学好立体几何

学好立体几何（精选9篇）

学好立体几何 篇1

摘要：文章总结了空间角与空间距离的多种求解方法、赏析了两道典型的立体几何解答题的一题多解,使读者对立体几何中常见问题求法有一个较全面、清醒的认识,为系统学好立体几何奠定基础.

关键词：立体几何,方法,规律,技巧,策略

一、必备解题方法

1.空间角

(1)异面直线所成的角求法

方法1:(平移法)过一条异面直线的一点,做另一条直线的平行线,将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,放在三角形中求解;若题设中有中点,常考虑中位线.

(2)线面角的求法

方法1:(几何法)经过斜线上一点作该平面的垂线,确定垂足的位置,垂足必须是特殊点,如图形的中心、垂心、重心、中点等,否则就转化为另一条与之平行的直线的线面角得以解决,或用等积法求出点面距离后放在直角三角形中得以解决.

方法3:(cosθ1·cosθ2=cosθ法)如图2所示,点A在平面ECD内的射影点B恰好在∠ECD的角平分线CB上,且BD垂直CD于点D,BE垂直CE于点E,求AC与平面ECD所成的线面角时,常考虑公式:cosθ1·cosθ2=cosθ;其中θ1=∠ACB,θ2=∠BCD,θ=∠ACD,很明显θ1就是我们所求的线面角,读者可根据图形2自行证明此公式的成立.

(3)二面角

方法1:(几何法)(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面中作棱的垂线,得到平面角.(2)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面,此平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角;由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直.(3)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到另一平面的垂线,用三垂线定理或其逆定理作出平面角;即如图3所示,若A∈α,AB⊥β,B∈β,BC⊥l,连结AC,则∠ACB为二面角α-l-β的平面角;或反之A∈α,AB⊥β,B∈β,AC⊥l,连接BC,则∠ACB为二面角α-l-β的平面角.

方法3:(S射=S斜·cosθ)利用面积射影公式S射=S斜·cos,其中θ为二面角的平面角大小,简证如图4所示,在三棱锥S-ABC中,SB垂直于底面ABC,BD垂直AC于点D,设∠SDB=θ,则S射=S△ABC=1/2·AC·BD=1/2·AC·SD·cosθ=S△ASC·cosθ=S斜·cosθ,这里θ为二面角S-AC-B的平面角.

二、空间距离

空间距离(异面直线间的距离,高考不做要求)有很多,但都可以等价转化为点面距离,下面介绍三种最常用的求解点面距离的方法.

方法1:(几何法)利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判断定理,可作出点面距离的垂线段,再通过解三角形求出距离.其中,找垂足是作垂线段的关键,一般可借助面面垂直的性质定理作面的垂线.因此,要善于挖掘、寻找条件中的面面垂直,用以作出点面距离的垂线段.

方法2:(等体积法)利用三棱锥可以把一个表面看作底面,另外一点看做顶点的性质,某些点面距离可利用等体积法转化求解.

二、典例赏析

(Ⅲ)方法1:(几何法)如图10所示,在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E,A1C1于点F,则CE为BE在平面ACC1A1上的射影,所以BE⊥C1M,所以∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角.

评注:证明线面平行的方法有:

(ⅰ)几何法.(1)利用直线与平面平行的判定定理;(2)利用面面平行的性质定理,将面面平行转化为线面平行.

(ⅱ)向量法.(1)证明该直线所在的方向向量与平面的某一法向量垂直;(2)证明该直线所在的方向向量与平面内的某直线的方向向量平行;(3)共面向量基本定理———证明该直线所在的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量(平面的一组基底)线性表示.

例2(2016年甘肃省张掖市第二次联考试题)如图11,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,过A1C作平面A1CD平行于BC1,交AB于D点,(Ⅰ)求证:CD⊥AB.(Ⅱ)若四边形BCC1B1是正方形,且,求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值.

解析:(Ⅰ)证:如图12所示,连结AC1,设AC1与A1C相交于点E,连接DE,则E为AC1中点,因为BC1∥平面A1CD,DE=平面A1CD∩平面ABC1,所以DE∥BC1,所以D为AF的中点,又因为△ABC为正三角形,所以CD⊥AB.

(Ⅱ)因为AD2+A1A2=5=A1D2,所以A1A⊥AD,又B1B⊥BC,B1B∥A1A,所以A1A⊥BC,又AD∩BC=B,所以A1A⊥平面ABC.

方法1:(向量法)如图13所示,设BC的中点为O,B1C1的中点为O1,以O为原点,OB所在的直线为x轴,OO1所在的直线为y轴,OA所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.

评注:应用向量法的前提是建立空间直角坐标系,而建立空间直角坐标系的关键是找到z轴,而找z轴通常都在垂直于底面的一个平面中寻找.

