线性方程组的案例教学（精选7篇）
线性方程组的案例教学 篇1
线性代数是高等院校一门重要的基础数学课程, 具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性, 学好线性代数对培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力起着重要的作用.同时线性代数又是一门实用性很强的、工具性的数学课程, 它所介绍的矩阵运算方法、线性方程组解的理论、矩阵对角化理论与方法等广泛运用于工程技术、经济与管理等各个领域. 如何把线性代数严谨而抽象的理论内容与其广泛使用的工具性方法完美的结合, 使得学生一方面受到严格的理论熏陶, 体会严谨的数理逻辑的魅力, 同时又熟练掌握其主要的计算方法, 为后续的课程学习与科学研究打下数学基础, 一直是广大数学工作者与教育家不懈追求的目标.
传统的教学法比较偏重理论的系统性, 往往对线性代数在其他领域的应用重视不够; 现行教材多重理论, 轻应用, 重公式推导, 轻数值计算, 教材大多忽略了概念, 原理和模型的实际意义. 往往学生学完线性代数这门课程后, 只会套用解题, 即“算数学”, 并不知道线性代数在哪些领域应用, 如何应用, 即“用数学”. 导致学生学习目的不明确, 为了应付考试而学习, 这不利于激发学生学习兴趣, 不利于培养学生创新能力和实践能力.
线性方程组是线性代数的核心, 行列式、矩阵、向量空间等都是为研究线性方程组创造的工具. 线性方程组广泛的应用于商业、经济学、社会学、生态学、人口统计学、遗传学、电子学、工程学以及物理学等领域, 大量实际问题都可以转换成线性方程组求解问题.
根据线性方程组的解的理论, 通常可用克莱默法则; 矩阵的逆以及更一般的将增广矩阵进行初等行变换的方法 ( 即高斯消元法) 求解. 本文将通过这几个方面给出线性方程组课堂教学的几个典型应用案例.
一、利用克莱默法则求解的应用案例案例1 “鸡兔同笼”问题
案例1“鸡兔同笼”问题
这是我国古代著名趣题之一, 记载于《孙子算经》之中.
问题设有若干只鸡和兔子, 它们共有88 个头, 244 只脚, 问鸡和兔各有多少只?
解设鸡和兔子各有x, y只,
案例2 在空间解析几何中的应用问题[1]
在解析几何中, 我们知道: 平面中建立了坐标系后, 一个二元一次方程就表示平面上的一条直线. 空间中建立了一个坐标系后, 三元一次方程表示一个平面. 因此线性方程组的理论在解析几何中有着重要的应用.
问题求通过空间不在同一直线上三点A ( x1, y1, z1) , B ( x2, y2, z2) , C ( x3, y3, z3) 的平面方程.
解设所求平面的方程为:
将上述三点坐标代入方程, 并和 ( 1) 合并得方程组:
( 2) 这是一个关于a, b, c, d的齐次线性方程组, 由于a, b, c, d不全为零, 即
方程组 ( 2) 有非零解, 故
( 3) 这就是通过空间不在同一直线上三点A ( x1, y1, z1) , B ( x2, y2, z2) , C ( x3, y3, z3) 的平面方程.
二、利用矩阵的逆求解的应用案例
案例3减肥食谱问题[2]
这是一种在20 世纪80 年代很流行的食谱, 是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过八年对过度肥胖病人的临床研究, 在剑桥完成的, 称为剑桥食谱. 这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生物、矿物质、微量元素和电解质. 近年来, 数百万人应用这一食谱实现了快速和有效的减肥.
设三种食物脱脂牛奶、大豆粉和乳清每100 克中蛋白质、碳水化合和脂肪的含量如下表.
问题如果用这三种食物作为每天的主要食物, 它们的用量应各取多少, 才能全面准确地实现这个营养要求?
解设x, y, z分别表示这些实物的数量 ( 以100 克为单位) , 则它们的组合所具有的营养应达到减肥所要求的每日营养量, 故
将对应的方程组的增广矩阵进行初等行变换得:
这样就能保证所需的综合营养量.
