初中几何中的最值问题

初中几何中的最值问题（精选5篇）

初中几何中的最值问题 篇1

中学教学素质教育的重要内容之一学以致用, 将实际的具体问题抽象为立体几何中的几何量的关系。用数学的观点和方法来解决以最少的耗费来创造最佳的经济效益问题。就不可避免地涉及到最值问题。例如求最短距离, 原材料的最大利用率、最佳经济效益等。

通过几年的教学实践发现, 学生对解决此问题颇感困难, 有时竞无从下手。下面就介绍一种用定位思想解决最值问题的方法。所谓“定位思想”就是从问题的最终要求来选择合理的解题途径, 有意识地绕开不适当的思维方式的一种思维定势。在立体几何中, 就是通过对图形的观察分析, 确定取得最值的位置, 然后再求出最值。

例1如图1, 正三棱锥底面边长为a, 则棱长为2 a, 过底面一边作与相对侧棱相交的截面, 求截面周长的最小值。

[分析]将侧面展开, A、B两点连线为AM+BM的最小值, 从而可求截面周长的最小值。

解:如图2, 由已知, 在ΔAPC中

则截面周长最小值为

例二二面角a-a-β的平面角为120o在α内AB⊥a于B, AB=2, 在β内CD⊥a, CD=3, BD=1, M是棱a上的动点, 求AM+CM的最小值。

[分析]将二面角的两半平面展开成一平面, A, C两点的连线长为AM+CM的最小值。

解:AH//BD交CD延长线于H。AH=BD=1, AH=AB+CD=5,

则故的最小值为

例3, 如图3, △ABC在平面内a内, ∠A=6cm, PC⊥平面a, PC=4cm, K是AB边上的动点, 求面积最小值。

[分析]由已知, 无论K在何处为直角三角形, 面积为1/2, PC·PK, 而PC为定值, 面积最值取决于CK的最值。

解:作CK⊥AB, 连接PK, 此时CK为最小。

例4如图4, 点求A到平面PBC距离的最大值。

[分析]作PM⊥BC连AM, 且为定值,

当。

解:作PM⊥BC, 连AM, ∴BC⊥面PAM, 则面PAM⊥PBC, 作AH⊥PM, AH为所求。

在RiΔPBM中, 可知, 当PA=AM时, AH取最大值, 此时, AH=PM/2, 则

例5AB=2R为圆周的直径, , 二面角A-PB-C为何值时, 三棱锥P-AEF的体积V最大?值为?

[分析]如图7, 由已知得, AE⊥PB, EF⊥PB, ∠AEF=A, PE⊥面AEF, 而且VP-AEF=1/3⋅PE⋅SΔAEF, 而AE为定值, ΔAEF为RiΔ, 且斜边AE为定值, 可知ΔAEF为等腰三角形时面积最大。

由已知

综上数例所述, 不难看出, 立体几何中的最值问题, 主要是通过对具体图形的观察分析, 准确确定取得最值的位置, 而其解题判定的准确与否, 取决于学生对基础知识, 基本技能的掌握熟练程度。这些恰是中学数学素质教育的标志。用抽象的理论知识服务于实践, 则是数学教学的目的。提倡用定位思想解决问题, 就是要避免走弯路, 从而使复杂的问题简单化、直观化、最终使问题快捷、稳妥地获得解决。

摘要：用数学的观点和方法来解决以最少的耗费来创造最佳的经济效益问题, 就不可避免地涉及到最值问题, 在立体几何数学中的一种用定位思想解决最值问题的方法, 所谓“定位思想”就是从问题的最终要求来选择合理的解题途径, 有意识地绕开不适当的思维方式的一种思维定势。在立体几何中, 就是通过对图形的观察分析, 确定取得最值的位置, 然后再求出最值。

关键词：最值问题,立体几何,定位思想

抛物线中的最值问题 篇2

点与点、点与线之距离的最值问题

例1 在抛物线[y2=2pxp>0]上求一点，使它到直线[l]：[Ax+By+C=0]（其中[A≠0，pB2<2AC]）的距离最短，并求出此最短距离.

