一阶线性微分方程

2024-10-11

一阶线性微分方程（精选7篇）

一阶线性微分方程篇1

高等数学的教学目的是逐步培养学生分析问题、解决问题的能力, 重点在于对学生思维方法的渗透, 在高职高等数学的教学过程中, 笔者在求解一阶非齐次线性微分方程y' + P ( x) y = Q ( x) 时有一些发现, 可以把常数变易法变得简单易懂, 也可以通过乘积求导公式的逆运用简化计算.

1. 常数变易法的巧说

求解一阶非齐次线性微分方程的常用方法是常数变易法. 为了让学生快速接受常数变易法的思想, 教师在课堂教学的引导过程中, 应注重启发诱导、对比、类比的教学方法.

学生已有的知识是可分离变量的一阶线性微分方程, 发现P ( x) 与y是乘积关系, 若Q ( x) = 0, 则原式可采用分离变量的方法求解, 对比

易知 ( 2) 式解的形式为y = C·f ( x) .

这两个方程的模型 ( 结构) 一模一样, 那我们就可以通过类比的方法推测这两个方程解的模型 ( 结构) 是一样的, 但通过对比, 其模型的内部填充又有所不同.

可以猜想 ( 1) 式解的形式和 ( 2) 式一样, 但注意到: ( 2) 式方程右端是0, 其解的形式是常数C乘以f ( x) , 而 ( 1) 式右端为Q ( x) , 根据对应性, 可假设 ( 1) 式的解为y = C ( x) ·f ( x) ( 其中C ( x) 为x的多项式) , 代入原方程, 算出C' ( x) , 经过积分就可得出C ( x) , 则 ( 1) 式的解即可得出.

同时, 在教学过程中, 这样的启发诱导方法, 不用对抽象的一阶线性非齐次微分方程进行推导, 直接对一个具体例子进行讲解, 既直观又容易理解, 而且避免了中间的理论推导, 学生可以在掌握常数变易法之后, 通过特殊到一般的方法自己推导一阶线性非齐次微分方程的通解公式, 避免了纯粹让学生记忆公式的困难.

例1用常数变易法求解微分方程xy' - y = x3的通解.

解 ( 1) 转化为一阶线性齐次微分方程xy' - y = 0, 分离变量, 求得其解为y = c·x.

( 2) 运用常数变易法

假设原方程的解为y = c ( x) ·x, 代入原方程得:

, 整理变形得:, 故

于是原微分方程的解为

2. 乘积求导公式的逆运用

在一阶线性非齐次微分方程中, 上面所说的常数变易法, 算是针对该类型微分方程相对固定的解法, 求解时按照步骤即可, 如果遇到的题目中函数比较特殊, 我们尽可以突破固有定式, 寻求更为简洁高效的解题思路, 体现数学思维的灵活性. 有一类方程可以不用常数变易法来计算, 而是通过乘积求导公式的逆运用来得到, 下面通过例子来说明.

例2求解微分方程的通解.

解注意到: xy' + y, 变形为', 满足乘积求导法则, 故原方程等价于

以上方程两边同时积分得

因此, 原微分方程的通解为

例4求解微分方程的通解.

解注意到

满足乘积求导法则, 即有

以上方程两边同时积分得

因此, 原微分方程的通解为

以上方法, 读者可以看出来, 这是不套用一阶线性非齐次微分方程求解公式和常数变易法的直接解法, 通过观察, 如果满足乘积求导公式, 便可以简化我们的计算, 但此方法具有一定的局限性, 需要满足乘积求导法则.

同时注意到此方法主要在于把构造成的形式, 通过该方法同样可以得到一阶线性非齐次微分方程的求解公式.

证明: 对方程两端同乘u ( x) ,

变形成

对比乘积求导形式, ( 说明

分离变量得, 两端积分得

即有, 两端积分得

综上可知, 一阶线性非齐次微分方程的通解公式为

总之, 笔者尝试性地把两种分析方法运用于高职高等数学教学中, 主要是对学生进行思维方法的训练, 也只是做了一些粗浅的探索和研究, 收到的效果较好, 因此值得思索与学习.

摘要：借助实例说明在高职院校高等数学教学中求解一阶线性非齐次微分方程的一些方法和技巧.

关键词：一阶线性微分方程,类比思想,乘积求导法则

参考文献

[1]吴琳聪, 刘桂梅, 莫国良.函数积求导法则的逆用技巧[J].高等数学研究, 2013, 16 (1) :53-54.

[2]徐新荣.关于常微分方程的常数变易法[J].高等数学研究, 2013, 16 (3) :27-29.

