序列线性方程组

2024-08-04

序列线性方程组（精选7篇）

序列线性方程组篇1

一、前言

黄金作为人类的交易货币有着悠久的历史。在19世纪初至20世纪30年代,世界主要国家实行了“金本位”制度,这不仅增加了黄金在经济发展中的影响,还在国际货币体系的建立中起到了很大的作用。20世纪30年代的经济危机使金本位制度彻底崩溃。在随后的布雷顿森林体系中,黄金在流通和国际储备方面的作用逐渐降低。但由于黄金储备仍然是这一体系的最后支持,因此各国政府仍然禁止黄金在私人领域的买卖。20世纪60至70年代经济危机的爆发使得布雷顿森林体系逐渐瓦解。在1976年的《牙买加协议》中,黄金的非货币化正式确定。时至今日,黄金仍然存在一定的货币职能。这主要体现在当信用货币发生危机时,黄金能成为最后支付的手段。同时,黄金仍然是国际货币基金组织、各主要国家中央银行和欧元货币体系中占相当比例的官方储备。

目前,随着全球黄金市场的发展和信息化技术的应用,黄金的交易更加简便。欧洲、亚洲、美洲不同时区的黄金交易所使得黄金交易得以24小时进行。黄金已成为重要的金融投资品。

进入2010年以来,随着欧洲债务危机的加剧和全球通货膨胀预期的出现,黄金作为保值和风险规避资产逐渐成为投资热点,其价格在较为剧烈的波动中日趋坚挺。但由于黄金同时拥有商品属性和货币属性,使得黄金价格的预测变得非常复杂。难以确定黄金价格和哪些经济和政治因素存在关系。因此,本研究试图从黄金价格本身的时间序列进行研究,研究其内在的统计学特征,并建立相应的模型进行分析和预测。

下文将首先对特定样本的黄金价格时间序列的原始数据进行检验,建立线性的ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model自回归移动平均模型)进行预测和分析。再针对建模结果,引入非线性的GARCH模型族(Generalized Autoregressive Conditionally Heteroscedastic广义自回归条件异方差模型)进行预测和分析。最后进行两者的比较,并得出研究结论。

二、样本数据来源

本研究的黄金价格样本数据来源于ECN trade外汇交易平台中的伦敦黄金现货价格的每日收盘价。该价格采用美元/盎司表示,样本区间为2007年2月1日至2010年7月30日,其中的节假日缺失数据采用线性插值代替,样本数量是912个。该样本区间的黄金价格走势如图1所示:

数据来源:ECN trade外汇交易平台

从图一可以发现,在2007年底全球金融危机爆发后,黄金价格走势呈上升趋势。在2008年初达到一个区间高点后发生剧烈的波动,直到2008年底重新进入上升通道。从图中可知,黄金的价格波动比较剧烈,这使得使用线性系统对黄金价格进行建模可能会遭到一定的困难。

黄金价格原始序列命名为GOLD。黄金价格的自然对数命名为LNGOLD。对黄金价格取自然对数是为了研究其收益率的变动。

三、平稳性检验和处理

在对黄金价格建模之前,首先要识别时间序列的平稳性。这是因为ARMA模型要求序列具有平稳性的特点。所谓平稳性就是指时间序列的均值和所有自协方差不受时间变化影响,同时要求随机过程具有有限的均值和方差。

平稳性的检验通常使用ADF(Augmented Dickey-Fuller)单位根检验。该检验的原假设为存在一个单位根,使得序列不平稳。若拒绝原假设,则该序列平稳。对不平稳的时间序列可以采用差分法转换成平稳序列。在进行ADF检验的模型设置时,通过作图观察确定是否加入截距项和趋势项。

LNGOLD的ADF检验结果如表1所示,一阶差分序列命名为D(LNGOLD):

检验结果表明,LNGOLD是不平稳的,通过一阶差分后,记为DLNGOLD,其为平稳时间序列,满足ARMA建模的前提条件。

四、ARMA建模

本研究使用Box-Jenkins方法进行ARMA建模。该方法根据时间序列的自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)的特征,确定ARMA(p,q)的自回归阶数p和移动平均阶数q。若PACF截尾,ACF拖尾,则可建立AR模型。若PACF拖尾,ACF截尾,则可建立MA模型。若PACF和ACF均是拖尾,则可建立ARMA模型。此时需要对可能合适的模型都进行估计,然后根据模型系数的显著性和AIC(Akaike information criterion)值确定最合适的模型。AIC值越小的模型越好。同时,还要保证模型的残差符合白噪音的假设。

DLNGOLD序列的ACF和PACF检验结果如表2所示:

通过表2,可以进行如下判断:

1. ACF和PACF的Q统计量都不显著,一阶差分的DLNGOLD可以用来建立模型,不必要进行二阶差分。

2. 纯MA(q)过程的理论ACF应在滞后q期后截尾为0。纯AR(p)过程的理论PACF应在滞后p期后截尾为0。这两个现象都没有出现,所以DLNGOLD适合于ARMA(p,q)模型。

3. ACF和PACF在滞后6期后迅速衰减,因此考虑p=6,q=6的情况。经过了试验后,依次建立了如下三个模型:

模型A:

AR、MA倒数根都在单位圆内,AIC=-5.673703,所有Q-stat统计上不显著。AR(2)、AR(5)、MA(2)、MA(5)和常数项的系数具有统计上的显著性,其他项系数统计上不显著。

模型B:

舍去了模型A中统计不显著的系数,并重新估计了参数。

AR、MA倒数根都在单位圆内,AIC=-5.673343,Q-stat(6)至Q-stat(15)皆具有统计上的显著性。常数项统计上不显著,应予以舍去后重新估计参数。

模型C:

AR、MA倒数根都在单位圆内,AIC=-5.673458,Q-stat(6)至Q-stat(14)皆具有统计上的显著性。

根据ARMA建模的判断方法,模型A虽然有最小的AIC值,但部分系数不显著,模型参数存在冗余。模型B常数项不显著,并且Q统计量表明其残差不符合白噪音的假设。模型C所以参数都显著,但Q统计量表明其残差不符合白噪音的假设。这意味着存在模型所不能解释的系统性变动。如果只考虑AIC判断准则和白噪音的假设,模型A较为符合要求。但根据Box-Jenkins方法的模型简练原则,模型A冗余的参数使其还需要改进。

现在重新观察DLNGOLD序列的ACF和PACF检验结果,可以发现滞后6阶的ACF和PACF为单峰突起,因此考虑采用只含有、和常数项的模型,新建立的模型参数估计结果如下:

模型D:

AR、MA倒数根都在单位圆内,AIC=-5.681517,所有Q-stat统计上不显著。所有参数统计上显著。

易知,模型D的AIC值最小,残差符合白噪音假设,该模型能充分反映系统性变动。为保守起见,还进行了其他模型的检验,最终确定模型D为最优。

五、ARMA模型预测

为了进一步检验模型,利用模型进行向前一步预测。预测结果如表3:

单位:美元/盎司

从表3可以看出,ARMA在短期预测方面非常准确。因此,分析结果认为本研究所建立的ARMA模型可以应用于短期的黄金价格预测。

六、GARCH模型族的检验

虽然已经证明了ARMA模型可以有效地应用于短期的黄金价格预测,然而由于黄金价格波动较大,可能存在非线性和条件异方差的现象。ARMA模型只能处理方差不变的线性时间序列,即市场风险恒定的时间序列。在遇到条件异方差的时间序列时,为了更精确地进行预测,需要引入ARCH模型(Autoregressive Conditionally Heteroscedastic自回归条件异方差)及其拓展——GARCH模型族。ARCH类模型的核心思想是残差项的条件方差依赖于它的前期值。作为ARCH模型的拓展,GARCH模型族能较好地描述金融时间序列的异方差问题,成为金融市场分析中广泛应用的模型。

要检验一个模型是否存在自回归条件异方差的现象,需要进行残差平方相关图检验。表4是本研究所建立的ARMA模型的残差平方相关图:

从表4可以看到,模型残差平方的ACF和PACF皆在统计上显著地异于0,因此残差序列存在自回归条件异方差的现象。引入GARCH模型进行预测可能可以起到更好的效果。

七、GARCH模型族建模与筛选

本研究对2007年2月1日至2010年7月30日伦敦黄金现货价格分别建立GARCH、EGARCH、TGARCH、GARCH-M、EGARCH-M、TGARCH-M模型,并根据各模型的特性和AIC信息准则确定最优的模型。EGARCH和TGARCH模型都是加入了考虑信息不对称(即利好消息和利空消息的不同影响)的拓展模型,新的参数用θ表示。当θ<0时,利空消息比利好消息影响更大。GARCH-M、EGARCH-M和TGARCH-M模型,是在基础模型中进一步考虑了风险和收益率的关系。新加入的参数为ψ,当ψ>0时,风险的增加可以增加收益率。当ψ<0时,风险的增加降低收益率。

各个模型的参数估计及检验结果如表5所示:

从表5中可以看出,除了考虑信息不对称的系数θ不显著异于0外,各个模型其他的参数都显著异于0。因此不能拒绝LNGOLD序列不存在信息不对称的原假设,即利空消息和利好消息能对黄金价格产生比较相同的影响。再考虑表示风险与收益率关系的系数ψ,该系数在所有模型中都显著不为0,并且为正。因此可以认为黄金价格存在正的风险溢价,但是该溢价水平较低。当市场风险增加1个点时,黄金价格收益率增加大约0.06个百分点。

Engle和Chowdury(1992)证明,若,则冲击对条件方差的影响是永远的。本研究中所建立的GARCH模型族皆符合这一特征,这意味着一旦黄金市场出现较大的波动,该波动会产生持久影响。

综合考虑参数的显著性及A I C值最小的原则,选定GARCH-M(1,1)模型。

八、ARMA模型与GARCH-M模型预测效果比较

使用GARCH-M(1,1)模型进行向前一步预测,结果如表6所示:

单位:美元/盎司

对比ARMA模型的预测结果,GARCH-M模型更加精确,误差仅为ARMA模型的50%。因此可以认为GARCH-M模型在伦敦黄金现货价格的短期预测方面比ARMA模型更为出色。这与GARCH模型族在预测金融时间序列方面较好的表现是一致的。根本原因可能是伦敦黄金现货价格存在非线性及自回归条件异方差性。

九、结论与投资建议

本研究利用ARMA和GARCH-M模型对伦敦黄金现货价格成功进行了建模,并进行了特征分析和预测,现得出以下主要结论:

1. 虽然伦敦黄金现货价格呈非线性形式,但仍然可以使用线性的ARMA模型进行较为精确向前一步预测。预测误差小于1%,对指导投资能起到实际作用。当ARMA模型假设了黄金现货价格在不同时间区间风险恒定,在风险及波动性分析上不能起到实际作用。

2. 伦敦黄金现货价格存在自回归条件异方差的现象,因此使用GARCH模型族进行建模和预测更为科学。GARCH模型族能充分考虑黄金市场中变动的风险,更符合实际情况。实际GARCH建模和预测结果表明,GARCH-M(1,1)模型的向前一步预测比ARMA模型更加精确。在本研究的样本中,GARCH-M(1,1)模型误差仅为ARMA模型的50%。

3. 通过建立GARCH模型族,研究发现伦敦黄金现货价格不存在信息不对称的情况,利空消息与利好消息能对市场造成相同影响。因此在进行投资活动时,建议对利空和利好消息施加同样程度的关注。

4. 通过建立GARCH模型族,研究发现伦敦黄金现货价格存在较弱的正风险溢价。因此,若投资者是风险规避者,则不宜进入该市场。

5. GARCH模型族的结构参数α和β的估计值之和接近于1,这说明一旦伦敦黄金市场遭到外部冲击,如金融危机爆发,则会产生持久的波动影响。这建议投资者应当对影响伦敦黄金市场的重大消息进行着重关注。

摘要：由于黄金现货价格受到诸多经济及政治因素的影响,其生成过程复杂,难以通过其影响因素的研究来对其进行预测分析。因此,本文试图从黄金价格本身的时间序列着手,试图利用线性的ARMA及非线性的GARCH模型族,利用单方程时间序列建模的方法对黄金现货价格进行预测分析。研究发现线性的ARMA模型和非线性的GARCH-M模型都能较好地进行对伦敦黄金现货价格进行预测,在研究的样本中,两者的向前一步预测误差分别为0.06%和-0.03%。GARCH-M模型的预测效果较好。此外,还通过使用GARCH模型族分析了伦敦黄金现货价格的信息不对称性、风险收益特征和对系统性冲击的反应,针对性地做出了结论和投资建议。

关键词：ARMA模型,GARCH模型族,黄金现货价格,单方程时间序列建模,预测分析

参考文献

[1]Box G P E,Jenkis G M.Time Series Analysis:Forecasting and Control[M].San Francisco Press,1978.

[2]Engle R.F.and M.chowdury,1992,“Implied ARCH Models from Option Prices”,Journal of Econometrics52:289-311.

