几何曲线

2024-06-23

几何曲线（精选9篇）

几何曲线篇1

根据已知点,通过拟合的方法,还原曲线或曲面是测绘学、计量学、图像处理等许多领域都会遇到的问题。曲线拟合一般以找到拟合函数或通过插值形成光滑曲线和曲面为目的。许多拟合方法都是根据某一类对象的特征、按照某一原则提出的,如文献[1]根据圆曲线拟合特点、按正交距离残差平方和极小的准则提出正交距离圆曲线拟合方法;文献[2]根据最小二乘法的不足,按间接平差原理提出正交多项式曲线拟合法;文献[3]根据数据与曲线的距离的估计值提出改进的拟合方法,文献[4]中通过实验指出,不同的拟合函数的拟合效果有较大的差异,而且所取函数与原函数越相近,效果越好。文献[5]考虑了样本分布和容量提出一种针对复杂信号源的曲线拟合方法,文献[6]针对机械加工对象的不连续性提出了在线NURBS法。

针对信号源未知或对象特性不连续的情况,本文将分别从倾斜角和面积的角度提出两种曲线拟合方法,之后验证二位曲线的拟合精度并展示三位曲面的拟合效果。

1 从倾斜角的角度提出曲线拟合

设A1、 A2、 A3为原始点,其坐标分别为(xi,yi), i=1,2,3。过A2作∠A1A2A3的平分线,交A1A3于E。分别过A1、 A2、 A3作A2E的垂线A1B1、 D1D2、 A3C1, 并分别交A2E于B1、 A2、 C1; 延长B1A2至B2并使B1A2=A2B2, 延长C1A2至C2并使C1A2=A2C2; 作∠B2D1A2和∠C2D2A2的角平分线,分别交A2E于E1、 E2点。分别连接A1B2和A3C2, 分别交于D1、 D2。设D1、 D2的坐标分别为(xD1,yD1)、 (xD2,yD2)。

一个已知点可看作它分别与之相邻两点连线的交点,所以可以定义原函数该点切线倾斜角为它分别与之相邻两点连线夹角的角平分线的倾斜角。此外,如图1,原函数A1、 A2间必存在一点P1, 使该点处切线倾斜角等于A1A2的倾斜角,假设该点位于A1A2中点附近。同理,假设D1A1中点附近存在一点P1使该点处切线倾斜角等于D1A1的倾斜角,D2A3中点附近存在一点P2使该点处切线倾斜角等于D2A3的倾斜角。

设代表X点处的倾斜角为θ(X), 则有,

$\begin{array}{l} θ (D_{1}) - θ (Ρ_{1}) = - ∠ B_{2} D_{1} E_{1} (1) \\ θ (A_{2}) - θ (D_{1}) = - ∠ E_{1} D_{1} D_{2} (2) \\ θ (D_{2}) - θ (A_{2}) = - ∠ E_{2} D_{2} D_{1} (3) \\ θ (Ρ_{2}) - θ (D_{2}) = - ∠ C_{2} D_{2} E_{2} (4) \end{array}$

由于∠A1A2E=∠EA2A3,

则直角三角形ΔA2A1B1≈ΔA2A3C1;

由于 $\frac{B_{2} B_{1}}{C_{2} C_{1}} = \frac{A_{2} B_{1}}{A_{2} C_{1}} = \frac{A_{1} B_{1}}{A_{3} C_{1}}$ ,

则有ΔB2A1B1≈ΔC2A3C1,

所以∠B2D1D2=∠C2D2D1;

又由于E1D1和E2D2为角平分线,

则有,

∠B2D1E1=∠E1D1D2=

∠E2D2D1=∠C2D2E2。 (5)

由式(1)～式(4)和式(5)即实现了从P1→D1→A2→D2→P2的所在点处切线倾斜角的平滑过渡。下面将推导插入点的差值公式。

由于ΔA2A1B1≈ΔA2A3C1,

则 $\frac{A_{2} A_{1}}{A_{2} A_{3}} = \frac{A_{1} B_{1}}{A_{3} C_{1}}$ ;

由于 $\frac{A_{1} B_{1}}{A_{3} C_{1}} = \frac{A_{1} E}{A_{3} E}$ 、 $\frac{A_{1} B_{1}}{A_{3} C_{1}} = \frac{D_{1} A_{2}}{D_{2} A_{2}}$ ,

则 $\frac{A_{2} A_{1}}{A_{2} A_{3}} = \frac{A_{1} E}{A_{3} E} = \frac{D_{1} A_{2}}{D_{2} A_{2}}$ 。

设A1A2=l、 A2A3=m。由于,

$\frac{A_{2} A_{1}}{A_{2} A_{3}} = \frac{A_{1} E}{A_{3} E}$ , 可有,

$\begin{array}{l} x_{E} = x_{1} + \frac{l}{l + m} (x_{3} - x_{1}) (6) \\ y_{E} = y_{1} + \frac{l}{l + m} (y_{3} - y_{1}) (7) \end{array}$

由 $\vec{A_{1} B_{1}} \cdot \vec{A_{2} E} = 0$ 、 $\vec{A_{2} B_{1}} \times \vec{A_{2} E} = 0$ , 可得,

$\begin{array}{l} x_{B_{1}} = \frac{\begin{array}{l} (x_{2} - x_{E})^{2} x_{1} + (y_{2} - y_{E})^{2} x_{2} 。 \\ - (y_{2} - y_{E}) (x_{2} - x_{E}) (y_{2} - y_{1}) \end{array}}{(x_{2} - x_{E})^{2} + (y_{2} - y_{E})^{2}} (8) \\ y_{B_{1}} = \frac{\begin{array}{l} (y_{2} - y_{E})^{2} y_{1} + (x_{2} - x_{E})^{2} y_{2} 。 \\ + (y_{2} - y_{E}) (x_{2} - x_{E}) (x_{1} - x_{2}) \end{array}}{(x_{2} - x_{E})^{2} + (y_{2} - y_{E})^{2}} (9) \end{array}$

当(x2-xE)2+(y2-yE)2≠0时,

则xB2=2x2-xB1, yB2=2y2-yB1, 从而可得,

$\begin{array}{l} x_{D_{1}} = (x_{1} + x_{B_{2}}) / 2 (10) \\ y_{D_{1}} = (y_{1} + y_{B_{2}}) / 2 (11) \end{array}$

