积-微分方程

2024-06-08

积-微分方程（共3篇）

积-微分方程篇1

无界域上的非线性微分方程近年来获得了广泛的研究[1,2,3,4,5],所用方法多为单调迭代和不动点指数理论,本文考虑Banach空间E中二阶脉冲方程解的存在性

其中J=[0,+∞),

令

PC[J,E]={x:J→E|x(t)在t≠tk处左连续且x()存在,k=1,2,…}PC1[J,E]={x∈PC[J,E]lx'(t)在t≠tk处连续且存在,k=1,2…}

且

则SPC[J,E],SPC1[J,E]分别在范数

下成为Banach空间.本文在SPC1[J,E]中研究问题(1),若x∈C2[J',E]满足(1),则称x为(1)的解.对Banach空间中的有界集V,用α(V)表示V的kuratowski非紧性测度。

1 预备知识

为了方便起见,先列出下列条件(H1)存在

使得

存在常数βk,βk,γk,γk>0使得

且满足

其中均收敛.

(H2)存在l1(t),l2 (t),l3(t)∈L[0,+∞],满足对任意的有界集D1,D2,有

及非负常数Mk,Nk,,使

且满足

引理1[6]若一致有界且等度连续,则α(H(t))在I上连续且

这里I=[a,b],H/(t)={x(t):x∈H},t∈I.

引理2[6]设V={Xn}∈L[I,E],且存在g∈L[I,R+]使对一切xn∈V,‖xn(t)‖≤g(t)a.e.t∈I则.

引理3[6](Monch不动点定理)设E是Banach空间,是闭凸集,若F:K→K为连续映射,且对某一x∈K,由可数及蕴含着C是相对紧集,则F在K中至少有一个不动点.引理4设(H1)满足,x∈SPC1[J,E]∩C2[J',E]为边值问题(1)的解当且仅当为下列积分方程的解:

定义算子A:

由引理4知方程(1)在SPC1[J,E]中有解等价于A在SPC1[J,E]中有不动点。

引理5设(H1)满足,则A:SPC1[J,E]→SPC1[J,E]为有界算子.

引理6若(H1)满足,V是SPC1[J,E]中的有界集,则对任何有限数i,,

‖AV'(t)‖为Ji上的等度连续函数族且对,存在N,当t1,t2N时,有

对X∈V一致成立.

引理7设(H1)成立,V是SPC1[J,E]中的有界集,则

引理8设(H1)满足,则A为SPC1[J,E]→SPC1[J,E]中的连续算子。

证明,设{xn},,,则,当n>N1时有即.下面说明{xn}在Sr中相对紧.记

由于:

由(H1)我们有

利用Lebesgue控制收敛定理及f的连续性得

再由收敛与Ik的连续性易知

同理可得:

故:

所以,由引理7知{xn}在Sr中相对紧.

接着易证‖Axn-Ax‖→0(n→∞),即A连续.

2 主要结果

定理,若(H1),(H2)满足,则方程(1)至少有一个属于SPC1[J,E]的解存在.

证明取

令

首先,对,由式(4)知,对t∈J有

同理可证‖(Ax)'(t)‖≤R.结合引理8知A为从闭凸集B到B的连续算子.

设满足上述条件,则,由文献[7]知

故

对于固定的t∈J,x∈C,对n>t,将式(4)中∞换为n所得结果令为(Anx)(t).

由条件(H1)知

即

故有

当n>t时

由式(14)知

再由t的任意性知

类似可证

这样利用式(14),(15)及引理7得

又由l<1得,进而.即C为SPC1[J,E)中相对紧集.由引理3知A在B中有不动点存在,亦即方程(1)在SPC1[J,E)中至少存在一个解。

摘要：本文利用M(o|¨)nch不动点定理,研究了Banach空间中含无穷多个跳跃点的二阶脉冲积-微分方程无穷边值问题解的存在性。

关键词：边值问题,积分-微分方程,非紧性测度

参考文献

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[5]张兴秋.Banach空间中一阶脉冲微分方程的无穷边值[J].应用数学,2005,18(1):153~160.

[6]Chen Wenyuan,nonlinear Functional Analysis[M].Gansu:Gansu people Press,1982(in Chinese).

