曲线积分

曲线积分（精选5篇）

曲线积分 篇1

1. 引言

函数是近代数学的奠基石, 是微积分理论的最基本的载体. 我们通常讨论的函数都是在直角坐标系下, 但也需要研究弯曲空间中的数学. 本文所讨论的曲线函数及其微积分可以为研究弯曲空间的相关问题做好铺垫.

2. 曲线函数

定义1设xOy面上一曲线L, 在L上任取一点M作为基点, 并规定L的正方向, 则曲线L的参数方程为其中s为弧长参数 ( 或称自然参数) . 设函数z = f ( x, y) 为定义在L上的二元函数, 则z = f ( φ ( s) , ψ ( s) ) =g ( s) 称为定义在曲线L上的曲线函数. 其中s称为自变量, z称为因变量.

由定义1可知, 当曲线L为与x轴平行或重合的直线时, 上述函数即为一元函数z = g ( x) .

曲线函数的极限和连续与一元函数y = f ( x) 类似.

3. 曲线函数的导数

定义2设z = g ( s) 为定义在曲线L上的曲线函数, s0为L上任意一点, 给s一个增量Δs, 则沿着曲线L, z相应地也有一个增量Δz. 若存在, 则称曲线函数z = g ( s) 在s0处沿曲线L可导, 并称该极限值为曲线函数z = g ( s) 在s0处的导数. 记作

曲线函数的导数的定义式也可表示成

由定义2可知, 当曲线L为x轴或与x轴平行的直线时, 上述定义即为一元函数z = g ( x) 的导数g' ( x) .

曲线函数的导数的性质和微分与一元函数类似.

此外, 我们可导出n维空间曲线相应的曲线函数和曲线函数的导数.

4. 曲线函数的微分中值定理

由极值的定义和曲线函数的导数的性质可得出:

定理1设曲线函数z = g ( s) 在s0的某邻域内有定义, 且在s0处的导数存在. 若点s0为z = g ( s) 的极值点, 则必有g's ( s0) = 0.

由一元函数的罗尔中值定理的证明过程和定理1可得出:

定理2若曲线函数z = g ( s) 满足以下条件:

( ⅰ) 曲线函数z = g ( s) 在闭区间[a, b]上连续;

( ⅱ) 曲线函数z = g ( s) 在开区间 ( a, b) 内的每一点的导数存在;

( ⅲ) g ( a) = g ( b) ,

则至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得g's ( ξ) = 0.

此外, 我们还可由定理2得出与曲线函数相对应的拉格朗日中值定理和柯西中值定理:

定理3若曲线函数z = g ( s) 满足以下条件:

( ⅰ) 曲线函数z = g ( s) 在闭区间[a, b]上连续;

( ⅱ) 曲线函数z = g ( s) 在开区间 ( a, b) 内的每一点的导数存在,

则至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得

定理4若曲线函数f ( s) 和g ( s) 满足以下条件:

( ⅰ) 曲线函数f ( s) 和g ( s) 在闭区间[a, b]上均连续;

( ⅱ) 曲线函数f ( s) 和g ( s) 在开区间 ( a, b) 内的每一点的导数均存在;

( ⅲ) 对于任意的s∈ ( a, b) , g's ( s) ≠0;

( ⅳ) g ( a) ≠ g ( b) ,

则至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得

5. 曲线函数的积分

( 1) 广义第一型曲线积分

我们先来定义曲线的方向.

定义3若曲线沿s递增的方向, 则称为正向曲线.反之, 称为负向曲线.

按定积分的定义, 记号只有当a < b时才有意义, 但通过以下规定:

( 2) 广义第一型曲线积分的牛顿 ( Newton) —莱布尼茨 ( Leibniz) 公式

有一元函数的牛顿 ( Newton) —莱布尼茨 ( Leibniz) 公式和曲线函数的定义可得出:

定理5若曲线函数z = g ( s) 在闭区间[a, b]上连续, 则1

其中G ( s) 为g ( s) 的一个原函数, G ( s) 对应的二元函数为F ( x, y) , 且称F ( x, y) 为f ( x, y) 在曲线上的一个原函数.

