浅谈向量在几何中的应用

浅谈向量在几何中的应用（精选7篇）

浅谈向量在几何中的应用 篇1

浅谈向量在几何中的应用

宁阳四中 271400 吕厚杰

解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。合理地运用向量解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。

1.证平行、证垂直

具体方法利用共线向量基本定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。证明线线、线面垂直则可通过向量垂直来实现。

例1 如图1，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。

图1 证明：又

所以，且即

可知，与 共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则ΔABC是___________。分析：显见：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC为直角三角形。

2.求角、求距离

如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。定义：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问题，但，所以

（2）直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角（或补角的余角）。如图2：。

图

2（3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。

求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。例3.（2005年高考题）如图3，已知长方体ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点。（1）求异面直线AE与BF所成的角。

（2）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小。（3）求点A到平面BDF的距离。

图

3解：在长方体ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因为直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因为E（，0），D（0，（1）因为

所以

即异面直线AE、BF所成的角为

（2）易知平面AA1B的一个法向量m＝（0，1，0），设n＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，由

所以取

所以

（3）点A到平面BDF的距离即

在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值。

所以

例4.如图4，已知正四棱锥R�ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心。求直线PQ与底面ABCD所成的角。

图

4解：以O为原点，以OR所在直线为z轴，以过O与AB垂直的直线为x轴，与AB平行的直线为y轴建立空间直角坐标系。

因为底面边长为6，高为4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1），设PQ与底面ABCD所成的角为α，则。

空间向量在立体几何中的应用体现了数形结合的思想，培养了学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力。目的是将空间元素的位置关系转化为数量关系，将形式逻辑证明转化为数值计算，用数的规范性代替形的直观性、可操作性强，解决问题的方法具有普遍性，大大降低了立体几何对空间想象能力要求的难度。

浅谈向量在几何中的应用 篇2

(2007全国卷理) 如图1, 在四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为正方形, 侧棱SD⊥底面ABCD, E, F分别为AB.SC的中点。 (1) 证明:DE∥平面SAD。 (2) 设SD=2DC, 求二面角A-EF-D的大小。

(2008年全国卷理) 如果正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB=4, 点E在CC1上且C1E=3EC, (Ⅰ) 证明:A1C⊥平面BED。 (Ⅱ) 求二面角A1-ED-B的大小。如图2。

向量在立体几何中的应用 篇3

一、利用向量解决空间位置关系问题

1. 平行问题

例1 如图所示,在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，棱长为[a，M、N]分别是[A1B]和[AC]上的点，[A1M=AN=23a,][E是A1D1中点.]

[∴MN//面BB1C1C]．

点拨 （1）建立空间直角坐标系，应尽可能地利用已经存在的过同一个点的两两互相垂直的三条直线，如果没有三线，也应多找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直．

（2）建立直角坐标系后，不需要写出所有点的坐标，也不需要写出所有向量的坐标，只须写出需要用到的点和向量的坐标．

（3）平面[α]的法向量是不惟一的．求平面[α]的法向量一般用解方程组的方法来求，首先设平面[α]的法向量为[n=(x,y,z)]，在平面[α]内任找两不共线且已知坐标的向量，如[AB]和[CD]，建立方程[AB⋅n=0]和[CD⋅n=0]，解出[x或y或z]，或找出它们之间的关系，可用一个字母来表示另外两个字母，再令这个字母取一个特殊值（不能取0），算出另外两个字母，即可得到方程组的一组解．

2. 垂直问题

例2 如图，在三棱锥[P-ABC]中，[AB=AC]，[D]为[BC]的中点，[PO]⊥平面[ABC]，垂足[O]落在线段[AD]上，已知[BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.]