[2][美]沃尔特·恩德斯:《应用计量经济学-时间序列分析(第2版)》[M].高等教育出版社,2006年6月

[3]张宗新:《金融计量学》[M],中国金融出版社,2008年9月

[4]潘贵豪胡乃联刘焕中李国清:《基于ARMA-GARCH模型的黄金价格实证分析》[J].黄金,2010年第1期,第5页-第7页

[5]王晓鹏曹广超丁生喜:《基于Box-Jenkins方法的青南高原降水量时间序列分析建模与预测》[J].数理统计与管理,2008年04期,第565页-第570页

[6]王方王倩童行伟宋俊峰:《郑州期货糖08年9月合约价格的分析与预测》[J].数理统计与管理,2010年02期,第205页-217页

[7]张波:《湖北省人均GDP时间序列模型及预测》[J].中南财经政法大学研究生学报,2006年02期,第95页-第100页

[8]赵进文王倩:《上证180指数的GARCH族模型仿真研究——对上证300指数的间接实证建模分析》[J].财经问题研究,2008年03期,第47-第54页

序列线性方程组篇2

考虑常系数非齐次线性微分方程组:x′=Ax+f (t) , 其中A是n×n常数矩阵, f (t) 是连续的n维列向量函数。

在现行的常微分方程教材中对于常系数非齐次线性微分方程组的求解采用的几乎都是由常数变易法得到的常数变易公式:x (t) =准 (t) c+准 (t) 蘩准-1 (t) f (t) dt。[1,2]此公式是求解该类问题的基本公式, 具有普遍性意义。然而此公式在系数矩阵的阶数较高时, 基解矩阵的求解并不容易, 最后的积分计算量也比较大。本文对于一类系数矩阵具有互异特征值的常系数非齐次线性微分方程组给出了一种计算量相对较小的方法———线性变换法。

二、线性变换法应用

引理1[3]:矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关。

引理2[3]:矩阵A可化为对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理:设常系数非齐次线性微分方程组x′=Ax+f (t) 的系数矩阵A具有n个不同特征值λ1, λ2, …, λn, 对应的特征向量为α1, α2, …, αn, 令P= (α1, α2, …, αn) , g (t) = (g1 (t) , g2 (t) , …, gn (t) ) T=P-1f (t) , 则方程组x′=Ax+f (t) 的通解为:

证:由已知系数矩阵A具有n个不同特征值λ1, λ2…λn, 对应的特征向量为α1, α2, …, αn, 根据引理1和引理2, 系数矩阵A可化为对角矩阵:

作线性变换x=Py, 则方程组转化为:y′=Qy+g (t) , 其中g (t) =P-1f (t) 。

又设y= (y1, y2, …, yn) T, 则方程组又可化为:y′i=λiyi+gi (t) , (i=1, 2, …, n) 。

求解上述一阶微分方程得:yi (t) =eλ1t[蘩g1 (t) e-λ1tdt+c1] (i=1, 2, …, n) 。

再利用线性变换x=Py, 即可求得原方程组的解:

将方程组化为两个方程:

解之得:

再代入x=Py, 最后求得方程组的解为:

我们再用常数变易法来计算得特征值:λ1=5, λ2=-1。对应的特征向量:α1= (1, 2) T, α2= (1, -1) T。

利用常数变易公式, 得:

三、结语

两种方法比较来看, 殊途同归, 但从-1 (t) 的求解及最后的积分计算来看, 常数变易法的计算量明显大得多, 并且随着系数矩阵A的阶数的增加, 相应的计算量也会更大。因此, 笔者提出的线性变换法不失为一种比较好的计算方法。

摘要：本文探讨了常系数非齐次线性微分方程组在系数矩阵具有互异特征值时的一种解法——线性变换法, 并与一般解法——常数变易法作了比较。

关键词：常系数非齐次线性微分方程组,特征值,特征向量,线性变换

参考文献

[1]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松.常微分方程 (第二版) [M].北京:高教出版社, 1983.

[2]丁同仁, 李承志.常微分方程教程 (第二版) [M].北京:高教出版社, 2004.

序列线性方程组篇3

首先, 我们介绍一些本文要用到的概念和表达式:

接下来我们介绍上述矩阵、线性方程组和向量组的关联:

一、线性方程组的表达方式

齐次线性方程组 (Ⅰ) 还有如下两种表示方式:

①以矩阵形式表示:Ax=0;

②以向量组形式表示:x1α1+x2α2+…+xnαn=0。

非齐次线性方程组 (Ⅱ) 还有如下两种表示方式:

①以矩阵形式表示:Ax=b;

②以向量组形式表示:x1α1+x2α2+…+xnαn=b。

所以从某种意义上说, 在线性代数这门课产生的最初, 矩阵和向量组是作为解线性方程组的工具被提出来的, 只是到后来这两者尤其是矩阵理论完全脱离开线性方程组而成为一门独立的学科理论体系。

二、线性方程组与矩阵的联系

线性方程组与矩阵有对应关系, 方程组有无解和矩阵的秩是密切相关的。

齐次线性方程组 (Ⅰ) 与其系数矩阵A一一对应:

齐次线性方程组 (Ⅰ) 有非零解圳方程组 (Ⅰ) 的非冗余方程的个数小于n圳秩 (A) <n;