案例4生产总值问题[1]
一个城市有三个重要的企业: 一个煤矿, 一个发电厂和一条地方铁路. 开采一元钱的煤, 煤矿必须支付0. 25 元的电费来驱动它的设备和照明, 还需支付0. 25 元的运输费.而生产一元钱的电力, 发电厂需支付0. 65 元的煤作燃料, 自己亦需支付0. 05 元的电费来驱动辅助设备及支付0. 05元的运输费. 而提供一元钱的运输费, 铁路需支付0. 55 元的煤作燃料, 0. 10 元的电费驱动它的辅助设备. 某个星期内, 煤矿从外面接到50000 元钱煤的订货, 发电厂从外面接到25000 元电力的订货, 外界对地方铁路没有要求. 问这三个企业在那一个星期内生产总值多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求?
解对于一个星期的周期
x1表示煤矿的总产值; x2表示电厂的总产值; x3表示铁路的总产值.
根据题意, 得
则上式写为: X - CX = d即 ( I - C) X = d,
因为系数矩阵行列式I - C = 0. 62875≠0, 根据克莱默法则, 此方程组有唯一解, 其解为:
得煤矿总产值为102087 元, 发电厂总产值为56163 元, 铁路总产值为28330 元.
这是宏观经济学中投入—产出模型中的开式模型. 投入—产出模型是哈佛大学教授瓦西里·列昂惕夫 ( Wassily Leontief, 1906 - 1999) 于1949 年夏末提出的. 并由此诞生了研究宏观经济学的投入- 产出法, 它是列昂惕夫的杰出创作, 编制投入- 产出表、建立相应的线性代数方程体系, 就能综合分析和确定国民经济各部门之间错综复杂的联系, 分析重要的宏观经济比例关系及产业结构等基本问题. 总之, 投入- 产出模型就是用数学形式体现投入产出表所反映的经济内容的线性代数方程组. 列昂惕夫由于从事“投入产出分析”, 于1973 年获得第五届诺贝尔经济学奖, 他的一生研究是数学在经济领域里应用的最好典范.
三、利用高斯消元法求解的应用案例
案例5百鸡问题
该问题记载于我国古代算书《张邱建算经》中. 百鸡问题是中国古代解一次不定方程的整数解一种方法, 导致三元不定方程组, 其重要之处在于开创“一问多答”的先例, 这是过去中国古算书中所没有的.
问题: 今有鸡翁一, 值钱伍; 鸡母一, 值钱三; 鸡刍鸟三, 值钱一. 凡百钱买鸡百只, 问鸡翁、母、刍鸟各几何? 答曰: 鸡翁四, 值钱二十; 鸡母十八, 值钱五十四; 鸡刍鸟七十八, 值钱二十六. 又答: 鸡翁八, 值钱四十; 鸡母十一, 值钱三十三, 鸡刍鸟八十一, 值钱二十七. 又答: 鸡翁十二, 值钱六十; 鸡母四, 值钱十二; 鸡刍鸟八十四, 值钱二十八.
解设公鸡、母鸡、小鸡分别为x, y, z只, 由题意得:
可求得符合题意的四组不同的整数解:
如果不考虑问题的实际背景, 由于这个三元一次方程组中有两个方程、三个未知数, 那么它有无穷多组解.
案例6 交通流量问题[3]
某城市有两组单行道, 构成了一个包含四个节点ABCD的十字路口, 如图1, 在每个进出口都记录有单位时间内进出该路段的流量 ( 每小时的车流数) . 试问每两个节点之间路段上的交通流量是多少?
解决此问题可假设: 每两个节点之间路段上的交通流量为:
D→A: x1, A→B: x2, B→C: x3, C→D: x4.
且假设针对每个节点, 进入和离开的车流数相等, 则由已知条件可建立四个节点的流通线性方程组:
上面线性方程组有无穷多个解:
此时方程组有无穷多组解, 表明: 如果有一些车围绕十字路D→A→B→C绕行, 流量x1, x2, x3, x4都会增加, 但并不影响出入十字路口的流量, 仍然满足方程组.
案例7 化学方程式配平问题[2]
化学方程式描述了化学反应的物质消耗和生产的数量. 例如, 当丙烷气体燃烧时, 丙烷 ( C3H8) 与氧 ( O2) 结合生成二氧化碳 ( CO2) 和水 ( H2O) , 按照如下形式的一个方程式:
为了“配平”这个方程式, 需要适当的选择其中的x1, x2, x3, x4, 使得方程式两边的碳、氢和氧原子的数量分别相等 ( 因为在化学反应中原子既不会被破坏, 也不会被创造) .