（1）证明：[AP⊥BC]；

（2）在线段[AP]上是否存在点[M]，使得面[AMC][⊥]面[BMC]？若存在，求出[AM]的长；若不存在，请说明理由．

解析 （1）如图，以[O]为原点，以射线[OP]为[z]轴的正半轴，以射线[OD]为[y]轴的正半轴，建立空间直角坐标系[O-xyz]，则[O(0,0,0), A(0,-3,0), ][B(4,2,0),][ C(-4,2,0),][P(0,0,4),]

[AP=(0,3,4), BC=(-8,0,0),]

综上所述，存在点[M]符合题意，[AM=3]．

点拨 （1）本题中并没有互相垂直的三线，所以先找出两条线互相垂直，再作出第三条线与它们都垂直，把这三条线作为坐标系中的[x、y、z]轴．

（2）存在性问题一般先假设存在，然后在这个条件下进行计算，若能算出来，即表示存在，若算不出来或者不合题意即表示不存在．

二、利用向量解决“空间角”问题

1. 异面直线所成角问题（线线角问题）

例3 如图所示，[AF、DE]分别是[⊙O]、[⊙O1]的直径. [AD]与两圆所在的平面均垂直，[AD＝8],[BC]是[⊙O]的直径，[AB＝AC＝6]，[OE∥AD]. 求直线[BD]与[EF]所成的角.

解析 以[O]为原点，[BC、AF、OE]所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则[O]（0，0，0），[A]（0，[-32]，0），[B]（[32]，0，0），[D]（0，[-32]，8），[E]（0，0，8），[F]（0，[32]，0），

[BD=(-32,-32,8),EF=(0,32,-8)]，

[cos=BD⋅EF|BD||EF|=0-18-64100×82=-8210.]

设异面直线[BD]与[EF]所成角为[α]，

则[|x0-x0|≤L|x0-x0|]，

因此直线[BD]与[EF]所成的角为[arccos8210]．

点拨 向量在解决异面直线所成角时，通常要先建立空间直角坐标系，然后计算出两个向量的坐标，再代入夹角公式中计算，特别注意的是由于向量夹角的范围是[0,π]，而异面直线所成角的范围是[(0,π2]]，所以一定要注意夹角的余弦值应该取正值，若算出两向量夹角的余弦值是负值，取其绝对值作为两异面直线夹角的余弦值．

2. 线面角问题

例4 如图，四棱锥[S-ABCD]中，[AB⊥BC],[BC⊥CD]，侧面[SAB]为等边三角形，[AB=BC=2,][CD=SD=1]．

（1）证明：[SD⊥]平面[SAB];

（2）求[AB]与平面[SBC]所成角的大小．

解析 以[C]为坐标原点，射线[CD]为[x]轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系[C-xyz]．设[D]（1，0，0），则[A]（2，2，0）、[B]（0，2，0）.

故[AB]与平面[SBC]所成的角为[arcsin217]（或[π2-arccos217]）．

点拨 求直线与平面所成角可转化为求直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角，因规定直线与平面所成角[θ∈[0，π2]]，两向量所成角[α∈[0，π]]，所以用此法向量求出的线面角应满足[θ=|π2-α|]，[sinθ=cosα]．

3. 面面角（二面角）问题

例5 如图，正三棱柱[ABC-A1B1C1]的底面边长为3，侧棱[AA1=323]，[D]是[CB]延长线上一点，且[BD=BC]，求二面角[B1-AD-B]的大小．

故所求二面角[B1-AD-B]的大小为[60∘]．

点拨 （1）本题容易得到面[ABD]的一条垂线，所以面[ABD]的法向量就不需要再用方程组来解了，直接把这条垂线的方向向量作为平面[ABD]的法向量．

（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取[n2=(-32,-1,-32)]时，会算得[cos=-12]，从而所求二面角为[120∘]，但依题意只能为[60∘]．所以用法向量的夹角求二面角时应注意，平面的法向量所取的方向不同，所求出来的角度也不同，因此，最后所求角是法向量的夹角还是它的补角，应根据所求二面角的实际图形来确定．

三、利用向量解决“空间距离”问题

例6 如图所求，已知四边形[ABCD]、[EADM]和[MDCF]都是边长为[a]的正方形，点[P、Q]分别是[ED]和[AC]的中点.

（1）求[P]到平面[EFB]的距离；

（2）求异面直线[PM]与[FQ]的距离.

