微分动力系统

2024-09-22

微分动力系统（共5篇）

微分动力系统篇1

脉冲积分-微分系统作为非线性脉冲微分系统的一个重要分支,在自然科学中有着广泛的应用背景,如物理学中的电路模拟器与生物学中的神经网络系统等,因而具有重要的应用价值,也出现一些研究成果[1,2,3,4,5]。在对该系统的研究中,稳定性理论还仅有比较结果和极为少量的直接结果;而且在直接结果中,对于Lyapunov函数的要求很高,不仅要求其在脉冲点必须满足较高的限制条件,并且要求它沿系统的解的导数必须常负或定负,因此构造满足这样条件的Lyapunov函数较为困难。本文利用Lyapunov函数直接方法并借助研究泛函微分方程的Razumikhin技巧的思想,在比较弱的限制条件下给出了系统解的导数条件,得到了脉冲积分-微分系统零解的稳定性的直接判定准则。

考虑如下脉冲积分-微分系统

undefined

(1)

式(1)中

(i) N为正整数集;

(ii) f:R+×S(ρ)×Rn在[tk,tk+1)×S(ρ)×Rn上续,S(ρ)={x∈Rn:|x|<ρ},k∈N;

(iii) Tx=∫undefinedK(t,s,x(s))ds,K:Rundefined×S(ρ)→Rn,且K∈C([tk,tk+1)×[tk,tk+1)×S(ρ),Rn);

(iv) 0

(v) Jk(x):S(ρ)→Rn(∀k∈N);

(vi) 对上述ρ,存在ρ1:0<ρ1≤ρ使得当x∈S(ρ1)时有Jk(x)∈S(ρ);

(vii) K(t,t,0)≡0,f(t,0,0)≡0,Jk(0)≡0

(∀k∈N),保证系统(1)的零解存在。

另外我们总假定f,Jk满足一定条件以保证系统(1)的解整体存在唯一。记系统(1)满足x(t0,t0,x0)≡x0的解为x(t)=x(t,t0,x0),x(t)分段连续且只有第一类间断点t=tk(k∈N),满足x(t+k)=x(tk)=Jk(x(t-k)),并记Gk={(t,x)∈R+×S(ρ):undefined。

定义1 若函数V:R+×Rn→R+在G上连续且满足undefined,则称函数V∈V0。

若V∈V0,则undefined。

定义2 称系统(1)的零解为(i)稳定的:若对∀ε>0,t0∈R+,∃δ= δ(t0, ε)>0,使当|x0|<δ时有|x(t,t0,x0)|≤ε,t≥t0;

(ii) 一致稳定的:若(i)中的δ与t0无关;

(iii) 吸引的:若对∀ε>0,t0∈R+,∃δ=δ(t0)>0,T=T(t0,ε)>0,使当undefined时有undefined;

(iv) 一致吸引的:若(iii)中的δ,T均与t0无关;

(v) 渐近稳定的:若(i)与(iii)同时成立;

(vi) 一致渐近稳定的:若(ii)与(iv)同时成立。

记K={a∈C[R+,R+]:a(s)关于s严格单增且a(0)=0},Ω={W∈C[R+,R+]:W(s)>0,s>0且W(0)=0}。

定理设存在函数V∈V0,a,b∈K及W∈Ω满足

(i) a(|x|)≤V(t,x)≤b(|x|),(t,x)∈[t0,∞)×S(ρ);

(ii) 对所有k∈N及x∈S(ρ1)有V(tundefined, Jk(x))≤(1+bk)V(t-k,x),其中bk≥0且undefined;

(iii) 存在β>0,对于所有满足Mb(α)0及任意γ>0总有η=η(α,γ)>0,使得对于系统(1)的任意解x(t),当α≤|x(s)|≤β及V(s,x(s))≤MV(t,x(t))+η,t′≤s≤t,t′≥t0时有D+V(t,x(t))≤-W(|x(t)|)+γ,其中undefined。

