非线性微分方程求解

2024-11-14

非线性微分方程求解（共12篇）

非线性微分方程求解篇1

摘要：近几十年来, 随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善, 各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视.特别是在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题, 归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解.所以无论在理论研究方面, 还是在实际应用中, 非线性方程的求解都占有非常重要的地位.本文所提出的主要基于MATLAB程序设计教程, 介绍了非线性代数方程和非线性微分方程求解的几种方法.

关键词：非线性微分,符号方程,积分因子,ode23

一、非线性方程求解的作用

非线性方程组的求解乃是非线性科学的核心;很多来自工程、机械、科学研究等的实际问题最终都化为求解一个非线性方程组;而非线性方程组的求解, 是一个至今没有彻底解决的数学问题;特别地, 来自工程、机械等的几何约束问题, 最终都将产生一个非线性方程组, 且该方程组中方程和未知量的个数都非常多, 且往往其中的未知量的次数还非常高.因此, 解决这些几何约束问题极其困难.

二、微分方程

微分方程指含有一次、二次乃至高次微分未知数的方程, 是解决偏微分方程、数理方程的基础.微分方程的表达通式是∫ $(x, \frac{d^{n} y}{d x^{n}}, \frac{d^{(n - 1)} y}{d x^{(n - 1)}}, \dots, \frac{d y}{d x}, y) = 0 .$

三、微分方程的线性化

大部分非线性微分方程, 都不能得出通解.但是, 可以对其在一定范围之内进行线性化求出近似解.例如, $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \sin y = 3 x$ .在y→0的情况下, siny≈y, 我们得到近似线性微分方程 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = 3 x$ , 它是可解的.

有许多函数都是为了无法得出多项函数或超越函数形式的解析解的微分方程而定义出来.这些特殊函数之所以重要, 是因为它们描述了自然界中的某些现象, 例如, 电子的活动、鼓皮的振动、钟摆的摆动, 等等.

四、常微分方程初值问题的数值解法

考虑常微分方程的初值问题y′=f (t, y) , y0≤t≤T, y (t0) =y0.

所谓其数值解法就是求它的解y (t) 在节点t0<t1<…<tm处的近似值y0, y1, …, ym的方法.所求的y0, y1, …, ym的方法.所以求得的y0, y1, …, ym称为常微分方程初值问题的数值解.一般采用等距节点tn=t0+nh (n=0, 1, …, m) , 其中h为相邻两个节点间的距离, 叫做步长.

常微分方程初值问题的数值解法多种多样, 比较常用的有欧拉 (Euler) 法、龙格—库塔 (Runge-Kutta) 法、线性多步法、预报校正法等.

五、龙格—库塔 (Runge-Kutta) 法

对于一阶常微分方程的初值问题, 在求解未知函数y时, y在t0点的值y (t0) =y0是已知的, 并根据高等数学中的中值定理, 应有y (t0+h) y1≈y0+hf (t0, y0) , h>0, 称为步长, y (t0+2h) =y2≈y1+hf (t1, y1) .一般地, 在任何点ti=t0+ih, 有y (t0+ih) =yi≈yi-1+hf (ti-1, yi-1) (i=1, 2, …, n) .

当 (t0, y0) 确定后, 根据上述递推式能计算出未知函数y在点ti=t0+ih (i=0, 1, …, n) 的一例数值解yi=y0, y1, y2, …, yn, (i=0, 1, …, n) .

当然, 递推过程中有一个误差累计的问题.在实际计算过程中, 使用的递推公式一般进行改造, 著名的龙格—库塔公式是 $y (t_{0} + i h) = y_{i} \approx y_{i - 1} + \frac{h}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}) .$

$\begin{array}{l} 其中 ‚ k_{1} = f (t_{i - 1}, y_{i - 1}) ‚ k_{2} = f (t_{i - 1} + \frac{h}{2}, y_{i - 1} + \frac{h}{2} k_{1}) ‚ \\ k_{3} = f (t_{i - 1} + \frac{h}{2}, y_{i - 1} + \frac{h}{2} k_{2}) ‚ k_{4} = f (t_{i - 1} + h, y_{i - 1} + h k_{3}) . \end{array}$

六、龙格—库塔法的实现

基于龙格—库塔法, MATLAB提供了求常微分方程值解的函数, 一般调用格式为:

[t, y]=ode23 (‘name’, tespan, y0) ,

[t, y]=ode45 (‘name’, tespan, y0) .

其中, fname是定义f (t, y) 的函数文件名, 该函数文件必须返回一个列向量.Tespan形式为[t0, tf], 表示求解区间.y0是初始状态列向量.t和y分别给出时间向量和相应的状态向量.

这两个函数分别采用了二阶、三阶龙格—库塔法和四阶、五阶龙格—库塔法, 并采用自适应变步长的求解方法, 即当解的变化较慢时采用较大的步长, 从而使得计算速度很快, 当解的变化较快时步长会自动变小, 从而使得计算精度很高.

七、符号常微分方程求解

在MATLAB中, 用大写字母D表示导数.例如, Dy表示y′, D2y表示y″, Dy (0) =5表示y′ (0) =5.D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y″+y′-x+5=0.符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现, 其调用格式为:

dsolve (e, c, v) .

该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解.参数v描述方程中的自变量, 省略时按缺省原则处理, 若没有给出初值条件c, 则求方程的通解.

dsolve在求常微分方程组时的调用格式为:

dsolve (e1, e2, …, en, c1, …, cn, v1, …, vn) .

该函数求解常微分方程组e1, …, en在初值条件下c1, …, cn下的特解, 若不给出初值条件, 则求方程组的通解, v1, …, cn给出求解变量.

八、积分因子解非线性微分方程的一般应用

积分影子也可以用来解非线性微分方程.例如, 考虑以下的非线性二阶微分方程: $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = A y^{\frac{2}{3}} .$

可以看到, $\frac{d y}{d t}$ 是一个积分因子: $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \cdot \frac{d y}{d t} = A y^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{d y}{d t} .$

利用复合函数求导法则, 可得

参考文献

[1]刘卫国.MATLAB程序设计教程.北京:中国水利水电出版社.

