n元线性方程组

n元线性方程组（精选4篇）

n元线性方程组 篇1

高等数学中的n元线性方程组求解的问题是学生难以解决的问题, 甚至无法解决的问题, 为了更好地帮助学生学习, 根据笔者多年的教学经验, 对n元线性方程组的解法进行探讨。

一、n元线性方程组相关定义

这里的m, n可以相等也可以不等, b1, b2, …, bm不全为零。

二、n元线性方程组解的判定

(一) 齐次线性方程组解的判定

1. 判定1 (系数行列式) ———克莱姆法则求解

当方程的个数与未知数个数相等时, 如果系数行列式D≠0, 则有零解 (如果系数行列式D=0, 则有非零解) 。

2. 解的判定2 (矩阵的秩) ——高斯消元法求解

注:齐次线性方程组一定有解

(二) 非齐次线性方程组解的判定

1. 解的判定1 (系数行列式) ———克莱姆法则求解

当方程的个数与未知数个数相等时, 如果系数行列式D≠0, 则方程有唯一解 (如果系数行列式D=0, 则方程组无解或无穷解) 。

2. 解的判定2 (矩阵的秩) ———高斯消元法求解

三、n元线性方程组的解法 (高斯消元法)

(一) 齐次线性方程组

步骤:1.判解2.求解1) 唯一解直接写出零解;2) 无穷解将阶梯形矩阵化为简化梯形阵--写出同解方程组———取自由变量———写通解

解1) 判解

所以R (A) =r=n=4

故方程组有唯一零解

2) 求解方程组有零解为x=y=z=w=0

解1) 判解

阶梯形矩阵

所以R (A) =2=r n=4

故方程组有无穷解

2) 求解

(二) 非齐次线性方程组

步骤:1.判解2.求解1) 唯一解将阶梯形矩阵化为简化梯形阵而得解;2) 无穷解将阶梯形矩阵化为简化梯形阵——写出同解方程组———取自由变量——写通解

解1) 判解

故方程组有唯一解

2) 求解

解:1) 判解

故方程组有无穷解

2) 求解

在这里, 由于篇幅的限制, 用克莱姆法则解n元线性方程组就不介绍了。值得注意是用逆矩阵也可解n元线性方程组。

总之, 高等数学中n元线性方程组求解的问题很复杂, 需要我们掌握多种求解方法, 在求解时要根据题目确定具体方法, 一般采用高斯消元法。只要我们多练习, 而且不断总结, 再复杂问题也可解决。

参考文献

[1]黄江等.高等数学.重庆大学出版社, 2009年8月.

[2]郑文等.高等数学.电子科技大学出版社, 2010年7月.

n元线性方程组 篇2

由实际问题建立起来的数学模型,经过线性化处理后,可以获得一个线性方程组Ax=b。然而很多情况下,这样的线性方程组所对应的系数矩阵是病态的,而这样的方程组称之为病态线性方程组。对于病态线性方程组,A和(或)b如果存在一个小的扰动δA和(或)δb,则会对解产生比较大的误差。误差放大的倍数用系数矩阵的条件数cond(A)来衡量:cond(A)=‖A-1‖‖A‖。假定只考虑δb对解的影响,则有

式(1)中:‖‖为向量或矩阵的某种范数。从式(1)中可见,cond(A)越大,则由方程组右端项变化引起的解向量的相对误差就越大。当系数矩阵严重病态时,cond(A)>>1,则被严重放大。

针对病态线性方程组求解的收敛速度慢、数值解精度低的问题,很多研究人员提出了不同的方法予以求解,如共轭向量基算法[1]、混合算法[2]、带有预处理的遗传算法[3]、预处理共轭梯度法[4]。文献[1]提出的算法需要构造出共轭向量基以及对应系数,算法收敛速度低于共轭方向法。文献[2]提出的算法是结合了BFGS算法优良的局部搜索能力和模拟退火算法全局搜索能力的混合算法,用模拟退火过程帮助BFGS算法跳出局部极小值点而达到全局最优解,提高了数值解的精度,但是模拟退火算法收敛速度过于缓慢。文献[3]通过对病态矩阵进行预处理,寻找一个对角矩其中:Si=max|aij|(i=1,2,…,n)左乘病态矩阵,将原病态矩阵转换为相对良态矩阵。但是,根据笔者以100阶的Hilbert矩阵实算,矩阵的条件数没有明显地降低。文献[4]中提出的算法需要构造一个左预条件矩阵M,要求病态矩阵必须为对称正定,而且构造矩阵M相对比较复杂。本文采用的方法是先对病态矩阵采用主元加权预处理,降低系数矩阵的条件数,再由预处理来构成一个简单迭代公式,称之为主元加权迭代公式,根据该公式设计出主元加权迭代算法,即PEWI算法。

