分数阶微分算子

2024-10-08

分数阶微分算子（精选6篇）

分数阶微分算子篇1

分数阶微积分与整数阶微积分起源于同一时代, 最早的记载可以追溯到1695年德国数学家Leibniz和法国数学家L.Hospital的通信中[1]。近年来, 基于分数阶微积分的分数阶控制逐渐成为自动控制领域的研究热点[2]。分数阶控制的研究包涵三个方面, 即:基于更准确地描述分数阶对象的目的而建立分数阶系统模型及其分析;基于获得最佳控制性能的目的而选用分数阶控制策略;以及应用分数阶运算对信号、数据进行处理等。而上述工作的基础是分数阶微积分的求解计算[3]。

分数阶微分算子在分数阶控制系统的求解计算中具有重要作用, 其固有特性决定了理论上的分数阶控制器实际上是无穷维线性滤波器, 这就要求在分数阶控制器的实现过程中使用有限带宽的整数阶控制器对其进行近似[4]。而在计算机控制系统中, 分数阶微分算子的离散化是分数阶控制器数字化实现的关键[5]。一般地, 有两种离散化方法:一种是直接离散化方法, 如Euler算子的直接幂级数展开法 (power series expansion, PSE) [6]、Tustin算子的连分式展开法 (continued fractional expansion, CFE) [7]和Muir递归展开法 (Muir-recursion) [8]等;另一种是间接离散化方法, 一般是先进行连续时间频域拟合, 然后将拟合得到的s函数离散化, 如Oustaloup算法[9]、Charef算法[10]等。

Tustin变换是连续系统离散化的常用方法。研究了基于Tustin变换的分数阶微分算子直接离散化方法并比较了基于PSE、CFE和Muir递归展开法的近似离散化方法。

1 分数阶微积分基础

1.1 分数阶微积分的定义

分数阶微积分是经典整数阶微积分的自然扩展, 它允许微积分的阶次为任意实数甚至可以为复数。常用的两种分数阶微积分定义是Grünwald-Letniko定义和Riemann-Liouville定义[11]。对连续可导函数f (t) 的r阶Grünwald-Letnikov微积分定义如下

式 (1) 中, [·]表示整数部分, 为分数阶微积分算子, r为正表示微分, r为负表示积分, a和t分别为积分上下限。

Riemann-Liouville微积分定义如下

式 (2) 中, n-1<r<n, Г[·]为伽马函数。在实际的物理系统和工程应用中, 上述两个微积分定义是等效的[12]。

拉普拉斯变换常用于解决用传统微分方程描述的工程问题, 同样可以用于分数阶微积分。根据Riemann-Liouville微积分定义, 考虑零初始条件分数阶微积分的拉普拉斯变换为

式 (3) 中, 0<r<1, 表示拉普拉斯变换, s为拉普拉斯算子。

1.2 分数阶动态系统的离散化

分数阶动态系统可用如下分数阶微分方程描述[13]

式 (4) 中, , ak (k=0, …, n) 和bk (k=0, …, m) 为常数, αk (k=0, …, n) 和βk (k=0, …, m) 为任意实数。不失一般性, 可假设αn>αn-1>…>α0及βm>βm-1>…>β0。考虑式 (3) , 则分数阶动态系统的传递函数为

为进一步得到分数阶系统的离散化模型, 首先要对分数阶微积分算子s±r进行离散化近似, 首先将拉普拉斯算子用所谓的生成函数s=ω (z-1) 来表示, 于是可得到动态系统离散时间传递函数的一般表达式为

式 (6) 中, 生成函数ω (z-1) 通常表达成复变量z或移位算子z-1的函数。此生成函数及其展开式决定了分数阶微积分算子逼近的形式和系数。例如, 当使用后向差分进行离散化时, ω (z-1) = (1-z-1) /T, 其中T为采样周期。通过幂级数展开可以得到离散化的分数阶微分算子为FIR形式的数字滤波器[14]。

2 分数阶微分算子的离散化

分数阶微积分算子的离散化方法对分数阶控制系统的具体实现具有十分重要的影响。本文采用Tustin变换为生成函数, 并应用不同的展开方法对式 (7) 进行展开得到分数阶微分算子的离散化近似。

2.1 基于PSE的离散化

分数阶微分算子离散化最简单的方法是对Tustin算子直接幂级数展开。通过幂级数展开可以得到其离散时间传递函数, 这实际上是一个FIR形式的数字滤波器。对其进行适当的截断处理[6], 则可以得到近似的离散时间传递函数, 其表达式如下

式 (8) 中, PSE{u}表示函数u的幂级数展开, n为近似阶数。文献[15]给出了一种Tustin算子直接幂级数展开的IIR形式数字滤波器算法, 其表达式如式 (9) 。

式 (9) 中, Pp和Qq分别是阶数为p和q的多项式。

2.2 基于CFE的离散化

基于PSE的分数阶微分算子离散化得到的是多项式函数, 而有理函数在计算或插值中往往要优于多项式。连分式是对函数或数值的一种有效近似形式, 它比幂级数展开的收敛速度快, 并且可以应用到复数空间[7]。因此, 应用连分式展开来进行分数阶微分算子的近似, 能得到更好的近似效果。一般地, 函数G (z) 可用连分式形式表示为

式 (10) 中, ai (z) 和bi (z) 为z的有理函数或常量。于是通过截断处理, 可以得到近似的有理函数G^ (z) 为

式 (11) 中, CFE{u}表示对函数u的连分式展开, Pp和Qq分别是阶数为p和q的多项式。

2.3 基于Muir-recursion的离散化

如何得到分数阶微分算子离散化的递推算法是分数阶控制数字实现的关键。文献[8]介绍了Muir递推算法, 该算法最初应用于石油探测的数据处理。目前, 常与Tustin变换结合用于分数阶微分算子的离散化。不失一般性, 假设r∈[0, 1], 分数阶微分算子的递推公式为

式 (12) 中, A0 (z-1, r) =1, 且

式 (13) 中, n为奇数时cn=r/n, n为偶数时cn=0。对于已给定的近似阶数n, An (z-1, r) 和An (z-1, -r) 可用MATLAB符号工具箱得到, 从而分数阶微分算子sr的近似离散化传递函数可由式 (14) 计算。

3 仿真与比较

为比较以上三种基于Tustin变换的分数阶微分算子离散化方法 (以下分别简记为PSE+Tustin、CFE+tustin、Mur+Tustin) , 取10以内奇数近似阶次, 采样周期T=0.001 s对分数阶微分算子s0.5进行离散化近似。以下图1~图3分别为PSE+Tustin、CFE+Tustin和Mur+Tustin方法的伯德图。其中, 图例Gf表示s0.5的连续域伯德图, Gp3、Gc3、Gr3分别代表近似阶次为3的s0.5离散化数字滤波器的伯德图, 其他图例含义以此类推。

