学好初中几何

2024-05-10

学好初中几何（通用9篇）

学好初中几何篇1

初中几何时期, 历来被称为:几何的入门阶段, 这一时期学习的好坏, 直接影响着今后的学习, 下面就如何学好初中几何, 谈谈自己的看法。

一、在学习几何的起始阶段, 我们主要是

引导学生自己动手实验、操作, 在观察和实验的活动中, 培养对几何这门学科的学习兴趣, 掌握几何知识的来龙去脉, 学到思考规律的方法, 并从中感受到发现的欢乐, 在不断的、多次的实践中促进思维能力的提高

例如:女儿圆圆生日时, 爸爸给她买了一个圆柱形的生日蛋糕, 圆圆想把蛋糕切成大小不一定相等的若干块 (不少于10块) , 分给10个小朋友, 若规定只能沿着竖直方向切分这块蛋糕, 则至少需要切几刀?

(“希望杯”邀请赛试题)

这本来是一个:在圆内画两个端点在圆周上的线段, 这些线段可以把圆分成若干个部分。当至少画几条线段时, 才能把圆分成不少于10部分。而今却以学生感兴趣的问题出现, 大大降低了学生的压力, 使之在轻松愉快的动手操作中完成问题的解答。

二、引导学生充分利用图形直观性的特点, 培养其仔细观察、勤于动手的习惯, 并使

其通过对图形的结构分析, 提高其抽象概括能力

在河北省一次竞赛中, 出现了下面一题:

例:棱长为a的正方体, 摆放成如图所示的形状:

(1) 如果这一物体摆放一层, 那么这物体的表面积是多少?

(2) 如果这一物体摆放二层, 那么这物体的表面积是多少?

(3) 如果这一物体摆放三层, 那么这物体的表面积是多少?

(4) 依图中摆放方法类推, 如果该物体摆放了上下20层, 那么该物体的表面积是多少?

分析:事先要求学生做成了一个可以拆装的如图所示的几何体, 当只有一层时, 从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体, 可以得到这个几何体的平面图形 (每个方向一个正方形) ;当有两层时, 再从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体, 又可以得到这个几何体平面图形 (每个方向两个正方形) ;当有三层时, 再从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体, 又可以得到这个几何体平面图形 (每个方向三个正方形) ;……当有n层时, 再从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体, 又可以得到这个几何体平面图形 (每个方向个正方形) , 将结果填入下表:

通过观察上表中的数据, 使学生很容易想到以前学过的知识, 总结出从各个方向看到的正方形的个数, 与摆放层数n之间存在的关系, 故其看到的几何体的表面积应该为

三、养成教育

即在平时的学习生活中, 引导学生养成努力学习, 勇于克服困难的决心。学习的最基本目的是为了解决生活实际问题, 在教学时, 要时刻体现学习为主生活的目的, 使学生清楚知道自己在干什么, 为什么要这样做, 从而激发其内在的学习紧迫感。

学好初中几何篇2

(二)善于归纳总结，熟悉常见的特征图形。

(三)熟悉解题的常见着眼点，常用辅助线作法，把大新问题细化成各个小新问题，从而各个击破，解决新问题。在我们对一个新问题还没有切实的解决方法时，要善于捕捉可能会帮助你解决新问题的着眼点。例如，在一个非直角三角形中出现了非凡的角，那你应该马上想到作垂直构造直角三角形。因为非凡角只有在非凡形中才会发挥功能。再比如，在圆中出现了直径，马上就应该想到连出90°的圆周角。碰到梯形的计算或者证实新问题时，首先我们心里必须清楚碰到梯形新问题都有哪些辅助线可作，然后再具体新问题具体分析。

如何学好立体几何篇3

1 空间想象能力的基本内涵

中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力.它是新课标赋予立体几何课程教学的主要目的.在教学上，力求做到使学生能将空间物体形态抽象为空间几何图形，能从给定的立体图形想象出实体形状以及几何元素在空间的实际位置关系，并能用语言符号或式子表达出来且能正确解题.空间想象能力具体包括以下几个方面：

1.1 熟悉基本几何图形（平面或空间），并能找出其概念原型，能正确的画出实物、语言或数学符号表述的几何图形；

1.2 能分析图形中的基本元素之间的位置关系及度量关系，明确几何图形与实物空间形式的区别与联系；

1.3 能借助于图形来反映并思考客观事物或用数学语言表达的空间形状和位置关系；

1.4 能对画出的图形或头脑中已有的形象进行分析、组合、从而产生新的空间形象并能判断其性质.

2 培养空间想象能力方法与途径

2.1 加强几何教学与实际的联系，以培养空间观念。空间想象能力的基础是空间观念，而空间观念是基于我们现实世界的直接感知与认识，因此，应加强几何教学同实际的联系，帮助学生将具体的现实空间同抽象的几何概念统一起来，以培养和发展空间观念.在实际教学过程中应运用生活实例或实际问题引入几何概念、探讨几何图形的性质.同时给予学生动手操作、实践活动的机会，以发展空间观念.

2.2 处理好实物或模型与几何图形的关系。在几何学习、特别是立体几何学习中，学生所获得的空间信息主要是来源于实物（模型）、几何图形、语言描述以及它们之间的相互转换.因此，要培养学生的空间想象能力，在几何教学中必须处理好实物（模型）、图形、语言之间的关系.

2.2.1 恰当的运用实物模型进行直观教学.初始阶段，教师如能恰当的运用实物、模型，可使抽象的事物获得生动的形象，使平面上的图形有了立体感.比如老师对金字塔的语言描述唤起了学生头脑中相应的表象，再通过观察棱锥的直观模型，学生便获得了对棱锥几何体的整体形象认识，在这基础上画出直观图就成为棱锥概念的形象表示，以后一提及棱锥，大脑便出现相应的图形，可见在几何概念形成的过程中，直观模型起了重要的作用.

2.2.2 进行画图训练，实现由“模型”到“图形”的过渡，要使学生摆脱对直观图形的依赖，必须进行画图训练.当然，画图训练应有层次性.首先训练会画平面图形，空间几何体的的直观图，画好后引导学生将直观图与实物模型作对比，再根据直观图想象其实际形状.这样做对提高空间想象能力，逐步丢掉“模型”是有显著的作用的.然后让学生根据语言描述画出相应的图形.如讲直线与平面的位置关系时，教师说明其关系有三种：在面内，相交、平行，再让学生用适当的图形将这些位置关系表示出来.在训练画图的过程中，不仅要求学生会画，而且要求画出很强的立体感.比如让学生画出表示两条异面直线的图形，然后要求学生判断哪些最具有立体感，在此过程中空间想象能力自然增强了.

