向量方法在立体几何教学中的应用

向量方法在立体几何教学中的应用（共13篇）

向量方法在立体几何教学中的应用 篇1

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向量方法在立体几何教学中的应用

作者：王龙生

摘 要： 在江苏省对口单招数学试卷中，立体几何这一章的知识点每年都作为重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性，可以将几何图形数量化，从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题，能避免构图和推理的复杂过程，有利于降低解题难度.关键词： 向量 立体几何教学 数形结合在江苏省对口单招数学试卷中，立体几何这一章的知识点每年都是重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性，可以将几何图形数量化，从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题，避免构图和推理的复杂过程，有利于降低解题难度.一、将立体几何中的平行问题转化为向量平行来证明

二、将立体几何中的垂直问题转化为向量垂直来证明

由于立体几何中的垂直问题图形比较复杂，加上学生的空间感比较薄弱，因此学生很难解决.把立体几何中的垂直问题转化为向量垂直，其优越性非常明显，具体体现在：两个向量垂直的充要条件可以把“垂直”体现在一个等式中变为纯粹的运算，所涉及的向量易于用坐标表示就足够了.立体几何中的线线、线面、面面垂直，都可以转化为空间两个向量的垂直问题解决.1.“线线垂直”化为“向量垂直”

华罗庚关于“数形结合”有一句名言：“数缺形时少直观，形离数时难入微.”向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.因此，充分掌握、运用好向量知识，可以提高学生的数形结合能力，培养学生发现问题的能力，帮助学生理清数形结合呈现的内在关系，把无形的解题思路形象化，有利于学生顺利地、高效率地解决数学问题.利用向量方法研究立体几何问题，能避免传统几何方法中繁琐的推理及论证，有效提高学生解决立体几何问题的能力.参考文献：

[1]单招生—相约在高校，数学：基础知识梳理.[2]单招零距离—数学：总复习方案.[3]吕林根，张紫霞，孙存金.立体几何学习指导书.

向量方法在立体几何教学中的应用 篇2

高三数学复习课教学, 是高中数学教学的重要课型.平面向量是高中数学的新增内容, 也是新高考的一个亮点.作为高三教学一线的教师, 如何引导学生在高三数学复习过程中抓住根本, 合理利用时间, 提高学习效率, 是高三数学复习课必须追求的目标.因此, 结合自己高三数学教学的实际情况, 进行了《平面向量在解析几何中的应用》高三复习课, 以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣, 让学生树立并应用向量的意识.

1 背景

向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用, 它具有代数形式和几何形式的“双重身份”, 能融数形与一体, 能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合, 形成知识交汇点.而在高中数学体系中, 解析几何占有着很重要的地位, 有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂, 不妨运用向量作形与数的转化, 则会大大简化过程.结合我校开展的构建研究系性学习教学模式研究的课题, 开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习课, 通过问题的探究、合作解决, 旨在进一步探索研究系性学习教学模式, 使学生树立并增强应用向量的意识.正因为如此, 本节课这样设计:

1) 教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习, 使学生感到认识新事物的乐趣, 体验克服困难的喜悦”;教育心理学认为:思维是从提出问题开始的;美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件, 就是学生需掌握原理, 形成类比, 才能让迁移到具体的类似学习中.”因此首先通过两个旧问题的引入解决, 让学生体会向量的工具性特点, 体会向量解题的优越性.

2) 通过问题的探究解决, 由此让学生发现, 用向量法的最大优点是思路清晰, 过程简洁, 有意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣, 简单的重复将会引起学生大脑疲劳, 学习兴趣衰退.这充分揭示方法求变的重要性, 如果我们能重视向量的教学, 必然能引导学生拓展思路, 减轻负担.

2 问题

例1.利用向量知识来推导点到直线的距离公式.

已知点P坐标 (x0, y0) , 直线l的方程为Ax+By+C=0, P到直线l的距离是d, 则

证明:当B≠0时, 在直线l上任取一点, 不妨取, 直线l的法向量, 由向量的射影长知识得点P到直线l的距离等于向量在向量方向上的射影长度d,

当B=0时, 可直接有图形证明 (略) .

点评:比较传统证明方法, 避免了复杂的构图过程, 应用向量来证, 简单易懂, 充分体现了向量的工具性和优越性.

例2. (2009浙江文) 已知椭圆的左焦点为F, 右顶点为A, 点B在椭圆上, 且BF⊥x轴, 直线AB交y轴于点P.若, 则椭圆的离心率是 ()

点评:对于对解析几何中与平面向量结合的考查, 既体现了几何与向量的交汇, 也体现了数形结合的巧妙应用解决与角有关的一类问题, 总可以从数量积入手.

例3.已知定点A (-1, 0) 和B (1, 0) , P是圆 (x-3) 2+ (y-4) 2=4上的一动点, 求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.

点评:有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现, 但如果运用向量知识来解决, 也会显得自然、简便, 而且易入手.

3 反思

由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”, 使向量与解析几何之间有着密切联系, 而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查, 这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中, 应抓住时机, 有效地渗透向量有关知识, 树立应用向量的意识.那么如何树立应用向量的意识, 从本节课案例得到以下启发:

第一, 如何树立应用向量的意识, 在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手, 让学生体会向量的工具性.

第二, 如何树立应用向量的意识, 应充分挖掘课本素材, 在教学中从推导有关公式、定理, 例题讲解入手, 让学生去品位、去领悟, 在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性, 逐渐形成应用向量的意识.

第三, 如何树立应用向量的意识, 在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论, 加以引申, 使之成为解题方法, 体会向量解题的优越性.

向量在立体几何中的应用 篇3

一、利用向量解决空间位置关系问题

1. 平行问题

例1 如图所示,在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，棱长为[a，M、N]分别是[A1B]和[AC]上的点，[A1M=AN=23a,][E是A1D1中点.]

[∴MN//面BB1C1C]．

点拨 （1）建立空间直角坐标系，应尽可能地利用已经存在的过同一个点的两两互相垂直的三条直线，如果没有三线，也应多找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直．

（2）建立直角坐标系后，不需要写出所有点的坐标，也不需要写出所有向量的坐标，只须写出需要用到的点和向量的坐标．

（3）平面[α]的法向量是不惟一的．求平面[α]的法向量一般用解方程组的方法来求，首先设平面[α]的法向量为[n=(x,y,z)]，在平面[α]内任找两不共线且已知坐标的向量，如[AB]和[CD]，建立方程[AB⋅n=0]和[CD⋅n=0]，解出[x或y或z]，或找出它们之间的关系，可用一个字母来表示另外两个字母，再令这个字母取一个特殊值（不能取0），算出另外两个字母，即可得到方程组的一组解．

2. 垂直问题

例2 如图，在三棱锥[P-ABC]中，[AB=AC]，[D]为[BC]的中点，[PO]⊥平面[ABC]，垂足[O]落在线段[AD]上，已知[BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.]