方法2:(几何法)如图14所示,取B1C1的中点H,连结A1H,则A1H⊥B1C1,因为AA1⊥面A1B1C1,故AA1⊥A1H,所以BB1⊥A1H,因为B1C1∩BB1=B1,所以A1H⊥面BCC1B1,延长A1D、B1B相交于点F,连结FH,则∠A1FH为直线A1D与平面BCC1B1所成的角.

评注:能想到延长A1D、B1B相交于点F,连结FH、A1H做出线面角是考生解题能力好、空间想象能力强的一种表现;很多时候,不怕你做不到,就怕你想不到.

方法3:(等价转化法)如图15所示,取B1C1的中点H,连结A1H,则A1H⊥B1C1.因为AA1⊥面A1B1C1,故AA1⊥A1H,所以BB1⊥A1H,

因为B1C1∩BB1=B1,所以A1H⊥平面BCC1B1.

取A1B1中点M,连结BM,过点M作MN∥A1H,则MN⊥平面BCC1B1,连结BN,因为A1D∥BM,

所以∠MBN为直线A1D与平面BCC1B1所成的角,

评注:等价转化思想是高考数学的灵魂、是制胜高考的无上法宝;如果考生在解题过程中,根据不同的问题,进行具体合理的分析,能化无形为有形,则很容易解决复杂问题.

参考文献

[1]秦晓燕.600分考点700分考法2016 A版,高考数学(理).北京:外语教学与研究出版社,2015:190-193.

学好立体几何 篇2

学好立几并不难，空间想象是关键。点线面体是一家，共筑立几百花园。点在线面用属于，线在面内用包含。四个公理是基础，推证演算巧周旋。空间之中两条线，平行相交和异面。线线平行同方向，等角定理进空间。判定线和面平行，面中找条平行线。已知线与面平行，过线作面找交线。要证面和面平行，面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。已知面与面平行，线面平行是必然；若与三面都相交，则得两条平行线。判定线和面垂直，线垂面中两交线。两线垂直同一面，相互平行共伸展。两面垂直同一线，一面平行另一面。要让面与面垂直，面过另面一垂线。面面垂直成直角，线面垂直记心间。

一面四线定射影，找出斜射一垂线，线线垂直得巧证，三垂定理风采显。空间距离和夹角，平行转化在平面，一找二证三构造，三角形中求答案。引进向量新工具，计算证明开新篇。空间建系求坐标，向量运算更简便。知识创新无止境，学问思辨勇攀登。

学好几何从明晰几何概念开始 篇3

一、 学习几何概念首先要能正确地叙述相关的定义，此时要善于抠字眼、抓主干

1. 要抠字眼，抓关键词.例如，互补角、邻补角的关键词是“补”，补成一个平角（只要补成180°即可），而其中的“邻”则又有了对位置上的要求. 又如平角的关键词是“角”，角是有顶点的.

再如平行的关键词是“平”，平是指两条直线在同一个平面内.

例1 下列说法中，正确的是（ ）.

A. 互补的两个角若相等，则这两个角都是直角

B. 直线是平角

C. 不相交的两条直线互相平行

D. 和为180°的两个角是邻补角

【正解】A.

2. 句子的主干部分就是概念的要点，如“点到直线的距离”可以把句子划分为：（①从直线外一点到这条直线的）（②垂线段的）长度叫作（③点到直线的）距离.句子的主干部分就是概念的要点，即“长度叫作距离”.再从长度与距离的定语可明确什么样的（①、②）长度叫作什么样的（③）距离.

例2 判断：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，把这条垂线段叫作这点到这条直线的距离.（ ）.

【正解】?.

二、 学习几何概念要能用字母和符号表示图形的名称、关系，反映出概念的本质

例如，在碰到角平分线时，写出OC是∠AOB的平分线的式子：∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，从而更容易理解和掌握.

例3 下列说法中正确的是（ ）.

A. 在∠ABC一边的延长线上取一点D

B. 延长直线a、b交于点C

C. 反向延长∠AOB的平分线

D. 已知线段AB=10 cm，在AB上取一点C，使AC=7 cm，CB=4 cm

【解析】∠ABC一边本身就是射线，可向一方无限延伸，不需要延长.而D中的画图语句与两线段的和不相符，不可操作.故选C.

另外，还要善于分类比较.把容易混淆的概念集中在一起研究，分清其区别和联系，做到准确地理解概念的实质.例如，在表示线段、射线、直线时，一般应在字母的前面注明“线段”“射线”或“直线”.找线段时可找线段的两个端点，找射线时应找一个端点及延伸方向，而任意两点确定一条直线.

例4 图1中共有_______条线段，_______条直线，能用字母表示的射线有_______条.

【解析】同一个图形的符号表达形式可以不同，例如以点A、B为端点的线段可以表示为线段AB，也可以表示为线段BA，表示的是同一条线段，又如射线AB与射线AC算同一条射线，其他类同.正确填法是：3，1，4.

