立体几何证明的突破

立体几何证明的突破（共11篇）

立体几何证明的突破 篇1

一、理科“立体几何”大题的解题策略

运用空间向量方法解决空间位置关系和数量关系的关键是根据题目条件, 建立空间直角坐标系, 求出相关点的坐标, 通过向量计算解决问题.用向量法求各类角与距离的基本思路是将问题转化为直线的方向向量与平面法向量来处理, 复习中重点要弄清平面法向量的求法及相关的空间角及空间距离的计算公式向量方法解决空间位置关系和数量关系的有关计算公式如下:

1. 三种空间角的计算

(1) 异面直线所成的角

(2) 直线与平面所成的角

(3) 二面角

2. 求点到平面的距离

∴点B到平面α的距离

3. 法向量的基本求法

法向量的求法从学生的掌握来看, 利用矢量积直接求解不易出错, 可提倡首选.

例1摇如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2, D为CC1中点.

(Ⅰ) 求证:AB1⊥平面A1BD;

(Ⅱ) 求二面角A-A1D-B的余弦值.

(Ⅰ) 分析:第一问考查了线面垂直的证明方法, 原理就是利用线面垂直的判定定理证明AB1垂直于平面A1BD内两条相交直线.垂直的证法有两种:一种利用传统法求证, 另一种即可利用向量法计算求证

(1) 传统法:由题设显然可知A1B⊥AB1, 那么在平面A1BD内再选择一条直线, 求证其与AB1垂直, 而平面A1BD内BD和DA1均与AB1异面, 异面直线证垂直可以首选三垂线定理

证明:取BC中点O, 连结AO.

∵△ABC为正三角形, ∴AO⊥BC.

∵正三棱柱ABC-A1B1C1中, 平面ABC⊥平面BCC1B1, ∴AO⊥平面BCC1B1.

连结B1O, 在正方形BB1C1C中, O、D分别为BC、CC1的中点, ∴B1O⊥BD, ∴AB1⊥BD.

在正方形ABB1A1中, AB1⊥A1B,

∴AB1⊥平面A1BD.

(Ⅱ) 分析:分别求出两个垂直平面的法向量, 利用法向量夹角与二面角相等或互补, 先求出夹角余弦的绝对值, 再从直观图上判断此二面角为锐角还是钝角, 以确定二面角余弦的正负

例2.一个四棱锥P-ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线, 侧视图和俯视图是全等的等腰直角三角形, 直角边长为2, 直观图如图.

(1) 求四棱锥P-ABCD的体积:

(2) 求直线PC和面PAD所成线面角的余弦值;

(3) M为棱PB上的一点, 当PM长为何值时, CM⊥PA?

(2) 分析:根据题意建立空间直角坐标系, 利用线面角公式求解即可

空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题, 它无须进行复杂繁难的作图论证、推理, 只需通过坐标运算进行判断.在解题过程中, 往往把“是否存在”问题, 转化为“点的坐标是否有解, 是否有规定范围的解”等, 所以使问题的解决更简单、流畅, 应善于运用这一方法解题.开放性问题是近几年高考的一种常见题型.一般来说, 这种题型依据题目特点, 充分利用条件不难求解.对于探索性问题, 一般先假设存在, 设出空间点的坐标, 转化为代数方程是否有解的问题, 若有解且满足题意则存在, 若有解但不满足题意或无解则不存在.

二、文科“立体几何”大题的解题策略

按照课标和考纲的要求, 文科立体几何部分只学必修2的两章, 而且其内容较原大纲教材有大幅度删减, 如不要求计算有关角与距离 (线线、线面、面面) , 只涉及简单几何体的高等, 所以文科对立体几何的考查主要是空间中平行、垂直关系的判断与证明, 表面积及体积的计算, 近几年文科立体几何高考的命题重点围绕几何体的体积问题, 几何体的高或点到面的距离成为关注的核心处理几何体的高, 教学重点应放在定义法及等体积的转化方法上, 对用空间向量法求空间距离的计算则适当关注即可, 原因在于一部分文科高考立体几何解答题模型不易建系, 用向量法反而更难, 所以文科立体几何高考教学应提倡几何法及向量法两手准备 (建议文科只需补充空间向量法求空间距离, 对空间角问题不需涉及) , 重点加强等体积的化归与转化的思想方法, 等积转化的思想方法主要体现在三棱锥中: (1) 变换顶点及底面; (2) 固定顶点变换等面积的底面; (3) 利用线面平行转化为另一棱锥; (4) 切割转换等

(2014数学高考全国新课程文科Ⅱ卷第18题) 如图, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为矩形, PA⊥平面ABCD, E为PD的点

(Ⅰ) 证明:PB∥平面AEC;

解析: (Ⅰ) 设AC与BD交于点G, 则G为BD中点.连接EG, 在△PBD中, EG∥PB, 又因为EG平面AEC, 而PB平面AEC, 所以PB∥平面AEC.

(Ⅱ) 解法一:变换顶点和底面, 应用等体积法求解;设A到平面PBC的距离为h, 因为PA⊥平面ABCD, 所以PA是三棱锥P-ABD的高.

解法二:利用垂直关系, 过点A作出AH⊥PB, 直接求出AH.

作AH⊥PB交PB于点H.由已知BC⊥平面PAB, 所以平面PBC⊥平面PAB, 可得AH⊥平面PBC, 所以, AH的长是A到平面PBC的距离.