2 病态矩阵预处理

病态矩阵预处理的目的是降低病态矩阵的条件数,以提高算法收敛速度和数值解的精度。目前,预处理的方法主要有如下几种[5]。

2.1 对角预处理法

若A是严格对角占优的矩阵,则可以选择M=(a1 1,a2 2,…,ann)为预处理矩阵。若A是分块对角阵,则可以选择M=(A11,A22,…,Ann)为预处理矩阵。但是这种方式对收敛的速度和解的精度提高效果一般来说并不明显。

2.2 不完全分解预处理法

主要有不完全LU分解,不完全Cholesky分解和块不完全分解。

2.3 矩阵分解

此方法的基本思想是:将A分裂为A=P-Q,通过矩阵P和Q来构造预处理矩阵M。一般的做法是取线性稳定迭代法中相应的A的分裂。比如Jacobi分裂,P=diag(A),Guass-Seidel分裂,P=diag(A)-L,L是A的严格下三角部分。

本文采用主元加权方法,改善病态矩阵条件数,形式如下:

式(2)中:E为n阶单位矩阵,A为n阶正定方阵。下面讨论矩阵A+αE的条件数改善问题。

定义对于正定对称矩阵A,当α>0时,则cond(A+αE)<cond(A)。

证明设λi为矩阵A+αE其中的第i个特征值,λ'i为矩阵A的第i个特征值,则有

比较公式(3)与公式(4),则有

因为α>0,所以αE为正定阵。根据已知条件A为对称正定阵,所以A+αE亦为对称正定阵。对称正定矩阵A的条件数与A的最大特征值与最小的特征值满足如下关系[6]。

所以cond(A+αE)<cond(A)。证毕。

主元加权方法是否有效的关键是确定权因子α。如果α取值过小,对矩阵A的条件数改善效果不明显,则A仍严重病态,因而解的精度低;如果α的取值过大,收敛速度则会变慢,甚至解会失真。文献[4]中通过大量的实验,给出了经验估计公式。然而该公式只能针对具体的系数矩阵,不具有通用性。笔者也是根据文中所处理的系数矩阵,在matlab经过多次计算后确定α取2。

3 主元加权迭代算法设计

本文所处理病态线性方程组为如下形式:

式(7)中:系数矩阵A为n阶的Hilbert矩阵,其元素右端项b由给定的一组真解x=(1,1,…,1)T带入方程组(7)中所获得。将方程组(7)的主元叠加一个权值来改善条件数,则得到与方程组(7)同解的另一种形式:

由于方程组(8)两端分别含有解向量x,则可构造迭代公式(9)。

令x(k+1)=x(k)+e(k),则

显然,要想使x(k+1)收敛到方程组(7)的最优解,只需使e(k)→0,则x(k+1)→方程组(7)的最优解。实际计算时,取e(k)的2范数达到某个设定的精度即可。

4 数值实验及分析

在matlab环境中,将系数矩阵进行主元加权预处理降低系数矩阵条件数后,分别使用主元加权迭代法、雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法对方程组(7)进行了求解。算法耗时和精度对比实验结果如表1所示。

观察表1得出:雅克比迭代法只能处理系数矩阵为良性的线性方程组,对于病态线性方程组,雅克比迭代法是不能求解的,因为10阶的Hilbert矩阵的条件数达到了1.6×1013,已经严重病态。高斯-赛德尔迭代法可以对病态线性方程组求解,但是解的误差要远远大于本文设计的PEWI算法。然而当系数矩阵的阶数比较大时,PEWI算法的收敛速度会快速地降低。当系数矩阵阶数等于500时,PEWI算法的运行耗时达到80.95 s,远远大于高斯-赛德尔迭代法。因此,对于高阶的系数矩阵,从算法收敛速度来衡量,PEWI算法不如高斯-赛德尔迭代法,但是数值解的精度却远远高于高斯-赛德尔迭代法。