三、 学习几何概念一定要能正确地画出反映概念的图形，能画出不同形式、不同位置的图形

例5 如图2，已知△ABC，

（1） 量取线段BC的中点D，并连结AD；

（2） 过点A画BC的垂线，垂足为E；

（3） 过E画AB的平行线交AC于点F；

（4） 画∠ABC的平分线，交AC于G.

【解析】“连结AD”是指画线段AD；“垂线”在几何概念中专指“垂直的直线”，而不是指垂线段或垂直的射线；其中的“角平分线”是专指射线，而不是其他线.这说明对概念的理解不能有任何的偏差.

例6 判断：若AC=BC，则点C是线段AB的中点.（ ）.

【解析】题中的点C可以在线段AB上，也可以在线段AB外，故此判断为“?”.

例7 平面内有两个角∠AOB=50°，∠AOC=20°，OA为两角的公共边，则∠BOC为（ ）.

A. 30° B. 70°

C. 30°或70° D. 无法确定

【解析】根据题意可知要分两种情况，一种是OC在∠AOB内部，另一种是OC在∠AOB外部.画出图形并结合图形计算可得∠BOC等于70°或30°，故选C.

四、 学习几何概念要能在复杂的图形中正确地识别表示某个概念的那部分基本图形，也能把几个简单的图形组合成一个较复杂的图形

例8 如图3，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）.

A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条

【解析】本题考查的是点到直线的距离的基本图形，例如图中有表示点C到线段AB距离的线段CA和点C到线段AD距离的线段CD，其他也可以这样类似地去找基本图形，本题答案：D.

五、 学习几何概念要能运用概念进行简单的判断、推理和计算，要在运用中强化和巩固概念，进而形成概念系统化

例9 在例8图中∠C与∠DAB相等的理由是___________________.

【解析】在本章中，要学会用“因为……，所以……”的方式进行简单推理，关键是弄清“因”与“果”的关系，逐步形成思维的逻辑性和条理性.例如，这两个角没有直接的关系，但都与∠B互余，因此填的理由应为：同角的余角相等.

例10 如图4，已知直线AB与CD相交于点O，OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线.

（1） ∠DOE的补角有______________；

（2） 若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度数；

（3） 判断射线OE与OF之间有怎样的位置关系？并说明理由.

【解析】本题考查余角与补角、角平分线的定义、角度的计算，熟记性质并准确识图，找出图中各角之间的关系是解题的关键.填（1）中的空（求补角而不是求邻补角），必须概念清晰，才能有条理思考问题，而对于（2）、（3）则要掌握用符号来进行有条理的推理的格式.

答案：（1） ∠COE，∠AOE；（2） ∠AOE=149°，∠DOF=59°；（3） 互相垂直.

一位清华大学学生在学习经验交流中就提及数学的学习是从概念的学习开始的，要更好地了解和掌握概念有一个办法就是适量做一些与概念有关的判断题和选择、填空题，这会从各个不同的角度来辨析它.要学好几何就让我们从正确理解几何概念开始吧.

学好高中立体几何之我见 篇4

一、夯实入门, 三重视是关键

1. 重视基础知识的学习是基础

立体几何的基础知识包括所有的基本概念、公理、定理和方法. 尽管它们所概括的事物及其关系普遍地存在于实际生活中, 但由于数学化的概念、公理、定理太抽象, 与实际的感受有很大的差距, 所以在开始学习阶段有一定困难, 克服困难的方法是遵循教学规律, 使立体几何知识尽量与学生的认知过程靠近, 借助实物, 注重直观思维的作用, 并逐步到分析思维, 从而达到对基础知识本质的认识.

2. 重视思维观念从二维到三维的转变

从二维平面到三维空间, 从平面几何到立体几何, 不论是图形还是概念的拓展、变化, 对学生来说都是个难点. 为此, 作为老师, 要引导学生要么通过多画直观图以提高学生的空间想象能力, 进而使学生思维观念实现由二维到三维的转变; 要么利用平面几何与立体几何的对比, 使学生思维观念实现由二维到三维的转变.

3. 重视学生空间想象能力与逻辑思维能力的培养

空间想象能力包括对事物的形状、结构、大小、位置关系的想象力. 认识图形性质的能力和画图能力不单单是空间想象力. 它和一般能力, 其他方面的几何能力都有关系, 所以培养学生空间想象力必须要学好立体几何的基本知识, 也要考虑其他方面的因素, 互相配合, 才能有好的效果. 培养良好的逻辑推理能力, 必须学好基本概念、公理和定理, 不仅要理解它们, 还要熟练地记忆它们, 掌握它们之间的联系, 同时对基础题目也要认真地书写证明过程. 另外, 对定理必须掌握其证明的逻辑推理过程以及渗透的数学思想方法.