配平化学方程式的一个系统方法是建立描述一个化学反应中每一种类型的原子的数目的一个向量方程. 由于方程式包含三种类型的原子 ( 碳、氢、氧) , 给上式的每一种反应物和生成物构造一个属于R3的向量, 列出每个分子的组成原子的数目如下:
要配平方程式, x1, x2, x3, x4的系数必须满足:
将右边项移到等式左边 ( 修改第三和第四个向量的符号) 得到:
将方程组的增广矩阵进行初等行变换得到通解:
因为化学方程式的系数应为整数, 取x4= 4, 则x1= 1, x2= 5, x3= 3, 配平的方程式为:
如果方程式中的每个系数乘两倍的话, 该方程式也是配平的. 然而在一般情况下, 人们更倾向于使用全体系数尽可能小的数来配平方程式.
总之, 线性方程组的应用非常广泛, 小到“鸡兔同笼”问题, 大到国民经济“投入产出”问题, 从“减肥食谱”问题到“化学方程式配平”问题等等. 教师在讲授线性方程组理论时, 可从实际问题出发, 通过对实际问题的分析引入线性方程组, 再从解决实际问题的需要, 运用矩阵相关理论, 可使用数学软件解决实际问题. 这样, 一方面能让学生认识到学习线性方程组理论的重要性和必要性, 另一方面能让学生了解运用数学知识解决实际问题的基本过程, 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力. 当他们了解到现实中许许多多实际问题与复杂线性方程组的联系时, 就能认识到学习线性代数的必要性.
摘要：线性方程组是线性代数的核心, 但是传统的教学法重理论、轻应用, 不利于激发学生学习兴趣.本文从求解线性方程组的不同方法入手介绍线性方程组课堂教学的几个典型应用案例, 培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力.
关键词：线性方程组,克莱默法则,矩阵的逆,高斯消元法
参考文献
[1]归行茂, 曹冬孙, 李重华.线性代数的应用[M].上海:上海科学普及出版社, 1994.
[2]David C.Lay.线性代数及其应用[M].刘深泉等译.北京:机械工业出版社, 2005.
[3]白梅花.线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯, 2011 (27) 200.
[4]曹铁川等.应用线性代数[M].大连理工大学出版社, 2011.
[5]李尚志.从问题出发引入线性代数概念[J].高等数学研究, 2008 (9) 6-15.
[6]李尚志.线性代数精彩应用案例 (之一) [J].大学数学, 2006, 22 (3) 1-8.
线性方程组解的结构的分类教学 篇2
一、关于n 个未知数n 个方程的线性方程组 ( 未知量个数与方程个数相等)
二、关于 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 ( 未知量个数与方程个数不等)
在求解线性方程组时大量遇到: 方程的个数与未知数的个数不相等, 或虽方程的个数与未知数的个数相等, 但系数行列式却等于零, 这就是要讨论更一般的线性方程组. 讨论主要解决以下三个问题: ( 1) 如何判别线性方程组是否有解; ( 2) 解是否唯一; ( 3) 解的结构及如何求解.
分类讲解就是在此情况下分别研究齐次和非齐次线性方程组解的结构, 尤其是非齐次线性方程组与其导出组的解之间的关系.
1. 齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组 ( 1.4) 的矩阵形式为
AX = O, 其中, A = [aij ] m×n, X =( x1, x2, …, x n)T, O = (0, 0, …, 0) T, 系数矩阵、增广矩阵的秩分别为r ( A) , r ( A 0) .
由于r ( A 0) ≡r ( A) , 因此齐次方程组恒有解.
当r ( A) =n时, 方程组 ( 1.4) 只有零解;
当r ( A)
( 1) 若X1, X2是 ( 1. 4) 的解, 则X1+ X2也是 ( 1. 4) 的解.
( 2) 若X1是 ( 1. 4) 的解, 则c∈R, cX1也是 ( 1. 4) 的解.
( 3) 若X1, X2, …, Xm均是 ( 1. 4) 的解, 则其线性组合k1X1+ k2X2+ … + kmXm也是 ( 1. 4) 的解, ki是任意的常数 ( i =1, 2, …, m) .