由 $\frac{A_{2} A_{1}}{A_{2} A_{3}} = \frac{D_{1} A_{2}}{D_{2} A_{2}}$ ,

$\begin{array}{l} 则 x_{D_{2}} = x_{2} + \frac{m}{l} (x_{2} - x_{D_{1}}) (12) \\ y_{D_{2}} = y_{2} + \frac{m}{l} (y_{2} - y_{D_{1}}) (13) \end{array}$

当(x2-xE)2+(y2-yE)2=0,

$\begin{array}{l} 有 x_{D_{1}} = \frac{1}{4} x_{1} + x_{2} - \frac{1}{4} x_{3} (14) \\ y_{D_{1}} = \frac{1}{4} y_{1} + y_{2} - \frac{1}{4} y_{3} (15) \end{array}$

$\begin{array}{l} 和 x_{D_{2}} = - \frac{1}{4} x_{1} + x_{2} + \frac{1}{4} x_{3} (16) \\ y_{D_{2}} = - \frac{1}{4} y_{1} + y_{2} + \frac{1}{4} y_{3} (17) \end{array}$

以上为进行一次迭代的算法推导,提出了一种可实现倾斜角平滑过渡的拟合方法。虽然具有数学意义明确的优点,但插值算法较为繁琐且缺乏灵活性。下面将从面积的角度提出插值算法更为简洁和灵活的拟合方法。

2 从面积的角度提出曲线拟合

设A1、 A2、 A3为原始点,其坐标分别为(xi,yi), i=1,2,3。设ΔA1A2A3的面积为S, 易见A2点处的二阶导数,

$\begin{array}{l} y^{″} (A_{2}) = \frac{\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} - \frac{y_{3} - y_{2}}{x_{3} - x_{2}}}{x_{3} - x_{1}} = (y_{2} + y_{1}) (x_{2} - x_{1}) + \\ (y_{3} + y_{2}) (x_{3} - x_{2}) \times \\ \frac{- (y_{3} + y_{1}) (x_{3} - x_{1})}{(x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) (x_{3} - x_{1})} = \\ \frac{2 S}{(x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) (x_{3} - x_{1})} 。 \end{array}$

定义:已知A1、 A2、 A3点的坐标,则A2点处的二阶导数与ΔA1A2A3的面积S的关系为,

$y^{″} (A_{2}) = \frac{2 S}{2 (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) (x_{3} - x_{1})} (18)$

2.1推导插入点二阶导数与原有点二阶导数的关系

取A1A3上任意一点B, 连接A2B; 过B点分别作A2A3和A1A2的平行线,分别交A1A2和A2A3于D点和C点;过A2作A1A3的平行线EF, 过A1作A2A3的平行线A1E, 过A3作A1A2的平行线;分别过A1、 D、 C点做A2B的平行线,分别交EF于B1、 B2、 B3 点;分别过E、 B1、 B2作A1A2的垂线,分别交A1A2于D3、 D1、 B2。设B2、 B3的坐标分别为(xB2,yB2)、 (xB3,yB3)。

由图2可见,由于有一条公共边A1A2, ΔA1B2A2的面积S1与ΔA1A2A3的面积S之比为该边对应的高的比,而ΔA1A2A3的高等于ED3。所以,

$\frac{S_{1}}{S} = \frac{B_{2} D_{2}}{E D_{3}} ； (19)$

由于,

$\begin{array}{l} \frac{B_{2} D_{2}}{E D_{3}} = \frac{A_{2} B_{2}}{A_{2} E} = \frac{B_{2} A_{2}}{B_{1} A_{2}} \frac{B_{1} A_{2}}{A_{1} A_{3}} = \\ \frac{A_{2} D}{A_{2} A_{1}} \frac{A_{1} B}{A_{1} A_{3}} = \frac{A_{1} B}{A_{1} A_{3}} \frac{B A_{3}}{A_{1} A_{3}} = \\ \frac{(x_{B} - x_{1}) (x_{3} - x_{B})}{(x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{1})} 。 \end{array}$

所以, $\frac{S_{1}}{S} = \frac{(x_{B} - x_{1}) (x_{3} - x_{B})}{(x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{1})}$ 。 (20)

同理可得,ΔA1B2A2的面积S2与ΔA1A2A3的面积S之比为, $\frac{S_{2}}{S} = \frac{(x_{B} - x_{1}) (x_{3} - x_{B})}{(x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{1})}$ 。 (21)

由式(18)和式(20)知,

$S_{1} = \frac{(x_{B} - x_{1}) (x_{3} - x_{B})}{(x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{1})} S$ ;

$(x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) = y^{″} (A_{2}) \frac{(x_{B} - x_{1}) (x_{3} - x_{B})}{2 (x_{3} - x_{1})};$

$(x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) = y^{″} (A_{2}) \frac{(x_{B} - x_{1}) A_{2} D}{2 A_{1} A_{2}};$

$(x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) = y^{″} (A_{2}) \frac{(x_{B} - x_{1}) (x_{2} - x_{B_{2}})}{2 (x_{2} - x_{B_{1}})}$ 。

整理后可得,

$\begin{array}{l} y^{″} (B_{2}) = \frac{2 S_{1}}{(x_{B_{2}} - x_{1}) (x_{2} - x_{B_{2}}) (x_{2} - x_{1})} = \\ \frac{x_{3} - x_{2}}{x_{B_{2}} - x_{1}} y^{″} (A_{2}) (22) \end{array}$

同理可得, $y^{″} (B_{3}) = \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{B_{3}}} y^{″} (A_{2}) (23)$

2.2 求B2、B3点的坐标

由 $\frac{y_{1} - y_{B}}{y_{1} - y_{3}} = \frac{x_{B} - x_{1}}{x_{3} - x_{1}}$ 得,

$y_{B} = y_{1} - \frac{x_{B} - x_{1}}{x_{3} - x_{1}} (y_{1} - y_{3}) (24)$

易知,

xB1=x1+x2-xB (25)

yB1=y1+y2-yB (26)

xB4=x2+x3-xB (27)

yB4=y2+y3-yB (28)

$\begin{array}{l} 易知 ‚ \frac{x_{B_{2}} - x_{B_{1}}}{x_{2} - x_{B_{1}}} = \frac{B_{2} B_{1}}{A_{2} B_{1}} = \frac{D A_{1}}{A_{2} A_{1}} = \\ \frac{B A_{1}}{A_{3} A_{1}} = \frac{x_{B} - x_{1}}{x_{3} - x_{1}} 。 \end{array}$