二、“转化”思想的应用, 注重强化学生思维训练是良方

数学中的“转化”思想是指把待解决的数学问题, 通过某种转化, 变成一类已经解决或比较容易解决的问题, 从而使原问题得以解决的一种数学思想. 解立体几何问题, 要充分运用“转化”这种数学思想, 从而使问题由繁变简, 由难变易, 常见的转化有:

1. 点、线、面位置关系的相互转化

线线、线面、面面平行与垂直关系既相互依存, 又在一定条件下能相互转化. 线线平行 ( 或垂直) 、线面平行 ( 或垂直) 、面面平行 ( 或垂直) 的转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现, 平行或垂直关系的证明, 大都可以利用上述互相转化关系来证明. 数学中渗透转化思想, 可以加深学生对点、线、面位置关系的理解, 提高教学效率.

2. 体积问题中的转化

在研究简单几何体体积问题的过程中, 将一般主体体积问题转化为长方体体积问题, 一般椎体体积问题转化为三棱锥体积问题, 从而转化为柱体和椎体体积公式等. 三棱锥体积公式推导过程中, “补法”和“割法”的先后应用, 如台体的体积 ( 即补台成锥) 所展示的割补转化; 利用四面体、 平行六面体等几何体体积的自等性, 以体积为媒介沟通有关元素间的联系, 从而使问题获解, 等体积转化等, 都是转化思想在体积问题中的体现.

3. 空间几何问题向平面几何问题转化

将空间问题转化为平面问题是学习立体几何最重要的解题方法之一. 如线面垂直的判定定理转为三角形全等的平面几何问题; 旋转体的有关问题转为关于轴截面的平面几何问题; 三种角 ( 线线角、线面角、二面角) 和四种距离 ( 线线距、点面距、线面距、面面距) 从定义到具体的计算也体现了空间到平面的转化.

三、总结规律, 规范解题是目的

高中立体几何中定义定理很多, 因而解题方法很多, 要善于总结. 例如: 证明两直线互相平行的方法归纳起来就有空间两直线平行的定义、初中平面几何的有关方法或结论, 如: 同位角相等, 两直线平行等、平行公理、线面平行的性质定理、线面垂直的性质定理、面面平行的性质定理等.

在立体几何解题过程中, 常有明显的规律性. 例如: 求角先找平面角、解三角形求角, 正余弦定理、三角定义常用, 若余弦值为负, 异面角、线面角取锐角. 求距离可归纳为: 距离多是垂线段, 放到三角形中去计算, 经常用正余弦定理、 勾股定理, 若是垂线难作出, 用等积等高来转化. 在学习过程中, 要不断总结, 才能不断提高.

在平常学习过程中, 要注重规范训练, 高考大题需要写出规范的答题步骤, 否则会因此失分. 不少同学对作、证、求三个环节交待不清, 表达不够规范、严谨, 因果关系不充分, 符号语言运用不正确等. 因此我们要在平时注重规范训练, 参照课本例题作答. 在高考中, 在“按步给分”的原则下, 规范书写过程尤为重要.

四、典型结论的应用是提升

在平时的学习过程中, 对于证明过的一些典型命题, 可以把它们当做结论记下来. 在做一些选择题或填空题时, 利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目. 对于解答题而言, 虽然不能直接应用这些结论, 但有时也会帮助我们打开思路, 进而求解出答案.

浅析如何学好初中几何的论文 篇5

在初中数学的学习中，几何一直是大多数学生的难题，那么学习几何到底有没有捷径呢?我们又应该怎样来学习几何呢?

(一)对基础知识的掌握一定要牢固，在这个基础上我们才能谈如何学好的问题。例如我们在证明相似的时候，如果利用两边对应成比例及其夹角相等的方法时，必须注意所找的角是两边的夹角，而不能是其它角。在回答圆的对称轴时不能说是它的直径，而必须说是直径所在的直线。像这样的细节我们必须在平时就要引起足够的重视并且牢固掌握，只有这样才是学好几何的基础。

(二)善于归纳总结，熟悉常见的特征图形。举个例子，如图，已知a，b，c三点共线，分别以ab，bc为边向外作等边△abd和等边△bce，如果再没有其他附加条件，那么你能从这个图形中找到哪些结论?

如果我们通过很多习题能够总结出：一般情况下题目中如果有两个有公共顶点的等边三角形就必然会出现一对旋转式的`全等三角形的结论，这样我们很容易得出△abe≌△dbc，在这对全等三角形的基础上我们还会得出△emb≌△cnb，△mbn是等边三角形，mn∥ac等主要结论，这些结论也会成为解决其它问题的桥梁。在几何的学习中这样典型的图形很多，要善于总结。