2.3 增强对图形的加工、变换能力。按照英国心理学家查得·斯根普的观点，几何图形是一种视觉符号，与表象的形成密切相关.因此，图形以及图形的加工、变换能力在培养与发展空间想象能力的过程中起了关键作用.图形的变换一般有二种类型：

2.3.1 图形的运动与变式。当学生已逐步摆脱掉直观模型的束缚，转而对图形进行认识时，应适当增加图形的运动变化的训练，力求在图形的变式与运动过程中从根本上认识图形的本质特征，克服一些由图形带来的思维障碍.

2.3.2 图形的分解与组合。在几何问题中给出的几何图形，常由表达基本概念、定理的基本图形经过组合、分解、交错，叠加形成，这样的图形容易干扰对几何对象的感知，也影响了对基本图形之间关系的发现.要克服诸如此类的障碍，教学中常见的方法是运用彩色粉笔从背景图形中勾画出几何对象.如果从培养空间想象能力角度思考，比较积极的办法是让学生进行图形的分解与组合的练习.在平几或立体几何中，图形的分解与组合的练习可以有多种形式.比如，经过平移旋转、对称变换等运动，简单的图形演变为复杂图形.将平面图形折叠成空间几何体、或将空间几何体的表面展开，或将空间几何体进行割补，或在复杂图形中寻找基本元素的关系等等，这些都是极好的训练素材.

2.4 进行抽象问题形象化训练，培养几何直觉能力。将抽象问题形象化的几何直觉能力是空间想象能力的最高层次，是空间观念、意识、想象力在处理数学问题时的迁移和运用.因此几何直觉能力的训练与培养应贯穿于整个高中数学教学过程中.前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫曾经说过：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化……，几何想象，或如同人们所说的几何直觉，对于几乎所有的数学分科的研究工作，甚至对于最抽象的工作有着重大意义.”由此可见，在数学学习中，几何的视觉化，形象化的能力不仅有助于促进数学知识的理解、记忆和提取，而有助于提出数学问题，解决数学问题.因此人们常把几何形象化、直观化看作培养创新能力的基础，其在教学中的重要性不言而喻.

学好初中几何寻找高峰体验篇4

一、初中几何“难教难学”的原因

1. 从课程内容上来看

习惯了以数为数学学习主要内容的学生, 当其开始系统地学习平面几何时, 会有一个适应阶段。在这一阶段里, 学习对象主要是以图形为主, 如点、线、角、面等, 运用到的知识除了基本的概念之外, 还有命题与逆命题、定理与逆定理, 以及为了问题的解决而作的辅助线等。这些内容与学生之前所接触的以数及逻辑运算为主要内容的数学, 有着很大的不同。学习内容的急剧转换导致的不适应, 成了几何“难教难学”的一个重要原因。

2. 从学生的角度来看

由于几何的研究对象是图形, 而图形又是事物的抽象概括, 要用到的是抽象思维。而且, 在具体的问题解决中, 除了运用到原来的计算之外, 还运用到了诸多推理方法。当我们对学生提出以“因为如何”推理出“所以如何”时, 这对习惯了形象思维、习惯了以数和四则运算来学习数学的初中生而言, 是一个不小的挑战。

结合几何学习内容及学习方法的特点, 去想方设法地激发学生的学习兴趣, 是实施有效几何教学的重要出发点。事实上, 几何本身有着重要的兴趣点可供发掘。笔者在初中时期的数学本学得不是太好, 但后来却有了明显的进步, 一个重要的原因就是在学习几何中感受到了成就感。而之所以能够如此, 也正是因为当时的数学老师, 能够将几何学习与许多有趣的内容结合起来, 将枯燥的数学知识以有趣的方式呈现出来, 从而使学生们亲之、好之、乐之。

现如今, 当笔者自己以数学教师的身份站在学生面前教授几何知识时, 也常设法激发学生的学习兴趣。在这样的努力中, 笔者总结出些许经验。

二、解决初中几何“难教难学”的策略

1. 要善于将教材中的内容与学生的实际生活结合起来, 尤其是要挖掘教材内容背后的生活模型

因为我们的几何教材呈现给学生的都是高度抽象的图形, 在学生的实际生活中其实是不直接存在这些图形的。而研究又表明, 学好几何必须有两个前提:一是让学生产生直观的感觉, 而这离不开对实物的感知;二是要学会必要的抽象思维, 因为欧氏几何研究的毕竟是抽象的图形。要将两者结合, 关键就在于寻找到两者的契合点。

例析1:如图, 直线MN一侧有两个点A、B, 直线上一点P到A与B距离之和最短时, 点P在哪儿?

这一几何问题通常被生活化为:一个人想从河边的A处出发, 到河里拎一桶水后送到B处, 怎么走路程是最短的?显然, 后者比前者更能激发学生的研究兴趣;而后者也能给学生提供一个思考的机会, 即将后者所展示的实际情形抽象成类似于前者的几何问题, 这可以培养学生的抽象能力, 进而培养学生的思考能力。

2. 要帮学生建立好几何知识的基本架构, 尤其是要重视基本概念的教学

几何的抽象性体现在其研究对象都是点、线、角等概念, 这些概念有时看起来简单, 但集合在一起时往往不容易辨别其中的关系。

例析2:过直线AB外一点M作AB的垂线。

在初中“点到直线的距离”的教学中, “点到直线的距离”必须要过某点作该直线的垂线段, 垂线段的长度就是“点到直线的距离”。从概念上说, 就是一个点、两根线和一个直角。这道看似非常简单的题目其实却有着比较高的错误率, 其原因在哪里呢?其实只要教师注意到初中这一年龄阶段学生的认知特点就明白了, 即学生并没有真正建立起由一个点到另一根直线之间的垂直表象。故, 笔者此处所说的建立架构, 既包括知识上的架构, 也包括学生思维对象的架构, 即以数学图景为表现形式的心理表象的建立。