可得,

$\begin{array}{l} x_{B_{2}} = x_{2} - \frac{x_{3} - x_{B}}{x_{3} - x_{1}} (x_{B} - x_{1}) (29) \\ y_{B_{2}} = y_{2} + \frac{x_{3} - x_{B}}{x_{3} - x_{1}} (y_{1} - y_{B}) (30) \end{array}$

同理可得,

$\begin{array}{l} x_{B_{3}} = x_{2} + \frac{x_{B} - x_{1}}{x_{3} - x_{1}} (x_{3} - x_{B}) (31) \\ y_{B_{3}} = y_{2} - \frac{x_{3} - x_{B}}{x_{3} - x_{1}} (y_{1} - y_{B}) (32) \end{array}$

实际上,A2为B2B3的中点。

2.3 求B2、 B3点处的二阶导数

由式(22)可知, $y^{″} (B_{2}) = \frac{x_{3} - x_{2}}{x_{B_{2}} - x_{1}} y^{″} (A_{2})$ , 则有,

$\begin{array}{l} y^{″} (B_{2}) = \frac{x_{3} - x_{2}}{x_{B_{2}} - x_{1}} y^{″} (A_{2}) = \\ \frac{x_{3} - x_{2}}{(x_{B_{2}} - x_{B_{1}}) + (x_{2} - x_{B})} y^{″} (A_{2}) \\ \frac{(x_{3} - x_{2}) y^{″} (A_{2})}{\frac{(x_{B_{2}} - x_{B_{1}}) (x_{2} - x_{B_{1}})}{x_{2} - x_{B_{1}}} + x_{2} - x_{B}} ； \end{array}$

又知, $\frac{x_{B_{2}} - x_{B_{1}}}{x_{2} - x_{B_{1}}} = \frac{A_{1} D}{A_{1} A_{2}} = \frac{A_{1} B}{A_{1} A_{3}} = \frac{x_{B} - x_{1}}{x_{3} - x_{1}}$ ,

所以,

$\begin{array}{l} y^{″} (B_{2}) = \frac{(x_{3} - x_{2}) y^{″} (A_{2})}{\frac{(x_{B} - x_{1}) (x_{B} - x_{1})}{x_{3} - x_{1}} + x_{2} - x_{B}} = \\ \frac{(x_{3} - x_{2}) (x_{3} - x_{1}) y^{″} (A_{2})}{(x_{B} - x_{1})^{2} + (x_{3} - x_{1}) (x_{2} - x_{B})} (33) \end{array}$

同理可有,

$\begin{array}{l} y^{″} (B_{3}) = \\ \frac{(x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) y^{″} (A_{2})}{(x_{3} - x_{B})^{2} + (x_{3} - x_{1}) (x_{2} - x_{B})} (34) \end{array}$

当取xB=x2时,可化简为,

$\begin{array}{l} y^{″} (B_{2}) = \frac{(x_{3} - x_{2}) (x_{3} - x_{1}) y^{″} (A_{2})}{(x_{2} - x_{1})^{2}} = \\ \frac{B A_{3} \cdot A_{1} A_{3}}{A_{1} B^{2}} (35) \\ y^{″} (B_{3}) = \frac{(x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) y^{″} (A_{2})}{(x_{3} - x_{2})^{2}} = \frac{A_{1} B \cdot A_{1} A_{3}}{B A_{3}^{2}} (36) \end{array}$

实际上,一般在A1A3不变,转折点A2沿A2A1靠近A1远离A3时,A1A2间斜率变化变大,A2A3间斜率变化变小,对于距离A2相等的两点B2、 B3, 会导致B2点处二阶导数变大,B3点处二阶导数变小,反之亦成立。而由(33)和(34)可知,不考虑B点位置选取问题时,当转折点A2越靠近A1远离A3时,(x3-x2)变大,(xB-x1)2+(x3-x1)(x2-xB)=(xB-x1)2+(x3-x1)[(x2-x1)-(xB-x1)]变小使B2点处二阶导数变大,同理(x2-x1)变小,(x3-xB)2+(x3-x1)(x2-xB)变大使B3点处二阶导数变小,反之亦成立。这与和所表述的情况相同,说明该拟合方法与该事实较为相符;A1、 A2、 A3点不变,可以通过改变xB改变插入点B2、 B3处的二阶导数。应用时可根据误差调整xB以调整插入点处的二阶导数等信息,实现最优拟合。

由于插值算法式(29)～式(32)中含有 $\frac{x_{B} - x_{1}}{x_{3} - x_{1}}$ 和 $\frac{x_{3} - x_{B}}{x_{3} - x_{1}}$ , 为避免除法可选取,xB=x1+k(x3-x1)。特别的,取B为A1A3中点时可得B2、 B3点坐标分别为,

$\begin{array}{l} x_{B_{2}} = \frac{1}{4} x_{1} + x_{2} - \frac{1}{4} x_{3} (37) \\ y_{B_{2}} = \frac{1}{4} y_{1} + y_{2} - \frac{1}{4} y_{3} (38) \\ x_{B_{3}} = - \frac{1}{4} x_{1} + x_{2} + \frac{1}{4} x_{3} (39) \\ y_{B_{3}} = - \frac{1}{4} y_{1} + y_{2} + \frac{1}{4} y_{3} (40) \end{array}$

可以极大地简化计算复杂度。

3 试验和分析

为验证拟合算法的有效性将取复杂信号作为信号源。设信号为幅值和周期变化的正弦信号,取,

y=(1+sin10t){sin[20(1+sint)]}。

由图3可知,当采样点数为25时,上面提出的面积曲线拟合简化方法与三次样条曲线都有着较高的拟合精度;但随着采样点数的变化,三次样条曲线的精度发生较大波动,这说明这种方法对模型有较大依赖,而本文的方法具有一定的适应性。除拟合曲线外,本文方法还可对三位形状进行拟合。如图4为对环状体表面的拟合,迭代次数为4。

4 结论

针对信号源未知或对象特性不连续的情况,分别从倾斜角和面积的角度提出两种曲线拟合的几何方法,并分别分析了两种情况下插入点与原数据点间倾斜角和二阶导数的关系,推导了插值算法计算式和简化式。