则系统(1)的零解是一致渐近稳定的。

证明 ∀t0∈R+,∃β≥ρ1,对∀ε:0<ε≤ρ1,∃δ=δ(ε)>0满足Mb(δ)≤a(ε)。不妨设t0∈[tk-1,tk),记V(t)=V(t,x(t)),则当undefined时有undefined,即undefined。

下证undefined

若不然,∃undefined∈(t0,tk)使得undefined,则令undefined:undefined,于是由V在(t0,tk)上连续知undefined

且有undefined

因此δ≤|x(t)|≤ε且undefined.取γ:undefined及α=δ,则Mb(α)=Mb(δ)≤a(ε)≤a(β).由式(1.2)—式(1.3)知undefined且对∀η>0有undefined,于是由(iii)知undefined,矛盾,故式(1.1)成立。

再由式(1.1)及(ii)知

undefined,则同理可证undefined及undefined。

由数学归纳法知对于j=0,1,2,…有undefined.从而undefined,因此undefined,即系统(1)的零解是一致稳定的。

由系统(1)零解的一致稳定性知对于ε=ρ1>0,∃δ>0满足Mb(δ)=a(ρundefined)≤a(β),使得对∀t0∈R+,当undefined时有undefined且V(t)≤Mb(δ)=a(ρ1)≤a(β),t≥t0。

对∀ε:0<ε<ρ1,取undefined:undefined,则由(ii)知∃η=η(α(ε),γ(ε))>0。

令undefined,其中undefined。

设N=N(ε)>0为满足Mb(δ)≤M-1[a(ε)+Nη的最小正整数。

下证V(t)≤a(ε)+(N-i)η,t≥t0+ih,i=0,1,…,N (1.4)

显然(1.4)0成立。设(1.4)i对某个i:0≤i

首先我们证明∃t*∈Ii满足

V(t*)≤M-1[a(ε)+(N-i-1)η (1.5)

若不然,

对所有t∈Ii有V(t)>M-1[a(ε)+(N-i-1)η (1.6)

则M-1a(ε)

取t=t0+(i+1)h,则undefined,矛盾,故式(1.5)成立。令m=min{k∈N:tk>t*},

L=M-1[a(ε)+(N-i-1)η]。

然后我们证明V(t)≤L,t*≤t

若不然,undefined使得undefined,则undefined满足undefined且undefined.于是undefined且undefined.由undefined,矛盾,故式(1.7)成立。由式(1.7)及(ii)知V(tm)≤(1+bm)V(t-m)≤(1+bm)L,则对于j=0,1,2,…。同理可证V(t)≤(1+bm+j+1)(1+bm+j)…(1+bm)L,tm+j≤t≤tm+j+1.从而V(t)≤ ML=a(ε)+(N-i-1)η,t≥t*,即式(1.4)i+1成立。

由数学归纳法知式(1.4)i对所有i=0,1,…,N均成立.那么当i=N时,有a(|x(t)|)≤V(t)≤a(ε),t≥t0+Nh.令T=T(ε)=Nh,于是当t≥t0+T时有undefined,即系统(1)的零解是一致渐近稳定的。

参考文献

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[4]吕濯缨,傅希林.脉冲积分微分方程的有界性与Lagrange稳定性.科学技术与工程,2005;5(16):1121—1122

[5]吕濯缨,董斌,李晓迪.脉冲积分-微分系统解的有界性.成都大学学报,2008;27(2):109—111

微分动力系统篇2

具有依赖状态脉冲摄动微分系统的(h0,h)-最终稳定性质

利用变分Lyapunov方法给出具有依赖状态脉冲摄动微分系统(h0,h)-最终稳定性的`比较结果.

