微分方程模型

2024-07-31

微分方程模型（精选12篇）

微分方程模型篇1

导数和微分反映的是变化率问题, 用于描述某些随时间或空间而演变的变化规律, 主要通过导数和微分来描述对象的变化规律.根据运动过程中变化率之间的关系确定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程.微分方程模型是一种动态模型, 描述对象特征随时间 (空间) 的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对象特征的未来性态, 研究控制对象特征的手段.微分方程的建模对象是:改变、变化、增加、减少、速度、运动等确定性连续问题, 其基本手段是微元法.建模的基本原则是:

1.寻找改变量.变化率 (微商) =单位增加量-单位减少量;

2.对问题中的特征进行数学刻画;

3.用微元法建立微分方程;

4.确定微分方程的定解条件 (初边值条件) ;

5.求解或讨论方程 (数值解或定性理论) ;

6.模型和结论的讨论与分析.

例如, 力学中的牛顿第二运动定律:f=ma, 其中加速度a就是位移对时间的二阶导数, 也是速度对时间的一阶导数.这些知识我们可以用微分方程来解决.

一、动力学中的微分方程模型

在动力学中, 如何保证高空跳伞者的安全问题?对于高空下落的物体, 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型, 设物体质量为m, 空气阻力系数为k, 在速度不太大的情况下, 空气阻力近似与速度的平方成正比;设时刻t时物体的下落速度为v, 初始条件v (0) =0.由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型 $m \frac{d v}{d t} = m g - k v^{2} .$

求解模型, 可得 $v = \frac{\sqrt{m g} (\exp [2 t \sqrt{\frac{k g}{m}}] - 1)}{\sqrt{k} (\exp [2 t \sqrt{\frac{k g}{m}}] + 1)} .$

由上式可知, 当t→+∞时, 物体具有极限速度

$v_{1} = \lim_{t \to \infty} v = \sqrt{\frac{m g}{k}} .$

其中, 阻力系数k=aps, a为与物体形状有关的常数, p为介质密度, s为物体在地面上的投影面积.根据极限速度求解式子, 在m, a, p一定时, 要求落地速度v1不是很大时, 我们可以确定出s来, 从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的直径大小来.

二、物体在液面上的浮沉振动微分方程模型

问题一个边长为3米的立方体浮于水面上, 已知立方体上下振动的周期为2秒, 求物体沉浮振动的规律和质量.

分析设水的密度为1000 kg/m3, 当物体侵入水中时, 它受到一个向上的浮力, 由阿基米德原理知:浮力的大小等于物体侵入水中的那部分同体积的水的质量.

设物体的质量为m, 物体在t时刻相对于静止位置的位移为x, 即x=x (t) .

由阿基米德原理知, 引起振动的浮力为

x×3×3×1000g=9000gx (N) .

由牛顿第二定理, 得

$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - 9000 g x$ , 其中g=9.8 m/s2.

该方程就是物体沉浮振动的数学模型, 其通解是

$x = c_{1} \cos \sqrt{\frac{9000 g}{m}} t + c_{2} \sin \sqrt{\frac{9000 g}{m}} t .$

于是周期 $t = \frac{2 π}{\sqrt{\frac{9000 g}{m}}} = 2$ ,

解得 $m = \frac{9000 g}{π^{2}} \approx 8937 (k g) .$

三、振动现象中的微分方程模型

一个弹性系数为c, 长度是l的弹簧竖直悬挂着, 它的上端固定, 下端系以重量为m的物体, 容易求得, 该物体运动的微分方程是

$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + μ \frac{d x}{d t} + c x = f (t) . ①$

如果f (t) ≡0, 即假定没有外力f (t) , 这时得到方程为

$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + μ \frac{d x}{d t} + c x = 0 . ②$

此时弹簧振动为阻尼自由振动.

如果f (t) ≡0且μ=0, 即假定没有外力且忽略阻力, 这时得到方程为

$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + c x = 0 . ③$

此时称弹簧振动为无阻尼自由振动或简谐运动.

分别求解③, ②及①, 并阐明在各个情况下解的物理意义.

如果使物体具有一个初始速度v0≠0, 那么物体便离开平衡位置, 并在平衡位置附近做上下振动.在振动过程中, 物体的位置x随时间t变化, 即x是t的函数x=x (t) .

这一函数满足以下微分方程 $m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - c x - μ \frac{d x}{d t} .$

这里, f=-cx是弹簧的弹性恢复力, $R = - μ \frac{d x}{d t}$ 是阻尼介质所造成的阻力.