答题分析

本题主要考查线线平行、线面平行、线面垂直的位置关系的推理论证能力, 用三棱锥的体积及直角三角形的面积进行等积转化的能力, 符合课标与文科高考考试大纲的要求, 学生对几何模型熟悉, 试题呈现方式在与理科模型相同的情况下, 把底面的对角线BD连结起来, 使文科考生容易找到中位线, 从而得到平行关系, 降低了难度, 体现对文科学生的人文关怀.

教学建议

2.对文科考生等积转化的思想方法是处理点到面的距离的重要方法, 一定要熟练掌握.

3.对文科学生求三棱锥的高, 重点掌握两种方法:一是应用三棱锥的体积进行等积转化, 二是作出平面的垂线, 求垂线段的长.教学中强化两种方法, 有利于培养学生一题多解, 提高数学思维的能力.当然, 如果建系较易, 点的坐标易求, 也可用向量法求解.

几个几何定理的纯几何证明 篇2

《中学数学杂志》(初中)2008年第2期刊载的“从一道美国数学竞赛题引出的一组几何定理及代数证法”一文(下称文[1])，由一道美国数学竞赛试题经探索、整合，得到了几个新颖有趣、耐人寻味的几何定理，阅后很受启发. 由于这几个几何定理的独特风格和丰富的内涵，颇显其思考性，而引人入胜. 缺感的是文[1]的代数证法冗长繁琐，不够简约，有失纯几何方法的风采、韵味，并非是“定理的证明用代数法解决更妙”(文[1]). 笔者经思索、探究，得到了文[1]中四个定理的浅显、简明、别致的纯几何证法，现介绍如下，供读者参考(为方便计，定理顺序同文[1]).

定理1 已知：如图1，在以AB为直径的半圆中，正方形CDEF内接于半圆，正方形CGHK内接于△BCF，且边CG在AB上，求证：AC=CG.

分析 由对称性，易知AC=BD.

由射影定理(或相交弦定理的推论)，得CF2=AC·BC.

又CF=CD，BC=CD+BD=CD+AC，得CD2=AC(CD+AC)，即AC2+CD·AC=CD2.①

由AC=BD，知AG=BG.故点G是半圆的圆心.

参考文献

[1] 曾恒忠，白方奎等. 从一道美国数学竞赛题引出的一组几何定理及代数证法[J].中学数学杂志(初中).2008，(2).

作者简介：令标，男，1962年11月生，中学高级教师，主要从事数学教学及解题研究，已在多家中学数学期刊发表文章数十篇.

文科立体几何证明 篇3

1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC1，E是PC的中

点，作EFPB交PB于点F．

(I)证明： PA∥平面EDB；

(II)证明：PB⊥平面EFD；(III)求三棱锥PDEF的体积．

2、如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高。（Ⅰ）证明：平面PAC平面PBD;

（Ⅱ）若AB,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积。

B3、如图，矩形ABCD中，AD平面ABE，AEEBBC2，F为CE上的点，且BF平面ACE.（Ⅰ）求证：AE平面BCE；（Ⅱ）求证；AE//平面BFD；

（Ⅲ）求三棱锥CBGF的体积.4、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

C

B

D

B

MA平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为

5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.(Ⅰ)求证：平面EFG平面PDC;(Ⅱ)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.6、如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；

（3）求三棱锥C-BGF的体积。

Ｄ

G

Ａ

Ｃ

Ｂ

Ｅ

7、在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如图 所示）

（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求三棱锥的体积

VS－ABC。

1，E为BC边中点

D18、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝（1）求三棱锥D1-DBC的体积（2）证明BD1//平面C1DE

A

9，如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的A

交点，面CDE是等边三角形，棱EFBC。

E

（I）证明FO∥平面CDE;；

（II）设BC,证明EO平面。

10、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝

A

B

M

D

90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。

11，如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC，BD ∥CE，CE ＝CA ＝2 BD，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。

12、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点． 求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

DAD

A

BBC

1C13、如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF

AD2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

14、如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC的中点.（Ⅰ）求证：ABA1C；（Ⅱ）求证：A1C∥ 面AB1D；

6，BC10，D是BC边

15，如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.16 在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。（1）证明：平面PAB平面PCM；

_P

_A_C

_M

_B17、如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点

（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

18、如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由。

P

AD中，PA底

19、如图，四棱锥PABCD面ABCD，ABAD，ACCD，B

ABC60，PAABBC，E是PC的中点．

（1）求证：CDAE；（2）求证：PD面ABE．

20、如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面

PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.S

A

D

BC21、如图，在四棱锥SABCD中，SA

AB2，SBSDABCD是菱形，且ABC60，E为

CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

22、在正三棱柱ABCA1B1C1 中，E是AC中点，（1）求证：AB1//平面BEC1 ；（2）求证：平面BEC1平面ACC1A1 ；

23.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；

（II）求证：AC 1//平面CDB1；,24、如图，在底面为平行四边行的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（Ⅰ）求证：ACPB；

（Ⅱ）求证：PB//平面AEC；

25．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是

1112A．VB．VC．VD．V

43B26．如图1，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q是对角 线AC上的点，若PQ

a，则三棱锥PBDQ的体积为2

立体几何证明格式示范 篇4

证明：连接B1D1

M,N分别是A1B1和A1D1中点MN是A1B1D1中位线MN//B1D1MN//EFE,F分别是B1C1和C1D1中点EF是B1C1D1中位线EF//B1D1MN面EFDBMN//面EFDBEF面EFDB