作者：黄志霞傅希林 HUANG Zhixia FU Xilin 作者单位：山东师范大学数学科学学院,济南,250014刊名：科学技术与工程 ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING年，卷(期)：5(21)分类号：O175.13关键词：脉冲摄动微分系统变分Lyapunov函数最终稳定性质

基于线性微分系统的曲线曲面构造篇3

关键词：线性微分系统,常微分方程,CAD/CAM,龙格库塔法

0 引言

在复杂曲面高精度数控加工的过程中, 复杂曲面的构造是加工的基础。目前的设计和研究中, 除了制造工厂和设计机构以外, 很难获取加工对象的设计图纸。因此, 大多数情况下只能依据加工对象的点云数据进行曲面重构。现阶段用于构造曲面的方法主要有参数样条方法、Coons曲面、Bezier曲线曲面和B样条曲线曲面[1,2], 但在用这些方法构造曲面的过程中, 需要进行大量的多个曲面光顺和拼接工作, 而且在计算效率和参数选择上仍存在许多问题[3]。现在产品设计多采用流线型, 其表面由无数条流线构成, 流线的求解形式可以看做一般常微分方程的初值问题。因此, 常微分方程完全可以用来解决复杂曲线曲面的建模问题, 而且在建模过程中产生的流线可以直接作为数控加工中的刀具路径, 例如复杂型腔的高速铣削等。本文基于微分系统, 利用线性常微分方程和最小二乘拟合, 将微分与参数曲面的思想相结合, 完成曲线曲面的构造。

1 曲面构造方法

1.1 曲面构造方法分析

微分几何学以光滑曲线 (曲面) 作为研究对象, 所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的[4]。由于微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质, 因此可以利用微分几何进行曲线曲面的构建。给定一个微分方程, 就相当于给定一个方向场, 微分方程的解即为一条积分曲线。在曲面的加工中, 曲面的切法矢是必不可少的条件, 因此, 在用微分方程构建曲面时, 所构造的曲线即为积分曲线, 所有积分曲线的合集即为微分方程所表述的方向场所对应的曲面。

对于微分方程, 由于方程的解仅由函数的初始条件决定, 所以, 只要获取适当的初始点和对应方程, 即可拟合出整条曲线, 进而构造曲面[6,7]。

1.2 常微分曲线曲面模型

已知曲面的点云集合Xi={xi, yi, zi}, i=1, 2, …, n和切向量场V (t) , 曲面的常微分方程可以表示为

其中f (t, u) =D (u) t3+E (u) t2+F (u) t+G (u) , t∈[0, 1], u=0, 0.5, 1, …A, D, E, F, G为系数矩阵。

将式 (1) 写成一般的曲面表达形式, 得

若固定u值, 则表示曲线的常微分模型, 即

其中u0为曲线对应的指定值。

1.3 常微分曲线曲面拟合

将式 (2) 表示成线性方程组MP=V的形式, 其中:

若共有n条常微分曲线, 将矩阵M中的每一项表示为:

式 (1) 所表示的方程通解为

但是不便于直接求解。对于每条常微分曲线, 都有对应的M矩阵, 因此, 在进行曲面拟合的过程中, 用最小二乘法[10]对式 (4) 中的系数pij、qij和sij进行求解。

对于第k条常微分曲线, 有M (uk) P=Vk, 即:

表示成矩阵的形式, 得

最小二乘法的矩阵形式为

1.4 用龙格库塔法求解一阶线性微分方程组

在1.3节中, 对于B矩阵和M矩阵的求解, 这里采用在工程上最广泛应用的4阶龙格库塔法[8,9], 该方法主要在已知方程导数和初值信息的情况下, 应用于计算机仿真中, 省去求解微分方程的复杂过程。

令初值问题表述如下:

即可得到微分方程组:

在区间a≤t≤b上的数值解。

则对于该问题的4阶龙格库塔公式为:

其中:

4阶龙格库塔法是四阶方法, 也就是说每步的误差为h5阶, 而总积累误差为h4阶。

2 计算实例

采用上述方法, 以叶片截型为例, 其点云数据及拟合结果如图2所示。

为了验证本文方法的实用性, 采用最小二乘法对该截型曲线进行拟合, 并与常微分方程曲线模型进行对比, 最小二乘法和常微分方程拟合的误差分别为:σ1= (0.0788, 0.0939, 0) ;σ2= (0.0079, 0.0016, 0) 。