对于从倾斜角角度提出的拟合方法,可以实现原数据点与插入点处顺序的切线倾斜角光滑过渡;对于从面积角度提出的拟合方法,由于设计中有一个可支配参量xB或k, 可以通过进一步设计实现自适应拟合以实现最优化。

在实验中应用了简化公式进行了曲线拟合,通过实验证明,与三次样条曲线法相比,该算法具有一定适应性。

摘要：针对信号源未知或对象特性不连续的情况,将分别从倾斜角和面积的角度提出两种不依赖对象的曲线拟合的几何方法,并分别分析了两种情况下插入点与原数据点间倾斜角和二阶导数的关系,推导了插值算法计算式和简化式,之后验证二位曲线的拟合精度并展示了三位曲面的拟合效果。

关键词：曲线拟合,倾斜角,面积,插值算法

参考文献

[1]丁克良,刘全利,陈翔.正交距离圆曲线拟合方法.测绘科学,2008;33:72—74

[2]朱晓东,鲁铁定,陈西江.正交多项式曲线拟合.东华理工大学学报,2010;33(4):398—400

[3] Mizuta M.Algebraic curve fitting for multidimensional data with exactsquares distance.IEEE Transaction Systems,Man and Cybernetics,1996;1:516—520

[4]徐进军,张洪波.曲线拟合中的几个问题.四川测绘,1997;20(3):117—118

[5] Sun Rui,Huang Hongzhong,Yang Jianping,et al.Curve fitting withweight assignment under evidence theory combination rule.Quality,Reliability,Risk,Maintenance,and Safety Engineering(ICQR2MSE).2011 International Conference on.vol.no,2011:929—934

[6] Yeh Syhshiuh,Su Shinchun.Design of NURBS curve fitting processon CNC machines.Proceedings of the 2007 American Control Confer-ence.2007:3612—3617

几何曲线篇2

一、单选题(每道小题 4分共 36分)1.渐近线为x+y=0与xy=0的双曲线的个数是 A．1 B．2 C．k(常数)D．无限多 2.[

] 中心在原点的双曲线，若它的实半轴长为2，一条准线方程是x=则该曲线的离心率的值是A．2B．22C．2D．412，[ ]

[D．2k]3.双曲线4x2ky24k0的虚轴长为A．kB．kC．4 4.双曲线x322－y212=－1的渐近线方程是[ ]A．4x+y=0，4x－y=0B．4x+y=1，4x－y=1C．2x+3y=0，2x－3y=1，2x－3y=03y=5.D．2x+

双曲线x25y241的焦点到渐近线的距离是C．5D．6[]

6.A．2B．3

13x，那么这[]如果双曲线经过点(6，双曲线方程是x2y2A．1364x2C．y2193),且它的两条渐近线方程是yx281x218y29y23B．D．11 7.双曲线的渐近线方程是y=±的方程是A．C．xx212x，焦点在坐标轴上，焦距为10，则它[ ]202yy252=1=1或y2B．x2x25x2y220y2=1=1 8.205205=1D．205如果双曲线的两条渐近线方程是：y=±32x，焦点坐标是(26，0)[ ]和(26，0)，那么它的两条准线之间的距离是A．11326B．81326C．181326D．91326

9.以坐标轴为对称轴的等轴双曲线，若其一条准线的方程为y=22，则此双曲线的方程为A．x2y2=24C．x2y2=24B．x2y2=16D．x2y2=16[ ]

二、填空题(每道小题 4分共 8分)

1.以椭圆x216y2251的顶点为焦点，以其焦点为顶点的双曲线的方程是

x22.双曲线C和椭圆渐近线方程为49y2241的焦点重合，离心率互为倒数，则C的．

双曲线的几何性质习题2答案

一、单选题

1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B 9.D

二、填空题

几何曲线篇3

从以上定义可知，只要给出一个定点、一条定直线和离心率e的值，就可以确定相应的圆锥曲线.那么，怎么由一个定点、一条定直线和离心率e的值画出圆锥曲线并能方便地演示给学生看呢？利用《几何画板》这个工具就能很好地实现这个目的，现介绍如下.

打开几何画板5.03迷你增强版，点击编辑按钮→点参数选项→选择角度为弧度，精确度调为十万分之一；画一直线标签为“定直线（准线）”，在直线右方取一点F并标签为“定点（焦点）”.

取点A、B，标记B为中心，让点A关于B旋转180°得A′，构造线段AA′，在线段AA′上取点C；度量点C、A间的距离及点C、A′间的距离，计算|CA|与|CA′|的比值，标签为离心率e，左右滑动点C可以调节离心率e的大小，将点C的标签改为“左右滑动此点调节离心率”，隐藏点A、B、A′，隐藏距离|CA|与|CA′|的度量值，度量点F到直线l的距离并标签为p（抛物线的焦半径，对于椭圆和双曲线，它的值等于|a21c-c|）.

调节离心率小于1（将会画出椭圆），计算pe1|1-e2|并标签为a（椭圆和双曲线通用），计算a与e的积并标签为c（半焦距，椭圆和双曲线通用），计算a2-c2标签为b（椭圆专用）.

因为定点F在定直线l的右方，所以定点F和定直线l分别为椭圆的左焦点和左准线.将点F向右平移c个单位得一点标签为O，并将此点定义为原点建立坐标系，以点O为圆心作单位圆，在该圆上取点P，单位圆与x轴的交点标签为Z，度量∠ZOP的值，因为椭圆的参数方程为x=acosα

y=bsinα，所以，计算acos∠ZOP和bsin∠ZOP的值，分别以这两个值为横、纵坐标绘制点M，以点M、P构造轨迹便可以得到椭圆；生成点P的动画并设置按钮，标签为“椭圆动画”.隐藏坐标系等.

将离心率调节为1，使椭圆的画面消失.计算-|1-e|+p12并标签为“抛物线调节量”，设计这个调节量是本文的独到之处，目的是当调节离心率小于或大于1时抛物线不会出现.在定直线l任取一点G，度量点G的横坐标XG，计算“抛物线调节量”与XG的和，并以这个值为横坐标、0为纵坐标绘制一点H，过H作一直线与过点F且垂直于准线l的直线垂直，设垂足为N，将点N定义为原点建立新的坐标系.在准线l上任取一点J，度量点J的纵坐标yJ，计算y2j12p的值，以y2j12p的值为横坐标，yJ为纵坐标绘制点M，选择点M、J构造轨迹便可得到抛物线.生成点J的动画并设置按钮，标签该按钮为“抛物线动画”.度量点M、F间的距离及点M到准线l的距离，计算这两个距离的比值，该比值即为抛物线的离心率（值正好为1），按下“抛物线动画”按钮时，尽管点M、F间的距离及点M到准线l的距离在不断变化，但是它们始终相等，即离心率的值始终为1.隐藏坐标系、点G、J、H等.