笔者的做法是这样的:将自己的拳头看作一个点, 然后找一根细杆作为直线, 在手指上系一根皮筯, 任意改变细杆的位置, 然后将皮筯拉向细杆, 并使其垂直于细杆, 则此时皮筋的长度所表示的就是拳头到细杆的距离, 即点到直线的距离。通过多次变化、重复训练, 学生就能掌握此类知识, 当他们再遇到类似的问题时, 就能比较迅速地找出点到直线的距离。

3. 帮助学生学好几何语言

几何知识是用几何语言, 即几何知识中的各种符号、图形及表达文字来表达的。也许数学教师对几何教学中所用的如⊙、∥、⊥、□等符号已司空见惯, 可事实上对于不懂几何的人而言, 或者对于刚学习几何的学生而言, 这是非常抽象的, 更别说其他的规律、定理了, 所以必须教会学生读懂这些几何语言。

有些几何符号还是具有较强的表象性特点的, 例如上述几个符号都基本上能看出一点几何特点, 但对于平行线知识中的内错角、同旁内角, 以及三角形中的中位线等概念, 就必须进行必要的讲授与训练, 学生才能熟练掌握。

此外, 任何一个几何规律, 都不能只单纯地记文字, 必须在思维中有相应的数学图像支撑。例如, 记忆“两直线平行, 同旁内角互补”时, 就要求学生头脑中能及时浮现两条直线平行的情形, 知道哪两个角是同旁内角的关系, 然后再…想象它们加起来等于180度。养成这种利用想象表象辅助…学习的习惯, 对于几何学习而言是一件非常有益的事情。…

几何语言最重要的应用是在证明题上, 故常有几何证…明是几何学习的制高点的说法。事实也是如此, 只要学会了…几何证明, 那几何学习的问题就几乎全部解决了。而几何证……明的过程, 实际上又是利用已有的知识, 借助于逻辑推理, …从已知走向求证的过程。逻辑推理是其中的难点与关键。回…溯欧氏几何的诞生与演变历程, 可以看出逻辑推理最初是…基于公理的, 公理与现在学生所学的定理等是不一样的, 但…其在历史上的地位与学生的证明起点其实却又是相似的。…故研究几何发展史上的经典推理典故, 对于培养学生的推……理兴趣与能力是有益的。…

由于推理本身有着明显的个性心理特征, 因此拙作暂…不具体阐述如何进行逻辑推理能力的培养, 只从教学目的上着眼:什么时候我们能让学生明白几何证明其实就是基于已知, 寻找通向未知的路;什么时候让学生感受到证明的过程就是“因为”与“所以”交替进行、不断说理的过程, 那也可以说学生是懂得了证明的真义了。而要做到这些, 仅凭口头教育是不可能达到的, 必须让学生在几何证明题的演绎中去亲身体验。

几何或许是难学的, 但这种难恰恰体现了几何作为人类文化结晶的固有特点与魅力。而教师引领学生学好几何的过程, 又正是克服困难、感受魅力、寻找高峰体验的一段奇妙之旅!

摘要：学习内容的急剧转换导致的不适应, 成为了几何难学的一个重要原因。同时, 当教师对学生提出以“因为如何”推理“所以如何”时, 这对习惯了形象思维、习惯了以数和四则运算来学习数学的初中生而言, 是一个不小的挑战。

理解概念是学好几何的前提论文篇5

刚入初中的新同学常听老同学感叹：“代数容易，几何学”。其实几何并不难，它是一门很有趣味的数学分科。为什么有的同学会感到“难”呢?其根本原因是因为没有学好几何的基本概念。几何学是一座建立在一系列的概念和公理之上的“高楼大厦”。课本的开头部分概念很多，掌握好这些概念就像给这座大厦打好地基一样重要。学习几何概念要注意理解它的实质，千万不要只是死记硬背。具体地说，学习的每一个概念都应做到“五会”，即会表述、会画图、会识图、会翻译、会运用。

一、会表述

就是能正确地叙述概念的定义。几何概念是几何图形本质属性的思维形式。概念和词语是密切联系着的。词语是概念的语言形式，概念是词语的思想内容，两者紧密联系，不可分割。但是，概念和词语之间并不是一一对应的。这是因为不是所有的词语都能表达概念的(如虚词);同一个概念可以用不同的词语表达(如“等边三角形”和“正三角形”表示的是同一个概念)。我们要在掌握概念本质含义的前提下，去对它下定义、去表述它，切不可死记硬背书本上或老师给出的叙述性语句，而应该用我们自己的语言去准确地表述。当然，课本上所给出的定义，通常是非常准确而简洁的，对这些内容要努力将其吸收转化为自己的语言。

二、会画图

就是能画出表示概念的图形，熟练的掌握概念的标注和和读法。平面几何是研究平面图形的科学，学习习近平面几何当然离不开平面几何图形，所画的图形要十分准确，才能客观地反映概念所揭示的含义，才能使我们去探索轮着，对概念的标注和读法要规范。必须严格遵守约定的规矩。比如标注点要用大写的英文字母等。

三、会识图

就是能在复杂的图形中正确地识别表示某个概念的那部分基本图形，也能把几个简单的图形组合成一个教复杂的图形。例如：由立体图形发挥空间想象，能正确画出正视图、俯视图、和侧视图。也能由三视图在心中勾画出立体图形。

四、会翻译

就是能对概念的文字语言与结合图形的数学语言进行互译。几何语言非常精炼严谨，逻辑性很强，每一句话都有相应的“图”与“式”，语、图、式之间要根据需要相互转化。

例如“OC是∠AOB的平分线，相应的.图形如下图，则有∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB”;再例如：“C是线段AB的中点，相对应的式子就是AC=BC”。关键是要在老师的指导下多练，会在语、图、式间进行转化。

五、会运用

就是能运用概念进行简单的判断、推理和计算，要牢固地掌握概念，一靠理解，二靠运用。要在运用中强化和巩固概念，进而形成概念系统。

学好几何的关键是理解概念篇6

几何学是一座建立在一系列的概念和公理、定理之上的“高楼大厦”。课本的开头部分概念很多,掌握好这些概念就像给这座大厦打好地基一样重要。学习几何概念要注意理解它的实质,千万不要只是死记硬背,理解其意。具体地说,学习的每一个概念都应该做到以下几个方面。

