分数阶积分（共7篇）
分数阶积分 篇1
1 引言
分数阶微积分与菲涅耳衍射、Wigner分布、小波变换等有着密切的联系,已经被广泛应用于科学研究和工程技术的很多方面,如神经网络、解微分方程、量子力学、衍射理论、光学系统、光图像处理以及雷达、通信、声纳等领域,成为跨学科的研究方向。继1980年被提出之后很快在光学领域得到广泛应用,其在信号处理领域的潜力在20世纪90年代中期得到发掘。近十年来,随着人们对分数阶微积分的研究不断深入,分数阶微积分的理论体系被逐步建立起来,并且被信息领域的研究人员所广泛接受。
随着信息技术的飞速发展,分数阶微积分的应用越来越多地得到人们的重视,在很多问题的处理过程中所拥有的优点正逐渐显露出来。许多科学家从不同的角度进行了不同的尝试,得到了不同的定义,其中比较有名的有G-L定义、R-L定义和Caputo定义[1,2]。
分数阶微积分是整数阶微积分运算的推广,在信号分析与处理等领域得到了广泛应用,特别是在信号的奇异性检测和提取方面具有特殊的作用。分数阶微积分的实现算法分为解析算法、数值算法两种。解析算法如拉普拉斯变换法、傅里叶变换法以及FFT法;数值算法如Zhang and Shimizu法,L-1法和池田法等。另外,在信号处理方面,有学者尝试用数字滤波器和模拟分抗电路来实现分数阶微积分并取得了一些进展。本文阐述了分数阶微积分的时域和频域两种定义方法,介绍了其在工程技术领域的应用。
2 概念
2.1 时域定义
文献[1,2]对分数阶微积分进行了3种时域的定义。Grumwald-Letnikov定义是从研究连续函数整数阶导数的经典定义出发,将微积分的阶数与因次由整数扩大到分数推衍而来的。Grumwald-Letnikov的υ阶导数定义为:
式中,υ∈R,用表示υ的整数部分;信号s(t)∈[a,t](α
Riemann-Liouville定义从分数阶微积分应满足的性质入手,对Grumwald-Letnikov定义进行了改进,使之计算简单化。Riemann-Liouville定义的分数阶微分公式如下:
Riemann-Liouville定义的分数阶微分是先进行(n-υ)阶积分,然后进行υ阶微分。Riemann-Liouville定义的分数阶积分为:
Caputo定义是对Grumwald-Letnikov定义的另一种改进,其目的是为了让拉普拉斯变换更加简洁,从而便于分数阶微分方程,易于工程应用。Caputo定义是对GL定义的另一种改进,其分数阶微分定义为:
类似地,其分数阶积分定义为:
该定义先进行n阶微分,再进行n-υ阶积分。
在上述众多的定义之间存在着一定的区别和联系,或者在某些条件下它们之间可以
相互转换。可以证明,对于很广一类实际函数来说,GL定义和RL定义是完全等效的。RL定义是GL定义的推广,其应用范围更为广泛。Caputo定义和RL定义都是在Grünwald-Letniko定义的基础上进行改进的,二者主要区别表现在对常数求导的定义上,前者对常数的求导是有界的(为0),而后者求导是无界的,Caputo定义让分数阶微积分的拉普拉氏变换式更为简洁,它更适合用于分数阶微分方程初值问题的描述[3]。
2.2 傅里叶变换域定义
根据傅里叶变换的性质,υ阶微分算子Dυ=Dυ是υ阶微分乘子函数(7)(8)(28)(7)i(8)v的乘性算子,在复数域中分数阶微积分指数形式为:
其中,sgn(*)为符号函数。从通信调制角度看,信号分数阶微分的物理意义可以理解为广义的调幅调相,其振幅随频率成分数阶幂指数变化,其相位是频率的广义Hilbert变换。从信号处理角度看,υ阶微积分运算其实是对信号的一个线性时不变滤波系统,其滤波函数为
3 应用
分数阶微积分运算应用在工程实践中,是近几十年来新兴的研究方向。随着计算技术的发展和对分数阶微积分运算应用研究探索的深入,分数阶微积分运算在多个领域中起到了越来越重要的作用,其中包括机械力学、电子学、化学、生物学、经济学、控制理论、机器人、材料科学、岩石力学、分形理论、电磁场理论、图像与信息处理等方面。特别是在信息科学领域中,一些新颖的应用被相继地实现,如系统建模、曲线拟合、信号滤波、模式识别、图像边界提取、系统辨识、系统稳定性分析等等。
3.1 指纹识别系统[4]
指纹识别的方法随着计算机技术、图像处理与模式识别方法的不断发展正日臻完善,目前使用的指纹识别系统大多是数字处理指纹识别系统,具有可自动化、可编程等优点。分数阶微积分具有时频旋转特性[5],可以展示出信号从时域逐步变化到频域的更多特征,这一优势有助于将分数阶微积分的应用研究扩展到了生物医学领域,例如可用于有效解决指纹识别领域中存在的问题和改进传统指纹识别算法的不足,特别是分数阶傅立叶变换算法对发生形状畸变的图像有很好的识别能力,可获得比基于经典傅立叶变换的算法性能更好的识别准确性和灵活性。
