高考中的几何概型

高考中的几何概型（精选5篇）

高考中的几何概型 篇1

0 引言

在解决有关概率问题时,同学们常常由于对概念理解不深刻或忽视某种情形,经常会产生这样那样的误解,因此本文帮助同学们对各种问题进行了误因分析,以便避免。

1 基本概念理解不清致误

例1若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

误区分析:本题首先是古典概型,但同学们在本题的主要错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念理解不深刻,错误地认为基本事件总数为11(点数和为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),或者将点数和为4的事件错误计算为(1,3),(2,2)两种,从而导致错误。

正解:由题意知,先后掷两次,出现向上的点数记作(x,y),则列举如下:

共36个

∴“出现向上的点数和为4”记为事件A,则A中所含的基本事件为(1,3),(2,2),(3,1)共3个。

“误”与“悟”:古典概型与几何概型。首先同学们应该注意的是题目给出的是要做一种怎样的实验,这是决定为古典概型和几何概型的一个关键,同时也是决定古典概型中基本事件的确定性的一个关键,更是几何概型中选择是面积比、体积比或是距离等等的至关重要的一个区分点,如本题中实验:将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,所以基本事件总数为6×6=36,而不是11。

因此,古典概型中的等可能性事件的概率是最常见的一种概率问题。解决这类问题的重要前提是求基本事件的总数,这些基本事件必须是等可能的。同时应注意:在涉及到抛掷骰子问题中,将一枚骰子连续抛掷两次和将两枚骰子抛掷一次是一样的,而出现的点数为(a,b)和(b,a)是两种不同的情况,应作为两个基本事件。

2 几何概型中的模型选择不准致误

例2(1)在等腰Rt△ABC中,在线段AB(斜边)上任取一点M,使AM<AC,则AM<AC的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(2)在等腰Rt△ABC中,直角顶点记为C,在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,则AM<AC的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

误区分析:很多同学看到这两道题目时,感觉是一样的,认为只是相同的题目换一种说法而已,因此导致概念出错,从而直接走向一个误区。理解为几何概型,但不知是几何概型中的长度型的几何概型,还是角度型的几何概型。而区分的关键是把握住题目中所做实验形成的是一种什么样的轨迹。如(1)形成的是长度,而(2)形成的则是角度。由此对(2)得到以下错解:根据题设,点M随机地落在线段AB上,故线段AB为基本事件的区域。当M位于线段上AC′(AC′=AC)时,AM<AC,故AC′线段为所求事件的区域。

正解:(1)∵由于在线段AB上任取一点,等可能分布的是M在AB线段上任意位置(如图1),

∴基本区域应是线段AA′,

(2)由于∠ACB在内作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图2所示),因此基本事件的区域应是∠ACB,

“误”与“悟”:在确立几何概型的基本事件时,一定要选择好观察角度,注意判断基本事件的等可能性。要根据题意选取正确的几何概型模型进行求解。

3 针对性训练

(1)曲线的方程为其中m,n∈{1,2,3,4,5,6},若事件A:方程表示焦点在x轴上的椭圆,那么P(A)＿＿＿＿＿＿＿＿.

(2)若在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,则直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(3)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷一次,规定“正方体向上的面数字为a,正四面体的三个侧面上的数字之和为b”,得复数z=a+bi,

(1)若集合A={z襔z为纯虚数},用列举法表示集合A。

(2)求事件“复数在复平面内对应点(a,b)满足a2+(b-6)2燮9”的概率。

解析:(1)古典概型

正解:所有基本事件的个数为6×6=36.

事件A中基本事件为(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(6,1),(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)共15个,

(2)几何概型

正解:在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,

∴点(a,b)构成的是矩形的面积,如图3所示,其面积为S=2。

又记A={直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交}

则即a2+4b2-4ab<a2+b2

∴A中所构成平面区域如图4所示,其面积为

(3)古典概型(1)此题审题要清,b是四面体三个侧面的数字之和。

正解:由题意知,z=a+bi为纯虚数,∴a=0且b≠0

即所有基本事件为(0,6)(0,7)(0,8)(0,9)共4个

∴列举法表示为{6i,7i,8i,9i}

(2)由题意知,所有基本事件的个数为

共24个

若(a,b)满足则所含基本事件为

(3,6)共11个

∴所以所求概率

所以,同学们在解决概率的有关问题时,务必要仔细审题,通过基本事件有限和无限来决定此题是古典概型还是几何概型,再通过实验仔细罗列基本事件的个数或能转化为几何概型的其它类型,从而解决问题!