一阶线性微分方程篇2

在实际问题中, 我们将会看到稍微复杂的物理系统 (例如两个或两个以上回路电流变化规律, 几个互相作用的质点的运动等等) 的数学模型会导出多于一个微分方程的方程组。通过某些简化的假设, 在相当广泛的问题里, 这种方程组可以化为一阶线性微分方程组。本文主要给出了一个一阶齐线性微分方程组解的伏朗斯基行列式的结论。为讨论问题的方便, 引入以下定义。

定义1对于线性微分方程组

其中A (t) 是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵, 它的元素为aij (t) , i, j=1, 2, …, n。f (t) 是区间a≤x≤b上的已知n维连续列向量。如果f (t) ≠0, 则方程组 (1) 称为非齐线性的;如果f (t) =0, 则方程组的形式为

(2) 称为齐线性的。

本文主要讨论齐线性微分方程组 (2) 的问题。

定义2设有n个定义在区间a≤x≤b上的向量函数

由这n个向量函数构成的行列式

称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。

定理1

2一阶齐线性微分方程组 (2) 解的伏朗斯基行列式的结论

定理2考虑一阶齐线性微分方程组 (2) , 其中A (t) 是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵, 它的元素为aij (t) , i, j=1, 2, …, n。

a.如果x1 (t) , x2 (t) , …xn (t) 是方程组 (2) 的任意n个解, 那么他们的伏朗斯基行列式W[x1 (t) , x2 (t) , …xn (t) ]≡W (t) 满足下面的一阶线性微分方程

b.解上面的一阶线性微分方程, 有下式

成立。证明设

证明a.设

因为根据定理1

而由已知x1 (t) , x2 (t) , …xn (t) 是方程组 (2) 的任意n个解, 故

所以 (8) 式等于

根据行列式的性质

即满足 (6) 式。

b.将上面的一阶线性微分方程 (6) 变量分离

积分求解得

结论b.得证

3总结

本文结合微分方程和矩阵代数的有关理论, 给出的一阶齐线性微分方程组 (2) 解的伏朗斯基行列式具有的两个结论, 这在线性方程组的解的结构中占有重要地位。

参考文献

[1]丁同仁, 李承志.常微分方程教程.北京:高等教育出版社, 2005.

[2]彼得罗夫斯基.常微分方程讲义.黄克欧译.北京:高等教育出版社, 1957.

[3]王柔怀, 伍卓群.常微分方程讲义.北京:人民教育出版社, 1963.

一阶线性微分方程篇3

关键词：微分方程,电路,暂态过程,应用

一、一阶线性微分方程及其通解

含有未知函数导数 (或微分) 的方程叫做微分方程, 未知函数是一元的微分方程叫常微分方程, 微分方程中未知函数的导数的最高阶数为一阶的微分方程叫一阶微分方程。本文所提到的微分方程均指一阶常微分方程。一阶微分方程的一般形式

通解为 (C为常数)

特殊地, 当Q (x) ≡0时, 方程变为y'+P (x) y=0称为一阶齐次线性微分方程, 通解为 (C为常数) 。当Q (x) ≡B (常数) 时, 方程变为y'+P (x) y=B, 通解为 (C为常数) 。在直流电源激励下一阶线性电路的暂态过程分析中, 主要就是用这两个方程的通解得到电路的响应公式。

二、一阶线性电路的暂态过程

只含有一个储能元件 (电容器或者电感线圈) 或可等效为为一个储能元件的线性电路, 不论是简单的还是复杂的, 它的都是一阶常系数微分方程, 这种电路叫做一阶线性微分电路。含有电容器和线圈的线性电路中, 由于储能元件电容器和电感线圈的能量的变化是连续的, 因此, 在接通或断开线性电路时, 电容器的端电压和电感中的电流均不能跃变, 而是随时间变化的, 这一变化时间是暂短的, 我们把这个暂短的变化过程, 也就是过渡过程, 叫做暂态过程。

如图 (1) 所示, 如果将两只同样的白炽灯泡EL1、EL2分别与电容器C、电感线圈L串联, 然后一起并联在电路中。开关S原来处于断开状态, 当开关S合上时, 就会看到在外加直流电源的作用下, 白炽灯EL1在开关S闭合瞬间突然闪亮了一下, 随着时间的延迟逐渐暗下去, 直到完全熄灭;白炽灯EL2由暗逐渐变亮, 最后稳定发光。

为什么两只相同的白炽灯泡在开关闭合时出现了两种不同的发光现象呢?其实在图 (1) 中两只灯泡分别与电容器和电感线圈串联, 分别构成了RC串联电路和RL串联电路。上述现象反映了在开关闭合 (换路) 时, RC电路、RL电路不同的响应。这是因为开关S原来是断开的, 电路中电容的端电压和通过电感的电流均为零, 两个灯泡都不亮, 电路处于一种稳定状态。合上开关S以后, 电路经历了一个短暂的过程, 电容支路电流变为零, 电感支路中的电流达到一个恒定值, 电路处于另一种稳定状态。

那么电路从原来的稳定状态到另一种稳定状态的变化过程中, 电容器的端电压和电感中的电流的时间函数关系如何?决定暂态过程快慢的因素又是什么?下面分别以RC线性电路和RL线性电路在直流电源激励下的暂态过程进行定量分析。