法1 由已知，直线[l]与抛物线相离，

设直线[l1]：[Ax+By+m=0]与抛物线相切，

联立[Ax+By+m=0，y2=2px]消去[x]得，

[A2py2+By+m=0].

由[Δ=B2-4?A2p?m=0]得，[m=pB22A].

故直线[l1]的方程为：[Ax+By+pB22A=0].

由两平行线间的距离公式得，

[dmin=pB22A-CA2+B2=pB2-2AC2AA2+B2=2AC-pB22AA2+B2].

进而得所求抛物线上的点为[pB22A2，-pBA].

法2 由已知，直线[l]与抛物线相离，设抛物线上一点[Px0，y0]，则[y02=2px0].

点[P]到直线[l]的距离

[d=Ax0+By0+CA2+B2=A?y022p+By0+CA2+B2=A2p?y0+pBA2+p2AC-pB2A2A2+B2.]

又[pB2<2AC]，故[d=A2p?y0+pBA2+2AC-pB22AA2+B2]，

注意到[y0∈R]，

因此，当[y0=-pBA]时，[dmin=2AC-pB22AA2+B2]，

可得所求点的坐标为[pB22A2，-pBA].

法3 由已知，直线[l]与抛物线相离，设抛物线上一点[Px0，y0]到直线[l]的距离最短.

在抛物线[y2=2px]中，两边同时对[x]求导得[2y?y=2p]，即[y=py].

故[y|y=y0=py0].

由[py0=-AB]得，[y0=-pBA]，即所求点[P]的坐标为[pB22A2，-pBA].

根据点到直线的距离公式得[dmin=2AC-pB22AA2+B2].

线段之和（或积）的最值问题

例2 过抛物线[y2=2pxp>0]的焦点[F]作两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB?CD]的最小值.

法1 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.

设直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，

则直线[CD]的方程为[y=-1kx-p2].

联立[y=kx-p2，y2=2px]消去[x]得，[ky2-2py-kp2=0].

则[Δ=4p2k2+1>0]恒成立.

记[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，得[y1+y2=2pk]，[y1y2=-p2].

故[AB=1+1k2y1+y22-4y1y2=2p1+1k2]，

同理[CD=2p1+k2].

[∴AB+CD=2p1+1k2+2p1+k2=2p2+k2+1k2，]

[AB?CD=4p21+1k21+k2=4p22+k2+1k2]，

当[k2=1]即[k=±1]时，

[AB+CDmin=8p]，[AB?CDmin=16p2].

法2 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.

设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，直线[AB]的斜率为[k]，

则[y1-y2x1-x2=k].

又[y12=2px1]，[y22=2px2]，

两式相减得[y12-y22=2px1-x2]，

即[y1+y2=2p?x1-x2y1-y2]，

故[y1+y2=2pk.]

又直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，

所以[y1+y2=kx1+x2-p]，即[x1+x2=2pk2+p].

由抛物线的定义得，

[AB=AF+BF=x1+p2+x2+p2]

[=x1+x2+p][=2pk2+2p，]

同理[CD=2p1+k2].

以下略.

点拨 一般地，设[Ma，b]是不在抛物线的[y2=2pxp>0]上的定点，过点[M]作抛物线的两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB?CD]的最小值. （留与同学们解答）

三角形、四边形等多边形之面积的最值问题

例3 过抛物线[y2=2pxp>0]的顶点[O]引两条互相垂直的动弦[OA]和[OB]，求三角形[AOB]的面积的最小值.

法1 直线[OA]和[OB]的斜率均存在且不为零.设直线[OA]的方程为[y=kx]，

则直线[OB]的方程为[y=-1kx].

联立[y=kx，y2=2px]得[A2pk2，2pk]，同理得[B2pk2，-2pk].

所以[SΔAOB=12OA?OB]

[=124p2k4+4p2k2?4p2k4+4p2k2=2p22+k2+1k2]，

当[k2=1]即[k=±1]时，[SΔAOBmin=4p2].

