非线性微分代数方程组（精选10篇）
非线性微分代数方程组 篇1
0 引言
现代复杂机电产品（如航空航天器、机器人、汽车等）通常是集机、电、液、控、磁等多学科领域于一体的复杂物理系统，经常表现出时间依赖（对时间导数）与空间依赖（对坐标偏导）共存的行为特征，而且可能呈现出多领域之间及时间域与空间域之间的耦合特性[1]。
物理系统行为规律的描述通常有两种主要的形式。系统在单纯时间域的物理行为往往由常微分方程（ordinary differential equation,ODE）描述，如果涉及代数约束，则形成微分代数方程（differential-algebraic equation,DAE),DAE是描述时间域物理规律的普遍形式，如机械多体、电子电路等系统规律的描述；若物理行为涉及空间场，出现对空间变量的偏导，则往往由偏微分方程（partial differential equation,PDE）描述，如位势、传热、波动等相关物理系统的规律描述[1]。
物理系统建模经历了从面向过程建模到面向对象建模、连续域与离散域分散建模到连续-离散混合建模、单一领域独立建模到多领域统一建模的发展阶段。Modelica语言是近年来欧洲仿真界为解决复杂物理系统建模与仿真问题而提出的一种多领域统一建模语言[2,3]，然而，目前Modelica语言只能对时间域的物理系统进行统一建模，还不能对空间域的物理系统进行描述，更无法对其进行仿真优化，这大大限制了Modelica语言的应用范围。为此，国外已有学者着手扩展Modelica语言以支持PDE问题的建模与仿真[4]。周凡利等[1]提出了解决该问题的思路，但没有具体实现。李志华等[5,6]也开展了这方面的研究工作，初步实现了Modelica语言对PDE问题的描述、建模以及仿真求解。然而现有的这些方法都是采用简单的有限差分法或线上法来求解具有规则区域（如矩形）的PDE问题，对于不规则区域的复杂PDE问题则无法求解。
本文在李志华等原有工作[5,6]的基础上，从多领域统一建模与仿真的角度，针对一般性的PDE问题（包括不规则求解区域、复杂边界条件、线性或非线性PDE系统），提出一种PDE与DAE的一致求解方法，为Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题奠定基础。
1 PDE的已有解法
PDE的解法主要分为解析法和数值法。到目前为止，只有有限形式的PDE能够得到解析解，在工程实际中一般采用数值求解。PDE的数值求解技术比较成熟，可用的方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法以及线上法等[7]。但有限差分法和线上法只适用于规则的求解区域，而有限元法和有限体积法是基于网格的计算方法，在某些工程问题（如动态裂纹扩展、高速撞击、冲击破坏、流固耦合等）中存在网格的束缚，使得计算遇到很大的困难，因此出现了无网格方法[8]。
无网格方法只需要节点的信息，不需要节点与节点之间相互联系的信息，这样很容易在复杂计算区域内布置节点。无网格方法的构建主要包括近似函数的构建方法和微分方程的离散方法两个部分，根据近似函数构建方法和微分方程离散方法的不同，可以构建出许多不同的无网格方法[8]。目前比较常用的近似函数的构建方法有：核函数近似方法、再生核近似方法、移动最小二乘近似方法、单位分解近似方法、径向基函数近似方法、点插值近似方法等。微分方程的离散方法包括加权残量法、配点法、Galerkin法以及局部Petrov-Galerkin法。
Khattak等[9]运用无网格配点法成功求解了一类非线性PDE;Yao等[10]应用全局和局部径向基函数来求解三维抛物线型PDE，并比较了这两种无网格方法的性能；Kamruzzaman等[11]利用多项式点插值和配点法来构造无网格方法，较好地求解了椭圆形、抛物线型和双曲线型PDE；吴宗敏[12]介绍了散乱数据拟合研究中的径向基函数方法，及其在散乱线性泛函信息插值、无网格PDE数值解中的应用；吴孝钿[13]应用Sobolev splines径向基函数和紧支柱正定径向基函数，得到求解PDE边值问题的无网格算法，并针对散乱数据的特点，给出了计算整体稠密度h的算法及如何通过加密节点使h值缩小的一个可行方法。然而上述无网格方法都是直接对时间变量和空间变量进行离散，只适合求解单纯的PDE问题，不适合求解复杂的PDE与DAE耦合问题。
本文借鉴传统的求解PDE的无网格方法，选用径向基函数和配点法来构建径向基函数配点无网格法，并对其进行改进，即只对空间变量离散而保持时间变量连续，直接将PDE在空间上（即配点处）离散成一系列的DAE，然后利用成熟的DAE求解器进行统一求解。
2 径向基函数配点无网格法
对于d维实空间中定义在域Ω上的PDE问题：
式中，L、B为微分算子；u(X,t）为未知量场函数；f(X,t）、g(X,t）为已知函数。
我们所构建的径向基函数配点无网格法的基本思想是：首先采用径向基函数构造近似函数，将未知量场函数的时-空变量分开，然后运用配点法对空间变量进行离散，而保持时间变量连续，这样就将PDE问题在空间上离散成一系列只含时间变量的DAE问题，具体过程如下。
首先在PDE的不规则求解区域Ω内和边界Ω上选定N=Nu+Nb个离散的节点（即配点），然后应用径向基函数构造u(X,t）的近似函数，并将其构成时间与空间分离的形式：
其中，N为节点总数；Nu为域内节点数；Nb为边界节点数；αi(t）为待定系数；Xi为实空间上的配点；φi（‖X-Xi‖）为径向基函数，φi（‖X-Xi‖）=φ（ri(X));ri(X）为Euclidian范数，ri(X）=‖X-Xi‖。
为确保解的唯一性，（ri(X））必须无条件正定，这种径向基函数包括Gaussian函数e-cr2、逆MQ函数（r2+c2）β（β<0）和紧支正定径向基函数等。本文采用Gaussian函数。
将式（2）代入式（1）中，并使这N个点满足式（1）的微分方程和边界条件，得到
当微分算子L、B为空间变量的偏导时，由于空间变量已与时间变量分离，且径向基函数φi（‖X-Xi‖）对空间变量可求导，在每一节点处，空间坐标已知，因此Lφ（ri(Xk））或Bφ（ri(Xk））就是一个已知值，这样，式（3）中就只剩下时间的导数，即每个节点处对应一个只与时间有关的DAE，这样就将PDE转化为一系列的DAE（具体过程可参见实例部分）。
进一步，PDE问题（式（1））可变为求解一个N×N的线性方程组问题，用矩阵表示为
其中，S为N×N的矩阵，S=(Ski)N×N;a为待求的系数向量，a=（α1(t），α2(t），…，αN(t));b=(b1,b2，…，bN）；且
由式（4）求出未知系数αi(t)(i=1,2，…，N）后，通过式（2）就可以获得域内和边界上任意一点的场函数值u(X,t）。