由此可知, 若方程组 ( 1. 4) 有非零解, 则一定有无穷多个解. 这些解就构成一个解向量组, 如果能求出这个向量组的一个极大无关组 ( 基础解析) , 则齐次线性方程组的全部解可由这个极大无关组线性表示, 可见解齐次线性方程组的关键在于求解向量组的基础解析.
如何求基础解析并表示出全部解呢? 有如下定理, 定理的证明过程也就是求齐次线性方程组的基础解析及全部解的一般方法.
定理: 如果齐次线性方程组有非零解, 则它一定有基础解析, 并且基础解析所含的解向量的个数等于n - r, 其中r= r ( A) , n是未知量的个数.
证设r ( A) =r, 并不妨设左上角的r阶子式不等于零 ( 因为总可以通过对换方程的位置及未知量重新编号得到所设) , 经过初等行变换, 系数矩阵A的行简化梯矩阵为
2. 非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组的一般形式为 ( 1. 2) , 矩阵形式为AX = b ( 1. 3) , 其中, 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩, 即r ( A) = r ( A b) . 当r ( A b) = n时, ( 1. 2) 有唯一解; 当r ( A b) < n时, ( 1. 2) 有无穷多个解.
若b =0得到齐次线性方程组AX =O ( 1.4) 称为非齐次线性方程组AX =b的导出组.
非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间有着密切的关系: 非齐次线性方程组 ( 1.2) 的任一个解X都可表示成
其中X*是非齐次线性方程组 ( 1.2) 的一个解 ( 常称为 ( 1.2) 的特解) , X0是 ( 1.2) 的导出组 ( 1.4) 的一个解.
由于 ( 1.2) 的任一个解都能表示成 ( 1.8) 的形式, 因此, 当X0取遍导出组 ( 1.4) 的全部解时, ( 1.8) 就取遍了 ( 1.2) 的全部解, 即通解.
由此可知, 若非齐次线性方程组有解, 只要求出它的一个特解X*及其导出组的基础解析X1, X2, …, Xn - r, 则其全部解 ( 通解) 为:
其中C1, C2, …, Cn - r为任意常数, n为未知量的个数, r为系数矩阵的秩.
三、总 结
解线性方程组要根据方程组中所含方程的个数与未知量的个数是否相同进行分类考虑:
( 1) 若个数相同且系数行列式不为零, 则有唯一解, 用克拉默法则求解;
( 2) 若个数相同但系数行列式为零或个数不同, 首先要考虑是否有解;
( 3) 若r ( A b) = r ( A) , 则方程组一定有解, 由于齐次方程组 ( 1.4) 中一定有r ( Ab) = r ( A) , 所以 ( 1.4) 总是有解的, r ( A b) ≠r ( A) , 则方程组无解;
( 4) 若r ( A b) =r ( A) = n, 方程组有唯一解, ( 1.4) 有唯一的零解;
( 5) 若r ( Ab) = r ( A) < n, 方程组有无穷多个解, ( 1.4) 有无穷多个非零解, ( 1. 4) 中当m < n或当m = n且detA = 0, 必有r ( A b) = r ( A) < n;
( 6) 若非齐次方程组有无穷多个解, 求解的关键是求出其导出组齐次方程组的基础解析, 从而才能表示出非齐次方程组的通解.
摘要：线性代数中线性方程组解的结构分类进行教学, 有助于学生系统掌握线性方程组的理论和求解方法, 能明确思路, 引导学生自主探索和对所学知识的深化总结.
关键词：线性方程组,解的结构,分类教学
参考文献
[1]姚孟臣.高等数学 (二) (线性代数、概率统计) (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2008.
[2]张良云.线性代数 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.
关于二阶微分线性方程的教学 篇3
其中p (x) , q (x) 均为已知函数.
函数y=y0称为方程 (1) 的解, 如果它使得下式成立
1 解的存在性
引理1在区间[a, b]上, 如果方程 (1) 中函数p (x) 连续可导, 而函数q (x) 连续, 则该方程存在解.