残差图如图3所示。

3 结语

本文在建立曲线曲面常微分方程模型时, 在传统常微分方程形式的基础上引入了调节项f (t, u) , 降低了系统的敏感度, 增加了系统的可调节性。随着数控技术的飞速发展, 越来越多的产品和设计在造型过程中采用流线型设计, 流线型可以最大限度地降低相对运动中的阻力, 使产品具有更加优越的运动性能。因此, 以流线和流体力学为依托的流曲线曲面造型成为人们研究的热点。而流曲线曲面构建的基础正是微分方程。本文通过对微分系统曲面建模的优化, 提出了一种更为快速便捷的造型方法, 为流曲线曲面的构建提供一定的参考, 其中曲面的整体构建还可以进行进一步的探讨。

参考文献

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[3]邵健萍, 陈少良.CAD/CAM关键技术--曲面造型[J].机械工程师, 2003 (1) :23-25.

[4]贝尔热, 戈斯丢.微分几何:流形、曲线和曲面[M].2版.北京:高等教育出版社, 2009.

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[6]朱心雄, 马岭.偏微分方程曲面造型方法及其应用[J].航空制造工程, 1997 (8) :29-31.

[7]马国庆.点云曲线曲面的微分信息估计及其应用[D].合肥:中国科学技术大学, 2010.

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[9]王治祥, 王勇.系统仿真的快速实时四阶龙格-库塔法[J].武汉工业大学学报, 1990 (3) :89-95.

微分动力系统篇4

任何在空中移动的物体都会因不同的荷电过程而带上静电[1,2]，而且难以去除。例如，喷气式飞机所带的静电量可达10-7C～10-3C，直升飞机和巡航导弹所带的静电量可达10-6C～10-4C，这在其周围上千米范围内形成了可探测的静电场[3]。静电探测就是通过探测空中飞行目标与探测器之间的静电场来获取目标信息的一种探测方法。

当带电目标靠近探测器时，目标的静电场将会在探测器电极上产生感应电荷，且感应电荷随两者之间距离的变化而变化，因而通过检测这种变化就可获得目标方位的信息。

根据检测量的不同，静电探测的检测方法可分为电流检测法和电压检测法两种。传统的电流检测是直接对电极上感应到的变化电流进行I/V转换，然后再进行放大、滤波等处理[4]。本文提出了一种通过检测电极间电压，然后将其放大、滤波后再进行微分运算从而实现检测电流的方法。并据此设计了相应的检测电路，最后进行了理论仿真和实验验证。

1 理论依据

探测电极采用平行双极板，其中一个电极用于探测信号，另一个电极接地。设带电目标带正电，且带电量为Q0;带电目标和探测电极间的距离为r，水平距离为x，垂直距离为y;带电目标和探测电极法线间的夹角为α;带电目标以速度vx沿水平方向向电极运动。当r大于带电目标尺寸10倍以上时，带电目标可视为点目标，如图1所示。

根据库仑定律，带电目标在探测电极处形成的电场强度E为[5]:

式中，ε0为真空介电常数。

垂直于探测电极的电场强度En为:

根据高斯定理有:

式中，S为探测电极的面积，q为探测电极感应到的电荷量。

将式(1)、(2)代入式(3)后，得:

根据图1，目标与探测电极的几何关系有:

将式(5)代入(4)后进一步得到:

电极间电压u与感应电荷q的关系为:

因此，探测电极上的电压为:

令Q0=10-4C;S=0.04m2;y=200m。两电极间距离d=22cm，则根据平行板电容公式得C=1.61×10-12F，电极间的电压仿真波形如图2所示。

由式(7)可知，感应电压和探测电极的感应电荷量成正比。随着带电目标的运动，探测电极的带电量可通过四个过程进行描述，如图3所示。

(1)当目标处于无穷远处时，探测电极上感应不到电荷，电极带电量为零。

(2)根据式(3)，探测电极的带电量和垂直电极方向的电场强度有关。当带电目标逐渐向探测电极运动时，垂直电极方向上的电场强度由零开始逐渐增大，电极的带电量逐渐增大。但由图2可知，电极感应电荷量增大的斜率不是一个定值，而是不断变化的。