3 实例及求解过程
通过编程，利用径向基函数配点无网格法对PDE进行空间离散，自动将PDE问题转化成DAE问题。本文采用MATLAB编程，首先将带时间域的PDE问题进行时间与空间分离（若不带时间域则不用分离），然后通过径向基函数配点无网格法对空间变量进行离散，得到一系列离散点处的DAE，并把这些DAE数据用mat格式保存起来，接着将该mat格式文件导入到基于Modelica语言的多领域统一建模与仿真平台MWorks中[14]，并利用其成熟的DAE/ODE求解器进行PDE与DAE的一致求解。整个流程如图1所示。
以下面一个不规则区域的二维热传导问题为例来说明本文所提方法的有效性：
式中，T为某个时间值。
其求解区域由如下边界组成：
对该不规则求解区域用配点法进行不规则离散，得其节点分布如图2所示，其中域内节点数Nu=61，边界上节点数Nb=42。然后对这些节点从左到右、从下到上进行编号。
对该二维热传导PDE问题，运用上述PDE与DAE的一致求解方法和过程进行一致求解，令
对于求解域内的Nu个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nu），满足域内的偏微分方程，即
对于求解域边界上的Nb个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nb），满足边界条件方程，即
对于域内及边界上的所有离散节点（xi,yi(i=1,2，…，N),N=Nu+Nb，满足初始条件方程，即
本文采用Gaussian径向基函数，在各离散节点处均可计算出它们的值。这样，式（5）～式（7）中就只剩下时间的变量，即利用径向基函数配点无网格法已将PDE在离散节点处转化为一系列的DAE，然后就可以在MWorks环境中利用其自带的DAE求解器进行求解，从而方便地得出场函数在各个离散节点处随时间变化的函数值。图3表示的是场函数在编号为15节点处的仿真结果；图4所示为本文的数值解与其精确解u(x,y,t)=e-2tsin(x+y）之间的比较，此处t=0.5s。
由图4可以看出，本文的数值解uP与精确解uQ非常吻合，达到了较高的求解精度。进一步，定义本文的数值解与精确解之间的误差为，通过计算得到er=7.1×10-5。
4 求解精度影响因素分析
为了更好地应用径向基函数配点无网格法来求解PDE问题，本文研究了不同离散节点数、平均节点间距和径向基函数参数c的取值对求解精度的影响，如表1所示。
由表1可以看出，一般情况下，当参数不变时，离散节点数越大、平均节点间距越小，则求解精度越高。例如，在c=1不变的情况下，当节点数为14、平均节点间距为0.47时，误差为2.2475×10-4；而当节点数为30、平均节点间距为0.28时，误差则为1.7142×10-5。同时还可以看出，随着参数c的不断增大，求解精度并不是呈递增或递减状态，而是有起伏变化，只有当c取适当的值时，误差er才较小。由此可见，恰当确定径向基函数参数c的取值很关键，然而目前还没有规律可循，只能通过多次反复运算来确定一个合适的值。
5 结论
多领域统一建模要求用偏微分方程和微分代数方程来统一描述和统一求解，本文针对一般性的偏微分方程问题，提出了偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法，给出了该方法的实现过程，分析了离散节点数和径向基函数参数对求解精度的影响，得到如下结论：
(1）与传统的无网格方法相比，本文采用只对空间变量离散而保持时间变量连续的策略，能方便地将偏微分方程在离散节点处转化为一系列微分代数方程，从而在不改变Modelica语法的前提下，较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解，大大简化了复杂的偏微分方程与微分代数方程耦合问题的求解难度。
(2）实例结果表明，本文所提出的方法能较好地解决具有不规则求解区域的偏微分方程问题，且求解精度高，这有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。
摘要：Modelica语言是一种复杂物理系统多领域统一建模语言,但目前该语言只能解决由微分代数方程(DAE)描述的问题,而不能解决由偏微分方程(PDE)表达的问题。为此,提出一种偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法,利用所构建的径向基函数配点无网格法直接将偏微分方程在空间上离散成一系列的微分代数方程,然后采用成熟的微分代数方程求解器进行求解。实例结果表明,该方法在不改变Modelica语法的前提下,能较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解,且求解精度高、边界条件处理简单,有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。
关键词：多领域统一建模,Modelica,偏微分方程(PDE),微分代数方程(DAE)
非线性微分代数方程组 篇2
含分布滞量的非线性双曲偏微分方程组解的振动性
研究了一类具有连续分布时滞变量的非线性双曲型偏微分方程组解的振动性.获得了该方程组在Robin边值条件和Dircichlet边值条件下解振动的充分条件.
作 者：高正晖 罗李平GAO Zheng-hui LUO Li-ping 作者单位：衡阳师范学院数学系,湖南,衡阳,421008刊 名：应用数学 ISTIC PKU英文刊名：MATHEMATICA APPLICATA年，卷(期)：20(4)分类号：O175.27关键词：双曲型偏微分方程 连续时滞变量 振动性
非线性微分代数方程组 篇3
[关键词]：二阶变系数齐次线性微分方程 二阶变系数非齐次线性微分方程 一阶线性微分方程 通解 特解
一、引言
在微分方程的理论中，二阶线性微分方程占有十分重要的位置.国内外现行 《高等数学》中的方程[1]，只是对常系数微分方程的情况做了详细的讨论，《常微分方程》也未对二阶变系数微分方程的解作进一步的阐述.一般的变系数微分方程的通解没有普遍的求法.在高等数学中，只有对欧拉方程这种特殊的变系数微分方程研究了它的解法[2].本文通过研究几种特殊的二阶变系数线性微分方程通解的求法，推导二阶变系数线性微分方程的通解的一般求法，包括二阶变系数齐次线性微分方程和二阶变系数非齐次线性微分方程.诣在解决二阶变系数线性微分方程的求解问题，并得出成规的求解的方法与结论，以便适应在工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要.