（1）证明：[AP⊥BC]；

（2）在线段[AP]上是否存在点[M]，使得面[AMC][⊥]面[BMC]？若存在，求出[AM]的长；若不存在，请说明理由．

解析 （1）如图，以[O]为原点，以射线[OP]为[z]轴的正半轴，以射线[OD]为[y]轴的正半轴，建立空间直角坐标系[O-xyz]，则[O(0,0,0), A(0,-3,0), ][B(4,2,0),][ C(-4,2,0),][P(0,0,4),]

[AP=(0,3,4), BC=(-8,0,0),]

综上所述，存在点[M]符合题意，[AM=3]．

点拨 （1）本题中并没有互相垂直的三线，所以先找出两条线互相垂直，再作出第三条线与它们都垂直，把这三条线作为坐标系中的[x、y、z]轴．

（2）存在性问题一般先假设存在，然后在这个条件下进行计算，若能算出来，即表示存在，若算不出来或者不合题意即表示不存在．

二、利用向量解决“空间角”问题

1. 异面直线所成角问题（线线角问题）

例3 如图所示，[AF、DE]分别是[⊙O]、[⊙O1]的直径. [AD]与两圆所在的平面均垂直，[AD＝8],[BC]是[⊙O]的直径，[AB＝AC＝6]，[OE∥AD]. 求直线[BD]与[EF]所成的角.

解析 以[O]为原点，[BC、AF、OE]所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则[O]（0，0，0），[A]（0，[-32]，0），[B]（[32]，0，0），[D]（0，[-32]，8），[E]（0，0，8），[F]（0，[32]，0），

[BD=(-32,-32,8),EF=(0,32,-8)]，

[cos=BD⋅EF|BD||EF|=0-18-64100×82=-8210.]

设异面直线[BD]与[EF]所成角为[α]，

则[|x0-x0|≤L|x0-x0|]，

因此直线[BD]与[EF]所成的角为[arccos8210]．

点拨 向量在解决异面直线所成角时，通常要先建立空间直角坐标系，然后计算出两个向量的坐标，再代入夹角公式中计算，特别注意的是由于向量夹角的范围是[0,π]，而异面直线所成角的范围是[(0,π2]]，所以一定要注意夹角的余弦值应该取正值，若算出两向量夹角的余弦值是负值，取其绝对值作为两异面直线夹角的余弦值．

2. 线面角问题

例4 如图，四棱锥[S-ABCD]中，[AB⊥BC],[BC⊥CD]，侧面[SAB]为等边三角形，[AB=BC=2,][CD=SD=1]．

（1）证明：[SD⊥]平面[SAB];

（2）求[AB]与平面[SBC]所成角的大小．

解析 以[C]为坐标原点，射线[CD]为[x]轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系[C-xyz]．设[D]（1，0，0），则[A]（2，2，0）、[B]（0，2，0）.

故[AB]与平面[SBC]所成的角为[arcsin217]（或[π2-arccos217]）．

点拨 求直线与平面所成角可转化为求直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角，因规定直线与平面所成角[θ∈[0，π2]]，两向量所成角[α∈[0，π]]，所以用此法向量求出的线面角应满足[θ=|π2-α|]，[sinθ=cosα]．

3. 面面角（二面角）问题

例5 如图，正三棱柱[ABC-A1B1C1]的底面边长为3，侧棱[AA1=323]，[D]是[CB]延长线上一点，且[BD=BC]，求二面角[B1-AD-B]的大小．

故所求二面角[B1-AD-B]的大小为[60∘]．

点拨 （1）本题容易得到面[ABD]的一条垂线，所以面[ABD]的法向量就不需要再用方程组来解了，直接把这条垂线的方向向量作为平面[ABD]的法向量．

（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取[n2=(-32,-1,-32)]时，会算得[cos=-12]，从而所求二面角为[120∘]，但依题意只能为[60∘]．所以用法向量的夹角求二面角时应注意，平面的法向量所取的方向不同，所求出来的角度也不同，因此，最后所求角是法向量的夹角还是它的补角，应根据所求二面角的实际图形来确定．

三、利用向量解决“空间距离”问题

例6 如图所求，已知四边形[ABCD]、[EADM]和[MDCF]都是边长为[a]的正方形，点[P、Q]分别是[ED]和[AC]的中点.

（1）求[P]到平面[EFB]的距离；

（2）求异面直线[PM]与[FQ]的距离.

解析 以[D]为坐标原点，以射线[DA、DC、DM]分别为[x、y、z]轴，建立空间直角坐标系，

得[D]（0，0，0）、[A]（[a]，0，0）、[B]（[a，a]，0）、[C(0,a,0)]、[M(0，0，a)]、[E(a，0，a)]、[F(0，a，a)]，

则[P(a2]，0，[a2]）、[Q(a2]，[a2]，0）.

（1）设[n=(x，y，z)]是平面[EFB]的单位法向量，即|[n]|=1，[n]⊥平面[EFB]，∴[n]⊥[EF]，[n]⊥[BE].

又[EF=(－a，a，0)]，[EB=(0，a，－a)] ，

即有[x2+y2+z2=1,-ax+ay=0,ay-az=0.]得其中的一组解[x=33,y=33,z=33.]

∴[n]=（[33]，[33]，[33]），[PE]=（[a2]，0，[a2]）.

设所求距离为[d]，则[d=|PE]·[n][|=33a].

（2）设[e=(x1，y1，z1)]是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由[PM]=（－[a2]，0，[a2]），[FQ]=（[a2]，－[a2]，[－a]），及[e⊥PM,e⊥FQ],可得[x12+y12+z12=1,-a2x1+a2z1=0,a2x1-a2y1-az1=0.]

求得其中的一个[e]=（[33]，－[33]，[33]），

而[MF=(0，a，0)]，设所求距离为[d]，

则[d=|MF]·[e][|=|－33a|=][33a].

点拨 本题用到了平面的单位法向量和直线的单位方向向量，由于单位向量的模长为1，所以点[A]到平面[α]的距离[h=BA⋅nn]=[BA⋅n]．

空间向量在几何中的应用 篇4

一.平行问题

（一）证明两直线平行

A,Ba;C,Db,a|| b

若知AB(x1,y1),CD(x2,y2),则有x1y2x2y1a||b

方法思路：在两直线上分别取不同的两点，得到两向量，转化为证明两向量平行。

(二)证明线面平行

线 a面,A,Ba,面 的法向 n，若ABn0ABnAB .方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一

向量，证明这一向量与法向量垂直(即证

明数量积为0)，则可得线面平行。

(三)面面平行

不重合的两平面 与 的法向量分别是  m 和 n，mn||

方法思路：求两平面的法向量，转化为证明

两法向量平行,则两平面平行。

二.垂直问题

(一)证明两直线垂直

不重合的直线 a 和直线 b 的方向向量分别为 a 和 b，则有ab0ab

方法思路：找两直线的方向向量(分别在两直线上各取两点得两向量)，证明两向量的数量积为0,则可证两直线垂直。

(二)证明线面垂直  直线 l的方向向量为 a，e1,e2是平面 的一组基底（不共线的向量）, 则有 ae10且ae20a

方法思路：证明直线的方向向量(在两直线上取两点得一向量)与

平面内两不共线向量的数量积都为0（即都垂直），则可证线面垂直。

(三)证明面面垂直 不重合的平面 和 的法向量分别为m 和 n，则有 mn0

方法思路：找两平面的法向量，只需证明两向量

数量积为为0,则可证明两平面垂直。

三.处理角的问题

(一)求异面所成的角

a,b是两异面直线,A,Ba,C,Db,a,b所成的角为,则有cos|cosAB,CD| ABCD|AB||CD|

方法思路：找两异面直线的方向向量,转化为向量的夹角问题,套公式。

(但要理解异面直线所成的角与向量的夹角相等或互补)。

(二)求线面角

设平面 的斜线 l 与面所成的角为，若A,Bl,m是面的法向量，mAB 则有sin.mAB

方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为

向量的夹角问题,再套公式。(注意线面角与两

向量所在直线夹角互余）

(三)求二面角

方法1.设二面角l 的大小为 ，若面， 的法向量分别为 m 与 n.mn(1)若二面角为锐二面角，即(0,)则有cos.2mn

(2)若二面角为钝二面角，即(,)2 mn则有cos.mn



四.处理距离问题

(一)点到面的距离d 任取一点Q 得 PQ, m是平面 的法向量，则有：点P到 PQm面 的距离d=PQcos(向量PQ在法向量m 的投影的长度)|m|

(二)求两异面直线的距离d

知a,b是两异面直线，A,Ba,C,Db，找一向量与两异面直线都垂直的向量m，ACm则两异面直线的距离 dACcos＝|m|

方法思路：求异面直线的距离，先找一向量与两异面直线都垂直的向量m,然后分别在两异面直线上各任取一点A,C,则其距 ACm离 d 就是AB在向量m上的投影的长度,距离d|m|