线性电路分析的基本思路:首先, 由于电路的暂态过程是一个短暂的变化过程, 变化前电路处于稳定状态, 变化后电路处于另一个稳定状态。为了论述的方便, 我们把变化前电路的稳定状态叫做原稳态, 用t=0-表示。把变化后的电路的稳定状态叫做新稳态, 用t=∞表示。用t=0+表示暂态过程的起始时刻。其次, 我们以相关电学知识为基础, 以基尔霍夫回路电压定律为依据, 列回路的电压方程, 建立电路的微分方程。最后, 通过求解电路的微分方程, 得出回路电流或电压的时间函数关系。

三、线性电路暂态过程的分析

(一) RC电路暂态过程

1.微分方程的建立。如图 (2) 所示, 电路中的直流电源电压为U, 电阻为R, 电容为C。接通开关到1位置, 分析电路中电容端电压随时间的变化规律。

以换路瞬间作为计时起点, 令此时t=0。

设当t≥0时, 电路中的电流为i, 电容端电压为uC, 电阻的端电压为uR。根据基尔霍夫回路电压定律, 可以知道uC+uR=U, 而。因此uC满足微分方程

2.电路中的电源为直流电源, 电源的电压U一定, 此方程的通解为, A为常数。

式中RC为电路的时间常数, 用τ表示。这样, 方程的通解可以表示为

3.RC串联电路的三种暂态过程讨论。

(1) RC串联电路的零状态响应。将图 (2) 中的开关

S合到1位置。直流电源开始给电容器充电, 电源电压U=恒量, 充电前电容端电压为零。根据换路定律, 可知t=0时, uC=0。将初始条件, 得A=U。于是有

这就是RC电路的零状态响应公式。

(2) RC串联电路的零输入响应。图 (2) 中的开关S在1位置且电路稳定后, 将开关S从1位置合到2位置, 电容器开始放电。这时, 电路与电源断开, 可以认为RC回路的电源电压为零, 电容开始放电。电容放电前两端电压为U0。根据换路定律, 可知t=0时, uC=U0。将初始条件, 得A=U0。

于是。这就是RC电路的零输入响应公式。

(3) RC串联电路的全响应。如图 (3) , 开关S在1位置且电路稳定后, 将开关S从1位置合到2位置。这时, 电容的端电压初始值和闭合回路中的电源电压均不为零。换路后RC回路电源电压为U, 电容两端的电压的初始值为U0。即t=0时, uC=U0。将uC|t=0=U0代入得这就是RC电路暂态过程的全响应公式。

4.RC电路对矩形输入脉冲电压波形的改变。输入微分电路和积分电路暂态

(二) RL电路的暂态过程

1.RL电路微分方程的建立。如图 (4) 所示, 电路中的直流电源电压为U, 电阻为R, 电感为L。仍然以换路瞬间作为计时起点, 令此时t=0。当t≥0时, 根据闭合回路电压定律, 可以知道uL+iLR=U。

2.RC电路微分方程的通解。式中的叫做RL电路的时间常数, 用τ表示。

3.RL串联电路的三种暂态过程的讨论。

这就是该RL串联电路全响应公式。

(三) 一阶线性电路暂态分析的一般公式

一阶微分方程的积分篇4

关键词：积分因子,恰当方程,求解法

一、引言

本研究的目的就是针对现行教材在这方面的不足, 来给出较一般的非恰当方程M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0 的积分因子 μ = μ ( x, y) 的求解理论和公式, 从而扩大求解一阶微分方程的范围, 并简化其求解方法.

二、积分因子的求法

1.观察法

对于某些简单的微分方程, 可以通过“凑微分”的办法来寻找积分因子.为此, 必须熟悉和掌握一些基本的二元函数的全微分.例如

( 1) ydx - xdy = 0 有五种不同形式的积分因子:

作用到方程后, 得到的全微分方程分别是:

(2) ydx+xdy=0的积分因子是:1/ (xy) n, 作用到方程后, 得到的全微分方程是:

ydy+xdx=0的积分因子是1/ (x2+y2) n, 作用到方程后, 得到的全微分方程是:

2. 公式法

定理1方程 ( 1) 具有形如 μ = μ[φ ( x, y) ]的积分因子的充要条件为

根据定理, 文献中对恰当方程 ( 1) 给出的仅有关于x和y的积分因子的充要条件, 就变成了定理2. 1. 1 的特殊情形.而且可得到如下结论:

推论1方程 ( 1) 具有积分因子 μ = μ ( x ± y) 的充要条件为

积分因子为

推论2方程 (1) 具有积分因子μ=μ (x2±y2) 的充要条件为积分因子为

推论3方程 ( 1) 具有积分因子 μ = μ ( xy) 的充要条件为积分因子为

推论4方程 (1) 具有积分因子的充要条件为积分因子为

定理2假设 (1) 中M (x, y) 和N (x, y) 存在以下关系:其中f (x) , g (y) 分别为x, y的连续函数, 则其有积分因子

定理3方程 ( 1) 中M ( x, y) , N ( x, y) 满足条件

则方程 (1) 有形如的积分因子.

定理4在方程 ( 1) 中, 若M ( x, y) = yφ ( u) , N ( x, y) =xψ (u) , 其中u=xy, 则方程 (1) 有形如的积分因子 (其中x M-y N≠0) .