[2]何汉林, 梅家斌.数值分析.北京:科学出版社.

[3]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松.常微分方程 (第三版) .北京:高等教育出版社.

[4]吉米.威尔士.维基百科.

非线性微分方程求解篇2

摘要：高职院校《高等数学》中的常微分方程既是学生感到比较困难，又是应用比较广泛的十分重要的内容.为了解决这一矛盾，在教学设计时必须做到：概念要清、分类要准、思路要明、方法要活、过程要全，在此基础上使学生形成一个整体框架，从而真正领悟常微分方程.关键词：概念

分类

思路

方法

过程

1.概念要讲清

任何一门学科都会有新的概念，从而再产生新的知识，如果学生对新的概念一知半解，那么就很难学好和掌握新的知识，因此在讲解《常微分方程》时务必将概念讲清、讲透，有些概念始终贯穿整个《常微分方程》，必须重点讲解.必须重点讲清、讲透的概念：微分方程中的未知量（自变量）、未知函数、未知函数的导数、微分方程的阶数、微分方程的通解、微分方程的特解、线性性等.2.分类要准

不同类型的方程其解法是各不相同的，同样不同的微分方程的解法也是不同的，因此教会学生正确分类便是教学设计时要注意的问题，也是正确求解微分方程的关键之一.那么如何讲解微分方程的分类呢？要求学生遵循一看“阶数”，二看“次数”的步骤.具体来说，就是首先判别出微分方程的“阶数”（微分方程中的最高导数是几阶），再看是否为线性（未知函数及未知函数的导数的次数都是一次的，且没有y?y′这样的混合项），是否是齐次的，其系数是否为常数等.现举例说明如下：如果是一阶微分方程，则优先看是否符合线性性，因为在判别是否符合线性性时，不必对原方程作恒等变形，仅看未知函数及未知函数的导数的次数是否都是一次的.如果不满足线性性，再接着判断是否是可分离变量的微分方程.教会学生遵循这样的流程，有助于学生掌握判别方法，从而正确确定方程的类型.3.思路要明

教学中一定要强调“求解微分方程时必须首先判别出方程的类型，然后再确定其求解方法”这样一个思路，并养成这样一个习惯，如果不遵循这样的思路必将走弯路，甚至找不到求解方法.具体解法归纳如下：

（1）一阶微分方程的解法

①可分离变量的微分方程：M（x）N（y）dy=M（x）N（y）dx，解法是先分离变量，再两边积分.②一阶齐次线性微分方程：y′+P（x）y=0，利用公式y=Ce 进行求解.③一阶非齐次线性微分方程：y′+P（x）y=Q（x），利用公式y=e [Q（x）e dx+C]进行求解.（2）二阶常系数线性微分方程的解法

①二阶常系数齐次线性微分方程：y″+py′+qy=0，先写出特征方程，求出特征根，根据特征根的不同情况，写出方程的通解.②二阶常系数非齐次线性微分方程：y″+p（x）y′+q（x）y= f（x），先写出特征方程，求出特征根，写出对应的齐次微分方程的通解Y（x），然后利用待定系数法求出原方程的一个特解y（x），最后写出原方程的解y=Y（x）+y（x）.例：求微分方程y″+y′=2x-3的通解.分析：该方程是二阶常系数非齐次线性微分方程

求解：写出特征方程：r +r=0

求出特征根r =-1，r =0.从而Y（x）=C +C e

利用待定系数法求原方程的一个特解.设y（x）=x（Ax +Bx+C）=Ax +Bx +Cx

则y ′（x）=3Ax +2BX+C，y ″（x）=6Ax+2B，代入方程得3Ax +（6A+2B）x+2B+C=2x-3

比较系数可知：3A=26A+2B=02B+C=-3？圯A= B=-2C=1

所以所求的特解为y（x）= x-2x +x.从而原方程的通解为：y=Y（x）+y（x）=C +C e + x-2x +x.4.方法要活

例如求微分方程（y-6x）+2y=0满足条件y| =1的特解，首先该方程是一阶的，如果将y作为未知函数，则不满足“线性”性，因为出现y，但是如果将x作为未知函数，则又满足“线性”性，从而可将原方程改写为

-x=-，P（y）=-，Q（y）=-.从而通解为

x=e [Q（y）e dy+C]=e [（-）e dy+C]

=e [（-）e dy+C]=y [（-）y dy+C]=Cy + y.将条件y| =1代入上式，得C=.方程的特解为x= y（y+1）.从此例可以发现，微分方程中将哪个字母定义为“自变量”，哪个字母定义为“未知函数”是可以根据需要来定的，因此要具体问题具体分析，灵活运用.5.过程要全

中美日“方程”求解　　篇3

小泉对靖国神社的持续参拜刺激了邻国，指望日本一些政客自我约束或对历史问题能有一个较清醒的认识，恐怕只能是一厢情愿，但参拜这张牌的效用终将边缘化。即使在日本，小泉一意孤行损害与邻国关系的行为也没有得到民众与媒体的认同，近期日本国内主流媒体反参拜之声四起，国际对参靖的批评更呈扩大化趋势。东南亚国家对小泉这种无所顾忌参拜靖国神社的“冲动”持否定态度，认为其行为已损害了东亚合作的基础。美国媒体也一反过去默不作声的立场，认为小泉所为是一种无谓的挑衅，美国这种态度转变的深层忧虑在于，如若任由小泉在挑衅之路上继续滑下去，势必有一天会颠覆当年远东国际军事法庭审判的正义性，并最终挑起日本对当年遭遇核武打击的民族仇恨。