Ps：向量 m 与异面直线a、b 都垂直，可用方程组求出 m 的坐标.五.如何建立适当的坐标系

1.有公共顶点的不共面的三线两两互相垂直

例如正方体、长方体、底面是矩形的直棱柱、底面是直角三角形且过直角顶点的侧棱垂直于底面的三棱锥等等。

2.有一侧棱垂直底面

OC底面OAB

（）1OAB是等边三角形

（2）OAB是以OB为斜边的直角三角形

(1)(2)

(3)PA底面ABCD，且四边形ABCD是菱形

(4)PA底面ABCD，且四边形ABCD是ABC＝60的菱形

(3)

3.有一侧面垂直于底面

(4)

(1)在三棱锥S－ABC中,ABC是边长为4的正三角形，平面SAC底面ABC,且SASC(2)四棱锥P－ABCD中，侧面PCD是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ADC60的菱形

.(1)(2)

向量方法在立体几何教学中的应用 篇5

向量在几何中的应用

（一）教学目标

1.知识与技能：

运用向量的有关知识，解决平面几何中线段的平行、垂直、相等等问题。

2.过程与方法：

通过应用举例，让学生体会用平面向量解决平面几何问题的两种方法——向量法和坐标法。

3.情感、态度与价值观：

通过本节的学习，让学生体验向量在解决平面几何问题中的工具作用，增强学生的探究意识，培养创新精神。

（二）教学重点、难点

重点：用向量知识解决平面几何问题。

难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题解决。

向量在物理中的应用

一、学习目标

（1）

（2）

（3）培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用

力

二、重点难点

（1）

（2

（三）教学方法

本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的运用。教学中，教师创设问题情景，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力。

向量方法在立体几何教学中的应用 篇6

15号

海南华侨中学（570206）王亚顺

摘要：向量是既有代数运算又有几何特征的工具，在高中数学的解题中起着很重要的作用。在立体几何中像直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，而用向量法很容易证明这些定理。

关键词：向量法直线平面平行垂直立体几何

在高中阶段我们学习了平面向量与空间向量的基本知识，而向量本身既可以进行代数运算又含有几何特征，这是很典型的知识，促使其在代数或几何方面都可以得到很好的应用，因此，在解题方面我们运用向量知识及本身含有的运算去解决问题的方法，我们称为向量法。即向量法既能解决代数问题也能解决几何问题。

立体几何是我们高中学习的一个难点，关键在于其抽象性及理解定理的基础上灵活运用，抽象性在此就不多言了，我们来谈下定理的问题。在高中人教A版的第二章《点、直线、平面之间的位置关系》中，对于直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，课本中只是探究说明，让学生体会而得到。如果能给出证明，就能够很好地体现定理的严密性，在此可以用向量法来证明。

下面我们就用向量法证明这些定理，先介绍一些向量知识及相关

定理。

定义1两个向量与的长度与他们之间的夹角的余弦的乘积

称为与的数量积。记为cos。特别地，若非零向量与

【1】 垂直，即，则0

定义2 空间任意两个向量与的向量积是一个向量，记为

。它的模为sin，其中为向量与之间的（或,）夹角，它的方向与和都垂直，并且按向量、、这个顺序

构成右手坐标系【2】。如图

1图1

【3】定理1两个向量与共线的充分必要条件是0。

定义3给定空间的三个向量、、，如果先做前两个向量与的向量积，再做所得向量与第三个向量的数量积，最后得

【4】 到的这个数叫做三个向量的混合积。记作,或者,,。

定理2轮换混合积的三个因子，并不改变的它的值，对调任何两个因子要改变混合积的符号，即

【5】 ,,,,,,,,,,,,。

下面我们用以上的向量知识证明立体几何的几个定理。

直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：如图2，a,b,且ab,证明：a。

图2图

3分析：在平面内找到一直线c，证明a,bc0即可。

证明：如图3，在平面内的直线b上取一点o，过o点作一直

线c与直线b交于o点；设直线a、b、c上分别有非零向量a、b、c。

aba与b共线即ab0.

根据定理2，有a,bcc,ab0，即a与bc垂直。

直线a与平面的垂线垂直，又直线a在平面外，a。证毕

平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行。

已知：如图4，a,b,abP,a,b,证明：。

图4图

5分析：证明平面内任一条直线都平面平行即可。

证明：如图5，设直线m为平面内任一条直线，在平面内取两条相交直线c与d，又设直线a、b、c、d、m上分别有非零向

量a、b、c、d、m。由于a、b是平面内两条不共线的向量，则

由平面向量基本定理可知，mab。

a,ba,cdb,cd0 

m,cdab,cda,cdb,cd0 

即直线m与平面平行，又直线m为平面内任一条直线。

。证毕

直线与平面垂直的判定定理一条直线与一平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

已知：如图6，l

证明：l。

a,lb,a,b,abP

分析：由线面垂直定义，直线l垂直于平面内任一条直线。证明：如图7，设直线c为平面内任一条直线，又设直线a、b、c、l上分别有非零向量a、b、c、l。由于a与b是平面内两个不

共线的向量，由平面向量基本定理，有c1a2b。

la,lbalbl0

cl1a2bl1al2bl0 

cl即直线l与直线c垂直，又直线c为平面内任一条

直线，由线面垂直定义可知l。证毕

用向量法证明立体几何中的直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定等定理，解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果，体现了向量法解决几何问题的优越性。向量作为一种工具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。

参考文献：

【1】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，107；

【2】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，110；

【3】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，110；

【4】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，116；

【5】

王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

向量在立体几何中的几点应用 篇7

笔者具有多年数学教学经验, 对向量法解题有一定的研究。立体几何题型大致有以下几种:求距离、求角和证明。 以向量法为解题方式, 就如何解决立体几何题做出以下介绍, 希望能够对有关人士有所帮助。

一、向量法在求距离中的应用

求距离的问题在立体几何题型中是最常出现的, 有些距离问题我们通过线段平移、等效替换和几何法可以轻松解决。但是有些题目比较复杂, 作出辅助线比较困难, 学生根本无从下手, 这就到了向量法大显身手的时候了。

求距离的题目类型较多, 在此以向量法为手段, 进行简单介绍。 在课堂上, 老师要注意让学生明白向量法的使用原理, 让他们能够轻松自如地应用向量法。

1. 求两点之间的距离 ———用向量法求两点之间的距离。在根据已知条件作好坐标系的情况下, 求出所求两点的向量坐标, 然后再求出两向量的模, 则模就是两点之间的距离。 这是最简单的类型, 老师只要让学生明白求距离的原理, 那么下面的各种题型就会迎刃而解。

2. 求点到直线之间的距离 ———如图1所示:P为直线a外一点, Q为a上任意一点, PO⊥a于点O, 所以点P到直线a的距离为|PO|=d。根据向量法, 求出P、Q两点的向量坐标, 在三角形POQ内利用∠PQO求出d的大小。这样的题目也要让学生明白求解原理, 只有懂了原理学生才能够主动地应用这种解题套路。