MN面AMN面AMN//AN面AMN面EFDBANMNNNE//A1B1NE//ABABEN是AN//BEAB//A1B1AN面EFDBAN//面EFDBBE面EFDB

注意：以上如果一行写不下，也可以分行写如下:证明：连接B1D1

M,N分别是A1B1和A1D1的中点MN是A1B1D1的中位线MN//B1D1MN//EFE,F分别是B1C1和C1D1的中点EF是B1C1D1的中位线EF//B1D1MN面EFDBMN//面EFDB；

EF面EFDB

NE//A1B1NE//ABABEN是AN//BEAB//A1B1AN面EFDBAN//面EFDB；

BE面EFDB

MN//面EFDB

AN//面EFDBMN面AMN面AMN//面EFDB

AN面AMNANMNN

教材P62习题2.2A组答案：（注意规范格式）

第5题证明：连接CD

AB//AB//CD面ABCDCDABCD是平行四边形ACBD

AC//BD

第8题证明：

AOAOAOBAOBAOBAOBBAOBAOAB//AB

BOBO

同理可证AC//面ABC,因此

AB//面ABC

AC//面ABC

AB面ABC面ABC//面ABC.AC面ABC

立体几何证明的突破 篇5

（要求会文字叙述，会改写成“如果...那么...”并用数学语言写出已知,求证，并给出证明过程，自己画图形）。线，角公理：

①.两直线平行，同位角相等②.同位角相等，两直线平行

1.两直线平行，内错角相等

2.两直线平行，同旁内角互补

3.内错角相等，两直线平行

4.同旁内角互补，两直线平行

5.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行

6.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

7.对顶角相等

8.三角形内角和为180°

9.三角形外角和为360°

10.多边形内角和为（n-2）*180°

11.多边形外角和为360°

三角形全等 公理：

③SSS④SAS⑤ASA⑥全等三角形对应边相等，对应角相等。

********* 正确，无须再推导证明;除上述6个公理之外，还有等量代换，等式的性质，不等式的性质 都可看做公理。推论: AAS

定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高 互相重合（三线合一）

定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

附：1.等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°

2.有个角为60°的等腰三角形是等边三角形

3.三个角都相等的三角形是等边三角形

4.等腰三角形两底角的平分线相等

5.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

7.如果一个三角形一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

8.直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理-面积法）

9.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则它是直角三角形（作图，全等）

10.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

11.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

12.到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

13.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

14.角平分线上的点到角的两边的距离相等

15.在一个角的内部且到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

16.三角形的三条角平分线相交于一点，且这个点到三条边的距离相等

平行四边形：两组对边平行

1.平行四边形的对边相等

2.平行四边形的对角相等

3.平行四边形的对角线互相平分

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

4.夹杂两平行线间的两平行线段相等

5.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

矩形：有一个角是直角的平行四边形

1.矩形的四个角都是直角

2.矩形的对角线相等

A.有三个角是直角的四边形是矩形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

棱形：一组邻边相等的平行四边形

1.棱形的四条边都相等

2.棱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角

3.棱形的面积为对角线乘积的一半

A.四条边都相等的四边形是棱形

B.对角线互相垂直的平行四边形是棱形

正方形：一组邻边相等，且有一个角为直角的平行四边形

1.正方形的四个角都是直角，且四条边都相等

2.正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角

A.有一个角是直角的棱形是正方形

B.对角线相等的棱形是正方形

C.对角线相等的矩形是正方形

梯形：

1.等腰梯形在同一底上的两个角相等

2.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

3.等腰梯形的两条对角线相等

反正法:1.若a+b+c+d+e=5,则abcde中至少有一个至少有个≥1

2.三角形中至少有一个角大于或等于60°

圆：

1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧（垂径定理）

2.平分弦（非直径）的直径，垂直这条弦，并且平分弦所对的弧（垂径定理逆定理）

3.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

4.直径所对的圆周角是直角

5.90°圆周角所对的弦是直径

6.圆的内径四边形对角互补

立体几何证明的突破 篇6

一、平面几何语言的分类及其特点

几何语言一般可以分为三类:文字语言、图形语言和符号语言.

文字语言, 就是用文字来叙述几何的概念或性质.例如, 平行线的概念是“在同一平面内不相交的两条直线”;三角形的概念是“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形”;直线的基本性质是“经过两点有且只有一条直线”;线段的性质是“在所有连结两点的线中, 线段最短”.这些表达概念或性质的语言都准确、严密地描述了不同几何图形的特征或性质.文字语言的特点是用词准确, 用语严谨, 不能轻易增减一字.

图形语言, 就是通过识图、作图并伴及一定的文字说明来表达几何的特征, 研究几何的性质.图形语言是对文字语言的“翻译”, 它比文字语言更具体, 更便于研究.因此, 几何中的识图、作图是一项重要的基本功.图形语言的特点是直观性强, 形象生动.

符号语言, 就是用一系列特定的符号简洁地描述几何图形及其性质.例如, 两直线平行用“∥”来表示, 两直线垂直用“⊥”来表示, 三角形用“△”来表示等.符号的表述克服了文字语言叙述的冗长, 同时给理解、书写、记忆和应用带来了极大的便利.其特点是简洁精练, 严谨抽象.文字语言、图形语言和符号语言构成了几何中的语言系统.这些语言是相互交错和渗透的, 它们互相配合, 密不可分.