调节离心率大于1（小于1时只出现椭圆，等于1时只出现抛物线）时抛物线消失，此时c>a，计算c2-a2的值记为b双，计算a21c的值，过点F作准线l的垂线，垂足为L，因为此时点F为双曲线的右焦点，所以要将点L向左平移a21c个单位得到点O，将O标记为原点建立新的坐标系，以O和K构造圆，在该圆上取一点P，度量∠KOP的值.因为双曲线的参数方程为x=asecα

y=btanα，所以，计算a1cos∠KOP、b双·tan∠KOP的值，分别以这两个值作为横坐标和纵坐标绘制点M，以点M、P构造轨迹便可得到双曲线.生成点P的动画，并设置按钮，标签为“双曲线动画”，度量MF及M到准线l的距离，计算它们的比值（等于离心率的值），隐藏以上过程中的坐标系和辅助点等.

至此，整个课件制作完成.演示时，拖动调节点调节离心率小于1时得到椭圆，按下动画按钮，让学生观察动点到定点和定直线的距离的比有何变化.调节离心率等于1时得到抛物线，调节离心率大于1时得到双曲线.通过以上的演示，加深学生对圆锥曲线统一定义的理解.

几何曲线篇4

一、优化圆锥曲线的几何性质教学过程

1. 几何画板在讲解圆锥曲线定义中的应用

几何画板中的作图工具里,可以作出定点、定直线、动点、动直线,可以度量出两定点之间的距离、点到直线的距离及其这些距离的和、差功能,对于椭圆上的点到两定点的距离的和是一个常数它也能够用直观的数量关系表示出来. 比如在讲椭圆定义时,可以由“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点得轨迹”着手,如图( 1) ,令线段AB的长为“定值”,点M为线段AB上一点,分别以F1、F2为圆心,AM、BM的长为半径作圆,先让学生猜测这两圆的交点的轨迹会是什么图形,等学生各抒己见之后,老师进行演示,学生豁然开朗: “原来是一个椭圆”. 这时老师继续拖动点A,试图改变线段AB的长度,学生开始认真的思索,当AB =F1F2时,满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2,最后比较容易发现当AB < F1F2的情形. 经过这样的探索过程,学生就能很深刻地掌握椭圆定义的内涵和外延,同时也锻炼了学生思维的严谨性,同样双曲线和抛物线也都可以用此方法演示.

2. 通过圆锥曲线第二定义探究曲线的离心率与开口大小之间的关系

运用几何画板作出如图( 2) 圆锥曲线的图像,拖动点E,则离心率e的值随之变化,此时图形也相应变化,当0 <e < 1时图形是椭圆,且可以动态观察到e越接近0椭圆越圆,越接近1椭圆越扁,当e = 1时,图形变为抛物线; 当e > 1时,图形改变为双曲线,若e越大,双曲线的开口越大.

3. 帮助学生理解双曲线的渐近线

新课标人教版圆锥曲线章节对双曲线的渐近线没有给出严格的定义,在黑板上也只能画出粗略的简图表示,学生较难想象更理解不了,在此借助几何画板就可以把双曲线与渐近线之间的特殊关系准确地显示出来,如图( 3) 所示,拖动点F1或F2双曲线开口会变大或变小,在第一象限内,点P、点Q分别在双曲线与渐近线上,拖动点P,使得点P和点Q同时向右平移, PQ的值越来越接近0,这说明,在第一象限内,双曲线向右上方越来越接近相应的渐近线,但是永远不会相交. 同理在左上方、左下方和右下方也都可以用此方法演示. 考察过程中灵活的运用几何画板的强大的动画功能,使图形动起来,且自然流畅,对想象能力相对差点的学生帮助很大.

4. 探究抛物线的开口大小与 p 之间的关系

椭圆的圆、扁程度和双曲线的开口大小与其离心率e有着密切的关系,然而抛物线的离心率是不变的. 那么抛物线的开口大小跟什么有关呢? 通过几何画板的演示、探究,如图( 4) 以y2= 2px( p > 0) 为例,学生会发现,抛物线的开口随着p的变大而扩大,且抛物线的焦点F也逐渐的向右平移,通径AB的长也随着变长,再通过几何画板强大的计算功能显示,焦点F的坐标与通径长与p的代数关系,从而使学生比较容易理解抛物线的这一性质.

二、几何画板与圆锥曲线整合教学的效果分析

1. 创设情境,改善认知环境

创设情境是数学教学的前提条件,建构主义教学理论也是强调学习情境的创设,它可以为学生创设思维情境. 用几何画板创设问题情景,可以改善学生的认知环境,促进学生对所学内容的建构. 几何画板可以为圆锥曲线学习创设与学习目标直观形象的数学情景. 如: 在学习椭圆第二定义时,学生会感到很困惑,如果直接用教材中的方式来定义,学生会更加摸不着头脑,他们在学习中会提出如此的问题:第一定义和第二定义是否有本质联系? 为什么要用这种方式对椭圆下第二个定义? 如此的问题,如果在传统的方式下授课,换来的只有学生的盲目附和,无法将学生的疑惑解除. 为此笔者借助几何画板另辟蹊径,通过适当的数学实验,改善认知环境进行整合教学,使学生烟消云散、茅塞顿开,进而大大地增加了学生学习数学的自信心.