3. 求点到平面的距离 — ——如图2所示:设A为平面α外一点, AB是平面α的一条斜线, 交平面α于点B, 而向量n是平面α的法向量, 那么向量AB在向量n上的投影就是点A到平面的距离d。从而将问题转化为点到直线的距离, 那么求解方法就比较简单了。老师在课堂上授课的时候, 可以将这种方法反复讲解。因为在课改以前的解题方式只有几何法, 老师教得多了, 学生应用的频率自然就高了。

4. 求直线与它平行的平面及求两个平行的平面之间的距离———这样的求距离的题目看似很难, 是因为学生的思维模式基本定在几何的方向上, 他们画出辅助线, 却不能够找到相关线段的长度, 致使最后解题无从下手。 其实只要换个思路, 改用向量法求解, 题目就可以转化成求点到直线的距离。 这样, 题目就会变得十分简单。

虽然求距离的题型较多, 但是其求解方法是万变不离其宗的。 我们只要抓住关键, 那么求解任何问题都是很容易。 在此, 可以总结一下, 一定要根据所求题目, 作出合理合适的平面直角坐标系, 然后求出各点的向量坐标, 再利用所学的理论知识, 套用公式, 最后解出题目。

二、向量法在求角中的应用

在立体几何题型中, 第一个部分不是求距离就是求角度。所以老师在授课时, 一定要抓住这个重点。 让学生在高考中轻松地拿下立体几何的第一部分的分数。 同样的道理, 距离的求解使用向量法会变得有规律可循, 其实在求角度的问题, 我们同样可以使用向量法。 老师通过讲解使学生明白求解原理, 形成一种解题套路, 最后拿下立体几何第一部分。

在求角度的问题中也包括很多类型, 如求两条异面直线形成的角、 直线与平面所形成的角及二面角等。 虽然题型很多, 但是求解原理却是一样的。 在新课标的要求下, 我们要追随新理念, 摒弃旧思维, 坚持向学生灌输向量法解题的妙处, 努力构建学生的另一种解题模式。 下面以一道例题为例, 讲解向量法在求角度中的应用。 已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等, E是SB的中点, 如图3所示。 求异面直线AE, SD所成的角。

其实这道题目并不是很难, 利用几何法可以轻松地解决。因为这道题的辅助线作法十分简单, 一眼就可以看出来。再利用三角形内长度与角度的关系, 就能够解出此题。但是我们不能仅仅让学生明白这种做法, 因为立体几何题第一部分求角度或者距离比较简单, 但是第二部分证明会比较困难。我们要在一开始就引导学生使用向量法, 这样证明题也会变得简单。此题, 我们先选择合适的平面直角坐标系, 如图4所示。

这样, 有了坐标系以后, 只要求出A, E, S, D四点的向量坐标, 再代入求异面直线所成角的公式中就能够解决此题了。 关键就是正确作出坐标系, 求出个点的坐标。这个准备工作做好了, 解题就不是问题了。

三、向量法在证明中的应用

证明题是立体几何题中最难的部分, 通常是出现在一道题的第二部分。 上面所说的求距离、求角度基本都会出现在第一部分。 通过以上讲述, 在明白第一部分以后, 我们接下来讨论第二部分。

学过几何的同学都明白, 证明题才是几何的难点与重点。在高考中, 学生能否拿到高成绩与学生能否解决立体几何题第二部分有很大的关系。 作为数学老师, 我之所以强调学生多多采用向量法解决立体几何题就与此有关, 因为向量法将难题转化成一种容易的解题模式, 对于每个学生都适用。 下面以一道例题为证:在正四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为正方形, 侧棱SD平面ABCD, E、F分别为AB、SC的中点, 如图5所示, 证明:EF//平面SAD。

这是一道简单的证明题, 求证的是平行的关系。 在几何法中, 证明平行关系要画出辅助线, 与平面SAD垂直, 再证明辅助线与EF垂直即可。这种解题思路估计每一位同学都是会的, 我们要使用向量法解题, 开拓学生思维方式, 为将来面对高考打下坚实的基础。在图5中, 已画出简单的平面直角坐标系。去SD中点为G, 求出点S、B、C、E、F、G的向量坐标, 再证明向量EF与向量AG是共线向量, 就可以证明EF//平面SAD。

其实, 在我看来, 还是向量法比较简单。 虽然每道题的求解思路是一样的, 但是它的求解过程是简单的。 不像几何法, 它需要学生进行复杂思考, 准确地画出辅助线, 再通过各种转化与变换证明所求。 这对有的学生来说比较复杂, 不如向量法大众化, 每一位同学都可以轻松驾驭。

向量在解析几何中的应用 篇8

例1 过抛物线[y2=2px]焦点[F]的一条直线与抛物线交于两点[P（x1，y1）]，[Q（x2，y2）]，经过点[Q]作抛物线准线的垂线，垂足为点[M]，设抛物线的顶点为[O]，求证： [M]，[O]，[P]三点共线.

解析 由题意得，[Fp2 ，0].

[∴FP=x1-p2， y1 ， FQ=x2-p2 ，y2].

[∵ FP]与[FQ]共线，

[∴x1-p2 y2-x2-p2 y1=0].

而[x1=y122p]，[x2=y222p]，代入上式得，[y1y2=-p2].

又[M-p2 ，y2]，[∴OP=x1， y1 ， OM=-p2 ，y2].

[∵x1y2-（-p2）y1=y122py2+p2y1=y1y22py1+p2y1]

[=-p2y1+p2y1=0]，

[∴OP]与[OM]是共线向量，即[M]，[O]，[P]三点共线.

点拨 两直线平行或三点共线是解析几何中常见问题之一. 根据向量共线的充要条件解决共线（平行）问题比“斜率法”“距离法”更简单明了.

垂直问题

例2 已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]经过点[M（1，22）]，其离心率为[22]. 直线[l：y=kx+m]与椭圆[C]相交于[A]，[B]两点.

（1）求椭圆[C]的方程；

（2）已知直线[l]与圆[x2+y2=23]相切，求证：[OA⊥OB]（[O]为坐标原点）.

解析 （1）由题意易知，椭圆[C]的方程为[x22][+y2][=1].

（2）因为直线[l]与圆[x2+y2=23]相切，

所以[m1+k2=63]，即[m2=23（1+k2）.]

由[y=kx+m，x2+2y2=2]得，[（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0].

设点[A]，[B]的坐标分别为[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，

则[x1+x2=-4km1+2k2]，[x1x2=2m2-21+2k2].

所以[y1y2=（kx1+m）（kx2+m）]

=[k2x1x2+km（x1+x2）+m2]=[m2-2k21+2k2].

所以[OA·OB=x1x2+y1y2]=[2m2-21+2k2+][m2-2k21+2k2]

=[3m2-2k2-21+2k2]=[0].

故[OA⊥OB].

点拨 垂直关系[OA⊥OB][?OA?OB=0]是“形”化“数”、“垂直”化“数量积为零”的基本途径.

范围问题

例3 点[P]为平面直角坐标系[xOy]中一定点，过[P（1，2）]作直线[l]分别与[x]轴、[y]轴正半轴交于点[A]，[B]，求[PA?PB]的最小值.

解析 依题意可设直线[l]的方程为

[xa+yb=1（a>0，b>0）]，

则[1a+2b=1]，且[A（a，0）]，[B（0，b）].