(3)当带电目标运动到距离电极很近的区域时，垂直电极方向的电场强度开始减小，当带电目标运动到电极正上方时没有电场沿电极法线方向进入电极，此时电极带电量为零。

(4)随着带电目标的继续运动，探测电极的带电过程和前三个过程对称。

平行电极可视为一个电容，其i和u存在如下关系:

将式(8)代入式(9)，则得到在带电目标运动的过程中，探测电极上的感应电流:

设vx=300m/s，则仿真波形如图4所示。

图4为静电目标特性曲线，由图可见，该波形有三个特征点，通过这些特征点就可以对静电目标进行识别，从而进一步获悉目标的方位信息。

2 实验验证

2.1 实验方案

由式(10)可知，实验中需要测量四个量，分别是Q0、S、vx和y。

实验方案采用气垫导轨，如图5所示。

设金属球的对地电容为C;ε是真空介电常数;b为金属球下端距离地面的垂直距离;r为金属球的半径，则金属球的对地电容为[6]:

将高压发生器连到金属球上，产生电压U，则金属球所带电荷Q0为:

将光电管连到数字计时器上，滑块的运动速度vx可通过数字计时器读取。

2.2 硬件电路

探测电路框图如图6所示。

(1)放大电路采用三级电压放大，放大倍数51×106倍。

(2)采用截止频率为30Hz的四阶低通滤波器。

(3)50Hz陷波电路滤除工频噪声。陷波电路采用集成芯片F42N50RLN，该芯片是低噪声、低功耗、免调试的50Hz工频噪声专用陷波芯片，外围电路简单、使用方便。

(4)一般微分电路的时间常数要小于或等于输入波形宽度的1/10，本实验中输入波形的宽度为0.4s，所以时间常数选40ms以下即可。本电路时间常数取20ms。

2.3 实验结果

实验条件如下:

(1)电极参数:长:85mm;宽:85mm;电极面积:7.225×10-3m2。

(2)带电球体:直径:0.09m;电压20kV;与电极的交汇速度5.294m/s;与电极的夹角α:90度。

3y=244mm。

(4)带电金属球的对地电容:5.7PF。

根据上述条件得到的仿真和实验波形分别如图7-8所示。

现将仿真波形和实验波形在一张图上显示，如图9所示，其中虚线是仿真得到的理想波形，实线是实验得到的波形。

从图9可知，实验波形和仿真波形的吻合度较好。从横坐标可以看出，该电路的探测距离约1m左右。

3 结束语

本文通过理论分析推导得出电极间电压的探测方程，并在此基础上进一步推导得出感应电流的探测方程，并利用MATLAB对其进行了仿真和分析，最后通过实验对其进行了验证。结果表明，理论和实验吻合度较好，从而为静电探测的深入研究提供了一定的基础。此外，通过对微弱信号检测电路的改进，有望进一步提高探测距离。

摘要：空中运动目标带电量高且难以去除,这为静电探测系统提供了理论依据。介绍了一种电压微分式的静电探测系统,利用目标在探测器位置的场强变化得到了感应电压公式,然后对其微分后得到了变化的电流。通过仿真验证了该公式的正确性和实用性,并据此设计了相应的探测电路,通过实验验证了该探测系统的可行性。

关键词：静电探测,目标特性,电压微分

参考文献

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[2]林蔚.基于阵列探测的静电目标信号提取研究[D].北京:北京理工大学,2006.

[3]代方震.电极扫描式被动静电探测方法研究[D].北京:北京理工大学,2003.

[4]胡炜.轴向短路静电探测器的设计[D].北京:北京理工大学,2008.

[5]陈义成.电磁学及其计算机辅助教学(CAI)[M].北京:科学出版社,2002:8.