例析几何概型中的常见考点 篇2

考点1 与长度有关的几何概型

例1 在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是 .

解析 记事件[A]为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”， 如图.

不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦. 当弦为CD时，就是等边三角形的边长.

弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，

而OF=OC·sin30°=[12]，

由几何概型公式得，[P（A）=12×22=12].

答案 [12]

点拨 （1）与线段长度有关的几何概型：利用几何概型公式求解，直接利用两线段的长度之比即可.（2）与曲线长度有关的几何概型：利用几何概型公式，求曲线的长度之比即可.（3）与时间有关的几何概型：利用几何概型公式，求时间段之比即可.（4）与不等式有关的几何概型：利用几何概型公式，求两实数间的距离之比即可.

考点2 与角度有关的几何概型

例2 如图所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高[AD=3]，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率.

解析 因为∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.

在Rt△ABD中，[AD=3]，∠B=60°，

所以[BD=ABtan60°=1]，∠BAD=30°.

记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，

则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.

由几何概型的概率公式，得[P（N）=30°75°=25].

点拨 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.

考点3 与面积有关的几何概型

例3 已知不等式组[x-y≥0，x+y≥0，x≤a（a>0）]表示平面区域[M]，若点[P（x，y）]在所给的平面区域[M]内，则点[P]落在[M]的内切圆内的概率为（ ）

A. [2-14π] B.[（3-22）π]

C.[（22-2）π] D. [2-12π]

解析 由题意知，平面区域[M]为一个三角形，且其面积为[S=a2].

设[M]的内切圆的半径为[r]，则[12（2a+2a）r=a2]，

解得[r=（2-1）a].

所以内切圆的面积S内切圆=πr2=π[（[2]-1）·a]2=（3-2）πa2.

故所求概率[P=S内切圆S=（3-22）π.]

答案 B

点拨 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清该事件对应的面积. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.

考点4 与体积有关的几何概型

例4 在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S-APC的体积大于[V3]的概率是 .

解析 如图，三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.

作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，

则PM，BN分别为△APC与△ABC的高.

所以[VS-APCVS-ABC=S△APCS△ABC=PMBN].

又[PMBN=APAB]，所以[APAB>13]时，满足条件.

设[ADAB=13]，则P在BD上，所求的概率[P=BDBA=23].

答案 [23]

点拨 与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式. 因此，我们可以总结如下：一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系. 在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量的区域.

考点5 生活中的几何概型问题

例5 （1）假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车站，则其等车时间不超过3分钟的概率为 .

（2）甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.

解析 （1）要使得等车的时间不超过3分钟，即到达的时刻应该是图中[A]包含的时间点.

[3分钟][10分钟]

故所求概率[P=A的长度S的长度=310=0.3.]

（2）设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，

则[0≤x≤24]， [0≤y≤24].

要满足[A]，则[y-x≥1]或[x-y≥2].

[∴A={（x，y）|y-x≥1]或[x-y≥2]，[y∈[0，24]}].

[A]为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.

所求概率为[P（A）=A的面积Ω的面积]

[=（24-1）2×12+（24-2）2×12242=506.5576≈0.88.]

点拨 生活中的几何概型度量区域的构造方法：

（1）审题：通过阅读题目，提炼相关信息.

（2）建模：利用相关信息的特征，建立概率模型.

（3）解模：求解建立的数学模型.

（4）结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论.

高中数学中的几何概型问题概述 篇3

一、几何概型的有关知识

1.几 何 概 型 的 定 义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积、体积或角度成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.

2.几 何 概 型 的 概 率 公 式

由于几何概型中随机事件的概率是度量之比, 因此我们不难发现下面的结论:

(1)不可能事件概率一定为0,但概率为0的事件不一定为不可能事件.如:向正方形桌面上随机扔一粒芝麻,正好落在中心点的概率为0,但这个事件有可能发生.