三、结束语

浅析一阶常微分方程的解法问题篇5

常微分方程理论包括求解理论、定性分析、稳定性分析、分支理论和混沌等，其中求解理论是大学常微分方程课程学习的一个重点内容，包括了一阶常微分方程、高阶线性常微分方程和一阶线性微分方程组的解法.特别地，一阶常微分方程的解法又是多种多样的，包含变量分离方法、变量变换法、线性微分方程的通解公式法、分项组合法和积分因子法等.本文就通过下面几个具体例子的分析求解，说明一阶常微分方程解法的多样性.

分析：此例子既可以通过变量变换法，又可以通过公式法.

解法一：做变量变换，x+3y=u,

解法二：原方程看成是未知函数y的线性微分方程，代入公式，

其中P (x)=3, Q (x)=x-2,

其中c为任意常数.

分析：观察方程，将微分项3y2dx和2xydy组合在一起，容易看出其有积分因子x2，未耦合的微分项x2exdx可以化成与ex有关的函数的微分.

解：将方程重新分组成exdx+(3y2dx+2xydy)=0,

两边乘以积分因子x2，得到

注意到括号里两项可以写成dx3y2,

得到de x (x2-2x+2) +d (x3y2) =0,

所以原方程通解为e x (x2-2x+2) +x3y2=c, 为任意常数.

小结：计算过程中用到了下面两个微分公式：

此外还有d (x3ex) =e x (x3+3x2) dx, 等等, 涉及微分项Pm (x) e xdx时就可以想到利用上面有关公式.

解：令M (x, y)=ycosx-xisnx, N (x, y)=ysinx+xcosx, 坠M坠N

因此存在积分因子ey，方程两边乘以积分因子ey并重新组合，得到

所以原方程的通解为e y (y-1) sinx+e y xcosx=c, c为任意常数.

一阶常微分方程的解法是多种多样的，我们在具体问题的求解时要将所求方程与相应的方法对应起来，正确地解决问题.具体地说，在方程未知函数的导数已解出的情形下，常常是根据所给方程的特点，设法做适当变换，将其化为可分离变量的方程或其他易于求解的类型;在解以微分形式出现的一阶常微分方程时，应考虑用分项组合法和积分因子法求解此外，对于同一个方程，可能有不同的解法，我们要注意比较哪种解法更简单，而这都需要仔细的观察及大量的练习，这对于学好常微分方程这门课程非常重要.

摘要：一阶常微分方程的解法多种多样, 本文通过三个例子说明这些解法在具体方程求解中的运用.

关键词：一阶常微分方程,线性微分方程,分项组合法,积分因子

参考文献

[1]王高雄, 周之铭, 朱思铭等.常微分方程 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

[2]丁同仁, 李承治.常微分方程教程 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

一阶迭代泛函微分方程的解析解篇6

关键词：迭代泛函微分方程,解析解,复数域

$x^{'} (z) = \frac{1}{f (x (p (z) + b x (z)))}, z \in C$ (1)

文献[1]研究了迭代微分方程的解析解的存在性。文献[2]研究了迭代微分方程在a≠0,b≠0且b≥1下的解析解的存在性。本文将在复数域上讨论更一般的迭代泛函微分方程

的解析解的存在性,(1)式中x(z) 表示未知复函数, f (z) , p(z) 是已知的含复变量的复函数,且假设b≥1。

为进一步找到方程(1)的解析解,先讨论它的辅助方程

$\begin{array}{l} [β y^{'} (β z) - p^{'} (y (z)) y^{'} (z)] \times \\ f (\frac{1}{b} (y (β^{2} z) - p (y (β z)))) = b y^{'} (z) (2) \end{array}$

的解析解y(z) ,这里f(z) , p(z) ,β满足下列条件

(H1) f(z),p(z)在原点的某邻域内是解析的,且 $p (0) = 0, p^{'} (0) = α, f (0) = \frac{b}{β - α}$ ,这里α,β为复数

(H2) 0<|β|<1;

(H3) |β|=1,但β不是单位根,且存在某正常数k ,使得ln|βn-1|-1≤klnn,n=2,3….最终将证明方程(1)在原点的邻域内有形如

$x (z) = \frac{1}{b} [y (β y^{- 1} (z)) - p (z)]$ (3)

的解析解。

1 辅助方程(2)的解析解

引理1[3] 若条件(H3) 满足,则存在δ> 0 ,使|βn-1|-1< (2n)δ (n=1, 2 ,…) ,且对序列d1 =1 和 $d_{n} = | β^{n - 1} - 1 |^{- 1} \max_{\begin{array}{l} k_{1} + \dots + k_{m} = n \\ 0 \leq k_{1} \leq \dots \leq k_{m}, m \geq 2 \end{array}} {d_{k_{1}} \dots d_{k_{m}}} (n = 2, 3 \dots)$ 成立

dn≤Nn-1n-2δ,n=1,2…。

其中N=25δ +1。

定理1 假设条件(H1)和(H2) 成立,则对任意非平凡复数η,方程(2)在原点的某邻域内存在解析解y(z) ,使y (0)=0,y′(0) =η。

证明因为f(z),p(z)满足(H1),于是设

$f (z) = \underset{n = 1}{\sum^{\infty}} f_{n} z^{n}, f (0) = \frac{b}{β - α}$ (4)