一、要会描述

学生要先弄清概念的三个方面:(1)定义———对概念的判断;(2)图形———对定义的直观形象描绘;(3)表达方法———对定义本质属性的反映。学生要注意概念间的联系和区别,在理解的基础上记住公理、定理、法则、性质。就是能正确地叙述概念的定义。几何概念是几何图形本质属性的思维形式。概念和词语是密切联系着的,词语是概念的语言形式,概念是词语的思想内容,两者紧密联系、不可分割,但是,概念和词语之间并不是一一对应的。这是因为不是所有的词语都能表达概念的(如虚词);同一个概念可以用不同的词语表达(如“等边三角形”和“正三角形”表示的是同一个概念)。我们要在掌握概念本质含义的前提下,去对它下定义、去表达它,切不可死记硬背书本上或老师给出的叙述性语句,而应该用我们自己的语言去准确地表述。当然,课本上所给出的定义,通常是准确而简洁的,对这些内容要努力将其吸收转化成自己的语言。

二、会画图

学生要学好几何语言。几何语言又分为文字语言和符号语言,几何语言总是和图形相联系。如文字语言:∠1和∠2互为补角,符号语言:∠1+∠2=180°或∠1=180°-∠2,或∠2=180°-∠1。就是能画出表示概念的图形(包括变式图形),熟练地掌握概念的标注和读法,平面几何是研究平面图形的科学,学习平面几何当然离不开几何图形。所画的图形应十分准确,才能客观地反映概念所揭示的本质含义,才便于我们去探索论证。对概念的标注的读法,要规范。一些约定俗成的“规矩”,我们必须严格遵循(如标注点,要用大写的英文字母,等等)。

三、会识图

因为“看”是吸引,“说”是表达,看是说的基础,只有看得清楚,才会理解得透,看懂已知条件和结论的关系。几何的证明重在根据图形的特点结合已知条件和要达到的目的进行推理。学生通过直观思维,可以根据书上的图形,动手动脑用硬纸板、竹片等做些图形,详细进行观察分析。这样既可帮助学生加深对书本定理、性质的理解,进行直观思维,又可逐步培养观察力,能在复杂图形中正确地识别表示某个概念的那部分基本图形,也能把几个简单图形组合成一个较复杂的图形。

四、会翻译

学生要富于想象。有的问题既要凭借图形,又要进行抽象思维。比如,几何中的“点”没有大小,只有位置。现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。所以说,几何中的“点”只存在于大脑思维中。“直线”也是如此,直线可以无限延伸,谁能把直线画到火星、再画到银河系、再画到广阔的宇宙中去呢?直线也只存在于人们的大脑思维中就是能对概念的文字语言与结合图形的数学语言进行互译,几何语言非常精炼、严谨,逻辑性很强,每一句话都有相应的“图”与“式”,语、图、式三者之间要根据需要相互转化。

五、会应用

学生要边学习、边总结、边提高。几何较之其他学科,系统性更强,学生要把自己学过的知识进行归纳、整理、概括、总结。比如证明两条直线平行,除了利用定义证明外,还有哪些证明方法?两条直线平行后,又具备什么性质?在现实生活中,哪些地方利用了平行线?只要细心观察,不难发现,教室墙壁两边边缘,门框、桌、凳、玻璃板、书页、火柴盒,大部分包装盒……处处存在着平行线。学生要能运用概念进行简单的判断、推理和计算。要牢固地掌握概念,一靠理解,二靠运用。要在运用中强化和巩固概念,进而形成概念系统。

例如,解答“已知一个等腰三角形两条边的长分别是5和8,求这个三角形的周长”这一问题时,学生首先要明确“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”这一概念,在此基础上再进行分类:当腰长为5,底为8时三角形的周长为5×2+8=18;当腰长为8,底为5时三角形的周长为8×2+5=21。学生通过这样的运用,不仅能牢固掌握概念,而且能丰富和完善想象,提高分析问题和解决问题的能力。又如,我们要证明两条线段相等,可以归纳出来以下途径:(1)利用全等三角形;(2)利用等腰三角形的性质;(3)利用平行线等分线段定理的推论;(4)利用直角三角形斜边中点的性质;(5)利用垂直平分线上的点的性质;(6)角平分线的性质;(7)利用平行四边形、矩形、菱形、正方形等性质的运用。

多种方法解题学好立体几何篇7

关键词：立体几何,方法,规律,技巧,策略

一、必备解题方法

1.空间角

(1)异面直线所成的角求法

方法1:(平移法)过一条异面直线的一点,做另一条直线的平行线,将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,放在三角形中求解;若题设中有中点,常考虑中位线.

(2)线面角的求法

方法1:(几何法)经过斜线上一点作该平面的垂线,确定垂足的位置,垂足必须是特殊点,如图形的中心、垂心、重心、中点等,否则就转化为另一条与之平行的直线的线面角得以解决,或用等积法求出点面距离后放在直角三角形中得以解决.

方法3:(cosθ1·cosθ2=cosθ法)如图2所示,点A在平面ECD内的射影点B恰好在∠ECD的角平分线CB上,且BD垂直CD于点D,BE垂直CE于点E,求AC与平面ECD所成的线面角时,常考虑公式:cosθ1·cosθ2=cosθ;其中θ1=∠ACB,θ2=∠BCD,θ=∠ACD,很明显θ1就是我们所求的线面角,读者可根据图形2自行证明此公式的成立.

(3)二面角

方法1:(几何法)(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面中作棱的垂线,得到平面角.(2)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面,此平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角;由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直.(3)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到另一平面的垂线,用三垂线定理或其逆定理作出平面角;即如图3所示,若A∈α,AB⊥β,B∈β,BC⊥l,连结AC,则∠ACB为二面角α-l-β的平面角;或反之A∈α,AB⊥β,B∈β,AC⊥l,连接BC,则∠ACB为二面角α-l-β的平面角.

方法3:(S射=S斜·cosθ)利用面积射影公式S射=S斜·cos,其中θ为二面角的平面角大小,简证如图4所示,在三棱锥S-ABC中,SB垂直于底面ABC,BD垂直AC于点D,设∠SDB=θ,则S射=S△ABC=1/2·AC·BD=1/2·AC·SD·cosθ=S△ASC·cosθ=S斜·cosθ,这里θ为二面角S-AC-B的平面角.