5 结论

由于直接解法和迭代解法对严重病态线性方程组的求解所得到的数值解误差很大,甚至会失真,所以在应用算法求解之前先对病态系数矩阵进行预处理,降低其条件数,再使用某些算法求解就可以提高数值解的精度。本文使用主元加权对系数矩阵做预处理,在加权的同时就构成了一个简单迭代公式。基于此公式在matlab中对算法予以实现并进行了数值实验。通过与高斯-赛德尔迭代法和雅克比迭代法比较,PEWI算法对数值解的精度提高效果明显,只是在系数矩阵高阶时,收敛速度较慢。

参考文献

[1]郑洲顺,黄光辉.求解病态线性方程组的共轭向量基算法.山东大学学报(理学版),2008;43(10):1—5

[2]郑洲顺,黄光辉,杨晓辉.求解病态线性方程组的混合算法.贵州工业大学学报(自然科学版),2008;37(3):12—15

[3]赖鑫生,谭国律,周玉林.用遗传算法解大规模病态线性方程组.上饶师范学院学报,2006;26(6):85—88

[4]林胜良.病态线性方程组解法研究.杭州:浙江大学,2005

[5]曾光.线性方程组迭代法中的预处理技术研究.成都:电子科技大学,2008

n元线性方程组 篇3

考虑如下伪抛物方程的初边值问题

式(1)中为Hamilton算子，ΩR2为有界区域。p(x,y)，q(x,y)，F(x,y,t，·)，

f(x,y)为已知函数，且满足以下条件:

(2)，且满足连接性条件f(x,y)=0,(x,y)∈Ω;

(3)F为连续函数，且关于各变量存在连续的一阶偏导数。

涂慧等人在文献[1]中提出了一类非线性伪抛物方程的预测校正格式，曹志等也在文献[2]中提出了一维非线性伪抛物方程的混合体积元方法。本文研究二维问题(1)的混合体积元方法。

1 混合体积元格式

。则式(1)改写为

引入函数空间

从而问题式(2)的弱形式为:

求{u，σ}:(0,T]→W×V。使得

作区域Ω的拟一致三角剖分Th={K}，其中h=Km∈aΤxh{diam K}，在剖分Th的基础上作区域Ω的重心对偶剖分Th*={K*}，对偶网格由内部四边形与边界三角形组成，部分单元如图1所示。

图1中pi(i=1,2,3,4,5)为三角剖分的部分节点，对于内部节点p3，取B1,B2分别为ΔA1A2A3，ΔA1A3A5的重心，连接A1,B2,A3，同时连接A1,B1,A3，则四边形A1B1A3B2为相应于节点p3的对偶单元。

对于边界节点p5，取ΔA3A4A5的重心B3，连接A4,B3,A5则ΔA4B3A5为相应于节点p5的对偶剖分单元。

定义VhV为Th上的最低价的RaviartThomas空间，Wh为Th上的分片常向量空间。引入迁移算子γh，对vh∈Vh有

其中χQ为集合Q上的特征函数，N为原始剖分Th的边的总数目。

令Yh=γhvh，则上述问题的混合体积元格式为:求(σh,uh):(0,T]→Vh×Wh，使得

式(4)中uh(0)取为f(x,y)的混合体积元投影(见第3部分定义)。

2 一些引理

我们给几个重要的引理。

引理1[3]γh为自共轭算子，即

特别地，当φh为分片常向量时，

存在与h无关的正常数C和C0满足

引理2[3]存在与h无关的常数C满足

3 混合体积元椭圆投影

为了数值分析，引入如下的混合体积元投影。设满足

类似于文献[3]中，我们可以证明一下引理。

引理3当h充分小时，存在不依赖于h,t的常数C使得

4 连续时间的误差估计

将式(4)减去式(3)，并考虑到引入的混合体积椭圆投影，可得方程

令

我们可以将式(6)变换为

定理1设(u，σ)，(uh，σh)分别是式(3)和式(4)的解，并且满足所需要的正则性假设，则有如下误差估计

证明在式(7)中，令vh=ξ，wh=e+et，两式相加得，

下面我们分别估计式(8)的左右两边。对于左端有

下面分别处理式(8)右端各项。

从而得

当ε充分小时,

由Gronwall不等式有

则

由三角不等式可知定理结论成立。

参考文献

[1]涂慧,刘超,江成顺.二阶半线性为抛物方程差分格式与数值模拟.工程数学学报2,006;23(1):187—190

[2]曹志.两类拟线性发展方程的数值分析.硕士论文.济南:山东师范大学,2010

n元线性方程组 篇4

关键词：Burgers型方程,扩展混合元,最优误差估计

考虑如下Burgers方程初边值问题:

$\{\begin{array}{ccc}(\text{a})& u{}_t+uu{}_x=[Q(u{}_x)]{}_x,& (x,t)\in \text{Ω}\times J\\ (\text{b})& u(x,t)=0,& x=a,b,t\in J\\ (\text{c})& u(x,0)=u{}_0(x),& x\in \text{Ω}\end{array}(1)$

其中Ω=(a,b),J=[0,T],T>0,u是未知速度,Q(s)是二阶偏导数有界的二次连续可微函数,u0(x)为已知函数。

对上述问题人们提出了许多数值模拟方法,如有限元方法,混合有限元方法[1,2]等。本文对该问题采用文献[3]中提出的扩展混合元方法进行离散。

1 扩展混合元格式

现在我们采用扩展混合元方法解决该问题。令V=H1(Ω),W=L2(Ω),Λ=L2(Ω),引入中间变量$\lambda =u{}_x‚\sigma =\frac{u{}^2}{2}-Q(u{}_x)$,则问题式(1)化为

$\{\begin{array}{ccc}(\text{a})& u{}_t+\sigma {}_x=0,& (x,t)\in \text{Ω}\times J\\ (\text{b})& \sigma -\frac{u{}^2}{2}+Q(u{}_x)=0,& (x,t)\in \text{Ω}\times J\\ (\text{c})& \lambda -u{}_x=0,& (x,t)\in \text{Ω}\times J,\end{array}(2)$

式(2)分别与w∈W,μ∈Λ,v∈V相乘做内积,利用格林公式和边界条件,得到问题式(1)等价的扩展混合元变分形式:求(σ,λ,μ):J→(V×Λ×W)满足

$\{\begin{array}{ccc}(\text{a})& (u{}_t,w)+(\sigma {}_x,w)=0,& \forall w\in W{}_h\\ (\text{b})& (\sigma ,\mu )-\left(\frac{u{}^2}{2},\mu \right)+(Q(\lambda ),\mu )=0,& \forall \mu \in \Lambda {}_h\\ (\text{c})& (\lambda ,v)+(u,v{}_x)=0,& \forall v\in V{}_h\end{array}(3)$

2 离散格式

对于逼近空间Vh×Λh用的是k(k≥0)阶多项式空间,而对于Wh用的是k-1(k≥0)阶多项式空间。问题(1)的半离散格式可定义为:求(σh×λh×uh):J→(Vh×Λh×Wh)使得

$\{\begin{array}{ccc}(\text{a})& (u{}_{ht},w)+(\sigma {}_{hx},w)=0,& \forall w\in W{}_h\\ (\text{b})& (\lambda {}_h,v)+(u{}_h,v{}_x)=0,& \forall v\in V{}_h\\ (\text{c})& (\sigma {}_h,\mu )-\left(\frac{u{}_h^2}{2},\mu \right)+(Q(\lambda {}_h),\mu )=0,& \forall \mu \in \Lambda {}_h\\ (\text{d})& u(x,0)=\overline{u}{}_0(x)& \forall x\in \text{Ω}\end{array}(4)$

其中$\overline{u}{}_0(x)$是uh(x,0)的扩展混合元投影(具体定义见下文)。

由于Vh=Λh,所以设有限元子空间Vh和Wh的基函数分别为{φi(x)}${}_{i=1}^m$和{φi(x)}${}_{i=1}^n$,从而σh,λh,uh可写成$\sigma {}_h={\displaystyle \sum _{i=1}^m\alpha }{}_i(t)\phi {}_i(x)$。$\lambda {}_h={\displaystyle \sum _{i=1}^m\beta }{}_i(t)\phi {}_i(x)‚u{}_h={\displaystyle \sum _{i=1}^n\gamma }{}_i(t)\phi {}_i(x)$,取φj(x),j=1,2…n,v=μ=φj(x),j=1,2…m。代入式(4),因为$\frac{u{}^2}{2},Q(s)$满足局部Lipschitz连续,所以由常微分方程组解的存在唯一性定理可知(4)有唯一解。