二、突破平面几何语言障碍的策略

浙教版数学新教材中的平面几何入门教学通常是指七年级上册“图形的初步知识”、七年级下册“三角形的初步知识”、八年级上册“平行线”和“特殊三角形”这四部分内容的教学.要搞好平面几何的入门教学, 关键是解决以下四个问题.

1. 紧扣教材, 抓住句型, 突破语言理解关

数学新教材编写方式有了很大改进, 降低了一定的教学难度, 重视知识的形成过程, 配备了章头图和节前图等, 努力创设教学情境, 提高学生的学习兴趣.同时, 由于多媒体的辅助教学, 使得知识的掌握过程变得越发轻松有趣.但是, 不可避免, 几何教材一开始就以比较抽象的文字语言介绍出许多新概念和性质.对于教材中出现的这些概念和性质, 切忌死记硬背, 关键要在理解上下功夫.为此, 教师必须让学生熟悉教材, 看懂教材, 其中, 阅读是很重要的一个基本环节.教师要像上语文课那样咬文嚼字, 划分主谓宾, 确定修饰语, 帮助学生进行文字疏通.如直线的基本性质“经过两点有且只有一条直线”, 这样的叙述方式, 学生还是第一次见到, 不容易理解它的含义.在教学中应抓住关键词进行剖析:“有”表明了直线的存在性, 即存在着这样的直线;“只有”表明了直线的惟一性, 即存在的直线只有一条, 而不是两条或多条.同时结合语文课中所学的“有……且只有……”这种递进句型来领会其含义, 学生就容易理解和掌握了.又如, “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离.”这可从以下几个方面去理解:第一, 垂线段≠垂线, 垂线段是线段, 垂线是直线;第二, 垂线段≠距离, 垂线段是“形”, 距离是“数”;第三, “长度”是纽带, 是桥梁, 有了它的连接, “垂线段”与“距离”才数形结合, 得到有机统一.

2. 讲清性质, 对照图形, 突破语言表达关

几何中的概念、性质是今后进一步学习的基础, 也是进行推理、论证的依据.它们一般是用文字语言叙述的, 但在具体解答、论证时又要画出图形, 标上字母, 转化为图形语言和符号语言.例如, 文字语言“C是线段AB的中点”, 转化为图形语言如图1, 用符号语言表示图1是“AC=BC”或“”或“AB=2AC (AB=2BC) ”.又如, 文字语言“对顶角相等”, 转化为图形语言如图2, 用符号语言表示是“∠1=∠2”.因此, 在平面几何的教学中, 几何语言的变通性显得尤为重要.教师要重视数学语言的转化教学, 每讲一个概念或性质, 就要让学生掌握它的三种语言表示形式, 并能根据需要进行互译, 灵活转换.

3. 化整为零, 由易到难, 突破识图、作图关

所谓识图, 就是要认识图形的本质特征, 分清图形之间的联系与区别.所谓作图, 包括两个方面:一是指使用刻度尺、三角板、量角器和圆规等多种工具画图;二是指尺规作图.图形是几何的主要研究对象, 能识图、会作图是学习平面几何的前提.学生不能准确地认识图形以及正确地画出图形往往成为学习几何的障碍.教学中应在学生正确理解概念的基础上, 加强识图、作图训练.

识图训练要循序渐进, 分步进行:

(1) 从简单图形到复杂图形.例如, 教材先让学生认识角的图形, 然后逐步认识各种不同的角 (平角、周角, 直角、锐角和钝角) 的图形, 再进一步认识涉及两个角位置关系或数量关系的图形, 如对顶角、同位角、补角等, 直至交错叠合的图形.当然, 对于一些线条纵横交错, 局部图形重叠遮盖的复杂图形, 也要能够根据需要对它进行剖析、分离, 构造出简单有用的基本图形.

(2) 从标准图形到变式图形.开始先认识标准图形, 然后逐步改变图形的方向、位置或结构, 认识各种变式图形.

(3) 从静止图形到运动图形.在“三角形”这一部分教学中, 就要求学生识别经过翻折、平移和旋转变换后的图形.

(4) 从多方面感知图形.如图3, 在一直线上依次有A、B、C三个点, 既可说点C在直线AB上, 又可说点B在线段AC的延长线上.又如图4, ∠ADC既是△ADC的一个内角, 又是△ABD的一个外角.

作图训练中的工具画图, 目的是使学生熟悉画图语言, 为尺规作图作准备.如“连接AB”, “直线AB、CD相交于点O”, “延长线段AB到C, 使BC=AB”, 等等.要求学生对上述几何语言进行严格的训练, 一方面教师念, 学生画图;另一方面教师画图, 学生说画法.只有这样反复训练, 不断渗透, 才能使学生熟悉画图语言, 形成感性认识.至于尺规作图, 应先让学生模仿基本作图方法, 然后要求学生口头叙述作图过程, 再达到能正确地书写“已知、求作和作法”.