(2)必然事件概率一定为1,但概率为1的事件不一定为必然事件.如:向正方形桌面上随机扔一粒芝麻,正好落在除中心点外区域的概率为1,但这个事件有可能不发生.

3.几 何 概 型 的 特 点

(1)无限性 :试验中所有可能出现的结果 (基本事件 )为无限多个;

(2)等可能性 :每个基本事件出现的可能性相等.

4.几 何 概 型 与 古 典 概 型 的 比 较

区别:古典概型具有有限性,即试验结果是有限个;而几何概型则是在试验中出现无限多个结果.

联系: 古典概型与几何概型的基本试验结果都具有等可能性.两者均用比例法求随机事件的概率.

二、常见题型

几何概型问题, 可以将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机取一点, 该区域内每个点被取到的可能性都相等, 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某全子区域中的点.主要题型有:长度型、面积(体积)型、角度型、会面问题等,下面分别举例说明.

1.长 度 型

根据不同的问题类型,长度之比可能体现为线段长度之比、弧长之比、时间长度之比、区间长度之比等.下面举例 说明.

例1.某人睡觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

解:依题意,此人可能等待的时间0~60分钟,当此人在每小时的50~60分某时刻醒来时,其等待时刻不多于10分钟.

所以,等待的时间不多于10分钟的概率为p=(60-50)/60=1/3.

例2.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,求劣弧AB的长度小于1的概率.

解析:设事件M为“劣弧AB的长度小于1”,则满足事件M的点B可以在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点,由几何概型的概率公式得:P(M)=2/3.

例3.已知集合A{x|-1<x<5},B={x|2<x<3},在集合A中任取一个元素x,求事件“x∈A∩B”的概率.

解析: 由题意得A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3}, 由几何概型知:在集合A中任取一个元素x,则x∈A∩B的概率为P=1/6.

例4.将长度为3cm的细铁丝任意剪成两段,A表示“较长的一段大于或等于较短一段的2倍”,求事件A的概率.

分析:可以把3cm长的铁丝看做是长为3的线段CD,由于剪法的任意性,分点落在CD上任意一位置均可.当点落在CE或FD上时,事件A发生.

2.面 积 、体 积 型

例5.抛阶砖游戏:参与者将手上的“金币”抛落在离身边若干距离的阶砖平面上, 抛出的硬币刚巧落在任何一个阶砖的范围内(不压阶砖相连的线)获胜.当正方形阶砖的边长为5cm,金币直径为2.5cm时 ,请你计算“金币”落在阶砖范围内的概率.

提示:圆心落在正中间边长为2.5cm的正方形内,游戏获胜.

解:设A=“金币落在阶砖内”,则

例6.一只苍蝇在一棱长为60cm的正方体笼子里飞,苍蝇距笼边大于10cm的概率是多少?

例7.将长为1的棒任意地折成三段,求三段的长度都不超过1/2的概率.

解:设第一段的长度为x,第二段的长度为y,第三段的长度为1-x-y,则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω={(x,y)|0<x<1,0<y<1,0<x+y<1},此区域面积为1/2.

事件“三段的长度都不超过1/2”所对应的几何区域可表示为, 此区域面积为

此时事件“三段的长度都不超过1/2”的概率为

3.角 度 型

例8.过等腰Rt△ABC的直角顶点C任作射线CD交斜边AB于D,求AD>AC的概率.

解:∵AC=AD,∠A=45°

∴∠ACD=67.5°

∴AD>AC的概率为 :

4.“会 面 ”型

两个对象会面问题属于面积问题, 三个对象会面问题属于体积问题.

两个对象相遇问题解题的关键是把两个时间分别用x、y两个坐标表示,构成平面内的点(x,y),从而把两个一维的时间问题转化为二维的面积问题, 用面积比表示两个对象相遇的概率. 三个对象相遇问题类似地转化为三维的体积问题求解.

例9.某码头接到通知,甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位 , 早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开, 求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.

解析: 设事件表示两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待,两艘外轮到的时间分别为9点到10点之间的x分,y分,则

, 以9点为原点 ,建立平面直角坐标系如图所示 ,事件所对应的区域如图中阴影区域所示,所以其概率P(A)=阴影面积/ABCD面积=5/9.