3 误差估计

下面讨论问题式(1)的真解和问题式(4)离散解的L2误差估计。定义(σ,λ,u)的扩展混合元投影:求$(\overline{\sigma },\overline{\lambda },\overline{u})$:J→Vh×Λh×Wh使得

$\{\begin{array}{ccc}(\text{a})& (\sigma {}_x-\overline{\sigma }{}_x,w)=0,& \forall w\in W{}_h\\ (\text{b})& (Q(\lambda )-Q(\overline{\lambda }),\mu )+(\sigma -\overline{\sigma },\mu )=0,& \forall \mu \in \Lambda {}_h\\ (\text{c})& (\lambda -\overline{\lambda },v)+(u-\overline{u},v{}_x)=0,& \forall v\in V{}_h\end{array}(5)$

记$\rho =\lambda -\overline{\lambda },\eta =\overline{\lambda }-\lambda {}_h,s=\sigma -\overline{\sigma },\xi =\overline{\sigma }-\sigma {}_h,d=u-\overline{u},z=\overline{u}-u{}_h$。由文献[4]可得

引理1 当h充分小时

$\parallel u-\overline{u}\parallel \le \{\begin{array}{cc}Ch\parallel u\parallel {}_2,& k=1\\ Ch{}^r\parallel u\parallel {}_r,& 2\le r\le k\end{array}$

(6)

$\parallel \lambda -\overline{\lambda }\parallel +\parallel \sigma -\overline{\sigma }\parallel \le Ch{}^r\parallel u\parallel {}_{r+1},1\le r\le k+1$ (7)

设算子πh:H1→Vh满足

((v-πhv)x,w)=0,∀w∈Wh (8)

‖v-πhv‖≤Khr‖v‖r,1≤r≤k+1 (9)

设Ph,Rh分别满足

(w-Phw,vx)=0,∀w∈W,v∈Vh (10)

(μ-Rhμ,τ)=0,∀μ∈Λ,τ∈Λ (11)

而且具有逼近性质

‖w-Phw‖≤Khr‖w‖r,∀w∈W,1≤r≤k+1 (12)

‖μ-Rhμ‖≤Khr‖μ‖r,∀μ∈Λ,1≤r≤k+1 (13)

利用带积分余项的泰勒展开式有

$Q{}_s(\lambda )-Q{}_s(\overline{\lambda })=\tilde{Q}{}_{ss}(\overline{\lambda })(\lambda -\overline{\lambda })$,其中

$\tilde{Q}{}_{ss}(\overline{\lambda })=$${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}{}_{ss}(\overline{\lambda }+\theta (\lambda -\overline{\lambda }))\text{d}\theta$,

所以对式(5)关于t求导得

$\{\begin{array}{ccc}(\text{a})& (s{}_{ht},w)=0,& \forall w\in W{}_h\\ (\text{b})& \begin{array}{l}(s{}_t,\mu )+(Q{}_s(\overline{\lambda })(\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t),\mu )\\ +(\lambda {}_t\tilde{Q}{}_{ss}(\overline{\lambda })(\lambda -\overline{\lambda }),\mu )=0,\end{array}& \forall \mu \in \Lambda {}_h\\ (\text{c})& (\rho {}_t,v)+(d{}_t,v{}_x)=0,& \forall v\in V{}_h\end{array}(14)$

引理2 存在不依赖于h的正常数C,使

$\parallel \sigma {}_{xt}-\overline{\sigma }{}_{xt}\parallel \le Ch{}^r\parallel \sigma {}_{xt}\parallel {}_r,1\le r\le k+1$。

证明 由(8)可得$((\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t){}_x,w)+((\overline{\sigma }{}_t-\pi {}_h\sigma {}_t){}_x,w)=0,\forall w\in W{}_h$,由式(14)(a)可得

$(\overline{\sigma }{}_t-\pi {}_h\sigma {}_t){}_x=0$ (15)

又由三角不等式和(9)式即证,证毕。

引理3 存在不依赖于h的正常数C使

$\parallel \lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t\parallel \le Ch{}^r(\parallel \sigma {}_t\parallel {}_r+\parallel u\parallel {}_{r+1}+\parallel \lambda {}_t\parallel {}_r),1\le r\le k+1$。

证明 在式(14)中取$v=\pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t,\mu =R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t$。

由式(15)可得

$(R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t,\pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t)=(R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t,\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t)$ (16)