由伯德图可见, 就以上三种离散化近似方法而言, 在低频段幅频特性和相频特性的误差都较大, 而在高频段则较小, 且频率越低误差越大。就某一种方法而言, 离散化近似的幅频特性结果要好于其相频特性, 且近似阶数越高近似效果越好。然而, 需要特别注意的是, 在频率很高时, 各种方法的近似效果又都急剧变差。

相比较而言, CFE+Tustin方法在较宽频带内对幅频特性和相频特性的近似效果都要好于另外两种方法, 也就是说采用较低阶次可以得到另外两种方法取较高阶次时的近似结果, 这就易于数字滤波器的设计和数字化控制器的实现。但从仿真计算过程来看, 当进一步提高近似阶次以期进一步提高近似精度时, 将耗费过多的计算时间。

本文中的PSE+Tustin方法和Mur+Tustin方法都是递推方法, 为比较增加近似阶次时近似误差的变化, 定义误差指数如公式 (15) 。

式 (15) 中, Bd (jω) 和Bc (jω) 分别表示数字滤波器和连续微分算子的幅频特性或相频特性;ωu和ωl分别为所考查频率的上下界。图4示出了这一变化趋势。可见, 随着近似阶数的提高, 这两种方法的近似误差都快速减小, 并在阶数较高时趋于稳定。但从实际的仿真计算过程来看, PSE+Tustin算法比Mur+Tustin算法的运算速度更快, 在近似阶数超过25阶以后差别尤其显著。

4 结束语

分数阶微分算子的离散化是分数阶控制器数字实现的关键。论文研究了基于Tustin变换的分数阶微分算子直接离散化方法, 并对PSE+Tustin、CFE+Tustin和Mur+Tustin三种方法进行了比较。

相比较而言, 相同近似阶次情况下, CFE+Tustin的近似效果最好, 但随着近似阶次的增加, 计算耗时也大大增加。PSE+Tustin和Mur+Tustin都是递推离散化方法, 相比而言两者近似效果相当, 但前者运算速度更快, 因此更适合控制器设计和仿真过程中的分数阶微分算子离散化。论文下一步工作将关注分数阶控制器离散化的评价策略和分数阶系统的递推求解方法。

分数阶微分算子篇2

1 传统图像重构方法的不足

在各种图像重构过程中, 如图像增强和超分辨率重构, 传统的方法在具体应用领域虽已获得一定的增强效果, 但是在重构图像的突变结构部分, 如边缘信息细节保留的不够到位, 再者, 针对某些方法不能根据图像的局部几何信息或者图像的局部特征自适应地调整算法参数, 而是在整个增强过程中, 对单一的像素点或者某图像中的某小区域运用同样的算子, 实现同样强度的重构, 这样难免会造成重构后的图像局部失真, 效果不明显, 导致算法的实效性不足, 无法满足实际需要和科学研究。因此, 图像重构时同时保持局部几何特征和提高重构效果的问题亟待解决。

2 利用结构张量进行图像局部表征算子的研究现状

结构张量较经典梯度或曲率算子而言, 其结合了图像的局部方向信息, 因而可以获取更多额外的结构信息, 即更好地描述出图像目标的边缘、形状、角点等纹理结构信息[1,2]。它不仅符合人类视觉特性, 同时反映了邻域内图像的复杂性, 还很好地避免了“梯度消去效应”。此外, 滤波后的结构张量对噪声具有更强的鲁棒性, 因而可以提取出稳定的结构特征。另一方面研究发现[3,4], 分数阶微分的感受野模型更符合人类视觉感知特性, 处理图像纹理时, 分数阶导数比整数阶导数更加准确、精细, 在图像去噪时, 还可以有效抑制“阶梯效应”和“斑点效应”等特点。因此, 将分数阶微积分理论与结构张量相结合, 构建分数阶微分几何描述算子, 对图像局部特征进行表征有着重大研究价值。且此类图像局部描述算子不仅可以运用到图像的去噪增强、重构模型中, 还可以作为类似于LBP特征等中低层图像描述特征, 运用于图像检索、分类等领域。近年来, 张量与图像的局部表征算子已取得一些成果:郑钰辉等人构建了一种基于迹的非线性结构张量来表征图像[5], Li和Robini等利用扩散张量结构自适应稀疏降噪方法解决MRI图像问题[6], Liu等构造了基于结构张量的自适应各向异性扩散降噪模型[7], Zheng等提出自适应正则化参数的非局部全变差去噪方法, 赵文达等给出基于结构张量的变分多源图像融合算法。然而通常张量的计算是依赖于图像固有局部邻域的结构信息的, 因此当局部邻域包含非单一结构, 如边界或两种不同纹理结构时, 由高斯核平滑后的局部邻域往往导致不准确的估计;蕴含张量 (或扩展张量) 特性与分数阶微分优势的微分几何的描述算子及其特性却鲜有研究。

3 分数阶微分算子及其扩散在流形上图像重构机理的研究

结构张量的空间并不是欧氏空间, 而是李氏群, 其具有黎曼流形 (Riemannian manifolds) 结构。黎曼流形是一个局部欧氏的拓扑空间, 具有连续黎曼度量的微分流形。与欧氏空间相比较, 黎曼流形上的黎曼度量可以根据流形的内蕴几何特征来确定, 有利于更加丰富地表征图像的局部结构信息, 而且, 黎曼流形更接近于图像复杂局部结构信息的活动标架的实际环境。近几年, 学者们对黎曼流形的研究在逐步升温, 并获得了一定的研究成果。但是利用分数阶微分的感受野模型这更符合人类视觉感知特性, 将分数阶微积分理论引入到黎曼流形上的研究比较少, 利用分数阶描述子对图像不同区域形成不同尺度的处理, 这类研究更是鲜有报道。因此, 在黎曼流形上将分数阶微积分理论与张量扩散相结合, 不但充分利用了黎曼流形能丰富地表征图像的局部结构信息的特性, 而且继承了张量扩散的各向异性, 又因分数阶微积分的特性而能更好地处理小尺度图像特征, 因而有着重大研究价值。

综上所述, 开展分数阶微分算子及其扩散在黎曼流形上图像重构机理的研究, 其研究涉及了当今现代微分几何学科、偏微分图像处理、混沌同步与控制等前沿课题, 具有重要的理论意义。

参考文献

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[2]蒲亦非, 王卫星, 周激流, 等.数字图像纹理细节的分数阶微分检测及其分数阶微分滤波器的实现, 中国科学E辑:信息科学, 2008, 38 (12) :2252-2272.

