曲线面积

曲线面积（共3篇）

曲线面积 篇1

摘要：傅里叶级数在数学、物理、工程技术、信息处理等学科中发挥着重要的作用。本文主要考虑一个几何问题,等周闭曲线的面积问题。应用傅里叶级数的方法,我们求证出等周闭曲线所围面积中圆的面积最大,并给出了最大的面积值。

关键词：傅里叶级数,等周闭曲线,圆面积

法国数学家傅里叶发现傅里叶级数以来,关于级数理论的研究随即走向了新的里程碑。在应用方面,傅里叶级数在电力工程、通信、控制领域、应用数学、物理及工业应用上都取得了辉煌的成就。本文主要给出一个傅里叶级数在几何中应用的例子,应用傅里叶级数解决等周闭曲线面积问题。通过解决实际问题,进一步理解傅里叶级数的理论知识,为傅里叶级数的更广泛的应用打下基础。

一、预备知识

等周闭曲线,即周长相等的闭曲线。众所周知,由等周闭曲线围成的凸图形中,圆的面积最大。这个问题早在古希腊时期就已提出。下面,我们利用数学分析中学过的傅里叶级数,证明等周闭曲线围成的凸图形中,圆的面积最大。

设Γ是平面内的一条闭曲线,在直角坐标系xoy中,x轴把曲线分成y=f(x)和y=g(x)(0≤x≤1)两个连续的函数,且f(x)≥g(x),如下图。令Ω表示两个函数所围的区域,即:

定义1.若在整个数轴上

且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:

定理1.如果f是以2π为周期且在[-π,π]上可积的函数,则可按公式计算出an,bn,它们称为函数f的傅里叶系数,以f的傅里叶系数为系数的三角级数称为f的傅里叶级数,记作

二、问题的证明

由于x(s)和y(s)是2π为周期的函数,由定理1其傅里叶级数为

将Parseval恒等式带到公式(2)有

由公式(1),Ω的面积为:

三、总结

等周闭曲线的面积问题,其实一定程度上也是一种不等式问题,傅里叶级数在证明这类问题上有一定的优越性,且傅里叶级数是用三角函数来表示复杂函数,在某种程度上也简化了证明过程。通过对等周闭曲线面积的求解和证明,我们更加深入地了解了傅里叶级数及其应用。傅里叶级数是一个重要的理论基础,也是重要的工具,期望傅里叶级数在解决日常生活的问题中扮演越来越重要的角色。

参考文献

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[4]李小平.Parseval定理在物理学中的应用[J].塔里木大学学报,2008,20(2):35-36.

曲线面积 篇2

1 资料与方法

1.1 临床资料 选择2006年1月—2006年12月于我院心内科门诊就诊或住院未经治疗或未接受正规治疗且已停药2周以上的1级、2级高血压病病人各30例。入选标准为1999年WHO/ISH关于1级、2级高血压诊断标准:1级高血压为收缩压(140~159) mmHg(1 mmHg=0.133 kPa)和(或)舒张压(90~99) mmHg,2级高血压为收缩压(160~179) mmHg和(或)舒张压(100~109) mmHg。除外继发性高血压、糖尿病、高脂血症、冠心病、脑卒中、肝肾功能障碍及严重的心脏瓣膜疾病。在本研究前均取得病人同意。选择30名健康体检者作为对照组。Ⅰ组为1级高血压病病人30例,其中男17例,女13例,年龄71.3岁±6.9岁;Ⅱ组为2级高血压病病人30例,其中男18例,女12例,年龄72.1岁±6.6岁;Ⅲ组为健康体检者30名,男17名,女13名,年龄68.9岁±6.2岁。

1.2 方法

1.2.1 动态血压监测(ABPM) 利用美国Meditech公司生产的Cardio Tens动态血压监测仪对入选者进行24 h ABPM,设定白天(6 AM~10 PM)、夜间(10 PM至次日6 AM)均每30 min自动测量。读取收缩压负荷值(SBPL)和舒张压负荷值(DBPL),计算24 h收缩压AUC(24 h SBP-AUC)、舒张压AUC(24 h DBP-AUC)和二者的差值即24 h脉压AUC(24 h PP-AUC),日间收缩压AUC(dSBP-AUC)、舒张压AUC(dDBP-AUC)和二者的差值即白天脉压AUC(dPP-AUC),夜间收缩压AUC(nSBP-AUC)、舒张压AUC(nDBP-AUC)和二者的差值即夜间脉压AUC(nPP-AUC)。

1.2.2 颈动脉血管超声检查 采用西门子-Y17001型彩色多普勒超声诊断系统和7.5 MHz线阵探头。测定颈总动脉IMT及斑块。

1.3 统计学处理 用SPSS 11.5软件包进行统计学处理,计量资料以均数±标准差$(\overline{x}\pm s)$表示。多组间比较计量资料用方差分析、SNK检验。计数资料用卡方检验。AUC与IMT及斑块的相关性采用直线相关分析。P<0.05为有统计学意义。

2 结 果

2.1 1级、2级高血压病病人与对照组ABPM参数、颈总动脉内径(ID)、IMT及斑块比较

与对照组相比,1级、2级高血压病病人SBPL、DBPL,各时段(24 h、d、n)的SBP-AUC、DBP-AUC、PP-AUC、ID、IMT及斑块发生率均有统计学意义。1、2级高血压组间比较,各时段SBP-AUC、PP-AUC、ID、IMT及斑块发生率有统计学意义,而SBPL、DBPL及各时段DBP-AUC差异无统计学意义。详见表1。