又由式(14)(c)和式(16)有$(Q{}_s(R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t),R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t)=(\lambda {}_t\tilde{Q}{}_{ss}(\overline{\lambda })(\overline{\lambda }-\lambda ),R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t)+(Q{}_s(\overline{\lambda })(R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t),R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t)+(\pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t,R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t)$。所以可得

$\parallel R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t\parallel \le \parallel \lambda {}_t\parallel {}_{0,\infty }\parallel Q{}_{ss}(\overline{\lambda })(\overline{\lambda }-\lambda )\parallel +\parallel Q{}_s(\overline{\lambda })(R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t)\parallel +\parallel \pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t\parallel ‚$

进一步,由三角不等式以及式(7)、式(9)和真解的有界性即证,证毕。

引理4 存在不依赖于h的正常数C使$\parallel \sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t\parallel \le Ch{}^r(\parallel \sigma {}_t\parallel {}_r+\parallel u\parallel {}_{r+1}+\parallel \lambda {}_t\parallel {}_r),1\le r\le k+1$。

证明 在式(14)(b)中取$\mu =\pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t$,则有

$(\pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t,\pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t)=(\pi {}_h\sigma {}_t-\sigma {}_t,\pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t)+(\lambda {}_t\tilde{Q}{}_{ss}(\overline{\lambda })(\lambda -\overline{\lambda }),\pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t)+(Q{}_s(\overline{\lambda })(\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t),\pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t)$。

因此可以得到

$\begin{array}{l}\parallel \pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }\parallel \le \parallel \pi {}_h\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t\parallel +\parallel \lambda {}_t\parallel {}_{0,\infty }\times \\ \parallel \tilde{Q}{}_{ss}(\overline{\lambda })(\overline{\lambda }-\lambda )\parallel +\\ \parallel Q{}_s(\overline{\lambda })(R{}_h\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t)\parallel ‚\end{array}$

进一步,由三角不等式以及引理2即证,证毕。

引理5 存在不依赖于h的正常数C使

$\parallel u{}_t-\overline{u}{}_t\parallel \le \{\begin{array}{cc}Ch(\parallel u\parallel {}_3+\parallel u{}_t\parallel {}_3),& k=1；\\ Ch{}^r(\parallel u\parallel {}_r+\parallel u{}_t\parallel {}_r),& 2\le r\le k+1。\end{array}$

证明 设ψ∈L2(Ω),φ∈H2(Ω)∩H${}_0^1$(Ω)满足$-(Q{}_s(\overline{\lambda })\phi {}_x){}_x=\psi$,则由椭圆问题的正则性可知

‖φ‖2≤K‖ψ‖ (17)

由式(8)、式(14)(c)可知

$({\rm P}{}_{h}u{}_t-\overline{u}{}_t,\psi )=(\overline{u}{}_t-{\rm P}{}_{h}u{}_t,-(Q{}_s(\overline{\lambda })\phi {}_x){}_x)=(\overline{u}{}_t-{\rm P}{}_{h}u{}_t,(\pi {}_h(Q{}_s(\overline{\lambda })\phi {}_x)){}_x)=(\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t,\pi {}_h(Q{}_s(\overline{\lambda })\phi {}_x)-Q{}_s(\overline{\lambda })\phi {}_x)+(\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t,Q{}_s(\overline{\lambda })\phi {}_x)=(Q{}_s(\overline{\lambda })(\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t),\phi {}_x-R{}_h\phi {}_x)+(Q{}_s(\overline{\lambda })(\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t),R{}_h\phi {}_x)+(\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t,\pi {}_h(Q{}_s(\overline{\lambda })\phi {}_x)-Q{}_s(\overline{\lambda })\phi {}_x)(18)$

其中由式(14)(a)和(b)知

$(Q{}_s(\overline{\lambda })(\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t),R{}_h\phi {}_x)=(\overline{\sigma }{}_t-\sigma {}_t,R{}_h\phi {}_x-\phi {}_x)+(\overline{\sigma }{}_t-\sigma {}_t,\phi {}_x)+(\lambda {}_t\times \tilde{Q}{}_{ss}(\overline{\lambda })(\overline{\lambda }-\lambda ),R{}_h\phi {}_x-\phi {}_x)+(\lambda {}_t\tilde{Q}{}_{ss}(\overline{\lambda })(\overline{\lambda }-\lambda ),\phi {}_x)(19)$