分数阶傅里叶变换具有典型的光学含义,它有两种基本的方式可以在光学上实现,一种是利用透镜等分立光学元件,另一种是利用渐变折射率介质(GRIN)。基于分数阶傅里叶变换这一新兴信号处理手段进行指纹等生物特征认证和识别具有研究价值和应用前景。在文献[4]中,作者给出了基于分数阶傅里叶联合变换相关器的指纹识别光电混合系统,如图1所示。CCD1将采集的待检测的目标指纹图像传输到计算机,同时计算机从指纹数据库中调用作为参考的指纹图像,目标指纹图像和参考指纹图像在计算机中分别进行相位掩模调制,然后计算机将调制后的目标指纹图像输出到空间光调制器SLM1上,将调制后的参考指纹图像输出到空间光调制器SLM2上;再分别经过透镜L1和L2进行分数阶傅里叶变换,它们的分数阶傅里叶变换谱在分光镜处叠加,由CCD2得到分数傅里叶联合变换功率谱,并经计算机输出到SLM2,经过透镜L2完成分数阶傅里叶变换,最后CCD2接收到的光强分布即是目标指纹图像和参考指纹图像的分数傅里叶联合变换相关结果,输出到计算机可进行进一步的数据处理和检测统计。
3.2 数字水印系统[6]
随着多媒体技术和网络技术的迅速发展与广泛应用,对多媒体数字产品的版权保护已成为迫切需要解决的问题。传统的加密技术已经不足以解决问题,而数字水印技术在这方面显示出了巨大的潜力。数字水印算法将一个版权识别代码序列(水印信号)嵌入到图像(空域或变换域)中,利用它可以跟踪数字产品拷贝的非法销售和使用。数字水印系统的实现分为两步:水印的嵌入和水印的提取。水印的嵌入算法如下:
首先对正弦信号进行分数阶微分运算及抽样离散化,产生任意长周期的伪随机序列,利用该伪随机序列与待嵌入的水印图片信息进行叠加置乱操作,该过程相当于对水印信息进行加密,得到待嵌入的加密后水印信息。接着,对原始图像进行嵌入位置选择,选择特定的嵌入位置进行水印信息的叠加。叠加后对于数据进行整合,就得到了嵌入水印后的图像。
水印的提取为水印嵌入的逆过程,其提取过程如下:
接收到嵌入水印后的图像后,利用合法给定的分数阶微积分参数对正弦信号进行处理,再离散化得到伪随机序列,然后选择图像的嵌入位置的数据,并与原始图像进行比较,用比较结果数据除去伪随机序列,即可以得到重建后的水印图像。在没有得知确切的分数阶微积分参数的时候,是无法得出正确的水印信息的,很好地保证了信息的安全性。
水印图像与载体图像如图2所示,其中(a)图为水印图像,
3.3 图像边缘检测[7]
图像的边缘反映了图像的最基本特征,边缘检测作为图像分割和特征提取的低层处理,已经成为图像处理和目标识别中最重要的课题之一,在计算机视觉、图像处理分析领域具有广泛的应用。在医学领域,医学图像边缘检测是医学图像处理和分析的关键步骤,它的清晰程度直接影响到医生诊断的速度以及准确性。
对于一幅图像而言,平滑区域即邻近的象素值基本相同的区域对应于信号的低频;图像纹理区域即邻近的象素值发生变化较小的区域对应于信号的中频;图像边缘和噪声区域即邻近的象素值发生较大变化的区域对应于信号的高频。出平滑区域中的纹理细节信息。经过分数阶微分处理后,图像平滑区域中灰度变化不大的纹理细节信息并没有受大幅的线性衰减,反而在一定程度上进行了非线性保留。而且分数阶微分的阶数是可以连续变化的,因此在提取图像边缘的过程中可以通过调节微分算子的阶数来获取最佳的图像边缘信息。
4 结论
分数阶微积分技术在很多领域得到了广泛研究和运用,特别是在图像信号处理、音频信号处理等方面作用明显。加大对分数阶微积分技术的研究,充分挖掘其性能,进一步推动工程技术的发展和进步。
参考文献
[1]Oldham K B,Spanier J.The fractional calculus[M].New York:Academic Press,1974.
[2]Podlubny I.Fractional differential equations[M]//Mathematics in Science and Engineering[S.l.]:Academic Press,1999.
[3]Adam Loverro,Fractional Calculus:History,Definitions and Applications for the Engnieer,University of Notre Dame,2004:78-79.
[4]周激流,蒲亦非,廖科.分数阶微积分原理及其在现代信号分析与处理中的应用[M].北京:科学出版社,2010.
[5]辛怡,白雪霏,李勤.分数阶傅里叶联合变换相关在指纹识别中的应用.
[6]陶然,邓兵,王越.分数阶Fourier变换在信号处理领域的研究进展.中国科学E辑.2005,35(12):113-136.