解析 以[D]为坐标原点，以射线[DA、DC、DM]分别为[x、y、z]轴，建立空间直角坐标系，

得[D]（0，0，0）、[A]（[a]，0，0）、[B]（[a，a]，0）、[C(0,a,0)]、[M(0，0，a)]、[E(a，0，a)]、[F(0，a，a)]，

则[P(a2]，0，[a2]）、[Q(a2]，[a2]，0）.

（1）设[n=(x，y，z)]是平面[EFB]的单位法向量，即|[n]|=1，[n]⊥平面[EFB]，∴[n]⊥[EF]，[n]⊥[BE].

又[EF=(－a，a，0)]，[EB=(0，a，－a)] ，

即有[x2+y2+z2=1,-ax+ay=0,ay-az=0.]得其中的一组解[x=33,y=33,z=33.]

∴[n]=（[33]，[33]，[33]），[PE]=（[a2]，0，[a2]）.

设所求距离为[d]，则[d=|PE]·[n][|=33a].

（2）设[e=(x1，y1，z1)]是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由[PM]=（－[a2]，0，[a2]），[FQ]=（[a2]，－[a2]，[－a]），及[e⊥PM,e⊥FQ],可得[x12+y12+z12=1,-a2x1+a2z1=0,a2x1-a2y1-az1=0.]

求得其中的一个[e]=（[33]，－[33]，[33]），

而[MF=(0，a，0)]，设所求距离为[d]，

则[d=|MF]·[e][|=|－33a|=][33a].

点拨 本题用到了平面的单位法向量和直线的单位方向向量，由于单位向量的模长为1，所以点[A]到平面[α]的距离[h=BA⋅nn]=[BA⋅n]．

向量在立体几何中的应用导学案 篇4

（一）编写：审核：时间—、教学目标 ：、复习近平面几何图形的性质。

2、理解用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。

二、问题导学：

1、平面几何图形的性质

2、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。

建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将证明线段相

等，转化为证明向量的相等，求线段的长，转化为求向量的； 证明线段、直线平行，转化为证明向量；

证明线段、直线垂直，转化为证明向量；

几何中与角相关的问题，转化为向量的问题；

对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立，通过代数（坐标）运算解决问题。典型例题

例

1、如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2。

求证：AD⊥BC。

例

2、已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1）

（1）求,和ACB的大小，并判断△ABC的形状；

（2）若M为BC边的中点，求||。

三、作业

ABCD中，错误的式子是（）

A、B、

C、ABBCACD、ADABAC2、已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），则△ABC是（）

A、等边三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、钝角三角形 

3、△ABC是等边三角形，设a,b,当|atb|取最小值时，t=（）

13A、B、1C、2D、224、已知四边形ABCD的顶点坐标A（1，1），B（1，3），C（3，3），D（4，1），则

四边形ABCD为（）

A、直角梯形 B、等腰梯形C、矩形D、菱形

5、在平面上有A、B、C三点，设mABBC,nABBC,若m与n的长度恰好相等，则有（）

A、A、B、C三点必在同一条直线上B、△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C、△ABC必为直角三角形且∠B=90º D、△ABC必为等腰直角三角形





6、设向量a(1,3),b(2,4),c(1,2)若表示向量4a,4b2c,2(ac),d

的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为（）

A、（2，6）

B、（-2，6）

C、（2，-6）

D、（-2，-6）

7、已知点A(,1),B(0,0),C(3,0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有,其等于（）A、2B、C、-

3D、

38、如果直线xyt与圆x2y24相交于A、B两点，O为原点，如果与的夹角为

，则t 的值为。

39、如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于同一点。

§2.4向量在解析几何中的应用

（二）执笔人：郑才红葛红时间—、自主学习例4—6填空：

（1）设直线l 的倾斜角为，斜率为k, 向量(a1,a2)平行于l，则称为l的，可以根据向量的知识得到向量（1，k）与向量共线，因此（1，k）也是l 的方向向量。

（2）已知直线l:AxByC0，则向量(A,B)一定和l，向量(A,B)

