“________________________________”.二、新知探究

1、思考题：一条直线与一个平面平行，那么在什么条件下，平面内的直线与这条直线平行？

2、直线与平面平行的性质定理：______________________________________________________

_____________________________________________________

简证为：____________________________________________________

符号表示：____________________________________________________

图形表示：

3、思考题：当一个平面与另一个平面平行时，那么在什么条件下，一个平面内的直线与另一个平

面内的直线平行？

4、平面与平面平行的性质定理：______________________________________________________

_____________________________________________________

简证为：____________________________________________________

符号表示：____________________________________________________例

1、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面。求证：另一条也平行于这个平面.例

2、求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.ADB

必修22.2.3—2.2.4直线与平面平行及平面与平面平行的性质多听、多思、多做，成功就在那里等你。

四、巩固训练

1、如图,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于

2、已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.（1）求证：CD∥α;F、G.求证：EH∥FG.2、求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.已知：如图,a∥α,a∥β,α∩β=b，求证：a∥b.3、判断下列结论是否成立：

① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；（）② 若∥，∥，则∥；（）③平行于同一个平面的两条直线平行；（）

④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；（）

⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。（）

五、课后作业

1、如图，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.六、课后思考

1、直线与平面平行的性质与平面与平面平行的性质体现了什么数学思想？

2、上述两条性质有哪些方面的应用？

3、你能将线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系图示表示出来吗？

线线平行

《线面平行的判定》课后教学反思篇8

一、在探究问题上，我首先列举了实际生活中的两个例子，一个是门旋转问题，一个是镜子旋转问题。

通过这两个例子，使学生更加清楚的认识线面平行。然后再课件中，通过学生观察平面外一条直线和平面内一条直线平行，让学生来思考面外这条线和这个面是否平行。这个问题对于初学者是有难度的。我特意在这个班做了一些铺垫。应该说许多学生还是能够马上回答出来的。

二、探究之后是定理内容的`总结及应用。几个比较好的.小地方是：

(1)及时强调了定理内容的三个要点并在做题步骤中一直进行强调，使学生把握住了做题的关键;

(2)在黑板上进行了例题1的规范步骤的板书，并一直保留着这块板书，使学生有依可循;

(3)让学生上黑板进行板书，对学生的做题程度进一步掌握，并及时发现解决了一些问题(这一点似乎每个老师在开课的时候都有这个环节)。

不足之处：

(1)最后一道练习题只是把思路给学生说了说，然后是作为课后作业给布置下去的，这一点需要改进一下，其实主要原因还是因为时间上没控制好，因为开头花的时间有点多，导致最后时间不够用了，前松后紧;

(2)最后的当堂练习如果给学生只是检测2个题会更好一些，时间上也更充裕，特别是第三题有点难度，导致有点拖堂;

线面垂直判定经典证明题篇9

1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。

求证：PA⊥平面ABC。

2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。

求证：PA⊥BC。

3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。求证：VBAC4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。求证：BD平面AEGC5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB,求证： BC⊥平面PAC6、如图，AD⊥BD, AD⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60°

求证： BD⊥平面ADC7、.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.8、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC平面PBD

C9、已知四面体ABCD中，ABAC,BDCD,平面ABC平面BCD,E为棱BC的中点。（1）求证：AE平面BCD;（2）求证：ADBC;

D10、三棱锥A-BCD中，AB=1，AD=2，求证：AB⊥平面BCD11、在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形

求证：AC⊥平面SBD12、如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE平面CDE，求证：AB平面ADE；

D13、三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心

求证:PH底面ABC14、正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D._A

115、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC

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