在对学生进行作图训练时, 还应注意以下几点:一是作图不能太特殊.如两直线相交, 不要画成两条直线垂直;在线段AB上任取一点, 不要取线段AB的中点;任意画一三角形, 不要画成直角三角形或等腰三角形, 等等.二是作图语句的写法要规范.如“过A、B两点作直线AB”不能写成“连接AB”;“延长线段AB到C, 使BC=AB”一般不写成“延长线段AB到C, 使AB=BC”;“过点P作PC⊥AB”还应写明“垂足为C”等.三是注意细节.如图上所标字母应与叙述句一致;点的字母要大写, 切不可大写字母与小写字母混用;所添辅助线应在图中画出, 并标注相关字母等.

4. 循序渐进, 逐步渗透, 突破推理论证关

推理论证是不同于代数方法的一种新的解题方式, 是提高学生分析问题、解决问题能力的重要手段, 是发展学生逻辑思维能力的核心环节.又由于推理论证是对文字语言、图形语言和符号语言三者的综合运用, 对学生的能力要求必然很高, 因此, 推理训练既是几何入门教学的重点, 又是几何入门教学的难点.

推理训练必须遵照“循序渐进, 逐步渗透, 耐心期待, 水到渠成”的原则, 具体可分为三个阶段进行. (1) 教师讲解, 示范引路.结合“图形的初步知识”教学, 使学生对推理有一个初步的认识, 如因为点C是线段AB的中点 (已知) , 所以AC=BC (线段中点的意义) .因为OC平分∠AOB (已知) , 所以∠AOC=∠BOC (角平分线的意义) . (2) 学生尝试, 填写理由.在“图形的初步知识”和“三角形的初步知识”中, 对学生进行填写过程, 填写理由的推理训练, 要求学生能看懂推理过程, 懂得言必有据.在训练中, 一定要强调文、图、式三者的统一. (3) 放手实践, 独立推理.通过对全等三角形的教学, 要求学生能独立进行简单的推理论证, 正确书写推理过程, 做到步步有据, 处处符合逻辑推理要求.

此外, 在对学生进行推理训练时, 还应做好以下几点.

(1) 明确推理层次关系.

几何论证一般是由若干个推理组成, 每个推理都包括“因”、“果”以及“理由”三部分, 且因果关系要合理, 可以一因一果、一因多果, 也可以多因一果.而有时, 从第二个推理起常省略它的“因”, 因为这个“因”往往就是上一推理的结果.初学几何, 由于学生的年龄限制, 对推理的“言必有据”以及“因果对应”一时难以适应, 往往会根据需要临时“创造”出“新因”或“新果”来.

(2) 发挥基本图形功能.

几何中的基本图形就是指课本中那些简单、特殊的几何图形, 是构成复杂图形的具体元素.在教学中要有意识地引导学生从不同角度观察、分析课本中的基本图形, 并进行适当演变.在解题中, 充分发挥基本图形的功能, 就很容易找到解题的突破口, 使问题的解决变得简便易行.

(3) 重视三角形全等教学.

“三角形全等”是平面几何入门教学的核心内容.我们应把三角形全等教学作为突破口, 从容易处入手, 由简单题开始, 扫除几何入门障碍.在推理上要求学生能用三角形全等的知识独立论证一次全等或二次全等.二次全等是几何入门推理论证的深入和难点, 突破这个难点, 学生的推理论证能力就会有较大的提升.这里须使学生明确连续推理的结构形式是把第一次推理的结论作为第二次推理的条件.另外, 要把培养学生的分析能力, 掌握分析方法, 用综合法写出推理过程作为这一阶段的训练重点.分析是找寻思路的钥匙, 会由结论推到已知条件 (逆向思维) , 再从已知条件推到结论 (正向思维) , 这是初学几何者真正入门的标志.

参考文献

[1]李胜.浅谈初中数学教学中的语言[J].中小学数学, 1998 (7/8)

[2]陈晓东.平几入门闯“三关”[J].数学大世界, 2000 (3)

[3]杨燕.怎样学好几何语言?[J].数学大世界, 2000 (6)

浅谈初中几何证明的教学 篇7

关键词 思维 几何证明 逻辑语言 理解记忆

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0027-02

数学是思维的体操，数学教育离不开思维。战斗在教学一线的数学教师都知道初中阶段的学生刚接触几何证明大多数学生就算背得定理也不会用，或解决问题时找不到思路，或找到思路不会书写，要学好几何证明题，关键是顺利闯过几何证明题入门这一关。如果能把握好了这一步，就可以顺利地进行几何这门学科的学习。

一、几何定理的理解、记忆、应用

多数学生记忆几何定理都是死记硬背，就算背下来了也很容易混淆、容易遗忘，而且不会使用，如：平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的性质、判定，就非常容易混淆，所以光凭死记硬背是不行的，针对这种情况本人在几何定理教学时坚持每一个定理都讲清由来，解释意思，配合图形并转化为逻辑语言。理解是记忆、应用的基础，只有理解了才能记得清、不混淆、记得牢，没有理解的定理更是谈不上应用的，当然记忆当中没有的定理也不可能会想到去用它。为帮助学生理解、记忆、应用定理，在教学中本人坚持每个定理都做到定理、图、逻辑语言配套教学，学生配套记忆。

下面本人以“线段的垂直平分线性质定理”的教学为例说明具体做法

1.帮助学生理解并记住定理。

（1）突破文字语言的理解记忆：

“线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。”