[7]万晶晶,于盛林.分数阶微积分在数字水印中的应用研究.计算机技术与发展,第18卷,第10期,2008年10月:139-142
分数阶积分 篇2
关键词：并联型有源电力滤波器,分数阶微积分,谐波治理,电流跟踪
0 引言
随着现代工业的高速发展, 电力系统中的非线性负荷大量增加, 电网中的谐波含量特别是高次谐波含量也随之日益增多, 严重影响电能质量。谐波治理是现代电力发展的迫切要求。并联型有源电力滤波器 (Active Power Filter, APF) 容易跟踪补偿负载的谐波电流, 是谐波治理的有效手段。常规PID控制器因具有直观、易于实现、调整方便和鲁棒性好等优点, 在控制系统中得到了很广泛的应用。但由于受采样频率等因素的影响, 常规PID控制已很难获得满意的控制效果[1,2]。分数阶控制是对传统的整数阶控制理论的一种概括和补充, 使传统的控制理论更具有可模拟性和鲁棒性。本文在分析并联型APF原理的基础上, 研究了其分数阶微积分控制策略。
1 并联型APF原理
APF基本原理:检测补偿对象电流中的谐波分量, 然后通过变流器产生与谐波电流幅值相等、方向相反的电流, 从而达到实时补偿谐波电流的目的[3]。APF控制原理如图1所示。
a相电压经过锁相环PLL和正、余弦信号发生电路后, 得到与其同相位的正弦信号sinωt和余弦信号cosωt;三相负载电流ia, ib和ic经C32变换矩阵完成静止坐标系下三相到两相的变换, 得到两相电流iα和iβ;再经过变换矩阵C得出三相电路瞬时有功电流ip和无功电流iq;最后经过低通滤波 (LPF) 得到直流分量瞬时有功电流ip和无功电流iq。虚线框内实现对直流侧电压的控制, Ucr和Ucf分别为直流侧电压给定值和检测值, 两者之差经过PI调节器后得到调节信号Δip, 叠加到ip上;再经过C和C23变换后得到三相基波电流iaf, ibf和icf;三相负载电流减去三相基波电流得到谐波电流iah, ibh和ich, 作为指令电流;指令电流减去补偿电流值得到偏差信号, 经过分数阶微积分控制器, 再与三角波信号比较得到PWM控制信号, 驱动IGBT实现控制[4]。
2 分数阶微积分控制策略
2.1 分数阶微积分的定义
定义连续的分数阶微积分基本操作算子如下:
式中:a和t是操作算子的上下限;α是微积分阶次, 为任意复数。
Grunwarld-Letnikov分数阶微积分定义:
分数阶微积分控制器传递函数为
式中:U (s) 为控制器输出;E (s) 为偏差信号;KP, KI, KD均为PID控制器参数;λ为积分阶次, 0<λ<1;u为微分阶次, 0
与整数阶PID控制器相比, 分数阶微积分控制器多了一个积分阶次λ和一个微分阶次u, 这2个可调参数为控制器增加了2个自由度, 使得对受控对象的控制更加灵活和精确, 更适合于分数阶系统的动态特性。整数阶PID控制器是分数阶PID控制器的特例[5]。
2.2 分数阶微积分的求解
分数阶微积分可通过计算周期函数的分数阶微积分的Fourier级数或者Grunwarld-Letnikov定义来求解, 但是这2种方法的前提是参与运算的函数是已知的, 而在实际使用时, 这些函数往往都是不能预知的。对于APF控制系统, 这2种方式也不适用。另外还有滤波器算法, 主要包括Oustaloup算法、FIR算法和IIR算法等, 这些算法主要通过构造滤波器的方式近似代替分数阶的传递函数, 其中Oustaloup算法是目前使用最多的, 本文也采用该算法。
假设要拟合的频率段为 (ωb, ωh) , 可得滤波器的传递函数模型为
式中:ω′k, ωk, K分别为滤波器零极点和增益, 它们的值分别为
式中:Υ为分数阶的阶次;2 N+1为滤波器的阶次。
图2为Υ=0.5, N=2, ωb=0.1, ωh=6 000时的Oustaloup滤波器Bode图。从图2可以看出, 在需要拟合的范围内, 拟合效果较好, 但是在频率上下限的边界附近拟合效果不好, 因此, 采用改进的Oustaloup滤波器。
微分算子sα可由分数阶传递函数近似:
式中:0<α<1;s=jω;b>0;d>0。
式 (6) 可变换为
在ωb<ω<ωh范围内, 将式 (7) 泰勒展开可得
由式 (7) 可得
不计泰勒展开式中的高次项, 可得
滤波器的零极点分别为
式中:b和d为加权参数。
需要拟合的下限ωb=0.1, 上限ωh=6 000, 选择α=0.5, b=10, d=9, 设计出的滤波器Bode图如图3所示, 其中波形1为采用改进Oustaloup算法所得, 波形2为采用Oustaloup算法所得。从Oustaloup滤波器的拟合范围看, 在上限边界附近, 拟合效果是相当不理想的, 而且相位拟合效果也很差;而改进的Oustaloup滤波器在整个需要拟合的频率段内, 拟合效果都很好, 可以满足设计要求。
3 仿真分析
在Matlab/Simulink中对设计进行仿真验证, APF仿真模型如图4所示。主要参数:三相电网电压为220V/50Hz;用三相整流桥模拟谐波源, 补偿侧电感为4mH, 直流侧电容为5 000μF, 负载电阻为20Ω, 直流电压为800V;开关器件为IGBT, 开关频率为12.8kHz。分数阶微积分控制器仿真模型 (图5) 积分阶次为0.8, 微分阶次为0.1, 设定仿真时间为0.4s。图6为三相整流桥负载谐波源的电流波形。对直流侧电容进行三相不可控整流充电, 当电容电压达到510V左右时, 采用直接电流控制实现可控整流, 升压到800 V, 然后进行谐波补偿。图7为采用常规PID控制器和分数阶PID控制器得到的直流侧电压波形, 从图7可以看出, 分数阶PID控制器能更好地将直流侧电压稳定在设定值。