(三)熟悉解题的常见着眼点，常用辅助线作法，把大问题细化成各个小问题，从而各个击破，解决问题。

在我们对一个问题还没有切实的解决方法时，要善于捕捉可能会帮助你解决问题的着眼点。例如，在一个非直角三角形中出现了特殊的角，那你应该马上想到作垂直构造直角三角形。因为特殊角只有在特殊形中才会发挥作用。再比如，在圆中出现了直径，马上就应该想到连出90°的圆周角。遇到梯形的计算或者证明问题时，首先我们心里必须清楚遇到梯形问题都有哪些辅助线可作，然后再具体问题具体分析。举个例子说，如果题目中说到梯形的腰的中点，你想到了什么?你必须想到以下几条，第一你必须想到梯形的中位线定理。第二你必须想到可以过一腰的中点平移另一腰。第三你必须想到可以连接一个顶点和腰的中点然后延长去构造全等三角形。只有这几种可能用到的辅助线烂熟于心，我们才能很好的解决问题。其实很多时候我们只要抓住这些常见的着眼点，试着去作了，那么问题也就迎刃而解了。另外只要我们想到了，一定要肯于去尝试，只有你去做了才可能成功。

(四)考虑问题全面也是学好几何至关重要的一点。在几何的学习中，经常会遇到分两种或多种情况来解的问题，那么我们怎么能更好的解决这部分问题呢?这要靠平时的点滴积累，对比较常见的分情况考虑的问题要熟悉。例如说到等腰三角形的角要考虑是顶角还是底角，说到等腰三角形的边要考虑是底还是腰，说到过一点作直线和圆相交，要考虑点和圆有三种位置关系，所以要画出三种图形。这样的情况在几何的学习中是非常常见的，在这里不一一列举，但大家在做题时一定要注意考虑到是否要分情况考虑。很多时候是你平常注意积累了，你心里有了这个问题，你作题时才会自然而然的想到。

如何学好初中几何 篇6

一、在学习几何的起始阶段, 我们主要是

引导学生自己动手实验、操作, 在观察和实验的活动中, 培养对几何这门学科的学习兴趣, 掌握几何知识的来龙去脉, 学到思考规律的方法, 并从中感受到发现的欢乐, 在不断的、多次的实践中促进思维能力的提高

例如:女儿圆圆生日时, 爸爸给她买了一个圆柱形的生日蛋糕, 圆圆想把蛋糕切成大小不一定相等的若干块 (不少于10块) , 分给10个小朋友, 若规定只能沿着竖直方向切分这块蛋糕, 则至少需要切几刀?

(“希望杯”邀请赛试题)

这本来是一个:在圆内画两个端点在圆周上的线段, 这些线段可以把圆分成若干个部分。当至少画几条线段时, 才能把圆分成不少于10部分。而今却以学生感兴趣的问题出现, 大大降低了学生的压力, 使之在轻松愉快的动手操作中完成问题的解答。

二、引导学生充分利用图形直观性的特点, 培养其仔细观察、勤于动手的习惯, 并使

其通过对图形的结构分析, 提高其抽象概括能力

在河北省一次竞赛中, 出现了下面一题:

例:棱长为a的正方体, 摆放成如图所示的形状:

(1) 如果这一物体摆放一层, 那么这物体的表面积是多少?

(2) 如果这一物体摆放二层, 那么这物体的表面积是多少?

(3) 如果这一物体摆放三层, 那么这物体的表面积是多少?

(4) 依图中摆放方法类推, 如果该物体摆放了上下20层, 那么该物体的表面积是多少?

分析:事先要求学生做成了一个可以拆装的如图所示的几何体, 当只有一层时, 从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体, 可以得到这个几何体的平面图形 (每个方向一个正方形) ;当有两层时, 再从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体, 又可以得到这个几何体平面图形 (每个方向两个正方形) ;当有三层时, 再从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体, 又可以得到这个几何体平面图形 (每个方向三个正方形) ;……当有n层时, 再从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体, 又可以得到这个几何体平面图形 (每个方向个正方形) , 将结果填入下表:

通过观察上表中的数据, 使学生很容易想到以前学过的知识, 总结出从各个方向看到的正方形的个数, 与摆放层数n之间存在的关系, 故其看到的几何体的表面积应该为

三、养成教育

学好初中几何寻找高峰体验 篇7

一、初中几何“难教难学”的原因

1. 从课程内容上来看

习惯了以数为数学学习主要内容的学生, 当其开始系统地学习平面几何时, 会有一个适应阶段。在这一阶段里, 学习对象主要是以图形为主, 如点、线、角、面等, 运用到的知识除了基本的概念之外, 还有命题与逆命题、定理与逆定理, 以及为了问题的解决而作的辅助线等。这些内容与学生之前所接触的以数及逻辑运算为主要内容的数学, 有着很大的不同。学习内容的急剧转换导致的不适应, 成了几何“难教难学”的一个重要原因。

2. 从学生的角度来看

由于几何的研究对象是图形, 而图形又是事物的抽象概括, 要用到的是抽象思维。而且, 在具体的问题解决中, 除了运用到原来的计算之外, 还运用到了诸多推理方法。当我们对学生提出以“因为如何”推理出“所以如何”时, 这对习惯了形象思维、习惯了以数和四则运算来学习数学的初中生而言, 是一个不小的挑战。

