平面曲线（精选7篇）
平面曲线 篇1
摘要：本文首先对两种传统平面曲线弧长的定义进行了剖析, 指出了第一种的不合理之处以及第二种定义中用折线代替弧段时应该说明的一个问题.然后定义了一种新平面曲线——内敛曲线, 初步讨论了其性质, 并对该类曲线对应的第二种弧长定义进行了补充 (该补充只适用于内敛曲线) .最后分析了补充的相对合理性及其局限性.
关键词：曲线,弧长,极限,连续,内敛
一、引言
平面曲线的弧长是数学中的一个重要概念, 无论是从实际应用上还是从理论上而言都有重大意义, 因此该概念是否合理关系重大.但是传统的两种弧长的定义, 其一种有不合理之处, 另一种定义中有一处不够完善, 下面对其具体剖析.
二、传统平面曲线弧长的定义
设平面曲线的参数方程为:
其中x (t) , y (t) 均为[a, b]上的连续函数, A (x (a) , y (a) ) , B (x (b) , y (b) ) .
曲线弧长的第一种定义:在C上A到B依次取分点, A=P0, P1, P2, …, Pn-1, Pn=B, 它们形成对曲线C的一个分割, 记为T.然后用线段联结T中每相邻两点, 得到C的n条弦, 这n条弦又成为C的一条折线,
分别表示最长弦的长度和折线的总长度.
对于C的无论怎样的分割T, 如果存在有限极限
则称C是可求长的, 并把极限s定义作为C的弧长.
曲线弧长的第二种定义:
对区间[a, b]作如下划分:
得到这条曲线上顺次排列的n+1个点P0, P1, …, Pn, Pi= (x (ti) , y (ti) ) .用表示联结点Pi-1和Pi的直线段的长度, 那么相应的折线的长度可以表示为.若对任意一个划分, 当时, 极限存在, 则称这条曲线是可求长的, 并将此极限值
称为该曲线的弧长.
三、对定义的分析
第一种定义中弧长即最长的折线段的长度趋近于零时的折线总长度的极限, 华东师范大学编写的《数学分析 (上册) (第三版) 》, 北大数学系沉燮昌、方企勤等编写的《数学分析 (第二册) 》等即采用此定义法;第二种定义中弧长即最大的Δti趋近于零时折线总长度的极限, 陈纪修等编写的《数学分析 (第二版) 》、张筑生编写的《数学分析新讲 (第一册) 》等即采用此定义法.乍一看第一种似乎更合理, 符合人们的直观感觉, 但是真的这样吗?让我们来研究平面曲线的一类重要组成部分———光滑平面曲线的弧长问题.
若x' (t) 和y' (t) 在[a, b]上连续, 且[x' (t) ]2+[y' (t) ]2≠0, 则由参数方程, 确定的曲线称为光滑平面曲线.以下简称光滑曲线.下面以华东师范大学的数学分析和陈纪修等的数学分析为例来探讨.
华东师范大学的数学分析和陈纪修等的数学分析中按照各自的定义给出的光滑曲线的弧长公式均为:
请看一个例子:
在[-π, 3π]上均连续, 且[x' (t) ]2+[y' (t) ]2=1≠0, 所以为光滑曲线, 其图像如图1.
若点P0, P1, …, Pn只取线段AB上的点, 则时, ;若点P0, P1, …, Pn中某一点取为) AB中x轴上方的某一定点 (如点M (0, 2) ) , 则.所以, 按照第一种定义, 光滑曲线) AB不可求长!这与华东师范大学的数学分析中光滑曲线可求长及弧长公式 (1) 矛盾!而按照第二种定义就没有此矛盾.‖T‖=max1≤i≤n Pi-1Pi→0
问题出在哪里呢?比较按两种定义推导光滑曲线弧长公式的过程 (具体推导过程可以参阅两教材) 可知, 两者最重要的差别就是第一种中多了‖T‖→0λ→0这一过程.其实, 此式是错误的, 即不能由‖T‖→0推出λ→0!现将华东师范大学原教材中的此部分推导摘抄如下:
又因为C为光滑曲线, 当x' (t) ≠0时, 在t的某邻域内x=x (t) 有连续的反函数, 故当Δx→0时, Δt→0;类似地, 当y' (t) ≠0时, 亦能由Δy→0推知Δt→0.所以, 当时, 必有Δti→0.反之, 当Δti→0时, 显然有Pi-1Pi→0.由此知道:当C为光滑曲线时, ‖T‖→0与‖T'‖→0是等价的.
其中Pi-1Pi相当于本文第一种定义中的相当于本文第二种定义中的λ.
问题就出在以上摘抄部分.以图1为例, 设点Pi-1始终在x轴负半轴上, Pi始终在x轴正半轴上, 当Pi-1、Pi均趋近于原点时,
华东师范大学的教材中说“在t的某邻域内x=x (t) 有连续的反函数, 故当Δx→0时, Δt→0;类似地, 当y' (t) ≠0时, 亦能由Δy→0推知Δt→0”, 这句中函数x (t) , y (t) 在“t的某邻域内”说的是函数在某一点的性质, 即t的值取定后, 例如取为t=t0, 函数x (t) , y (t) 在t0点的性质;而“故当Δx→0时, Δt→0”“由Δy→0推知Δt→0”要求函数x (t) , y (t) 在包含Δt的某个区间段内具有连续的反函数:设Δx=xixi-1, Δy=yi-yi-1, Δt=ti-ti-1, 则要求x (t) , y (t) 在包含[ti, ti-1]的某个区间段内有连续的反函数 (如上述反例中要求x (t) , y (t) 在包含[0, 2π]的某个区间段内有连续的反函数) .此处从函数在点的性质推出函数在段的性质是没有理论依据的, 这就是错误的原因.
本文所举的反例是条交叉曲线.显然, 对于所有交叉曲线第一种定义都行不通.那么对于不交叉的光滑曲线呢?对于不交叉光滑曲线可以, 但由推出Δti→0的过程比较复杂, 绝不是像华东师范大学的教材中那样三言两语就能说清楚的.鉴于以上, 最好用第二种定义方法.