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积-微分方程篇2

本文主要讨论Banach空间中具有非局部条件的脉冲拟线性积-微分方程:

${\begin{cases} u^{'} (t) = A (t, u) u (t) + \int_{0}^{t} f (t, s, u (s)) d s ； \\ t \in [0, Τ], t \neq t_{i} \\ u (0) = h (u) \\ Δ u (t_{i}) = u (t_{i}^{+}) - u (t_{i}) = Ι_{i} (u (t_{i})) ； \\ i = 1, 2, \dots, p \end{cases} (1)$

适度解的存在性,其中A:[0,T]×X→X连续,f:[0,T]×[0,T]×X→X,Ii∈C(X,X),i=1,2,…,p; h:PC([0,T];X)→X为适当定义的函数。

一方面由于在一些物理问题中非局部问题比经典的Cauchy问题在处理时更为有效,另一方面脉冲微分方程可以描述物理在连续发展状态下某些时刻发生跃变的过程,所以具有非局部条件的脉冲微分方程得到广泛的研究[1,2,3] 。

本文利用不动点理论和算子变换的方法,给出了Banach空间中具有非局部条件的脉冲拟线性积-微分方程适度解的存在性,推广和改进了文献[1,2,3,4]的相应结果。

1 预备知识

设X是一Banach空间,并赋予范数‖·‖。C([0,T];X)表示定义在[0,T]取值于X的连续函数空间,按‖u‖=sup{‖u(t)‖,t∈[0,T]}构成Banach空间。L(0,T;X)表示Bochner可积函数的全体,其范数为‖u‖L=∫ $_{0}^{Τ}$ ‖u(t)‖dt。

PC([0,T];X)={u: [0,T]→X:u(t)在t≠ti处连续,在t=ti处左连续,且u(t+i)存在,i=1,2,…,p},显然PC([0,T];X)在范数

‖u‖PC=sup{‖u(t)‖,t∈[0,T]},

下是一个Banach空间且有

C([0,T];X)⊆PC([0,T];X)⊆L(0,T;X)。

定义1 设X是实的Banach空间,B是X的有界子集,称α(B)=inf{r>0,B可以被X中有限个半径不超过r的球覆盖}为X上的Hausdorff非紧测度。

在PC([0,T];X)中定义的Hausdorff非紧测度记为αpc(·),C([0,T];X)中定义的非紧测度记为αc(·)。关于Hausdorff非紧测度的性质可参见文献[5]。

定义2 映射Q:D⊆X→X称为α压缩的,若存在一个正常数k<1使得:对于任意的有界闭子集B⊆D,有α(QB)≤kα(B)。

引理1[5] (Darbo-Sadovskii定理)若D⊆X是有界闭凸集,连续映射Q:D→D是α压缩的,那么映射Q在D中至少存在一个不动点。

引理2[5] 若D⊆C([0,T];X)是有界集,则 $\sup_{t \in [0, Τ]} α (D (t)) \leq α_{c} (D)$ ,进一步地,若D在[0,T]还等度连续,则

$\sup_{t \in [0, Τ]} α (D (t)) = α_{c} (D) 。$

引理3[6] 若D⊆PC([0,T];X)是有界集,则 $\sup_{t \in [0, Τ]} α (D (t)) \leq α_{p c} (D)$ 。

引理4[7] 如果B是实Banach空间X的有界子集,则对任意ε>0,存在B中序列{un}∞n=1使得α(B)≤2α({un}∞n=1)+ε。

引理5[5] 若W⊆C([0,T];X)有界且等度连续,则α(W(s))连续且

$α (\int_{0}^{t} W (s) d s) \leq \int_{0}^{t} α (W (s)) d s 。$

引理6[8] 若{un}∞n=1⊆L1(a,b;X)一致可积,则α({un(s)∞n=1)可测且

α({∫ $_{0}^{t}$ un(s)ds}∞n=1)≤2∫ $_{0}^{t}$ α({un(s)}∞n=1)ds。

由文献[4] 知对固定的u∈C([0,T];X),存在唯一的连续函数Uu:[0,T]×[0,T]→B(X)使得

Uu(t,s)=I+∫tsAu(ω)Uu(ω,s)dω (2)

式(2)中B(X)为X到X的有界线性算子的全体,Au(t)=A(t,u(t))。由(2.1)有Uu(t,t)=I,Uu(t,s)Uu(s,τ)=Uu(t,τ),(t,s,τ)∈[0,T]×[0,T]×[0,T]。 $\frac{\partial U_{u} (t, s)}{\partial t} = A_{u} (t) U_{u} (t, s), a . e . t \in [0, Τ], \forall s \in [0, Τ]$ 。

定义3 如果u∈PC([0,T];X)满足

$\begin{array}{l} u (t) = U_{u} (t, 0) h (u) + \\ \int_{0}^{t} U_{u} (t, s) \int_{0}^{s} f (s, τ, u (τ)) d τ d s + \\ \sum_{0 < t_{i} < t} U_{u} (t, t_{i}) Ι_{i} (u (t_{i})) ‚ t \in [0, Τ] 。 \end{array}$