一类脉冲积分微分系统的稳定性篇5

脉冲积分微分系统是一类重要的非线性脉冲微分系统,在物理、生物等领域有着广泛的应用背景。近年来引起广泛的兴趣和关注[1]。通常人们利用Lyapunov函数的一阶导数讨论脉冲积分微分系统的各种性质,而且总是独立的对系统的离散及连续部分设置条件。本文借助广义二阶导数方法[2,3],并结合Razumikin技巧来讨论脉冲积分微分系统的稳定性。目前,关于这方面的结果并不多见。

我们考虑如下脉冲积分微分系统

${\begin{cases} x^{'} = f (t, x, Τ x) ‚ t \neq t_{k} \\ Δ x (t) = Ι_{k} (x (t)) ‚ t = t_{k} ‚ k = 1, 2 \dots \\ x (t_{0}^{+}) = x_{0} \end{cases} (1)$

式(1)中

(i)f:R+×Rn×Rn→Rn,f∈C[(tk,tk+1)×Rn×Rn,Rn]。

(ii)Tx=∫ $_{t_{0}}^{t}$ K(t,s,x(s))ds其中k:R $_{+}^{2}$ ×Rn→Rn,且K∈C([tk,tk+1)×(tk,tk+1)×Rn,Rn)。

(iii)0<t1<t2<…<tk<…且 $\lim_{k \to \infty} t_{k} = \infty$ 。

(iv)Ik:Rn→Rn。

(v)k(t,t,0)≡0,f(t,0,0)≡0,Ik(0)≡0(∀k∈N)。保证系统(1)的零解存在,并设系统(1)的解整体存在唯一。

为方便起见,记Γ={h∈C[R+×Rn,R+]:在[tk-1,tk)×Rn上连续, $\forall x \in R^{n}, \lim_{(t, y) \to (t_{k}^{+}, x)} h (t, y) = h (t_{k}^{+}, x)$ 存在,且 $\inf_{(t, x)} h (t, x) = 0, (t, x) \in R_{+} \times R^{n}}$ ;P={a∈C[R+×R+],a(0)=0,a(s)非减};

K0={a∈C[R+×R+],a(0)=0,a(s)非减};

K={a∈K0,且a(s)非减};

PC+K={σ:R+×R+→R+,∀u∈R+,σ(·,u)∈PC+, ∀t∈R+,σ(t,·)∈K};

V0={V:R+×Rn→R+,在[tk-1,tk)×Rn上连续可微,关于x满足局部Lipschitz条件,V(t-k,x)=V(tk,x),V(t $_{k}^{+}$ ,x)存在,k=1,2,…,x∈Rn}。

设V∈V0,对∀(t,x)∈[tk-1,tk)×Rn定义:

$D^{-} V (t, x) = \lim_{h \to V^{-}} \sup \frac{1}{h} [V (t + h, x + h f (t, x)) - V (t, x)]$ 。

设x(t)=x(t,t0,x0)为系统(1)的解。

记 $\dot{V} (t, x (t)) = V_{t} (t, x (t)) + V_{x} (t, x (t)) f (t, x (t)) ‚ t \neq t_{k}$ ;

$Δ V (t_{k}, x (t_{k})) = V (t_{k}^{+}, x (t_{k}) + Ι_{k} (x (t_{k}))) - \dot{V} (t_{k}, x (t_{k}))$ ; $\dot{V} (t_{k}, x (t_{k})) = \lim_{t = t_{k}^{-}} \dot{V} (t, x (t))$ ;

定义1 称函数m(t)≥0在区间(a,b)上有界增长,若

(i)m(t)在(a,b)上连续;

(ii)存在d∈P,使Dm(t)≤d(m(t)),∀t∈(a,b)。其中D为任一Dini导数;

(iii)对∀δ1>0,∃δ2∈(0,δ1),使得

$\int_{δ_{2}}^{δ_{1}} \frac{d m}{d (m)} \geq b - a$ 。

定义2 称函数m(t)≥0在区间(ak,bk)上一致有界增长,若

(i)对每个k,m(t)在(ak,bk)上连续且有界增长;

(ii)对∀δ1>0,∃δ2∈(0,δ1),使得 $\int_{δ_{2}}^{δ_{1}} \frac{d m}{d_{k} (m)} \geq b_{k} - a_{k}$ 对所有k一致成立,其中dk由 (i)中m(t)在(ak,bk)上有界增长的定义确定。