称为l 的。

（3）已知直线l1:A1xB1yC10，l1:A1xB2yC20，则n1(A1B1)与

l1垂直，n2(A2,B2)与l2 垂直，于是l1和l2的夹角便是n1与n2的夹角（或其

补

角）

设

l

1与

l

2的夹

角

是

，则

有



nn2

|cos|cosn1,n2||1|n1||n2|

二、典型例题：

已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线AQ上，满足

PAAM0,，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程。

三、作业：

1、已知点A，B的坐标为A（4，6），B（-3，）,与直线AB平行的向量的坐标可以

2是（）

①（14,3)

3②(7,)③(

921

4,3)④（-7，9）3

A、①②B、①③C、①②③D、①②③④

2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（1，0），B（2，2），若点C满

足t(),其中tR，则点C的轨迹方程为（）

A、(x2)2(y2)22C、2xy10

B、xy10 D、2xy203、直线3x2y60与向量n(2,3)的位置关系为（）A、平行

B、相交

C、垂直

D、重合

4、若对n个向量a1,a2,......,an,存在n个不全为0的实数k1, k2,„„，kn，使得

，依此k1a1k2a2.....knan0成立，则称向量a1,a2,...,an为“线性相关”

规定，能说明a1(1,0)，a2(1,1),a3(2,2)“线性相关”的实数k1, k2, k3依次可以取。（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）。

5、过点A（3，2）且与直线l:4x3y90平行的直线方程为，过点A且与l垂直的直线方程为。

2

6、已知向量a(x,x)与向量b(2x,3)的夹角为钝角，则实数x的取值范围

是



7、已知向量a,b的夹角为60º，|a|3,|b|2,若(3a5b)(mab)，则m的值为

8、直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P(x, y)满足OPOA4，则点P的轨迹方程是。

§2.4向量在物理中的应用

（三）执笔人：郑才红葛红时间

—、自主学习：

1、力向量包括大小、方向和作用点，如果大小和方向相同的两个力，作用点不同，它们是

2、同一平面上，作用于同一点的两个力f1,f2或三个力f1,f2,f3处于平衡状态，可分别用等式；来表示。

3、一质点在运动中每一时刻都有一个向量。

二、典型例题：

例

1、如图，一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河

水的流速为2km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

例

2、某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为

2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

三、作业



1、当两人提起重量为|G|的书包时，夹角为，用力为||，则三者的关系式为（）



|G|

A、|F|

2cos|G|C、F

2cos

|G|B、|F|

2sin

|G|D、|F|

2cos2、已知作用在A点的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)且A（1，1），则合力F1F2F3的终点坐标为（）A、（9，1）

B、（1，9）

C、（9，0）

D、（0，9）

3、两个大小相等的共点力F1,F2，当它们夹角为90º时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120º时，合力大小为（）A、40N

B、2N

C、2N

D、N4、一条河宽为400米，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的 B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需的时间为（）A、1.5分钟B、1.8分钟C、2.2分钟D、3分钟

5、河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（）A、10m/s

B、226m/s

C、46m/s

D、12m/s6、一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知垂直到达对岸，则（）A、|v1||v2|C、|v1||v2|



B、|v1||v2|

浅谈向量在几何中的应用 篇5

一、选择题

1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确

2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35153．已知a＝1，－，b＝－3，λ，－满足a∥b，则λ等于()． 222

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()

A．(1，－1,1)3B.1，3，2



C.1，－3，2

二、填空题



D.－1，3，－

2

8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则

l1与l2的位置关系是_______．

9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．

三、解答题

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：

MN∥平面A1BD.证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1

则M0，1，N，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，22→

1

1于是MN＝，0，2

2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得

x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

11

又MN·n＝，0，·(1，－1，－1)＝0，22→

∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)若点G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面

BCC1B1.→→

证明(1)建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．(2)如图，设M(0,0，z)，→

→→

2

则GM＝0，－，z，而BF＝(0,3,2)，3

→→

由题设得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 22

，0、(0,0,1)．

22→22∴NE＝－，－1.22

2

2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、，1

22



→

22∴AM＝－，－1.22

→→

∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22

(2)由(1)知AM＝－，－1，22

→

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

空间向量在立体几何中的应用 篇6

一、证明或判断线与线、线与面及面与面的平行或垂直

由立体几何知识我们知道线、面间的平行或垂直最终都可归结为线与线的平行或垂直, 就是判断两向量的平行或垂直问题, 而这一问题正好是向量知识的基本内容.