则称u是方程(1)的适度解。

若(t,s)→{Uu(t,s)x:x∈B}在t>0时是等度连续,则称发展系统{Uu(t,s)}0≤s≤t≤b是等度连续的,其中B是X的有界子集。

下面的引理是显然的。

引理7 设发展系统{Uu(t,s)}0≤s≤t≤b等度连续且η(s)∈L(0,T;X),则集合

{∫ $_{0}^{t}$ Uu(t,s)u(s)ds,‖u(s)‖≤η(s),a.e.s∈[0,T]}等度连续。

为了方便,记Br:={x∈X:‖x‖≤r},

Wr:={u∈PC([0,T];X):u(t)∈Br,t∈[0,T]}。

下面给出本文所需要的假设条件:

(HA) A(t,u)生成的发展系统{Uu(t,s)}0≤s≤t≤b等度连续且‖Uu(t,s)‖≤M;

(Hf)f:[0,T]×[0,T]×X→X满足下列条件

(1)∀u∈X,f(·,·,u)可测,

(2)对于a.e. t,s∈[0,T],f(t,s,·)连续,

(3)存在可测且在R+×R+的紧区间上本性有界的函数η(t,s):R+×R+→R+,使得对于有界集D⊆X,有α(f(t,s,D))≤η(t,s)α(D),

(4)存在k(t,s):R+×R+→R+和递增函数φ:R+→(0,∞)使得‖f(t,s,x)‖≤k(t,s)ϕ(‖x‖),其中∫ $_{0}^{t}$ k(t,s)ds∈L(0,T;R+)(0≤s≤t);

(HI)存在ki>0,i=1,2,…,p,使得

‖Ii(x)-Ii(y)‖≤ki‖x-y‖,∀x,y∈X;

(Hh)存在常数 $k \in (0, \frac{1}{Μ} - \sum_{i = 1}^{p} k_{i})$ 使得

‖h(u)-h(v)‖≤k‖u-v‖,u,v∈PC([0,T];X);

,其中 $\overset{⌢}{k} (s) = \int_{0}^{s} k (s, τ) d τ$ 。

2 主要结果

定理1 设(HA)(Hf)(HI)(Hh)(Hr)成立,且满足条件

$Μ (4 \int_{0}^{Τ} \overset{⌢}{η} (s) d s + k + \sum_{i = 1}^{p} k_{i}) < 1$ 。

其中 $\overset{⌢}{η} (s) = \int_{0}^{s} η (s, τ) d τ$ ,则非局部问题式(1)在[0,T]中至少存在一个适度解。

证设L,J:PC([0,T];X)→PC([0,T];X)为

第一步 L-1是双射,并且是Lipschitz连续的,其Lipschitz常数为 $\frac{1}{1 - Μ (k + \sum_{i = 1}^{p} k_{i})}$ 。

首先:L显然是Lipschitz连续的,且其Lipschitz常数为 $1 + Μ (k + \sum_{i = 1}^{p} k_{i})$ 。

其次:L-1是双射。

对任意v∈PC([0,T];X),考虑方程

$(L u) (t) = u (t) - U_{u} (t, s) h (u) - \sum_{0 < t_{i} < t} U_{u} (t, t_{i}) Ι_{i} (u (t_{i})) = v (t)$ 。

单定义Q: PC([0,T]; X)→PC([0,T]; X)为 $(Q u) (t) = U_{u} (t, s) h (u) + \sum_{0 < t_{i} < t} U_{u} (t, t_{i}) Ι_{i} \times (u (t_{i})) + v (t)$ ,显然L-1是双射等价于方程L存在唯一的不动点,定义

Q:PC([0,T];X)→PC([0,T];X)为

$(Q u) (t) = U_{u} (t, s) h (u) + \sum_{0 < t_{i} < t} U_{u} (t, t_{i}) Ι_{i} (u (t_{i})) + v (t)$ ,易证Q是一个压缩算子,由Banach不动点定理知Q具有唯一的不动点,则L-1是双射。

再次:L-1是Lipschitz连续。

对任意的v1,v2∈PC([0,T];X),有

$\begin{array}{l} ∥ (L^{- 1} v_{1}) (t) - (L^{- 1} v_{2}) (t) ∥ \leq \\ ∥ v_{1} (t) - v_{2} (t) ∥ + ∥ U_{(L^{- 1} v_{1})} (t, s) h ((L^{- 1} v_{1})) - \\ U_{(L^{- 1} v_{2})} (t, s) h ((L^{- 1} v_{2})) ∥ + \sum_{i = 1}^{p} ∥ U_{(L^{- 1} v_{1})} \\ (t, t_{i}) Ι_{i} ((L^{- 1} v_{1}) (t_{i})) - U_{(L^{- 1} v_{2})} \\ (t, t_{i}) Ι_{i} ((L^{- 1} v_{2}) (t_{i})) ∥ \leq ∥ v_{1} - v_{2} ∥_{p c} + \\ Μ (k + \sum_{i = 1}^{p} k_{i}) ∥ L^{- 1} (v_{1}) - L^{- 1} (v_{2}) ∥_{p c} 。 \end{array}$