①将定理分解出条件与结论，条件是：线段垂直平分线线上的点、点到这条线段两端点的距离。结论是：距离相等。

②将定理分层次理解，分层方式如下：

如此理解学生记忆时就可以将定理记作“点到点的距离相等”再联系记忆其中的“点”“点”“距离”分别是什么。这样学生就能理解并记住定理的文字叙述。

（2）将定理由文字语言转化为图形语言理解记忆：根据定理作图如下：①作线段AB；②作线段AB的垂直平分线MN交AB于点O；③在直线MN上任取一点P，连接PA、PB。在这步教学时就要强调几何语言的规范使用，养成规范使用几何语言的好习惯，那么以后准确理解几何语言的意思就不难了。

（3）将定理由文字语言转化为符号语言理解记忆：结合上图，角平分线的性质定理可转化为如下符号语言：

∵MN是线段AB的垂直平分线

∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

如此将定理的文字语言、图形语言、符号语言三者结合起来记忆，就可以理解并牢牢的记住定理了。图形直观，看到类似的图形就能联想到这条定理；文字叙述方便记忆，逻辑语言片段为书写证明过程提供“好词好句”。

2.应用定理解决问题难关有2个：①找不到解题的思路；②有思路但不能正确完整的用逻辑语言呈现。

（1）对第①个难关的解决办法：首先要读懂题目，读题目要分粗读和细读，至少读两遍，刚开始或复杂的问题需要读三遍。第一步：先粗读一遍题目了解题目的大致意思，初步了解题目中已知告诉了什么，要求或求证什么；第二步：第二遍细读题目，细读时要对照图形做到读题目时每一句话都要理解意思并联系所有有关定义、性质、定理，利用综合法将所有能得到的结论呈现出来，简洁的标注在图上或写在草稿上，读到结论时同样简洁的标注在图上或写在草稿上；第三步：再细读题目，结合第二遍细读时将所得到的结论互相联系、结合，看是否又能联系什么定理，推理进一步得到结论（即用“综合法”分析问题寻找思路）。再读到结论时利用“分析法”逆向思维，根据哪些定理可以得到这样的结论，一步一步逆向推理，寻找已知中能得到的条件与结论之间的关联。通常我们都需要“综合法”“分析法”两种方法结合使用“两头凑"来将思路贯通。第三步细读题目的主要目的是将前面得到的条件与结论进行联系融会贯通思路。是一个整理思路的过程，也是解决问题的关键，前面的两遍都是为第三遍打基础。遇到将前面得到的条件与结论进行联系还是不能融会贯通思路时就需要再读题目看是否有隐含的条件被遗漏导致找不到思路。在问题简单或运用熟练的情况下第二步与第三步可以合并为一步完成，第二步与第三步并不是严格分开的。

本人以下题为例详细说明具体做法：

如图：已知P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D，求证：①∠PCD=∠PDC；②OP是CD的垂直平分线。 （注七年级练习）

第一遍粗读题目 ，初步了解题目中已知两个条件①OP平分∠AOB，OP是角平分线；②PC⊥OA，PD⊥OB，有两个直角；要求证两个结论①∠PCD=∠PDC，两角相等；②OP是CD的垂直平分线，即垂直又平分线，也即有直角同时交点也是中点。

第二遍细读题目：对照图形读题目，读到点P是∠PDC平分线上的一点，要想到角平分线定义与角平分线性质定理，可以得到

∵点P是∠AOB平分线上一点

∴∠AOP=∠BOP=∠AOB

并将可得结论标注在图上

读到PC⊥OA、PD⊥OB，垂足为C、D，想到垂直定义及与角平分线结合又有角平分线性质定理，于是有：

①∵PC⊥OA、PD⊥OB

∴∠PCA=∠PDB=90O（垂直定义）

②∵点P是∠AOB平分线上一点

又∵ PC⊥OA，PD⊥OB

∴PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）

再读到求证∠PCD=∠PDC，想到可以推得两角相等的定理有等腰三角形的两底角相等和全等三角形对应角相等，与已知可得的条件结合发现PC=PD，⊿PDC是等腰三角形于是第①问的已知与求证取得了联系思路完成。

继续读题目，②OP是CD的垂直平分线，想到证明垂直平分线的根据目前只有定义（垂直一条线段并平分这条线段的直线就是这条线段的垂直平分线）根据定义，需要证明OP⊥CD或PE是⊿PCD中CD边上的高，即∠PEC=90埃暗鉋是CD的中点或CE=DE或PE是⊿PCD中CD边上的中线，想到PE是⊿PCD中CD边上的中线、PE是⊿PCD中CD边上的高再与前面得到的⊿PCD是等腰三角形就想到了等腰三角形三线合一，于是需要证明PO平分∠CPD即∠CPO=∠DPO，可通过证明三角形全等得到对应角相等，那么包含∠DPE与∠CPE的三角形有⊿CPO与⊿DPO或⊿CPE与⊿DPE，结合图形中标注的条件发现⊿CPO与⊿DPO是直角三角形有PC=PD、PO=PO，满足 “HL" 即可得到三角形全等到这思路就全部畅通。