二、空间距离

空间距离(异面直线间的距离,高考不做要求)有很多,但都可以等价转化为点面距离,下面介绍三种最常用的求解点面距离的方法.

方法1:(几何法)利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判断定理,可作出点面距离的垂线段,再通过解三角形求出距离.其中,找垂足是作垂线段的关键,一般可借助面面垂直的性质定理作面的垂线.因此,要善于挖掘、寻找条件中的面面垂直,用以作出点面距离的垂线段.

方法2:(等体积法)利用三棱锥可以把一个表面看作底面,另外一点看做顶点的性质,某些点面距离可利用等体积法转化求解.

二、典例赏析

(Ⅲ)方法1:(几何法)如图10所示,在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E,A1C1于点F,则CE为BE在平面ACC1A1上的射影,所以BE⊥C1M,所以∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角.

评注:证明线面平行的方法有:

(ⅰ)几何法.(1)利用直线与平面平行的判定定理;(2)利用面面平行的性质定理,将面面平行转化为线面平行.

(ⅱ)向量法.(1)证明该直线所在的方向向量与平面的某一法向量垂直;(2)证明该直线所在的方向向量与平面内的某直线的方向向量平行;(3)共面向量基本定理———证明该直线所在的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量(平面的一组基底)线性表示.

例2(2016年甘肃省张掖市第二次联考试题)如图11,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,过A1C作平面A1CD平行于BC1,交AB于D点,(Ⅰ)求证:CD⊥AB.(Ⅱ)若四边形BCC1B1是正方形,且,求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值.

解析:(Ⅰ)证:如图12所示,连结AC1,设AC1与A1C相交于点E,连接DE,则E为AC1中点,因为BC1∥平面A1CD,DE=平面A1CD∩平面ABC1,所以DE∥BC1,所以D为AF的中点,又因为△ABC为正三角形,所以CD⊥AB.

(Ⅱ)因为AD2+A1A2=5=A1D2,所以A1A⊥AD,又B1B⊥BC,B1B∥A1A,所以A1A⊥BC,又AD∩BC=B,所以A1A⊥平面ABC.

方法1:(向量法)如图13所示,设BC的中点为O,B1C1的中点为O1,以O为原点,OB所在的直线为x轴,OO1所在的直线为y轴,OA所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.

评注:应用向量法的前提是建立空间直角坐标系,而建立空间直角坐标系的关键是找到z轴,而找z轴通常都在垂直于底面的一个平面中寻找.

方法2:(几何法)如图14所示,取B1C1的中点H,连结A1H,则A1H⊥B1C1,因为AA1⊥面A1B1C1,故AA1⊥A1H,所以BB1⊥A1H,因为B1C1∩BB1=B1,所以A1H⊥面BCC1B1,延长A1D、B1B相交于点F,连结FH,则∠A1FH为直线A1D与平面BCC1B1所成的角.

评注:能想到延长A1D、B1B相交于点F,连结FH、A1H做出线面角是考生解题能力好、空间想象能力强的一种表现;很多时候,不怕你做不到,就怕你想不到.

方法3:(等价转化法)如图15所示,取B1C1的中点H,连结A1H,则A1H⊥B1C1.因为AA1⊥面A1B1C1,故AA1⊥A1H,所以BB1⊥A1H,

因为B1C1∩BB1=B1,所以A1H⊥平面BCC1B1.

取A1B1中点M,连结BM,过点M作MN∥A1H,则MN⊥平面BCC1B1,连结BN,因为A1D∥BM,

所以∠MBN为直线A1D与平面BCC1B1所成的角,

评注:等价转化思想是高考数学的灵魂、是制胜高考的无上法宝;如果考生在解题过程中,根据不同的问题,进行具体合理的分析,能化无形为有形,则很容易解决复杂问题.

参考文献

掌握基本概念是学好几何的开始篇8

一、线段的轴对称性

1.线段是轴对称图形,线段的垂直平分线就是它的对称轴.

2.线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

3.线段的垂直平分线的判定:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

例1如图1,若该小船从点A航行到点B的过程中先要到达岸边l的点P处补给后,再航行到点B,但要求航程最短,试在图中画出点P的位置.

【解析】如图2,点A′与点A关于直线l成轴对称,连接A′B交直线l于点P,则点P为所求.

例2如图3,已知AB= AC,DE垂直平分AB,交AB、 AC于D、E两点,若AB = 12 cm,BC=10 cm,求△BCE的周长.

【解析】本题利用题中条件DE垂直平分AB,得到AE=BE,△BCE的周长就转化为BC与AC两条线段的和,所以l△BCE=22 cm.

【点评】这题考查了线段的垂直平分线的性质,是典型的线段转化问题.

二、角的对称性

1.角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.

2. 角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.

3. 角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

例3如图4,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=DC. BE与DF相等吗?请说明理由.

【解析】题中的条件满足角平分线的性质,容易得到CF=CE,再结合题中给出的条件BC=DC,利用直角三角形全等的判定 “HL”定理证明△FDC≌△EBC,由全等三角形的对应边相等得到BE=DF.

【点评】本题主要利用角平分线的性质得到两直角三角形的一对直角边对应相等,从而用全等三角形的知识解决问题, 所以由题目的条件联想得到对应的结论, 是我们做几何题的常用思路.

例4如图5, OP平分∠AOB,PA⊥ OA,PB⊥OB,垂足分别为A、B. 下列结论中,不一定成立的是().

A. PA=PB B. PO平分∠APB

C. OA=OB D. AB垂直平分OP

【解析】由角平分线的性质可得PA=PB, 故A选项正确,再用角平分线的判定说明B也是正确的,利用直角三角形全等的判定“HL”定理证明△AOP≌△BOP,得到C也是正确的,所以最后D是不一定成立的.

【点评】综合考查了角平分线的性质和判定,同时考查了直角三角形全等的判定方法.

三、等腰三角形的对称性

1.等腰三角形是轴对称图形,顶角的平分线所在直线是它的对称轴.

2.等腰三角形的性质:1等边对等角;2三线合一.

3. 等腰三角形的判定:等角对等边.

例5如图6,已知AB=AC,AD=AE. 求证:BD=CE.

【点评】本题考查了等腰三角形“三线合一”性质,所以看见等腰三角形就要想到“三线合一”,作出底边上的高线,这是解决等腰三角形相关问题常规的添线方法.