二、一些特殊型二阶变系数线性微分方程的求解方法
考虑如下的二阶变系数微分方程
（1）
其中 都是连续函数，当 满足一定条件时，通过适当的变量代换，方程（1）可化为欧拉方程，进而求出其通解.
引理1[3] 假如方程
中 .
只需引进变量 ，则方程可化为
.
定理1当 时，方程（1）可通过变量代换 化成欧拉方程且通解为
（Ⅰ） 时， .
（Ⅱ） 时， .
（Ⅲ） 时， .
证明：设 ，这里 为待定的连续可微函数，此时有
将 代入方程（1），得
（2）因为
所以（2）式化为
. （3）
若設 ，则（3）为欧拉方程，将其代入（3）得
. （4）
或
. （5）
令 ，则 ，（5）式化为
（6）
（6）式变成为常系数线性微分方程未知函数为 ，自变量换成 .求解（6），再由 代回 ，得到 ，从而得到方程（1）的解.具体解法如下：
方程（6）对应的特征方程为
，
判别式 .分以下三种情况讨论：
（Ⅰ）当 即 时，特征方程有两个相异实根
， .
方程（6）的通解为
.
将 代入上式，得
.
所以方程（1）的通解为
.
若 ，即 时，方程（1）的通解为
.
（Ⅱ）当 即 时，特征方程有两个二重根
.
方程（6）的通解为
.
将 代入上式有
.
所以方程（1）的通解为
.
（Ⅲ）当 即 时，特征方程有一对共轭复根
， .
方程（6）的通解为
.
将 代入上式，有
.
所以方程（1）得通解
.
例1 求方程 的通解.
解：这里 ， ，且 .此处 .符合情况（Ⅰ）.将 ， 代入通解公式并化简得方程的通解为
.
例2 求方程 的通解.
解：这里 ， ，此处 .符合情况（Ⅲ），将 ， 代入通解公式并化简得方程的通解为
.
可见，在方程（1）的系数满足条件 时，便可由定理的公式直接求出这类方程的通解，避免了繁琐的变量代换求通解的过程.
设 阶变系数线性非齐次微分方程
（1）
对应的齐次方程为
（2）
定理2 若方程（2）的特解为 则方程（1）的通解为
引理2[4] 对于 阶变系数线性微分方程
有以下结论：
（1）若 ，则特解为 ；
（2）若 ，则特解为 ；
（3）若 ，则特解为 ；
（4）若 ，则特解为 .
上述寻找特解的方法要求系数要满足一定的条件，有时并不好实现.但对于一些二阶变系数线性微分方程可通过变量代换化为常系数方程，从而很容易求解.
考虑二阶变系数齐次线性微分方程
（3）
其中 都是连续函数，当 ， 满足一定条件时，通过适当的变量代换，方程（3）可化为常系数微分方程，进而求出其通解.
定理4 若存在常数 ，使得方程（3）的系数 满足：
，
其中 为常数，则方程（3）可以化为二阶常系数线性齐次方程
， （4）
进而可求得原方程的通解.
证明：令 ，则 ， ，代入方程（3），得
. （5）
又因为 ，所以 且 ，代入
（5），得 ，再将 代入此二阶常系数线性齐次方程的通解，便得原方程的通解.
nlc202309011050
注：一般情况下，可令 .
例3 求方程 的通解.
解：因为 ，则方程有特解 .于是，方程有形如
的通解.将 代入方程得 .
即
. （4）
解方程（4）得
，
得
.
即
（5）
解方程（5）得
.
于是，原方程的通解为
.
例4 求方程 的通解.
解：因为 ， .显然，存在常 数，使得 .令 ，则 ， ，代入方程得
，
即
（6）
方程（6）为二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为
.
故原方程的通解为
.
例5 求方程 的通解.
解： ， .显然，存在常数 ，使得 .令 ，则
， ，
代入方程得
，
即
. （7）
方程（7）为二阶常系数线性非齐次微分方程，其通解为
.
故原方程的通解为 .
定理5 對于二阶变系数线性非齐次微分方程
， （1）
若 ，和实数 满足
， （2）
则（1）的通解为
（3）
其中积分 ， 和 都表示一个原函数， 和 为任意常数.
证明：设方程（1）的解为 ，求导得
， ，
将 代入（1）化简得
（4）
在（4）中，不妨令
（5）
方程（5）为二阶变系数线性齐次微分方程，文献[4]给出一类若 满足（2），则方程（5）的一个特解必为
（6）
将（5）代入（4）整理得
（7）
显然（7）为可降阶的微分方程.利用可降阶的微分方程的求解方法可求得（7）的通解（即求得 ）为
.
其中积分 ， 和 都表示一个原函数， 和 为任意常数.由此得（1）的通解为
例6 求方程 的通解.
解：文献[4]中给出 =-3，所以对应齐次方程 的一个特解为 .又 ， ，代入（7）得方程的通解为
= =
=
例7 求方程 的通解.
解：文献[4]中给出 =-1，所以对应齐次方程 的一个特解为 .又 ， 代入（7）得方程的通解为
= =
注意：定理中的条件 非常苛刻，只有在特殊条件下才能满足.但通过分析可以发现，定理中的这个条件并不一定必须满足，只要能知道方程（1）对应齐次方程的一个非零特解 ，则由公式（7）同样可以求出方程（1）的通解.
例8 求方程 的通解.
解：已知对应齐次方程 的一个特解为
.
又 ， ，代入（7）得方程的通解为
=
=
= 1
三、一般型二阶变系数线性微分方程的求解方法
定义[5] 若 、 为连续非常数的函数，则称方程
（1.1）
为二阶变系数线性微分方程. 如果 恒等于零，那么该方程称为二阶变系数齐次线性微分方程；如果 不恒等于零，那么该方程称为二阶变系数非齐次线性微分方程.
假设二阶变系数非齐次线性微分方程中 具有一阶连续的导数、 连
续.令
， （1.2）
， （1.3）
则方程（1.1）变形为
（1.4）
即
令 （1.5）
那么原方程（1.1）就化简为
.
解之，得 ，将之代入（1.5）式，则方程（1.5）通过上述变换可降阶为
此一阶线性非齐次微分方程的解就是我们所要求的二阶变系数非齐次线性微分方程的解[6]，而方程
的解为
即
（1.6）
故式（1.6）为二阶变系数非齐次线性微分方程
的通解公式.