现在再来探讨第二种定义.该定义可以简单地概括为:曲线弧长即最大的Δt趋近于零时折线总长度的极限, 也就是说当[a, b]上两点ti, ti-1之差足够小时, 用这两点对应的Pi, Pi-1之间的线段长度代替了其间的弧段长度, 即默认这样一个等式成立:
式中为弧段长度.当Δti= (ti-ti-1) →0时, 几何直观告诉我们均趋近于0, 从而两者之差也趋近于0, 我们认为它们非常接近.但具体接近到什么程度呢?此处的“接近”是指两者之差趋近于0, 还是两者之比趋近于1 (即 (2) 式成立) 呢?如果是指前者, 那么显然是正确的, 但对于后者而言就不那么显然了, 而第二种定义的关键就是 (2) 式成不成立.
由公理“两点之间线段最短”可知无论多么小, 只要不是线段就有, 究竟比大多少?两者之差是否是的高阶无穷小量呢?这些都是传统定义 (不管是第一种定义, 还是第二种定义, 或是其他的) 中所未讨论, 但却是必须要讨论的!
仔细分析不难发现, Δti→0时, 的接近是指两者之差趋近于0, 要想得到 (2) 式还要做进一步分析.数学上两个无穷小量之比不为1的例子比比皆是 (如) , 所以不能仅因为和同时趋近于0就草率地下结论 (2) 式成立, 因此需要对第二种定义进行补充.
很遗憾, 本文的补充只是对下一小节中定义的内敛曲线有用, 对于其他平面曲线、空间曲线均无能为力.下面来探讨何为内敛曲线.
四、内敛曲线
在定义内敛曲线之前须先来建立一个约定.
设光滑平面曲线的参数方程为
曲线在点 (x (t) , y (t) ) 处的切线与x轴正半轴的夹角为α (t) .我们约定:当t=a时, 设α (a) =α0, 然后随着t从a到b的连续变化, α (t) 也取连续变化的值, 即α (t) 的取值范围为 (-∞, +∞) , 而不再局限于[0, π) .这样, 就能够使α (t) 不出现π和0之间的跃变, 从而保证了其连续性.显然, 加上这个约定之后α (t) 和传统的定义仍无本质上的区别.
定义:如果光滑的平面曲线C对应的α (t) 在[a, b]上单调, 则称C为内敛曲线.
注:此定义中的单调是非严格的, 即包含相等的情况.本文中的类似情形均如此认为.
不难验证, 线段、圆及一切光滑的凸凹函数所对应的曲线都是内敛曲线.
对于内敛曲线, 设任意tA, tB∈[a, b]且满足, 则:
(1) 在点t=tA, t=tB处的切线相交或重合 (重合时α (tA) =α (tB) ) .如图2, 其中t=tA, t=tB分别对应A, B两点, C为切线AC, BC的交点, 所以两切线必可形成△ABC (当两切线重合时△ABC变为其极限形式———线段AB, 为叙述方便, 本文以下将此种情形下的线段AB仍称为△ABC) .
(2) 在图2中不妨以过A点的切线AC为横坐标轴, 以A为原点O*来建立平面直角坐标系x*O*y*, 则α* (t) =α (t) -α (tA) , 其中α* (t) 为C的切线与O*x*轴的夹角.当t∈[tA, tB]时, 由定义及可知α* (t) 单调且, 不妨令α* (t) ≥0 (通过规定O*y*正方向总可以使此种情况成立, 显然此时α* (t) 为[tA, tB]上的增函数) , 则y*' (x*) =tanα* (t) ≥0, 函数y* (x*) 单调递增.又因为y* (x*) 过原点0*, 所以t∈[tA, tB]时y* (x*) ≥0, y* (x*) 的图像上的点都位于0*x*轴 (即AC) 的一侧 (此处的位于O*x*轴一侧是指对于上任意两点 (x*1, y*1) , (x*2, y*2) 均有使y*1.y*2≥0,
即存在y* (x*) =0使点 (x*, y*) 位于直线AC上时也认为是位于O*x*轴一侧.本文中的“一侧”均如此认为, 不再一一声明) .同理, 也位于BC的一侧.
(3) 因为α* (t) =α (t) -α (tA) 为单调增函数, 且, 所以y*' (x*) =tanα* (t) 也为单调函数, 从而y* (x*) 为凸函数.由凸函数的定义和 (2) 可知位于直线AB的一侧, 且位于O*x*轴与射线AB之间.同理也位于射线BC与射线BA之间.所以位于 (1) 中所述的△ABC的内部 (为叙述方便, 本文约定有些点位于三角形边界上时仍称作位于三角形内部) .
(4) 显然t=tA时, x*O*y*平面上点A的坐标是 (0, 0) .设t=tB时, 对应的x* (t) 为x*0, 因为y* (x*) 在[0, x*0]上可导, 所以由拉格朗日中值定理可知, 至少存在一点ξ∈ (0, x*0) 使, 即点P (ξ, y* (ξ) ) 处的切线与AB平行, 设此处对应的t=tζ.再以AB为O**x**轴, A为原点建立平面直角坐标系O**x**y**.不妨设在坐标系O**x**y**中上述点P (ξ, y* (ξ) ) 对应的α** (tζ) =0, 通过规定O**y**轴正方向总可以使α** (t) =α (t) -α (tA) 为减函数, 且y** (x**) ≥0, 如图3.
显然t=tA时, x**=0, 设t=tB时, x**=x**B, t=tζ时, x**=x**ζ.因为, 所以.又因为α** (t) =α (t) -α (tA) 为减函数, 所以当单调递增;当单调递减.因为y** (x**) ≥0, 所以y** (x**) 的值即) AB上的点 (x**, y** (x**) ) 到O**x**轴的距离, 所以由上述y** (x**) 的增减变化规律可知x**从0到x**B时该距离先增大后减小.也就是说假设有一动点D从A点沿曲线到B点, 则D到弦AB的距离先增大后减小.
(5) 因为位于 (1) 中所述的△ABC的内部且D到弦AB的距离先增大后减小, 所以、弦AB应为如图4所示的弓形.