移项, 并记 $2 n = \frac{μ}{m} ‚ k^{2} = \frac{c}{m}$ , 则该式化为

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 2 n \frac{d x}{d t} + k^{2} x = 0 . ④$

这就是所谓的物体有阻尼自由振动的微分方程.

如果物体在振动过程中, 还受到铅直干扰力F=Hsinpt的作用, 则有:

$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - c x - μ \frac{d x}{d t} + Η \sin p t$ ,

即 $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 2 n \frac{d x}{d t} + k^{2} x = = h \sin p t$ (其中 $h = \frac{Η}{m}) . ⑤$

这就是有阻尼强迫振动的微分方程.

以下分几步来详细讨论方程④与⑤的解以及它们所代表的力学意义.

1.不计阻力R

不计阻力R, 即 $- μ \frac{d x}{d t} = 0$ 的无阻尼自由振动的微分方程为

${\begin{cases} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + k^{2} x = 0 ‚ \\ x |_{t = 0} = x_{0} ‚ \frac{d x}{d t} |_{t = 0} = v_{0} . \end{cases} ⑥$

方程⑥的特征方程为r2+k2=0, 其根r=±ki是一对共轭复根, 故方程的通解为y=c1coskt+c2sinkt, 应用初始条件, 定出 $c_{1} = x_{0} ‚ c_{2} = \frac{v_{0}}{k}$ .因此, 所求的特解为 $y = x_{0} \cos k t + \frac{v_{0}}{k} \sin k t$ , 为了便于说明特解所反映的振动现象, 我们令 $x_{0} = A \sin φ ‚ \frac{x_{0}}{k} = A \cos φ .$

于是方程的解可表示成y=Asin (kt+φ) (其中 $A = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{k^{2}}} ‚ \tan φ = \frac{k \cdot x_{0}}{v_{0}})$ , 它的图形如下 (假定x0>0, v0>0) .

这一函数所反映的运动称做简谐振动.这个振动的振幅为A, 初相为φ, 周期为 $Τ = \frac{2 π}{k}$ , 角频率为k.由于 $k = \sqrt{\frac{c}{m}}$ , 它与初始条件无关, 而完全由振动系统本身所确定, 因此, k又叫做系统的固有频率.固有频率是反映振动系统特性的一个重要参数.

2.阻力R≠0

阻力R≠0时的有阻尼自由振动微分方程为

${\begin{cases} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 2 n \frac{d x}{d t} + k^{2} x = 0 ‚ \\ x |_{t = 0} = x_{0} ‚ \frac{d x}{d t} |_{t = 0} = v_{0} . \end{cases}$

此时, 方程的特征方程为r2+2nr+k2=0, 其根为

$r = \frac{- 2 n \pm \sqrt{4 n^{2} - 4 k^{2}}}{2} = - n \pm \sqrt{n^{2} - k^{2}} .$

以下按n<k, n>k及n=k三种不同的情形分别进行讨论.

(1) 小阻尼情形:n<k

特征方程的根是

$r_{1} = - n + i \cdot \sqrt{k^{2} - n^{2}} ‚ r_{2} = - n - i \cdot \sqrt{k^{2} - n^{2}} .$

是一对共轭复根, 所以方程的通解为

$x = e^{- n \cdot t} (c_{1} \cos \sqrt{k^{2} - n^{2}} t + c_{2} \sin \sqrt{k^{2} - n^{2}} t) .$

应用初始条件, 定出 $c_{1} = x_{0} ‚ c_{2} = \frac{v_{0} + n x_{0}}{\sqrt{k^{2} - n^{2}}}$ ,

因此所求特解为

$x = e^{- n \cdot t} (x_{0} \cos \sqrt{k^{2} - n^{2}} t + \frac{v_{0} + n x_{0}}{\sqrt{k^{2} - n^{2}}} \cdot \sin \sqrt{k^{2} - n^{2}} t) .$

记 $ω = \sqrt{k^{2} - n^{2}}$ , 那么上式即为

$x = e^{- n \cdot t} (x_{0} \cos ω \cdot t + \frac{v_{0} + n x_{0}}{ω} \cdot \sin ω \cdot t) .$

如果令 $x_{0} = A \sin φ ‚ \frac{v_{0} + n x_{0}}{ω} = A \cos φ ‚ (0 \leq φ < 2 π)$ , 则

x=Ae-n·tsin (ω·t+φ) .