另外由（1.2）式又得
或
将其代入式（1.6）可得二阶变系数非齐次线性微分方程（1.1）通解的另两种形式为
（1.7）
或 （1.8）
特别地1 当 时，方程（1.1）就转化为二阶变系数齐次线性微分方程，而式（1.6）、（1.7）、（1.8）分别为
， （1.9）
， （1.10）
， （1.11）
它们是对应的二阶变系数齐次线性微分方程 的通解公式. 以上的求解过程或方式就是二阶变系数线性微分方程的求解方法，（1.6）、
（1.7）、（1.8）均为二阶变系数非齐次线性微分方程
的通解公式. 公式（1.9）、（1.10）、（1.11）均为二阶变系数齐次线性微分方程
的通解公式，.在具体应用时，应依据问题灵活使用.
特别地2 形如
型的方程可化为伯努利方程.
原方程变形为
令
则原方程就化为伯努利方程
，
即可求得其解[7] .
四、举例
nlc202309011050
运用二阶变系数线性微分方程的一般求解法求二阶变系数线性微分方程的解时，其重点是构造（1.2）和（1.3）式，难点或关键点是从（1.2）式和（1.3）式，求出 和 . 或由（1.2）式和（1.3）式变形得
（1.12）
和 ， （1.13）
再从中求得 和 ，然后用上述方法或上述公式，可求得二阶变系数线性微分方程的解.
注：方程（1.12）或（1.13）是黎卡提（Riccati）方程，见《常微分方程》教[8].求二阶变系数线性微分方程解时，必须观察二阶变系数线性微分方程的特
征.如果是上述特殊类型的二阶变系数线性微分方程，就用特殊类型的二阶變系数线性微分方程的求解方法求之；如果不是上述特殊类型的二阶变系数线性微分方程，就用二阶变系数线性微分方程的一般求解方法求之.
二阶变系数线性微分方程的一般求解步骤：
第一步：构造（1.2）式和（1.3）式；
第二步：计算出 ， ；
第三步：将第二步的结果代入上述公式求出通解来.
例9 求 的通解
解：由方程特征可知，
， ，
则 的通解为
.
例10 求 的通解.
解：令 ，解之得
由以上公式，所求方程的通解为
.
五、总结
对一般的二阶变系数线性微分方程而言，由《常微分方程》 教材[5] 知，只要能求出二阶变系数齐次线性微分方程的一个特解，则二阶变系数线性齐次或非齐次微分方程的解即可求得.尽管专家学者目前的研究给出了一些特殊类型的二阶变系数线性微分方程的求解方法，然而，如何求出其中的某一特解是无法可循的.通过研究特殊类型的二阶变系数线性微分方程的求解方法，深入研究了一般二阶变系数线性微分方程的求解方法，包括二阶变系数齐次线性微分方程和二阶变系数非齐次线性微分方程.
参考文献：
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M] .北京：高等教育出版社，2003：259-317.
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[7]常秀芳，李高.伯努利方程的几种新解法[J].雁北师范学院学报，2007，23：（02）.89-91.
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非线性微分代数方程组 篇4
随着大区电网互联规模的日益增大,区域间低频振荡已成为限制互联系统输电能力、影响电网安全稳定运行的重要因素之一[1,2]。利用直流系统的功率调制可有效抑制互联电网振荡,改善系统运行稳定性[3,4]。而直流系统的功率调制功能,需在其控制系统中加入附加控制器来拓展[5,6,7]。
传统直流附加控制器大多基于线性化模型设计,如超前-滞后补偿控制[8]、最优控制[9]等。这种模型目标明确,结构简单,易于实现,在改善交直流互联电网动态稳定性方面已发挥重要作用。但控制系统的线性化模型依赖于系统元件的详细数学模型和精确参数。系统网络结构或元件参数发生变化时,控制器性能指标将受到影响和限制,严重时有可能恶化互联系统的稳定性。
近年来,随着非线性控制理论的发展,交直流互联系统的稳定控制问题也相应取得了一些进展,文献[10]基于非线性系统的状态反馈线性化方法与线性系统的变结构控制理论所设计的直流非线性控制器,在改善直流系统性能的同时,提高了交流系统的电压稳定性。文献[11]将李亚普诺夫直接法应用到直流系统附加阻尼控制器的设计中,改善了系统的动态稳定性。上述方法的研究对象仅限于电力系统强非线性模型的微分部分,而忽略非线性代数部分的影响。文献[12]利用微分代数模型研究发电机励磁控制和直流系统的定电流控制,所研究的对象是单机无穷大交直流互联系统,直流逆变侧换流母线电压恒定,未考虑多机系统相互作用和直流闭锁对互联系统稳定性的影响,研究结果过于乐观,不利于推广到多机系统。
本文基于叠加原理,提出一种将微分代数模型状态反馈线性化分解为微分模型状态反馈线性化和关联代数模型状态反馈线性化的新方法。将该方法应用于多机交直流互联系统直流附加控制器设计中,计及电力系统非线性代数方程对直流功率调制的作用;考虑静态负荷电压和换流母线电压的影响,推导出附加控制器的控制策略。仿真结果验证了本文控制方案的有效性。
1 微分代数系统反馈线性化原理
典型的非线性微分代数系统模型可表示为
其中,x=[x1,x2,…,xn]TRn为状态向量;y=[y1,y2,…,ym]TRm为输出向量;u=[u1,u2,…,um]TRm为控制向量;λ=[λ1,λ2,…,λl]TRl为代数向量;f:Rn×RlRn、α:Rn×RlRl和h:Rn×RlRm分别为n维、l维和m维光滑向量场,g:Rn×RlRn为n维向量场;α(x,λ)为一个多项式系统。
假定在Ω奂Rn×Rl内,矩阵α/λ非奇异,由隐函数定理知:
定义h(x,λ)沿向量场f(x,λ)方向的导数为
其中,h(x,λ)为h(x,λ)的梯度,则式(3)可表示为
由式(4)可知,根据叠加原理,函数h(x,λ)沿向量场f(x,λ)方向的导数由两部分组成:第一部分为h(x,λ)显含状态变量x项,沿向量场f(x,λ)方向的导数即Lie导数;第二部分为h(x,λ)隐含状态变量x项,沿向量场f(x,λ)方向的导数即关联代数部分沿向量场方向的导数。
同理,对于函数h(x,λ)沿向量场f(x,λ)方向的k阶导数可表示为
向量场g沿向量场f方向的导数表示为
类似于Lie关系度的定义,式(1)所示的非线性系统,在(x,λ)Ω内,定义矩阵:
若存在ki
结合微分几何理论的Frobenius定理和向量场的对合性[13],若r=n,系统存在局部微分同胚的坐标变换,可将式(1)变换到Z空间的Brunovsky标准型;若r
2 直流系统微分代数模型