在图4中可以把想象成一段刚好绷紧的弹性细绳.由于动点D从A点沿曲线到B点时到弦AB的距离先增大后减小 (即D的轨迹偏离弦AB后只是简单地向AC、BC弯曲了一下, 不像图5 (1) 、图5 (2) 那样还存在其他弯曲) , 所以固定A, B两点后要想使贴到折线AC, BC上与AC, BC重合需继续用力 (即图4中的力F) 使弹性细绳伸长 (当然这里的伸长也是非严格的) , 也就是说伸长之后才等于线段AC, BC的长度之和, 即, 所以当为线段时“=”成立) .
好了, 关于内敛曲线的性质讨论至此, 下面来对其弧长的定义进行补充.
五、对内敛曲线弧长定义的补充
再来证明一个引理.
引理三角形中一角趋近于π时, 该角的两邻边之和与其对边之比的极限为1.
证明设△ABC中∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a, b, c, 由余弦定理得:
所以
又因为, 所以由夹逼准则可得, 即.引理证毕.
由引理可知, 任给ε>0, 存在δ'>0 (不妨设使得只要0≤π-∠A<δ'时就有.对于内敛曲线, 因为α (t) 是定义在[a, b]上的连续函数, 从而一致连续, 所以任给δ'总存在δ>0使得只要λ=max (ti-ti-1) <δ时就有, 所以以上关于内敛曲线的 (1) ～ (5) 在这里就能够用了.
如图6, 对内敛曲线上任一小段弧, 设过点Pi-1的切线为Pi-1Pi, 对应的α (t) 为αi-1;过点Pi的切线为PiPi, 对应的α (t) 为αi;Pi-1Pi与PiPi相交于点Pi.则由上一段可知, 只要λ=max (ti-ti-1) <δ就有, 因此又由 (1) ～ (5) 知, 所以1.再由ε的任意性可得从而即 (2) 式成立.因此第二种弧长定义对于内敛曲线是合理的.
六、结论
综合上述, 第一种定义不适用于交叉曲线, 对于不交叉光滑曲线的情形能用, 但证明过程复杂, 所以最好用第二种定义方法.但包括第一、二种定义在内的传统曲线弧长定义中均有一个不可忽视的问题, 所以使用第二种定义时应该有所补充.本文给出了内敛曲线弧长定义的补充, 使得其对应的第二种定义从几何直观更进一步地上升到了理论高度, 但该补充在说明时仍摆脱不了几何直观, 且除了内敛曲线外对其他平面曲线及空间曲线均束手无策.
鉴于以上, 对曲线弧长的定义还需进一步作补充, 希望读者能在这方面贡献自己的力量, 让我们拭目以待.
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.
[2]北大数学系沉燮昌, 方企勤.数学分析 (第二册) [M].北京:高等教育出版社, 1986.
[3]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析 (上册) (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2004.
[4]张筑生.数学分析新讲 (第一册) [M].北京:北京大学出版社, 1990.
[5]周民强.数学分析 (第二册) [M].上海:上海科学技术出版社, 2003.
[6]菲赫金哥尔茨.微积分学教程 (第一卷) (第8版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.
平面曲线 篇2
近年来, 随着我国公路交通基础设施建设的发展, 山区高等级公路建设发展迅速。山区复杂的地理自然环境特征决定了山区公路平面线形的多样性和复杂性。因此, 山区公路选线必须处理好线形与地形、环境及行车要求的关系。
曲线型设计方法是一种新的设计方法, 即根据线形布设的标准要求、线形组合的协调性和均衡性要求、地形地物及环境约束要求, 采用曲线单元 (或曲线组合单元, 或曲线形式) 为主, 选用合理的线形参数来控制路线走向, 确定路线位置, 并进行几何计算和线形绘制, 从而构成流畅连续的以曲线为主体的平面线形。
1 曲线型设计方法的特点
1) 定线过程中, 不再利用导线控制路线的走向, 而是在大比例尺地形图上, 绘制光滑连续的曲线, 或用直线、圆弧来控制路线的位置, 然后利用回旋线光滑连接直线和圆弧或者圆弧和圆弧, 从而构成流畅多变的以曲线为主的组合线形。2) 直线型设计方法中, 直线起控制路线走向的作用, 它是平面线形构成的主要单元。曲线型设计方法中, 直线、圆曲线、缓和曲线被视为同等重要的线形加以利用。3) 曲线型设计方法敷设平面线形能够较好地满足约束条件。4) 采用曲线型设计方法进行线形设计, 能够增进道路线形本身的美观, 增强线形与环境方面的协调性, 同时有利于交通事故的降低。以曲线为主的平面线形, 定线时能够较好地与地形、地物相配合, 减少土石方量。同时曲线能较好地与风景相协调, 使沿线景观优美, 曲线方向富于变化, 驾驶员行车注意力集中, 交通事故减少。
2 曲线型设计方法适用条件
1) 用于山区地形线形布设。2) 地物约束较严格处, 线形布设范围较小, 线位及线形要素的选择相当严格, 应用直线型设计方法时布线灵活性较小, 几何要素确定需反复试算。3) 用于曲线成分占多数的山区高等级公路的平面线形设计。4) 互通式立交匝道线形设计时, 曲线占绝大多数, 曲线组合模式不固定且比较复杂, 此时宜选用曲线型设计方法。
3 曲线型设计方法种类和特点分析
3.1 曲直法
1) 曲直法一方面发挥了曲线型设计方法灵活多变的优点, 另一方面又兼容了我国惯用的导线法, 因而这一方法易于为传统方法的使用者所接受。2) 将人工操作与计算机辅助设计相结合, 在拟定直线和圆弧构成线形骨架过程中, 设计人员易于表达自己的设计意图, 使得线形不仅能满足标准要求, 同时又能较好地满足地形地物及环境约束, 从而保证平面线位的合理性。3) 采用曲直法进行缓和曲线配置, 计算模式简捷, 方便可行。4) 曲直法是一种通用性、灵活性非常强的设计方法, 它不必像直线型设计方法那样, 对每种曲线组合都建立一种独立的数学模型, 而只要变更统一数学模型中各要素的参数值, 即可加以组合。5) 设计过程中存在反复调试的问题, 这是曲直法的一个缺陷。