$p (z) = \underset{n = 1}{\sum^{\infty}} p_{n} z^{n}, p_{1} = α$ (5)

则必存在ρ>0[4] ,使 $| f_{n} | \leq ρ^{n - 1}, | p_{n} | \leq ρ^{n - 1}$ ,不失一般性,我们假设

$| f_{n} | \leq 1, n = 1, 2, \dots, | p_{n} | \leq 1, n = 2, 3, \dots$ . (6)

下设方程(2)有一个形式幂级数解

$y (z) = \underset{n = 1}{\sum^{\infty}} c_{n} z^{n}$ (7)

将(4)式,(5)式和(7)式代入(2)式,并比较两边的系数得

(f0(β-p1)-b)c1=0 (8)

$2 (b - f_{0} β^{2} + f_{0} p_{1}) c_{2} = \frac{β f_{1}}{b} (β - p_{1})^{2} c_{1}^{2} - 2 f_{0} p_{2} c_{1}^{2}$ (9)

$\begin{array}{l} (n + 1) (b - f_{0} (β^{n + 1} - p_{1})) c_{n + 1} = \\ \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} (k + 1) c_{k + 1} (β^{k + 1} - p_{1}) \times \\ \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} \frac{f_{m}}{b^{m}} \underset{i = 1}{\prod^{m}} (c_{1} β^{2 l_{i}} - β^{l_{i}} \sum_{\begin{array}{l} r_{1} + \dots + r_{j} = l_{i} \\ j = 1, 2 \dots, l_{i} \end{array}} p_{j} c_{r_{i}} \dots c_{r_{j}}) - \\ f_{0} \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} (k + 1) c_{k + 1} \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} (m + 1) p_{m + 1} c_{l_{1}} \dots c_{l_{m}} - \\ \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} (\underset{l = 0}{\sum^{k - 1}} (l + 1) c_{l + 1} \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = k - 1 \\ m = l, 2 \dots, k - l \end{array}} (m + 1) p_{m + 1} c_{l_{i}} \dots c_{l_{m}}) \times \\ (\sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} \frac{f_{m}}{b_{m}} \underset{i = 1}{\prod^{m}} (c_{l_{i}} β^{2 l_{i}} - β^{l_{i}} \sum_{\begin{array}{l} r_{1} + \dots + r_{j} = l_{i} \\ j = 1, 2 \dots, l_{i} \end{array}} p_{j} c_{r_{i}} \dots c_{r_{j}}); \end{array}$

n=2,3,…. (10)

由条件(H1)知, $f_{0} (β - p_{1}) - b = \frac{b}{β - α} (β - α) - b = 0$ 。因此,对任意一个复数c1=η≠0都是适合的。再从(9)式和(10)式可递推得到cn (n= 2,3,…) ,从而得到方程(2)的形式幂级数解(7)式.现在只需证明幂级数(7)式有正的收敛半径即可。

首先,当(H1), (H2) 满足时,总存在极限

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b - f_{0} (β^{n + 1} - p_{1})} = \lim_{n \to \infty} \frac{β - α}{b (β - β^{n + 1})} = \frac{β - α}{b β}, 0 ＜ | β | ＜ 1$ ,因而总存在M>0,使 $| \frac{1}{b - f_{0} (β^{n + 1} - p_{1})} | = | \frac{β - α}{b (β - β^{n + 1})} | \leq Μ, n \geq 2$ 。因此,由(6)式、(10)式,及|b|≥1可推出

$\begin{array}{l} | c_{n + 1} | \leq Μ [(1 + | α |) \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} | c_{k + 1} | \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} | c_{l_{1}} | | c_{l_{2}} | \dots \\ | c_{l_{m}} | + | f_{0} | \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} | c_{k + 1} | \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} (n + 1) | c_{l_{1}} | | c_{l_{2}} | \dots \\ | c_{l_{m}} | + \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} (\underset{i = 0}{\sum^{k - 1}} | c_{l + 1} | \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = k - l \\ m = 1, 2 \dots, k - l \end{array}} (n + 1) | c_{l_{1}} | \dots | c_{l_{m}} |) \times \\ (\sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} | c_{l_{1}} | \dots | c_{l_{m}} |)], n = 2, 3, \dots 。 \end{array}$

定义正项序列 ${v_{n}}_{n = 1}^{\infty} ∶ v_{1} = | η |, v_{2} = λ = \frac{(| f_{1} | | β - α |^{3} + 2 b^{2} | p_{2} |) | η |^{2}}{2 b^{2} | β - β^{2} |}$ ,且

$\begin{array}{l} v_{n + 1} = Μ (1 + | α |) \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} v_{k + 1} \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} v_{l_{1}} v_{l_{2}} \dots v_{l_{m}} + \\ | f_{0} | \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} v_{k + 1} \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} (n + 1) v_{l_{1}} v_{l_{2}} \dots v_{l_{m}} + \\ \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} (\underset{l = 0}{\sum^{k - 1}} v_{l + 1} \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} (n + 1) v_{l_{1}} v_{l_{2}} \dots v_{l_{m}}) \times \\ (\sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} v_{l_{1}} \dots v_{l_{m}})], n = 2, 3 ‚ \dots 。 \end{array}$