结合几何学习内容及学习方法的特点, 去想方设法地激发学生的学习兴趣, 是实施有效几何教学的重要出发点。事实上, 几何本身有着重要的兴趣点可供发掘。笔者在初中时期的数学本学得不是太好, 但后来却有了明显的进步, 一个重要的原因就是在学习几何中感受到了成就感。而之所以能够如此, 也正是因为当时的数学老师, 能够将几何学习与许多有趣的内容结合起来, 将枯燥的数学知识以有趣的方式呈现出来, 从而使学生们亲之、好之、乐之。

现如今, 当笔者自己以数学教师的身份站在学生面前教授几何知识时, 也常设法激发学生的学习兴趣。在这样的努力中, 笔者总结出些许经验。

二、解决初中几何“难教难学”的策略

1. 要善于将教材中的内容与学生的实际生活结合起来, 尤其是要挖掘教材内容背后的生活模型

因为我们的几何教材呈现给学生的都是高度抽象的图形, 在学生的实际生活中其实是不直接存在这些图形的。而研究又表明, 学好几何必须有两个前提:一是让学生产生直观的感觉, 而这离不开对实物的感知;二是要学会必要的抽象思维, 因为欧氏几何研究的毕竟是抽象的图形。要将两者结合, 关键就在于寻找到两者的契合点。

例析1:如图, 直线MN一侧有两个点A、B, 直线上一点P到A与B距离之和最短时, 点P在哪儿?

这一几何问题通常被生活化为:一个人想从河边的A处出发, 到河里拎一桶水后送到B处, 怎么走路程是最短的?显然, 后者比前者更能激发学生的研究兴趣;而后者也能给学生提供一个思考的机会, 即将后者所展示的实际情形抽象成类似于前者的几何问题, 这可以培养学生的抽象能力, 进而培养学生的思考能力。

2. 要帮学生建立好几何知识的基本架构, 尤其是要重视基本概念的教学

几何的抽象性体现在其研究对象都是点、线、角等概念, 这些概念有时看起来简单, 但集合在一起时往往不容易辨别其中的关系。

例析2:过直线AB外一点M作AB的垂线。

在初中“点到直线的距离”的教学中, “点到直线的距离”必须要过某点作该直线的垂线段, 垂线段的长度就是“点到直线的距离”。从概念上说, 就是一个点、两根线和一个直角。这道看似非常简单的题目其实却有着比较高的错误率, 其原因在哪里呢?其实只要教师注意到初中这一年龄阶段学生的认知特点就明白了, 即学生并没有真正建立起由一个点到另一根直线之间的垂直表象。故, 笔者此处所说的建立架构, 既包括知识上的架构, 也包括学生思维对象的架构, 即以数学图景为表现形式的心理表象的建立。

笔者的做法是这样的:将自己的拳头看作一个点, 然后找一根细杆作为直线, 在手指上系一根皮筯, 任意改变细杆的位置, 然后将皮筯拉向细杆, 并使其垂直于细杆, 则此时皮筋的长度所表示的就是拳头到细杆的距离, 即点到直线的距离。通过多次变化、重复训练, 学生就能掌握此类知识, 当他们再遇到类似的问题时, 就能比较迅速地找出点到直线的距离。

3. 帮助学生学好几何语言

几何知识是用几何语言, 即几何知识中的各种符号、图形及表达文字来表达的。也许数学教师对几何教学中所用的如⊙、∥、⊥、□等符号已司空见惯, 可事实上对于不懂几何的人而言, 或者对于刚学习几何的学生而言, 这是非常抽象的, 更别说其他的规律、定理了, 所以必须教会学生读懂这些几何语言。

有些几何符号还是具有较强的表象性特点的, 例如上述几个符号都基本上能看出一点几何特点, 但对于平行线知识中的内错角、同旁内角, 以及三角形中的中位线等概念, 就必须进行必要的讲授与训练, 学生才能熟练掌握。

此外, 任何一个几何规律, 都不能只单纯地记文字, 必须在思维中有相应的数学图像支撑。例如, 记忆“两直线平行, 同旁内角互补”时, 就要求学生头脑中能及时浮现两条直线平行的情形, 知道哪两个角是同旁内角的关系, 然后再…想象它们加起来等于180度。养成这种利用想象表象辅助…学习的习惯, 对于几何学习而言是一件非常有益的事情。…

几何语言最重要的应用是在证明题上, 故常有几何证…明是几何学习的制高点的说法。事实也是如此, 只要学会了…几何证明, 那几何学习的问题就几乎全部解决了。而几何证……明的过程, 实际上又是利用已有的知识, 借助于逻辑推理, …从已知走向求证的过程。逻辑推理是其中的难点与关键。回…溯欧氏几何的诞生与演变历程, 可以看出逻辑推理最初是…基于公理的, 公理与现在学生所学的定理等是不一样的, 但…其在历史上的地位与学生的证明起点其实却又是相似的。…故研究几何发展史上的经典推理典故, 对于培养学生的推……理兴趣与能力是有益的。…