其中A及φ可用下式求得 $A = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{(v_{0} + n x_{0})^{2}}{k^{2} - n^{2}}}$ ,

当v0+nx0>0时, $φ = \arctan \frac{x_{0} \sqrt{k^{2} - n^{2}}}{v_{0} + n x_{0}}$ ;

当v0+nx0<0时, $φ = \arctan \frac{x_{0} \sqrt{k^{2} - n^{2}}}{v_{0} + n x_{0}} + π .$

从物体的运动规律x=Ae-n·tsin (ω·t+φ) 可以看出:

周期仍是 $Τ = \frac{2 π}{ω}$ , 但与简谐振动不同, 它的振幅Ae-n·t随时间的增大而逐渐减小.因此, 物体随时间t的增大而趋于平衡位置.小阻尼情形下函数的图像是:

(2) 大阻尼情形:n>k

此时特征方程的根是

是两个不相等的实根, 所以方程的通解为

由初始条件可得

从表达式可看出, 当t※+∞时, x※0.因此, 在大阻尼情形, 物体随时间t的增大而趋于平衡位置.大阻尼情形下函数的图像是:

(3) 临界阻尼情形:n=k

此时特征方程的根r1=r2=-n是两个相等的实根, 所以方程的通解为x=e-n·t· (c1+c2t) .

由初始条件可求出c1=x0, c2=v0+nx0, 故方程的解为

从而可以看出, 当t※+∞时, x※0.因此, 在临界阻尼情形, 物体也随时间t的增大而趋于平衡位置.临界阻尼情形下的函数图像是:

振动现象在自然界及工业生产上广泛存在, 例如, 在无线电接收机中利用共振现象进行调谐, 在工业上也有利用共振现象的震动泵, 等等.但是, 由于共振现象使得一个系统在不大的周期外力作用下能够产生振幅很大的振动, 因而对于机械系统来说, 往往会造成灾难性的后果.为了避免由于振动产生的灾害, 需要用数学的知识对振动的相关量进行精确的计算, 二阶常系数线性微分方程在解决振动现象的相关问题时有着广泛的应用.

微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求, 运动物体 (变量) 与它的瞬时变化率 (导数) 之间, 通常在运动过程中按照某种已知定律存在着联系, 我们容易捕捉到这种联系, 而这种联系, 用数学语言表达出来, 其结果往往形成一个微分方程.微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式一旦求出这个方程的解, 其运动规律将一目了然.

参考文献

[1]全国硕士研究生入学统一考试数学考试参考书.北京:高等教育出版社, 2005.

[2]江苏教育学院数学系.常微分方程复习参考.1995.6.

[3]http://baike.baidu.com/view/44699.htm-fr=ala0.

[4]http://xhc.cumt.edu.cn/xuhaivideo/shuli-gdsx/jianmo/fangcheng.

微分方程模型篇2

从研究岩石破坏机理着手,结合室内相关岩石力学试验,建立莫尔包络线对数模型方程,并对其进行参数率定,得出应用范围、变化趋势和岩石的破坏机制,简化岩石破坏强度的研究,可推广到其它的岩石力学实验中.

作者：胡广鑫曹广祝王瑞兵杨碧 HU Guang-xin CAO Guang-zhu WANG Rui-bing YANG Bi 作者单位：昆明理工大学国土资源工程学院地科系,云南,650093 刊名：云南地质英文刊名：YUNNAN GEOLOGY 年，卷(期)： 28(2) 分类号：P642.3 关键词：对数模型方程莫尔包络线极限应力圆最小二乘法岩石剪切破坏

单方程计量经济学模型篇3

关键词：回归分析；居民消费支出；青岛市生产总值

中图分类号：F047.3文献标识码：A 文章编号：1006-4117（2011）08-0362-02

一、导论——理论模型的设计

本文研究的是从1991年到2008年十八年的青岛市居民消费总额与全市生产总值之间的定量关系。居民消费总额是生产总值中的一部分，并且占有相当大的比重，生产总值的变化会引起居民消费的巨大变化，为此我们建立以下模型，分析二者之间的定量关系：Y= a + bX + μ

其中，①被解释变量Y为居民消费总额，解释变量X为青岛市生产总值。 ②二者的关系确定为线性关系。③拟定式中待估参数的理论期望值，00。μ为随机误差项，描述变量外的因素对模型的干扰。

二、样本数据搜集

该模型使用的是时间序列数据，数据来源于青岛市统计信息网及09年青岛市统计年鉴，选取从1991年到2008年共18年的数据，经过大量分析比较得到我们所需样本数据，其中居民消费支出总额用统计年鉴中消费品零售总额近似替代，见表一，其中Y为青岛市居民消费支出总额，X为全市生产总值，单位为万元。