[3]X.Yin, S.Zhou*, M.A.Siddique.Fractional nonlinear anisotropic diffusion with p Laplace variation method for image restoration, Multimedia Tools and Applications, 2015.

[4]L.Wang, S.Zhou*, A.Karim.Image zooming technique based on the split bregman iteration with fractional order variation regularization, International Arab journal of information technology, accepted.

[5]L.Wang, S.Zhou*, A.Karim.Superresolution image reconstruction method using homotopy regularization, Multimedia Tools and Applications, 2015, DOI:10.1007/s11042-015-2910-0.

[6]郑钰辉, 潘瑜, 王平安, 韦志辉, 夏德深.基于迹的非线性结构张量.计算机辅助设计与图形学学报, 2008, 20 (2) :259-266.

基于分数阶微分的图像增强算法篇3

图像邻域像素间的灰度值具有一定的相关性, 高度自相似的图像分形信息常以复杂的纹理细节信息表现。传统的Sobel算子、Prewitt算子是一阶边缘锐化算子, 可沿水平方向和垂直方向锐化图像的边缘。Laplacian算子是二阶边缘锐化算子, 对噪声比较敏感。Sobel算子、Prewitt算子、Laplacian算子都是基于空域的整数阶微分运算。整数阶微分运算可以增强图像的高频边缘轮廓信息, 但对图像纹理细零, 导致这部分图像变得模糊不清。节和平滑区域的中低频信息的运算结果约等于分数阶微积分是整数阶微积分的数学推广, 将微积分的阶次从整数阶推广至分数阶。分数阶微积分已经在生物工程、动力学系统、信号处理等领域得到了广泛应用[3,4,5]。在图像处理领域, 分析图像信号的分数阶微积分的拮抗特性与纹理细节提取时, 比较分数阶微分与整数阶微分的仿生Rodieck模型, 并比较两者对应的仿生Rodieck感受野模型的马赫带现象, 可以得出分数阶微分算子比整数阶微分算子更有利于分析和强化图像纹理细节信息的结论[3,4]。

1 Riemann-Liouville分数阶微分理论

目前, 分数阶微积分还没有统一的时域定义的表达式。因为从不同的应用角度分析, 可以得到不同的分数阶微积分定义[3]。比较经典的分数阶微积分定义有:Grünwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义和Caputo定义等。

其中, Riemann-Liouville定义是对GrünwaldLetnikov定义进行了改进, 使之计算简化, 是目前最常用的分数阶微积分定义。

1.1 Riemann-Liouville分数阶微分定义

信号f (t) ∈[a, t]的v阶分数阶积分的R-L定义为[3,6]

对于任意的正整数n和实数v, 有

当n=1, a=0, 0≤v<1时, 由式 (1) 和式 (2) , 可得信号f (t) 的R-L分数阶微分为

令a=0, 将信号f (t) 在[0, t]区间内N等分, 推导可得

对于二维图像信号f (x, y) , 像素间的最小间隔为1。根据式 (4) , 可得f (x, y) 在x和y方向的分数阶偏微分近似表达式

1.2 分数阶微分增强算子模板构造

设在一定的条件下, 二维图像f (x, y) 在x轴和y轴的分数阶微分可分离, 利用以上Riemann-Liouville分数阶微分表达式的推导结果, 可构造分数阶微分增强算子模板。

构造分数阶微分增强算子模板时, 要考虑中心像素点邻域的x0方向、x45方向、x90方向、x135方向、x180方向、x225方向、x270方向和x315方向等八个方向, 如图1所示。其次, 考虑算子模板的各向旋转不变性, 并将8个方向的分数阶微分模板组合在一起, 可构造如图2所示5×5大小的R-L分数阶微分增强算子模板[4,5,6,7]。采用分数阶微分增强算子模板对图像进行增强处理时, 先要对模板系数进行归一化处理, 再利用模板对图像完成卷积运算。

2 图像增强仿真实验

2.1 灰度图像

对灰度图像pout.tif分别采用Sobel算子 (算子模板系数为[-1-2-1;0 0 0;1 2 1]) 、Prewitt算子 (算子模板系数为[-1-1-1;0 0 0;1 1 1]) 、Laplacian算子 (算子模板系数为[0-1 0;-1 4-1;0-1 0]) 、5×5大小的R-L分数阶微分增强算子进行图像增强的仿真实验, 增强效果如图3所示。

由图3可见, Sobel算子、Prewitt算子锐化了原始图像的边缘, 但对图像的纹理细节信息并没有明显增强。Laplacian算子的图像增强视觉效果比较自然。

相比整数阶微分增强算子, 分数阶微分增强算子能有效保留图像的纹理细节信息, 并且可以根据图像的实际增强效果, 灵活地调节微分阶次。实验中, 微分阶次分别选择为0.35阶、0.48阶、0.59阶、0.79阶。随着分数阶微分阶次的增加, 图像的纹理信息逐渐得到了加强。

2.2 彩色图像

对彩色图像proxy.jpg分别采用Sobel算子 (模板系数[-1-2-1;0 0 0;1 2 1]) 、Prewitt算子 (模板系数[-1-1-1;0 0 0;1 1 1]) 、Laplacian算子 (模板系数[0-1 0;-1 4-1;0-1 0]) 、5×5大小的R-L分数阶微分增强算子进行图像增强的仿真实验, 增强效果如图4所示。

由于彩色图像的R、G、B分量具有相关性, 因此在进行图像增强处理时, 要先将RGB彩色图像转换到HSI色彩空间。

由图4可见, Sobel算子、Prewitt算子显著加强了图像的上下垂直边缘。Laplacian算子锐化了中心像素点上下左右4个方向的边缘, 增强效果从视觉效果上看优于Sobel算子与Prewitt算子。

实验中, 分数阶微分的微分阶次从小到大, 依次选择为0.48阶, 0.55阶, 0.62阶, 0.79阶。随着微分阶次的增加, 图像的纹理信息得到了加强。

3 图像增强效果熵的计算

图像增强效果除了主观评价, 还可以引入熵的概念进行定量分析。熵是信息论中, 对于不确定信息的度量。熵值越大, 表示信息量越大, 反之则越小。对于图像信号而言, 代表图像信息的就是图像的纹理和边缘。如果图像的熵越大, 则表示图像的纹理和边缘信息越丰富。

若一幅图像的灰度等级是{r1, r2, …, rm}, 其概率分别是{p (r1) , p (r2) , …, p (rm) }, 则图像熵的计算公式为

3.1 整数阶图像增强熵的计算

采用Sobel算子、Prewitt算子及Laplacian算子等整数阶图像增强算子, 对灰度图像pout.tif和彩色图像proxy.jpg进行图像增强处理的实验结果, 如图3和图4所示。表1是各种整数阶图像增强算子处理后, 图像熵的计算结果。