例6如图7, 在△ABC中,∠ACB= 90° ,CD ⊥AB于点D,AE平分 ∠CAB交CD于点F.试说明CE=CF.

【点评】本题综合运用角平分线的定义, 内角和外角的关系和等角对等边来说明CE=CF.学习了等角对等边以后,今后如果我们要证明两条线段相等,除了考虑线段的转化、三角形全等,还有一种方法就是等角对等边.

教你学好立体几何的三招篇9

立体几何是考查空间想象能力的主要载体, 是高考的必考内容, 也是发展学生思维能力的一块良好的试验田.但在学习过程中, 很多学生对这门课程有畏惧感, 成绩也不令人满意.下面就教你破解立体几何问题的三招:

一、做好辅助线

1.当题目中有“两平面垂直”这个条件时, 做或找“交线的垂线”.因为由两平面垂直的性质定理:两平面垂直, 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.从而所做的“交线的垂线”即为另一个“平面的垂线”, 为问题解决打开突破口.

例1 如图1, 将一副三角板拼接, 使它们有公共边BC, 且使两个三角板所在平面互相垂直, 若∠BAC=∠CBD=90 °, AB=AC, ∠BDC=60°, BC=6. (1) 求证:平面ABD⊥平面ACD; (2) 求二面角A-CD-B的大小 (3) 求B到平面的距离.

解析: (1) 因为平面ABC⊥平面DBC, 所以想到做或找“交线BC的垂线”, 显然DB⊥BC, 又DB⊂平面DBC, 所以BD⊥平面ACB, AC⊂平面ACB, 所以BD⊥AC, 又AC⊥AB, AB∩BD=B, 所以AC⊥平面ABD, AC⊂平面ACD, 所以平面ACD⊥平面ABD.

(2) 因为平面ABC⊥平面DBC, 所以继续做交线BC的垂线AE, 则由两平面垂直的性质定理知:AE⊥平面BCD, 过点E作EF⊥CD, 连结AF, 由三垂线定理得AF⊥CD, 则∠AFE为所求二面角A-CD-B的平面角, 在等腰直角三角形AEC中, BC=6, AE=EC=3, 在Rt△EFC中, $E F = \frac{1}{2} E C = \frac{3}{2}, \tan ∠ A F E = \frac{A E}{E F} = 2$ , 可求得∠AFE=arctan2.

(3) 欲求B到平面ACD的距离, 即求过点B与平面ACD垂直的线段的长.由 (1) 知:平面ABD⊥平面ACD, 只需做交线AD的垂线段BH, 则有:BH⊥平面ACD, 从而BH 的长即为所求的距离.在直角三角形ABD中, 由等面积法AB·BD=AD·BH得 $B Η = \frac{6 \sqrt{5}}{5} .$

评注:本题反复利用“两平面垂直”这个条件, 做或找“交线的垂线”, 使三问题能顺利解决.

2.当题目中有三角形、梯形一边中点时, 常取另一边中点, 出现中位线, 可利用三角形、梯形的中位线定理证明线线平行、线面平行关系.

例2 (2006年全国卷II) 如图2, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=BC, D、E分别为BB1、AC1的中点. (Ⅰ) 证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;

(Ⅱ) 设 $A A_{1} = A C = \sqrt{2} A B$ , 求二面角A1-AD-C1的大小.

解析: (Ⅰ) 取AC的中点O, 连接EO、BO, 则 $E Ο ■ \frac{1}{2} C C_{1}$ , 又CC1瘙綊BB1, 所以EO瘙綊DB, EOBD为平行四边形, 所以ED//OB.又BB1⊥BO, 所以BB1⊥ED.又因为BA=BC, 所以BO⊥AC, 又平面ABC⊥平面ACC1A1, BO⊂平面ABC, 故BO⊥平面ACC1A1所以ED⊥平面ACC1A1, AC1⊂ 平面ACC1A1, 所以ED⊥AC1, 故ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.

(Ⅱ) 略.

例3 (2007全国卷Ⅱ) 如图3, 在四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为正方形, 侧棱SD⊥底面ABCD, E、F分别为AB, SC的中点.

(1) 证明EF//平面SAD;

(2) 设SD=2DC, 求二面角A-EF-D的大小.

证明: (1) 由于F为SC的中点, 所以取SD的中点G.连结AG、FG, 则 $F G ■ \frac{1}{2} C D$ , 又CD瘙綊AB, 故FG瘙綊AE, AEFG为平行四边形.

所以EF//AG, 又AG⊂平面SAD, EF⊄平面SAD.所以EF//平面SAD.

(2) 略.

例4 (2007江西高考卷) 如图4是一个直三棱柱 (以A1B1C1为底面) 被一平面BEF所截得到的几何体, 截面为ABC.已知A1B1=B1C1=1, ∠A1B1C1=90°, AA1=4, BB1=2, CC1=3.

(1) 设点O是AB的中点, 证明:OC//平面A1B1C1;

(2) 求二面角B-AC-A1的大小;

(3) 求此几何体的体积.

解析: (1) 由题意AA1B1B是直角梯形, 且点O是AB的中点, 所以想到取A1B1的中点O1, 连接OO1, 则OO1是梯形AA1B1B的中位线, 所以 $Ο Ο_{1} = \frac{1}{2} (A A_{1} + B B_{1}) = \frac{1}{2} (4 + 2) = 3$ , 又CC1=3, 所以OO1瘙綊CC1,

所以OO1C1C是平行四边形, OC//O1C1,

又O1C1⊂平面A1B1C1, OC⊄平面A1B1C1, 所以OC//平面A1B1C1.

(2) (3) 略.

评注:此三例就是利用“三角形、梯形的中位线”的性质证题, 往往会有“意外的惊喜”.

3.当题目中有“正方形” 这个条件且证明垂直关系时常连对角线, 利用“正方形的对角线互相垂直”来证题.

例5 (2007福建省高考理) 如图5, 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2, D为CC1中点. (1) 求证:AB1⊥平面A1BD; (2) 求二面角A-A1D-B的大小; (3) 求点C到平面A1BD的距离.