齐次线性方程组 (Ⅰ) 只有零解圳方程组 (Ⅰ) 的非冗余方程的个数等于n圳秩 (A) =n。

非齐次线性方程组 (Ⅱ) 与其增广矩阵B一一对应:

非齐次线性方程组 (Ⅱ) 有解圳方程组 (Ⅱ) 中没有相互矛盾的方程的存在圳秩 (A) =秩 (B) 。

方程组 (Ⅰ) 和 (Ⅱ) 的求解分别最终转化为对矩阵A和B进行行初等变换将矩阵化为行最简型, 从而相当于对线性方程组进行了消元来得出其解。

三、向量组与方程组及矩阵

(一) 向量组的线性相关性

对于向量组{α1, α2, …, αn}的线性相关性, 我们可以得到下列等价性质:

①向量组{α1, α2, …, αn}线性相关;

②存在不全为零的k1, k2, …, kn, 使得k1α1+k2α2+…+knαn=0;

③齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=0有非零解;

④齐次线性方程组 (Ⅰ) 有非零解;

⑤秩 (A) <n.

同理可得, 如下各个条件等价

①向量组{α1, α2, …, αn}线性相关;

②若k1α1+k2α2+…+knαn=0, 则定有k1, k2, …, kn全为零;

③齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=0只有零解;

④齐次线性方程组 (Ⅰ) 只有零解;

⑤秩 (A) =n.

(二) 一个向量可否由向量组线性表示

对于向量组{α1, α2, …, αn}, 我们关心的是向量b是否可以由该向量组表示, 对这个问题的回答, 可以从矩阵和线性方程组的角度分析, 我们有如下各等价性质:

①向量b可以由向量组{α1, α2, …, αn}线性表示;

②存在系数k1, k2, …, kn, 使得k1α1+k2α2+…+knαn=b;

③非齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=b有解;

④非齐次线性方程组 (Ⅱ) 有解;

⑤系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩相等。

向量组{α1, α2, …, αn}的秩和矩阵A的秩虽然是以不同的方式给出的定义, 但最终可知这二者是相等的, 向量组{α1, α2, …, αn}的最大无关组的求解也转为对矩阵A进行行初等变换将其化为行最简型, 行最简型中各非零行的第一个非零元所在的列对应的向量组{α1, α2, …, αn}中的向量取出来作成的向量组就是向量组{α1, α2, …, αn}的最大无关组, 具体过程参考文献中有详细描述。

综上, 我么可以看出, 线性代数这门课的三条主线:矩阵、线性方程组和向量组彼此存在着千丝万缕的联系, 搞清这些联系, 可以使得这些抽象的概念和知识点更容易接受, 从而更加有助于这门课的讲授和学习。

参考文献

EXCEL快速解线性方程组篇4

关键词：线性方程组,求解,数组,矩阵,电子表格,函数

1线性方程组求解概况

线性方程组在工作、生活中经常用到, 求解的方法也是多种多样。无论是用加减消元还是利用行列式进行求解, 都涉及到大量的计算;当系数和常数项的数值位数较多时, 或者未知数个数较多时, 计算量成阶乘级增涨, 极易出错;而通过纸上演算求解线性方程组, 不仅时间花费多, 而且在提倡无纸化办公的今天, 就更显得不可取了;另外, 当线性方程组在系数或常数项稍有变化时, 计算过程将重新进行, 通过人工演算完成求解更是不合理了。

随着电子计算机的普及, 无论在办公桌上还是生产线旁, 无论是在家居商场室内还是野外山水间都能看到各种计算机, 这就为线性方程组求解提供了硬件保障。用计算机求解线性方程组, 能满足正确运算、时间花费和无纸化办公等要求, 然而, 虽然有专门的软件用来求解线性方程组, 但是并不是所有计算机都安装这类专门的软件, 况且这些软件的使用要通过专门的学习才能用起来。

2 EXCEL解线性方程组步骤

计算机中普遍安装的办公软件Microsoft Excel进行线性方程组的求解, 优点是:起点底、步骤少、速度快、可更改、通用好。下面将通过一个求解方程组的例题, 来介绍具体的操作。

例:求解线性方程组

操作步骤如下:

第一步, 准备工作, 打开空白Excel工作表, 将上面线性方程组中的原始数据, 见图1, 输入到A1:E4区域, 共4行5列。

第二步, 计算并求线性方程组解组, 为更好地示范, 可分为三个细小动作:

1) 确定解组的输出区域F1:F4, 从上到下共4格;操作动作为:单击单元格F1, 并拖动至F4, 此时F1:F4高亮显示, 如图1中F列;