证作函数
设区域
其中d是正的常数.则在区域D内, 有
可见函数f (x, u) 满足Lipschitz条件, 于是由常一阶微分方程解的存在性定理知, 方程
存在连续可微解u=u (x) .令
则由上式得
再令r2 (x) =p (x) -r1 (x) , 则有
现在作如下两个方程
由引理1知, 它们均存在解, 设它们的解依次为y1=y1 (x) , y=y (x) 则得
所以这个y=y (x) 也是方程 (1) 的解, 证毕现在考察非齐次二阶微分线性方程, y"+p (x) y'+q (x) y=f (x) , (2)
其中中p (x) , q (x) 均为已知函数, f (x) 是非零连续函数。
方程 (1) 也称为方程 (2) 所对应的齐次线性方程。
函数y=y0 (x) 称为方程 (2) 的解, 如果它使得下式成立
定理1如果齐次二阶微分线性方程 (1) 存在两个线性无关的解
则非齐次二阶微分线性方程 (2) 的通解可以写为
其中C1, C2均为常数, 不定积分上标x表示积分结果中的自变数s换为x.
证将表达式为式 (3) 的函数y代入方程 (2) 验证, 可知其为解;而方程 (2) 的任何两个解之差是方程 (1) 的解, 所以表达式为式 (3) 的函数y是方程 (2) 的通解, 证毕
下面介绍通解表达式 (3) 的求得方法, 用常数变易法, 由条件, 得方程 (1) 的通解为
其中c1, c2均为常数, 设方程 (2) 的解为
其中c1 (x) , c2 (x) 均为待定函数, 为了便于计算, 令
则
用以上四个等式, 得
从而得
于是, 由式 (5) 与上式解得
将上面两式积分, 得
将这两式代入式 (4) , 整理即可得式 (3) .
参考文献
[1]S.G.Mikhlin.Linear Equations of Mathematical Physics[M].Holt, Rinehart and Winston, NewYork, 1967:12
[2]I.Stakgold.Boundary Value Problems of Mathematical Physics[M].Macmillan, New York, 1967:123
[3]U.E.Boyce, R.C.Diprima, Elementary Differential Equations andBoundary Value Problems[M].John Wiley&Sons, inc.1986:32
[4]U.T.Myin, L.Debnarh.Partial Differential Equations for Scientistsfor Engineers (Third edition) [M].Prentice Hall, Englewood, Nj, 1987:24
线性方程组的案例教学 篇4
考虑常系数非齐次线性微分方程组:x′=Ax+f (t) , 其中A是n×n常数矩阵, f (t) 是连续的n维列向量函数。
在现行的常微分方程教材中对于常系数非齐次线性微分方程组的求解采用的几乎都是由常数变易法得到的常数变易公式:x (t) =准 (t) c+准 (t) 蘩准-1 (t) f (t) dt。[1,2]此公式是求解该类问题的基本公式, 具有普遍性意义。然而此公式在系数矩阵的阶数较高时, 基解矩阵的求解并不容易, 最后的积分计算量也比较大。本文对于一类系数矩阵具有互异特征值的常系数非齐次线性微分方程组给出了一种计算量相对较小的方法———线性变换法。
二、线性变换法应用
引理1[3]:矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关。
引理2[3]:矩阵A可化为对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
定理:设常系数非齐次线性微分方程组x′=Ax+f (t) 的系数矩阵A具有n个不同特征值λ1, λ2, …, λn, 对应的特征向量为α1, α2, …, αn, 令P= (α1, α2, …, αn) , g (t) = (g1 (t) , g2 (t) , …, gn (t) ) T=P-1f (t) , 则方程组x′=Ax+f (t) 的通解为:
证:由已知系数矩阵A具有n个不同特征值λ1, λ2…λn, 对应的特征向量为α1, α2, …, αn, 根据引理1和引理2, 系数矩阵A可化为对角矩阵:
作线性变换x=Py, 则方程组转化为:y′=Qy+g (t) , 其中g (t) =P-1f (t) 。
又设y= (y1, y2, …, yn) T, 则方程组又可化为:y′i=λiyi+gi (t) , (i=1, 2, …, n) 。
求解上述一阶微分方程得:yi (t) =eλ1t[蘩g1 (t) e-λ1tdt+c1] (i=1, 2, …, n) 。
再利用线性变换x=Py, 即可求得原方程组的解:
将方程组化为两个方程:
解之得:
再代入x=Py, 最后求得方程组的解为:
我们再用常数变易法来计算得特征值:λ1=5, λ2=-1。对应的特征向量:α1= (1, 2) T, α2= (1, -1) T。
利用常数变易公式, 得:
三、结语
两种方法比较来看, 殊途同归, 但从-1 (t) 的求解及最后的积分计算来看, 常数变易法的计算量明显大得多, 并且随着系数矩阵A的阶数的增加, 相应的计算量也会更大。因此, 笔者提出的线性变换法不失为一种比较好的计算方法。
摘要：本文探讨了常系数非齐次线性微分方程组在系数矩阵具有互异特征值时的一种解法——线性变换法, 并与一般解法——常数变易法作了比较。
关键词：常系数非齐次线性微分方程组,特征值,特征向量,线性变换
参考文献
[1]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松.常微分方程 (第二版) [M].北京:高教出版社, 1983.