3.2 拟合法
1) 曲线拟合选用样条函数较好。2) 曲线拟合采用插值的办法较好。3) 拟合曲线应具有几何不变性。4) 选用的拟合方法应具有保形性质。5) 拟合函数应具有简单统一的表达式。
3.3 积木法
1) 曲线组合不受传统线形设计方法中线形组合形式的限制, 线形组合自由、灵活、多变, 常能直接表达设计人员的意图, 所以广为工程技术人员采用。2) 路线布设过程中, 曲线计算只需针对直线、圆弧和缓和曲线三种基本线形进行, 方法简捷、方便、明确, 便于应用计算机进行辅助设计和计算。3) 该方法应在曲线单元初步拟定的基础上进行, 因此, 比较适用于初步设计阶段和施工图设计阶段的平面线形设计。4) 这种方法的最大缺点是平面线形中某一单元位置或参数值的变化将导致整条路线的位置都要发生变化, 曲线需重新计算与敷设, 因而不便于线形的修改与优化。
3.4 综合法
1) 综合法将曲线拟合与线元设计有机结合起来, 具有灵活、方便、易于控制的特点。2) 这种设计方法的核心是两种曲线曲率图之间的转换。3) 三次B样条拟合函数是逼近函数而不是插值函数, 若要求生成的拟合曲线严格通过控制点或经济点, 最好对输入的控制点作一些技巧上的处理或采用三次样条拟合。另外, 曲线敷设和计算也可以采用前述积木法中的直线、缓和曲线、圆曲线单元进行。4) 应用这种方法, 曲线的拟合过程可用于路线或匝道的方案布线, 而在此基础上进行的“Ls+Ly”线元计算过程又能很好地应用于路线施工图设计和施工放样, 因此, 对于公路路线设计而言, 综合法具有较好的应用价值。
3.5 弦切线法
1) 弦切线法采用一系列的直线构筑路线的具体走向和方位, 总体上给人以直观明了的印象, 设计人员操作简单方便。2) 各段弦线对应的曲线类型 (直线、圆曲线和缓和曲线) 的判别, 根据弦线处对应的地形条件, 可借助曲线板或圆规或直尺等工具进行初步拟合, 确定其线形类型。3) 各种曲线类型已知参数值 (如曲率半径等) 可以在地形图上初步拟定。4) 终点或中间点的控制条件会影响到整条路线的几何布置, 因此, 在拟定弦线的过程中, 控制点处弦线的长度及对应的曲线类型, 要根据前后线形的关系慎重确定, 以得到适当的曲线要素值, 减少线形调整的次数。5) 整条路线线位合理与否, 关键取决于各弦线长度、位置及各弦线之间的相互关系, 而这些在线形布置和曲线敷设之前都带有一定的盲目性。
3.6 闭合导线法
闭合导线法具有通用性、简洁性及易于程序操作计算的特点, 容易被技术人员接受, 而成为公路工程及测量工作的一种有用的工具。
闭合导线法尽管借助导线来进行计算, 但就其路线几何布置方式和计算方法而言, 仍然是工程师们在图纸上直接拟定圆弧参数及其组合形式, 因而是一种典型的曲线型设计方法。
由于闭合导线法不适用于带缓和曲线的平面曲线组合, 因此, 这种方法仅能作为公路平面线形设计的一种辅助方法加以运用。
3.7 端点受限法
端点受限法运用“BE3算法”和“BET算法”完全摆脱了导线模式和繁杂的几何推导, 其数学模型简洁、精确、统一和通用。同时解决了线形参数自动求解计算和线形自动定位计算这两类主要设计计算问题, 便于应用和交互式图形CAD软件开发, 而不必关心所设计线形的组合形式的复杂性, 从而提高了设计的自动化水平。
3.8 BP神经网络法
BP神经网络能很好地逼近和模拟线位约束条件与线形参数之间的依存关系, 由输出结果所得到的线形可很好地逼近所给的控制点位。因此, BP神经网络方法是一种用于平面布线的快速、有效的辅助方法。当然, 应用这种方法的前提和关键是选取合适的样本集来训练BP网络。
3.9 基于事例推理法 (CBR法)
应用CBR法的前提和关键是选取典型的、全面的事例以构成较完善的事例库。BP神经网络方法和CBR方法体现了人工智能原理和方法, 将别人的设计经验以样本集或事例库的形式保存下来, 以便于指导相似的设计, 减少甚至避免人工多次试探和调整, 从而提高设计的自动化、优化和智能化水平。
3.10 圆弧移动法
圆弧移动方法作为曲线型设计方法的有效辅助手段, 易于在交互式图形CAD软件系统中实现, 充分发挥交互式图形设计功能, 以辅助各种曲线型设计方法的应用, 减少设计中的盲目性, 从而较大地提高设计效率。
4 结语
采用曲线型设计方法进行山区公路选线, 可以更好的处理线形与地形、环境及行车要求的关系。应根据曲直法、拟合法、积木法、综合法、弦切线法、闭合导线法、端点受限法、BP神经网络法、基于事例推理法、圆弧移动法等不同曲线型设计方法的特点合理采用不同方法, 提高在山区公路平面选线质量。
摘要：指出曲线型设计方法能够增进道路线形本身的美观, 增强线形与环境方面的协调性, 同时有利于交通事故的减少, 介绍了山区公路平面线形曲线型设计方法与传统直线型设计方法的不同, 对十种不同曲线型设计方法的适用条件和特点进行了分析, 从而提高山区公路平面选线质量。
关键词：山区公路,平面线形,曲线型,设计方法,特点
参考文献
[1]吴国雄.立交平面线形设计的一种曲线型辅助设计方法——积木法[J].重庆交通学院学报, 1994, 13 (2) :45-47.
[2]杨少伟, 张乃苍.公路平面线形设计方法的研究[J].中国公路学报, 1993, 6 (5) :95-98.
[3]刘晓峰, 齐庆宝, 王文朝.公路平面线形设计的线元组合法[J].公路, 2003 (10) :13-16.
[4]李振.曲直法在立交匝道平面线形设计中的应用[J].中南公路工程, 2002, 27 (2) :23-26.
[5]缪, 詹振炎.基于直线约束的道路线形设计通用方法[J].中国公路学报, 2002, 15 (3) :45-47.
[6]吴国雄, 陈欣斗.道路立交平面线形圆心连线闭合导线设计法[J].重庆交通学院学报, 2003, 22 (4) :48-50.