以上是几何概型中最典型的问题,即长度之比类型、面积(体积 )之比类型、角度之比类型、会面问题类型 , 不管解决哪种类型问题,其关键都要选择适当度量,使基本事件转化为与之对应的总度量值,所求问题转化随机事件对应的子度量值,然后代入公式进行计算求解.特别要注意分析清楚,试验的基本事件应该属于与长度、面积(体积)还是角度,这样才能寻到正确的解题方向,避免出现错误.

摘要：几何概型是高中数学继古典概型之后学习的另一类等可能概型,它对应的是一个连续型变量的均匀分布,几何概型是古典概型的拓广.在高中,几何概型的题目主要分为长度型、面积(体积)型、角度型、会面型,不管解决哪种类型问题,其关键都要选择适当度量,使基本事件转化为与之对应的总度量值,所求问题转化随机事件对应的子度量值,然后代入公式进行计算求解.

几何概型简析 篇4

关键词：几何概型；高考；简析

把事件A理解为区域?赘的某一子区域A，如果A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率类型为几何概型。几何概型的计算公式：P（A）=■（其中?滋?赘表示区域?赘的几何度量，?滋A表示区域A的几何度量。几何概型具有无限性和等可能性两个特点，在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，等可能性事指每一个基本事件发生的可能性是均等的，因此用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形长度（面积或体积）”与“试验的基本事件所占总长度（面积或体积）”之比来表示，几何概型的特点是试验结果在一个区内均匀分布，所以随即事件的概率大小与随即事件所在区域的形状位置无关，只与该区域大小有关。

常见的几何概型一般都与面积、长度、体积有關，下面简单谈一下几何概型的解题策略。

一、与长度有关的几何概型

例：有一段长度为10米的木棍，现要截成两段，求每段不小于3米的概率。

分析：从某一个位置剪断都是一个基本事件，基本事件有无限多个。但在每一处剪断的可能性相等，故是几何概型。

解：记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍两端各量出3米，这样中间就有10-3-3=4米在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件。

拓展：从该题可以看出，我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机的区域取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随即事件的发生则理解为恰好取到，上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。

二、与面积有关的几何概型

例：街道旁有一游戏：在铺满长为9cm的正方形塑料板的地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上可获1元钱。试问：

（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？

（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？

分析：应用几何概型的概率公式P（A）=■即可解决此类问题。

解：（1）考虑圆心位置在中心相同且长度为7cm和9cm的正方形围成的区域内，所以概率为■=■。

（3）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的■圆内，因正方形有4个顶点，所以概率为■=■。

拓展：几何概型的概率公式中的测度，既包含本例中的面积也可以包含线段的长度、体积等，而且这个“测度”只与“大小”有关，而与形状和位置无关。

三、与体积有关的几何概型

例：在1升高产小麦种子种混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升含有麦锈病种子的概率是多少？从中随即取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？

分析：由于带麦锈病的种子所在位置是随即的，所以取这粒种子的概率只与所取的种子的体积有关，这符合几何概型的条件。

解：记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”，则P（A）=■=0.01

记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”，则P（B）=■=0.03

拓展：从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域?赘的几何度量，然后代入公式即可，另外要适当选择观察角度。

四、与角度有关的几何概型

例：在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使AM＞AC的概率。

分析：如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处，使AM＞AC的概率只与∠ACC'的大小有关，这符合几何概型的条件。

解：设事件D“作射线CM，使AM＞AC”，在AB取点C'，使AC'=AC，因为△ACC'是等腰三角形，且∠A=30°，所以■=75°，?滋=90-75=15，?滋?赘=90，所以P（D）=■=■.

拓展：几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”，因为射线CM落在∠ACB内的任意位置是等可能的，若以长度为“测度”，就是错误的，因为M在AB上的落点不是等可能的。

五、可化为几何概型的概率问题

例：甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。

分析：平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标（x，y）就表示甲、乙两人分别在6时7时时间段内到达的时间，而能会面的时间由x-y≤15所对应的图中阴影部分表示。

解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是x-y≤15在如图所示平面直角坐标系下，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”可能结果由图中的阴影部分表示。

由几何概型的概率公式得：

P（A）=■=■=■=■

拓展：本题难点是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点（x，y），从而把事件是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型的问题。

扑朔迷离的几何概型 篇5

扑朔迷离之一:同一事件,研究的角度不同,发生的概率便不同.