（2）解决难关②，第一步：整理思路拟出大纲，第二步：根据大纲细化逻辑语言。

第一步：整理思路拟出大纲：第①问：

二、书写问题

立体几何证明中常用知识点 篇8

一、判定两线平行的方法

1、平行四边形

2、中位线定理

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（线面平行的性质定理）

4、比例关系

二、判定线面平行的方法

1、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行（线面平行的判定定理）

2、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行的性质定理1）

三、判定面面平行的方法

1、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行（面面平行的判定定理）

2、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则两面平行（面面平行的判定定理的推论）

四、判定两线垂直的方法

1、定义：成90角

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直（线面垂直的性质定理）

3、三线合一

五、判定线面垂直的方法

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直（线面垂直的判定定理）

2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直的性质定理）

六、判定面面垂直的方法

立体几何证明的突破 篇9

图

1C

2B D

【图2】

2.如图2，AB∥CD, ∠

3∶∠2＝3∶1，求∠1的度数。

【图3】

3.如图3，C在AB的延长线上，CE⊥AF

于E，交FB

于D，若∠F=40°，∠C=20°，求∠FBA的度数。

4.如图4，EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=80

°.将求∠AGD的过程填写完整.图4图6

5.如图5，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向.求∠C的度数.6.如图6，已知，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝40，求∠2的度数。

7如图7：在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=42，∠DAE＝18，求∠C的度数。

8.如图8，EF//AD，∠1＝∠2，说明：∠DGA+∠BAC=180°.已知DE//BC，B80，C56,求ADE和DEC的度数。（7分）9．如图，已知：1＝2，D＝50，求B的度数。

10．如图10，已知AB//CD，AE//CF，求证：BAEDCF。（9分）

A







A

E

B

H

2CD

F

B 图10

CE

A

图

A

D

F

B

F

D

C

E

11如图11，AB//CD，AE平分BAD，CD与AE相交于

F,CFEE。求证：AD//BC。（10分）



12．如图12，已知AB//CD，B40，CN是BCE的平分线，CMCN，求BCM的度数。

13如图，已知直线AB、CD交于点O，且∠1∶∠2 = 2∶3，∠AOC = 60°，求∠2的度数。

AC

D

EB

13．如图，AD∥BC，AC平分∠BAD交BC于C，∠B = 50°，求∠ACB的度数。

AB

14．已知：AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE于O，∠D = 60°，求∠BOF的度数。

DC

CEA

15．已知：如图，∠B =∠C，∠1 =∠2，∠BAD = 40°，求∠EDC的度数。

DF

B

16．如图，六边形ABCDEF中，∠A =∠D，∠B =∠E，CM平分∠BCD交AF于M，FN平分∠AFE交

CD于N。试判断CM与FN的位置关系，并说明理由。

B

EC

A

F

E

B

17.如图，已知：∠1＝∠2，∠3＝108°，求∠4的度数.E

B

3A

18.已知：如图，AB// CD，求图形中的x的值.CE第20题图第18题图

AB 第19题图

19.已知：如图所示，DE⊥BC，AB⊥BC，DE平分∠BDC,那么∠A=∠3吗？说明理由.20．已知：如图，在△ABC中，BDAC于D，若∠

A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，D

试求∠ABD的度数.21．已知，等腰三角形一条腰上的中线把它的周长分成了9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形各边的长．

22.已知：如图①、②，解答下面各题：

(1)图①中，∠AOB＝65°，点P在∠AOB内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，求∠EPF的度数.(2)如图②，点P在∠AOB外部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，那么∠P与∠O

A有什么关系.？为什么？

E

P

A

O

第22题图①

F

B

E

B 第22题图②的度数．

23．如图1，已知

F，求1 图1 B C

D

图

224、已知，如图2，AC∥DF，∠1＝∠A。求证：AB∥DE。

250如图3，AOC与BOC是邻补角，OD、OE分别是AOC与BOC的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．

图3

3图4图

526 图4，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠DOE＝3∠COE，求∠BOC的度数．

27如图5，直线a//b，求证：12．，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．

28题29题

29如图，AB∥DE，那么∠B、∠BCD、∠D有什么关系？ 30，一个角的余角等于这个角的补角的，求这个角.431在如图22中，已知直线AB和直线CD被直线EF所截，交点分别为E、F，∠AEF＝∠EFD.（1）直线AB和直线CD平行吗？为什么？

（2）若EM是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，则EM与

FN平行吗？为什么？

M

AB BE A B D D图2

5图26 图24图2

232如图24，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB.（1）若∠1＝∠2，求∠NOD；（2）若∠1＝

∠BOC，求∠AOC与∠MOD.433 如图25，已知：AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，请说明：AE⊥CF.34 如图26，已知∠1＝∠2，再添加什么条件可使AB∥CD成立？请说明你的理由？

图16，点D、E、F分别在AB、BC、AC

上，且DE∥AC，EF∥AB，证明“∠A+∠B+

∠C＝180

A

A

D

F 2EBC

图16

如图17，∠BAF46，∠ACE136，CE⊥CD．问CD∥AB吗？为什么？

37如图18，在△ABC中，AD是高线，点M在AD上，且∠BAD =∠DCM，求证：CM⊥AB.1,已知∠1=∠2,AB∥CD,求证:CD∥EF.CBB1EFFGBCDCE

39.图2,已知AB∥CD,∠3=30°,∠1=70°,求∠A-∠2的度数.40.图3,已知AB∥CD,∠BAE=40°,∠ECD=70°,EF平分∠AEC,求∠AEF的度数.•

一道几何证明题的思路剖析 篇10

关键词：思路剖析；一题多解；思维突破；通性通法

对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事，通过研究把蕴含其中的数学思想方法揭露出来，挖掘出问题的本质属性.这样可以提高学生的空间想象、逻辑思维能力，分析和解决问题的思维技能，优化数学的思维品质，而且还可以培养学生探索创新的能力.下面，笔者通过实例进行探讨.