将式(19)代入式(18)并由Q(s)的有界性,ε-不等式及式(14)可知

$({\rm P}{}_{h}u{}_t-\overline{u}{}_t,\psi )=(Q{}_s(\overline{\lambda })(\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t),\phi {}_x-R{}_h\phi {}_x)+\overline{(\sigma {}_t-\sigma }{}_t,R{}_h\phi {}_x-\phi {}_x)+((\sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t){}_x,R{}_h\phi {}_x-\overline{\sigma }{}_t){}_x,R{}_h\phi {}_x-\phi {}_x)+(\lambda {}_t\tilde{Q}{}_{ss}(\overline{\lambda })(\overline{\lambda }-\lambda ),R{}_h\phi {}_x-\phi {}_x)+(\lambda {}_t\tilde{Q}{}_{ss}(\overline{\lambda })(\overline{\lambda }-\lambda ),\phi {}_x)+(\lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t,\pi {}_h(Q{}_s(\overline{\lambda })\phi {}_x)-Q{}_s(\overline{\lambda })\phi {}_x)\le Ch(\parallel \sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t\parallel +\parallel \lambda -\overline{\lambda }\parallel +\parallel \lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t\parallel )\parallel \phi {}_x\parallel {}_1+\parallel \lambda -\overline{\lambda }\parallel {}_{-1}\parallel \phi {}_x\parallel {}_1+Ch{}^{\min (k,2)}\parallel \sigma {}_{xt}-\overline{\sigma }{}_{xt}\parallel \parallel \phi \parallel {}_2‚$

所以由式(17)可知

$\parallel {\rm P}{}_{h}u{}_t-\overline{u}{}_t\parallel \le Ch(\parallel \sigma {}_t-\overline{\sigma }{}_t\parallel +\parallel \lambda -\overline{\lambda }\parallel +\parallel \lambda {}_t-\overline{\lambda }{}_t\parallel )+\parallel \lambda -\overline{\lambda }\parallel {}_{-1}+Ch{}^{\min (k,2)}\times \parallel \sigma {}_{xt}-\overline{\sigma }{}_{xt}\parallel ‚$

进一步由引理1—引理4即可得到结论,证毕。

联合式(3)—式(5)可得误差方程

$\{\begin{array}{ccc}(\text{a})& (z{}_t,w)+(\xi {}_x,w)=-(d{}_t,w),& \forall w\in W{}_h\\ (\text{b})& \begin{array}{l}(\xi ,\mu )-\left(\frac{u{}^2-u{}_h^2}{2},\mu \right)+\\ (Q(\overline{\lambda })-Q(\lambda {}_h),\mu )=0,\end{array}& \begin{array}{l}\\ \\ \forall \mu \in \Lambda {}_h\end{array}\\ (\text{c})& (\eta ,v)+(z,v{}_x)=0,& \forall v\in V{}_h\end{array}(20)$

定理1 设Ω关于算子M是2-正则的,当h充分小时,存在不依赖于h的正常数C,使

$\parallel u-u{}_h\parallel \le \{\begin{array}{cc}Ch(\parallel u\parallel {}_3+({\displaystyle {\int }_0^t\parallel }u\parallel {}_3^2+\parallel u{}_t\parallel {}_3^2){}^{\frac{1}{2}}),& k=1\\ Ch{}^r(\parallel u\parallel {}_r+({\displaystyle {\int }_0^t\parallel }u\parallel {}_r+\parallel u{}_t\parallel {}_r){}^{\frac{1}{2}}),& 2\le r\le k+1\end{array}$

(21)

$\parallel \lambda -\lambda {}_h\parallel \le \{\begin{array}{cc}Ch(\parallel u{}_t\parallel {}_3+\parallel u\parallel {}_3+({\displaystyle {\int }_0^t\parallel }u\parallel {}_3^2+\parallel u{}_t\parallel {}_3^2){}^{\frac{1}{2}}),& k=1\\ Ch{}^r(\parallel u{}_t\parallel {}_r+\parallel u\parallel {}_{r+1}+({\displaystyle {\int }_0^t\parallel }u\parallel {}_r+\parallel u{}_t\parallel {}_r){}^{\frac{1}{2}}),& 2\le r\le k+1\end{array}$

(22)