法2 设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，由[OA⊥OB]得，

[x1x2+y1y2][=0].

又[y12=2px1]，[y22=2px2]，于是得[x1x2=4p2].

[SΔAOB2=14OA2?OB2=14x12+y12x22+y22=14x12+2px1x22+2px2]

[=14x1x22+2px1x2x1+x2+4p2x1x2]

[≥14x1x22+2px1x22x1x2+4p2x1x2]

[=144p22+2p?4p224p2+4p2?4p2=16p4].

从而[SΔAOB≥4p2]. 当且仅当[x1=x2=2p]时取等号.

因此[SΔAOBmin=4p2].

点拨 一般地，设[Pa，b]是抛物线上的一定点，过点[P]作抛物线[y2=2pxp>0]的两条互相垂直的动弦[PA]和[PB]，求三角形[APB]的面积的最小值. （留与同学们解答）

弦长为定值之动弦中点到准线距离的最值问题

例4 定长为[l]（[l>0]）的线段[AB]的两端点在抛物线[y2=2pxp>0]上移动，求线段[AB]的中点[M]到[y]的最短距离.

法1 由题意知，直线[AB]的斜率一定不为零.

故可设直线[AB]的方程为[x=ty+m].

联立[x=ty+m，y2=2px]消去[x]得，[y2-2pty-2pm=0].

则[Δ=4ppt2+2m>0].

记[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，[∴y1+y2=2pt]，[y1y2=-2pm].

从而[x1+x2=ty1+y2+2m=2pt2+2m].

[AB=1+t2y1+y22-4y1y2=4p1+t2pt2+2m，]

又[AB=l].

[∴4p1+t2pt2+2m=l2]，即[m=l28p1+t2-12pt2].

线段[AB]的中点[M]到[y]的距离

[d=xM=x1+x22=pt2+m=l28p1+t2+12pt2].

即[d=p2l2p2t2+1+t2].

设[μ=t2+1]，由[t∈R]知，[μ≥1].

[∴d=p2l2p2μ+μ-1].

若[l2p≥1]即[l≥2p]时，[dmin=l-p2].此时[t2=l2p-1].

若[0

综上可得[dmin=l-p2， l≥2p，l28p， 0

法2 设线段[AB]的中点[Mx0，y0].

直线[AB]的参数方程为[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（其中[t]为参数，直线的倾斜角[α∈0，π]）.

代入[y2=2px]整理得，

[sin2αt2+][2y0sinα-pcosαt][+y02-2px0=0].

记点[A]，[B]对应的参数分别为[t1]，[t2].

由韦达定理与参数的几何意义知，

[t1+t2=-2y0sinα-pcosαsin2α]，[t1t2=y02-2px0sin2α].

因为[M]是线段[AB]的中点，及[AB=l]，

所以[t1+t2=0]，[t1t2=-l22].

[∴y0=pcosαsinα，]且[y02-2px0=-14l2sin2α].

线段[AB]的中点[M]到[y]的距离

[d=x0=l28psin2α+y022p=l28psin2α+p2cos2αsin2α]

[=l28psin2α+p21sin2α-p2].

令[μ=sin2α]，由[α∈0，π]知，[0<μ≤1].

从而[d=l28pμ+2pl2μ-p2] .

若[2pl≤1]即[l≥2p]时，[dmin=l-p2]，此时[sin2α=2pl].

若[2pl>1]即[0

盘点初中数学中的最值问题 篇3

一、两点的所有连线中, 线段最短, 即两点之间线段最短

由这个结论我们还可以得到三角形三边的关系:三角形的任意两边之和大于第三边。利用它求最值问题往往和对称、平移联系在一起。

例1如图1, 在燃气管道L旁有两个镇A和B, 要在管道上修一个泵站往两个镇供气, 问泵站修在哪里可使所用的输气管线最短?

解:如图2, 作A关于直线L的对称点A′, 连接BA′与直线L交于点C, 点C为所求泵站位置。

例2如图3, 一长方体盒子, 长宽高分别为a、b、c, 一只蚂蚁在顶点A处, 要爬到顶点G处, 它爬行的最短距离为多少?