为了加快仿真, 选择电容侧预充电电阻为1Ω, 所以, 网侧电流刚开始会比较大, 0.3s后网侧电流得到很好的补偿。图8为采用常规PID控制器和采用分数阶PID控制器得到的网侧电流波形, 从图8可以看出, 采用分数阶PID控制器得到的网侧电流更平滑, 更接近于正弦波。
图9为采用常规PID控制器和采用分数阶PID控制器得到的补偿跟踪电流iah和指令电流i*ah波形, 从图9可以看出, 采用分数阶PID控制器在补偿瞬间的冲击电流更小, 补偿跟踪电流可以很好地跟踪指令电流。
图10 (a) 为补偿前电网电流幅频图, 可以看出补偿前电网电流中含有较大的5, 7, 11, 13, 17, 19次谐波, 电流谐波畸变率DTH为27.90%。图10 (b) 为采用常规PID补偿后的电网电流幅频图, 电流谐波畸变率由27.90%降低为7.07%。图10 (c) 为采用分数阶PID补偿后的电网电流幅频图, 电流谐波畸变率由27.90%降低为2.90%。由此可以看出, 采用分数阶PID控制器比采用常规PID控制器补偿谐波电流的效果更好。
4 结语
随着电网中非线性负载的增加, 电网中的谐波含量日益增多, 严重影响电能质量。为了有效治理谐波, 提出了一种并联型有源电力滤波器的分数阶微积分控制策略。Matlab仿真结果表明, 该控制策略能更好地将直流侧电压稳定在设定值;得到的网侧电流更平滑, 更接近于正弦波;在补偿瞬间的冲击电流更小, 补偿跟踪电流可以很好地跟踪指令电流。与整数阶PID控制器相比, 分数阶PID控制器多了2个可调参数, 为控制器增加了2个自由度, 使得控制更加灵活和精确。随着分数阶微积分的发展, 分数阶PID控制器在并联型有源电力滤波器控制中将会得到更广泛的应用。
参考文献
[1]薛定宇, 赵春娜.分数阶系统的分数阶PID控制器设计[J].控制理论与应用, 2007, 24 (5) :771-776.
[2]曹军义, 曹秉刚.分数阶控制器的数字实现及其特性[J].控制理论与应用, 2006, 23 (5) :791-794.
[3]杜雄, 周雒维, 侯世英.三相整流桥直流侧并联型有源电力滤波器[J].中国电机工程学报, 2008, 28 (15) :98-102.
[4]解大, 张延迟, 吴非, 等.并联型电力有源滤波器的直流侧电压控制和补偿电流反馈控制[J].电网技术, 2006, 30 (3) :18-21.
[5]王振滨, 曹广益, 曾庆山, 等.分数阶PID控制器及其数字实现[J].上海交通大学学报, 2004, 38 (4) :517-520.
[6]齐乃明, 宋志国, 秦昌茂.基于最优Oustaloup的分数阶PID参数整定[J].控制工程, 2012, 19 (2) :283-285.
[7]吴振宇, 赵亮, 冯林.分数阶PID控制器的智能车控制[J].控制工程, 2011, 18 (3) :401-404.
[8]房芳, 张立中.有源电力滤波器PI控制策略研究[J].中国电业:技术版, 2012 (9) :10-12.
一阶微分方程的积分 篇3
关键词：积分因子,恰当方程,求解法
一、引言
本研究的目的就是针对现行教材在这方面的不足, 来给出较一般的非恰当方程M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0 的积分因子 μ = μ ( x, y) 的求解理论和公式, 从而扩大求解一阶微分方程的范围, 并简化其求解方法.
二、积分因子的求法
1.观察法
对于某些简单的微分方程, 可以通过“凑微分”的办法来寻找积分因子.为此, 必须熟悉和掌握一些基本的二元函数的全微分.例如
( 1) ydx - xdy = 0 有五种不同形式的积分因子:
作用到方程后, 得到的全微分方程分别是:
(2) ydx+xdy=0的积分因子是:1/ (xy) n, 作用到方程后, 得到的全微分方程是:
ydy+xdx=0的积分因子是1/ (x2+y2) n, 作用到方程后, 得到的全微分方程是:
2. 公式法
定理1方程 ( 1) 具有形如 μ = μ[φ ( x, y) ]的积分因子的充要条件为
根据定理, 文献中对恰当方程 ( 1) 给出的仅有关于x和y的积分因子的充要条件, 就变成了定理2. 1. 1 的特殊情形.而且可得到如下结论:
推论1方程 ( 1) 具有积分因子 μ = μ ( x ± y) 的充要条件为
积分因子为
推论2方程 (1) 具有积分因子μ=μ (x2±y2) 的充要条件为积分因子为
推论3方程 ( 1) 具有积分因子 μ = μ ( xy) 的充要条件为积分因子为
推论4方程 (1) 具有积分因子的充要条件为积分因子为
定理2假设 (1) 中M (x, y) 和N (x, y) 存在以下关系:其中f (x) , g (y) 分别为x, y的连续函数, 则其有积分因子
定理3方程 ( 1) 中M ( x, y) , N ( x, y) 满足条件
则方程 (1) 有形如的积分因子.
定理4在方程 ( 1) 中, 若M ( x, y) = yφ ( u) , N ( x, y) =xψ (u) , 其中u=xy, 则方程 (1) 有形如的积分因子 (其中x M-y N≠0) .