2. 动态展示教学的内容,使静态图形动起来、抽象的内容形象化

几何画板的动态功能将圆锥曲线的图形动起来,通过平移、缩放、旋转及其翻折等多视角、多方位呈现圆锥曲线的图形,通过数形结合研究对动态的对象进行“追踪”,并且显示对象的“轨迹”问题、直线与圆锥曲线之间的位置关系、通过拖动某个点观察整个圆锥曲线的变化从而研究曲线方程中变量的关系,使抽象的曲线变得具体、形象、生动且易于理解. 比如,高三模拟考里的一道题目: 讨论方程( 5 - t) x2+ ( t - 1) y2= ( t - 1) ( 5 - t) 表示的是什么曲线? 在讲评试卷时,如果我们只是把它化成标准形式从理论到理论,静态的探究,显然不直观. 但是如果我们利用几何画板,把t值“动起来”,可以观察到当t连续变化时,此方程表示的曲线是如何动态的由“横椭圆”变“竖椭圆”逐渐变成双曲线. 学生能够直观清晰的看到各种情况的演变,比起老师的讲评更有说服力,从而开阔了学生的思维.

三、反思

长期以来,圆锥曲线一直被认为是高中数学里一个高度抽象的内容,对于具有对称美的标准方程和曲线图像,发现问题、思考问题、解决问题的思维轨迹常常受阻,学生在学习过程中感到抽象而被动,不知如何思考、如何探索? 几何画板与圆锥曲线的合理整合教学要求坚持发现和探索原则,教师的教学实施能力是整合的必然要求,笔者认为教师在具体运用几何画板整合教学中要注意以下几点: ( 1) 要对教学内容作精心编排,合理设计几何画板课件,为学生提供探究的线索和阶梯; ( 2) 要注意留给学生充分的思考空间和自由度; ( 3) 几何画板整合教学要讲究质量和效果,且要有新意,进行数学实验教学的内容应对传统课堂教学方法难以达到的或者根本不可能达到的实验教学效果的内容,而不是为了实验教学而进行实验; ( 4) 几何画板为学习更深层次的抽象的数学提供可能,但是它还是无法代替具体的数学活动,从教师的角度看,几何画板与圆锥曲线的整合教学只是对传统教学方式的一种有益的补充,它促进了教师教学思想的更新,使“讲授知识”的传统模式向以“探索知识”为特色的模式转变,这也正符合现在《新课程标准》所提倡的“三维目标”的和谐统一及其时下提倡的研究性学习对教师的要求.

摘要：几何画板是一个“个性化”面向学科的工具平台,它在创设“问题情景”,反映图形运动变化,探究数学规律、提高学生的学习兴趣、促进课堂的教学效果等诸方面都有着独到的作用,它提供了一个十分理想的让学生积极探索问题的“数学实验”的环境,帮助学生从实际操作中把握数学学科的内在实质,培养学生的观察能力和问题解决能力.本文就运用几何画板更新高中圆锥曲线教学内容的呈现方式、促进教学内容的最优化、开展数学实验等方面进行了一些探讨.

双曲线及其简单几何性质作业篇5

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生:

授课时间：________年级：

教师：求满足下列条件的双曲线的标准方程

（1）焦点是（-4,0），（4,0），过点（2,0）

（2）离心率为54，半虚轴长为2（3）两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分过双曲线x2-y23=1的左焦点F1，作倾斜角为

6的弦为AB，求：（（2）F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）

1）

AB 3 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3,0），一条渐近线的方程为（1）求双曲线C的标准方程

5x2y0、（2）若以k（k不为0）的斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标围成的三角形的面积为

几何曲线篇6

关键词：B样条曲线；LS文法；大豆叶片；几何建模

中圖分类号：S126 文献标志码：A 文章编号：1002—1302（2016）01—0411—03

近几年，虚拟植物的形态模拟和可视化得到了广泛的关注和研究，植物学、计算机图形学和数学等多个学科的结合促进了植物模拟的发展，叶片又是植物最重要的特征之一，对植物叶片模型的研究具有很重要的意义。

目前，在大豆叶片方面的研究，已取得了一定的进展。例如，基于生长方程建立的大豆叶片模型，该方法需要结合大量的空间特征以及数据进行分析，来实现大豆叶片的模拟效果，但模拟的叶形真实感不强；结合L系统建立的大豆叶片模型，通过测量特定时期的叶片特性，建立数学模型分析，结合L系统模拟叶脉，该方法能够模拟出叶片的二维模型，但叶脉模型较为生硬，不自然。

以大豆叶片作为研究对象，以角点检测法对叶片轮廓上的特征进行提取、检测；结合B样条曲线建立大豆叶片轮廓线的几何模型；最后利用Ls文法模拟叶脉走向。以Matlab软件作为实验平台，快速、高效建立出叶片的几何轮廓。

1叶片轮廓提取

选取黑龙江八一农垦大学试验田内7-8月生长期的完好的农青1号大豆叶片，将采下的叶片放置在书本中压平，并以白色纸板为参考板，作为拍照时的背景。

1.1图像灰度化

将采集的叶片真彩色图像传输到计算机中，由于真彩色图像信息量较大且数据复杂，不易于信息提取，因此将真彩色图像进行灰度化处理能够很好解决这个问题。真彩色图转灰度图像的实质就是找到三维空间与一维空间之间的映射关系（即：过真彩色rgb空间的一个点向直线r=g=b作垂线），有gray=0.299×r+0.587×g+0.114×6，利用这一公式就可以将真彩色图像转换为灰度图像。

1.3叶片边缘提取

通过边缘检测算子提取的輪廓是获得轮廓的主要方法。依据目标物体的边缘特征点剔除不相关的多余冗散信息，并修正保留下来的边缘。在众多边缘检测中Canny算子不易受噪声干扰，具有较好的定位和检测标准；具有4方向梯度检测（水平、垂直、45°、135°）；双阈值检测等。因此，在大多数情况下，Canny算子的边缘检测结果优于其他算子。通过试验表明，Canny算子的检测结果不仅能够清晰地提取图像的边缘，并且良好地保留了边缘的连续性。

叶片轮廓提取结果见图1。

2 Harris算法检测轮廓特征点

2.1角点算法原理

Harris角点检测算法的基本思想就是从图像的局部小窗口观察图像特征，通过计算向任意方向移动后的小窗口内的图像灰度平均变换值来确定角点。采用一个自相关函数在二维方向具有明显变化的像素点的位置上来计算灰度值，建立一个相关函数矩阵M，对特征值M的大小进行比较，来提取相应的角点。

几何曲线篇7

从以上定义可知, 只要给出一个定点、一条定直线和离心率e的值, 就可以确定相应的圆锥曲线.那么, 怎么由一个定点、一条定直线和离心率e的值画出圆锥曲线并能方便地演示给学生看呢?利用《几何画板》这个工具就能很好地实现这个目的, 现介绍如下.