3) 计算机计算并输出线性方程组的解组;操作为:同时按下三键:Ctrl+Shift+Enter。即得解组, 见图2。

说明:第二步的分解是为了更好地讲解操作, 是以初学电子表格者为起点, 其实质是一个动作:输出位置的选定并输入公式再让其运算。嵌套数组函数的输入如果记不住, 则在内置函数中查找:矩阵相乘函数 (MMULT) 、逆矩阵函数 (MINVERSE) , 是矩阵相乘函数内嵌套了逆矩阵函数;如果分开计算两个数组函数, 则要有一点矩阵知识, 操作步骤也要多一步。其它解法如克莱姆法则等, 操作步骤都会增加。操作要点:输出数组时, 要在调取函数前先选好正确的位置和所占用单元格, 不能后补;数组函数运算输出时, 必须三键同时按。

优点:起点低。只要知道线性方程组、操作过Excel电子表格者都能掌握;而一般计算机都装有这一软件。建议尽量使用鼠标拖动来选定区域, 数据与命令则用键盘;上面的计算步骤还可以录制。步骤少。只须二步就可完成计算;多元线性方程组都可以计算, 且操作时步骤一样多, 未知数个数增加时只是输入原始数据相应多一点及输出数据区域相应多选一点;当数据较多、拖动选取不方便时, 可以对区域命名, 运用时选取名称就行。速度快。上面例题中, 在 (三键同按) 命令按下瞬间, 输出列中解组就出现;对于更多元的线性方程组也只是稍一停顿。可更改。如果已经有了如图2的四元线性方程组解组, 那么当线性方程组中的某个或几个甚至全部数据 (即未知数的系数或常数项的数值) 发生变化时, 只须将相应的数据进行更改, 解组将随之变化给出解组。通用好。如果已经有了如图2的四元线性方程组解组, 那么对于二、三元的线性方程组也可用, 只需添加未知数凑足。

注意:数组输出要求高, 不能出现操作、输入错误;输出数据不可单独更改。逆矩阵函数 (MINVERSE) 和矩阵相乘函数 (MMULT) , 均为数组输出函数, 函数的嵌套输入对初学者来说容易出错;如果不作函数嵌套, 需要二次调用函数, 也要二次先选定输出区域, 最好要有一点矩阵知识。二种情况下不能用来解方程组:一是未知数个数与方程个数不一样时;二是逆矩阵不存在时, 即解组中出现时。这里仅介绍了二个数组函数, 在Microsoft Excel中有着诸多数组函数可供调用, 使用方法基本类同, 笔者谨作抛砖引玉, 以更好地利用计算机资源。

参考文献

序列线性方程组篇5

在经济应用数学线性代数的学习过程中, 要求学生掌握线性方程组的各种形式、解的情况的判断以及向量间线性关系的定义及定理.多数同学在学习的过程中往往忽略了对前后内容的归纳总结, 忽视了知识间的联系与统一.这样, 很容易使各部分知识相互脱节孤立, 造成学习上的困难.针对上述问题, 本文分析了经济应用数学线性代数教学中, 线性方程组的矩阵式、向量式及向量间的线性关系三者之间的内在联系, 希望与大家共同交流.

1.线性方程组的表示形式及解的情况

线性方程组一般由n个未知数, m个方程所组成, 记为

${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} ‚ \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} ‚ \\ \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{m n} = b_{m} . \end{cases} (1)$

这是最常见的一种形式.为了研究问题的需要, 又引入下面两种新的形式:

(1) 矩阵形式

线性方程组 (1) 中未知数的系数构成的矩阵, 称为系数矩阵, 记为

$\begin{array}{l} A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) ‚ 取 x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \dots \\ x_{n} \end{matrix}) ‚ b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\ b_{n} \end{matrix}) ‚ \\ (A b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ \dots \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix}) ‚ \end{array}$

则线性方程组 (1) 可由Ax=b来表示, 称Ax=b为此线性方程组的矩阵形式, 且将矩阵 (A b) 称为线性方程组 (1) 的增广矩阵.

若线性方程组 (1) 中的常数项全部为零, 即

${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0 ‚ \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0, \\ \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{m n} = 0 . \end{cases} (2)$

则称线性方程组 (2) 为齐次线性方程组, 其矩阵形式为Ax=0.