用数学归纳法易证: $| c_{n + 1} | \leq v_{n + 1}, n = 0, 1, \dots$ .这表明级数 $\underset{n = 1}{\sum^{\infty}}$ vnzn是级数 $\underset{n = 1}{\sum^{\infty}}$ cnzn的优级数。现在只需说明幂级数 $\underset{n = 1}{\sum^{\infty}}$ vnzn有正的收敛半径即可。因为

$\begin{array}{l} v (z) = \underset{n = 1}{\sum^{\infty}} v_{n} z^{n} = \underset{n = 0}{\sum^{\infty}} v_{n + 1} z^{n + 1} = | η | z + λ z^{2} + \\ \underset{n = 2}{\sum^{\infty}} v_{n + 1} z^{n + 1} = | η | z + λ z^{2} + Μ [(1 + | α |) \times \\ \frac{V^{2} (z)}{1 - V (z)} - (1 + | α |) | η |^{2} z^{2} + | f_{0} | \frac{2 V^{2} (z) - V^{3} (z)}{(1 - V (z))^{2}} - \end{array}$

$2 | f_{0} | | η |^{2} z^{2} + \frac{2 V^{3} (z) - V^{4} (z)}{(1 - V (z))^{3}}]$ 。

因此函数V = V(z) 是由隐函数方程

$\begin{array}{l} F (z, V) = V - | η | z - λ z^{2} + Μ (1 + | α | + 2 | f_{0} |) | η |^{2} \times \\ z^{2} - Μ [\frac{(1 + | α |) V^{2}}{1 - V} + \frac{| f_{0} | (2 V^{2} - V^{3})}{(1 - V)^{2}} + \frac{2 V^{3} - V^{4})}{(1 - V)^{3}}] = 0 ‚ \end{array}$

所确定的函数。考虑到函数 F(z,V) 在原点的邻域内是连续的,且F (0,0) = 0,F′V(0,0)=1≠0。根据隐函数定理,必存在 δ>0 ,使对|z|<δ ,幂级数V=V(z) 收敛。由此可见,由式(8)、式(9)、式(10)所确定系数的幂级数(7)式就是方程(2)在原点的邻域内的解析解。证毕。

定理2 假设条件(H1) 和(H3) 成立,则对任意非平凡复数η,方程(2)在原点邻域内存在解析解y(z),使y(0)=0,y′(0)=η。

证明如同定理1的证明,由(8)式可取c1=η≠0,而 cn(n=2,3,… )可由递推公式(9)和式(10)所确定,因此可得方程(2)的形如(7)式的形式幂级数解。现在只需证明(7)式有正的收敛半径即可。

由条件(H3),(9)式和 $| b | \geq 1$ 知, $| c_{2} | \leq (1 + | α |) | β - 1 |^{- 1} μ$ ,这里 $μ = \frac{| η |^{2}}{2} (| f_{1} | | β - α |^{3} + 2 b^{2} | p_{2} |)$ ,由条件(H3),(10)式和|b|≥1知

$\begin{array}{l} | c_{n + 1} | \leq (1 + | α |) | β^{n} - 1 |^{- 1} [(1 + | α | \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} | c_{k + 1} | \times \\ \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} | c_{l_{1}} | | c_{l_{2}} | \dots | c_{l_{m}} | + | f_{0} | \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} | c_{k + 1} | \times \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} (n + 1) | c_{l_{1}} | | c_{l_{2}} | \dots | c_{l_{m}} | + \underset{k = 1}{\sum^{n - 1}} (\underset{l = 0}{\sum^{k - 1}} | c_{l + 1} | \times \\ \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} (n + 1) | c_{l_{1}} | \dots | c_{l_{m}} |) (\sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = k - l \\ m = 1, 2 \dots, k - l \end{array}} | c_{l_{1}} | \dots | c_{l_{m}} |)] ‚ \end{array}$

n=2,3…。 (11)

现在来构造(7)式的优级数。定义序列{un }∞n=1,其中 $u_{1} = | η |, u_{2} = (1 + | α |) | β - 1 |^{- 1} μ$ ,且

$\begin{array}{l} u_{n + 1} = (1 + | α |) | β^{n} - 1 |^{- 1} [(1 + | α |) \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} u_{k + 1} \times \\ \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} u_{l_{1}} u_{l_{2}} \dots u_{l_{m}} + | f_{0} | \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} u_{k + 1} \times \\ \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} (n + 1) u_{l_{1}} u_{l_{2}} \dots u_{l_{m}} + \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} (\underset{l = 0}{\sum^{k - 1}} u_{l + 1} \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = k - l \\ m = 1, 2 \dots, k - l \end{array}} (n + 1) \times \\ u_{l_{1}} u_{l_{2}} \dots u_{l_{m}}) (\sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} u_{l_{1}} u_{l_{2}} \dots u_{l_{m}})], n = 2, 3 \dots 。 \end{array}$