2.2 高血压病病人斑块严重程度与颈总动脉IMT的关系

高血压病病人IMT越厚,斑块级别越高,各级斑块组间IMT比较均有统计学意义。详见表2。

2.3 AUC与颈动脉IMT及斑块间的相关关系

各时段的SBP-AUC、PP-AUC,尤其是nSBP-AUC、nPP-AUC与颈动脉IMT及斑块级别明显呈正相关,IMT与斑块级别呈正相关,而各时段DBP-AUC与颈动脉IMT及斑块级别间无相关性。详见表3。

3 讨 论

与门诊偶测血压相比,ABPM有助于更好地评估高血压病情严重程度及靶器官损害。颈动脉作为观察全身中型动脉粥样硬化病变的窗口,可反映高血压靶器官损害的程度。

血压对心血管系统的负荷不仅取决于血压水平,而且还与血压升高的持续时间有关。BPL、AUC均被认为是反映时间和血压增高值的二维参数。本研究中,BPL在健康者与高血压病人间有明显不同,在不同级别高血压病人间无明显不同,而在颈动脉IMT、斑块的检出率及严重程度上,3组间有统计学意义。提示BPL增高是引起高血压靶器官损害的重要因素之一。但BPL仅考虑了24 h中血压超过设定值在总测量次数中所占的比例,与血压增高的幅度无关,因此它尚不能精确反映血压的增高和持续时间对心血管系统的影响[5]。

本研究中,高血压病病人SBP-AUC均显著高于健康者,且2级高血压组显著高于1级高血压组。直线相关分析示,SBP-AUC尤其是nSBP-AUC与颈动脉IMT及斑块级别明显正相关,DBP-AUC与颈动脉IMT及斑块级别间无相关性。提示SBP-AUC尤其是nSBP-AUC在评估早期动脉硬化方面可能具有重要意义。高血压是颈动脉粥样硬化的独立危险因素之一[6]。大动脉长期受血管内腔压升高的超负荷影响使大动脉中弹力层发生退行性病变促进动脉粥样硬化病变的发生发展[7]。

PP-AUC反映血压的波动程度,其增加提示血管壁承受压力大,血管内皮受损程度重。本研究表明,老年人群中,血压越高,PP-AUC增加越明显;PP-AUC与IMT及斑块级别均呈明显正相关,以nPP-AUC的相关性最好。提示PP-AUC在评估早期动脉硬化方面有着重要意义,这与国内许多相关研究结果相似[8,9]。原因在于PP-AUC增加导致血管壁所受压力增大,管壁弹性成分容易疲劳和断裂,易使内膜损伤,动脉壁增厚,僵硬度增加,而动脉僵硬度的增加将导致PP-AUC进一步增加。PP-AUC增加进一步增加了动脉牵拉,血管壁所受压力增大,血管内皮功能受损,促发和加重动脉粥样硬化的形成。

IMT的测定常用作评价早期动脉硬化病变。本研究中,高血压病人较健康者颈总动脉ID和IMT明显增加,而且血压越高,这种改变更为明显。提示在高血压病人颈动脉结构改变中,除血压影响管壁的增厚和管腔的扩大外,由于IMT的增高所引起管腔的继发性代偿性扩张可能也起了重要作用。同时,本研究对高血压病病人颈动脉斑块进行分级,各级斑块间IMT均有明显差异,IMT越厚者斑块级别越高。直线相关分析示,斑块级别与IMT明显正相关,提示IMT在预测高血压病病人斑块发生方面有着一定作用。

本研究提示在降压治疗过程中不仅应降低平均血压,还要注意减少24 h血压积累升高的时间和上升幅度,减少血压负荷压差,从而有效地避免或减少靶器官的损害。颈动脉IMT是动脉粥样硬化的早期表现,对颈动脉IMT的深入认识和积极干预,有助于早期筛查亚临床型动脉硬化病变,为高血压病病人的治疗和预后评估提供更为简便、可靠的客观依据。

摘要：目的研究老年高血压病人动态血压监测参数曲线下面积(AUC)与颈动脉粥样硬化的关系。方法选择1级与2级老年高血压病人各30例及正常者30名(对照组),行动态血压监测,做颈动脉血管超声测量颈总动脉内膜-中层厚度(IMT)、颈总动脉内径,局限性内膜-中层厚度增厚≥1.3mm定义为斑块。结果老年高血压病人24h、日间、夜间收缩压AUC、舒张压AUC及脉压AUC均较对照组明显升高,且2级高血压组收缩压和脉压AUC大于1级高血压组,而两组舒张压AUC无统计学意义;老年高血压病人颈动脉IMT较对照组明显增厚,且随着IMT逐渐增厚,斑块级别增高;直线相关分析显示收缩压和脉压AUC尤其是夜间收缩压和脉压AUC与IMT及斑块级别明显正相关,IMT与斑块级别呈正相关。结论颈动脉IMT是动脉粥样硬化的早期表现,动态血压AUC是真正代表血压增高的持续时间和血压增高值的综合二维参数,收缩压和脉压AUC尤其是夜间收缩压和脉压AUC的增加会加重颈动脉硬化的程度。

关键词：高血压,劲动脉硬化,动态血压监测,曲线下面积,内膜-中层厚度,斑块

参考文献

[1]Toikka JO,Laine H,Ahotupa M,et al.Increased arterial inti ma-media thickness andin vivo LDL oxidationin young men with borderline hypertension[J].Hypertension,2000,36:929-933.

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[8]江凤,邓辉胜,魏宗德,等.高血压病患者动态脉压与颈动脉粥样硬化的相关性研究[J].中国心血管病研究杂志,2004,2(2):96-98.

曲线面积 篇3

下面把直角三角形F1MF2推广为任意三角形, 有以下定理及推论.

证明:设|MF1|=t1, |MF2|=t2, |F1F2|=2c, 由双曲线的定义得, |t1-t2|=2a, (t1-t2) 2= (2a) 2, t12+t22-2t1t2=4a2.