二、求空间的角

1.异面直线所成的角

设线段AB, CD所在直线为异面直线, 设, 由于异面直线所成的角不超过90°, 所以AB, CD所成的角θ满足

2.直线与平面所成的角

设平面α的一条斜线段为PA (A为斜足) , n为平面α的法向量, 那么直线PA和平面α所成的角θ与→PA和n所成的角 (不超过90°) 互余, 所以

3.二面角的平面角

如图1, 设二面角α-l-β的大小为θ, m, n分别是平面α, β的法向量, 且m与n的夹角为α, 则θ=α或θ=π-α, 而, 不过对具体问题要看θ为锐角还是钝角以确定θ=α还是θ=π-α.

三、求空间的距离

1.点到直线的距离

如图2, 点A在直线l上, 点P在l外, 则点P到l的距离d就是在直线l的法向量n上的射影的绝对值.

2.点到平面的距离

与点到直线的距离相似, 如图3, A∈α, Pα, 则在平面α的法向量上的射影的绝对值就是P到平面α的距离;或者先求→PA与平面α所成的角θ, 那么P到平面α的距离.

3.异面直线的距离

如图4, AB, CD为异面直线, 在n方向上射影即为AB, CD之间的距离, 即

下面举例加以说明:

例如图5, 在棱长为1的正方体中, 求:

(1) AC1与CD1所成的角;

(2) AC1与CD1的距离;

(3) 点C1到平面B1D1C1的距离.

例谈平面向量在解析几何中的应用 篇7

关键词：平面向量；解析几何；应用；数量积

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）07-174-02

一、平面向量在解析几何中的运用概述

平面向量是高中数学的重要组成部分，也是高考的考点，向量知识在数学界以及大学物理中都有着广泛的应用。平面向量不仅能够清晰地展示图形的特征，还具有数学运算的功能，它有助于学生进行数形结合的学习，使得几何图形的解题更加方便快捷。然而随着高考制度的不断改革以及知识的不断发展，将平面向量与几何图形相结合也成为高考的命题趋势，因此，这就要求学生必须学会用平面向量解几何题，不仅方便快捷，而且思路清晰，简单明了。这也说明了解题方法的重要性，在学习过程中要学会稳中求变，学会变通，正确运用向量知识可以减少运算量，使学习更加轻松快乐。

平面向量在解析几何中的运用，主要有平行、夹角、垂直、轨迹等几种问题，解决这几种问题的基本方法就是把几何问题和坐标、符号、数量联系起来，也就是引入平面向量，把推理演变成为运算。本文通过几个例题来展示平面向量在解析几何中的应用，希望可以加强对平面向量相关知识的理解。

三、结束语

平面向量在平面几何中的应用体现了重要的数学思想，即“数形结合”，可以增强学生解决问题与分析问题的能力，将平面几何与数学数量结合也从某种程度上体现了一定的灵活性，能够增强学生灵活处理问题的能力。通过以上的例题可以得出，合理的构造出向量之间的关系，利用向量的基本性质，灵活运用向量的充分必要条件，熟练掌握向量坐标之间的数量运算，利用垂直的性质解决平面几何中的平行、共线等等问题，通过运用数量积公式解决夹角、垂直以及轨迹等一系列几何问题。

参考文献：

[1] 余华安.例谈平面向量在解析几何问题中的应用[J].中小学数学（高中版），2008（Z1）.

[2] 周明勇.例谈平面向量在解析几何中的应用[J].郧阳师范高等专科学校学报，2006（06）.

[3] 储一平.例谈向量的数量积在解析几何中的应用[J].高中数学教与学，2005（03）.