则[PA=（a-1，-2）]，[PB=（-1，b-2）].

又[PA?PB=-PA?PB=（a+2b）-5]

[=（a+2b）（1a+2b）-5=（1+4+2ba+2ab）-5=2ba+2ab≥4，]

当且仅当[a=b]时，等号成立.

所以[PA?PB]的最小值为[4].

点拨 [PA，PB]反向时，[PA?PB=-PA?PB]，这是将[PA?PB]坐标化的基础. 同理，[PA，PB]同向时，有[PA?PB=PA?PB].

夹角问题

例4 已知抛物线[C1：x2=4y]的焦点[F]也是椭圆[C2：y2a2+x2b2=1（a>b>0）]的一个焦点，[C1]与[C2]的公共弦的长为[26].

（1）求[C2]的方程；

（2）过点[F]的直线[l]与[C1]相交于[A]，[B]两点，与[C2]相交于[C]，[D]两点，且[AC]与[BD]同向.

（i）若[AC=BD]，求直线[l]的斜率；

（ii）设[C1]在点[A]处的切线与[x]轴的交点为[M]，证明：直线[l]绕点[F]旋转时，[△MFD]总是钝角三角形.

解析 （1）[y29+x28=1].

（2）设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[C（x3，y3）]，[D（x4，y4）].

（i）因为[AC]与[BD]同向，且[AC=BD]，

所以[AC]=[BD].

从而[x3-x1=x4-x2]，即[x1-x2=x3-x4].

于是[（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4]. ①

设直线[l]的斜率为[k]，则[l]的方程为[y=kx+1].

由[y=kx+1，x2=4y]得，[x2-4kx-4=0].

而[x1，x2]是这个方程的两根，

所以[x1+x2=4k，x1x2=-4]. ②

由[y=kx+1，x28+y29=1]得，[（9+8k2）x2+16kx-64=0].

而[x3，x4]是这个方程的两根，

所以[x3+x4=-16k9+8k2，x3x4=-649+8k2]. ③

将②③代入①得，[16（k2+1）=162k2（9+8k2）2+4×649+8k2]，

即[16（k2+1）=162×9（k2+1）（9+8k2）2].

所以[（9+8k2）2=16×9]，解得[k=±64].

即直线[l]的斜率为[±64].

（ii）证明：由[x2=4y]得，[y=x2]，所以[C1]在点[A]处的切线方程为[y-y1=x12（x-x1）]，即[y=x1x2-x214].

令[y=0]得，[x=x12]，即[M（x12，0）].

所以[FM=（x12，-1）]，[FA=（x1，y1-1）]，

于是[FA?FM=x122-y1+1=x124+1>0]，

因此[∠AFM]是锐角，从而[∠MFD=180°-∠AFM]是钝角.

故直线[l]绕点[F]旋转时，[△MFD]总是钝角三角形.

点拨 对于不共线的向量[a，b]，[a?b>0?]为锐角；[a?b<0?]为钝角.

几何画板在数学教学中的应用 篇9

1《几何画板》软件对硬件配置要求比较低，即使是在老式的386计算机器上也可以运行；该软件体积比较小，最新的4.04版也只不过四、五兆大小，并且不需要其他软件的支持就可以独立运行。这样即使计算机配置不是很好的学校也可以正常地使用它来进行教学； 2《几何画板》操作简单，功能强大。要想学会《几何画板》并不需要太多的计算机知识，只要具备简单的运用鼠标和键盘的技能就可以了，这样就可以使教师不用再去花费更多的时 间来学习课件的制作与运用，并且制作出来的课件非常形象直观，有利于数学课堂教学。另外，课件的修改也非常方便，甚至可以在课堂上直接地对课件进行制作与修改； 二几何画板在数学教学中的应用 1绘制精确的几何图形

规范准确的几何图形往往能给人以美的享受。作为一名数学教育工作者，我们应该充分认识这一点，并要善于运用这个特点来辅助我们的教学。《几何画板》这个软件则正好给我们提供了这样的一个平台，它不仅可以准确地绘制出任意的几何图形，而且还可以在运动的过程中动态地保持元素之间的几何关系。

例如初中的“勾股定理”是几何中一个非常重要的定理，在数学的发展史上有着非常重要的 地位。在常规的教学中，往往是先由教师给出定理，再证明定理，最后举例应用。这样处理 教材的内容往往使勾股定理失去了它应有的魅力，难以激发学生学习数学的热情和兴趣。如果在教学中能把《几何画板》引入课堂，并制作成相应的课件，利用它的拖拉测算等功能，以任意地拖动ABC三点以改变该直角三角形的大小，让同学观察相应地正方形面积 的变化有何特点，并试着用自己的语言进行归纳总结，进而提出勾股定理，有条件的话，可以让学生自己动手亲自实验；在同学观察实验的基础上，教师再利用构造图形的方法对该定 理给予证明。这样能把勾股定理的精华之处一步一步地展现的学生的面前，让他们感受其中 的规律，体会其中的艰苦，尝试成功后的喜悦，从而培养他们学习几何的兴趣。

． 2研究函数的图像及性质函数的图像和性质在中学数学里既是重点又是难点。

如果在教学中能充分地利用几何画板》来将抽象的内容具体化、形象化，那么对于学生的学习无疑是很有帮助的。

例如在高中一年级的三角函数这一部分内容当中，为了更好地研究函数的图像和性质，理 解和的物理意义，可以借助《几何画板》来做演示，我们可以动态地调整的大小，使 学生能很容易地观察出它只影响曲线的振幅，而对曲线的周期和初相都没有影响，类似地我 们再调整和的大小，以了解它们的作用。这样，就会使整个内容变得非常形象直观，易于接受，比过去直接用理论来说明或简单地在黑板上画几个草图来讲解的效果要好得多。在学习其他的函数图像和性质时也可以采取类似的方法，从而会使数学的课堂也变得丰富多彩起来。

3探寻点的轨迹点的轨迹的问题，一直以来都是学生们比较难以理解和掌握的问题，大多数学生只能在头脑中简单地想象或手工地画出其草而这样又不能保证所画图像的精确性，尤其是对初学者来说，更难以形成自己的知识，达到熟练应用的程度。如果应用《几何画板》，就可以动态地描绘出轨迹的形成过程，使学生能够更容易地抓住其本质进行学习。4讨论方程或不等式的解（集）方程”“函数”和“不等式”之间存在着一定的相互依存关系。在学习的过程中，我们往往要利用这种关系，将某些方程或不等式的问题转化为函数的问题，并最终图像化。通 过函数图像中存在的交点及交点的变化情况，揭示问题的内在本质和参数的几何意义，从而 使问题简化。《几何画板》在这方面也给我们提供了一个很好的平台，可以很方便地从图形 的变化中，让学生进行感知，去寻求对策，进而运用合理的数学运算、推理等方法使问题得到彻底解决。

三在数学教学中的作用“现代技术的使用将会深刻地影响数学教学内容、方法和目标的改变。”在中学数学教学中应用《几何画板》的作用主要体现在以下几个方面：

有利于设置良好的教学情境由瑞士心理学家皮亚杰提出的建构主义认为：世界是客观存在的，由于每个人的知识、经验和信念的不同，每个人都有自己对世界独特的理解。知识并非是主体对客观现实的、被动的、镜面式的反映，而是一个主动的建构过程。建构主义要求学生在情景交互中直接获得知识，并建立和构造了自己的知识库。可见，在教学中创设一个良好的教学情境是相当重要的，数学教学也是如此。《几何画板》正好提供了一个“数学实验”的环境，使学生由过去枯燥乏味的“听数学”转变为真正的“做数学”，从而实现由“要我学”到“我要学”的过渡。借助于《几何画板》，我们不但可以把很多数学概念的形成过程充分地“暴露”出来，随时看到各种情形下的数量关系的变化，而且还可以把“形”和“数”的潜在关系及其变化动态的显现在屏幕上，甚至可以根据需要对这个过程进行控制，学生也通过观察的过程、制作的过程、比较的过程，产生他的经验体系，形成他的认知结构，从而更好地完成整个认知过程。