1式称为广义第一型曲线积分的牛顿 ( Newton) —莱布尼茨 ( Leibniz) 公式.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析:第三版上册[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[2]华东师范大学数学系.数学分析:第三版下册[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[3]同济大学数学系.高等数学:第六版上册[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[4]同济大学数学系.高等数学:第六版下册[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[5]梅向明, 黄敬之.微分几何[M].北京:高等教育出版社, 1988.

[6]罗毅平, 马智杰, 封蒋花.曲线导数的定义及一些性质[J].湖南工程学院学报, 2006, 12, 16 (4) :62-64.

曲线积分 篇2

一.曲线积分的计算方法与技巧

计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。

例一．计算曲线积分ydxxdy,其中L是圆x2y22x(y0)上从原点

LO(0,0)到A(2,0)的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

1xxx,L由OA,x由02,dydx.解1：OA的方程为222xxy2xx,2[2xxydxxdy2x(1x)2xx202L0]dx

x2xx220x(1x)2xx2dx2x(1x)2xx20dx

24400.分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为x.因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2：在弧OA上取B(1,1)点，yyy,L由OB,y由01,dxOB的方程为dy.221yx11y,yyy,L由BA,y由10,dxBA的方程为dy.221yx11y,ydxxdy(L01y21y211y)dy(120y21y211y2)dy

210y21y2dy2101ydy2021y21y2dy2y1y210210y21y2dy

2(110)0.分析：解2是选用参变量为y,利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。不同的是以y为参数时，路径L不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。

解3：OA的参数方程为x1cos,ysin,L由OBA,由0，dxsind,dycosd.ydxxdy[sin(1cos)cos]d20L0[coscos2]d

1(sinsin2)00.2解4：OA的极坐标方程为r2cos,因此参数方程为

xrcos2cos2,dyrsin2sincos,L由OBA,由dx4sincosd,dy2(cos2sin2)d.22222[8sincos4cos(cossin)]dydxxdy020，L213142[3cos24cos4]d4(34)0.022422 分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解5：添加辅助线段AO，利用格林公式求解。因Py,Qx,QP110,于是 xyLAOydxxdy0dxdy，D而AOydxxdy0dx0, 2 故得ydxxdyLLAOAO0.分析：在利用格林公式P(x,y)dxQ(x,y)dy(LDQP)dxdy将所求曲线xy积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但P,Q必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。L是D的正向边界曲线。解5中添加了辅助线段AO,使曲线LAO为正向封闭曲线。

解6：由于Py,Qx,QP1,于是此积分与路径无关，故 xy(2,0)(0,0)ydxxdyLOAydxxdyydxxdy0dx0.02

QP,xy分析：由于P,Q在闭区域D上应具有一阶连续偏导数，且在D内因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在L上的积分为在OA上积分，注意O点对应L的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。

解7：由全微分公式ydxxdyd(xy)，ydxxdyL(2,0)(0,0)d(xy)xy(2,0)(0,0)0.分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。例二．计算曲线积分(zy)dx(xz)dy(xy)dz,其中C是曲线

Cx2y21,从z轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针的。xyz2,解1：设表示平面xyz2上以曲线L为边界的曲面，其中的正侧与L的正向一致，即是下侧曲面，在xoy面上的投影区域Dxy：x2y21.由斯托克斯公式

dydzdzdxdxdy(zy)dx(xz)dy(xy)dz xyzCzyxzxy 2dxdy2dxdy2.Dxy解2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出

coscoscos(zy)dx(xz)dy(xy)dzdS xyzCzyxzxy(002cos)dS，而平面：xyz2的法向量向下，故取n{1,1,1},cos于是上式13,23dS23x2y211(1)21dxdy2.分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积

dydzdzdxdxdy分计算的。在利用斯托克斯公式PdxQdyRdz计算时

xyzLPQR首先应验证函数P,Q,R在曲面连同边界L上具有一阶连续的偏导数，且L的正向与的侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。

解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设xcos,ysin,则z2xy2cossin,从20.C(zy)dx(xz)dy(xy)dz