打开几何画板5.03迷你增强版, 点击编辑按钮→点参数选项→选择角度为弧度, 精确度调为十万分之一;画一直线标签为“定直线 (准线) ”, 在直线右方取一点F并标签为“定点 (焦点) ”.

取点A、B, 标记B为中心, 让点A关于B旋转180°得A′, 构造线段AA′, 在线段AA′上取点C;度量点C、A间的距离及点C、A′间的距离, 计算|CA|与|CA′|的比值, 标签为离心率e, 左右滑动点C可以调节离心率e的大小, 将点C的标签改为“左右滑动此点调节离心率”, 隐藏点A、B、A′, 隐藏距离|CA|与|CA′|的度量值, 度量点F到直线l的距离并标签为p (抛物线的焦半径, 对于椭圆和双曲线, 它的值等于

几何曲线篇8

两轴动车是铁路工务、工程、供电等部门使用较多的一种小型专用内燃机车, 如轨道车、接触网作业车等速度低于120km/h的小型机车多以两轴动车形式出现。太原机车车辆厂目前所开发研制的TY07型接触网作业车即是两轴动车, 该车采用了较先进的传动方式及新颖独特的总体布置方案, 因此在车长、车宽、轴距等重要尺寸的选择上要求与国内原有车型有所不同。保证所选定的这些尺寸能满足机车在通过所要求的最小半径曲线时车体端部和中部都不超出机车限界, 这是进行总体方案选择时首要解决的问题。

由于两轴车的几何曲线通过情况与转向架式多轴机车有所不同, 而有关两轴车的分析和计算在现有的资料中没有例子可供参考, 因此, 本文参照现有教材中对转向架式机车几何曲线通过的分析方法, 对TY07型接触网作业车进行几何曲线通过分析, 并由此得出应用公式及使用方法, 供TY07型接触网作业车设计使用。

1TY07型接触网作业车几何曲线通过分析

1.1 几何曲线通过分析计算的依据

如图1所示, 求弦长为2x的弦AB的矢高y。根据几何定理知:

undefined。 (1)

其中:r为圆的半径。

将undefined按牛顿二项式展开, 代入式 (1) 得:

undefined。 (2)

略去微值undefined等项, 得:

undefined。 (3)

式 (3) 即为以下分析的基本数学依据。

1.2 车体中部的几何曲线通过分析

当TY07型接触网作业车在曲线上处于最大偏斜位 (即前轮贴靠外轨, 后轮贴靠内轨) 时, 其车体中部有可能超越内轨内侧的机车限界, 且当轴距增大时超限的可能性也随之增大;若机车在最大偏斜位时车体中部不超限, 则它在最大外移位 (即前、后轮均贴靠外轨) 时也就不会出现车体中部超限的情况。为此可根据已知的机车限界反推在几何曲线半径为R的曲线上, 某一车宽的两轴车处于最大偏斜位时所允许的最大轴距, 以便为轴距的选择提供依据。

根据机车几何曲线通过图示法所作的规定, 将以直线AB所代表的两轴车及曲线绘成如图2所示曲线。图中C、D为两个轮对, 轨距为Δ+σ (Δ+σ实际为轮轨全间隙) , AB为不计车宽的车体纵向轴线。为了分析简单, 这里将3mm左右的轮对横动量忽略不计。

根据式 (3) , 对于外轨上的C点, 有:

undefined。 (4)

因为R外undefined, 所以undefined。由此得出:

undefined。 (5)

其中:σ为直线上钢轨内侧与轮缘外侧的全间隙;R为轨道中心的半径值。

同样, 对于内轨上的D点, 有:

undefined。 (6)

因为R内undefined, 所以undefined。由此得出:

undefined。 (7)

其中:Δ为曲线上的内轨加宽量。

车体中部在曲线上不超越内侧限界的条件为:

undefined或undefined。 (8)

其中:W为机车宽度限界;H为车体宽度。

假设车体中部所处的位置为超越限界的临界状态, 则有:

undefined。 (9)

undefined。 (10)

根据已知条件求出Y1和Y2, 代入式 (5) 、式 (7) , 即可求得轴距与车宽的关系式。目前, 一般情况下要求两轴车能通过的最小曲线半径为Rmin=100m。根据铁路技术规范, 机车宽度限界W=3 260mm;σ=16mm;当R<350m时, Δ=15mm。

将这些已知数据代入式 (9) 、式 (10) 得:

undefined。 (11)

undefined。 (12)

将式 (11) 、式 (12) 代入式 (5) 、式 (7) 得:

undefined。 (13)

undefined。 (14)

所以, 允许的最大轴距为:

undefined。 (15)

因此, 对于要求通过R=100m的两轴车, 当选定一个车宽值H后, 即可将其代入式 (15) 得出允许的最大轴距值xmax, 当最后选定的轴距x

当选定车宽H=3 000mm时, 由式 (15) 求得xmax=9 879mm, 则在小于此值的范围内选取轴距都将是安全的。TY07型接触网作业车车宽为3 000mm, 选取轴距为5 000mm, 远小于9 879mm, 因此该车在线路上运行是安全的。

1.3 车体端部的几何曲线通过分析

首先假定所研究的两轴车是两端对称布置的。由于TY07型接触网作业车在曲线上处于最大外移位时可以较容易地通过前述数学模型进行分析求解, 因此首先分析两轴车在最大外移位时车体纵轴线上任一端点A对外轨的偏移量, 然后通过误差分析来判断和修正机车处于最大偏斜位时的情况。为了分析简单, 这里将车轴横动量忽略不计。

图3为车体端部几何曲线通过分析图, 其中, undefined, 因为undefined, 所以:

undefined。 (16)

其中:R可以认为与最小曲线半径Rmin相等;xA为车体轴线上端点A的转心距;xC为轴距之半。

车体端部在曲线上不超越外侧限界的条件为:

undefined。

即undefined。 (17)

将式 (17) 代入式 (16) , 得:

undefined。 (18)

式 (18) 取等于号时求得的xA值即为机车端部超越外侧限界时车体长度之半的临界值, 只要使实际选取值小于该临界值, 即可保证车体端部的曲线通过安全。

在TY07型接触网作业车的设计中, 可以应用式 (18) 进行结构方案的选择。一般来说, 车宽是个变化不大的值, 首先选定一个车宽值后, 可以将车长与轴距的关系列表, 以便在允许的选值范围内确定机车的结构参数。