平面曲线 篇3
关键词：宏程序,平面曲线,数控铣床,手工编程
具有任意平面曲线轮廓的零件广泛应用于机械行业中,常见的平面凸轮轮廓曲线,多数情况下就是任意平面曲线,以满足各类从动件运动规律的要求,如图1所示。
一般数控铣床都只具备直线插补G01和圆弧插补G02/G03功能,对于非直线和非圆弧的任意平面曲线y=f(x)轮廓,由于常用数控铣床不具备此类插补功能,导致该类曲线采用手工编程,实际加工极其不便。
因此,如何采用手工编程,在数控铣床上加工出任意平面曲线轮廓,以满足不同生产需要,就成了一个亟待解决的实际问题。
1 常规手工编程加工
1.1 数学基础
设平面任意曲线的方程为y=f(x),单调、连续,起点为A1(X1,Y1),曲线终点为An(Xn,Yn),如图2所示。
由于曲线y=f(x)为欲加工零件的轮廓曲线,故此,可从零件图尺寸标注获得A1(X1,Y1)和An(Xn,Yn)。
将曲线的某一坐标轴(此处为X轴)划分为n等份,每等分长度为△X。
上式中,等号右边所有参数为已知,故可求出△X。
由此可得A2点的坐标,以此类推,第i个点的坐标可计算为:Xi=X1+(i-1)△X,Yi=f(Xi);(i=1,2,….),曲线上所有相应节点的坐标均可获得。
1.2 折线逼近
将获得的相邻节点联成直线,用这些直线组成的折线代替原来的轮廓曲线,采用直线插补方式(G01)编程[1]。
显然,节点越少,间距△X就越大,产生的误差也越大。假设节点足够多,即n取到足够大,使得逼近误差小于等于零件公差的1/5,则逼近误差就不会影响到零件的加工精度。
1.3 编程特点
此种方式编程如果不借助其他辅助工具,将会使得计算工作量剧增,造成大量的时间浪费;另外,如果要达到加工要求,n就应该取到足够大,会使程序段过长,导致编程成本增加。
2 借助计算机绘图软件的手工编程加工
借助CAXA、AutoCAD等计算机绘图软件,可以大大减少人工计算工作量。
可将欲加工曲线用绘图软件画出,采用1.1节中的思路求出△X,然后采用软件的查询功能,就可很快获得各个节点坐标,将这些点的坐标记录下来,如图3所示,最后采用折线逼近的方式,用G01编程即可。
此种方式较之前一种方式极大地减少了计算工作量,但是为满足加工精度要求,n必须取到足够大,仍然无法解决程序段过长的缺陷。
3 采用宏程序手工编程加工
3.1 宏程序理论
宏程序是指一组能实现某一功能的指令体或程序块,可以作为子程序存放在存储器中,主程序需要时可使用呼叫子程序的方式随时调用。其主要特点是宏程序中有变量,能实现变量赋值、运算、判断、转移等功能[2]。编写宏程序时,可以根据工件加工要求用变量替代相关尺寸,加工时由主程序输入相应数据对变量赋值,与主程序配合完成加工过程。
宏程序常用于成组工艺(GT),一般归纳相似的工件为一组,每组使用变量组成宏程序体,然后针对这一组工件,只要把实际值赋予变量,就不必一一编程了。如在图4中,可以使用#501-#504四个变量组成宏程序体,加工不同尺寸的工件时,不必修改宏程序,只需要把实际值设定到变量#501-#504中即可。
本处以FANUC-0i MA系统为例,对已知平面曲线方程的任意平面曲线进行编程插补。宏程序用G65调用,用M99表示宏程序结束并返回主程序[3]。
3.2 宏程序参数设定及程序编制
3.2.1 参数设定
如图2所示,曲线方程为y=f(x),单调、连续,设刀具初始位置在x=0,y=0处,进给量为F(#9),则令#500=X1,#501=Y1,#502=Xn,#503=Xi,#504=Yi,#505=X,#506=n。
3.2.2 流程编制
按照程序编制思路,设计流程图如图5所示。
3.2.3 宏程序编制
依据流程图,编写宏程序如下:
此处应注意,N150句中的F[#503]是一个抽象的函数表达式,应根据所加工的实际曲线表达式作相应更改,否则在执行程序时,机床会报警。
3.2.4 应用实例
假设要加工曲线y=x2,则上述宏程序中只要将N150改写为“N150#504=#503×#503;”即可。刀具初始位置在x=0,y=0处,不考虑刀具补偿值。
设X的取值范围为0～10,取n=100,F=120mm/min。
主程序如下:
3.2.5 编程特点
此种方式和前两种比较,改变了由编程人员手工计算坐标点慢、繁的状况,计算工作量大幅减少,不论n的取值如何,都不会增加程序段长度,程序变得十分简便。
4 结论
通过以上3种方法比较,采用宏程序手工编程加工平面任意曲线有极大的优势。即使是最廉价的机床数控系统,其内部程序存储空间也有10k B左右,完全能容纳任何复杂的宏程序。将上述宏程序存入数控系统中,在实际加工时只要确定曲线方程,对宏程序稍作更改,在主程序中给变量赋值,便可由主程序调用,实现对任意平面曲线的插补加工,但其精度主要取决于△X。这样,不必再进行复杂的数学运算,使主程序的编制过程非常简单,节省了大量的人力、物力。
参考文献
[1]周德俭.数控技术[M].重庆:重庆大学出版社,2001:35.
[2]嵇宁.数控加工编程与操作[M].北京:高等教育出版社,2008:145-152.
平面曲线 篇4
在第二型曲线积分的研究过程中曾介绍过有的积分值与所沿的积分路径有关, 而有的积分值则与积分路径无关, 那么究竟在什么条件下才能保证曲线积分的值与所沿积分路径无关, 而只依赖于始点和终点呢 (简称曲线积分与路径无关) ?