由于推理本身有着明显的个性心理特征, 因此拙作暂…不具体阐述如何进行逻辑推理能力的培养, 只从教学目的上着眼:什么时候我们能让学生明白几何证明其实就是基于已知, 寻找通向未知的路;什么时候让学生感受到证明的过程就是“因为”与“所以”交替进行、不断说理的过程, 那也可以说学生是懂得了证明的真义了。而要做到这些, 仅凭口头教育是不可能达到的, 必须让学生在几何证明题的演绎中去亲身体验。

几何或许是难学的, 但这种难恰恰体现了几何作为人类文化结晶的固有特点与魅力。而教师引领学生学好几何的过程, 又正是克服困难、感受魅力、寻找高峰体验的一段奇妙之旅!

摘要：学习内容的急剧转换导致的不适应, 成为了几何难学的一个重要原因。同时, 当教师对学生提出以“因为如何”推理“所以如何”时, 这对习惯了形象思维、习惯了以数和四则运算来学习数学的初中生而言, 是一个不小的挑战。

学好初中几何的七部曲 篇8

一、树立信心, 自我激励, 是学好几何的前提

在学习过程中, 影响最大的莫过于是选择乐观的学习态度还是悲观的学习态度, 这种选择可能给学习带来激励, 也有可能阻滞学习。也就是说, 首先要树立起“我能行, 我能学好”的信心, 然后要学习自我激励, 也就是要善于发现自己在这方面的进步, 并给自己以鼓励。有了这两样, 就奠定了学习成功的基石。

二、掌握概念, 是学好几何的基础

几何概念对学习好几何知识是至关重要的, 不理解几何概念, 学习几何知识就无从谈起。概念上用很精辟的语言描述的, 要学好概念, 首先要弄清概念的三方面: (1) 定义——对概念; (2) 图形——对定义的直观形象描绘; (3) 表达方式——对定义本质属性的反映。我们要注意概念间的区别和联系, 同时要将图形和语言描述结合起来, 要在理解的基础上记住公理、定理、法则、性质。

三、理解并正确运用几何语言, 是学好几何的关键

几何语言是非常精炼准确的, 它分为文字语言、符号语言和图形语言。这三种几何语言通常是联系在一起的, 对它的学习要严谨、准确, 要能将这三种语言“互译”, 要能将通常的语言翻译成几何语言。如:∠1和∠2互为余角 (文字语言) ;∠1+∠2=90°, ∠1=90°-∠2, ∠2=90°-∠1 (符号语言) ;等。只有这样我们才能“表情达意”。

高中教材实验修订本。必修第二册 (上) (以下简称课本) 第119页习题:过抛物线=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交, 两个交点的纵坐标为y1……y2求证:y1y2=-p2。

证明:设过焦点的直线为即:将上式代入y2=2px, 得

去分母后整理得ky2-2py-kp2=0

设这方程的两根为y1 y2, 则有

题目旨在论证满足条件的两交点的纵坐标的积为定值-p2, 这是关于抛物线焦点弦的一条重要性质, 其证明方法却是解决直线与圆锥曲线位置关系的最重要、最常用的方法, 不仅如此, 题目在示范性、可延伸性及知识网络的构建上也给我们提供了切实可行的机会 (值得注意的是这类题常常为高考题的背景来源之一)

改变题目的条件、结论、作延伸变换

变式一:过抛物线y2=2px轴上的点 (np, 0) (n>0) 作直线交抛物线于A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点则y1y2=-2np2

证明:设过点 (np, 0) 的直线为y=k (x-np) (k≠0)

则

将上式代入y2=2px, 得去分母后整理得:ky2-2py-2knp2=0

设这个方程的两根为y1y2则有当斜率k不存在时, 则过点 (np, 0) 的直线为x=np将上式代入y2=2px, 得y2=2p.np=2np2

设这个方程的两根为c1y2则有y1y2=-2np2

变式二:过抛物线y2=2px轴上的点 (np, 0) (n>0) 作直线交抛物线于A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点, 设O为坐标原点, 求OA垂直于OB的充要条件。

四、学会画图, 是学好几何的必备条件

几何图形是学习研究的主要对象, 画图能将几何问题具体化、形象化。画准图形是解 (证) 几何题的基础, 画出正确的符合题意的图形能给解题带来清晰的思路, 让你豁然开朗, 有些题目是画好图形, 答案就出来了;反之则给思考问题、解决问题带来错觉, 甚至把思维引入歧途。

五、联想是学好几何的重点所在

在几何的学习中, 要学会联想, 也就是说当一个题给出条件后, 要把与这个条件相关的知识都在大脑中反映出来, 而告诉的这个条件就隐含了很多已知条件。比如:已知直角三角形中……则马上就要联想到: (1) 角的关系。有一个角是90°;两个锐角互余;三内角和等于180°。 (2) 边的关系。勾股定理;射影定理;斜边上的中线等于斜边的一半, 等。当然, 要能作出这样的反应, 就必须要求平时能将这些公理、定理、性质熟记于胸。