当选定车宽H=3 000mm时, 由式 (18) 求得undefined, 根据此式求得的TY07型接触网作业车车长与轴距的对应值见表1。

根据表1中所列的数据, 即可进行轴距和车体长度的选择, 并可大致了解所选方案的几何曲线通过情况。

TY07型接触网作业车车宽为3 000mm, 轴距为5 000mm, 根据设计需要, 我们选择了车长9 500mm, 比允许值小1 572mm, 因此车的端部在通过Rmin=100m的曲线时是安全的。

由以上方法得出的数据是车体处于最大外移位时的结果, 当车体处于最大偏斜位时, 可以认为车体是以C点为轴, 由位置ABCD转到A′B′CD′, 如图4所示, 其转动的角度为:

undefined。

因此在A点产生的偏移量误差约为:

undefined。

根据表1中的数据将YA′的对应值列于表2中。由表2可见, 简化分析法所造成的车体端部对外轨的偏移量误差很小, 可忽略不计。

2结论

在TY07型接触网作业车设计过程中, 可根据式 (15) 进行车宽和轴距的初步选择, 然后根据式 (18) 并按表1选择车体长度, 必要时需重新选择车宽和轴距直到全部满足要求。

需要说明的是, 在以上的计算中并未按一般机车曲线通过校验那样将W按建筑接近限界取值, 而是将W按机车车辆限界作适当放大来取值的, 这主要是考虑了TY07型接触网作业车的使用特点。按照用户提出的要求, TY07型接触网作业车外部结构设计应考虑该车能在非正式开通的线路上施工作业, 考虑到新线建设施工中在建筑接近限界内有堆放石料等建筑材料的可能性, 因此根据机车车辆限界取值作为几何曲线通过的宽度限界较好地满足了这一要求。如果所设计的TY07型接触网作业车不考虑在非正式开通线路上使用, 则W的取值可按建筑接近限界规定, 这样表1中计算出的车长2xA的数值将会更大一些。

摘要：TY 07型接触网作业车在车长、车宽、轴距等重要尺寸的选择上与国内原有车型的要求有所不同, 保证所选定的这些尺寸能满足机车在通过所要求的最小半径曲线时车体端部和中部都不超出机车限界, 这是进行总体方案选择时首要解决的问题, 为此提出了一种几何曲线通过计算的新方法。

关键词：作业车,几何曲线,机车限界

参考文献

[1]徐灏.机械设计手册[M].北京:机械工业出版社, 1992.

[2]孙竹生.内燃机车总体及走行部[M].北京:中国铁道出版社, 1995.

[3]唐经世.工程机械[M].北京:中国铁道出版社, 1998.

几何曲线篇9

随着新课程改革的进一步推进与完善, 高考中对圆锥曲线的命题思路也趋于稳定.总体体现在注重从曲线的几何性质切入, 突出运用数形结合解决问题的考查, 这也是降低运算量的有效途径.而解答问题的整体思路大致可概括为:从图形结构入手—建立方程 (函数、不等式) 演算—回归到曲线的研究.因而先把有关图形的几何性质研究到位, 再将其转化为方程 (函数、不等式) 实施代数演算, 这种数形结合的思路成为解决这类问题的基本策略.

一、常用图形的几何性质

一些基本图形的几何性质常成为我们解决问题的“突破口”, 平时若对这些性质多加留意与总结, 对我们解题大有裨益.

1. 线垂直平分线性质

已知线段AB, 动点P满足|PA|=|PB|点P在线段AB的垂直平分线上.

2. 三角形

(1) 三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边.

(2) 等腰三角形的两底角相等, 且两底角必为锐角.

(3) 几个特殊三角形的性质: (1) 等腰直角三角形:两直角边相等, 斜边等于直角边的槡2倍; (2) 含有60°角的直角三角形:60°角所对的直角边是30°角所对边的槡3倍, 斜边是30°角所对边的2倍; (3) 正三角形:正三角形的高将该三角形分割为两个含有60°角的特殊直角三角形.

3. 四边形

(1) 对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线之积的一半.

(2) 平行四边形的对角线互相平分 (反之也行) .

(3) 菱形的对角线互相平分且互相垂直 (反之也行) .

(4) 矩形的对角线互相平分且相等 (反之也行) .

(5) 正方形的对角线互相平分、垂直、相等 (反之也行) , 其中含有等腰直角三角形.

4. 正六边形

六个顶点与中心的连线将正六边形分割为六个全等的正三角形.

5. 圆

(1) 直径所对的圆周角为直角 (反之也行) .

(2) 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦 (反之也行) .

(2) 如图1, 已知过圆x2+y2=4内一点P (1, 0) 作互相垂直的两条弦AB, CD, 则四边形ACBD的面积的最大值为_______.

分析: (1) 先画出图形, 如图2, 从其几何性质寻求最值, 作点A关于x轴的对称点A′ (1, -1) , 有|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|, 而|PA|-|PB|≤|AB|. (2) 分别取AB, CD的中点M, N, 由垂径定理得OMPN为矩形, 设OM=d1, ON=d2, 由图形得到OM=NP=d1, 且NP2+ON2=OP2, 也就是d21+d22=1, 再由对角线互相垂直的四边形的面积的性质再结合基本不等式求最值.

(2) 设圆心O到弦AB, CD的距离分别为d1, d2, 则d21+d22=|OP|2=1,

∴四边形ACBD的面积

评注:在试题 (1) 中, 将题意转化为图形, 运用几何性质找到最值是关键.在试题 (2) 中, 运用垂径定理得到OMPN为矩形, 从图形中再找到d21+d22=1, 再运用基本不等式求最值 (代数演算) 是解决问题的基本思路, 将数与形融合在一起解决问题.

二、圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的几何性质为运用数形结合思想解决问题提供了依据, 灵活运用其几何性质可有效降低运算量, 提高解题效率.

1. 椭圆的几何性质

(1) 范围:详见教材.

2. 抛物线的几何性质

(2) 切线方程:抛物线y2=2px (p>0) 在点 (x0, y0) 处的切线方程为yy0=p (x+x0) .

∴直线AB:x=my+2p过定点 (2p, 0) .

评注:熟练运用圆锥曲线的几何性质, 可简单快速地解决问题, 尤其是选择题与填空题.

三、从几何性质入手分析