$\parallel \sigma -\sigma {}_h\parallel \le \{\begin{array}{cc}Ch(\parallel u{}_t\parallel {}_3+\parallel u\parallel {}_3+({\displaystyle {\int }_0^t\parallel }u\parallel {}_3^2+\parallel u{}_t\parallel {}_3^2){}^{\frac{1}{2}}),& k=1\\ Ch{}^r(\parallel u{}_t\parallel {}_r+\parallel u\parallel {}_{r+1}+({\displaystyle {\int }_0^t\parallel }u\parallel {}_r+\parallel u{}_t\parallel {}_r){}^{\frac{1}{2}}),& 2\le r\le k+1\end{array}$

(23)

证明 在式(20)中取w=z,v=ξ,μ=η然后通过计算(a)-(c)+(b)并利用泰勒展开可得

$(z{}_t,z)+(Q{}_s(\lambda {}_h)\eta ,\eta )=-(d{}_t,z)+(\frac{u{}^2-u{}_h^2}{2},\eta )\le -(d{}_t,z)+((u+u{}_h)(d+z),\eta )(24)$

作如下归纳假设:‖uh(s)‖0,∞≤N,其中

N=‖uh‖L∞(0,T,L∞(Ω))+1,0≤s<t,0<t≤T。

于是可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\parallel z\parallel {}^2+C\parallel \eta \parallel {}^2\le C(\parallel d{}_t\parallel \parallel z\parallel +(\parallel u\parallel {}_{0,\infty }+\parallel u{}_h\parallel {}_{0,\infty })\parallel d+z\parallel )(25)$

对式(25),由Holder不等式、ε-不等式并利用归纳假设和真解的有界性可得$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\parallel z\parallel \le C(\parallel d\parallel {}^2+\parallel d{}_t\parallel {}^2+\parallel z\parallel {}^2)$,对其关于t从0到t积分有‖z‖2≤‖z(0)‖2+C∫${}_0^t$‖d‖2+‖dt‖2+‖z‖2dt,由‖z(0)‖=0和引理3及Gronwall引理可知

$\parallel z\parallel {}^2\le \{\begin{array}{cc}e{}^{ct}{\displaystyle {\int }_0^t\parallel }d\parallel {}_3^2+\parallel d{}_t\parallel {}_3^2\text{d}t,& k=1\\ e{}^{ct}{\displaystyle {\int }_0^{t}h}{}^{2r}\parallel d\parallel {}_r^2+h{}^{2r}\parallel d{}_t\parallel {}_r^2\text{d}t,& 2\le r\le k\end{array}$

(26)

所以由三角不等式可得式(21)。

同时由式(25)得‖η‖2≤C(‖dt‖+‖d‖+‖z‖)故有式(22)。

另外由式(20)(b)、式(26)和归纳假设可知

$(\xi ,\mu )=\left(\frac{u{}^2-u{}_h^2}{2},\mu \right)-(Q{}_s(\lambda {}_h),\mu )$,即‖ξ‖≤C(‖ρ‖+‖d‖+‖z‖),再由三角不等式可得式(23)。

下面用反证法证明归纳假设:记t*=sup{s∈[0,T]|‖uh(·,s)‖0,∞≤N},假设t*<t,由N的定义,显然有‖uh(0)‖0,∞ <N。由uh的连续性知,∃δ>0使‖uh(·,s)‖0,∞<N,∀s∈U+(0,δ),则必有t*>0,‖uh(·,s)‖0,∞≤N,0<s<t*。

在上面的讨论中,只要将积分区间[0,t]换成 [0,t*],由式(26)可得‖uh(·,t*)‖0,∞≤Ch,再利用逆估计可知

$\parallel u{}_h(\cdot ,t{}^{*})\parallel {}_{0,\infty }\le \parallel z\parallel +\parallel \overline{u}{}_h(\cdot ,t{}^{*})\parallel {}_{0,\infty }\le Ch{}^{\frac{1}{2}}+\parallel \overline{u}{}_h(\cdot ,t{}^{*})\parallel {}_{0,\infty }<{\rm N}(h\to 0)$由‖uh(t)‖。

关于t的连续性知,∃δ′>0使得‖uh(·,t*+δ′)‖0,∞<N,这与t*的定义矛盾,因此,对∀∈[0,T],‖uh(·,t)‖0,∞<N。

参考文献

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[3]罗振东,刘儒勋.Burgers方程的混合元分析及其数值模拟,计算数学,1999;21(3):257—268