三、结束语
任意阶分数阶微分方程的初值问题 篇4
目前对于非线性分数阶微分方程:Dax=f (t, x) 初值问题的研究结果比较丰富, 如Zhang S Q[1]、Mc Rae[2]、Lakshmikantham[3]、Delbosco[4]、苏新卫[5]、Deng J Q[6]等国内外著名学者利用不同的研究方法建立了这一类分数阶微分方程初值问题解的存在性与唯一性的若干准则。值得注意的是, 他们研究的都是阶数:0
其中n-1
1预备知识
定义1[7]令Ω=[a, b] (-∞
其中为Gamma函数, 这两个积分分别称为右侧和左侧分数阶积分。在本文中我们将右侧分数阶积分Ia0+f (x) 简记为I af (x) 。
定义2[7]令Ω=[a, b] (-∞
其中n=[a]+1, [a]为a的整数部分, 这两个导数分别称为右侧和左侧分数阶导数。本文中, 我们将右侧分数阶导数Da0+f (x) 简记为Daf。
引理1[7]若a>0, u∈C (0, 1) ∩L (0, 1) , Da0+u∈C (0, 1) ∩L (0, 1) , 则存在Ci∈R, i=1, 2…, N使得Ia0+Da0+u (t) =u (t) +c1ta-1+c2ta-2+…cNta-N, 其中N为大于或等于a的最小整数。
引理2[7]Riemann-Liouville分数阶积分和导数具有如下性质:
2主要结果
下面我们利用Banach压缩映射原理来建立初值问题 (1) 解的唯一性。
为方便主要结果的证明, 首先, 我们令 为Banach空间。
定理1令0≤r
(H1) 函数trf (t, u (t) ) 为[0, 1]×R上的连续函数, 并且函数f (t, u (t) ) 满足:
其中L为与u, v无关的常数;
则初值问题 (1) 存在唯一解u (t) ∈X。
证明由引理1和引理2可得, 分数阶微分方程Dau=f (t, u) 等价于积分方程
代入初值问题 (1) 的初始条件:
tn-au (k) (t) |t=0=0, k=0, 1, 2…n-1,
可得:ci=0, i=1, 2, …, n, 即
对任意的u (t) ∈X, 定义算子T为:
则算子T在X中的不动点, 即为初值问题 (1) 的解。
下证算子TX→X是的。
对任意的u (t) ∈X, 根据条件 (H1) 中的式 (2) 可得
因此, 有
由条件 (H2) 可知, , 所以, 算子T是的X→X。
下证算子T是压缩映射。
对任意的u, v∈X由式 (2) 可得
由于ξ<1, 因此, 算子T为压缩映射。应用Banach压缩映射原理可知, 算子有唯一不动点, 即为初值问题 (1) 的唯一解。定理得证。
参考文献
[1]ZHANG S Q.The Existence of a Positive Solution for aNonlinear Fractional Differential Equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2000, 252 (2) :804-812
[2]MCRAE F A.Monotone Iterative Technique and Existence Results for Fractional Differential Equations[J].Nonlinear Analysis, 2009, 71 (12) :6093-6096
[3]LAKSHMIKANTHAM V, VATSALA A S.Basic Theory of Fractional Differential Equations[J].Nonlinear Analysis, 2008, 69 (8) :2677-2682
[4]DELBSCO D, RODINO L.Existence and Uniqueness for a Nonlinear Fractional Differential Equation[J].1996, 204 (2) :609-625
[5]苏新卫, 刘兰冬.分数阶微分方程解的存在性[J].山西大学学报 (自然科学版) , 2007, 30 (4) :434-436
[6]Deng J Q, Ma L F.Existence and uniqueness of solutions of initial value problems for nonlinear fractional differential equations[J].Applied Mathematics Letters, 2010, 23 (6) :676-680
分数阶积分 篇5
传统DC/AC逆变器主电路大多采用推挽式、半桥式和全桥式等电路拓扑,其不足表现在[1]:
a.电压利用率不高,输入/输出间的电压匹配困难;
b.谐波含量高,其中某些逆变电路含有低次谐波,使得滤波容量大,滤波器体积大;
c.器件开关损耗高,且易产生电磁干扰(EMI);
d.直通造成短路,工作可靠性不高。
近年来,基于直流变换电路实现逆变功能的新颖DC/AC逆变拓扑越来越受到关注[2,3,4,5]。文献[4]给出了一种新颖逆变电路(区别文献[5]中提到的双Buck组合逆变器),此电路拓扑由单Buck变换器和全桥电路组成。这种逆变器不仅可以实现高精度开关功率放大器等实际应用,还可以充分应用DC/DC变换电路成熟的软开关技术。对于逆变器的输出特性要求尽可能高的稳态精度,同时对于负载变化具有优良的瞬态响应,因此对控制的要求比较高。
传统PID控制策略整定不易,性能欠佳,对运行工况尤其负载大幅度变化的适应性较差;而滑模变结构控制在系统参数变化较大时,只要滑模切换面是可达的,就可以实现滑模控制,即变结构系统的滑动模态具有完全自适应性,这成为变结构系统最突出的优点。对于逆变器的开关非线性变结构系统,滑模控制是很适合的,且具有鲁棒性好、可靠性高和控制算法简单的优点。因此,滑模变结构控制越来越多地被应用于开关非线性系统中,特别是逆变器系统[6,7,8,9,10,11,12,13,14]。