交直流互联输电系统典型结构如图1所示。
将图1所示的直流系统送、受端区域等值为2台发电机。发电机采用经典二阶模型,不计调速器的作用,即原动机输入的机械功率保持不变,发电机转子运动方程为
其中,δi为发电机转子角;ωi为发电机转速;ω0为额定转速;Pm为机械功率;Pe为电磁功率;H为发电机的转动惯量;D为发电机的阻尼系数。
以等值系统2为参考。区域1、2惯量中心间的转子运动方程可表示为
其中,Pac、Pdc为区域1与2之间的交直流联络线上的交流、直流功率;PL7、PL9为母线7、9的负荷。
利用直流输电系统进行功率调制时,直流系统应运行在准稳态条件下。不考虑直流系统的动态特性,将直流系统的功率调节视为一阶惯性环节,整流侧带阻尼控制器的定功率控制。直流系统的状态方程可表示为
其中,Pdc为直流功率实际值;Pdc,ref为直流功率设定值;τdc为直流系统功率调节等效时间常数;Pdc,add为直流系统附加控制量。
直流附加控制器设计目的:当交流系统受扰动时,通过直流系统的功率调制阻尼系统振荡,维持互联系统的动态稳定性。将2台等值发电机的转子相对角度作为判别系统是否稳定的标志,系统受扰动后2台等值机的转子相对角度增量越小则表明系统越稳定。
为直观表现所设计的非线性控制器控制性能,本文将2台等值发电机转子相对角度的增量作为非线性控制器的输出,即
系统代数方程由换流母线功率平衡方程组成:
其中,θi、θj为系统中节点i、j的电压相位角;θij为节点i与j的电压相位角差;α为整流侧触发角;γ为逆变侧熄弧角;μr、μi为整流侧和逆变侧的换相角;Pdr为整流侧注入换流母线的有功功率;Qdr为整流侧注入的无功功率;Pdi为逆变侧注入换流母线的有功功率;Qdi为逆变侧注入换流母线的无功功率;ζZ、ζI、ζP、ηZ、ηI、ηP为负荷恒阻抗、恒电流、恒功率模型(ZIP模型)在总有功和无功负荷中所占比例;PL7、PL9、QL7、QL9为负荷7、9的实际有功、无功功率;PL70、PL90、QL70、QL90为负荷7、9在基准点稳态运行时的有功、无功功率;U7、U9为母线7、9实际电压幅值;U70、U90为母线7、9基准点稳态运行时的电压幅值。
3 控制器设计
对图1所示的交直流互联系统,式(1)的具体模型参数如下:
假定D1/H1=D2/H2,矩阵α/λ非奇异,则矩阵α/λ的逆矩阵必存在:
结合式(11)(12),向量α对状态变量x的偏导数为
由式(2)得:
根据微分代数系统的关系度定义,计算可得系统关系度r=3,等于系统状态向量的维数,故图1所示的非线性微分代数系统可直接状态反馈线性化。取坐标映射Z=ψ(x,λ),利用微分代数模型的精确线性化方法将式(8)~(12)化为状态反馈精确化标准型:
系统的动态方程为
由式(16)可得,直流系统附加控制输入Pdc,add为
线性系统(16)的最优控制:
又有
将v*、f1、f2、f3、Lf3h、LgLf2h代入式(17),得直流系统非线性附加控制器控制规律:
由推导可知,考虑了静态负荷电压特性的直流系统附加控制策略是建立在系统微分代数模型基础上的。该控制策略有效计及了电力系统的强非线性代数方程的影响,可简便地将交直流系统的微分反馈线性化模型扩展为微分代数反馈线性化模型。控制器以发电机的相对功角增量作为状态可观量,跟踪调节直流系统传输功率,改善互联系统的动态稳定性。
4 仿真分析
以图2所示的系统为例,对本文的控制策略仿真验证。系统详细参数见文献[14]。静态负荷模型参数为[ζZ,ζI,ζP,ηZ,ηI,ηP]=[0.4,0,0.6,0.4,0,0.6]。非线性控制器的线性最优控制参数[k1,k2,k3]=[3,5.35,3.27]。
扰动方式:t=1 s时在母线9上发生三相短路,t=1.1 s时故障消失。
图3~7为该扰动方式下直流系统采用无附加控制(NC)、附加线性控制(LC)以及本文所提的非线性附加控制(NLC)时,G1与G3的相对功角δ13、直流线路功率(标幺值)、直流附加功率、整流侧直流电压(标幺值)及触发角的仿真结果。
由图3可知,系统在无附加控制和常规的线性控制下虽然最终能稳定,但阻尼较弱;采用本文的控制策略后,系统阻尼明显得到改善。
图4和图5显示故障后直流功率调制效果:t<1 s时,系统稳态运行直流系统传输功率等于设定功率即Pdc=Pdc,ref=200 MW、Pdc,add=0;t=1 s时,换流母线9发生三相瞬时接地故障,母线9电压跌落为零,逆变侧直流电压降至0,直流闭锁,直流系统传输功率Pdc=0;t>1.1 s时故障消失,母线9电压波动后恢复到故障前的值,逆变侧直流电压在t=1.12 s上升到0.8 p.u.,恢复至直流系统解锁电压即Ublock=0.8 p.u.,直流系统进入解锁延时;t=1.55 s时,直流系统解锁,系统开始正常运行,此时直流传输功率Pdc=Pdc,ref+Pdc,add,直流传输功率在t=1.88 s时到最大值263.9 MW;t>4.53 s时系统振荡基本消失,直流功率调制退出,传输功率等于故障前设定功率。直流系统无附加控制,故障后传输功率等于故障前的传输功率Pdc=200 MW;采用传统线性控制,故障后直流传输功率在t=1.85 s时达到最大值222.98 MW。可见,直流系统改善交流系统的动态稳定性,正是利用直流的短时过载能力,在事故后提供足够的功率支援,阻尼系统振荡。
图6和图7为直流系统整流侧直流电压和触发角仿真结果。t<1 s时,互联系统稳态运行,此时换流母线7电压稳定,整流侧触发角α=18.56°,整流侧直流电压Udcr=0.997 p.u.;1 s
以上分析表明,本文的直流附加控制器具有以下优点:考虑直流系统闭锁,直流功率调制作用延迟120 ms,仍有效抑制系统振荡,若系统故障过程中直流系统保持稳态运行,故障发生后直流系统迅速进入功率调制环节,则控制效果更佳;与无附加控制和传统的线性附加控制相比,计及静态负荷电压特性和换流母线电压对直流功率调制的影响,能更加有效地提高系统的动态稳定性。
5 结论
本文基于叠加原理,提出一种微分代数模型反馈线性化的新方法,可将微分代数模型的微分部分和关联代数部分的反馈分别线性化。此方法在不影响计算精度的前提下,有效降低了计算规模和复杂程度。
非线性微分代数方程组 篇5
一类非线性二阶常微分方程的正周期解
考察非线性二阶常微分方程u″(t)=,(t,u(t))关于周期边界条件u(0)=u(2π),u′(0)=u′(2π)的正解,由于该方程没有Green函数,通常的方法是无效的.利用适当的转换技巧和锥上的不动点定理证明了这个周期边值问题的.n个正解的存在性,其中n是一个任意的自然数.