由表1可见, 对于灰度图像pout.tif和彩色图像proxy.jpg而言, Sobel算子的熵值最大。从图3和图4的图像增强效果可见, Sobel增强算子对原始图像的边缘轮廓锐化效果最明显。

3.2 分数阶图像增强熵的计算

分数阶微分阶次不同时, 用分数阶微分增强算子对灰度图像pout.tif和彩色图像proxy.jpg进行的图像增强处理的实验结果, 如图3和图4所示。表2和表3是分数阶微分增强算子对图像进行增强处理后, 图像熵的计算结果。

由表2和表3可见, 随着分数阶微分阶次的增加, 分数阶微分增强算子处理后的图像熵值呈上升趋势, 说明图像的纹理细节信息得到了加强。

4 结束语

本文构造了基于Riemann-Liouville定义的5×5大小的分数阶微分增强算子模板, 并采用传统的Sobel、Prewitt、Laplacian等整数阶微分增强算子, 分别对灰度图像和彩色图像进行了图像增强的仿真实验。最后, 引入图像增强效果熵的计算, 给出各种增强算子处理后图像的熵值。

仿真实验结果表明, 分数阶微分增强算子的微分阶次灵活可调, 图像增强的视觉效果明显优于整数阶微分增强算子。但是微分阶次的选择及熵值的大小与图像的纹理信息等密切相关, 还需要进行进一步的研究。

参考文献

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分数阶微分算子篇4

分数阶微分是整数阶微积分运算的推广，其在信号处理中的应用目前在国内外还都是一个研究甚少的新兴科学分支。尤其在图像处理中，最近两年才陆续出现相关的研究论文。在数字图像中，邻域内像素与像素之间的灰度值具有很大的相关性，这种高度自相似的信息通常是以复杂的纹理细节信息表现的，而将分数阶微分引入图像处理有非常好的增强复杂纹理细节的效果[2]。所以将分数阶微分引入对岩石裂隙细节进行分析是非常有必要的尝试。

目前使用分数阶微分算子的方法是参考sobel等整数阶算子构造合适的微分算子模板，然后用构造出的算子模板和图像做卷积处理[2]。这种方法目前在图像边缘检测[3,4]和图像增强[5,6]应用中有较好的实现。

为了能优化微分算子的强化高频信息的优势和提高信噪比，本文设计了一种小阶数模板迭代卷积的算法。这种算法在岩石裂隙细节提取试验中相比单一掩模和传统算法有非常好的提取信号细节的能力。该算法的基础是对现有的微分算子模板做一些改进。

1 微分算子模板的改进

1.1 图像分数阶微分算子定义式

对于坌ν∈R，令其整数部分为[ν]，若信号s(t)∈[a,t](a0时，m至少取[ν]，则分数阶v阶导数的Letnikov定义式为[2]：

其中C-rv=.

根据Letnikov微分定义表达式(1)，若一元信号s(t)的持续期为t∈[a,t]，将信号持续期[a,t]按单位等分间隔h=1进行等分，可以推导出一元信号s(t)v阶分数阶微分差值表达式为[7,8,9]：

由差分表达式，便可以得到分数阶微分的差分系数为：

1.2 分数阶微分掩模模板的改进

考虑到算子误差和卷积计算量，针对分数阶微分的差分系数一般采用前三个系数构造模板。这种情况下被提出的各向同性模板是被称为Tiansi模板的微分算子模板[4,5](见图1)。图2是改造后的算子模块。

这种模板最大的缺陷在于不同分数阶数的模板卷积结果存在阶数不均衡的现象。由于算子采用的是以(a0+a1+a2)×8系数做相除修正，而这个修正系数在阶数为1取值为零，这会导致算子在接近零时系数突变增大，使得卷积后的结果由于数值过大无法再显示于图像值域范围内。

为了实现模板阶数的均衡化，本文将Tiansi算子模板加以改进，令模板中间系数减去一个修正系数m，使得模板由商修正转变为差修正。改造后的算子模板如图2所示，其中：

这种算子对于0～1的阶数变化具有非常好的均衡性。当阶数选取近似为1时，算子亦蜕化为强化拉普拉斯算子，算子对图像的影响最大;而当阶数选取近似为0时，算子对图像的影响慢慢趋于最小。下面是两个算子模板在0.3阶数时的处理效果直方图对比：

对于图3的原始岩石裂隙图像，其直方图(图4)灰度能量绝大部分都集中在低灰度区域，而感兴趣的目标区域分布在较高灰度区域。对比图5 Tiansi模板处理效果直方图和图6修正模板处理效果直方图后不难发现：修正模板可以使得较低频信号迅速向0灰度收敛，同时使较高频信号向255灰度收敛，修正模板对于岩石裂隙图像的较低灰度细节强化显著优越于Tiansi模板。

2 小阶数模板迭代算法

2.1 迭代思想的引入

目前分数阶微分图像算子的应用都是针对图像做预处理，如同使用sobel、Roberts等算子那样将边缘细节显示出来后再引用其它图像算法做进一步的提取，比如阈值分割算法和平滑去噪等等。这样，微分算子效果处理的好坏不仅仅取决于算子本身，还需要辅助算法的支持。本文结合分数阶微分和图像的特点，将迭代思想引入到图像算法中，使新算法可以更多更好的把高频细节保留下来。

分数阶微分算子使得岩石裂隙图像中的较低灰度高频细节强化并显示出来，而其中高频细节强化程度的多少却取决于选取的阶数大小。这里面最主要的矛盾在于大量噪声是以高频细节信号存在的。当微分阶数选取较小时，裂隙细节和噪声被强化的效果都很小;当微分阶数选取较大时，虽然欣慰地得到了较多裂隙细节，但同样也会得到大量噪声点。在实验中，针对Tiansi模板的应用，不同微分阶数的卷积结果信噪比分析有着比较明显的类似高斯分布的特点，当阶数选取在0.2左右时信噪比最高，而阶数偏离0.2之后信噪比会按一定的曲线一直衰减[5]。

如此可以推断：若引用迭代微分思想做图像处理，在小阶数处选取一个适当的模板作迭代微分算子，就可以使每一次迭代卷积结果皆能得到较高的信噪比，这样同比一高阶微分，数次低阶微分的效果要优化于前者;同时，如果根据图像本身的特点针对每一次微分做不同程度的细节提取，那么随着迭代次数的增多，大量的细节会显示并被提取出来，这时候即使大量细节伴随着噪声点出现，我们也可以根据每次迭代处理的结果和其相关性进行去噪和筛选。