定义3 设t=b为左连续函数m(t)≥0的跳跃间断点,若存在d∈P,使得m(b+)≤d(m(b)),则称m(t)在t=b处有界增长。

定义4 设t=bk为左连续函数m(t)≥0的跳跃间断点,称m(t)在t=tk,k=1,2,…,r≤∞处一致有界增长,若

(i)对每个k,m(t)在bk处有界增长;

(ii)对∀δ1>0,∃δ2∈(0,δ1),使得当m(bk)<δ时有dk(m(bk))<δi对所有k一致成立。

定义5 设h0,h∈Γ,称系统(1)为

(i)(h0,h)-一致稳定:若∀ε>0,∀t0∈R+,∃δ=δ(ε)>0,使得当h0(t0,x0)<δ时,有h(t,x(t))<ε,t≥t0;

(ii)(h0,h)-一致渐近稳定:若系统(1)为(h0,h)-为一致稳定,且对∀ε>0,∀t0∈R+,∃δ=δ(ε)>0及T=T(ε),使得当h0(t0,x0)<δ时,有

h(t,x(t))<ε,t≥t0+T。

下面给出本文的几个主要结果。

定理1h0,h∈Γ,V∈V0且满足:

(i)h0比h一致好;

(ii)存在a,b∈K和常数u0>0,α0∈(0,ρ],使得:V(t,x)≥b(h(t,x)),h(t,x)<α0;

V(t,x)≤a(h0(t,x)),h0(t,x)<u0。

(iii)存在0<ρ*<ρ,对所有k∈N,当V(tk,xk)<b(ρ*),b∈K;

(iv)对系统(1)任意的解x(t),当P(V(t,x(t)))≥V(t,x(t))V(s,x(s)),t0≤s≤t有 $D^{-} \dot{V} (t, x) \geq 0 ‚ (t, x) \in S (h, ρ)$ ,且对所有的k有 $Δ t_{k} \dot{V} (t_{k}, x) + Δ (t_{k}, x) \leq 0$ 其中P∈C(R+,R+),P(s)≥MS,M≥1;

(v)V(t,x)在(tk-1,tk)上一致有界增长;

(vi)V(t,x)在tk处一致有界增长。

则系统(1)是(h0,h)-一致稳定的。

证明由(i),存在函数φ∈PC+K,常数δ1>0,使得当h0(t,x)<δ1时,有h(t,x)<φ(h0,(t,x))。

V(t,x)在(tk-1,tk)上一致有界增长,则

$\dot{V} (t, x) \leq d_{k} (V (t, x)) ‚ \forall ε < ρ^{*}, ρ^{*} = \min (ρ_{0}, α_{0}) ‚ \exists V_{1} = V_{1} (ε) < h (ε)$ ,有

$\int_{V_{1}}^{b (ε)} \frac{d s}{d_{k} (s)} \geq Δ t_{k}$ (2)

取q=min{k:tk≥0}。由V(t,x)在tq上有界增长,则∃V2=V2(t0,ε)<V`1,使得当V(tq,x(tq))<V2时,有

V(t $_{q}^{+}$ ,x(t $_{q}^{+}$ )) + I(x(tq)) < V1 (3)

再由V(t,x)在(tq-1,tq)上有界增长,知

∃V0=V0(t0,ε)<V2,使得

$\int_{V_{0}}^{V_{2} (ε)} \frac{d s}{d_{q} (s)} \geq Δ t_{q}$ (4)

选取δ2=δ2(ε)>0,δ3=δ3(ε)>0,使得

a(δ2)<V0,φ(δ3)<ε。令δ=min{μ0,δ1,δ2,δ3}当h0(t0,x0)<δ时,

V(t0,x0)≤a(h0(t0,x0))<a(δ)<V0<V2<V1<b(ε) (5)

再由条件(i),有

h(t0,x0)≤φ(h0(t0,x0))<φ(δ)≤φ(δ3)<ε。

下证V(t,x(t))<b(ε),t≥t0。 (6)