例如，在教学椭圆、双曲线等内容的时候，我们就可以借助《几何画板》这个工具将原本抽 象难懂的内容形象化，创造一个愉快的学习氛围，使学生真正主动地参与到教学活动中来。它不同于其它绘图软件只要绘出图像就可以了，也不像一般地教学辅助软件给出公式就可以自动地绘出图像，而是要求学生领会“圆锥曲线”的精髓，紧扣定义，巧妙构思，建立数学 模型，从而真正地做到了动手与动脑相结合，寓趣味性、技巧性、知识性于一体。2有利于体现数形结合的思想华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。这句话不但深刻地揭示了数学中数与形之间的依存关系，而且还体现了辩证唯物主义的思想。把数形结合的思想贯彻于数学学习过程的始终是学好数学的关键之一。《几何画板》能够简单快捷地画出各种几何图形，而且其中的测算功能迅速地测量出图形的长度、角度、面积等，并能进行各种复杂的计算。利用图形的运动和显示出来的数据，则能充分有效地把图形与数值结合起来，体现了《几何画板》在数形结合上的优势，这是以往其它任何教学方式所无法达到的境地。

3有利于培养学生的创新意识创新是一个民族生存、发展与进步的灵魂，是民族兴旺的动力。它以发掘人的创新潜能，弘扬人的主体精神，促进人的个性和谐发展为宗旨，而培养学生的创新意识是数学教学中的一个重要目的和一条基本原则。《几何画板》给学生提供了一个动态研究问题的工具，使他们有了创新的机会。

向量方法在立体几何教学中的应用 篇10

姚玉萍 山东省淄博市张店第八中学 255000

信息技术在教育教学中的广泛运用，极大地提高了课堂效率，这是毋庸置疑的。其中，数学以其学科特点，在信息技术的运用上，有着自身的优势，特别是“几何画板”，不仅能够制作动态的几何图形，并且能在几何图形动态变化过程中揭示几何关系的不变性质，更能在变化的图形中展示恒定不变的几何规律。同时，“几何画板”还可以给学生创造一个“操作”几何图形的环境，让学生在拖动图形、观察图形、猜测和验证结论的“演示”中有所观察、探索、发现，增加对图形的感性认识，形成几何经验，有助于学生对几何概念的学习和理解，有利于发挥学生的主体性、积极性和创造性。

一、利用“几何画板”揭示数学原理

《几何画板》作图完全依赖数学的理论，它的基本元素是点、线、圆，依据数学原理将点、线、圆三者紧密联系起来，才能够具备如此强大的功能。所以，在教学中，让学生去研究其作图方法是巩固概念、性质等的有效途径。例如，在课堂上当场演示等腰三角形的作法：作一条线段，取其中点，过中点作此线段的垂线，在垂线上任取一点并连接这个点与线段的两个端点，便构成了等腰三角形。另外，先任意画一个圆，在圆周上任意取两点，将圆心和它们连接起来，便是等腰三角形，依据是同圆的半径相等。第三，先作一个角，在角的一边上取一点与角的顶点构造线段，隐藏射线，以线段的另一个端点为顶点构造与已知角相等的角,利用等角对等边得出所作三角形为等腰三角形。这种“动感”的“几何画板”作图，形象直观地揭示了几何原理。

二、利用“几何画板”揭示“数”与“形”的关系

我们知道数形结合是数学的重要思想之一。华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”这句话对数学教学有着重要的指导作用，把“数”与“形”结合贯穿在教学的始终，是学好数学的关键之一，“几何画板”则充分精品论文 参考文献 体现了这一思想。如，二次函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点。学生从学习数、式、方程等常量的计算问题，到函数研究变量的变化规律，是认识上的一次重大飞跃。对二次函数的解析式、对称轴方程、顶点坐标及图像的开口方向、形状变化与各常量之间具有怎样的相互关系，学生不易把握，往往靠死记硬背，达不到很好的效果。而利用“几何画板”所绘制的函数图像，加上利用测算所显示的数量关系，动画观察图像随着数值的变化而变化，使学生能得到具体、生动、直观的感性认识，更好地理解函数图像的开口、形状、对称轴、顶点与函数解析式中系数a、b、c的关系（如右上图所示）。

“数”和“形”向来就是客观事物不可分离的两个数学表象。教师应培养学生树立“数”、“形”结合的意识，形成“数”、“形”统一的观念，从思维方式上获得突破，提高解题能力。

三、利用“几何画板”解决探索性问题

传统的数学教学中有一个大缺陷，就是缺少便于学生探究的环境和富于启发性的问题情境，造成了对开放探索性问题教学的忽视。在几何教学中，图形稍微变化似乎就是一个新问题，因此，学生也常常陷入“题海”中。“几何画板”提供了一个十分理想的探究问题求解的环境，几何图形在动态变化过程中，能够保持几何关系不变、性质不变，更利于学生找到解决问题的关键，这时情况就和传统教学大不一样了。

有这样一道探究与活动习题：已知△ABC为等边三角形，点M是射线BC上的任意一点，点N是射线CA上的一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q，就下面给出的三种情况，如图（1）、（2）、（3）所示，先用量角器分别测量三种情况下∠BQM的大小，再猜想这个角的大小是否不变，然后利用图（3）说明你的猜想是否正确。

（1）

（2）

精品论文 参考文献

（3）

为了降低难度，先要求学生用量角器度量三种情况下∠BQM的大小，进而得出其大小不变的结论，最后说理。这个过程如果在几何画板环境下，会做得更加完美。首先，按要求作图，将∠BQM的度量值显示在屏幕上，拉动点M，图形不断变化，不仅三种情况，而∠BQM的大小却没有改变，这样学生更加肯定自己的猜想：∠BQM=60°。仔细观察图形的变化过程，可以发现在点M运动的过程中△ABM与△BCN全等的关系始终没有改变，这就是解决问题的关键。长期进行这样的训练，学生眼中的图形就会逐渐地“动”起来。

总之，“几何画板”揭示了“数”和“形”的关系，显示了在教学中的独特优势，但是，如果对“几何画板”直观、形象和动态的功能使用不当，也很容易代替抽象思维、想象能力的培养。因此，需要我们精心设计教学过程，探索出有效的运用策略，既能帮助学生学好数学、培养学生的能力，又能发展学生的综合素质。达到了这样的目的，“几何画板”的运用才是有效的。

向量方法在立体几何教学中的应用 篇11

关键词：大学数学；几何方法；高等教育

在中国的大学教学课堂上，高等数学一直以其难度大、课程要求高、考试通过率的特点成为学生最为惧怕和困扰的学科。考虑到大学数学教育在大学教育职责所占的比重以及高等数学在理科、工科学科之中的基础性和入门性地位，对高等数学教学方法应该有所改革，以利于教学质量的提升和教学效果的提高。