作 者：姚庆六 YAO Qingliu 作者单位：南京财经大学数学系,南京,210003刊 名：系统科学与数学 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCE AND MATHEMATICAL SCIENCES年，卷(期)：28(1)分类号：O1关键词：二阶常微分方程 周期边值问题 正解 存在性 多解性.
非线性微分方程求解的探讨 篇6
关键词：非线性微分,符号方程,积分因子,ode23
一、非线性方程求解的作用
非线性方程组的求解乃是非线性科学的核心;很多来自工程、机械、科学研究等的实际问题最终都化为求解一个非线性方程组;而非线性方程组的求解, 是一个至今没有彻底解决的数学问题;特别地, 来自工程、机械等的几何约束问题, 最终都将产生一个非线性方程组, 且该方程组中方程和未知量的个数都非常多, 且往往其中的未知量的次数还非常高.因此, 解决这些几何约束问题极其困难.
二、微分方程
微分方程指含有一次、二次乃至高次微分未知数的方程, 是解决偏微分方程、数理方程的基础.微分方程的表达通式是∫
三、微分方程的线性化
大部分非线性微分方程, 都不能得出通解.但是, 可以对其在一定范围之内进行线性化求出近似解.例如,
有许多函数都是为了无法得出多项函数或超越函数形式的解析解的微分方程而定义出来.这些特殊函数之所以重要, 是因为它们描述了自然界中的某些现象, 例如, 电子的活动、鼓皮的振动、钟摆的摆动, 等等.
四、常微分方程初值问题的数值解法
考虑常微分方程的初值问题y′=f (t, y) , y0≤t≤T, y (t0) =y0.
所谓其数值解法就是求它的解y (t) 在节点t0<t1<…<tm处的近似值y0, y1, …, ym的方法.所求的y0, y1, …, ym的方法.所以求得的y0, y1, …, ym称为常微分方程初值问题的数值解.一般采用等距节点tn=t0+nh (n=0, 1, …, m) , 其中h为相邻两个节点间的距离, 叫做步长.
常微分方程初值问题的数值解法多种多样, 比较常用的有欧拉 (Euler) 法、龙格—库塔 (Runge-Kutta) 法、线性多步法、预报校正法等.
五、龙格—库塔 (Runge-Kutta) 法
对于一阶常微分方程的初值问题, 在求解未知函数y时, y在t0点的值y (t0) =y0是已知的, 并根据高等数学中的中值定理, 应有y (t0+h) y1≈y0+hf (t0, y0) , h>0, 称为步长, y (t0+2h) =y2≈y1+hf (t1, y1) .一般地, 在任何点ti=t0+ih, 有y (t0+ih) =yi≈yi-1+hf (ti-1, yi-1) (i=1, 2, …, n) .
当 (t0, y0) 确定后, 根据上述递推式能计算出未知函数y在点ti=t0+ih (i=0, 1, …, n) 的一例数值解yi=y0, y1, y2, …, yn, (i=0, 1, …, n) .
当然, 递推过程中有一个误差累计的问题.在实际计算过程中, 使用的递推公式一般进行改造, 著名的龙格—库塔公式是
六、龙格—库塔法的实现
基于龙格—库塔法, MATLAB提供了求常微分方程值解的函数, 一般调用格式为:
[t, y]=ode23 (‘name’, tespan, y0) ,
[t, y]=ode45 (‘name’, tespan, y0) .
其中, fname是定义f (t, y) 的函数文件名, 该函数文件必须返回一个列向量.Tespan形式为[t0, tf], 表示求解区间.y0是初始状态列向量.t和y分别给出时间向量和相应的状态向量.
这两个函数分别采用了二阶、三阶龙格—库塔法和四阶、五阶龙格—库塔法, 并采用自适应变步长的求解方法, 即当解的变化较慢时采用较大的步长, 从而使得计算速度很快, 当解的变化较快时步长会自动变小, 从而使得计算精度很高.
七、符号常微分方程求解
在MATLAB中, 用大写字母D表示导数.例如, Dy表示y′, D2y表示y″, Dy (0) =5表示y′ (0) =5.D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y″+y′-x+5=0.符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现, 其调用格式为:
dsolve (e, c, v) .
该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解.参数v描述方程中的自变量, 省略时按缺省原则处理, 若没有给出初值条件c, 则求方程的通解.
dsolve在求常微分方程组时的调用格式为:
dsolve (e1, e2, …, en, c1, …, cn, v1, …, vn) .
该函数求解常微分方程组e1, …, en在初值条件下c1, …, cn下的特解, 若不给出初值条件, 则求方程组的通解, v1, …, cn给出求解变量.
八、积分因子解非线性微分方程的一般应用
积分影子也可以用来解非线性微分方程.例如, 考虑以下的非线性二阶微分方程:
可以看到,
利用复合函数求导法则, 可得
参考文献
[1]刘卫国.MATLAB程序设计教程.北京:中国水利水电出版社.
[2]何汉林, 梅家斌.数值分析.北京:科学出版社.
[3]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松.常微分方程 (第三版) .北京:高等教育出版社.