善玩离岸平衡的美国，虽然对小泉的一意孤行心存忧虑，但尚未有真正的“制止动作”。人们看到的反而是，美日同盟还在不断加强，个中原因即美日都有制衡国力与影响力迅速上升的中国的战略需要。当然，美国利用日本多少也有捆住日本这个并不令其放心的盟友的考虑，还有应对地区危机及非传统安全挑战的需要。但美日战略舞步并非总是合拍的。对日本来说可能从中衍生新的筹码，即在领海、油气田等与中国的争端中自认为可以无所顾忌地刺激邻国。

美国对日战略有其难解之处。“捆住日本”与“放虎归山”、鼓励日本发挥军事大国的作用之间，鼓励中国成为国际体系中负责任的“利害相关者”与美国以日本为主轴的亚洲战略之间，一直视日本为“小兄弟”与支持日本“入常”、进而使之成为世界权力圈核心成员之间，都存在着显而易见的悖论。对美国而言，日本花样翻新地寻找议题刺激中国，不仅危及对美国有重大战略利益的东亚地区的稳定与繁荣，损害解决地区性问题的共同认知基础，也使得美国处于一种难以置身事外的尴尬境地。人们甚至认为，日本无谓的强硬出格行为走到某个临界点时，日中冲突的可能性大于美中冲突，因而存在着美国被拖入一场并不情愿被卷入的中日严重争执甚至冲突之中，而这可能使美国处于两难境地。美国如果以同盟名义“挺日”，则其设想的亚太地区和平稳定与发展的战略前景只能是镜花水月。

中美关系发展到今天，所触及的深度与广度都达到了历史上少有的程度，相互依赖比过去任何时候都更为突出。不仅在经济上如此，在政治、外交层面同样如此。中美关系正在发展成为一种全球最重要的双边关系，其影响正超越双边范围，具有全球意义。中美不希望发生战略性冲突，亚太国家包括美国的一些盟国与美国、与中国都有不言而喻的重大利益，因此更不愿意在（假设的）中美对抗与冲突中简单地做出非此即彼的战略选择。

冷战结束后，传统的军事同盟逐渐弱化，虽然没有完全退出历史舞台，但对今天世界面临的重大而紧迫的安全挑战，已起不了多大作用。恐怖主义、海上通道安全、传染病扩散、跨国犯罪、大规模杀伤性武器扩散、环境恶化等已构成更为紧迫的非传统安全挑战。世界上数一数二的军事大国的结盟，对付得了恐怖主义吗？不是大炮打蚊子，就是拳头打棉花，其效果可想而知，在其他方面同样如此。而超然其外的其他任何战略目标，只能窒息东亚地区正在涌动的地区合作，扼杀地区发展活力的可持续性，直到触发所有国家极力避免的对抗与自危意识。

非线性微分方程求解的探讨篇4

非线性方程组的求解乃是非线性科学的核心, 很多来自工程、机械、科学研究等的实际问题最终都化为求解一个非线性方程组;而非线性方程组的求解, 是一个至今没有彻底解决的数学问题;特别地, 来自工程、机械等的几何约束问题, 最终都将产生一个非线性方程组, 且该方程组中方程和未知量的个数都非常多, 且往往其中的未知量的次数还非常高.因此, 解决这些几何约束问题极其困难.

2.1微分方程

微分方程指含有一次、二次乃至高次微分未知数的方程.是解决偏微分方程、数理方程的基础.微分方程的表达通式是:

2.2微分方程的线性化

大部分非线性微分方程都不能得出通解.但是, 可以对其在一定范围之内进行线性化求出近似解.

有许多函数都是为了无法得出多项函数或超越函数型式的解析解的微分方程而定义出来.这些特殊函数之所以重要, 是因为它们描述了自然界中的某些现象, 例如, 电子的活动、鼓皮的振动、钟摆的摆动, 等等.

3.1常微分方程初值问题的数值解法

考虑常微分方程的初值问题y′=f (t, y) , y0≤t≤T, y (t0) =y0.

所谓其数值解法就是求它的解y (t) 在节点t0

常微分方程初值问题的数值解法多种多样, 比较常用的有欧拉 (Euler) 法、龙格-库塔 (Runge-Kutta) 法、线性多步法、预报校正法等.

3.2龙格-库塔 (Runge-Kutta) 法

对于一阶常微分方程的初值问题, 在求解未知函数y时, y在t0点的值y (t0) =y0是已知的, 并根据高等数学中的中值定理, 应有

y (t0+h) y1≈y0+hf (t0, y0) , h>0, 称为步长.

一般地, 在任何点ti=t0+ih, 有:

当 (t0, y0) 确定后, 根据上述递推式能计算出未知函数y在点ti=t0+ih, i=0, 1, …, n的一例数值解:yi=y0, y1, y2, …, yn, i=0, 1, …, n.

当然, 递推过程中有一个误差累计的问题.在实际计算过程中, 使用的递推公式一般进行改造, 著名的龙格-库塔公式是:

3.3龙格-库塔法的实现

基于龙格-库塔法, MATLAB提供了求常微分方程值解的函数, 一般调用格式为:

其中fname是定义f (t, y) 的函数文件名, 该函数文件必须返回一个列向量.Tespan形式为[t0, tf], 表示求解区间.y0是初始状态列向量.t和y分别给出时间向量和相应的状态向量.

这两个函数分别采用了二阶、三阶龙格-库塔法和四阶、五阶龙格-库塔法, 并采用自适应变步长的求解方法, 即当解的变化较慢时采用较大的步长, 从而使得计算速度很快, 当解的变化较快时步长会自动变小, 从而使得计算精度很高.

3.4符号常微分方程求解

在MATLAB中, 用大写字母D表示导数.例如, Dy表示y′, D2y表示y″, Dy (0) =5表示y′ (0) =5.D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y″′+y″+y′-x+5=0.符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现, 其调用格式为:

该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解.参数v描述方程中的自变量, 省略时按缺省原则处理, 若没有给出初值条件c, 则求方程的通解.

dsolve在求常微分方程组时的调用格式为:

该函数求解常微分方程组e1, …, en在初值条件下c1, …, cn下的特解, 若不给出初值条件, 则求方程组的通解, v1, …, cn给出求解变量.