[2]丁同仁, 李承志.常微分方程教程 (第二版) [M].北京:高教出版社, 2004.
线性方程组的案例教学 篇5
在经济应用数学线性代数的学习过程中, 要求学生掌握线性方程组的各种形式、解的情况的判断以及向量间线性关系的定义及定理.多数同学在学习的过程中往往忽略了对前后内容的归纳总结, 忽视了知识间的联系与统一.这样, 很容易使各部分知识相互脱节孤立, 造成学习上的困难.针对上述问题, 本文分析了经济应用数学线性代数教学中, 线性方程组的矩阵式、向量式及向量间的线性关系三者之间的内在联系, 希望与大家共同交流.
1.线性方程组的表示形式及解的情况
线性方程组一般由n个未知数, m个方程所组成, 记为
这是最常见的一种形式.为了研究问题的需要, 又引入下面两种新的形式:
(1) 矩阵形式
线性方程组 (1) 中未知数的系数构成的矩阵, 称为系数矩阵, 记为
则线性方程组 (1) 可由Ax=b来表示, 称Ax=b为此线性方程组的矩阵形式, 且将矩阵 (A b) 称为线性方程组 (1) 的增广矩阵.
若线性方程组 (1) 中的常数项全部为零, 即
则称线性方程组 (2) 为齐次线性方程组, 其矩阵形式为Ax=0.
(2) 向量形式
将线性方程组 (1) 中未知数x1, x2, …, xn的系数和常数项分别抽取出来, 构成n+1个m维的列向量:
,
则线性方程组 (1) 可由α1x1+α2x2+…+αnxn=β (3) 来表示, 称 (3) 为此线性方程组的向量形式.从而, 齐次线性方程组 (2) 的向量形式为α1x1+α2x2+…+αnxn=0.
(3) 线性方程组解的情况
非齐次线性方程组Ax=b解的情况:
有解
无解⇔r (A) ≠r (A b) .
齐次线性方程组Ax=0解的情况:
仅有零解⇔r (A) =n, 有非零解⇔r (A) <n.
2.向量间的线性关系
设向量
, 向量
(1) 线性组合
对于给定向量β及向量组α1, α2, …, αn, 如果存在一组数k1, k2, …, kn, 使得k1α1+k2α2+…+knαn=β成立, 则称向量β是向量组α1, α2, …, αn的线性组合或称向量β可由向量组α1, α2, …, αn线性表示.
(2) 线性相关与线性无关
对于向量组α1, α2, …, αn, 如果存在一组不全为零的数k1, k2, …, kn, 使得k1α1+k2α2+…+knαn=0 (4) 成立, 则称向量组α1, α2, …, αn线性相关;如果当且仅当k1=k2=…=kn=0时 (4) 成立, 则称向量组α1, α2, …, αn线性无关.
3.线性方程组解的情况与向量间线性关系的统一
现在利用向量
, 组成两个矩阵, 使α1, α2, …, αn, β成为这两个矩阵的列向量, 这两个矩阵分别是 (α1, α2, …, αn) 和 (α1, α2, …, αn, β) .
摘要：分析了经济应用数学线性代数教学中, 线性方程组的矩阵式、向量式及向量间的线性关系三者之间的内在联系, 对学生学习该部分的内容具有一定的指导意义.
关键词：线性代数教学,线性方程组,矩阵,向量
参考文献
[1]赵树嫄.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社, 2005.