(2) 向量形式

将线性方程组 (1) 中未知数x1, x2, …, xn的系数和常数项分别抽取出来, 构成n+1个m维的列向量:

$α_{1} = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \dots \\ a_{m 1} \end{matrix}) ‚ α_{2} = (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \dots \\ a_{m 2} \end{matrix}) ‚ \dots ‚ α_{n} = (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ \dots \\ a_{m n} \end{matrix}) ‚ β = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\ b_{m} \end{matrix})$

则线性方程组 (1) 可由α1x1+α2x2+…+αnxn=β (3) 来表示, 称 (3) 为此线性方程组的向量形式.从而, 齐次线性方程组 (2) 的向量形式为α1x1+α2x2+…+αnxn=0.

(3) 线性方程组解的情况

非齐次线性方程组Ax=b解的情况:

有解

$\Leftrightarrow r (A) = r (A b) {\begin{cases} = n ‚ 唯一解, \\ < n ‚ 无穷解 . \end{cases}$

无解⇔r (A) ≠r (A b) .

齐次线性方程组Ax=0解的情况:

仅有零解⇔r (A) =n, 有非零解⇔r (A) <n.

2.向量间的线性关系

设向量

$β = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\ b_{m} \end{matrix})$

, 向量

$α_{j} = (\begin{matrix} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \dots \\ a_{m j} \end{matrix}) (j = 1, 2, \dots, n) .$

(1) 线性组合

对于给定向量β及向量组α1, α2, …, αn, 如果存在一组数k1, k2, …, kn, 使得k1α1+k2α2+…+knαn=β成立, 则称向量β是向量组α1, α2, …, αn的线性组合或称向量β可由向量组α1, α2, …, αn线性表示.

(2) 线性相关与线性无关

对于向量组α1, α2, …, αn, 如果存在一组不全为零的数k1, k2, …, kn, 使得k1α1+k2α2+…+knαn=0 (4) 成立, 则称向量组α1, α2, …, αn线性相关;如果当且仅当k1=k2=…=kn=0时 (4) 成立, 则称向量组α1, α2, …, αn线性无关.

3.线性方程组解的情况与向量间线性关系的统一

现在利用向量

$α_{j} = (\begin{matrix} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \dots \\ a_{m j} \end{matrix}) (j = 1, 2, \dots, n) ‚ β = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\ b_{m} \end{matrix})$

, 组成两个矩阵, 使α1, α2, …, αn, β成为这两个矩阵的列向量, 这两个矩阵分别是 (α1, α2, …, αn) 和 (α1, α2, …, αn, β) .

摘要：分析了经济应用数学线性代数教学中, 线性方程组的矩阵式、向量式及向量间的线性关系三者之间的内在联系, 对学生学习该部分的内容具有一定的指导意义.

关键词：线性代数教学,线性方程组,矩阵,向量

参考文献

[1]赵树嫄.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社, 2005.

非线性边界层流方程组对称篇6

关键词：边界层流方程组,对称,特征列集

1 引言

偏微分方程组 (简记为PDEs) 对称理论在数学物理的研究中扮演着非常重要的角色。PDEs对称有构造解析解、构造守恒律、分类方程等多种应用[1,2]。

考虑k阶PDEs

Δ:Δi (x, u, u (k) ) =0, i=1, 2…, m, (1)

这里x= (x1, x2, …, xp) , u= (u1, u2, …, up) , u (k) 表示u对x的所有阶偏导数集。

设 (1) 的对称群具有如下的无穷小向量场[2]

$X = \sum_{i = 1}^{p} ξ^{i} (x, u) \frac{\partial}{\partial x_{i}} + Σ_{i = 1}^{q} η^{i} (x, u) \frac{\partial}{\partial u_{i}} (2)$

要确定 (1) 的对称, 即确定对应无穷小向量X, 也就是要确定无穷小量ξi, ηi。

用X (k) 表示X的k阶延拓, 则由经典Lie对称理论[1,2]知, (2) 成为 (1) 的对称向量的充要条件是恒等式成立。

X (k) (Δi) |Δ=0=0 (3)

式 (3) 的右边可理解为零向量。恒等式 (3) 被称为PDEs (1) 的古典对称的无穷小方程, 在 (1) 的解集上成立。令 (3) 中各微分单项式的系数为零, 可得到关于ξi, ηi确定方程组 (简记为DEs) 。而DEs是一个规模较大“杂乱无章”的超定线性PDEs, 求解计算量非常大, 尤其对大型方程组这项工作的复杂性难以想象, 而且很容易出错。这是确定PDEs对称较难的原因之一。目前也有一些计算对称的算法及计算机代数程序包, 其中特征列集方法是一个有效的对称计算方法[3,4]。本文基于特征列集方法给出了非线性边界层流方程组的古典对称。