参考文献

[1]刘卫国.MATLAB程序设计教程.北京:中国水利水电出版社.

[2]何汉林, 梅家斌.数值分析.北京:科学出版社.

二阶非线性泛函微分方程的振动性篇5

二阶非线性泛函微分方程的振动性

讨论了一类二阶非线性泛函微分方程的`振动性,得到一些新的振动准则.

作者：付银莲 FU Yin-lian 作者单位：华南农业大学理学院应用数学系,广州,510640 刊名：科学技术与工程 ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING 年，卷(期)：2009 9(2) 分类号：O175.14 关键词：泛函微分方程二阶振动性 functional differential equations second order oscillation

方程求解的算法情景化篇6

算法化是我国古代数学的重要特色[1]，以《九章算术》为例，其内容丰富而且实用性强，以解决生产生活的问题为中心，在解题中给出算法，再根据算法组建理论体系.显然，我国古算法即强调融算理于实际情景，在实际情景的应用中演绎算法步骤.初中阶段涉及的方程主要是一元一次方程、二元一次方程、分式方程和一元二次方程，本文拟构造几个实际情景，并分析上述方程在实际情景中的求解过程，以观察方程求解算法情景化的教学意义.

1 数学符号的内涵操作凸显方程算法的思维过程

在学习解一元一次方程时，我们常常会出示下面的情景[2]：

显然，这是用学具操作来帮助学生理解方程求解的过程，但是学具只是数字和符号的替代品，操作过程只是对符号操作的检验.为让学生既能感受算法的合理性，也能自觉总结算法步骤，可设置下面的问题情景：

情景1 某手机卖场为了促销一款价值1950元的手机，允许顾客按月分期付款.顾客首付300元，以后每月支付150元.如果你以按月分期付款的方式购买这款手机，需要多少个月才能付清全部款项？解释你的解题过程.为了更好的理解题意，你可以先写出解题的思考步骤，再试着用数学符号去描述这些步骤.

分析实际教学中，我们会感觉上述一元一次方程的求解过程是简单的，只需要让学生理解并熟练使用“移项（要变号）、合并同类项、化系数为1”这一程序就行了，设置情景反倒会降低学生的学习注意力，影响课堂的效率.事实上，算法情景化的本意就是让学生感受程序性的解题过程与生活实际是一致的.这样处理既能让学生理解算法程序的合理性，也能提升数学问题的思维含量，从而让学生感受数学学习的内蕴，也为以后分析较困难的实际问题做好了铺垫.

情景1较前一个情景，虽然不够直观，但对于小学时已经接触过简单方程的初中生来说，情景1的价值在于它似乎更能在实际问题解决的过程中，让学生感受方程求解过程的合理性，从而自觉的总结一元一次方程的算法步骤.

2 古算法与方程思想的对比彰显方程求解过程的现实意义

情景2 七年级某班共有学生32人，参加拔河比赛获得优胜，并得到每箱24瓶的运动饮料6箱作为奖励.老师打算发给参加比赛的学生每人6瓶，在旁加油的学生每人若干瓶（少于6瓶），并且能恰好将运动饮料分完.则在旁加油的学生每人可能分到多少瓶？

分析问题情景中“并且能恰好将运动饮料分完”取决于两个因素，一个是参加拔河的人数（或者在旁加油的人数），另一个是在旁加油的学生每人分得的瓶数.因此，本题是一个有两个变量，但是只有一个等量关系的不定方程问题.二元一次不定方程的解有无数组，但是正整数解只有有限组，因此求得“在旁加油的学生每人可能分到多少瓶”是有可能的.设在旁加油的学生每人分得x瓶，有y个运动员，根据题意可得方程：（32-y）·x+6y=24×6，

随着分式方程的不断化简，相应的分式方程也越来越体现问题情景的本质内涵.方程求解的算法过程与实际情景的现实意义相辅相成，学生对于问题情景本质的理解所产生的思维震撼也越来越外显，越来越逼真.

4 情景规律的背后是方程求解算法原理的丰富

情景4 某地发生了流感疫情，假如在人群中一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患流感.问在每轮传染中平均每人传染几人？

分析传染流感的过程中若设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人第一轮传染后共有（x+1）人患了流感；在第二轮传染中传染源是（x+1）人，这些人中每个人又传染了x人，那么第二轮新传染了x（x+1）人，于是第二轮传染后共有（x+1）+x（x+1）人患流感.而（x+1）+x（x+1）因式分解后是（x+1）2，于是这个情景所对应的方程就是（x+1）2=121.

追问：第三轮传染后患流感的人数会是（x+1）3吗？在第三轮传染中传染源是（x+1）2人，这些人中每个人又传染了x人，那么第三轮新传染了x（x+1）2人，于是第三轮传染后共有（x+1）2+x（x+1）2人患流感.而（x+1）2+x（x+1）2因式分解后恰是（x+1）3.到此，我们可以大胆地猜测，第n轮后，将有（x+1）n人患了流感.

如果说情景3所体现的是方程求解在化归过程（逐步变形化简）中产生的对情景的深入理解，那么情景4则是情景规律的分析过程中对方程求解的算法原理的不断丰富.

由以上的情景及分析，我们能发现，方程求解的算法情景化体现了数学知识内部的联系与一致性，是数学“求真”、“求美”内蕴的外显.“情景化”不是“去数学化”，相反的是让学生在情景中更理性地分析算法的合理性，同时方程求解中的算法原理及变形过程往往也富含着情景中的现实意义，促使我们对问题情景的不同角度的深入的认识.

参考文献

[1]王渝生.中国算学史[M].上海：上海人民出版社，200610：18.