非线性微分方程求解的探讨 篇7
非线性方程组的求解乃是非线性科学的核心, 很多来自工程、机械、科学研究等的实际问题最终都化为求解一个非线性方程组;而非线性方程组的求解, 是一个至今没有彻底解决的数学问题;特别地, 来自工程、机械等的几何约束问题, 最终都将产生一个非线性方程组, 且该方程组中方程和未知量的个数都非常多, 且往往其中的未知量的次数还非常高.因此, 解决这些几何约束问题极其困难.
2.1微分方程
微分方程指含有一次、二次乃至高次微分未知数的方程.是解决偏微分方程、数理方程的基础.微分方程的表达通式是:
2.2微分方程的线性化
大部分非线性微分方程都不能得出通解.但是, 可以对其在一定范围之内进行线性化求出近似解.
有许多函数都是为了无法得出多项函数或超越函数型式的解析解的微分方程而定义出来.这些特殊函数之所以重要, 是因为它们描述了自然界中的某些现象, 例如, 电子的活动、鼓皮的振动、钟摆的摆动, 等等.
3.1常微分方程初值问题的数值解法
考虑常微分方程的初值问题y′=f (t, y) , y0≤t≤T, y (t0) =y0.
所谓其数值解法就是求它的解y (t) 在节点t0
常微分方程初值问题的数值解法多种多样, 比较常用的有欧拉 (Euler) 法、龙格-库塔 (Runge-Kutta) 法、线性多步法、预报校正法等.
3.2龙格-库塔 (Runge-Kutta) 法
对于一阶常微分方程的初值问题, 在求解未知函数y时, y在t0点的值y (t0) =y0是已知的, 并根据高等数学中的中值定理, 应有
y (t0+h) y1≈y0+hf (t0, y0) , h>0, 称为步长.
一般地, 在任何点ti=t0+ih, 有:
当 (t0, y0) 确定后, 根据上述递推式能计算出未知函数y在点ti=t0+ih, i=0, 1, …, n的一例数值解:yi=y0, y1, y2, …, yn, i=0, 1, …, n.
当然, 递推过程中有一个误差累计的问题.在实际计算过程中, 使用的递推公式一般进行改造, 著名的龙格-库塔公式是:
3.3龙格-库塔法的实现
基于龙格-库塔法, MATLAB提供了求常微分方程值解的函数, 一般调用格式为:
其中fname是定义f (t, y) 的函数文件名, 该函数文件必须返回一个列向量.Tespan形式为[t0, tf], 表示求解区间.y0是初始状态列向量.t和y分别给出时间向量和相应的状态向量.
这两个函数分别采用了二阶、三阶龙格-库塔法和四阶、五阶龙格-库塔法, 并采用自适应变步长的求解方法, 即当解的变化较慢时采用较大的步长, 从而使得计算速度很快, 当解的变化较快时步长会自动变小, 从而使得计算精度很高.
3.4符号常微分方程求解
在MATLAB中, 用大写字母D表示导数.例如, Dy表示y′, D2y表示y″, Dy (0) =5表示y′ (0) =5.D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y″′+y″+y′-x+5=0.符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现, 其调用格式为:
该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解.参数v描述方程中的自变量, 省略时按缺省原则处理, 若没有给出初值条件c, 则求方程的通解.
dsolve在求常微分方程组时的调用格式为:
该函数求解常微分方程组e1, …, en在初值条件下c1, …, cn下的特解, 若不给出初值条件, 则求方程组的通解, v1, …, cn给出求解变量.
参考文献
[1]刘卫国.MATLAB程序设计教程.北京:中国水利水电出版社.
[2]何汉林, 梅家斌.数值分析.北京:科学出版社.
非线性微分代数方程组 篇8
关键词：脉冲,时滞,非线性
一、引言
二、主要结论
引理1假设
其中p, q∈C (R+, R) , dk≥0, dk, bk是实常数, 则下列不等式成立
注:如果不等式 (3) , (4) 中的不等号反向, 则不等式 (5) 中的不等号也反向。
引理2令方程 (1) 的解为x (t) , 假设存在T≥t0, 对于t≥T-τ有x (t) >0, 且满足以下条件: (i) 前言中的假设条件H1, H2, H3成立;
则x′ (tk) ≥0, x′ (t) ≥0, t∈[tk, tk+1], tk≥T.
证明:因为t≥T-τ时x (t) >0, 所以t≥T时有x- (t-τ) >0.首先, 对于tk≥T有x′ (tk) ≥0, 否则存在某个-j, tj≥T有x′ (tj) <0.
有方程 (1) 和假设条件H3, 可得
令x′ (t) j=α, (α>0) , 由假设条件H2知
‘因此, 在区间[tj+i-1, tj+i) 上, (i=1, 2, …) , 函数单调递减, 则
考虑脉冲微分不等式
令, 则上式可以转化为
由引理1可知:
又因为
再次由引理1可得,
由方程 (1) 和前言中的假设条件H1, H2可得,
由引理1知,
当时, 则
当t2-t1>τ时, 可以得到不等式
同理, 由数学归纳法可知
参考文献
[1]杨甲山.具有正负系数的二阶中立型方程的振动性定理[J].华东师范大学学报 (自然科学版) , 2011, (02) .
[2]程祥凤, 孙一冰, 刘雪艳, 等.二阶具混合非线性时滞微分方程的振动性[J].聊城大学学报 (自然科学版) , 2011, (02) .
[3]孙一冰, 韩振来, 李同兴.二阶拟线性中立型动力方程振动准则[J].济南大学学报 (自然科学版) , 2010, (03) .
[4]张全信, 高丽, 俞元洪.偶阶半线性中立型分布时滞微分方程的振动性[J].应用数学学报, 2011, (05) .