于是

$\begin{array}{l} ∥ L^{- 1} (v_{1}) - L^{- 1} (v_{2}) ∥_{p c} \leq \\ \frac{1}{1 - Μ (k + \sum_{i = 1}^{p} k_{i})} ∥ v_{1} - v_{2} ∥_{p c} 。 \end{array}$

第二步 (L-1J)Wr⊆Wr。

对任意u∈Wr,令v=(L-1J)(u),则

由条件(Hr)得‖v‖pc≤r,

因此(L-1J)Wr≤Wr。

第三步 L-1J是αpc压缩的。

易证J在PC([0,T];X)上连续。由L-1的Lipschitz连续性知L-1J在PC([0,T];X)上连续。由引理7知J(Wr)在[0,T]有界且等度连续,则L-1J(Wr)在Ji,i=0,1,…,p上有界且等度连续,其中J0=(0,t1],

J1=(t1,t2],…,Jp-1=(tp-1,tp],Jp=(tp,T]。

由L-1是Lipschitz连续,且Lipschitz常数为 $\frac{1}{1 - Μ (k + \sum_{i = 1}^{p} k_{i})}$ ,则对W⊆Wr有

$α_{p c} (L^{- 1} J W) \leq \frac{α_{p c} (J W)}{1 - Μ (k + \sum_{i = 1}^{p} k_{i})}$ ,

由JW⊆PC([0,T];X)⊆C([0,T];X)知

$α_{p c} (J W) \leq α_{c} (J W) 。$

由引理2、3、4、5、6知:

$\begin{array}{l} α (J W (t)) \leq \\ 2 α (\int_{0}^{t} U_{u_{k}} (t, s) \int_{0}^{s} f (s, τ, {u_{k} (τ)}_{k = 1}^{\infty}) d τ d s) + ε \leq \\ 2 Μ \int_{0}^{t} α (\int_{0}^{s} f (s, τ, {u_{k} (τ)}_{k = 1}^{\infty}) d τ) d s + ε \leq \\ 4 Μ \int_{0}^{t} \int_{0}^{s} α (f (s, τ, {u_{k} (τ)}_{k = 1}^{\infty})) d τ d s + ε \leq \\ 4 Μ \int_{0}^{t} \int_{0}^{s} η (s, τ) α ({u_{k} (τ)}_{k = 1}^{\infty}) d τ d s + ε \leq \\ 4 Μ \int_{0}^{t} \int_{0}^{s} η (s, τ) α (W (t)) d τ d s + ε \leq \\ 4 Μ α_{p c} (W) \int_{0}^{Τ} \overset{⌢}{η} (s) d s + ε ‚ \end{array}$

由ε的任意性有

$α (J W (t)) \leq 4 Μ α_{p c} (W) \int_{0}^{Τ} \overset{⌢}{η} (s) d s$ 。

于是有

$α_{p c} (L^{- 1} J W) \leq \frac{4 Μ \int_{0}^{Τ} \overset{⌢}{η} (s) d s}{1 - Μ (k + \sum_{i = 1}^{p} k_{i})} α_{p c} (W)$ 。

由 $Μ (4 \int_{0}^{Τ} \overset{⌢}{η} (s) d s + k + \sum_{i = 1}^{p} k_{i}) < 1$ ,因此有L-1J是αpc压缩的。由引理1知L-1J在Wr上存在不动点,即为非局部脉冲问题式(1)的解。

注当f是紧算子时,假设(Hf)中η(t,s)=0, f是Lipschitz连续时η(t,s)为Lipschitz常数,故定理1统一了f是连续紧算子和f是Lipschitz连续的情形。

注对于没有脉冲的非局部拟线性积-微分方程[4]也可用本文方法得到适度解的存在性,且本文方法不同于文献[4]的方法。

摘要：利用不动点理论和算子变换的方法,给出了Banach空间中具有非局部条件的脉冲拟线性积-微分方程适度解的存在性。所用的方法可对f是连续紧算子和f是Lipschitz连续的情形进行统一处理。