一类非线性矩阵方程的迭代求解篇7

其中A, B为正规矩阵, Q为Hermite正定阵.讨论求解方程组Hermite正定解迭代的收敛性。

定理:若A, B, Q满足引理 (1) 中所有条件, 且Q>1, ||A||2 (||Q||+||A||2) m-1<1/m那么方程组 (1)

存在Hermite正定解 (X, Y) , 且满足

其中q=nm||A||2||B||2 (||Q||+||A||2) m-1 (||Q||+||B||2) n-1其中, s=0, 1, 2…由迭代 (2) 产生。

证明:对于X1, Y1, 有

由假设可知

综上, 有

至此, 序列单调且有下界。下证序列有共同极限。

摘要：讨论了求解方程组{X-A*Y-nA=Q Y-B*Y-mA=Q Hermit正定解的迭代方法。

关键词：非线性矩阵方程组,Hermit正定解,迭代,收敛

参考文献

[1]Asmaa M.Al-Dubiban.Iterative Algorithmfor Solvinga Systemof Nonlinear Matrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics, 2012, 2012:1-15.

[2]高东杰.矩阵方程的正定解[J].信息系统工程, 2010 (11) :134-135.

非线性微分方程求解篇8

1变系数二阶线性微分方程的应用

随着信息技术的快速发展, 数学知识越来越多地被应用到这些信息技术领域。无论在电力网络, 交通运输业, 电子技术, 工程造价, 化学, 自动运输网, 生物学, 建筑工程, 数字通讯网中, 还是简单的日常生活, 利用数学知识解决现实生活问题的现象已经越来越广泛。

从古至今, 人们对解答微分方程的问题已经深有研究, 针对变系数二阶线性微分方程也有一定的解决方法。但是, 由于是二阶的微分方程, 计算量很大, 幂的次数较高, 所以解决的时候会比较麻烦。而降阶法的运用在解决变系数二阶线性微分方程中还是较为方便快捷的。用降阶法解决这类问题, 最关键的是要把二阶线性微分方程如何转化为一阶线性微分方程, 当然之前也要了解这个方程能否可以进行降阶转化。

此外, 数学的其他分支与变系数二阶线性微分方程也是有密切关系的, 二者可以互相促进, 共同发展。众所周知, 在数学学习过程中, 几何学的解决很多就要用到变系数二阶线性微分方程的知识, 所以说, 变系数二阶线性微分方程的进步发展与完善, 对于几何学来说也是至关重要的;在另一个角度说, 也就是, 变系数二阶线性微分方程的发展可以有力地促进数学领域其他分支的进步。

2一种求解变系数二阶线性微分方程的方法

利用变量替换法可以使方程降价进行求解, 利用这种方法解决变系数二阶线性微分方程也是可以的。例如下面这个方程:2

设其中的非零特解y1是已知的, 并让y1作替换变量,

其中, 为未知的函数, 求导为

求二阶导数可得:

带入式可得:

易知, 这是一个关于的二阶线性齐次方程, 每一项系数都为x的已知函数, 因为1是式的解, 所以其中的

所以, 式可以转化为

替换变量, 使得, 由此可得:

下一步, 分离变量, 可得:

两边积分, 得到通解:

其中, c2为任意一个常数。再一次进行积分运算得:

带回原来的变量得到式的通解:

这个公式是二阶线性齐次方程式中的一种公式, 对于这类方程, 解答的过程中采用降价法, 已知一个非零特解, 通过两次转变之后, 就可以把二阶线性微分方程转化成一阶形式, 这样就可以求得通解。当然, 对于非齐次微方程, 运用这种方法解决也是可以的, 知道了一个特解就可以做出方程转化, 进行降价, 这种转变并不影响方程的结构。

其实, 所有的系数微方程都是可以解决的, 但是, 对于变系数二阶线性微分方程来说, 由于计算量比较大, 除了近似的解法之外, 还没有发现更为普遍的解决方法。所以说, 发现一种较为简便的方法是十分必要的。

综上所述, 常系数微方程在数学研究领域占有十分重要的地位, 变系数二阶线性微分方程在自然科学、物理学等科学技术领域的应用也是非常广泛的。运用降阶法解决这类问题是比较有效的, 加大对变系数二阶线性微分方程的研究力度, 寻求更为便捷的解决方式, 不仅对于数学研究和其他数学分支的进一步发展有重要意义, 而且可以对其他相关领域的研究进步做出更大的贡献。可以说, 二阶变系数线性微方程已经取得了很大的成就, 但是, 这些并不能满足相关研究领域的需要, 还需要我们继续付出更大的努力, 寻求更好的解决方法, 促进这一学科的完善, 使得我国这方面的成就跻身于世界数学研究的巅峰之上。

摘要：变系数二阶线性微分方程是大学数学学习的重要内容, 本文对变系数二阶线性微分方程的解法进行探究, 得到了几种求解方法。笔者通过求解该类方程的过程, 以进一步指导大学数学教育的进步。

关键词：变系数二阶线性微分方程,解法,常数变易法

参考文献

[1]夏敦行.二阶变系数线性微方程方程的解法[D].武汉:武汉科技大学, 2009.

求解非线性方程组的三种算法篇9

关键词：非线性方程组,牛顿型算法,信赖域算法,遗传算法

一、引言

非线性科学在工业、农业、科学研究领域占有重要地位，绝大多数问题最终都能转化为非线性方程(组)的求解问题，传统的解决方法有:牛顿法、割线法、延拓法、搜索法、梯度法、信赖域法、共轭方向法、变尺度法等．本文着重介绍信赖域算法、牛顿型算法、遗传算法三种方法．

非线性方程组为

其中

解非线性方程组一般分为两类方法:一类属于线性化方法，即把非线性方程组转化为一种近似的非线性方程组，构造出迭代格式，然后逐次接近准确解，达到满足精度要求就终止计算;一类属于求函数极值方法，即由非线性函数构造出一个目标函数，把方程组的求解问题转化为求目标函数的极值点问题．构造目标函数:

这样，在区域内求解非线性方程组问题(1)就转化为了函数优化问题:

显然，满足F(x1*,x2*，…，xn*)=0的非线性方程组的解X*(x1*,x2*，…，xn*)就是函数优化问题(2)的最优解．

二、牛顿型算法

求解非线性方程组的线性化方法为:

若取则得到求解非线性方程组的牛顿型迭代算法．

1. 牛顿法

牛顿法算法程序构造过程实际上是对非线性方程组(1)左端的非线性函数逐步线性化的过程．假定F:D∈Rn→Rn在开凸集内二次G-可导，且F″(x)在D内连续．设x*∈D是(1)式的解，x0∈D是x*的初始近似值．牛顿法虽然有收敛速度快和自校正等优点，但应用到实际计算中仍存在不少问题:迭代初始值x0要求与解x*很接近;每次迭代计算Jacobi矩阵F'(xk)和求解一个线性方程F'(xk)Δx=-F(xk)，工作量较大;当F'(xk)奇异或是病态时，计算将无法进行下去．为了解决这些问题，牛顿法有了如下几种变形．

2. 修正牛顿法

修正牛顿法主要是针对牛顿法计算量较大进行简化和改进，将牛顿法收敛快和简化牛顿法工作量省的优点结合起来，得到如下迭代程序:

从xk计算到xk+1中间做m次简化，只需计算一次Jacobi矩阵F'(xk)和求一次逆矩阵[F'(xk)]-1，这种修正牛顿法具有m+1阶收敛速度．

3. 参数牛顿法

参数牛顿法是为了保证每一步迭代中的F'(xk)非奇异或非病态，而引入所谓的阻尼因子λk使F'(xk)+λkI(这里I为n阶单位矩阵)非病态，此时得到迭代程序为:

当λk选得足够大，可以使矩阵F'(xk)+λkI对角占优，从而消除F'(xk)的奇异性，并具有局部收敛性．

4. 下降牛顿法

为了克服牛顿法的局部收敛，初始点x0选取要很靠近解x*，引入迭代参数，采用下降法思想具有大范围收敛的牛顿下降法，其迭代程序为:

其中0<ωk≤1是迭代参数，可以证明迭代式具有大范围收敛性，但实际应用中选择ωk仍比较困难．

牛顿法及其改进形式是最基础、应用广泛的求解非线性方程组方法，但由于牛顿法需要每步计算函数的导数，若导数不能直接表示出来，则很难求解，且在实际应用中往往受到很多条件的限制，它的收敛性和性能特征在很大程度上依赖于初始点的选择;另外，牛顿型算法在处理某些形式比较复杂的非线性方程组时效果不好．因此，牛顿法的各种变型都是针对牛顿法的某一缺陷而考虑的，实际应用时只能根据要解决主要问题采取相应的策略．

三、信赖域方法

信赖域方法首先定义一个在当前点与目标函数近似的二次模型，利用目标函数在一定的区域内与二次模型的充分近似，取二次模型的最优值作为信赖域方法的下一个迭代点．其出发点是利用目标函数的二次模型的近似程度来调节信赖域的大小:若新的迭代点不能使目标函数值有充分的下降，说明二次模型与目标函数的近似程度不够好，需要缩小信赖域半径;否则就扩大信赖域半径．

对非线性方程组F(x)=0的求解可转化为如下无约束优化问题:

相应的二次信赖域优化模型:

其中，在xk点Jacobi矩阵．

对于(7)，在xk点的下降方向dk有下述信赖域子问题产生．

四、遗传算法

求解非线性方程组对于传统算法的选择、构造与所要解决问题的特性有很大关系．遗传算法不采用确定性规则，而采用概率的变迁规则来指导它的搜索方向，是一种灵活的自适应算法，无需过多考虑问题的具体形式．由于非线性方程组改造成的函数多数是多峰值函数，遗传算法在其求解应用中具有较大优势，尤其在一些非线性方程组没有精确解的时候，遗传算法显得更为有效，近几年利用遗传算法求解非线性方程组的数值问题也有相关的研究成果．

刘灿文等“基于求解非线性方程组的并行遗传算法的设计”提出了将非线性方程组的数值求解问题(1)转化为线性约束最优化问题:

差度量函数．将遗传算法改进为自适应并行遗传算法求解该最优化问题，从另一角度为求解非线性方程组提供了一条比较有效的途径．

曾毅“改进的遗传算法在非线性方程组求解中的应用”提出利用改进的遗传算法求非线性方程组的解，数值模拟结果表明改进后的遗传算法不仅可以求得高精度的解，而且大大提高了遗传算法的局部寻优能力．曾毅“浮点遗传算法在非线性方程组求解中的应用”提出利用浮点遗传算法适应值的分布和实数编码的特点，通过缩小、移动搜索空间的方法，将整体和局部寻优能力有机结合，数值模拟结果表明该算法求精确解的有效性．吴国辉等“一种新的求解非线性方程组的混合遗传算法”提出利用浮点遗传算法全局群体搜索能力及起始搜索速度快的特点，快速得到接近精确解的较优解，之后将其作为拟牛顿法迭代的初始值，利用其局部寻优能力非常强的特点快速迭代至精确解，该算法融合了遗传算法和拟牛顿法的优点，具有较好的收敛速度和相当精度的收敛解．杜娟等“一种新的非线性方程组的混合量子遗传算法”综合考虑了量子遗传算法和拟牛顿法的各自优点，结合两者提出一种求解非线性方程组的有效算法，充分发挥量子遗传算法的群体搜索和全局收敛性，同时采用拟牛顿法作为一个强局部搜索算子，把量子遗传算法的寻优结果作为拟牛顿算法的初值，有效地解决了拟牛顿法对初始值的敏感问题，提高了算法的局部搜索能力，仿真实验表明此算法具有较高的求解精度与成功率．

非线性微分方程求解篇10

1. 常数变易法的巧说

求解一阶非齐次线性微分方程的常用方法是常数变易法. 为了让学生快速接受常数变易法的思想, 教师在课堂教学的引导过程中, 应注重启发诱导、对比、类比的教学方法.