一、大学数学教学的现状

在当前的大学数学教学之中，通过教师的实践经验总结和学生的学习效果反馈可以发现，教学过程中存在着种种问题，这些问题制约了教学效果的提升，也影响了学生的学习效果和学习热情。例如，当前的数学教学之中就有着过于重视逻辑推理和结论推到的倾向，而缺乏对于问题的好奇和对学生思维的启发。在这种教育之下，学生只会关注问题是否解决，而不会去考虑所用方法是否适合、是否有着更好地解决方案、所用的数学方法是否可以用于其他题目等等，而这些问题背后的思考才是高等数学教学在大学之中开展的意义，培养学生的思考和数学思维能力也才是大学数学教学的价值。事实上很多情况下，数学题目的解答确实有着更好地方法可供选择，而这些方法在培养学生思維能力和数学素养方面有着更高的价值，几何方法就是其一。

几何方法是高等数学教学中的重要方法，在高等数学体例之中，几何和数理运算应是并驾齐驱、同等重要的，两者犹如车的两辕、人的双腿，共同帮助学生建立起数学学习的体系，培养出数学思维能力。在数学学习之中，数学思维有两大来源，抽象思维和直观思维，也就是逻辑思维和直观思维。两者之间是紧密联系、相辅相成的。以往的数学学习和教学中，对数学思维的培养特别是直观性的培养一直是被忽视的方面。也带来了对学生直观性思维的忽视。

二、几何方法在大学数学教学中的应用

几何方法应该融汇于大学数学教学的方方面面，并贯穿于大学数学教学的始终。通过对大学数学课程的分析可以发现，几何方法的应用主要有以下几个方面：

1、在高等数学教学中的应用

高等数学课程是大学数学教学的基础，是学生脱离了高中的应试教育模式所接触到的第一门真正的数学课程，也是未来学习物理学、化学、工程学、医学、生物、建筑等理科、工科学科的入门。学好高等数学，代表了未来学习的扎实基础和必要准备。但是在当前的高等数学教学之中，高等数学课程更多地给学生留下了枯燥乏味、艰深难懂的印象，在教学中教师教的辛苦，学生学的艰难，这种情况部分地是由于未能真正重视几何方法在高等数学教学之中的作用所导致的。

使用几何方法，可以极大地减少数据运算的难度，减少繁琐的运算内容。以这一题为例，求一旋转抛物线z=x?+y?到平面x+y-2z=2之间的最短距离。为了解答出这一问题，有两种方法可供选择。其一，使用条件极值的方法，作朗格朗日辅助函数，经过大量的繁琐运算得出拉格朗日函数的唯一驻点，再将这一驻点带入距离之中，由距离的实际意义得出最小值，最终解答出两者之间的最短距离。这种方法排除了几何方法的使用，但计算方式非常繁琐，计算量大、计算难度高，非常容易出错。另一种方法运用几何直观的思维，求出法向量，解得x和y的具体数值，带入点到平面的距离公式，得出两者之中的最短距离。这种解答方法计算量小，解答过程容易，解答过程结合了抽象思维和直观思维，是将数理计算和几何方法相结合的新思路，契合了高等数学的教学要求，也因此得到了高等数学教学工作者的提倡。使用这种教学方法，不但能够简化计算过程、避免计算错误，还能够帮助学生形成数理和几何相结合、抽象和直观相适应的数学思维模式，是当前高等数学教学的应有趋势。

2、在统计学中的应用

除了高等数学教学，统计学也是大学数学教学之中的重要内容。虽然在表面上，统计学与纯数学距离较远，甚至不应该归于数学领域的范畴，但作为一门将数学作为基本工具的重要学科，统计学可谓是与大学数学息息相关的。与高等数学类似，统计学也有着学科要求高、课程难度大的特点。

教师往往苦恼于教学的方法，学生会困扰于艰深的知识，久而久之形成畏难情绪，给统计学课程贴上“艰深”、“枯燥”、“深奥”、“乏味”的标签，不利于教师教学和学生学习。

在统计学教学过程中，微积分是常用的数学方法和解答工具，但除此以外，几何学也可以在统计学之中得到有效地利用。若能够正确使用几何方法进行统计学的教学和学习，学习效率可以得到极大的提高，事半功倍亦是可以想见的。对于教师来说，有意识地使用几何直观思维的方法可以很好地帮助学生理解统计学的理论和知识，并帮助学生在知识和知识之间建立联系，形成知识之间是互相联系的重要意识，并形成知识相连的信息网和数据库。而学生的直观思维能力的培养也能够帮助他们养成良好的数学素养，在学习的过程中多进行联想，也多进行质疑，通过不断的质疑，可以发现自己现有知识的不足，也能够培养批判性思维的能力；通过联想，学生能够完善自身的知识网络，拓宽自己的知识面，最终形成举一反三的效果。

三、结语

在当前的大学数学教学过程中，无论是高等数学教学还是涉及到数学方法和运用的统计学教程，教学难度大、学生学习困难都几乎成为学校、教师、学生乃至于社会大众的共同认识，而伴随着对大学数学的畏难情绪和对数学学科的惧怕心理，学生对数学学科的兴趣被削弱，学习的积极性受到打击，长此以往只会带来越学越难、越难越怕、越怕越难的恶性循环，无助于学生学习兴趣的提升和数学思维的培养。为了打破这一恶性循环，包括几何方法在内的数学方法应该得到高校数学教师更多的关注和更为广泛的运用，广大教师应该投入更多地精力探索将几何方法和数理方法相结合的数学题目新解法，力求将几何方法所代表的直观思维与抽象思维想结合，共同完善学生的数学能力和知识网络，为培养学生包括直观思维能力在内的数学思维能力而努力。

参考文献：

[1] 张瑞丰，朱晓临，杨志林，邓斌，吴强. 浅谈面向“90后”大学生的大学数学教学改革[J]. 大学数学. 2014（S1）

[2] 王万永，陈丽娟. 基于数学建模的大学数学教学探讨[J]. 数学学习与研究. 2015（09）

例谈平面向量在解析几何中的应用 篇12

例1:已知向量, 向量, 向量, 求向量与向量的夹角范围.

解析:本题考查平面向量在解析几何中的作用.

解:如图1所示, 以O为原点建立平面直角坐标系, 则由题意可知, O (0, 0) , B (2, 0) , C (2, 2) .

由题意可知

因而A在以C为圆心, 为半径的圆上, 若直线OA与圆相切, 由图可知, ,

所以∠COA=π/6而,

即与夹角的最小值为,

同理可得与夹角的最大值为,

因而, 与夹角的取值范围为[].

例2:在平行四边形ABCD中, A (1, 1) , , 点M是线段AB的中点, 线段CM与BD交于点P.

(1) 若, 求点C的坐标;

(2) 当时, 求点P的轨迹.

解: (1) 设点C的坐标为 (x, y)

在平行四边形ABCD中,

由题意可得,

所以

即 (x-1, y-1) = (9, 5)

因而x=10, y=6

即点C的坐标为 (10, 6)

(2) 设P点坐标为 (x1, y1)

在四边形ABCD中,

则

由题可得,

又因为

由题意可得, 点M是线段AB的中点

因为

所以平行四边形ABCD为菱形

因而

所以 (x1-7, y1-1) · (3x1-9, 3y1-3) =0

即 (x1-7) (3x1-9) + (y1-1) (3y1-3) =0

所以x12+y12-10x1-2y1+22=0 (y1≠1)

故点P的轨迹是以 (5, 1) 为圆心, 以2为半径的圆去掉与直线y1=1的两个交点.

摘要：新课改之后, 向量成为高中数学中必不可少的一部分, 尤其最近几年其在高考数学中的比重逐年增加, 更是对不少题目的解题提供了捷径.本文主要对平面向量进行深入分析理解, 并且研究其在高中数学解析几何中的应用.