非线性微分代数方程组 篇9
在实际问题中, 我们将会看到稍微复杂的物理系统 (例如两个或两个以上回路电流变化规律, 几个互相作用的质点的运动等等) 的数学模型会导出多于一个微分方程的方程组。通过某些简化的假设, 在相当广泛的问题里, 这种方程组可以化为一阶线性微分方程组。本文主要给出了一个一阶齐线性微分方程组解的伏朗斯基行列式的结论。为讨论问题的方便, 引入以下定义。
定义1对于线性微分方程组
其中A (t) 是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵, 它的元素为aij (t) , i, j=1, 2, …, n。f (t) 是区间a≤x≤b上的已知n维连续列向量。如果f (t) ≠0, 则方程组 (1) 称为非齐线性的;如果f (t) =0, 则方程组的形式为
(2) 称为齐线性的。
本文主要讨论齐线性微分方程组 (2) 的问题。
定义2设有n个定义在区间a≤x≤b上的向量函数
由这n个向量函数构成的行列式
称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。
定理1
2一阶齐线性微分方程组 (2) 解的伏朗斯基行列式的结论
定理2考虑一阶齐线性微分方程组 (2) , 其中A (t) 是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵, 它的元素为aij (t) , i, j=1, 2, …, n。
a.如果x1 (t) , x2 (t) , …xn (t) 是方程组 (2) 的任意n个解, 那么他们的伏朗斯基行列式W[x1 (t) , x2 (t) , …xn (t) ]≡W (t) 满足下面的一阶线性微分方程
b.解上面的一阶线性微分方程, 有下式
成立。证明设
证明a.设
因为根据定理1
而由已知x1 (t) , x2 (t) , …xn (t) 是方程组 (2) 的任意n个解, 故
所以 (8) 式等于
根据行列式的性质
即满足 (6) 式。
b.将上面的一阶线性微分方程 (6) 变量分离
积分求解得
结论b.得证
3总结
本文结合微分方程和矩阵代数的有关理论, 给出的一阶齐线性微分方程组 (2) 解的伏朗斯基行列式具有的两个结论, 这在线性方程组的解的结构中占有重要地位。
参考文献
[1]丁同仁, 李承志.常微分方程教程.北京:高等教育出版社, 2005.
[2]彼得罗夫斯基.常微分方程讲义.黄克欧译.北京:高等教育出版社, 1957.
[3]王柔怀, 伍卓群.常微分方程讲义.北京:人民教育出版社, 1963.
非线性测度微分方程的有界变差解 篇10
近几年来, 已有不少文献[1,2,3,4,5,6]对测度微分方程和脉冲微分方程的存在性、唯一性和稳定性进行了研究.因为测度微分方程具有某种不连续性, 和Kurzweil.J于1957年在文献[5]中提出的Kurzweil广义常微分方程具有相似性, 本文能过讨论一类非线性测度微分方程和Kurzweil广义常微方程的关系, 进而得到方程 (1) 有界变差解的存在性.方程 (1) 中的导数都是分布意义下的导数, 如果u是有界变差函数, 则Du是Lebesgue-Stieltjes测度.
2预备知识
定义2.1[5]称函数U:[a, b]×[a, b]→Rn在[a, b]上Kurzweil可积, 如果存在A∈Rn, 使得对任意ε>0, 存在正值函数δ:[a, b]→ (0, +∞) , 使对[a, b]的任何δ (τ) -精细分划有称A为U在[a, b]上的Kurzweil积分, 记作.如果存在, 则定义, 且规定:a=b时
定义2.2[5]设GRn×R为开集, 函数F:G→Rn, 称函数x:[α, β]→Rn为Kurzweil方程在区间 [α, β]上的一个 解:如果对所 有t∈[α, β], (x (t) , t) ∈G, 有) , s1, s2∈[α, β]成立.
给定c>0, 定义, -∞<a<b<+∞.且设.假设h:[a, b]→R是不减左连续函数, 而ω:[0, +∞) →R是单调增加的连续函数, 满足ω (0) =0, ω (r) >0 (r>0) .
定义2.3[5]函数F:G→Rn属于FΦ (G, h, ω) , 如果
1) 对所有 (x, t1) , (x, t2) ∈G, 有
2) 对所有 (x, t1) , (x, t2) , (y, t1) , (y, t2) ∈G, 有
定义2.4[5]称函数f:G→Rn属于CΦ (G, μ, ω) , 如果满足:
1) f (x, ·) 关于测度μ可测, μ是正的正则测度;
2) 对 (x, s) ∈G, 存在一个μ-可测函数m:[a, b]→R, 使得且f (x, ·) ≤m (s) ;
3) 对 (x, s) , (y, s) ∈G, 存在一个μ-可测函数l:[a, b]→R, 使得且f (x, s) -f (y, s) ≤l (s) ω (x-y ) .
2主要结果
定理3.1设f:G→Rn属于C (G, μ, ω) , 则F∈FΦ (G, h, ω) , 其中
定理3.2设f∈C (G, μ, ω) , 称函数x:[α, β]→Rn, [α, β][a, b]是测度微分方程 (1) 在[α, β]上的一个解当且仅当x是广义常微分方程 (2) 在[α, β]上的一个解, 其中t, t0∈[a, b],
证明由定理3.1可得, F∈FΦ (G, h, ω) .由文献 [5]中性质5.12可知, 如果函数x:[α, β]→Rn, [α, β][a, b]是有限阶梯函数列逐点收敛的极限, 则Lebesgue-Stieltjes积分存在, Kurzweil积分存在且
设函数x:[α, β]→Rn, [α, β][a, b]是测度微分方程 (1) 在[α, β]上的一个解, 则对所有的s∈ [α, β], (x (s) , s) ∈G且对每个s1, s2, ∈[α, β]有
显然x是[α, β]上的有界变差函数.则由 (5) 式可得
因此函数x:[α, β]→Rn是广义常微分方程 (2) 在[α, β]上的一个解.
另一方面, 设函数x:[α, β]→Rn是广义常微分方程 (2) 在[α, β]上的一个解.则由定义2.2可知, 对所有的t∈[α, β], (x (t) , t) ) ∈G且对每个s1, s2, ∈[α, β]有
则由 (5) 可得
即设函数x:[α, β]→Rn测度微分方程 (1) 在[α, β]上的一个解, 定理可证.
定理3.3设f∈C (G, μ, ω) , , 则存在d-, d+>0, 使得在区间[t0-d-, t0+d+]上测度微分方程 (1) 存在一个有界变差解, 满足.
证明因为f∈C (G, μ, ω) , 于是令.由定理3.1可得, F∈s1 FΦ (G, h, ω) .由文献[5]定理4.2可知, Kurzweil广义常微方程 (2) 在[t0-d-, t0+d+]上存一个解, 满足.则由定理3.2的证明可得, 测度微分方程 (1) 在[t0-d-, t0+d+]上存在一个有界变差解, 满足
摘要：本文首先讨论一类非线性测度微分方程和Kurzweil广义常微分方程的关系, 进而得到此类测度微分方程有界变差解的存在性.
关键词：测度微分方程,Kurzweil方程,有界变差解
参考文献
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