学生已有的知识是可分离变量的一阶线性微分方程, 发现P ( x) 与y是乘积关系, 若Q ( x) = 0, 则原式可采用分离变量的方法求解, 对比

易知 ( 2) 式解的形式为y = C·f ( x) .

这两个方程的模型 ( 结构) 一模一样, 那我们就可以通过类比的方法推测这两个方程解的模型 ( 结构) 是一样的, 但通过对比, 其模型的内部填充又有所不同.

可以猜想 ( 1) 式解的形式和 ( 2) 式一样, 但注意到: ( 2) 式方程右端是0, 其解的形式是常数C乘以f ( x) , 而 ( 1) 式右端为Q ( x) , 根据对应性, 可假设 ( 1) 式的解为y = C ( x) ·f ( x) ( 其中C ( x) 为x的多项式) , 代入原方程, 算出C' ( x) , 经过积分就可得出C ( x) , 则 ( 1) 式的解即可得出.

同时, 在教学过程中, 这样的启发诱导方法, 不用对抽象的一阶线性非齐次微分方程进行推导, 直接对一个具体例子进行讲解, 既直观又容易理解, 而且避免了中间的理论推导, 学生可以在掌握常数变易法之后, 通过特殊到一般的方法自己推导一阶线性非齐次微分方程的通解公式, 避免了纯粹让学生记忆公式的困难.

例1用常数变易法求解微分方程xy' - y = x3的通解.

解 ( 1) 转化为一阶线性齐次微分方程xy' - y = 0, 分离变量, 求得其解为y = c·x.

( 2) 运用常数变易法

假设原方程的解为y = c ( x) ·x, 代入原方程得:

, 整理变形得:, 故

于是原微分方程的解为

2. 乘积求导公式的逆运用

在一阶线性非齐次微分方程中, 上面所说的常数变易法, 算是针对该类型微分方程相对固定的解法, 求解时按照步骤即可, 如果遇到的题目中函数比较特殊, 我们尽可以突破固有定式, 寻求更为简洁高效的解题思路, 体现数学思维的灵活性. 有一类方程可以不用常数变易法来计算, 而是通过乘积求导公式的逆运用来得到, 下面通过例子来说明.

例2求解微分方程的通解.

解注意到: xy' + y, 变形为', 满足乘积求导法则, 故原方程等价于

以上方程两边同时积分得

因此, 原微分方程的通解为

例4求解微分方程的通解.

解注意到

满足乘积求导法则, 即有

以上方程两边同时积分得

因此, 原微分方程的通解为

以上方法, 读者可以看出来, 这是不套用一阶线性非齐次微分方程求解公式和常数变易法的直接解法, 通过观察, 如果满足乘积求导公式, 便可以简化我们的计算, 但此方法具有一定的局限性, 需要满足乘积求导法则.

同时注意到此方法主要在于把构造成的形式, 通过该方法同样可以得到一阶线性非齐次微分方程的求解公式.

证明: 对方程两端同乘u ( x) ,

变形成

对比乘积求导形式, ( 说明

分离变量得, 两端积分得

即有, 两端积分得

综上可知, 一阶线性非齐次微分方程的通解公式为

总之, 笔者尝试性地把两种分析方法运用于高职高等数学教学中, 主要是对学生进行思维方法的训练, 也只是做了一些粗浅的探索和研究, 收到的效果较好, 因此值得思索与学习.

摘要：借助实例说明在高职院校高等数学教学中求解一阶线性非齐次微分方程的一些方法和技巧.

关键词：一阶线性微分方程,类比思想,乘积求导法则

参考文献

[1]吴琳聪, 刘桂梅, 莫国良.函数积求导法则的逆用技巧[J].高等数学研究, 2013, 16 (1) :53-54.

构造方程组，求解字母值篇11

一、利用相关概念构造

1. 根据二元一次方程的概念构造

例1 若方程为二元一次方程，求m、n值.

【解析】根据二元一次方程的定义：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，即未知数x、y的指数都等于1.于是可以列出关于m、n的方程方程组：；

解方程组得：

2. 根据同类项的概念构造

例2 若与可以合并成一项，求m、n的值.

【解析】两个单项式可以合并为一项，说明这两项一定是同类项，根据同类项的定义我们知道：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项.依据这一特征可以构造出方程组：

【评注】我们可以根据利用相关知识概念构造二元一次方程组，再解这个方程组，求出所要求的未知数的值，问题得以解决.

二、利用非负数性质构造

【解析】任意数的偶次方都是非负数，任何数的算术平方根是非负数，如果这些数的和为0，那么这几个数一定都是0.这一性质建立方程组

解这个方程组得

∴a+b=

【评注】任意数的偶次方都是非负数，任何数的算术平方根是非负数，任何数的绝对值是非负数，如果这些数的和为0，那么这几个数一定都是0，从而构建出方程组.

三、利用方程（组）的解构造

例5 若方程组与方程组有相同的解，求a、b的值.

例6 已知方程组与方程组有相同的解，求a、b的值

【解析】两个方程组有相同的解，即有一对x和y的值同时满足四个方程，所以可以先求出第二个方程组的解，再把求得的解代入第一个方程组中，得到一个新的关于a、b的二元一次方程组，并解得，求出a、b.

【评注】先根据已知方程组求出未知数的值，再把未知数的值代入另一个方程组中得到新的方程组，解此方程组求得要求的字母的值是解得此类题的常用方法.

四、利用规定的新运算构造

解方程组得： .