2 平面曲线积分与路径无关的等价条件
定理[1]若函数P (x, y) , Q (x, y) 在区域D上有连续的偏导数, D是单连通区域, 那么以下四个条件相互等价:
(1) 对D内任一条简单的逐段光滑的闭曲线C, 有
(2) 对D内任ÁÁ一条逐段光滑的曲线L, 曲线积分
与路径无关 (只依赖曲线的端点) ;
(3) 在D 是某一函数的全微分, 即存在一个可微函数U (x, y) , 使得
注: (1) D为单连通区域; (2) P与Q在D内有一阶连续偏导数。
3 平面曲线积分与路径无关的等价条件的应用
3.1 利用曲线积分与路径无关的等价条件计算曲线积分
通过上面定理的阐述, 显然知道, 如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足与路径无关的条件, 我们可以将积分路径改变, 使其更易于
计算. (x1y) dx (x1y) dy
设L1为由A (0, -1) A (0, -1) 到B (1, -1) , 再到C (1, 1) , 最后到D (0, 1) 的折线段 (如图1) 。
为 和 在包含 L和 L1的某个单连通闭区域(不含 曲线积分与路径无关的条件，所以 (, ) 1 ( , 0)
注:虽然沿y轴从 (0, 1) 到 (0, 1) 的路径L2时, 积分变得非常简单, 但本题不可选用, 这是因为P (x, y) 和Q (x, y) 在任何包含L和L2的单连通闭区域D上都不满足曲线积分与路径无关的条件。
3.2 利用曲线积分与路径无关的等价条件求未知函数
例 2 设 存在连续，且 ，已知对任一简 单光滑闭曲线 C，有 ，求 和
解由题设知, 所考虑的积分与路径无关
即
整理为
把上式看成y的多项式, 比较系数得
解得
3.3 利用曲线积分与路径无关的等价条件解决原函数问题
一般地, 若在区域D内有 , 则对区域D内任意两点MÁ (xÁ, y) Á与M (x, y) , 有yx
例3求全微分 (3xÁ2xy yÁ) dx (xÁ2xy3yÁ) dy的原函数U (x, y)
显然, 它们在R2连续, 从而, 曲线积分与路线无关.
所以, 存在定义在整个坐标平面上的函数U (x, y) , 使得
为便于计算, 取 (xÁ, yÁ) (0, 0) , 于是 (x, y) RÁ, 有
即原函数
U (x, y) xÁxÂy xyÂyÁc (c为任意常数)
3.4 利用曲线积分与路径无关的等价条件解微分方程
由定理知, 曲线积分与路径无关, 从而全微分方程P (x, y) dx Q (x, y) dy 0的通解为U (x, y) cvfg
例4解微分方程 (4xÁ10xyÁ3yÂ) dx (15xÃyÃ12xyÁ5yÂ) dy0
解记
由定理可知 在整 个 平面区域上是某函数 的全微分，同时 与积分路径 ÁÁÂÃÃÁÂ (4 x10 xy3 y) dx (15x y12xy 5 y) dy xoy U ( x, y) U (x, y) 无关。取 ，并应用公式得ÁÁ ( x, y) (0, 0)
于是得已知微分方程的通解为
结束语
本文主要给出了曲线积分与路径无关的等价条件, 若已知四个条件中的其中一个, 则其余三个条件便全部成立, 并具体的阐述了该四个等价条件在不同条件下的应用[2,3,4,5,6], 同时通过具体的例子说明它在解决相应问题时具有简便快捷的优点。
摘要：给出了曲线积分与路径无关的四个等价条件, 并结合具体实例说明该四个等价条件在不同条件下的四种应用, 即利用曲线积分与路径无关计算积分;利用曲线积分与路径无关求未知函数;利用曲线积分与路径无关解决原函数问题;利用曲线积分与路径无关解微分方程, 同时体现了它在解决相应问题时具有简便有效的特点。
关键词：曲线积分,路径,单连通区域,连续偏导数,可微函数
参考文献
[1]朱培勇, 黄家琳.数学分析 (下) [M].成都:四川大学出版社, 2002.
[2]鲁志坚.对一道习题的讨论[J].玉溪师范学院学报, 1992, 05 (1) :1-4.
[3]钱吉林等.数学分析题解精选[M].北京:崇文书局出版, 2003.
[4]刘玉琏, 刘伟等.数学分析讲义练习题选解[M].北京:高等教育出版社, 1996.
[5]Qu Guolin.One Type of Curvilinear Integral Irrelevance with Path[J].journal of jianghan university, 2000, 03 (1) :1-4.
平面曲线 篇5
1指数分布
指数分布是数理统计中最重要的连续性分布之一, 它是一个随机变量只可能取非负实数的分布,所以指数分布常被称为“寿命”分布. 诸如电子原件使用寿命, 动物的寿命,通话时长等都可以假定服从指数分布.[1]
指数分布的概率密度函数如下:
在不同的教材有不同的写法,,因此概率密度函数,分布函数和期望方差有两种写法。
2 Auto CAD.NET二次开发及其可视化技术
众所周知,对Auto CAD进行二次开发用到的主要工具有Object ARX、VBA和Lisp,但它们的优缺点是显而易见的:Object ARX功能强大,编程效率高,但它的缺点是编程者必须掌握VC++,而这门语言非常难学; VBA和Lisp虽然简单易上手,但它们对于开发大型的程序好像无能为力。而.NET则结合了VC++ 功能强大与VBA易用的特点,可以非常快速地开发出功能强大的Auto CAD程序[3]。因此,在综合各种二次开发工具的特点后,决定使用Auto CAD.NET进行二次开发[3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]。
先简单介绍Auto CAD数据库的基础知识。Auto CAD数据库至少包含9个符号表(块表、层表、文字样式表、 线型表、视图表、UCS表、视口表、注册应用程序表、 标注样式表)。一个表可能包含多条记录,也可能不包含任何记录。
实体包含在块表记录中,要创建一个图形对象,需要遵循下面的基本步骤:
1)得到创建对象的图形数据库。
2)在内存中创建实体类的一个对象。
3)打开图形数据库的块表。
4)打开一个存储实体的块表记录(通常绘图都在模型空间进行),所有模型空间的实体都存储在块表的 “模型空间”记录中。
5)将该对象添加到块表记录中。
把实体存储在“ 模型空间” 记录中后,打开Auto CAD,装载被写入程序的dll文件,然后就能在我们常见的Auto CAD模型空间中看到我们编写的实体了。
3程序结构
程序结构总结起来,可以分为五步(如图1)。
4图形的生成
根据不同曲线的参数方程,生成的图形也有所不同。
1)X方向为指数分布Y方向为均匀分布。
此时并不构成曲线,图形如图2。
X方向为均匀分布Y方向为指数分布的图形类似, 不再赘叙。
2)X方向为指数分布Y方向为指数分布。
此时并不构成曲线,图形如图3。
3)圆。
圆的参数方程为:
生成的图形如图4。
4)椭圆。
椭圆的参数方程为:
生成的图形如图5。
5)双曲线。
双曲线的参数方程为:
生成的图形如图6。
6)心形线。
心形线的极坐标方程为:
生成的图形如图7。
7)阿基米德螺旋线。
阿基米德螺旋线的极坐标方程为:
生成的图形如图8。
8)伯努利双纽线。
伯努利双纽线的极坐标方程为:
生成的图形如图9。
9)三叶玫瑰线。
三叶玫瑰线的极坐标方程为:
生成的图形如图10。
5结论与展望
本文展示了基于指数分布的一系列常见平面曲线的二维随机平面点的图案,对工业产品图案设计方面具有一定的参考价值。笔者将在后续的研究中,继续挖掘其中各细节的知识点,期待能对图形可视化的应用领域做出一点贡献。
摘要：指数分布常被用来描述世界上实体的寿命,从广义上讲,也可以用来描述能量的耗散。本文采用Auto CAD.NET的二次开发技术把二维平面点的可视化问题从非随机点扩展到随机点,并使用指数分布尝试模拟质点运动轨迹中受到某场的作用而产生能量的耗散。
关键词：指数分布,二维随机平面点,可视化,AutoCAD.NET
参考文献
[1]文小波.指数分布在截尾数据下参数的区间估计[J].佳木斯大学学报,2014,32(6):960-961.