应用数学归纳法不难证明

$| c_{n + 1} | \leq u_{n + 1}, n = 0, 1, 2 \dots$ 。

这说明级数 $\underset{n = 1}{\sum^{\infty}} u_{n} z^{n}$ 是级数 $\underset{n = 1}{\sum^{\infty}} c_{n} z^{n}$ 的优级数。现在只需证明幂级数 $\underset{n = 1}{\sum^{\infty}} u_{n} z^{n}$ 有正的收敛半径即可。为此,再作递推的正项序列 ${q_{n}}_{n = 1}^{\infty} ∶ q_{1} = | η |, q_{2} = (1 + | α |) μ$ ,且

$\begin{array}{l} q_{n + 1} = (1 + | α |) [(1 + | α |) \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} q_{k + 1} \times \\ \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} q_{l_{1}} q_{l_{2}} \dots q_{l_{m}} + | f_{0} | \underset{k = 0}{\sum^{n - 1}} q_{k + 1} \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} (n + 1) q_{l_{1}} q_{l_{2}} \dots \\ q_{l_{m}} + \underset{k = 1}{\sum^{n - 1}} \underset{l = 0}{\sum^{k - 1}} q_{l + 1} \sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = k - l \\ m = 1, 2 \dots, k - l \end{array}} (n + 1) q_{l_{1}} q_{l_{2}} \dots q_{l_{m}}) (\sum_{\begin{array}{l} l_{1} + \dots + l_{m} = n - k \\ m = 1, 2 \dots, n - k \end{array}} q_{l_{1}} \times \\ q_{l_{2}} \dots q_{l_{m}})], n = 2, 3 \dots 。 \end{array}$

利用数学归纳法,根据引理1很容易的证明

un+1≤qn+1dn+1, n=0,1… (12)

其中序列{dn}∞n=1如引理1所定义。

类似于定理1的证明,易得 $Q = Q (z) = \underset{n = 1}{\sum^{\infty}} q_{n} z^{n}$ 由以下隐函数方程

$\begin{array}{l} Η (z, Q) = Q - | η | z - (1 + | α |) μ z^{2} + (1 + | α |) (1 + \\ | α | + 2 | f_{0} |) | η |^{2} z^{2} - (1 + | α |) [\frac{(1 + | α |) Q^{2}}{1 - Q} + \\ \frac{| f_{0} | (2 Q^{2} - Q^{3})}{(1 - Q)^{2}} + \frac{2 Q^{3} - Q^{4}}{(1 - Q)^{3}}] = 0 ‚ \end{array}$

所确定考虑到函数H(z,Q ) 在原点邻域内连续,且H(0,0)=0,H′Q(0,0)=1≠0。根据隐函数定理,必存在δ>0 ,使对|z|<δ,幂级数 $Q (z) = \underset{n = 1}{\sum^{\infty}} q_{n} z^{n}$ 收敛,故存在正常数T ,使qn≤Tn,n=1,2,…。根据引理1,可得un≤TnNn-1n-2δ,n=1,2…,这意味着 $\underset{n = 1}{\sum^{\infty}} u_{n} z^{n}$ 至少在|z|<(TN)-1上收敛。证毕。

2 主要结果

定理3 如果定理1的条件成立,则方程(1) 在原点的邻域内存在解析解 $x (z) = \frac{1}{b} [y \times (β y^{- 1} (z)) - p (z)]$ 。其中y(z) 是定理1 给出的方程(2)的形如(7)式的解析解。

证明由定理1能求出形如(7)式在原点邻域内的解析解y(z) ,其中系数cn(n=1,2,3,…)由(8)式,(9)式和(10)式所确定。因为y′(0)=η≠0,所以y-1 (z) 在y(0) =0的邻域内为解析的。因此有

$\begin{array}{l} x^{'} (z) = \frac{1}{b} (\frac{β y^{'} (β y^{- 1} (z))}{y^{'} (y^{- 1} (z))} - p^{'} (z)) = \frac{1}{b} \times \\ (\frac{β y^{'} (β y^{- 1} (z)) - p^{'} (y (y^{- 1} (z))) y^{'} (y^{- 1} (z))}{y^{'} (y^{- 1} (z))}) = \\ \frac{1}{f (\frac{1}{b} (y (β^{2} y^{- 1} (z)) - p (y (β y^{- 1} (z))))}, \end{array}$

而

$\frac{1}{f (x (p (z) + b x (z)))} = \frac{1}{f (x (y (β y^{- 1}) (z))))} =$

$\frac{1}{f (\frac{1}{b} (y (β^{2} y^{- 1} (z)) - p (y (β y^{- 1} (z))))}$ 。

所以 $x^{'} (z) = \frac{1}{f (x (p (z) + b x (z)))}$ ,这便证明了(3)式是方程(1)在原点邻域内的解析解。证毕。

定理4 设定理2的条件成立 , 则方程 (1) 在原点的邻域内也存在解析解 $x (z) = \frac{1}{b} [y (β y^{- 1} (z)) - p (z)]$ ,其中y(z)是定理2给出的方程(2)的形如(7)式的解析解。