关键词：积-微分方程,脉冲,非局部条件,不动点,适度解

参考文献

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积-微分方程篇3

目前被广泛应用于海岸工程中的模型主要为基于缓坡方程的计算模型和基于Boussinesq型方程的计算模型。但其各自具有局限性。因为Boussinesq方程是以浅水波基本控制方程为基础导出的,色散性是近似的,其应用通常局限于中等水深和中等振幅波;另一方面,缓坡方程具有很宽的波浪频率(从长波到短波)和水深(从浅水到深水)适用范围,但其是基于线性波浪理论推导得出的,只适用于微幅波。文献[1]克服了这些不足,给出了一组新的波浪方程,其具有精确的色散性、非线性近似至三阶,且适用于不规则波浪。但由于方程属于微分-积分方程,不仅存在微分项,同时还存在积分项,且该积分项类似涡流无损检测问题中的Sommeerfeld积分[2]。所以,在数值求解该方程的过程中,积分算子T的存在增加了数值求解的难度。积分项的处理成为整个计算过程中非常重要的一环,能否准确计算积分算子T,是数值求解的关键。对于一般的积分,通常可以采用数值积分的方法,例如高斯型积分法以及自适应Simpson积分法。但用于本文这种特殊的类Sommeerfeld积分则需要耗费大量的机时。本文针对类Sommeerfeld积分项的固有特点,采用分段解析计算的方法,进行数值求解,并应用于数值模型验证,结果表明这一计算方法是有效的。

1控制方程

文献[1]给出具有精确色散关系的非线性波浪方程的一阶形式,其表达形式如下:

式中:η为波面升高,φη为自由表面处速度势,g为重力加速度,T为积分算子,表达式如下:

G为核函数,表达式如下:

式(4)中,χ=|x-x'|/h,h为水深。

2积分项形式分析

控制方程式中存在积分项:T2φη。分析式(3)、式(4)可得到该积分的几个特征或者难点。首先,T积分为广义积分。其次,核函数存在奇点(χ=0)。再次,积分函数f(x)为波浪曲线,即为震荡函数。另外,核函数为偶函数,核函数呈指数衰减,当|χ|>3时几乎衰减为零。可以说,该积分集中了所有较难处理的积分现象:反常积分、无穷区间积分、震荡函数积分。这些特征给数值求解带来了一定的难度。

一般对反常积分的处理方法主要为:变量置换法、区间截断法和高斯型积分法。其中,区间截断法和高斯型积分法都可以用来解决本文问题,而经过尝试,变量置换法不适用于本文问题。对无穷区间积分的处理,类似于反常积分处理。对于震荡函数积分,采用通常的数值积分方法计算效果都不好,通常采用特殊方法进行处理:在零点之间用高斯型积分法或自适应Simpson积分法等进行积分。经过尝试,对于本文问题数值求解需要耗费大量的机时。本文根据波浪方程中类Sommeerfeld积分项的固有特点,采用分段解析计算的方法,进行数值求解。

3数值求解

控制方程为积分微分方程,微分项采用常规的蛙跳差分格式[1],积分项T2φη的数值求解在本文中作重点讨论。

常水深条件下,控制点xi处的T积分可写为如下形式:

式(5)中,λ为积分限参数,称|xi-x'|/h≤λ区间为核函数影响区间,其余区域可忽略不计,通常取λ=3。

方程的差分格式为显格式,被积函数f(x',t)在各差分网格节点上的值均为已知,因此可以采用2个网格上3个节点值将其表达成二次多项式的形式。这样可以把式(5)积分域划分为若干个由2个网格构成的积分单元,整个积分域被划分为2N+1个。如图1所示,积分单元的位置在图中由n来表示,N为积分域的分段参数,其计算式如下:

式(5)中积分可写成2N+1个积分单元上的积分和的形式:

式(7)中,sn表示积分单元上的积分。

核函数G(xi-x′)同样也表达成多项式的形式。由于核函数存在奇点,因此需要对零点附近和其他位置处分别进行处理。在离开零点处,同被积函数f(x′,t)一样,采用二次多项式来表示(下称核函数多项式(i));在零点附近则采用对数(即ln函数)多项式来表示(下称核函数多项式(ii))。

3.1 sn(n≠0)的计算

应用2次拉格朗日插值公式(见文献[3]第899页),被积函数f(x′,t)和核函数G(xi-x′)可表示为

$f (x^{'}, t) = \sum_{k = i + 2 n - 1}^{i + 2 n + 1} a_{k} (x^{'}) f (x^{'}_{k}, t)$ (8)

$G (x_{i} - x^{'}) = \sum_{k = i + 2 n - 1}^{i + 2 n + 1} a_{k} (x^{'}) G (x_{i} - x^{'}_{k})$ (9)