解:如图4, 把长方体展开, 后面的面和底下的面不画。蚂蚁爬行的最短距离为线段AG的长, 利用勾股定理可求得解。

注:对于求其他可以展开的立体图形 (如棱柱、圆柱、圆锥) 上的最短距离, 方法和这个基本相同。

二、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短

例3如图5, 小明和妈妈在矩形花园里玩, 小明沿着BCDB的路线跑, 妈妈站在A处, 矩形花园的长宽分别为40米和30米。问小明离妈妈的最短距离是多少?

∴小明离妈妈的最短距离是24米。

三、二次三项式求最值

二次三项式求最值的方法就是把二次三项式配方, 化成一个完全平方式与一个常数和的形式, 利用完全平方的非负性来求最值。如:2x2+4x-3=2 (x2+2x-3/2) =2 (x+1) 2-5≥0-5=-5, 所以该二次三项式有最小值-5。而-2x2+4x-3=-2 (x+1) 2-1≤0-1=-1, 所以该二次三项式有最大值-1。

四、利用根的判别式求最值

例4如图6, ⊙O的直径AB=2, AD、CD、BC是⊙O的切线, 若AD=x, BC=y, 求四边形ABCD的最小面积。

解:设四边形ABCD的面积为S, 如图6, 过D作DE⊥BC于点E。由切线和切线长定理可知:四边形ABCD是矩形, EC=y-x, CD=x+y, 而DE=2,

∴四边形ABCD的最小面积为2。

五、利用函数求最值

利用函数求最值时, 一般是先根据题意建立一个函数模型, 再确定出自变量的取值范围, 根据函数的增减性来求最值。

1. 用反比例函数求最值

例5一个工人一天能编3至5个箩筐, 某工厂每天要生产这种箩筐150个, 问该工厂应该聘请多少名工人?

解:设应聘请y名工人, 每名工人每天生产x个箩筐, 则当x=3时, y=50;当x=5时, y=30。

所以, 至少聘请30人, 最多聘请50人。

2. 用一次函数求最值

例6 2008年地震后, 甲地需饮用水240吨, 乙地需饮用水260吨, 现在A厂有瓶装饮用水200吨, B厂有瓶装饮用水300吨, 要把这些饮用水全部赠送给甲乙两地。从A厂往甲、乙两地运饮用水的费用分别为每吨20元和25元;从B厂往甲、乙两地运饮用水的运费分别为每吨15元和24元, 怎样调送可使总运费最少?

解:设总运费为y元, A厂运往甲地的水为x吨, 则运往乙地的水为 (200-x) 吨;B厂运往甲乙两地的水分别为 (240-x) 吨和[300- (240-x) ]= (60+x) 吨, 则y=20x+25 (200-x) +15 (240-x) +24 (60+x) , 即:y=4x+10 040。

这里A厂运往乙地的水200-x≥0, x≤200即0≤x≤200。

容器中的最值问题 篇4

关键词：数学软件,几何,最值

引言

随着计算机技术的高速发展, 其在各领域的应用也越来越广。其中对数学教学也产生了很大影响[1,2,3], Z+Z智能教育软件平台的推出给数学教学注入了更大的活力。Z+Z智能教育软件平台系列软件——立体几何软件的开发针对立体几何学科的特点, 将抽象的空间结构关系生动形象地展示出来, 从根本上改变了数学教学的方式, 培养了学生的空间观念和空间想像力。

在立体几何中有这样一个问题:一张正方形的铁皮剪掉四个等大小正方形折成一个长方体的容器, 怎样才能使得该长方体的容积最大?在传统的教学模式 (“教师—学生”) 下对这个问题的解决一般是教师在黑板上画出图形, 然后充分发挥学生的空间想象力建立起直观图。传统教具的限制也使得教师很难演示这个问题的形成过程, 学生也很难培养这种空间观念。我们可以利用立体几何软件的动态作图、动态测量、课件制作和图形变换等功能来模拟它的动态形成过程, 变抽象为具体、让学生“身临其境”的去感受和理解问题的本质联系。