[2]吴松飞,刘晓.双截尾指数分布的统计性质[J].绵阳师范学院学报,2012,31(2):13-15.
[3]曾洪飞,卢择临,张帆.Auto CAD VBA&VB.NET开发基础与实例教程[M].2版.北京:中国电力出版社,2008.
[4]李冠亿.深入浅出Auto CAD.NET二次开发[M].北京:中国建筑工业出版社,2012.
平面曲线 篇6
Hilbert曲线是由意大利数学家Peano于1890年提出,德国数学家Hilbert于1891年首先给出了构造这种填充曲线的几何过程[1]。Hilbert曲线已有广泛的应用,例如在图像存储和检索,空间数据库索引等领域得到了成功的应用。近年来,Hilbert曲线应用于高质量数控加工的刀具路径规划方面被很多学者提出和研究[2]。因此研究Hilbert曲线有重要的理论意义和应用价值。
对于Hilbert曲线的生成,经典算法大部分是按照Hilbert本人初始的思想不断的四分一个正方形区域,从始点到终点递归地计算画线的位置的过程。这些方法比较抽象,编程实现繁琐[3]。针对这一缺陷,后来有学者提出了用矩阵变化的方法[4]来描述生成该曲线,该方法简单易于编程。本文针对矩阵法描述生成的平面Hilbert曲线特点设计了映射算法,将它在设计曲面上进行了空间矢量化,从而实现了不同阶次Hilbert曲线在自由曲面上的映射图。
不管用什么方法生成的平面Hilbert曲线,如何将它进行有效的映射,使它的应用可以扩展到空间区域也是非常有意义的研究,本文针对矩阵法描述生成的平面Hilbert曲线特点设计了映射算法,将它在设计曲面上进行了空间矢量化,从而实现了不同阶次Hilbert曲线在自由曲面上的映射图。
1 平面Hilbert曲线的矩阵法描述
Hilbert曲线的定义是通过正方形逐次分割的标号次序给出的,例如,一单位正方形,可将其逐级分割为4个相等的小正方形,图1(a)和图1(b)分别为一、二级分割所得到的结果,依次类推,每个自然数k,对k-1次分割再做细分割,即得到4k个k级正方形,每个正方形的边长为1/2k,可记这些正方形为Qi(k),(i=1,2,…,4k),且它们的标号次序满足以下条件:
(1)每级Qi(k)包含点O(0,0);(2)k级正方形Q4i-3(k),Q4i-2(k),Q4i-1(k),Q4i(k)包含在k-1级的正方形Q i(k-1)中,k>1,i=1,2,…,4k-1;(3)任何下标为连续整数的正方形Qi(k)与Qi+1(k)具有公共边。将以上标号按从小到大的顺序,用折线连接每个小正方形的中心点就得到了Hilbert曲线,如图1(c)和图1(d)所示。
记2n阶Hilbert曲线矩阵为,则可构造如下的Hilbert曲线矩阵的递推算法。
其中,E代表相应阶数的单位矩阵。根据该递推公式,每一阶的Hilbert曲线都可以表示出来,生成如图1(a),1(b)所示的数字阵列,把其数字按从小到大的顺序连线,即可得到不阶次的Hilbert曲线。
2 平面Hilbert曲线向自由曲面的映射
2.1 自由曲面的描述[5,6]
随着曲面造型技术发展,曲面的表达有许多表示方法,其中参数曲面是应用最多的一种,比如Bezier曲面、NURBS曲面等,都是采用参数形式表达的,能很好地描述自由曲面。本文以Bezier参数曲面为例来说明,对于其它参数曲面可类似处理。曲面上的点与平面参数域内的点的映射关系如图2所示。
2.2 映射算法的构建
图2所示参数曲面的形成,是平面参数区域(u,v)上经过中间映射变换而得到,而平面Hilbert曲线可看成是在平面区域(x,y)上的图形,这样正确的空间矢量化即满足如下的对应关系:Q(x,y)→X(u,v)(映射);X(u,v)→P(u,v)(映射);映射的思想为:让Hilbert填充曲线的参数域Q沿着设计曲面选取u,v的值,通过映射X将曲线绘制在空间曲面上。将其实现过程进行总结,构建的程序流程框图如图3所示。
3 举例
给定一个Bezier曲面,其控制顶点如下:
用matlab编程得到的曲面如图4(a)所示,用以上映射算法编程得到的各阶曲线映射结果如图(b),(c),(d)所示。图4的仿真结果证实了构建算法是可行的。
4 结论
本文对矩阵变换描述Hilbert曲线的生成方法进行了分析,结合自由曲面的形成过程,建立了曲线和曲面间的关系;构建了相应映射算法,使不同阶次Hilbert曲线可以绘制在设计的自由曲面上;以Bezier曲面为例详细说明了将平面Hilbert填充曲线空间矢量化的方法,以得到它在曲面上的映射,映射仿真的实例结果证实了构建算法的可行性;这为Hilbert曲线的应用扩展到空间曲面提供了方法指导,具体应用还要结合实际问题。
参考文献
[1]陈宁涛,王能超,陈莹.Hilbert曲线的快速生成算法设计与实现[J].小型微型计算机系统,2005,10(26):1755-1757.