式(9)即为核函数多项式(i)。式(8)、式(9)中,f(x′k,t)、G(xi-x′k)为被积函数、核函数在网格节点上的值,插值基函数

$a_{k} (x^{'}) = \prod_{\begin{array}{l} l = i + 2 n - 1 \\ l \neq k \end{array}}^{i + 2 n + 1} (\frac{x^{'} - x^{'}_{l}}{x^{'}_{k} - x^{'}_{l}})$

。为编程和表达方便,式(8)、式(9)可写成矩阵乘积的形式:

f(x′,t)=AF′,G(xi-x′)=EA′ (10)

式(10)中,

A′、F′分别为A、F的转置,E、F中的元素均为已知。E和F′中各元素都与积分变量x′无关,可以提到积分号外面,积分单元上的积分sn(n≠0)可写为:

$s_{n} = E (\int_{x^{'}_{i + 2 n - 1}}^{x^{'}_{i + 2 n + 1}} A^{'} A d x^{'}) F^{'}$ (11)

将式(11)中右端多项式的积分记为B,即有:

B=∫ $_{x^{'}_{i + 2 n - 1}}^{x^{'}_{i + 2 n + 1}}$ A′Adx′ (12)

将A、A′的表达式代入式(12),解析积分可得:

因此,积分单元上的积分sn(n≠0)最终可表示为:

sn=EBF′ (14)

观察式,可得到如下信息。多项式的积分结果B跟i、n均无关,为常数矩阵,即对任意控制点的任意位置处的积分单元,其值均为定值,不再改变。核函数节点值E跟i无关,只跟n有关,也即其只随着积分单元位置(或积分点x′与控制点xi间的距离)有关,跟控制点位置无关。被积函数节点值F跟控制点位置i、积分单元位置n(积分点x′离控制点xi的距离)以及时间t均相关。由此,在程序运算时,可在程序运行初始,就将B与E乘积的结果事先计算好,存为数组,在以后每一时间、空间步进过程中直接调用即可,需要更新的仅是被积函数节点值F。这样处理的好处是,可以省去一些重复性计算,节省大量不必要的计算时间。

3.2 sn(n=0)的计算

鉴于核函数的特殊性,采用对数函数多项式来近似表示:

G(χ)=c1+c2lnχ2+c3χ2+c4χ2lnχ2+c5χ4+c6χ4lnχ2 (15)

上式(15)即为核函数多项式(ii)。

欲应用该式对积分单元上的积分进行解析求解,首先需要确定式(15)中的各系数ck(k=1,2,…,6),具体求解过程如下:

图2给出核函数多项式(ii)的计算示意图,如图所示,计算中将(x′i, x′i+Δx]区间平均分割,得到6个插值点,在各插值点上求出对应的核函数无因次自变量χk的值,即:

$χ_{k} = \frac{k Δ x}{6 h} (k = 1, 2, \dots \dots ‚ 6)$ (16)

通过核函数解析式求出插值点上的核函数值Gk(k=1,2,…,6),分别将插值点以及插值点上核函数的值代入式(15)中,可得到一组方程,通过对线性代数方程组的求解[4,5,6],最终求出核函数多项式(ii)的系数ck(k=1,2,…,6)。之所以只在正半轴上选择插值点,是因为核函数为偶函数,所求出插值多项式在负半轴上也自然成立。

被积函数f(x′,t)依旧采用拉格朗日插值多项式来表达,同样地,为编程和表达方便,将式写成如下矩阵乘积的形式:

G(xi-x′)=CP′ (17)

式(17)中,

P′为P的转置。积分单元上的积分s0可以写为:

s0=∫ $_{x^{'}_{i - 1}}^{x^{'}_{i + 1}}$ CP′AF′dx′ (20)

C、F′中各元素都与积分变量x′无关,可以提到积分号外面,因此,式还可以表示为:

$s_{0} = C (\int_{x^{'}_{i - 1}}^{x^{'}_{i + 1}} Ρ^{'} A d x^{'}) F^{'}$ (21)

式(21)中右端多项式的积分记为D,即有:

D=∫ $_{x^{'}_{i - 1}}^{x^{'}_{i + 1}}$ P′Adx′ (22)

将P′、A的表达式代入式(22),解析积分可得:

$D = (\begin{matrix} \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ (\frac{1}{3} \ln ζ^{2} - \frac{2}{9}) & (\frac{4}{3} \ln ζ^{2} - \frac{32}{9}) & (\frac{1}{3} \ln ζ^{2} - \frac{2}{9}) \\ \frac{1}{5} ζ^{2} & \frac{4}{15} ζ^{2} & \frac{1}{5} ζ^{2} \\ (\frac{1}{5} \ln ζ^{2} - \frac{2}{25}) ζ^{2} & (\frac{4}{15} \ln ζ^{2} - \frac{64}{225}) ζ^{2} & (\frac{1}{5} \ln ζ^{2} - \frac{2}{25}) ζ^{2} \\ \frac{1}{7} ζ^{4} & \frac{4}{35} ζ^{4} & \frac{1}{7} ζ^{4} \\ (\frac{1}{7} \ln ζ^{2} - \frac{2}{49}) ζ^{4} & (\frac{4}{35} \ln ζ^{2} - \frac{96}{1225}) ζ^{4} & (\frac{1}{7} \ln ζ^{2} - \frac{2}{49}) ζ^{4} \end{matrix}) Δ x (23)$

式(23)中,ζ=Δx/h。因此,n=0位置处积分单元上的积分s0最终可表示为:

s0=CDF′ (24)

同样地,在程序运行初始,事先将C与D的乘积结果先计算好,在以后沿空间、时间步进的过程中,仅更新F即可。实践证明,在积分点x′较接近控制点xi处,多项式能够很好地逼近核函数的真值。

4 数值结果和讨论

首先对核函数的计算方法进行检验。在上节中给出两种核函数的多项式形式,非零点处(n≠0)的多项式(9),即核函数多项式(i),零点处(n=0)的多项式(15),即核函数多项式(ii)。由于核函数越靠近零点变化越陡,越远离零点变化越缓慢,如图1所示,因此,这里选取n=1和n=0两种具有代表性的情况进行分析。通过选取一定数量的测点,比较多项式与解析表达式之间的误差,通过误差分析来检验由多项式表示的核函数的精度。将图1中n=0和n=1两个区间单独拿出来,见图3,图3中,Δχ0=Δχ/6,Δχ=λ/(2N+1),λ=3。

根据式(9),n=1区间核函数可写为:

$G_{1} (χ) = \frac{1}{(Δ χ)^{2}} (\frac{1}{2} (χ - 2 Δ χ) (χ - 3 Δ χ) G_{1} - (χ - Δ χ) (χ - 3 Δ χ) G_{2} + \frac{1}{2} (χ - Δ χ) (χ - 2 Δ χ) G_{3}) (25)$

式(25)中,G1、G2和G3可通过核函数解析式计算,这样,核函数n=1区间就被表示为一个2次多项式。根据式,n=0区间核函数可写为:

将自变量χ01、χ02、χ03、χ04、χ05、χ06以及相应函数值G01、G02、G03、G04、G05、G06分别代入式(26)中,得到6个方程,通过求解线性方程组可以得到系数c1、c2、c3、c4、c5和c6的具体的值。式(26)中G0(χ)关于χ=0对称,虽然求解时只是针对n=0区间χ>0的部分来做的。但是,由于对称关系,式(26)在n=0区间χ<0的部分也是满足的,因此,式(26)为核函数在n=0区间的多项式表达。取不同的N值时,χ1≤χ≤χ3区间G1(χ)的误差ε1和χ01≤χ≤χ06区间G0(χ)的误差ε2见表 1,同时还给出了0<χ≤χ01区间G0(χ)的误差ε3,误差计算公式如式(27)。

$ε = \frac{\sum_{k} | G (χ_{k}) - G^{*} (χ_{k}) |}{\sum_{k} | G^{*} (χ_{k}) |}$ (27)

式(27)中,χk为测点,除已给的自变量(插值点)外,其余为将Δχ或Δχ0二分10次得到。G*(χk)为多项式计算的核函数在测点上的值,G*(χk)为核函数解析表达式计算的核函数在测点上的值。

由表1可知,ε1随着N的增大逐渐变小,但是,当N > 20时,虽然随着N的取值的增大,区间长度变小很多,但是,ε1的值变化较缓慢,这是因为,随着N值的增大,n=1区间也越靠向χ=0处,而越接近χ=0处核函数的变化也越陡,因此,依旧采用2次多项式来近似核函数精度提高不大。对于任意N的取值,误差ε2和ε3都很小。表1说明了保证N值不小于10的话,核函数多项式的误差均能保证在1%以内。

注1)N为积分域分段参数,积分域划分为2N+1个积分单元。

图4、图 5和图 6分别给出了N=5、N=10和N=20情况下,核函数解析曲线与多项式曲线图。由图可知,多项式对核函数有很好的近似。虽然χ=0为核函数的奇点,但是由于多项式(15)在0<χ<χ01区间,也保持了很好的近似,因此消除了核函数解析式的奇点特性。由于核函数越靠近零点变化越陡,因此,其他区间(n>1)上的核函数的误差均小于n=1区间上的核函数的误差,n=1区间满足计算要求,则其他区间(n>1)自动满足。