[(2cos)(sin)(2cos2sin)cos

20(cossin)(sincos)]d

[2(sincos)2cos2cos2]d

02[2sin1cos2]d2.02x2y2z2R2,例三．计算(xy2z)ds,其中为曲线xyz0.22(1)(2)4 解1：由于当积分变量x,y,z轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分与弧的方向无关，故有

1R2222xdsydszds3(xyz)ds3ds.222由曲线是球面x2y2z2R2上的大圆周曲线，其长为2R.故

(x2y2)ds224R2RR3.33由于关于原点对称，由被积函数为奇函数，得 zds0.于是

4322(xy2z)dsR.3解2：利用在上，x2y2z2R2，原式(x2y2z2z22z)dsR2dsz2ds2zds

R2再由对称性可得zds，于是 2R（同解1）

32R242R20R3.上式R2R332分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中，当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采用此法进行计算常常是有效的。

例四．求(x1)2ydxxdyy21上在上半平面内从,其中L为椭圆曲线229xyLA(2,0)B(4,0)的弧。

解：添加辅助线 l为x2y22的顺时针方向的上半圆周以及有向线段AC,DB，其中是足够小的正数，使曲线x2y22包含在椭圆曲线(x1)2y21内。由于 9xyx2y2(2，)(2)22222xxyyxy(xy)由格林公式，有LAClDB0.5 设ysin,xcos,有

lydxxdy2sin22cos2d,222xy0

再由ACydxxdyydxxdy0,0.于是 2222xyxyDBLydxxdyydxxdy.2222xylxy分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在(0,0)点附近Pyx 无定义，于是采用在椭圆内部(0,0)附近挖去一个小圆，,Qx2y2x2y2使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。

例五．求八分之一的球面x2y2z2R2,x0,y0,z0的边界曲线的重心，设曲线的密度1.解：设边界曲线L在三个坐标面内的弧段分别为L1,L2,L3,则L的质量为

mdsds3LL2R3R.42设边界曲线L的重心为(x,y,z)，则

x11xds{xds0dsxds} mmLL1L2L322Rxxdsx1()2dx mL1m0R2x22RR2R22xdxRxm0mR2x2R0

2R22R24R.3mR32由对称性可知xyz4R.3 6 分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。在计算上要注意将曲线L分成三个部分：L1:y0,0xR,zR2x2,L2:z0,0xR,yR2x2，L3:x0,0yR,zR2y2.另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可xyz简化计算。

二.曲面积分的计算方法与技巧

计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第一类曲面积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类曲面积分转化为求二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围区域上的三重积分等。

例六．计算曲面积分zdS,其中为锥面zx2y2在柱体x2y22x内

的部分。

解：在xOy平面上的投影区域为D:x2y22x，曲面的方程为

zx2y2,(x,y)D.222x2y2dxdy.因此 zdSx2y21(zx)(zy)dxdyDD对区域D作极坐标变换域D:xrcos,则该变换将区域D变成(r,)坐标系中的区

ysin,2(r,)2,0r2cos,因此

2cosDx2y2dxdy2d20832r2dr2cos3d.329分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重积分计算的。“一投”是指将积分曲面投向使投影面积不为零的坐标面。“二代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三换”是指将dS换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素，即dS1(yyz2z)()2dxdy,或dS1()2()2dzdx,xzxy或dS1(x2x2y)()dxdz.上解中的投影区域在xOy平面上，因此用代换xz7 dS1(z2z)()2dxdy,由于投影区域是圆域，故变换成极坐标计算。xy例七．设半径为R的球面的球心在定球面x2y2z2a2(a0)上，问R为何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大？

解：不妨设的球心为(0,0,a)，那么的方程为x2y2(za)2R2,它

2222xyza,与定球面的交线为2即 222xy(za)R,2R2(4a2R2)2xy,24a 2zaR.2a设含在定球面内部的上那部分球面1在xOy面上的投影区域为D，那么R2(4a2R2)D:xy,且这部分球面的方程为