目前,有关电力电子变换器中使用滑模变结构控制的应用文献比较多,但大多数都是基于单输入二阶滑模控制的研究。文献[15]指出根据最优控制理论,实现全状态反馈的系统是最优控制系统,能实现动态响应的误差平方积分指标最小;但在一定的外部扰动后,系统存在输出稳态误差比较大、调节时间长和有爬行现象。为了减小输出稳态误差,提高稳态性能,在滑模变结构控制策略中加入了积分环节[16,17,18]。
为了提高逆变器的输出性能和控制鲁棒性,进一步减小系统稳态误差,本文采用了一种新颖的三阶积分滑模变结构控制策略,使用李导数给出了三阶积分滑模控制器的详细分析和设计,并且将该三阶滑模控制应用于新型单Buck逆变器,给出了系统的稳定条件和滑模切换面系数的选取方法。
实验结果证明了三阶积分滑模控制能大幅减小稳态终值误差,且输出具有强鲁棒性有良好的动态性能,减弱控制系统的干扰和漂移,为实现逆变系统和提高稳态性能提供了一种新的思路。
1 单Buck逆变器拓扑结构原理
新型单Buck逆变器的电路拓扑图如图1所示,其工作原理示意如图2所示。对于Buck变换器,其输出电压uo=UinD(其中,Uin是直流输入电压,D是主功率开关管VTm的占空比)。在逆变器中,控制电路调制的占空比D按SPWM脉宽变化,从而使得Buck变换器在滤波电容C上的输出电压uC为一系列的正弦半波,再通过后一级的全桥电路使一系列的半波在负载上展开成标准的正弦波。
2 单Buck逆变器三阶积分滑模控制设计
2.1 逆变器的三阶动态建模
单Buck逆变电路由一个Buck型直流开关变换器构成,能根据Buck直流变换器的建模方法进行建模,在这里采用三阶状态空间建模。图3是单Buck逆变电路系统的等效电路图。
以输出电压误差x1、电感电流误差x2和输出电压误差积分x3为状态变量,得到单Buck逆变器状态空间模型方程为
为了便于等效控制方法推导,根据非线性系统变结构理论,上式能定义为
2.2 基于李导数的三阶积分滑模控制器设计
目前,滑模控制大多数是基于二阶滑模控制器的分析与设计,二阶滑模的稳态误差比较大。因此,本文在输出电容电压误差和电感电流误差的二阶滑模的基础上加入输出电压误差的积分环节,使系统本质上消除了稳态终值误差。图3中所示的控制部分即为三阶积分滑模控制器,为了获得良好的输出特性,一般选取状态变量偏差的线性组合建立滑模切换面函数,其滑模切换面函数的选取为
其中,P1、P2和P3为正常数。
根据非线性系统的变结构控制理论,滑模控制规律和在该规律下滑模切换面的存在和达到条件为
满足式(5)的必要条件是:
为使系统在滑模切换面上保持滑模运动,则在S=0的情况下满足下式:
可得等效控制:
因此,滑模切换面上存在滑模运动的充要条件是等效控制ueq满足0
将式(1)(3)代入式(6)得:
由式(6)知,S(x)满足存在滑模运动的必要条件。
同理,将式(1)(3)代入式(8)可得:
将P2=1,P1=C/L,x1=UCref-uC和P3=1/(RoL)代入式(10),且iLref-iL≈Cd UCref/d t-C d uC/d t,可得:
由于在实际电路中电感L和电容C的值足够小,且当系统处于稳态时,UCref≈uC,因此式(11)近似为ueq≈uC/Uin,据Buck电路理论知0
2.3 滑模切换区和滑模切换面函数系数选取
为了保证系统的状态轨迹达到滑模切换面,必须满足式(5),因此将式(1)(3)代入式(5),可以得到该三阶滑模控制的滑模切换区,如下式所示:
由式(12)可知,三阶滑模控制的切换区为2个平行平面之间的三维空间。为了便于分析,通过映射从而可以得到二维的区域是位于2条平行直线l1、l2之间的区域,其滑模区域的数学表达式如式(13)所示。合理选择系数,系统状态轨迹将在滑模切换区内运动,最终会使轨迹进入稳态点。
滑模切换面函数中x1和x2的系数分别代表系统稳态和动态调节的特性,即P1/P2值越大,其动态性就越好;P3/P2值越大,其稳态性就越好。如何选择P1、P2和P3是滑模控制设计的关键。就本文中单Buck逆变器而言,一般情况令P2=1,P1=C/L,且P3=1/(RoL)使P3/P2值较大,因此在保证动态性能前提下,积分环节使稳态终值误差很小。
3 实验装置与结果
根据图1拓扑组建单Buck逆变器实验系统,实验参数:输入电压Uin=24 V(2节铅酸电池串联获得),输出电压uAB=16 sin(100πt),C=2×56μF,L=200μH,Ro=5Ω。同时分别采用传统的PD控制(比例系数kp=20、微分系数kd=3×10-3)和三阶系统全状态积分滑模控制作为实验系统的控制策略,下面给出实验结果和分析。
3.1 传统PD控制单Buck逆变器实验结果
图4(a)为PD控制下满载稳态时输出电压、电流波形,图4(b)和(c)为负载突变时电压、电流输出波形。实验结果表明:采用PD控制有较好的输出波形,但输出电压过峰值时产生较大的畸变,稳态性能较差,稳态误差较大;负载突变时,输出电流畸变很大,空载到满载时输出电流进入稳态较慢(30 ms),系统动态性能和抗负载扰动性能较差,鲁棒性不强。
3.2 滑模控制实验结果
图5(a)为滑模控制下满载稳态时输出电压和电流波形,图5(b)和(c)为负载突变时电压和电流波形。系统在满载时输出电压稳态误差如表1所示(表中,Uref为参考电压,UAB为输出电压,ΔU为电压误差)。实验结果表明:电路有较好的输出波形,带有积分控制具有良好的稳态性能,能够减小系统的终值误差;系统具有非常好的动态性能和抗负载扰动性能;相比PD控制,积分滑模控制具有优良的动态特性和稳态性能。
V
4 结论
关于分数阶导数定义的商榷 篇6