一、动态作图

1.1首先我们作一个正方形。选择菜单命令“作图-自由点-坐标点” (如图1所示)

在对话框中“坐标”后的方框中输入A点坐标 (a, 0, 0) (注意一次只能输入一个分量, 比如输入a后按下右边对应的坐标分量x坐标, 输入0按下y坐标) , 同样的方法输入坐标点:B (0, a, 0) 、C (a, a, 0) 修改参数a的值为10, 按住Ctrl键同时选中点A、C作线段AC, 同样做线段CB, 这样得到一个边长为10的正方形OACB。

1.2在正方形四个角剪去四个边长可变化小正方形。在正方形一边OA上作一坐标点D (s, 0, 0) (其中参数s为剪去小正方形边长) , 在“拖动参数”第一栏中输入s, 使点D可以在x轴上自由移动。作坐标点E (0, s, 0) , F (s, s, 0) , 连接线段DF, FE得到小正方形ODFE, 拖动D点小正方形的边长可以改变。同样的方法作其他坐标点G (a-s, 0, 0) 、H (a, s, 0) 、I (a-s, s, 0) 、J (a, a-s, 0) 、K (a-s, a, 0) 、L (a-s, a-s, 0) 、M (s, a, 0) 、N (0, a-s, 0) 、P (s, a-s, 0) 得到三个同样边长的小正方形。拖动D点可以看到四个小正方形等大小改变。

1.3模拟铁皮折起得到长方体。在空间作出四个坐标点:Q (s, a-s, s) 、R (s, s, s) 、S (a-s, s, s) 、T (a-s, a-s, s) , 连接线段IS、TL、QP、FR以及其他对应线段得到一个长方体 (如图3) 。由点S、T的坐标可知侧面STLI的面积等于长方形ILJH的面积, 同样可得其他三个侧面的面积分别等于折起部分的面积, 因此可以模拟铁皮折起后所成的长方体。拖动D点可以看到长方体的体积随着D点的移动而不断变化。为了便于观察可以选择一些面进行填充, 比如依次选择H、I、L、J, 选择菜单命令“作图|填充多边形”。同样填充其他平面:LPMK、FPNE、FIGD、ILTS、LPQT、PFRQ、FISR, 为了更好的观察你可以选择不同的颜色填充。选择菜单命令“作图|自动搜索用于消隐的平面多边形”, 本软件会自动搜索被挡住的平面并设为虚线。

二、动态测量与动态作图

经过以上三步, 我们的工作已经初具模型, 那么下面最主要也是最关键的问题就是如何模拟得到使这个长方体的体积最大时小正方形的边长?我们可以利用软件的动态测量和动态作图功能。

由坐标点的坐标可知长方体的体积是 (a-2×s) × (a-2×s) ×s, 可以看作一个关于参数s的函数, 如何求得其最大值, 我们可以作一个轨迹点U (0, s, ( (a-2×s) × (a-2×s) ×s) /10) (除以10是为了便于观察, 不让其值太大) 使它在OYZ平面上运动, 其轨迹的最高点即为体积的最大值。输入坐标时在“拖动参数”第二小框中输入s, 否则该点轨迹不会显示。选中U点, 选择菜单“运动|轨迹点”, 将它设置为轨迹点, 改变点的名字为V-立方体。好了, 到现在我们已经模拟地作出了制作容器的过程, 拖动D点可以看到立方体的体积随着D点的变化而变化, 同时, 点V-立方体随之运动并显示出运动轨迹即显示出体积大小的改变。我们的工作是不是到现在就结束了呢?没有, 到现在我们软件的功能还没有充分利用。