4a222zaR2x2y2,(x,y)D.则1的面积为

22SdS1(zx)(zy)dxdyR1DDdxdyRxy2222

R20dR4a2R22a0rdrRr222R(Rr)2R4a2R22a0

2R22aR.2a2aR在[0,2a]上的最大值。2a以下只需求函数S(R)2R24a4a3R2,且S()40.由问)0,得唯一驻点R由令S(R)2(2R332a题的实际意义知S(R)在R322a.274a4a处取得最大值。即R时，1的面积最大，为33分析：本题是第一类曲面积分的应用题，在计算中关键是利用了球面的对称性，和确定了含在定球面内部的上那部分球面1在xOy面上的投影区域D。在此基础上，按上题分析中的“一投，二代，三换”的法则即可解得结果。

例八．计算曲面积分(2xz)dydzzdxdy,其中S为有向曲面

Szx2y2(0z1), 其法向量与z轴正向的夹角为锐角。解1：设Dyz,Dxy分别表示S在yoz平面，xoy平面上的投影区域，则，(2xz)dydzzdxdy

SDyz2222(xy)dxdy(2zyz)(dydz)(2zyz)dydzDyzDxy4zy2dydz(x2y2)dxdy.DyzDxy其中zy2dydzdyDyz111y2412zydz(1y2)3dy

302令ysint，Dyz4431zydydz2cos4tdt，30342242又 (x2y2)dxdydr2rdrDxy00212，所以 (2xz)dydzzdxdy4S4.22分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法则将各单一型化为二重积分这里的“一投”是指将积分曲面投向单一型中已指定的坐标面。“二代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三定号”是指依曲面的定侧向量，决定二重积分前的“+”，“-”符号，当的定侧向量指向坐标面的上（右，前）方时，二重积分前面取“+”，反之取“-”。

解2:利用dSdydzdzdxdxdy化组合型为单一型.coscoscos(2xz)dydzzdxdy[(2xz)SScosz]dxdy.coscos2x, 因S的法向量与z轴正向的夹角为锐角,取n{2x,2y,1},故有

cos于是 原式[(2xz)(2x)z]dxdy

S因为x2y2122222[4x2x(xy)(xy)]dxdy.x2y21222x(xy)dxdy0,所以 上式x2y2120222[4x(xy)]dxdy

4d(4r2cos2r2)rdr012.分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式dSdydzdzdxdxdy，先化组合型为统一的单一型，再按“一投，二代，coscoscos三定号”法则将单一型化为为二重积分求得。

解3：以S1表示法向量指向z轴负向的有向平面z1(x2y21)，D为S1在xoy平面上的投影区域，则

(2xz)dydzzdxdy(dxdy).S1D设表示由S和S1所围成的空间区域，则由高斯公式得

SS1(2xz)dydzzdxdy(21)dv

3drdr2dz6(rr3)dr

00r02111r2r4136[]0.2423因此 (2xz)dydzzdxdy().22S分析：利用高斯公式PdydzQdzdxRdxdy(PQR)dxdydz，xyz可将曲面积分化为三重积分求得。但必需满足P,Q,R在闭区域上有一阶连续的偏导数，是边界曲面的外侧。本题中的曲面S不是封闭曲面，故添加了S1，使SS1为封闭曲面，并使SS1的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。

例九：计算曲面积分Ix(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy,其中是由

zy1,1y3,曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的x0夹角恒大于.2x2z22,解：设1:表示y3上与y轴正向同侧的曲面，由和1所围y3立体记为.由高斯公式得

1x(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdydxdydz，因此Idxdydzx(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy.1由于在xOz面上的投影区域为D:x2z22.注意到1在xOz面，yOz面上的投影不构成区域，且在1上y3,从而:x2z21y3,(x,y)D，I(2x2z2)dxdz16dxdz18dxdz(x2z2)dxdz

DDDD36234.分析：是旋转曲面yx2z21,1y3且指向外侧，在上补上曲面x2z22,1:指向与y轴正向相同，那么由高斯公式就可将原式化成三重积分y3和1上的曲面积分进行计算。

例十．设空间区域由曲面za2x2y2与平面z0围成，其中a为正常数。记表面的外侧为S,的体积为V,证明

2222xyzdydzxyzdzdxz(1xyz)dxdyV.S证明：设P(x,y,z)x2yz2, Q(x,y,z)xy2z2, R(x,y,z)z(1xyz),则