证明:依题意ABB1A1是正方形, 所以AB1⊥A1B, 又ABC-A1B1C1是正三棱柱, 所以△ABC是正三角形且平面ABC⊥平面BB1C1C, 取BC的中点O, 连结AO, 则有AO⊥平面BB1C1C, 连B1O, 可证得∠CBD=∠BB1O, 又∠CBD+∠DBB1=90°, 所以∠BB1O+∠DBB1=90°, 所以BD⊥OB1, 由三垂线定理得AB1⊥BD..又BD∩A1B=B, 所以AB1⊥平面A1BD. (2) (3) 略.

例6 (2007山东省高考文) 如图6, 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 已知DC=DD1=2AD=2AB, AD⊥DC, AB//DC.

(1) 求证:D1C⊥AC1;

(2) 设E是DC上一点, 试确定E的位置, 使D1E//平面A1BD, 并说明理由.

证明: (1) 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 连结C1D, 因为DC=DD1, 所以四边形DCC1D1是正方形, 所以DC1⊥D1C.又AD⊥DC, AD⊥DD1, DC∩DD1=D, 所以AD⊥平面DCC1D1, D1C⊂平面DCC1D1, 所以AD⊥D1C.因为AD、DC1⊂平面ADC1, 且AD∩DC=D, 所以D1C⊥平面ADC1, 又AC1⊂平面ADC1, 所以D1C⊥AC1.

(2) 略.

评注:这两个高考题都利用“正方形的对角线互相垂直”来证明, 你掌握了吗?

4.当有等腰、等边三角形时, 常取底边的中点连成中线, 利用“等腰、等边三角形的中线即为高线”, 从而出现垂直关系.

例7 (2006年江西省高考题) 如图7, 在三棱锥A-BCD中, 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形, AD是公共的斜边, 且 $A D = \sqrt{3} ‚ B D = C D = 1$ , 另一个侧面是正三角形. (1) 求证:AD⊥BC;

(2) 求二面角B-AC-D的大小;

(3) 在直线AC上是否存在一点E, 使ED与面BCD成30°角?若存在, 确定E的位置;若不存在, 说明理由.

证明: (1) △ABD≌△ACD, 所以BD=CD, 又△ABC是正三角形, 因此取BC的中点O, 连AO、DO, 则有AO⊥BC, DO⊥BC, AO∩DO=O, 所以BC⊥平面 AOD, ∴BC⊥AD.

(2) 由于△ABC是正三角形, 所以取AC的中点M, 则有BM⊥AC, 由于AC⊥CD, 所以取AD的中点N, 则有 $Μ Ν ■ \frac{1}{2} C D = \frac{1}{2} ‚ ∴ Μ Ν ⊥ A C$ , 则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角, $A C = \sqrt{2} ‚ B Μ = \frac{\sqrt{3}}{2} A C = \frac{\sqrt{6}}{2} ‚ B Ν = \frac{1}{2} A D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , 由余弦定理可求得 $\cos ∠ B Μ Ν = \frac{\sqrt{6}}{3} ‚ ∠ B Μ Ν = \arccos \frac{\sqrt{6}}{3} .$

(3) 略.

例8 (2007浙江高考题19) 在如图8所示的几何体中, EA⊥平面ABC, DB⊥平面ABC, AC⊥BC, 且AC=BC=BD=2AE, M是AB的中点.

(Ⅰ) 求证: CM⊥EM;

(Ⅱ) 求CM与平面CDE所成的角.

证明: (Ⅰ) 因为AC=BC, M是AB的中点, 所以CM⊥AB, 又EA⊥平面ABC, DB⊥平面ABC, 所以E、A、D、B共面, 且CM⊥EA, 所以CM⊥平面ABDE, EM⊂平面ABDE, 所以CM⊥EM ( (注:CM⊥AB 就利用“等腰三角形中线即为高线”证得)

(Ⅱ) 略.

评注:等腰、等边三角形有很好的性质, 一定要熟练应用.

二、用好条件中的边长之间的关系

当题目中告诉一些边长的值或边长相等时, 一定要记得通过计算或论证发现有等腰、等边三角形或通过a2=b2+c2发现有直角三角形.

例9 如图9, 在三棱锥P-ABC中, $Ρ A = Ρ B = Ρ C ‚ A C = a ‚ A B = \sqrt{3} a, B C = 2 a$ , 点P到平面ABC的距离为 $\frac{3}{2} a$ , 求二面角的大小.

解:因为 $A C = a ‚ A B = \sqrt{3} a ‚ B C = 2 a$ , 即AC2+AB2=BC2, 所以△BAC是直角三角形, 过P作PO⊥平面ABC, 由PA=PB=PC知:垂足O是Rt△BAC的斜边的中点.过点O作棱AC的垂线OE, 连结PE, 则PE⊥AC, ∠PEO为所求二面角的平面角.由题设知: $Ρ Ο = \frac{3}{2} a ‚ Ο E = \frac{1}{2} A B = \frac{\sqrt{3}}{2} a ‚ \tan ∠ Ρ E Ο = \frac{Ρ Ο}{Ο E} = \sqrt{3} ‚ ∠ Ρ E Ο = 60 °$ , 即二面角P-AC-B的大小为60°.

评注:本题通过边长之间的关系发现△BAC是直角三角形, 利用直角三角形的外心就是斜边的中点, 从而迅速获解.

例10 (2005广东省高考题) 如图10所示, 在四面体P-ABC中, 已知 $Ρ A = B C = 6 ‚ Ρ C = A B = 10 ‚ A C = 8 ‚ Ρ B = 2 \sqrt{34} . F$ 是线段PB上一点, $C F = \frac{15}{17} \sqrt{34}$ , 点E在线段AB上, 且EF⊥PB.

(Ⅰ) 求证:PB⊥平面CEF; (Ⅱ) 求二面角B-CE-F的大小.

证明: (Ⅰ) 因为PC2+CB2=PB2, 所以PC⊥CB, 又因为 $S_{△ Ρ B C} = \frac{1}{2} | Ρ C | \cdot | B C | = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$ , 而 $\frac{1}{2} | Ρ B | \cdot | C F | = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{34} \times \frac{15 \sqrt{34}}{17} = 30 = S_{△ Ρ B C}$ , 故CF⊥PB, 又已知EF⊥PB, EF∩CF=F, 所以PB⊥平面CEF.