其次,来验证积分算子T的计算。积分算子T的计算的检验公式的推导如下:

将积分算子T的表达式代入控制方程中,并消去φη ,得:

$\frac{\partial^{2} η}{\partial t^{2}} - g \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial^{2} η}{\partial x^{'}^{2}} G (x - x^{'}) d x^{'} = 0$ (28)

波面函数定义为:

$η (x, t) = \frac{Η_{0}}{2} \cos (k_{0} x - ω_{0} t)$ (29)

相应地,波面函数空间以及时间二次导数可表示为:

$\frac{\partial^{2} η (x, t)}{\partial t^{2}} = - \frac{Η_{0}}{2} ω_{0}^{2} \cos (k_{0} x - ω_{0} t)$ (30)

$\frac{\partial^{2} η (x^{'}, t)}{\partial x^{'}^{2}} = - \frac{Η_{0}}{2} k_{0}^{2} \cos (k_{0} x^{'} - ω_{0} t)$ (31)

将式(30)、式(31)代入式(28)中,得:

$\int_{- \infty}^{\infty} \cos (k_{0} x^{'} - ω_{0} t) G (x - x^{'}) d x^{'} = \frac{ω_{0}^{2}}{g k_{0}^{2}} \cos (k_{0} x - ω_{0} t)$ (32)

通过式(32),可以对积分算子T的计算进行检验。

现给定检验条件为:时间t=0,周期T0=1.0 s,ω0=2π/T0,水深h=1.561 3 m。由线性色散关系式ω $_{0}^{2}$ =gk0tanh(gh)来确定波数k0。被积函数f(x′)定义为:

f(x′)=cos(k0x′) (33)

解析结果为:

$Τ^{*} {f (x_{i})} = \frac{ω_{0}^{2}}{g k_{0}^{2}} \cos (k_{0} x_{i})$ (34)

注1)N为积分域分段参数,积分域划分为2N+1个积分单元。注2)λ为积分限参数,即认为核函数影响区间在λ倍水深范围内。

表2分别给出了积分范围为3倍水深(λ=3)和6倍水深(λ=6)情况下,取不同的步长Δx时积分算子T的误差。误差εT的计算公式为:

$ε_{Τ} = \frac{\sum_{i} | Τ {f (x_{i})} - Τ^{*} {f (x_{i})} |}{\sum_{i} | Τ^{*} {f (x_{i})} |}$ (35)

由表2可知,核函数影响区间取得越大,积分越准确,一般情况下,积分上下限取为3倍水深即可满足要求,误差能够满足在1%以内。图 7给出了L/Δx,积分范围为3倍水深(λ=3)时计算值T{f(x)}和解析值T*{f(x)}的比较图。

由图7可知,计算值T{f(x)}和解析值T*{f(x)}吻合得很好。通过表 2和图 7的分析比较可知,一个波长内网格数不低于8,在3倍水深积分范围内N值不低于10,积分算子T就能够取得很好的精度。综上所述,本文介绍的积分算子T和核函数G的计算方法是有效的。

5 结论

本文讨论了一新型波浪方程中类Sommeerfeld积分项的数值求解方法。通过对积分项的分析得知该积分为反常积分、无穷区间积分、震荡函数积分。又因为核函数为偶函数且呈指数衰减,弥补了积分为广义积分的不足,使得数值求解该积分成为可能。针对积分项的固有特点,比较了现有的数值积分方法之后,本文采用分段解析计算的方法,进行数值求解。文中对积分算子T和核函数G的计算方法进行检验,结果表明这一计算方法是有效的。同时,讨论了核函数影响区间长度及区间内网格数的选取。保证N值不小于10的话,核函数多项式的误差均能保证在1%以内;积分上下限取为3倍水深即可满足要求,误差能够满足在1%以内。

总的来说,一个波长内网格数不低于8,在3倍水深积分范围内N值不低于10,积分算子T就能够取得很好的精度。

参考文献

[1]金红,邹志利.具有精确色散性的非线性波浪数学模型.力学学报,2010;42(1):23—34

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[3]《数学手册》编写组.数学手册.北京:人民教育出版社,1979

[4]刘德贵,费景高,于泳江,等.FORTRAN算法汇编(第一分册).北京:国防工业出版社,1980

[5]徐士良.FORTRAN常用算法程序集(第二版).北京:清华大学出版社,1997

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