PRQ2xyz2,12xyz.2xyz2,xzy由高斯公式知

xS2yz2dydzxy2z2dzdxz(1xyz)dxdy

(2xyz22xyz212xyz)dvdv2xyzdv

V2xyzdv.xyzdv[xya222a2x2y20xyzdz]dxdy2xy2a2xy(a2x2y2)dxdy2 2020da0r3sincos(a2r2)2dr，2由于sincosd0,则xyzdv0,因此

曲线积分 篇3

高等数学在处理曲线积分、曲面积分、二重积分、三重积分时, 很多情况下是把它转化为几次定积分来计算. 有时也可以把三重积分化为一次二重积分和一次定积分. 转化的目的是为了能计算并且计算简单. 下面这道题是关于第一型曲面积分的.

2. 第一型曲面积分的定义及转化方法

3. 总结

本文针对柱面上的第一型曲面积分, 从第一型曲面积分的定义出发, 采用特殊的划分方法, 把积分和写成这样的形式, 当分割细度λ趋于0时, 可以把第一型曲面积分化为一次第一型曲线积分和一次定积分. 通过例2、例3可以看出, 这种方法有很好的优越性, 能够减少计算的难度, 计算量也大大降低. 不过遗憾的是这种方法不是对任意的曲面积分都适用, 这样就降低了这种方法使用的广泛性.

参考文献

[1]刘宏, 张西恩, 等.多项式函数在无理点的函数值.大学数学, 2012 (4) .

[2]刘玉琏, 傅沛仁, 编.数学分析讲义 (第三版) .高等教育出版社, 1992年.

[3]刘宏.元素法的两个应用.中国当代教育杂志, 2003 (9) .

[4]田中华.浅谈数学思想的教学与创新能力的培养.学知报, 2011年5月23日, 第F07版.

[5]陈衍广.用数学思想指导解题.学知报, 2011年6月13日, 第B02版.

[6]豆俊峰.数学思想观念教育应深化在数学教学中.学知报, 2011年7月25日, 第A06版.

[7]丘成桐.数学, 一门美丽的科学.光明日报, 2008年10月7日, 第012版.

[8]王振新.渗透数学思想掌握数学方法的重要性.大众科技报, 2007年7月5日, 第C03版.

[9]钱玮.强化专题, 感悟数学思想.成才导报.教育周刊, 2007年5月9日, 第014版.

曲线积分 篇4

导数的几何意义

若已知曲线方程y=f (x) , 那么曲线在点x→x0处的切线的斜率k就是函数y=f (x) 割线斜率在x→x0时的极限, 即由导数的定义, 可知k=f' (x) .于是曲线y=f (x) 在点 (x0, y0) 的切线方程是y=f (x0) +f' (x0) · (x-x0) .

在平面解析几何中, 我们常常遇到的是求二次曲线的切线和法线问题, 这就需要用到多元微分学的知识, 并且对于一些比较复杂的二次曲线, 我们需要先求出其隐函数, 从而求出切线的斜率, 最后再求出点的切线.

圆锥曲线是中学学习的比较重要的平面解析几何内容之一, 主要包括椭圆、双曲线以及抛物线, 那么对于圆锥曲线的切线怎么求, 来看下面的例题.

例已知P (x0, y0) 是双曲线上非顶点的任意一点, 求过点P的切线的方程与作法.

解由已知, 利用隐函数求导法, 得到切线斜率为故切线方程为

设切线与x轴的交点为M, 则M点坐标为将PM在x的射影记为QM, 即次切线, 那么有如果用同样的方法, 可以得到等轴双曲线x2-y2=a2在点P' (x0, y') 的次切线恰好与双曲线在P (x0, y0) 的次切线相同.所以双曲线在点P (x0, y0) 的切线作法是:过P作x轴的垂线交等轴双曲线x2-y2=a2于点P' (x0, y') , S (x0, -y') , 作P'R垂直于y轴, 交等轴双曲线另一侧于R, 连接RS, 作P'M⊥RS交x轴于M, 连接MP, MP即为双曲线在点P (x0, y0) 处的切线.下面用几何画板将这三种圆锥曲线简单描绘一下, 如图.