用反证法。若不然,则存在系统(1)满h0(t0,x0)<δ使其广解x(t)及t0∈(tj,tj+1),使得

V(t0+,x(t0+))≥b(ε),且V(t,x)<b(ε),t∈[t0,tj] (7)

则由条件(iii)知V(t $_{j}^{+}$ ,x(t $_{j}^{+}$ )) < b(ρ),∵V(t,x)<b(ε),ε<ρ,由(iii)存在

0<ρ*<ρ,对所有的k∈N,当V(tk,xk)<b(ρ*)时,V(tk,xk+I(xk))<b(ρ),而

V(t,x)<b(ε)<b(ρ*),

∴ V(t $_{j}^{+}$ ,x(t $_{j}^{+}$ )) < b(ρ))。

于是存在 $\tilde{t} \in [t_{j}, t^{0}]$ 使得

$b (ε) \leq V (\tilde{t}^{+}, x (\tilde{t}^{+})) < b (ρ)$ ,且

$V (t, x) < b (ρ), h (t, x (t)) < ρ, t \in [t_{0}, \tilde{t}]$ (8)

下面令M>b(ρ),则当 $t \in [t_{0}, \tilde{t}]$ 时,有P(V(t,x))≥MV(t,x)≥b(ρ)V(t,x)≥V(S,x(S))V(t,x);t0≤S<t。

从而由条件(iii)知,取q=min{k:tk≥t0},

j=max{k: $t_{k} \leq \tilde{t}}$ 。

1.1 当j≥q时

10 若j>q,k=q+1,…,j;

V(t $_{k}^{+}$ ,x(t $_{k}^{+}$ ))-V(t $_{k - 1}^{+}$ ,x(t $_{k - 1}^{+}$ ))=V(t $_{k}^{+}$ ,x(t $_{k}^{+}$ ))-V(tk,x(tk)) + V(tk,x(tk))-V(t $_{k - 1}^{+}$ ,x(t $_{k - 1}^{+}$ ))=ΔV(tk,x(tk))+V(tk,x(tk))Δtk≤0。

则V(t $_{k}^{+}$ ,x(t $_{k}^{+}$ ))≤V(t $_{k - 1}^{+}$ ,x(t $_{k - 1}^{+}$ )),从而有

V(t $_{j}^{+}$ ,x(t $_{j}^{+}$ ))≤V(t $_{q}^{+}$ ,x(t $_{q}^{+}$ )) (9)

20 若j=q,显然,式(9)成立。

下证V(t $_{j}^{+}$ ,x(t $_{j}^{+}$ )) < V1。

由式(2)、式(4)、式(5)可知

$\int_{V_{0}}^{V (t_{q}, x (t_{q}))} \frac{d s}{d q (s)} < \int_{V_{0} (t_{0}^{+}, x (t^{+})) 0}^{V (t_{q}, x (t_{q}))} \frac{d s}{d q (s)} \leq t_{q} - t_{0} \leq Δ t_{q} \leq \int_{V_{0}}^{V_{2}} \frac{d s}{d q (s)}$ 。

则V(tq,x(tq))<V2,

由式(3)知,V(t $_{q}^{+}$ ,x(t $_{q}^{+}$ )) < V1,从而由式(9)可得式(10)成立。

1.2 当j<q时,tj < t0,V(t+0,x(t+0)) < V0 < V1。

综合1.1、1.2,令t*=max{tj,t0},则有

V(t*-1,x(t*-1))<V1 (11)

易知 $\tilde{t} \in [t^{*}, t_{j + 1})$ 。

10 若 $\tilde{t} \in [t^{*}, t_{j + 1}]$ ,则有式(1),式(7),式(10)得

$\begin{array}{l} Δ t_{j + 1} \geq \tilde{t} - t^{*} \geq \int_{V (t^{* +}, x (t^{* +}))}^{V (\tilde{t}, x (\tilde{t}))} \frac{d s}{d_{j + 1} (s)} > \\ \int_{V_{1}}^{b (ε)} \frac{d s}{d_{j + 1} (s)} \geq Δ t_{j + 1} 。 \end{array}$