三、课件制作

利用软件课件制作功能可以将此问题作成一个漂亮的课件。在线段IL上一自由点, 选择菜单“作图| (直、射) 线 (段) 或向量上的点”, 将点的名字改为a, 点a随着线段的运动而运动, 为了便于观察, 我们用a表示长方体的长。同法作出点b表示宽, 点h表示高。除点D、V-立方体、a、b、c外隐藏其他所有的点。选中两点I、L, 选择菜单“测量|距离|两点间的距离”测量长方体的长, 同样测量宽和高。利用测量表达式计算出长方体的体积V=a*b*h, 这时屏幕上会自动显示所测量的值, 双击字体可以弹出字体对话框改变表达式的名字, 可以选择合适的描述, 现在整个课件看起来比较清晰。 (如图4)

现在我们要让图象动起来, 设置一个按钮来控制图形的运动。选取D点, 选择菜单“运动|自动点”, 并打开属性对话框选“运动”栏, 使其在“参数范围”为0-5。选择菜单“课件|插入按钮”在工作区中任意位置按下鼠标并拖动可以得到一个按钮并弹出按钮对话框, (如图5) 这时你会看到所有的对象全部隐藏。在工作区中选择自动点D, 在左下角的框中输入Show作为标题, 在工作区中选中需要显示的对象 (选中后会在前面的小方框中出现√) , 单击“增加状态”, 对话框中出现4:act{};同样输入Move作为标题, 选中“自动点D”单击“增加状态”。同样方法将工作区中自动点前的√去掉, 输入标题为Stop, 单击“增加状态”, 按“结束”保存设置 (如图5) 。此时, 你就可以通过按钮控制图形的运动, 按下按钮后它会按照你设定状态动态显示折成长方体的整个过程。你可以在它运动过程中观察长方体的长、宽、高随着运动不断变化, 体积V也不断变化, 点V-长方体在运动过程中显示运动轨迹, 其最高处也就是长方体的体积最大的时候。

我们充分利用软件的功能, 把一个数学问题用动画的方式模拟显示出来, 将抽象问题具体化、形象化, 并充分显示了解题的思想过程, 不仅有助于培养空间想象能力而且为学生去探索研究、去发现验证数学知识提供了强有力的工具。我们可以利用软件作为工具充分发挥自己的想象力和创造力去发现和探索数学知识, 做出其他许多有趣的问题。

随着教育信息化的进程, 数学软件也逐步进入数学课堂、融合进数学教学之中。本文所用的Z+Z智能教育软件平台系列软件—立体几何软件的开发针对立体几何学科的特点, 将抽象的空间结构关系生动形象地展示出来, 从根本上改变了数学教学的方式, 培养了学生的空间观念和空间想像力。教师在整个数学软件推广使用过程中是主要指导者和策划者, 所以从最初级的基本应用到作为探索数学的工具, 逐步展开对软件学习使用。在教材方面, 把计算机、多媒体技术与传统的印刷技术有机结合起来的配以光盘的教科书, 也使得原本抽象、严谨的数学以多中形式呈现给学生, 使数学的学习活动更加完整丰富。应用新技术促进教学方式的变革, 将新技术作为一种辅助教学的工具来提高教学效率, 改变教与学的方式实现传统教学手段与新技术的有力结合, 做到恰当合理地使用软件, 针对不同的学生、具体的课程内容, 采用不同的教学方式。总之, 数学软件应用于教学需要各方面的不断探索, 在摸索中不断前进。

参考文献

[1]田万海.数学教育学[M].浙江教育出版社, 1991.

[2]熊萍.“教师、学生、计算机”三元教学理论[J].数学教育学.

圆锥曲线中的最值问题 篇5

下面是笔者粉笔生涯中的一堂数学探索课。

问题1如图1, 如何在直线l上求一点P, 使│PA│+│PB│最小。

问题2如图2, 如何在直线l上求一点P, 使│PA│-│PB│最大。

学生1:对于问题1, 只要过A作关于l的对称点A', 再连结BA'交直线l于P点, 即为所求。因为两点之间线段最短。

对于问题2, 只要连结AB并延长交直线l于P点, 即为所求。因为三角形任意两边之差小于第三边。

教师:看来在一条直线上找一点到两个定点的距离之和最小、距离之差最大对我们来说很容易, 现在看下面的问题。

问题3若A (3, 2) , F为抛物线y2=2x的焦点, 在抛物线上找一点P, 使│PA│+│PF│最小及取得最小值时P点的坐标。

学生2:过A点作抛物线y2=2x的准线l的垂线AD交抛物线于P点, 此时│PA│+│PF│=│PA│+│PD│, 就是最小的。因为点到直线的所有线中, 只有点到直线的距离最短。

教师:与问题1比较, 你发现了什么?