关键词：平面向量,解析几何,应用

参考文献

[1]齐民友·中学数学教学中的向量[J]数学通报, 2007, 46 (4) .

[2]曹一鸣·现代数学与中学数学[M]北京师范大学出版社, 2010.

向量方法在立体几何教学中的应用 篇13

高肖鹏

东方市铁路中学

572600

摘要 随着校园信息化建设的快速发展，充分利用校园计算机、网络和多媒体资源，在新课程标准实施的契机下，做好初中数学课程改革，探索新的教学观念，尤其是运用现代信息技术在几何教学中的作用越来越大，本文提出了自己的一些理解。

关键词

信息技术 初中数学几何教学及应用

数学是一门严谨的科学，它具有严密的逻辑性和演绎性．“现代信息技术的广泛运用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等产生深刻的影响．教学中要重视利用信息技术来呈现、以往课堂教学难以呈现的内容．”在传统的教学中由于缺少某些必要的教具和动画演示，尤其几何方面许多概念和性质对应的图形无法准确生动表示，学生只能在老师的解释和粗略的草图下进行理解，背离了数学来源于生活，又高于生活的本质，致使学生普遍认为数学抽象难学．为改变这些弊病，老师的教学方式和手段就必须改变．在多媒体基本普及的今天，信息技术的力量使上述问题的解决成为可能的和可行的。下面谈谈本人对运用多媒体辅助初中数学几何教学的体会和看法。

一、运用多媒体设备，创设问题情境，使学生自主探究：（1）切线的引入-------观察与思考

问题（1）下雨天，转动着的雨伞上的雨滴是顺着伞的什么方向飞出去的？

问题（2）砂轮转动时，火花是顺着什么方向飞出去的？这是两个关于切线的十分形象的生活事例。我于是做了两张FLASH动画，形象的再现了雨滴和火花的飞溅情况。当动画播放之后，所有同学都被吸引了，教室立刻有了议论的声音。我放开他们去议论，控制火候，然后引导学生把实物图抽象成几何图形去研究切线如何识别。

学生在观察与思考的过程中，欣赏动画，动手画图，激发学生的学习兴趣，既发挥他们的抽象想象能力，又锻炼了作图能力，体现了知识产生于实践的思想，符合新课标理念。

（2）知识探索 ① 如图：以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙0交BC于D，DE⊥AC，请说明DE与⊙0相切。

如果条件稍做改变，⊙0过点B，但半径发生变化，如下图所示：

其他条件不变，即DE⊥AC，是否DE与⊙0相切还成立？为了让学生观察到问题的本质，我让所有学生用鼠标选定点O，并拖动它移动，从而观察线段DE的运动情况。学生通过自己动手操作实践，抓住问题的本质，很快写出了说明过程。

②画图说明以三角形的一边为直径画圆，使该圆与另一边相切，则该三角形是 直角三角形。

本题看似简单，其实学生在画图的过程中，有很多人是先画了三角形，然后以某边为直径画圆，结果发现问题不容易解决，因为事先没考虑到是直角三角形。但是，如果此题在几何画板上解决就显示出了现代教育手段的先进性。如下图，先画三角形ABC，然后以AB边为直径画圆，发现没有边与圆相切，但是此时只需拖动点C调整其位置让边BC与圆相切。

二、运用多媒体课件展示知识结构体系及内容，可以帮助学生将所学知识形成系统。

例如，新课标初中二年级下学期第十七章《四边形》中，学习的图形有四边形、平行四边形、梯形、特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形），特殊的梯形（等腰梯形、直角梯形），要求学生掌握的内容就有很多，定义，还有各自的性质与判定，最重要的就是弄清楚这些图形的之间的内在联系，因此在教学中可以运用多媒体课件展示，来解决这个问题。首先可以用知识结构图来展示（如图一）。

让学生弄清它们之间的包含关系，然后再用动画演示四边形变形到平行四边形，四边形变形到梯形，以及平行四

边形变形到特殊的平行四边形，梯形变形到特殊的梯形，让学生从直观的动画中掌握它们的定义，分析、概括它们之间内在联系，从而理解一般与特殊的关系。最后再系统的展示各自的性质与判定方法，让学生全面的回忆所学内容，在头脑中形成有关四边形及特殊的四边形知识结构系统。

三、数形结合，发展学生空间想象能力

譬如，使用《几何画板》这个数学教学软件。该软件功能强大，能方便地用动态方式表现对象之间的关系，既能创设情境又能让学生主动参与，所以能有效地激发学生的学习兴趣，使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学并乐意学数学。让学生通过做“数学实验”去主动发现、主动探索，不仅使学生的逻辑思维能力、空间现象能力和数学能力得到较好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维，是目前数学教学中最为流行的辅助软件之一。

八年级《探究平行四边形的特征》教学时，利用多媒体将两个完全重合的平行四边形其中一个固定，另一个绕着他们对角线的交点旋转180度，在屏幕上，学生可以清晰的看到旋转的过程，旋转后的结果，完全重合的边、角，从而探究出平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分等特征。通过多媒体展示把抽象的东西形象化，降低了教学的难度，并且学生了解了知识形成过程，揭示了规律，并理解其本质属性。

四、体现数学美，激发学生学习数学的兴趣

数学来源于生活,数学课不仅要带领孩子们走进“数”的海洋,还要再现生活数学的美丽图景。数学的教学如果仅就教学内容进行教学是相当乏味的,只有把我们所要教的数学溶入生活,让孩子有真正的生活体验,数学的美才能显现其动人的色彩。此时，多媒体的在教学中的优势就能充分地展现来。

如在教学《圆的认识》时，利用多媒体展示生活中随处可见的各种美丽的圆：石子入水后浑然天成的圆形波纹，阳光下肆意绽放的向日葵，天体运行时近似圆形的轨迹，遥远天际悬挂的那轮明月、朝阳；圆形拱桥、世界著名的圆形建筑、中国著名的圆形景德镇瓷器、中国民间的圆形中国结、中国传统的圆形剪纸、世界著名的圆形标志设计„„学生在大自然中、生活中欣赏这些美丽的圆，体会到圆所扮演着的重要角色，不但发现生活中数学的美丽，同时激发了学生学习的兴趣。

初中数学《新课程标准》指出：“学生的数学学习内容„„，要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”在初中数学几何课堂教学的过程中，运用多媒体现代化教学手段把图像、文字、声音、动画等融为一体，不但能直观地再现事物的发展过程，而且还能形象地说明事物间的相互转化，使学生在理解的基础上参与知识的形成过程。因此，在几何教学中，我把多媒体技术和教学内容有机结合，把多媒体资源和教学资源有机结合，使教学的表现形式更加形象化、多样化、直观化，有利于充分揭示数学概念的形成与发展。展示数学思维的形成过程，使数学课堂教学收到事半功倍的效果。

参考文献：

[1] 何克抗 《论现代教育技术与教育深化改革--关于ME命题的论证》、《多媒体教育应用的重大意义及发展趋势》 [2]几何画板参考手册

[3] 孔企平，数学新课程与数学学习[M] 北京：高等教育出版社，2003 [4] 常汝吉，数学课程标准[M] 北京：北京师范大学出版社，2001 [5] 江苏省电化教育馆，信息技术与教育[M] 苏州：苏州大学出版社，2001 [6] 季正义，《浅谈多媒体教学在初中数学教学中的应用》，《中小学电教》，2006年 10期．

参评：理论组

作者姓名： 高肖鹏

单位全名： 海南省东方市铁路中学

数学组

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