2 非线性边界层方程组对称我们考虑非线性边界层流方程组

这里u, v, w, θ为x, y, z, t的函数, g, a, b1, b2, y为常数。

为 (4) 所允许的对称群的无穷小向量场, 其中ξ, τ, η, α, β, ρ, λ和φ依赖于变量x, t, y, z, u, v, w, θ。为了确定 (4) 所允许的对称, 首先由 (3) 得到关于ξ, τ, η, α, β, ρ, λ和φ的确定方程组DPS=0, 这里

如果直接求解方程组DPS=0难度较大, 为此, 我们对 (5) 用特征列集算法及其可执行计算机代数程序包, 得到一个等价的系统, 即特征列集DCS:

求解方程组DCS=0比解DPS=0容易得多。容易解得

这样, 方程组 (4) 所允许的对称为

其中f (x, t, y) 为任意函数。

3 结论

大型非线性PDEs对称计算难度非常大。主要是因为确定方程组的规模越大, 其求解会涉及越多微分变量间的符号关系。由文中给出的例子可以看出, 解决对称计算问题, 特征列集方法非常有效。

参考文献

[1]P.J.Olver, Applications of Lie groups to Differential equations[M].New York:Springer一Verlag, 1986.

[2]G.W.Bluman, Sukeyuki Kumei.Symmetries and DifferentialEquations[M].Beijing:Springer-Velag, World PublishingCorp., 1991.

[3]Temuer Chaolu.An Algorithmic Theory of Reduction of DifferentialPolynomial System[J].Adv.Math., 2003, 32 (2) :208-220.

浅谈n元线性方程组的解法篇7

一、n元线性方程组相关定义

这里的m, n可以相等也可以不等, b1, b2, …, bm不全为零。

二、n元线性方程组解的判定

(一) 齐次线性方程组解的判定

1. 判定1 (系数行列式) ———克莱姆法则求解

当方程的个数与未知数个数相等时, 如果系数行列式D≠0, 则有零解 (如果系数行列式D=0, 则有非零解) 。

2. 解的判定2 (矩阵的秩) ——高斯消元法求解

注:齐次线性方程组一定有解

(二) 非齐次线性方程组解的判定

1. 解的判定1 (系数行列式) ———克莱姆法则求解

当方程的个数与未知数个数相等时, 如果系数行列式D≠0, 则方程有唯一解 (如果系数行列式D=0, 则方程组无解或无穷解) 。

2. 解的判定2 (矩阵的秩) ———高斯消元法求解

三、n元线性方程组的解法 (高斯消元法)

(一) 齐次线性方程组

步骤:1.判解2.求解1) 唯一解直接写出零解;2) 无穷解将阶梯形矩阵化为简化梯形阵--写出同解方程组———取自由变量———写通解

解1) 判解

所以R (A) =r=n=4

故方程组有唯一零解

2) 求解方程组有零解为x=y=z=w=0

解1) 判解

阶梯形矩阵

所以R (A) =2=r n=4

故方程组有无穷解

2) 求解

(二) 非齐次线性方程组

步骤:1.判解2.求解1) 唯一解将阶梯形矩阵化为简化梯形阵而得解;2) 无穷解将阶梯形矩阵化为简化梯形阵——写出同解方程组———取自由变量——写通解

解1) 判解

故方程组有唯一解

2) 求解

解:1) 判解

故方程组有无穷解

2) 求解

在这里, 由于篇幅的限制, 用克莱姆法则解n元线性方程组就不介绍了。值得注意是用逆矩阵也可解n元线性方程组。

总之, 高等数学中n元线性方程组求解的问题很复杂, 需要我们掌握多种求解方法, 在求解时要根据题目确定具体方法, 一般采用高斯消元法。只要我们多练习, 而且不断总结, 再复杂问题也可解决。

参考文献

[1]黄江等.高等数学.重庆大学出版社, 2009年8月.

【序列线性方程组】推荐阅读：

线性方程组12-29

n元线性方程组07-24

线性微分方程06-30

序列线性方程组

序列线性方程组篇1

序列线性方程组篇2

序列线性方程组篇3

EXCEL快速解线性方程组篇4

序列线性方程组篇5

非线性边界层流方程组对称篇6

浅谈n元线性方程组的解法篇7

本站热搜

相关推荐

序列线性方程组

序列线性方程组 篇1

序列线性方程组 篇2

序列线性方程组 篇3

EXCEL快速解线性方程组 篇4

序列线性方程组 篇5

非线性边界层流方程组对称 篇6

浅谈n元线性方程组的解法 篇7

本站热搜

相关推荐

序列线性方程组篇1

序列线性方程组篇2

序列线性方程组篇3

EXCEL快速解线性方程组篇4

序列线性方程组篇5

非线性边界层流方程组对称篇6

浅谈n元线性方程组的解法篇7