非线性微分方程求解篇12

关键词：萤火虫算法,非线性方程组,函数优化,仿生原理

0 引言

线性方程组的求解是数值代数的基本问题之一, 许多工程应用和科学计算问题最后都要求解方程组, 因此, 对方程组的解法的研究具有重要的意义[1]。对于该问题的解法, 有传统方法和进化算法。传统方法的特点是:对方程组的组成要求高, 适用方程组少, 但具有很高的求解精度。进化算法是近年来新兴的一些算法, 如遗传算法、蝙蝠算法、萤火虫算法、蚁群算法等, 用于解决各类工程性问题有些专家也用这些进化算法来解决线性方程组问题, 并且已经得出了不错的结果。

1 萤火虫算法基本原理

萤火虫算法是模拟自然界中萤火虫成虫发光的生物学特性发展而来, 是一种群体优化算法[2]。最早是由印度学者Krishnanand等提出。其仿生原理是:萤火虫个体表示搜索路径中的点, 萤火虫个体的吸引和移动过程表示路径搜索和优化过程, 个体所处位置的好坏表示求解问题的目标函数值, 个体的优胜劣汰过程为表示为路径搜索和优化过程中用较好的解取代较差的解的过程。

萤火虫算法有两个要素, 即亮度和吸引度。亮度表示萤火虫所处位置并决定萤火虫的移动方向, 吸引度表示萤火虫移动的距离, 萤火虫通过亮度和吸引度的不断更新, 从而实现目标函数优化。在萤火虫算法中, 亮度、吸引度和更新规则的描述如下[2]。

(1) 萤火虫的亮度表示为

其中:h0表示萤火虫的最大亮度, 即自身 (r=0处) 荧光亮度, 与目标函数值相关, 目标函数值越优自身亮度越高;z表示光强吸收系数, 是一个常数;rij为萤火虫i与萤火虫j之间的距离。

(2) 萤火虫的吸引度为

其中:r0为最大吸引度, 即光源处 (r=0处) 的吸引度;z, rij意义同上。

(3) 萤火虫i向萤火虫j移动的位置更新公式如下:

其中, 表示萤火虫i向萤火虫j移动之后的位置, 表示萤火虫i和萤火虫j在萤火虫群更新之前所处的位置;α表示步长因子, 是[0, 1]上的常数;rand为[0, 1]上服从均匀分布的随机因子。

在萤火虫算法中, 先将萤火虫群体随机散布在解空间中, 每一只萤火虫发出的荧光亮度各不相同, 亮度低的萤火虫向亮度高的萤火虫移动, 移动的距离由吸引度的大小决定。萤火虫在搜索过程中, 为了避免过早陷入早熟, 采用式3来进行更新, 并根据式3来确定更新后的位置。这样通过多次移动后, 所有萤火虫个体都将聚集在亮度最高的萤火虫的位置上, 从而实现寻优。

目前, 人们已经发现很多昆虫存在莱维飞行 (Lévy flights) [2]。目前莱维飞行已经应用于各类组合优化问题, 并取得了很好的效果。在萤火虫算法中, 为了增强算法的全局搜索性能, 避免种群陷入局部最优, 把莱维飞行引入到萤火虫算法中, 当某个萤火虫找不到比自己更好的个体时, 选择莱维飞行。在萤火虫群, 荧光不是最亮的萤火虫, 则选择随机飞行, 并且对它们的飞行进行了限制, 当萤火虫们发现比自己更亮的个体时, 首先由系统产生一个随机数q, q是一个介于0和1之间的数, 如果q小于0.5, 采用公式 (4) 进行移动;否则采用公式 (3) 进行移动。

式中:xj表示萤火虫j在移动之前的位置, xi'表示第i个萤火虫移动之后的新位置, xi"表示xi'朝着比自己亮的萤火虫j移动之后的位置, ρ表示萤火虫j对萤火虫i的吸引力。

本文对上述萤火虫算法进行了一些改进, 提出一种改进的萤火虫算法。算法中将萤火虫群中的萤火虫根据选择运动的概率大小动态划分为不同的萤火虫群, 将每个萤火虫群中拥有局部最优值的萤火虫作为该萤火虫群的种子, 种子的局部最优解被设为该萤火虫群的全局最优值。这样就使得每个萤火虫群中的萤火虫都收敛于该萤火虫群的局部最优值, 而不是收敛于萤火虫群系统的全局最优值, 这样就可以并行地产生多个萤火虫最优值, 从而进行有效地多峰寻优。

另外, 为了改善萤火虫群的收敛, 本文还对α进行了改进, α随着迭代次数的变化而变化。具体如下:

式中:α0选用0.9, τ为迭代次数。通过求解非线性方程组实例, 验证结果表明本文所提算法所得到的结果好于现有的萤火虫算法。

2 改进的萤火虫算法

该算法的具体步骤如下:

1) 初始化。设置萤火虫数目s, 最大吸引度, 光强吸收系数z, 最大萤光亮度h0, 随机参数, 最大迭代次数t max=1000, 当前进化代数t=0。

2) 由公式 (1) 、公式 (2) 计算群体中萤火虫的相对亮度h和吸引度ρ, 根据相对亮度h决定萤火虫的移动方向。

3) 将s只萤火虫随机放在解空间中, 并将它们人为划分为许多群, 每个萤火虫群中的萤火虫围绕在拥有该子群中荧光最强的萤火虫周围, 萤火虫的亮度由公式 (1) 确定。

4) 对当前每个子群的萤火虫个体, 如果有比自己更亮的个体, 则根据q值的大小进行移动, 若q小于0.5采用公式 (4) 进行移动;q大于0.5而小于1, 则采用公式 (3) 进行移动;否则, 采用莱维飞行对个体位置进行移动。

5) 当每只萤火虫都构造完成各自的解之后, 记录当前每个萤火虫群的最优解, 并将这些最优解作为每个萤火虫群的种子, 种子的最优值是每个萤火虫群的全局最优值。

6) 根据移动后萤火虫的位置, 将每个子群的种子萤火虫重新计算它们的亮度。

7) 判断是否满足算法的终止条件。如达到最大迭代次数tmax=1000或最好解停滞不再变化, 则停止迭代, 否则τ=τ+1, 然后转步骤4。

3 仿真实例分析