六、熟悉辅助线, 是学好几何的难点

几何学习中, 常会遇到一些需要作辅助线的情况, 而辅助线常是解 (证) 几何题的一个桥梁, 因此要掌握一些常用辅助线的作法。我们常见的辅助线有:作角平分线、作垂直 (高) 、外平移、作中位线、作平行线、作圆周角等。在哪种情况下作什么辅助线就需要平时多积累、归纳、总结, 只有将常用的辅助线烂熟于胸, 才能更好、更快地解决几何问题。

七、正确的书写格式是学好几何的必备素质

几何的解 (证) 题与代数在解 (证) 题上有很大区别。几何借助图形思考, 言必有据, 其一般书写格式为: (1) 根据题意画出图形。 (2) 分清命题的题设和结论, 结合图形在已知中写出题设, 在求证中写出结论。 (3) 在证明中写出推理过程。几何题的证明方法有两种, 一种是直接法, 一种是间接法 (反证法) , 其书写格式应在老师指导下进行训练, 熟练掌握。

在初中几何的学习中, 做到了这七个方面, 则学习几何就会轻松有趣, 并能真正学好这门课。

充分利用课本例习题的作用

◇谭小红

略解:由变式一有y1y2=-2np2

又

若OA⊥OB.则KOA.KOB=-1

∴n=2.反之, 当n=2时, KOA.KOB=-1有OA⊥OB。

变式三:过抛物线y2=2px轴上的点 (np, 0) (n>0) 作直线交抛物线于A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点, 求弦长|AB|的最值。

设直线AB的方程: (0<α<π) 代入y2=2px

于是U在[1, +∞]上递增。

∴当a=1即时, U有最小值2n而无最大值。

因此|AB|无最大值, 而当时, 即AB⊥x轴时

掌握基本概念是学好几何的开始 篇9

一、线段的轴对称性

1.线段是轴对称图形,线段的垂直平分线就是它的对称轴.

2.线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

3.线段的垂直平分线的判定:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

例1如图1,若该小船从点A航行到点B的过程中先要到达岸边l的点P处补给后,再航行到点B,但要求航程最短,试在图中画出点P的位置.

【解析】如图2,点A′与点A关于直线l成轴对称,连接A′B交直线l于点P,则点P为所求.

例2如图3,已知AB= AC,DE垂直平分AB,交AB、 AC于D、E两点,若AB = 12 cm,BC=10 cm,求△BCE的周长.

【解析】本题利用题中条件DE垂直平分AB,得到AE=BE,△BCE的周长就转化为BC与AC两条线段的和,所以l△BCE=22 cm.

【点评】这题考查了线段的垂直平分线的性质,是典型的线段转化问题.

二、角的对称性

1.角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.

2. 角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.

3. 角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

例3如图4,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=DC. BE与DF相等吗?请说明理由.

【解析】题中的条件满足角平分线的性质,容易得到CF=CE,再结合题中给出的条件BC=DC,利用直角三角形全等的判定 “HL”定理证明△FDC≌△EBC,由全等三角形的对应边相等得到BE=DF.

【点评】本题主要利用角平分线的性质得到两直角三角形的一对直角边对应相等,从而用全等三角形的知识解决问题, 所以由题目的条件联想得到对应的结论, 是我们做几何题的常用思路.

例4如图5, OP平分∠AOB,PA⊥ OA,PB⊥OB,垂足分别为A、B. 下列结论中,不一定成立的是().

A. PA=PB B. PO平分∠APB

C. OA=OB D. AB垂直平分OP

【解析】由角平分线的性质可得PA=PB, 故A选项正确,再用角平分线的判定说明B也是正确的,利用直角三角形全等的判定“HL”定理证明△AOP≌△BOP,得到C也是正确的,所以最后D是不一定成立的.

【点评】综合考查了角平分线的性质和判定,同时考查了直角三角形全等的判定方法.

三、等腰三角形的对称性

1.等腰三角形是轴对称图形,顶角的平分线所在直线是它的对称轴.

2.等腰三角形的性质:1等边对等角;2三线合一.

3. 等腰三角形的判定:等角对等边.

例5如图6,已知AB=AC,AD=AE. 求证:BD=CE.

【点评】本题考查了等腰三角形“三线合一”性质,所以看见等腰三角形就要想到“三线合一”,作出底边上的高线,这是解决等腰三角形相关问题常规的添线方法.

例6如图7, 在△ABC中,∠ACB= 90° ,CD ⊥AB于点D,AE平分 ∠CAB交CD于点F.试说明CE=CF.

【点评】本题综合运用角平分线的定义, 内角和外角的关系和等角对等边来说明CE=CF.学习了等角对等边以后,今后如果我们要证明两条线段相等,除了考虑线段的转化、三角形全等,还有一种方法就是等角对等边.