证明类似于定理3的证明。

注1 现在由(3)式来构造方程(1)的解析解。由于

$x (z) = \frac{1}{b} (y (β y^{- 1} (z)) - p^{'} (z)), x (0) = 0,$

且 $x^{'} (0) = \frac{1}{f (x (p (0) + b x (0)))} = \frac{1}{f (0)} = \frac{β - α}{b},$

通过对方程(1)两边继续求导,可得到

$\begin{array}{l} x^{″} (0) = \frac{f_{1} β (β - α)^{3}}{b^{3}}, \\ x^{‴} (0) = \\ \frac{f_{1}^{2} β (β - α)^{5} (β^{2} + 3 β - α) - f_{2} b β^{2} (β - α)^{4} - f_{1} p_{2} b^{2} (β - α)^{3}}{b^{5}}, \end{array}$

…,

因此对于高阶导数x(m)(z)在z=ξ = 0 的值能通过求导逐一求出,可设x(m) (ξ)=λm,于是

$\begin{array}{l} x (z) = \frac{β - α}{b} z - \frac{f^{1} β (β - α)^{3}}{2! b^{3}} z^{2} + \\ [f_{1}^{2} β (β - α)^{5} (β^{2} + 3 β - α) - f_{2} b β^{2} (β - α)^{4} - f_{1} p_{2} b^{2} (β - α)^{3}] z^{3} (3! b^{5})^{- 1} + \underset{n = 4}{\sum^{\infty}} \frac{λ_{m}}{m!} z^{m} 。 \end{array}$

参考文献

[1]Mchiernan M A.The functional differential equationDf=1ff.Proc Amer Math Soc,1957;8:230—233

[2]李同荣,张吉庆,邱芳.一阶迭代泛函微分方程的解析解.数学的实践与认识,2007;37:208—212

[3]Siegel C L.Iterative of analytic function.Ann of Math,1942;43(4):607—612

一阶线性微分方程篇7

1 一阶微分形式不变性

一阶全微分形式不变性是指[1]:无论u, v是自变量还是中间变量, 函数zz ff ( (uu, , vv) 的全微分形式是一样的。此性质的好处:一方面可以直接不用区分变量直接利用一元函数的微分性质计算;另一方面不用区分变量是自变量、因变量还是中间变量, 以及它们的结构问题就可以直接利用微分性质直接计算。

2 一阶全微分形式不变性在求偏导数中的应用

对于多元函数求偏导数, 实际就是利用一元函数的求导公式, 但是不同的是对其中一个变量求偏导时, 要将其它变量都看成常量。但这一点学生往往容易出错, 而一阶微分形式不变性可以解决这一问题, 同时对于变量更多时可以一次求出所有偏导数。

解:

从而对应变量微分的系数就是此变量的偏导数, 即

3 一阶全微分形式不变性在求多元复合函数求导中的应用

多元复合函数求导是多元函数微分法这一章的重点, 同时也是一个难点。第一, 学生对变量之间的结构分析不清楚, 尤其三层或更多层复合情形时, 导致用树形图画不出来, 就很难用链式法则求解;第二, 对有些变量既是中间变量又是最终自变量这一情形很容易出错;第三, 对外层是抽象函数, 学生一方面不会设中间变量, 另一个方面学生对抽象问题很害怕, 无从下手。但是用一阶全微分形式不变性就可以轻松解决这些问题。

从而得:

4 一阶全微分形式不变性在求隐函数求导中的应用

隐函数求导最容易出错的就是学生忘记因变量是自变量的复合函数, 必须按复合函数求导法则计算。但是利用一阶全微分形式不变性就可以避免出现这样的错误。且微分时根本不需要管谁是自变量, 谁是因变量, 只需在最后求出因变量的微分即可。

解:两边微分得:

一次求出四个偏导数, 且不需考虑隐函数的复合形式。

结束语

从上例的计算过程可以发现, 求偏导数、复合函数求导以及隐函数求导这些不同问题都可以用统一方法———全微分形式不变性来解决;且所有解决过程不需要考虑变量的结构或是自变量、中间变量、因变量, 一律用微分的性质或定义可以直接计算。同时关于这一章后面几节--多元函数微分法的几何应用、方向导数和梯度、多元函数的极值及其求法, 其实还是求偏导问题, 都可以用上面所用的一阶全微分形式不变性解决。因此, 这一章用一种方法就可以将其统一, 便于学生掌握, 同时简化计算的复杂性, 使学生可以用上学期学过的微分的性质加这学期的全微分定义就可以轻松解决这些复杂问题。

摘要：多元函数微分法这一章对学生来说有一定的难度, 且每节内容的解决方法都不同, 这就导致学生难以掌握。而一阶全微分形式不变性可以将这些内容的解决方法统一起来, 使学生轻松解题。

关键词：多元函数,全微分,偏导数,隐函数,微分形式不变性

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (下) [M].高等教育出版社, 2007;63-89.

【一阶线性微分方程】推荐阅读：

线性微分方程06-30

线性微分系统07-24