通过此方法, 我们可以同样求得并作出椭圆与抛物线的切线.

对于一般的二次曲线, 又怎样求出其切线方程呢?

为了研究方便, 我们引进一些符号:

将 (2) 代入 (1) 中, 整理得到一个关于t的方程:

要想使直线 (2) 成为曲线的切线, 则Δ=0, 又因为P (x0, y0) 在曲线上, 所以F (x0, y0) =0,

当Φ (X, Y) =0时, 由于F (x0, y0) =0, 所以直线 (2) 成为曲线的切线的条件还是 (3) .

所以二次曲线在点P (x0, y0) 处的切线方程为x=x0+F2 (x0, y0) t, y=y0-F1 (x0, y0) t.

当F1x0 (, y) 0=F2x0 (, y) 0=0时, (3) 即为恒等式, 所以切线的方向不确定, 从而切线不确定, 此时过P x0 (, y) 0的任何直线与二次曲线C的两交点重合, 那么这样的直线也可以看作是二次曲线C在点P x0 (, y) 0处的切线.

现在我们从微积分的角度重新审视求二次曲线切线的问题, 假设F1 (x0, y0) 和F2 (x0, y0) 不都为零, 那么过点P (x0, y0) 的切线可看作是过P的割线的极限位置.设l为过点P的割线, 与曲线的另一交点为P', 当P'→P时, l的极限位置就是过点P (x0, y0) 的切线.

割线l的斜率为其中y=y (x) 由二次曲线C确定.

很显然, 通过微积分的思想得到的二次曲线切线的方程与解析几何方法得到的结果完全吻合, 微积分思想的应用还有很多, 比如对函数性质的应用、在数列中的应用、在不等式与等式证明中的应用等等, 这些应用都体现了微积分的动态思想, 即极限思想, 应用微积分思想还可以解决很多复杂的问题, 做到化繁为简, 有待我们进一步研究.

参考文献

[1]张英伯, 曹一鸣, 高夯.现代数学与中学数学 (第2版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2010.

[2]陈蔚, 舒江.浅谈微积分在中学数学中的应用[J].科教文汇, 2007, 64 (1) :64.

曲线积分 篇5

关键词：ROC曲线评价,多层螺旋CT,冠状动脉钙化积分,冠心病,诊断价值

冠状动脉钙化 (coronary artery calcification, CAC) 是冠状动脉粥样硬化的特异性标志, 也是检测粥样斑块负荷程度的标志, 检出CAC为冠心病早期诊断提供了研究思路和方向。基于影像学检查无创性的优点, 多层螺旋CT冠状动脉钙化积分已经成为目前广泛使用的方法, 这种积分评价也逐渐变成冠心病评估的重要标准, 因此, 本文运用了ROC曲线评价冠状动脉钙化积分法, 分析探讨冠心病诊断价值。

1 材料与方法

1.1 研究对象

所有研究对象均来自2010年5月至2013年5月于我院住院或门诊疑诊102例冠心病患者, 102例患者皆签署了本文研究知情通知书, 且本研究通过了本院伦理会批准。入组者心率<65/分, 心率变异度<5/分, 排除标准为冠心病病史, 心肌缺血, 心力衰竭, 肝肾功能不全, 结缔组织病, 糖尿病, 脂代谢紊乱, 严重心律失常, 碘对比剂过敏及屏气不良者。共有患者102例, 其中男患者58例, 女患者44例。按照世界卫生组织制定的缺血性心脏病诊断标准分为2组:冠心病组, 男28例, 女24例, 年龄35~78岁, 身高、体质量指数 (BMI) 19.2~33.0 kg/m2;对照组, 男26例, 女25例, 年龄40~81岁, 身高、体质量指数 (BMI) 18.9~32.2 kg/m2。

1.2 研究方法

采用Siemens Somatom 16层螺旋CT进行扫描。先行定位象扫描, 采用定位片进行范围界定, 然后采用前瞻性心电门控技术行冠状动脉扫描, 范围从气管分叉下1.0至心脏隔面下1.0 cm。CACS扫描参数:采集期相75%, 转速0.4 s/r, 准直器宽度2.5 mm×16层, 管电压120 k V, 管电流100 m A, 扫描视野25 cm, 重建采用锐化算法, 矩阵512×512。