例1 设⊙O是一个单位圆,在⊙O内任作一条弦,求其长度超过⊙O内接正三角形边长的概率.

解 显然⊙O的内接正三角形的边长为3,取⊙O的任一条弦AB,记“AB>3”为事件C.

方法一 如图1,连结AO,在AO的两侧作∠M

AO=∠NAO=30°,分别交⊙O于点M,N,当点B落在∠MAN所对的MN上时,AB>3,否则AB<3.

由于MN的长是⊙O周长的13,故P(C)=13.

图1图2

方法二 如图2,在⊙O内任取一点M,以M为中点作⊙O的弦AB,当OM<12时,AB>3,否则AB<3.

由于以O为圆心,12为半径的圆的面积是⊙O面积的14,故P(C)=14.

点评 上面两种解法都能自圆其说,但结果却不一样.由此可见,背景相似的问题,当等可能的角度不同时,其概率是不一样的.实际上,这两种解法中的“任作一条弦”是不同的试验(即不同的理解方式).由此,你能理解2008年北京奥运会上,中国、美国、欧盟都宣称自己是第一名吗?

扑朔迷离之二: 概率为0的事件仍会发生.

例2 已知矩形ABCD中,AB=2,BC=3,在其内任取一点P,求:

(1) ∠APB>90°的概率;

(2) ∠APB<90°的概率;

(3) ∠APB=90°的概率.

解 设“∠APB>90°”为事件C,“∠APB<90°”为事件D,“∠APB=90°”为事件E.

(1) 如图3,当且仅当点P位于以AB为直径的半圆内时,事件A发生.

又该半圆的面积为π2,矩形ABCD的面积为6,故P(C)=π12.

(2) 如图4,同(1)理,P(D)=6-π26=12-π12.

(3) 因为P(C)+P(D)+ P(E)=1,所以 P(E)=0.

图3

图4

图5

点评 ∠APB=90°的概率为0,但如图5,我们发现只要点P落在半圆AB上,就有∠APB=90°.按常规思维,某事件的概率为0,那它就是不可能事件,也就不会发生;但在这儿,非但可能发生,而且包含的基本事件有无数个.这就告诉我们,有限和无限有本质的区别.

扑朔迷离之三: 解题方法别具一格.

例3 在半径为R的圆周上任取三点A,B,C,求△ABC为锐角三角形的概率.

解 如图6,设AB的长为x,BC的长为y,则AC的长为2π-x-y,

显然0

当且仅当x+y>2π-x-y,x+2π-x-y>y,y+2π-x-y>x,

即x+y>π,0

时,△ABC为锐角三角形.

图6

图7

设事件M:△ABC为锐角三角形.如图7,可知P(M)=14.

点评 解几何概型问题关键是准确定位总体事件(试验的全部结果)与有关事件的测度.

扑朔迷离之四:几何概型与古典概型的统一.

图8

例4 如图8,将1 000颗豆子随机地撒入一个边长为1的正方形内,有787颗落在它的内切圆内,请由此试估计圆周率的值.

解 豆子落在圆内的频率接近于豆子落入圆中的概率,即圆的面积正方形的面积=πa2(2a)2=π4≈7871 000,

所以π≈3.148.

点评 由此可见,几何概型与古典概型虽然有着很大的区别,但也有着某种必然的联系,通过适当的途径,我们可以让它们达到有机的统一.

巩 固 练 习

1. 如图9,在等腰△ABC中,∠BAC=120°.

(1) 在底边BC上任取一点M,求BM

(2) 过顶点A在∠BAC内任作一条射线AM,交BC于M,求BM

图9 图10

2. 如图10,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,求:

(1) △AOC为锐角三角形的概率;

(2) △AOC为钝角三角形的概率;

(3) △AOC为直角三角形的概率.

3. 在线段AD上任取两点B,C,求AB,BC,CD能构成三角形的三条边的概率.