浅谈n元线性方程组的解法 篇6
一、n元线性方程组相关定义
这里的m, n可以相等也可以不等, b1, b2, …, bm不全为零。
二、n元线性方程组解的判定
(一) 齐次线性方程组解的判定
1. 判定1 (系数行列式) ———克莱姆法则求解
当方程的个数与未知数个数相等时, 如果系数行列式D≠0, 则有零解 (如果系数行列式D=0, 则有非零解) 。
2. 解的判定2 (矩阵的秩) ——高斯消元法求解
注:齐次线性方程组一定有解
(二) 非齐次线性方程组解的判定
1. 解的判定1 (系数行列式) ———克莱姆法则求解
当方程的个数与未知数个数相等时, 如果系数行列式D≠0, 则方程有唯一解 (如果系数行列式D=0, 则方程组无解或无穷解) 。
2. 解的判定2 (矩阵的秩) ———高斯消元法求解
三、n元线性方程组的解法 (高斯消元法)
(一) 齐次线性方程组
步骤:1.判解2.求解1) 唯一解直接写出零解;2) 无穷解将阶梯形矩阵化为简化梯形阵--写出同解方程组———取自由变量———写通解
解1) 判解
所以R (A) =r=n=4
故方程组有唯一零解
2) 求解方程组有零解为x=y=z=w=0
解1) 判解
阶梯形矩阵
所以R (A) =2=r n=4
故方程组有无穷解
2) 求解
(二) 非齐次线性方程组
步骤:1.判解2.求解1) 唯一解将阶梯形矩阵化为简化梯形阵而得解;2) 无穷解将阶梯形矩阵化为简化梯形阵——写出同解方程组———取自由变量——写通解
解1) 判解
故方程组有唯一解
2) 求解
解:1) 判解
故方程组有无穷解
2) 求解
在这里, 由于篇幅的限制, 用克莱姆法则解n元线性方程组就不介绍了。值得注意是用逆矩阵也可解n元线性方程组。
总之, 高等数学中n元线性方程组求解的问题很复杂, 需要我们掌握多种求解方法, 在求解时要根据题目确定具体方法, 一般采用高斯消元法。只要我们多练习, 而且不断总结, 再复杂问题也可解决。
参考文献
[1]黄江等.高等数学.重庆大学出版社, 2009年8月.
一类非线性矩阵方程组性质的研究 篇7
本文主要研究非线性矩阵方程组
其中A, B为非奇异矩阵, Q为Hermite正定阵.讨论方程组的Hermite正定解的最大最小特征值与系数矩阵的特征值之间的关系, 给出解的存在范围, 并得到方程组存在Hermite正定解的充要条件。
1主要结果
定理1若λ-, λ+分别为方程组 (1) Hermite正定解X的最小特征值和最大特征值, ?-, ?+分别为方程组 (1) Hermite正定解Y的最小特征值和最大特征值, θ-, θ+分别为Q的最小特征值和最大特征值, η, ξ分别为A, B的特征值.那么,
证明:假设v为矩阵A对应于特征值浊的特征向量, 且||v||=1, 棕为矩阵B对应于特征值孜的特征向量, 且 。
定理2若方程组 (1) 存在Hermite正定解, 那么
证明:因为 (X, Y) 是方程组的Hermite正定解, 所以
所以X>Q, Y>Q。
由Y>Q可知A*Y-nA
那么X=Q+A*Y-nA
因此Q
同理可证Q
定理3方程组 (1) 存在Hermite正定解当且仅当矩阵A, B满足A=蓸P*P蔀n/2N, B=蓸R*R蔀m/2M。其中P, R为非奇异矩阵且满足R*R-N*N=Q, P*P-M*M=Q此时方程组的解为 (R*R, P*P) 。
证明:若方程组 (1) 存在正定解 (X, Y) , 令X=R*R, Y=P*P, 其中R, P为非奇异矩阵。那么方程组可写为
若A, B满足A= (P*P) n/2N, B= (R*R) m/2M, 且R*R-N*N=Q, P*P-M*M=Q
令X=R*R, Y=P*P。那么X, Y正定且为Hermite阵。此时
由此, 方程组 (1) 的Hermite正定解可记为 (R*R, P*P) 。
摘要：讨论了方程组X-A*Y-nA=QY-B*X-mB=Q嗓Hermit正定解的性质及存在条件.
关键词：非线性矩阵方程组,Hermit正定解
参考文献
[1]Asmaa M.Al-Dubiban.Iterative Algorithmfor Solvinga Systemof Nonlinear Matrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics, 2012, 2012:1-15.
[2]高东杰.矩阵方程X=Q+A*X-qA (0<q<1) 的Hermite正定解[J].信息系统工程, 2010 (11) :134-135.
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