2.2 算法的提出及效果

基于刚刚提出的微分算子修正模板，本文提出一种针对于岩石裂隙图像处理的迭代算法。

根据岩石裂隙图像的直方图(图4～图6)，我们可以知道此类微分图像有以下特点：图像中的裂隙信息大部分处于高灰度值区域，而背景和噪声较多分布于低灰度值区域;两种微分算子对此类图像的细节强化非常突出之处是在255灰度值的增加上，而非255灰度值的高灰度区域并无明显变化。

通过对裂隙图像的直方图(图4)进行分析，裂隙图像的背景噪声在灰度值8附近达到了极大值，因为只有当噪声点为2邻域孤立像素点时算子模板对其强化的影响最大，所以本文采取以假设孤立点的思路来确定修正模板的阶数。因为岩石裂隙图像中孤立点极少，针对岩石裂隙图像直方图的特点，本文采取最小风险的做法，取灰度值8为假设孤立噪声分界点，这样对于模板中间系数的迭代乘积空间就是255/8。为了既能得到迭代微分的效果且节省迭代成本，本文选择5次迭代为有效迭代。这样可以得到修正模板的中间系数约为2，计算得出我们需要的阶数为0.0858，构造模板如图7所示：

这个小阶数模板的特殊之处在于中间系数2的选择。在由迭代乘积空间计算中间系数时，实际计算的中间系数为1.9984，但中间系数选取为2会使得最终计算的模板更加完整，而且也有利于进行对图像孤立点的分析。

为了能够得到较好的结果，本文选取的迭代次数为6次。在实验中，对比每次迭代后的取样结果，迭代前三次取样时随机噪声还没有出现，而第四次迭代取样也只是出现了为数不多的几个噪声点。所以为了更好的保留细节，本文采取了如下的去噪思路：

保留前四次迭代取样的结果，以第四次取样后的图像做基本信号图;以第五次和第六次迭代取样后的图像为参考对第四次骨架图做细节弥补;以第四次取样图为参考，对第五次取样图中增加的点做2邻域判断，2邻域内若无已存在像素点则按噪声点去掉，得到五次迭代取样修正图;以上一过程中得到的第五次迭代取样修正图为参考，对第六次取样图中增加的点做1邻域判断，1邻域内若无已存在像素点则按噪声点去掉，得到六次迭代取样修正图。

去噪后的图像保留了第四次递归取样时被认同的噪声，但在第五次和第六次出现的噪声点大部分都被去除了。最后，通过对初步去噪后的图像进行弥补和孤立点排除后，最终得到图像(图8)。为了和目前采用分数阶微分算子处理效果[5]作比较，本文选取了0.55阶数构造微分模板做卷积后，用迭代阈值二值化分割的方法得到Tiansi算子最后效果(图9)。

通过图8和图9比较，图8中所提取出来的细节相对更饱满，尤其是裂隙较低灰度部分。虽然在显示低灰度高频细节上tiansi算子较经典算子有较好的表现[4,5],但相对修正算子迭代卷积处理的结果，tiansi算子在低灰度较高频细节上的处理便稍逊一筹。在裂隙灰度值较低的部分，新算法通过迭代卷积之间的关系把更多细节保留下来，这是一次算子卷积二值化处理不可能做到的。

3 总结

本文首先针对现使用的tiansi模板提出了一种修正模板方法，通过和tiansi模板卷积结果作比较，可知修正后的模板可较好地提高图像中的高频细节。然后本文根据岩石裂隙图像的特点和分数阶微分的特性，基于修正后的模板又提出了迭代微分取样的方法运用于岩石裂隙图像提取，在和现有的微分算子tiansi模板的卷积二值化处理结果比较中得到了较好的效果。

由于迭代算法确定模板算子时采用了对孤立点噪声的最低风险预测分析，而更多图像采用孤立点表示微分结果时效果并不好。如何针对图像的特点有效精确地确定迭代算法的迭代次数和模板算子仍然需要进一步研究。

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分数阶微分算子篇5

分数阶微积分是一个既古老又现代的话题。早在整数阶微积分产生的时候分数阶微积分就产生了,该问题曾被许多数学家,如Leibniz(1695),Euler (1738),Liouville (1850),Hardy 和Littlewood(1925) 等涉及和探究过[1]。虽然分数阶微积分的研究难度很大,但近三百年在众多科学家的不懈努力下,分数阶微积分作为纯数学分支已经发展渐成体系,但其物理意义不明确,阻碍了分数维微积分的应用,目前在工程技术界中没有得到广泛应用。从Mandelbrot提出分形学说,将Riemann-Liouville分数阶微积分用以分析和研究分形媒介中的布朗运动以来,分数阶微积分才在许多学科,特别是在化学、电磁学、控制学、材料科学和力学中引起广泛关注并尝试着应用[2,3]。随信息科学的变革和迅猛发展,分数阶运算在很多问题的处理过程中所拥有整数阶运算无可比拟的优点正逐渐显露出来。

目前分数阶滤波器已经在分数阶控制器、信号处理、图像压缩和处理等领域得到成功应用。分数阶数字分数阶微分滤波器的设计和改进,正成为分数阶微积分研究领域的一个热点[4,5,6,7,8]。数字微分滤波器的设计方法通常可以归为2类:第一种是线性相位FIR 滤波器方法;另一种是IIR滤波器法。考虑到滤波器设计复杂度因素,FIR微分滤波器阶数会受到限制,影响了其频率响应对理想频率响应的逼近效果[9],因此这里考虑使用IIR分数阶微分滤波器来实现分数阶运算。

IIR分数阶数字微分滤波器设计的重点是实现分数阶算子的离散化[10],即是找到一个函数Gv(z),使其频率响应无限逼近理想分数阶数字微分器的频率响应Hv(ω)=(jω)v。基本步骤可以归纳为:首先,找到频率响应接近理想一阶微分的算子;然后基于所选用的微分算子,推导出分数阶微分滤波器传输函数;最后通过各种展开方法把传输函数的分数阶形式转化为整数阶滤波器形式。完成分数阶展开的常用方法有幂级数展开(PSE)和连续分数扩充(CFE),其中连续分数扩充方法对函数的逼近更好,收敛更快[11]。

首先对Rectangular算子、Tustin算子、Simpson算子这几种典型微分算子通过连续分数扩充,得到相应的0.5阶微分滤波器频率响应。通过分析这几种算子的频率响应表明,基于这几种典型算子的分数阶微分滤波器各有优缺点和具有互补性,将这几种典型算子进行结合可得到更接近理想分数阶微分算子频率响应的算子。

1 典型IIR分数阶微分滤波器

1.1 基于Simpson算子的IIR分数阶数字微分滤波器

Simpson微分算子表示为:

HS(z)=(3/T)[(1-z-2)/(1+4z-1+z-2)] (1)

则Simpson分数阶微分器传输函数为:

$G_{S} (z) = {(3 / Τ) [(1 - z^{- 2}) / (1 + 4 z^{- 1} + z^{- 2})}^{v} (2)$

在此使用连续分数扩充(CFE)方法完成对上式的展开,这里简要介绍分数阶算子实现过程中使用到的CFE方法。对于任何一个函数D(z),可以用下面连续分数的形式来表示:

$D (z) ≅ a_{0} (z) + \frac{b_{1} (z)}{a_{1} (z) + \frac{b_{2} (z)}{a_{2} (z) + \frac{b_{3} (z)}{a_{3} (z) + \dots}}} (3)$

式中,系数ai,bi是关于变量z的有理函数或常数。只需要通过截断操作,就能得到有限阶逼近函数。下面列出T=0.001 s时,使用连续分数扩展(CFE)完成上式的展开,得到0.5阶微分的Simpson分数阶微分滤波器传递函数G $_{S n}^{v}$ (z):

$\begin{array}{l} G_{S 3}^{0.5} (z) = \frac{54.77 (z^{3} + 3.303 3 z^{2} + 0.262 3 z - 2.725 4)}{z^{3} + 5.303 3 z^{2} + 5.868 9 z - 1.504 1} \\ G_{S 5}^{0.5} (z) = \frac{54.77 (z^{5} + 5.867 4 z^{4} + 7.346 1 z^{3} - 6.319 7 z^{2} - 8.379 6 z + 2.639 8)}{z^{5} + 7.867 4 z^{4} + 18.808 z^{3} + 6.505 1 z^{2} - 12.395 5 z - 1.420 7} \\ G_{S 7}^{0.5} (z) = \frac{54.77 (z^{7} + 8.447 z^{6} + 21.364 31 z^{5} + 6.495 5 z^{4} - 32.817 8 z^{3} - 16.668 6 z^{2} + 13.875 7 z + 1.262 4)}{z^{7} + 10.447 z^{6} + 37.258 2 z^{5} + 44.777 1 z^{4} - 14.903 4 z^{3} - 45.694 6 z^{2} - 0.007 8 z + 3.092 4} \end{array} (4)$

G $_{S n}^{v}$ (z)中v表示微分阶数;n表示滤波器阶数。

图1是基于Simpson算子的0.5阶微分滤波器的频率响应曲线图。

通过对比和分析,从误差和计算复杂度两个方面均衡考虑分数阶微分滤波器阶数的选为5阶比较合适。因此这里滤波器的阶数都选为5阶。

1.2 基于Rectangular算子的IIR分数阶数字微分滤波器

Rectangular算子表示为:

$G_{R} (z) = (1 / Τ) \cdot [(1 - z^{- 1}) / 1] (5)$

基于Rectangular算子的分数阶微分器传输函数可以写为:

$G_{R}^{v} (z) = [(1 / Τ) \cdot (1 - z^{- 1}) / 1]^{v} (6)$

这里使用连续分数扩充(CFE)法将展开上式,实现对函数的有限阶逼近。下面列出T=0.001 s时,0.5阶微分Rectangular分数阶微分滤波器传递函数G $_{R n}^{v}$ (z):

$\begin{array}{l} G_{R 3}^{0.5} (z) = \frac{31.62 (z^{3} - 1.75 z^{2} + 0.875 z^{2} - 0.109 4)}{z^{3} - 1.25 z^{2} + 0.375 z - 0.015 6} \\ G_{R 5}^{0.5} (z) = \frac{31.62 (z^{5} - 2.75 z^{4} + 2.75 z^{3} - 1.203 1 z^{2} + 0.214 8 z - 0.010 7)}{z^{5} - 2.25 z^{4} + 1.75 z^{3} - 0.546 9 z^{2} + 0.058 6 z - 0.000 976 56} \\ G_{R 7}^{0.5} (z) = \frac{31.62 (z^{7} - 3.75 z^{6} + 5.625 z^{5} - 4.296 9 z^{4} + 1.757 8 z^{3} - 0.369 1 z^{2} + 0.032 4 z - 0.000 915 53)}{z^{7} - 3.25 z^{6} + 4.125 z^{5} - 2.578 1 z^{4} + 0.820 3 z^{3} - 0.123 z^{2} + 0.006 8 z - 0.000 061} \end{array} (7)$

G $_{R n}^{v}$ (z)中v表示微分阶数;n表示滤波器阶数。

1.3 基于Tustin算子的IIR分数阶数字微分滤波器

Tustin算子表示为:

$G_{Τ} (z) = (2 / Τ) \cdot [(1 - z^{- 1}) / (1 + z^{- 1})] (8)$

基于Tustin算子的分数阶微分器传输函数可以写为:

$G_{Τ}^{v} (z) = (2 / Τ)^{v} [(1 - z^{- 1}) / (1 + z^{- 1})]^{v} (9)$

使用连续分数扩充(CFE)方法将上式展开,完成对函数的有限阶逼近。下面列出了T=0.001 s时,0.5阶微分Tustin分数阶微分滤波器传递函数G $_{Τ n}^{v}$ (z):

$\begin{array}{l} G_{Τ 3}^{0.5} (z) = \frac{44.72 (z^{3} - 0.5 z^{2} - 0.5 z + 0.125)}{Ζ^{3} + 0.5 z^{2} - 0.5 z - 0.125} \\ G_{Τ 5}^{0.5} (z) = \frac{44.72 (z^{5} - 0.5 z^{4} - z^{3} + 0.375 z^{2} + 0.187 5 z - 0.031 3)}{z^{5} + 0.5 z^{4} - z^{3} - 0.375 z^{2} + 0.187 5 z + 0.031 3} \\ G_{Τ 7}^{0.5} (z) = \frac{44.72 (z^{7} - 0.5 z^{6} - 1.5 z^{5} + 0.625 z^{4} + 0.625 z^{3} - 0.187 5 z^{2} - 0.062 5 z + 0.007 813)}{z^{7} + 0.5 z^{6} - 1.5 z^{5} - 0.625 z^{4} + 0.625 z^{3} + 0.187 5 z^{2} - 0.062 5 z - 0.007 813} \end{array} (10)$

G $_{Τ n}^{v}$ 中v表示微分阶数;n表示滤波器阶数。

图2是基于典型Rectangular算子、Tustin算子和Simpson算子的0.5阶微分滤波器的频率特性曲线,所实现的滤波器阶数都是5阶。从图2中可以看出3种滤波器在低频区域,幅度曲线还能与理想幅度一致,但随着频率增加,特别是在高频区域,误差迅速增大。