三、解题反思

（一）关注解题通法 增强学生的解题能力

优秀的几何题一般存在多种解法，而辅助线通常是解决问题的桥梁.巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”，与标准答案不同的上述几种解法，其巧妙之处在于添加了辅助线，辅助线使未知与已知有了更紧密的联系，无须通过证明3次相似，证明过程大为简洁，体现了数学方法的多样性.同时也从侧面说明这是一道难得的好题，是训练学生数学思维的好素材.由此可见，通过一题多解，可以加深和巩固学生所学知识，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系，掌握各部分知识的转化关系，从而达到培养思维广阔性的目的.

（二）重视学会解题 拓展学生的思维空间

在解题教学中，题目是载体，解题是过程，方法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的，因此，解题教学切忌就题论题，片面追求容量，忽视教学功能的发掘与开发.引导学生学会解题层面的回顾与反思：如解题中用到了哪些知识？解题中用到了哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法、更一般的方法或更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？

（三）关注模型思想 强化学生的识模能力

初中几何常用的直角证明方法小结 篇11

1.利用高线或垂直得到直角。

这是最简单的直角证明方法, 学生需要注意的是图形中的高线或垂直带来的往往不止一个直角, 结合题意合理判断究竟该使用哪一个直角才是更应该掌握的。

2.在△ABC中, 如果∠A+∠B=90°, 那么∠C=90°。

从角度出发, 在△ABC中, ∠A+∠B=90°的条件结合三角形的内角和定理可以很轻易地得到另一个角是直角。

3.在△ABC中, 如果a2+b2=c2, 那么△ABC是直角三角形。

从边出发, 使用勾股定理的逆定理也能帮助我们证明一个三角形是直角三角形, 从而得到直角。

例1: (2011·湛江) 如图1, 抛物线y=x2+bx+c的顶点为D (-1, -4) , 与y轴交于点C (0, -3) , 与x轴交于A、B两点 (点A在点B的左侧) 。

(1) 求抛物线的解析式。

(2) 连接AC、CD、AD, 试证明△ACD为直角三角形。

(3) 若点E在抛物线的对称轴上, 抛物线上是否存在点F, 使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在, 求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在, 请说明理由。

此题也是贵州省安顺市2011年的中考试题, 在第二问中结合二次函数考查了利用勾股定理的逆定理证明直角三角形这一知识点。

解:在第一问中可轻易求出A (-3, 0) , 利用勾股定理可以很快求出AC2=18, CD2=2, AD2=20。

因为在△ACD中, AC2=18, CD2=2, AD2=20,

所以AC2+CD2=AD2,

所以△ACD是直角三角形。

4.若两直线平行, 那么产生的一对同旁内角的角平分线互相垂直。

例2:如图2, 已知AB//CD, AE、CE分别是∠BAC、∠ACD的平分线, 直线AE⊥CE吗?

证明:因为AB//CD,

所以∠BAC+∠ACD=180°,

因为AE、CE分别是∠BAC、∠ACD的平分线,

所以$\angle 1=\frac{1}{2}\angle BAC‚\angle 2=\frac{1}{2}\angle ACD$,

所以$\angle 1+\angle 2=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ACD=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACD)=90°$,

所以AE⊥CE。

掌握好这个模型, 那么处理其他相关的这一类型的题目就能事半功倍了。

5.一对邻补角的角平分线互相垂直。

例3:如图3, 已知:AB、CD相交于O, OE、OF分别平分∠AOC, ∠AOD,

求证:OE⊥OF。

证明:因为OE平分∠AOC, OF平分∠AOD,

所以$\angle A{\rm O}E=\frac{1}{2}\angle A{\rm O}C‚\angle A{\rm O}F=\frac{1}{2}\angle A{\rm O}D$,

因为∠AOC+∠AOD=180°,

所以$\angle A{\rm O}E+\angle A{\rm O}F=\frac{1}{2}(\angle A{\rm O}C+\angle A{\rm O}D)=90°$,

所以OE⊥OF。

据我观察, 这一模型特别容易出现在证明矩形的题中。

例4: (2010·安顺) 如图4, 在△ABC中, AB=AC, AD⊥BC, 垂足为点D, AN是△ABC外角∠CAM的平分线, CE⊥AN, 垂足为点E,

(1) 求证:

四边形ADCE为矩形;

(2) 当△ABC满足什么条件时, 四边形ADCE是一个正方形?并给出证明。

如果大家对这个模型掌握得好, 相信不用我多说第一问就能很快做出解答, 同时中学平面几何中矩形的证明方法学生也能得以加强和巩固。

6.在△ABC中, 如果一边上的中线等于这条边的一半, 那么△ABC是直角三角形。

例5:如图5, 在△ACD中CD平分AB, 且CD=AD=BD,

求证:△ABC是直角三角形。

证明:因为AD=CD,

所以∠A=∠1。

同理∠2=∠B。

因为∠2+∠B+∠A+∠1=180°,

即2 (∠1+∠2) =180°,

所以∠1+∠2=90°,

即∠ACB=90°。

所以△ABC是直角三角形。