1.3 后处理方法

扫描结束后, 原始数据传入Siemens syngo工作站上进行后处理, 将钙化积分扫描数据重建55%R-R间期平扫图像, 行层厚/层间距重建3 mm/3 mm, 卷积函数值B35f, 用于钙化积分分析。采用Ca Scoring钙化分析软件, 画出血管内的兴趣区, 钙化斑块会被自动识别而被染色, 标记冠状动脉各分支的钙化区域, 自动得出冠状动脉各分支的钙化积分制, 如左前降支、左主干、右冠动脉等, 亦可得出其总积分值, 并进行钙化积分的分析。

1.4 统计学处理

数据采用SPSS17.0软件分析, 数据资料对比采用t检验, 计量资料以均数±标准差 (±s) 表示, 以 (P<0.05) 为数据对比差异显著。采用ROC曲线分析评价冠状动脉钙化总积分值对冠心病组的诊断价值, 首先应绘制曲线图, 以Youden's指数最大值为最佳切点, 以灵敏度为纵坐标, (1-特异性) 为横坐标, 绘制ROC曲线, 计算ROC曲线下面积。

2 讨论

就冠状动脉钙化这种情况来看, 其是冠状动脉粥样硬化病变, 常发生于冠状动脉粥样硬化患者中, 从目前的研究来看, 冠状动脉硬化和钙化程度有一定的关联性, 运用冠状动脉钙化灶的量化检测, 其对冠心病患者的诊治有重要的临床价值。本文采用了CACS对冠心病患者做诊断, 通过分检测发现, CACS可以反映出患者的冠状动脉钙化程度, 患者的冠状动脉钙化程度和积分值成正比关系。CACS作为检测冠状动脉钙盐沉积的一种方法[2], 自1990年Agaston等首次报道CT冠状动脉钙化积分用于评估CAC以来, 随着多层螺旋CT技术的发展及后处理软件的进步, 已经成为在定性定量研究冠状动脉的最佳无创方式。既往研究表明, 从CACS的诊断来看, 冠心病患者的钙化积分高于非冠心病患者, 且差异明显, P<0.05, 差异有统计学意义。但是, CACS诊断冠心病的界限值目前还没有一个统一的标准, Agaston等人认为, 对于CACS检测冠心病患者的冠状动脉情况, 其应有300分的界限值, 如果是>300分, 那么诊断冠心病的敏感性应为70.5%, 特异性为66.6%, 而从本文研究来看, 当CACS值≥300分, 查冠心病的敏感性为79.08%, 特异性为49.26%, 与文献报道相比, 本研究中CACS诊断冠心病敏感性较高, 说明从两组中检测出的冠心病患者占总人数的比例较高;但是特异性偏低, 说明有部分对照组的健康人群会被误诊为冠心病。本研究表明CACS适合冠心病早期筛查, 筛查的疑似病例需要通过其他检查方法进一步确诊, 与张源芳等利用钙化积分筛查冠心病的敏感性为80.58%, 特异性为48.7%的结果类似。从美国专家共识来看, 美国心脏学会和美国心脏病学会基金会都一直认为多拍螺旋CT检测CACS是无创简单的筛选法, 对于疑诊冠心病患者的检测有一定的效果, 如果在筛选中发现患者并没有冠状动脉钙化的情况存在, 那么可以初步评估其患有冠心病的概率变小。对冠心病的早期诊断有一定帮助。故CACS仍不失为一种无创性的筛查冠心病的方法, CACS≥300分时可列为疑似病例, 可提醒患者潜在的危险性, 及时改变生活方式, 控制危险因素, 从而达到冠心病一级预防的目的。

参考文献

[1] 吕滨, 庄囡, 戴汝平, 等. 冠状动脉钙化和CT 血管造影与常规危险因素诊断和预测冠心病的对比研究[J].中华心血管病杂志, 2004, 32 (6) :492- 496.