学生3: (3分钟后) 我认为问题3与问题1的本质是一样的, 都是在线 (直线和曲线) 找一点到两个定点的距离之和最小, 并且解决的方法也一样, 问题3中的D点就“好比”是F点关于抛物线 (曲线) 的“对称”点。如果我们把问题1中的直线想象成是拉直的曲线, 那问题1不就是问题3的特殊情况吗?问题3不就是问题1的推广吗? (全班给予热烈的掌声)

变式问题:已知A (3, 2) , F (2, 0) , 在双曲线上求一点P, 使其的值最小。

学生4:与问题3的解题思路完全一样, 只不过, 此处要利用双曲线的定义来作“对称”。 (后略)

问题4如图4, 已知双曲线, F1是左焦点, A (-3, -1) , 在双曲线上求一点P, 使│PA│+│PF1│的值最小。

(2分钟后) 学生5:此题应作出双曲线的右焦点, 连结AF2交双曲线于P点, 即为所求。因为由双曲线定义知, │PF2│-│PF1│=2×2, 即│PF1│=│PF2│-4, │PA│+│PF1│=│PA│+│PF2│-4=│AF2│-4, 此题是利用双曲线定义作的F1关于双曲线的“对称点”F2, 转化成问题1的形式来求解的。

教师:你分析得很好!请大家课后去解答完。下面谁来谈谈解决这类问题的收获?

学生6:老师, 我觉得还有一点没有考虑到, 对于问题1, 如果A、B两点在直线l的两侧, 就用不着作对称, 而直接连接AB交直线l于P就行了。同样对于问题3中的A、F和问题4中的A、F1也是一样的, 如果它们在曲线的同侧, 就用不着那么做了。

学生7: (连忙站起来) 看来我们首先应判断这两点是否在曲线的两侧, 而其中有一个点必是焦点, 也就是说要判断另外那个点是否在曲线内就行了。

教师:刚才两位同学都说得很好, 对我们讨论的问题进行了补充, 希望同学们也要有这种严谨的学习态度。谁再来谈收获。

学生8:我认为在曲线 (包括直线) 上找一点到两个定点 (这两个定点在曲线的同侧) 的距离之和最大的问题, 一般说来可以作出其中一点关于曲线的“对称点”, 对于曲线来说, 是广义上的对称, 是利用曲线的定义 (第一和第二定义) 来作对称的。

教师:非常好!我已无话可说了。请大家给予热烈的掌声。

问题5如图5, 在椭圆上找一点P, 使它到F2 (4, 0) 和A (2, 2) 的距离之和最大。

(5分钟后) 学生9:此题应属于问题2的类型, 因为是求曲线上一点到两个定点的距离之和最大, 故应连结AF1交椭圆于点P, 即为所求。这样就把和最大的问题转化为差最大的问题了。即│PA│+│PF2│=│PA│+2a-│PF1│, 而只有当P、A、F1三点在同一直线上时, 才最大。

教师:好!把未知的问题转化为我们熟知的问题来解决, 这是我们解决数学问题常用的思想方法。哪位同学来把这类问题小结一下? (下面有很多同学都跃跃欲试, 我抽了一位平时数学成绩一般的学生)

学生10:我认为在曲线 (包括直线) 上找一点到两个定点 (这两点在曲线的同侧) 的距离之差最大的问题, 就是连结这两点并延长和曲线的交点, 如果不是差最大, 而是和最大, 就应转化为差最大来解, 其转化就要用到圆锥曲线的相关定义。

教师:同学10的小结很好, 看来只要抓住了“本质”, 就能以不变应万变!这节课的收获不小, 为我们的成功而鼓掌!