[2]Griffiths J G.Tool path Based on Hilbert’s Curve[J].Computer-AidedDesign,1994,26(11):839-844.
[3]肯尼思.法尔科内著,曾文曲,刘世耀,高占阳译.分形几何——数学基础及其应用[M].沈阳:东北大学出版社,2001.
[4]Sagan H.On the geometrization of the peano curve and thearithmetization of the Hilbert curve[J].Mathematical Education in science andTechnology,1992,23(3):403-411.
[5]刘壮,张乐年.曲面造型技术综述[J].计算机辅助设计与制造,1999(5):243-249.
平面曲线 篇7
1 基础条件
首先应安装数字地质调查系统软件MemapGIS, 在根目录下建立Rgmapping文件夹, 并生成一个图幅, 如5万图幅, 所有的数据文件操作都在该图幅文件里完成, 方便查询和应用。安装成功后在数字填图桌面系统的数据综合处理菜单中提供了“地球化学平面剖面图”和“地球物理的平面剖面图”功能, 生成的平面剖面图文件分别存放在地球化学和地球物理两个文件夹里面。现以“地球化学平面剖面图”为例进行演示。
2 数据准备
在实际的地质矿产调查工作中, 各种数据文件类型以Excel格式文件为主, 以1∶2千土壤化探剖面数据为例, 文件格式为Excel格式。同时本系统也支持TXT文本格式, 还有系统自带的测线数据文件和点文件格式, 该类文件需附有属性。
首先将所需的野外和室内数据整理成图1土壤地球化学数据表的样式, 包括线号、点号、采样间距X1、采样间距Y1 (以采样方位为正向) 、采样横坐标X2、采样纵坐标Y2、高程H、分析结果Au、As等。
3 操作步骤
3.1 图幅库建立
本数据和图件的操作与生成均在图幅库里完成, 如果没有图幅库需要新建一个。打开数字填图→选择图幅工作→1/50000图幅选择 (可以任选) →选择省份 (可以任选) →选择图幅 (可以任选) →建立图幅库 (图2图幅库建立) 。
3.2 展点
将具二维坐标数据的点文件 (Excel格式或TXT格式) 转换成MapGIS点文件格式, 如野外采集的某类地质坐标点, 投影到MapGIS工程图件中。
参数设置→其他数据格式→选择文件→土壤地球化学数据.xls→X坐标 (数学坐标系) 选择横坐标X2, Y坐标选择纵坐标Y2→点号字段选择点号→测线号字段选择线号→选择分析字段选择Y1 (数值为0) →数据取对数方式选择数据本身→测线标注方式选择取整数标注→参数设置选择显示原始采样点→剖面图比例尺 (或平面图比例尺) →其他不变 (图3) →下一步→完成 (图4) 。生成文件的存储路径: 盘符:RgmappingJ48E024008数字填图地球化学Y1_CHEM_OTH_PROFILE2D.WT。该点文件为由Excel数据文件转换成的MapGIS点文件。
实际应用过程中, 可以通过不断的调整X坐标、Y坐标来选择不同的数值, 同时要保持分析字段的数值为0, 填写所需的比例尺, 就可以生成所需点位置的点文件。
3.3 曲线制作
曲线制作的过程同展点过程基本相同, 都是通过设置参数来实现的。参数设置→其他数据格式→选择文件→土壤地球化学数据.xls→X坐标 (数学坐标系) 选择横坐标X1, Y坐标选择纵坐标Y1, →点号字段选择点号→测线号字段选择线号→选择分析字段选择要制作成线的数据, 如Pb×10-6 (分析结果) →数据取对数方式选择数据本身 (或其他) →测线标注方式选择取整数标注和→参数设置选择显示原始采样点或显示结果点→剖面图比例尺 (或平面图比例尺) →纵比例尺为1 (或其他比例尺) →旋转角度为0 (或其他角度, 如方位角) →其他不变→下一步→完成。生成文件的存储路径:盘符: RgmappingJ48E024008数字填图地球化学Pb 10-6_CHEM_OTH_ PROFILE2 D.WTWLWP。
将所需要的点、线、区文件提出, 根据需要进一步在工程文件中编辑和修改。曲线的生成每次只能是一条, 如果想将曲线进行叠加, 则需要分别生成线, 然后再添加到工程文件中即可。同展点一样, 根据实际生产工作的需要, 可以通过不断的调整X坐标、Y坐标和分析字段来选择不同的数值, 同时还可以选择不同的剖面图比例尺、纵比例尺和角度, 来制作出满足工作图件需要的图件。
关于参数设置里面的分析结果点子图、分析结果曲线等, 是可选编辑项, 可以根据实际需求或图件的美观去编辑它们, 也可以后期去整理编辑。
4 总结
以上是利用数字填图系统“平面剖面图”功能进行的展点和制作曲线过程, 重在里面的原理和方法, 如果遇到展点或制作其他类似的曲线时, 就可以用该方法, 该方法简单易操作, 生成的图件精确度较高, 可以满足较高质量要求的图件。掌握了该方法的原理后, 还可以拓展应用到更多的方面。
数字填图系统里还有很多的功能, 当MapGIS软件无法实现的时候, 可以考虑用该软件来实现, 两者是互补的。
参考文献
[1]中国地质调查发展研究中心.《数字地质填图系统》数字填图用户操作指南[M].北京:中国地质调查发展研究中心, 2007.
[2]中国地质调查发展研究中心.《矿产资源调查野外数据采集系统》MEMAPGIS用户操作指南[M].北京:中国地质调查发展研究中心, 2007.