从图2中可以看出,基于Rectangular滤波器的幅度特性最好,但相位特性明显比另两种算子的差。Tustin的优点在于其相位特性非常好,相位曲线绝大部分区域都与理想频率响应相位曲线重合。Tustin和Simpson有很强互补性。因为两者在低频的表现都比较好,虽然在高频都有明显误差,但两者的幅度曲线分别位于理想频率曲线的上下两侧。因此,这里认为通过这3种算子的相互结合,可以得到一种新的、频率特性更好的微分算子。

2 通过内插结合形成新分数阶微分滤波器

2.1 基于Rectangular算子和Tustin算子内插结合的分数阶微分滤波器

通过观察发现矩形(Rectangular)滤波器和梯形(Tustin)滤波器分别具有最好的幅频和相频特性,因此将这两种滤波器通过内插结合,可获得更好的近似理想积分器。

由于微分和积分的互逆性,首先推导新的积分算子HA(z)。用下标A表示结合后积分器,用下标R表示矩形积分器,用下标T表示梯形积分器,其积分算子的传输函数由Rectangular算子和Tustin算子按3∶1的比率结合获得。积分器传输函数如下所示:

$Η_{A} (z) = (3 / 4) Η_{R} (z) + (1 / 4) Η_{Τ} (z) (11)$

代入相应的传递函数得:

HA(z)=(3/4)[T/(z-1))]+

(1/4)[T(z+1)/2(z-1)] (12)

化简得:

$Η_{A} (z) = (Τ / 8) [(z + 7) / (z - 1)] (13)$

其零点不在单位圆内将零点z=-7映射到z=-1/7,通过乘以7对幅度进行相应补偿,获得最小相位积分器如下:

$Η_{A} (z) = (7 Τ / 8) [(z + 1 / 7) / (z - 1)] (14)$

通过翻转获得微分器:

$G_{A} (z) = 8 (z - 1) / 7 Τ (z + 1 / 7) (15)$

对应的分数阶微分算子G $_{A}^{v}$ (z)为:

$G_{A}^{v} (z) = {(8 / 7 Τ) [(z - 1) / (z + 1 / 7)]}^{v} (16)$

下面是T=0.001 s时,使用该算子实现0.5阶微分的IIR分数阶微分滤波器传递函数G $_{A n}^{v}$ (z):

$\begin{array}{l} G_{A 3}^{0.5} = \frac{33.8 (z^{3} - 1.571 4 z^{2} + 0.632 7 z - 0.037 9)}{z^{3} - z^{2} + 0.142 9 z + 0.020 4} \\ G_{A 5}^{0.5} = \frac{33.8 (z^{5} - 2.428 6 z^{4} + 2 z^{3} - 0.612 2 z^{2} + 0.038 7 z + 0.004)}{z^{5} - 1.857 1 z^{4} + 1.020 4 z^{3} - 0.122 4 z^{2} - 0.021 2 z + 0.001 4} \\ G_{A 7}^{0.5} = \frac{33.8 (z^{7} - 3.287 5 z^{6} + 4.102 z^{5} - 2.376 1 z^{4} + 0.597 7 z^{3} - 0.031 2 z^{2} - 0.006 8 z + 0.000 334)}{z^{7} - 2.714 3 z^{6} + 2.632 7 z^{5} - 1.035 z^{4} + 0.097 9 z^{3} + 0.023 7 z^{2} - 0.002 6 z - 0.000 108} \end{array} (17)$

2.2 基于Tustin算子和Simpson算子内插结合的分数阶微分滤波器

同样通过观察发现Tustin算子和Simpson算子虽然在高频都有明显误差,但两者的幅度曲线分别位于理想频率曲线的上下两侧,以期通过内插结合相互抵消,而获得性能更好的滤波器。新的积分算子HB(z)传输函数通过梯形(Tustin)算子和辛普森(Simpson)算子按2∶3比例结合获得。

$Η_{B} (z) = (2 / 5) Η_{Τ} (z) + (3 / 5) Η_{S} (z) (18)$

代入相应的传输函数化简得:

$Η_{B} = (2 Τ / 5) [(z^{2} + 3 z + 1) / (z^{2} - 1)] (19)$

通过翻转可以得到相应的微分算子

$G_{B} (z) = (5 / 2 Τ) [(z^{2} - 1) / (z^{2} + 3 z + 1)] (20)$

式(20)中积分算子的零点为 $r_{1} = (- 3 + \sqrt{5}) / 2$ 和 $r_{2} = (- 3 - \sqrt{5}) / 2 ‚$ 零点r1和r2互为倒数且r2零点不在单位圆内。为了构造最小相位系统,将零点r2映射到其倒数r1上。同时为了使幅度保持不变,引入补偿因子-r2。获得的积分算子如下:

$Η_{B} (z) = (- 2 Τ r_{2} / 5) [(z - r_{1})^{2} / (z^{2} - 1)] (21)$

同样,改进得微分算子为:

$G_{B} (z) = (- 5 r_{1} / 2 Τ) [(z^{2} - 1) / (z - r_{1})^{2}] (22)$

对应的分数阶微分算子GvB(z)为:

GvB(z)={(-5r1/2T)[(z2-1)/(z-r1)2]}v (23)

积分算子的极点是1和-1,在单位圆上,不满足系统稳定性,但经过后面连续分数扩充方法截断后,可以使极点都在单位圆内。

下面是T=0.001 s时,使用新算子B实现0.5阶微分的IIR分数阶微分滤波器函数G $_{B n}^{v}$ (z):

$\begin{array}{l} G_{B 3}^{0.5} = \frac{30.9 (z^{3} - 0.383 6 z^{2} - 0.853 5 z + 0.327 2)}{z^{3} - 0.001 6 z^{2} - 0.5 z + 0.000 414} \\ G_{B 5}^{0.5} (z) = \frac{30.9 (z^{5} - 0.001 6 z^{4} - 1.499 4 z^{3} + 0.097 3 z^{2} + 0.525 4 z - 0.081 8)}{z^{5} + 0.380 4 z^{4} - z^{3} - 0.285 3 z^{2} + 0.187 5 z + 0.023 8} \\ G_{B 7}^{0.5} (z) = \frac{30.9 (z^{7} + 0.908 6 z^{6} - 2.347 1 z^{5} - 1.361 9 z^{4} + 1.77 z^{3} + 0.453 z^{2} - 0.423 1 z + 0.020 5)}{z^{7} + 1.290 6 z^{6} - 1.5 z^{5} - 1.613 2 z^{4} + 0.625 1 z^{3} + 0.484 z^{2} - 0.062 5 z - 0.020 2} \end{array} (24)$

2.3 基于Rectangular算子和Simpson算子内插结合的分数阶微分滤波器

同样将Rectangular算子和Simpson算子结合也可以形成新算子。新的积分算子HC(z)传输函数通过矩形(Rectangular)算子和辛普森(Simpson)算子按5∶3比例结合获得:

$Η_{C} (z) = (5 / 8) Η_{R} (z) + (3 / 8) Η_{S} (z) (25)$

代入相应的传输函数化简得:

HC(z)=(6T/8)[(z2+3/2z+1/6)/(z2-1)] (26)

新积分算子的零点为 $r_{1} = (- 9 + \sqrt{57}) / 12$ 和 $r_{2} = (- 9 - \sqrt{57}) / 12 (r_{2}$ 零点不在单位圆内)。为了构造最小相位系统,将零点r2映射到其倒数1/r2上。同时为了使幅度保持不变,引入补偿因子-r2。获得的积分算子如下:

$Η_{C} (z) = (- 3 Τ r_{2} / 4) [(z - r_{1}) (z - 1 / r_{2}) / (z^{2} - 1)] (27)$

同样,改进得微分算子为:

$G_{C} (z) = (- 4 / 3 Τ r_{2}) [(z^{2} - 1) / (z - r_{1}) (z - 1 / r_{2})] (28)$

积分算子的极点是1和-1,在单位圆上,不满足系统稳定性,但经过后面连续分数扩充方法截短后,可以使极点都在单位圆内。

下面是T=0.001 s时,使用新算子C实现0.5阶微分的IIR分数阶微分滤波器函数G $_{C n}^{v}$ (z):

$\begin{array}{l} G_{C 3}^{0.5} = \frac{31.09 (z^{3} - 0.350 6 z^{2} - 0.888 9 z + 0.335 3)}{z^{3} + 0.072 3 z^{2} - 0.582 9 z + 0.030 8} \\ G_{C 5}^{0.5} = \frac{31.09 (z^{5} + 0.148 6 z^{4} - 1.696 1 z^{3} + 0.013 8 z^{2} + 0.706 1 z - 0.132 9)}{z^{5} + 0.571 6 z^{4} - 1.178 8 z^{3} - 0.405 2 z^{2} + 0.318 6 z + 0.004 7} \\ G_{C 7}^{0.5} = \frac{31.09 (z^{7} - 2.228 4 z^{6} - 0.803 3 z^{5} + 3.662 0 z^{4} - 0.809 1 z^{3} - 1.415 9 z^{2} + 0.630 1 z + 0.043 4)}{z^{7} - 1.805 5 z^{6} - 1.291 5 z^{5} + 2.540 5 z^{4} + 0.203 4 z^{3} - 0.870 9 z^{2} + 0.135 8 z + 0.011 2} \end{array} (29)$

图3显示的是通过相互结合的3种新算子的分数阶微分滤波器频率响应。可以看出,新算子中A相比B和C具有更好的频率特性。其幅度特性曲线从低频到高频都基本接近理想频率响应曲线。新算子中A的相位特性随频率的增大,相位延迟近似线性增加,可以引入分数阶延迟滤波器来进一步改进相位特性。

3 结语

主要从频域角度出发,对分数阶微分IIR滤波器的设计以及实现进行了深入分析。分数阶微分IIR滤波器的实现有两个重要的步骤。首先,找到合适的微分算子,所选算子的频率响应逼近理想分数阶微分频率响应的程度直接影响到所实现滤波器的表现;其次,要使用合适的展开方法把传输函数从分数阶形式转化成整数阶滤波器的形式,连续分数扩充(CFE)方法是一种广泛使用并有良好效果的方法。这里通过将几种典型算子进行内插结合获得了一种整体更接近理想频率响应的算子,使用连续分数扩充(CFE)方法,完成了分数阶微分IIR滤波器的数字实现,通过新算子频率响应的对比分析,分数阶微分滤波器的性能获得了明显的提高。

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分数阶微分算子篇6

1 分数阶微分算子对图像表征的重大研究意义

对于含有复杂丰富几何结构的图像,通常我们利用梯度或曲率的控制扩散强度来实现图像降噪和增强,其表征模型并不能准确表征图像结构的全部信息。而保持完整的图像局部结构信息是图像具有使用价值的重要前提,对后续深层次处理影响巨大。可以说,对于能够精准表征图像结构信息的基础理论、模型及其特性分析方面研究的缺失,已严重制约了图像增强与降噪等性能的提升及其后续深层次的应用。因此,研究如何精准表征图像结构信息成为图像重构的基础。

结构张量较经典梯度或曲率算子而言,其结合了图像的局部方向信息,因而可以获取更多额外的结构信息,即更好地描述出图像目标的边缘、形状、角点等纹理结构信息[1]。它不仅符合人类视觉特性,反映了邻域内图像的复杂性,还很好的避免了“梯度消去效应”。此外,滤波后的结构张量对噪声具有更强的鲁棒性,因而可以提取出稳定的结构特征。另一方面研究发现[2],分数阶微分算子模型更符合人类视觉感知特性,处理图像纹理时,分数阶导数比整数阶导数更加准确、精细,在图像去噪时,还可以有效抑制“阶梯效应”和“斑点效应”等特点[3]。因此,将分数阶微积分理论与结构张量相结合,构建分数阶微分几何描述算子,对图像局部特征进行表征有着重大研究价值。

2 构造基于黎曼流形框架上的分数阶结构张量的局部视频帧描述算子及特性分析

2.1 分数阶结构张量图像结构描述算子的构造

分数阶微分的感受野模型更符合人类视觉感知特性,处理图像纹理时,比整数阶更加精准。故引入分数阶微积分理论,构建分数阶微分几何描述算子:包括分数阶张量结构,及将图像线索推广到分数阶图像曲率,高斯曲率,平均曲率,差分曲率等的一般算子,形成黎曼流形上的一般模型框架。

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相应的其它算子的扩散,可据同样思路及结构张量的异同来进一步研究实现。

2.2 描述算子特性分析

从结构张量的特征值和特征向量研究所构建的分数阶局部图像描述算子对区分图像纹理不同结构区域特征的特性;从低频信号分数阶微分不为0的特点研究其对图像纹理的弱结构、小尺度以及结构信息的保持特性。

对我们所构造的分数阶局部图像描述算子,将从诸如尺度变化、仿射变化、旋转变化、灰度变化等方面来研究它的特性。以分数阶二阶(二阶分数阶)张量构建的局部图像描述算子为例,按迹将其分解为球张量和偏张量,即

综上所述,本论文从理论层面上验证了:借助于分数阶结构张量建立表征模型是可以提升对表征图像结构信息的准确度的。

参考文献

[1]T.Brox,J.Weickert,B.Burgeth,Nonlinear structure tensor,Image and Vision Computing,2006,24(1):41-45,2006.

[2]陈遵德,陈富贵.非整数阶微积分的滤波特性及数值算法.数值计算机与计算机应用,1999,20(1):62-69.

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