分数阶微积分[1,2,3]的研究历史很久远, 要上溯到17世纪。1695年, 在L’Hospital在给Leibniz的著名信中提到了关于某一函数的n阶导数, 当n为二分之一时, 结果会是如何, 从而产生了分数阶微积分。对于分数阶微积分的研究, 首先是在数学上, Euler、Laplace、Abel、Fourier、Liouvile对分数阶微积分的研究做了一些工作。但是, 第一本关于分数阶微积分理论的专著[4]直到1974年才出版。随着Caputo、Riemann、Grünwald、Hadamard、Letnikov、Hardy、Riesz、Marchaud、Littlewood、Ross等数学家或物理家对分数阶微积分的贡献, 形成了现在被公认的几种分数阶导数的“定义”, 其中包括Riemann-Liouville“定义”和Caputo“定义”[5]。
在最近几十年间, 对于分数阶微积分应用的研究有了较大的发展, 在科学及工程中的很多领域都有重要的应用, 这些领域包括生物材料[6,7], 控制和机器人[8,9], 粘弹性动力学[10,11], 量子力学[12,13]等等。在这些众多涉及到分数阶导数理论应用的文献中, 都是直接引用上述“定义”的说法。
1数学归纳法推导分数阶导数的计算公式
2结论
摘要：导数的概念最早是由莱布尼茨引入的, 记作dny/dxn。当函数导数次数不是整数而是分数时, 即为分数阶导数dαy/dxα (0<α<1) 。本文利用数学归纳法推导出分数阶导数的两种公式, 即所谓的分数阶导数Riemann-liouville (R-L) “定义”、和Caputo“定义”。但他们都是从分数阶导数dαy dxα0<α<1<出发推导得到, 并且互为等价, 所以只是表达形式不同, 含义相同。以此类推, 或许存在其他的所谓的“定义”也是从dαy/dxα0<<α<1<出发获得, 因而他们也只是分数阶导数不同的计算公式, 而非定义。因此, 分数阶导数的定义应是dαy/dxα (0<α<1) , 而所谓的Riemannliouville (R-L) “定义”、和Caputo“定义”只能称作是分数阶导数的两种不同的计算公式。这是本文商榷的问题。
分数阶积分 篇7
分数阶微积分有三百多年的发展历史,它是传统的微积分的推广。由于数学基础的限制, 它在实际中的应用还是最近几十年的事情。实际上许多系统都具有分数阶的特征, 所以分数阶微积分已经应用到各个领域, 如控制理论、分形理论、粘弹性阻尼器、机器人以及混沌系统的研究中。分数阶微积分在控制和混沌中的应用越来越受到学者的重视, 逐渐地成为了一个热点的研究问题。如文献[1]研究了分数维的PIλDμ控制, 文献[2]研究了分数阶的自适应控制, 文献[3]研究了分数阶的蔡系统, 文献[4]研究了分数阶的Duffing系统, 文献[5]研究了分数阶的Lorenz系统的分数阶控制算法, 文献[6]研究了分数阶的陈氏系统, 文献[7]研究了分数阶的Lorenz系统。
虽然分数阶的混沌系统得到了较多的研究, 但是其控制方法的研究还比较少。本文首先研究了分数维Lorenz系统的平衡点的问题, 然后利用线性反馈的方法控制系统到平衡点, 并给出了使系统稳定的反馈系数的选取方法。最后通过仿真实例验证了此方法的有效性。
1 分数阶微积分的定义
分数维微积分有多种定义方式[8],主要有Riemann-Liouville(R-L)定义(1840年)、Grunwald-Letnikov定义、Caputo定义(1970年)、Fourier定义等。经常用到的是R-L定义和Caputo定义。Caputo定义有传统的易于物理上解释和实现的初始条件, 并且对常数的分数阶微分为0, 所以在实际的应用中用到较多的是Caputo定义。本文采用Caputo定义。
定义1:一元函数f(t)的α阶积分定义为[8]:
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(t>a,α>0)
其中,a,t分别为积分的下界和上界,f(t)为被积函数,α为积分次数,Γ(α)是Γ函数。
定义2:一元函数f(t)的α阶维微分定义为[8]:
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其中,m-1<α
定义3: 一元函数f(t)分数维微积分f(α)(t)的拉普拉斯变换定义为[8]:
undefined
其中,undefined为任意实数。
当初始条件为0时, 有undefined
2 分数阶系统稳定的充分条件
分数阶系统的稳定性问题在文献[9]中得到较多的研究:对于α阶的系统, 它的不稳定的区域是一个楔形区域, 顶点在原点, 以x轴为对称轴。当系统的极点落在此区域, 系统是不稳定的, 当系统的极点落在此区域以外的区域,系统是稳定的区域。如图所示, 容易知道整数阶系统的稳定区域包含在分数阶系统的稳定区域内(α<1)。从而, 利用整数阶系统的极点配置的方法,把系统的极点配置到左半平面, 所得到的系统是稳定的。当系统的各个状态用不同阶的微分方程来描述时, 如
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, 则此系统的极点应该在由θ≤qπ/2;q=max{α,β,γ}描述的楔形区域之外。
3 分数阶的Lorenz系统
文献[10]研究了分数阶的Lorenz系统:
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当a=10,b=8/3,c=28时,分数阶Lorenz系统有一个混沌吸引子。文献[7]通过仿真实验验证了分数阶的Lorenz系统在系统的阶次(α+β+γ)小于3的情况下, 也可以产生混沌的现象。由于本文中用的是分数阶微积分的Caputo定义, 它对于常数的微分为0, 由x(α)=0,y(β)=0,z(γ)=0不难得到系统的三个平衡点:
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系统(1)在S0邻域线性化方程的系数矩阵为:
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显然J1的特征值为
undefined
因此平衡点S0是不稳定的。系统(1)在S±邻域线性化方程的系数矩阵为:
undefined
易求得系统有正实根, 从而落在了图1所示的不稳定的楔形区域内, 故平衡点S±也是不稳定的。
4 控制方法
本文旨在设计一简单的反馈控制器u,使得所构成的闭环系统稳定。本文就采用线性状态反馈的方法, 将混沌系统控制到上述的任意的平衡点。传统的线性反馈控制方法是
undefined
的形式。其中X=(x,y,z)是系统的状态,A是线性化后的系数矩阵,undefined为控制目标, 即上述3个平衡点中的一个,K=(k1,k2,k3)为正反馈系数。此时系统只有一个平衡点undefined。
4.1 控制混沌系统到平衡点
一个简单的反馈控制器应该仅仅是状态的线性函数, 如果控制器仅仅是状态某一变量的线性函数, 则控制器的结构会更加简单。本节只对状态的变量y施加控制作用,且控制器受控系统变为
undefined
其中k为待定的正反馈系数,undefined为平衡点S0(0,0,0)中所对应的y的值。下面将系统式(3)控制到此稳定点。系统在S0的邻域线性化方程的系数矩阵为:
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把a=10,b=8/3,c=28代入得
undefined
显然undefined1的特征方程为(λ+8/3)[λ2+(k+1)λ+10(k+1)-280]。其中一个特征根λ1=-8/3<0另外两个特征根满足λ2+(k+1)λ+10(k+1)-280。由一元二次方程的知识得出当k+1>0且10(k+1)-280>0时,系统的两个特征根具有负实部。此时, 可求得k>27。故k>27系统式(2)在平衡点S0附近的线性化系统的特征根都具有负实部。从而系统是稳定的。
4.2 控制混沌系统到平衡点
系统式(2)在S±的线性化方程的系数矩阵为
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相应的特征值多项式为
undefined
(k1k2+k1k3+k2k3+ak2+ak3+
bk1+bk2+k1+k3+ab+bc)λ+
(k1k2k3+bk1k2+ak2k3+k1k3-
bck1+abk2+2abc)
为了简化运算,取k1=0,k2=3。当k3=1时, 由Routh-Hurwitz准则知, 系统的所有特征根具有负实部, 即特征根落在了图1所示的楔形区域外, 从而可以将混沌系统控制到平衡点S±。
5 仿真实例
选取α=0.95,β=γ=1, 初始条件为(10,0,10),在不加入控制时, 系统的周期性轨道如图2。当加入控制时, 选取k=28, 此时, 系统的极点都具有负实部, 它们都落在图1所示的楔形区域之外, 系统逐渐的稳定到其平衡点, 如图3所示。
6 结束语
讨论了分数阶的Lorenz系统的平衡点及其稳定性, 利用状态反馈的方法, 控制分数阶的Lorenz系统稳定到其平衡点。仿真试验验证了此方法的有效性。
参考文献
[1]Podlubny I.Fractional-order systems and PIλDμ-controllers[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1999,44(1):208-214.
[2]张隆阁,李俊民,陈国培.稳定的分数维模型参考自适应系统的设计[J].西安电子科技大学学报,2005,32(5):768-771.
[3]Zhang Longge,Li Junmin,Chen Guopei.The design of the stable fractional model reference adaptive control system[J].Journal of xdian university,2005,32(5):768-771.
[4]Hartley TT,Lorenzo CF,Qammer HK.IEEETrans CAS-I42(1995)485[Z].
[5]Arena P,Caponetto R,Fortuna L,et al.Proceedings of the ECCTD[J].Budapest,1997:1259-1263.
[6]严艳,张隆阁.Lorenz系统的分数阶控制算法[J].动力学与控制学报,2006,4(2):132-135.
[7]Yan Yan,Zhang Longge.Fractional control algorithmof Lorenz system[J].Journal of Dynamics and control,2006,4(2):132-135.
[8]Chunguang Li,Guangrong Chen.Chaos inthe fractional order Chen sys-temandits control[J].Chaos Solions&Fractals,2004,22(3):549-554.
[9]Grigorenko I,Grogorenko E.Physical dynamics of the fractional Lorenz system[J].Physical reviewletters,2003,91(3):034101-1~4.
[10]Podlubny I.Fractional Differential Equations[M].San Diego,CA:Academic Press,1999.