(Ⅱ) 因为PA2+AC2=PC2, 所以PA⊥AC, 同理可证:PA⊥AB, AB∩AC=A, 故PA⊥平面ABC, CE⊂平面ABC, 所以CE⊥PA, 又CE⊥PB, 所以CE⊥平面PAB, 所以CE⊥EF, CE⊥EB, ∠FEB是二面角B-CE-F的平面角.所以 $\tan ∠ F E B = \cot ∠ Ρ B A = \frac{A B}{A Ρ} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ , 故二面角B-CE-F的大小是 $\arctan \frac{5}{3} .$

评注:本题利用勾股定理发现了很多组垂直关系, 的确妙不可言.

三、注意利用向量的非坐标运算解

很多同学习惯用利用向量的坐标运算解题, 坐标运算有一定的局限性, 一是要能比较容易地建立起三个互相垂直方向的坐标系, 二是运算量较大, 对学生运算能力要求较高.而有些题目用向量的非坐标运算来解, 往往有“得来全不费功夫”之感.

例11 (2005全国Ⅱ) 如图11, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形, PD⊥底面ABCD, AD=PD, E、F分别为CD、PB的中点.

(Ⅰ) 求证:EF⊥平面PAB;

(Ⅱ) 设 $A B = \sqrt{2} B C$ , 求AC与平面AEF所成角的大小.

证明: (Ⅰ) 易证△BCE≌△PDE, 所以BE=PE, F是PB的中点, 故EF⊥PB, 连结FC、FD, 在Rt△BCP中, $C F = \frac{1}{2} Ρ B$ , 在Rt△BDP中, $D F = \frac{1}{2} Ρ B$ , 所以CF=DF, E为CD的中点, 故EF⊥CD, 又CD//AB, 所以EF⊥AB, AB∩PB=B, 所以EF⊥平面PAB.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知:EF⊥PB, 又 $A B = \sqrt{2} B C$ , 所以AB=AP, 所以AF⊥PB; $\vec{Ρ B}$ 是平面AEF的法向量, 先求 $\vec{A C}$ 与 $\vec{Ρ B}$ 的夹角:

$\vec{A C} \cdot \vec{Ρ B} = (\vec{A B} + \vec{B C}) \cdot (\vec{Ρ A} + \vec{A B}) = \vec{A B}^{2} + \vec{B C} \cdot \vec{Ρ A} = 2 \vec{B C}^{2} + \vec{B C} \cdot \vec{Ρ A} \cos < \vec{B C} ‚ \vec{Ρ A} > = \vec{B C}^{2}$ , 所以 $\cos < \vec{A C}, \vec{Ρ B} > = \frac{\vec{A C} \cdot \vec{Ρ B}}{| \vec{A C} | \cdot | \vec{Ρ B} |} = \frac{\vec{B C}^{2}}{2 \sqrt{3} \vec{B C}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \times 2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ , 设AC与平面AEF所成角为α, 则 $\sin α = \cos < \vec{A C}, \vec{Ρ B} > = \frac{\sqrt{3}}{6}$ , 即AC与平面AEF所成角的大小 $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{6} .$

评注:向量非坐标形式的运算有时简洁明快, 出奇制胜, 不可忽视.

四、应用

例12 (2007宁夏高考题) 如图12, 在三棱锥S-ABC中, 侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形, ∠BAC=90°, O为BC中点.

(Ⅰ) 证明:SO⊥平面ABC;

(Ⅱ) 求二面角A-SC-B的余弦值.

证明:

(Ⅰ) 连结OA, 由题设SB=AB, SC=AC, BC是公共边, 所以△SBC≌△ABC, 又∠BAC=90°, 所以∠BSC=90° , ∴△BSC为等腰直角三角形, O为BC中点.SO⊥BC, 且SO=AO= $\frac{\sqrt{2}}{2} S A ., S Ο^{2} + A Ο^{2} = S A^{2}$ , 所以SO⊥AO, 又AO∩BC=O.所以SO⊥平面ABC.

(Ⅱ) 由于△SAC为等边三角形, 取SC的中点M, 则有 $A Μ ⊥ S C ‚ A Μ = \frac{\sqrt{3}}{2} S C$ , 由 (Ⅰ) 知:O为BC中点, 连结OM, 则 $Ο Μ ■ \frac{1}{2} B S ‚ B S ⊥ S C$ , 所以 $Ο Μ ⊥ S C ‚ Ο Μ = \frac{1}{2} B S = \frac{1}{2} S C ‚ ∠ A Μ Ο$ 为所求二面角A-SC-B的平面角, 在Rt△AOM中, $\cos ∠ A Μ Ο = \frac{Μ Ο}{A Μ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , 即所求二面角A-SC-B余弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{3} .$

评注: (Ⅰ) 中容易发现SO⊥BC, 但若不利用边长间的关系:SO2+AO2=SA2却不易发现:SO⊥AO; (Ⅱ) 中利用△SAC为等边三角形, 取棱SC的中点M可迅速作出平面角.

例13 如图13, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形, PA⊥底面 $A B C D, Ρ A = A B = 1, B C = \sqrt{2}, E$ 、F分别为AD、PC的中点, (1) 求证:PC⊥平面BEF; (2) 求BD与平面BEF所成角的正弦值.

证明: (1) 连结EP、EC, Rt△PAE≌Rt△CDE, 所以EP=EC, F为PC的中点所以EF⊥PC, 又因为PA⊥底面ABCD, PA=AB=1, 所以 $Ρ B = \sqrt{2}$ , , 又 $B C = \sqrt{2} ‚ F$ 为PC的中点, 所以BF⊥PC, 而BF∩EF=F, , 故PC⊥平面BEF.

(2) 由 (1) 知: $\vec{Ρ C}$ 是平面BEF的法向量, 先求 $\vec{B D}$ 与 $\vec{Ρ C}$ 的夹角:

$\begin{array}{l} \vec{B D} \cdot \vec{Ρ C} = (\vec{B C} + \vec{C D}) \cdot (\vec{Ρ B} + \vec{B C}) = \vec{B C}^{2} + \vec{C D} \cdot \vec{Ρ B} = 2 + | \vec{C D} | \cdot \\ | \vec{Ρ B} | \cos < \vec{C D}, \vec{Ρ B} > = 1, \cos < \vec{B D}, \vec{Ρ C} > = \frac{\vec{B D} \cdot \vec{Ρ C}}{| \vec{B D} | \cdot | \vec{Ρ C} |} = \frac{1}{\sqrt{3} \times 2} = \frac{\sqrt{3}}{6} \end{array}$