表1：样本数据单位：万元

数据来源：《青岛市统计年鉴》（2009），青岛市统计信息网

三、参数估计与检验

（一）将样本数据导入Eviews软件进行OLS估计，得到输出结果如下：（表2）

（二）模型的检验

1、经济意义的检验：经过上面的分析我们在理论上已经知道，居民消费支出总额与全市生产总值呈现正的线形关系，这与理论中消费总额与生产总值同向变化是相符的。

2、统计检验

（1）拟合优度检验。从估计的结果可以看到，可决系数为0.998546，模型的拟合优度图和残差图如下：（图2）

从图中我们可以直观的看出，模型拟合情况比较理想。说明解释变量X能够较好地对被解释变量作出解释，拟合效果较好。

（2）变量的显著性检验。由统计结果显示，系数显著性检验T统计量为104.8137。给定显著性水平0.05，查T分布表在自由度为n-2=16下的临界值t0.025(16)为2.1199，104.8137>2.1199，故应拒绝原假设（H0：b=0），同时说明解释变量生产总值在95%的置信度下显著，即通过了变量显著性检验，生产总值对居民消费支出总额有显著性影响。

3、计量经济学检验

（1）该模型只有一个解释变量，故不存在多重共线性问题。

（2）随机干扰项的异方差检验。对方程使用怀特检验，得Eviews结果如下：表3

有统计结果显示，Obs*R-squared =12.73589 ，此时给定显著性水平a=0.05下，查查x2分布表,得临界值X20.05(2)=5.991。因为12.73589>5.991，拒绝原假设（误差项同方差），故可判断该模型存在异方差性。

（3）自相关检验。使用杜宾—瓦森检验法。由表一统计结果显示，DW=1.671267。查DW表，n=18,k=2,查得两个临界值分别为：下限Dl=1.16，上限Du=1.39 ，因为DW统计量估计值1.671267>Du，根据判定区域知，这时随机误差项不存在自相关。

四、模型修正

针对方程存在的异方差性进行修正，采用加权最小二乘法对模型进行修正，以1/(resid^2)作为权重进行加权，重新进行估计得到下表结果：表4

进一步对其进行怀特检验，得到如下结果：表5

从上述检验结果可以看出obs*-squared为1.117560。由White检验知，给定显著性水平a=0.55下，查查x2分布表,得临界值x20.005=5.991。因为1.117560<5.991，所以接受原假设（误差项同方差），故可判断该结构方程不存在异方差性，即异方差性消除。

五、结论

通过以上分析与修正，我们最终得到如下方程：

＝57072.35＋0.321928X

(107.7815)(3106.822)

R^2＝1.000000 F＝9652343. DW＝1.640615

（注：括号中为t统计量值）

根据以上分析，我们可知该模型是可显著成立的，该模型的拟合度非常高，拟合性较好，数字上都符合各项检验，不仅说明模型建立的科学性，也充分验证了全市生产总值与居民消费支出总额之间有很明显的正相关性，符合经济现象。

微分方程模型篇4

弓网振动系统是一个复杂的动力学系统, 通常将它作为一个通过弓网间接接触力耦合在一起的整天系统进行研究[1,2]。由于接触网刚度不是一个常数, 在每一跨内及跨间变化, 因此动车在运行过程中, 受电弓与接触网的接触就相当于受电弓与一个变刚度的弹簧系统的接触。

式中:v———动车速度, m/s;

L———接触网跨距, m;

L1———接触网相邻吊弦间距, m;

k0———平均刚度, N/m;

α1、α2、α3、α4和α5———刚度差异系数。

目前, 研究受电弓的动力学特性常采用归算质量模型, 就是利用动能等效原理将受电弓简化成几个具有集总质量的结构模型, 根据集总质量的数目可分为一元, 二元, 三元模型及多元模型。

采用如图1所示的三元受电弓模型[4], 对模型进行动力学分析, 可得受电弓动力学方程:

式中:k (t) ———接触网等效刚度, N/m, 见式 (2) ;

F———静抬升力, N;

m1、m2、m3———分别为弓头归算质量、上框架归算质量、下框架归算质量, kg;

k1、k2———分别为弓头刚度、上下框架间刚度, N/m;

c1、c2、c3———分别为弓头阻尼、上下框架间阻尼和下框架与动车车体间的阻尼, N·s/m;

zr———来自动车的激扰信号。

2 DSA系列高速受电弓的运动微分方程

受电弓底座随机车的运动有3个分量, 分别用x0, y0, φ0表示。设机车匀速运动, 则x0, y0, φ0可表示为时间t的函数:

受电弓的工作范围是升弓高40~190cm。在这工作范围内, 下臂杆升弓角β, 上框架升角αc与拉杆升角α有如下关系[5]:

式中:fb1, fb2, fc1, fc2对于特定的受电弓是固定常数。利用 (6) 式, 可以大大简化受电弓的动能、势能以及耗散函数的数学表达式。

2.1 受电弓的总动能

式中:TT———弓头的动能;

Tz———支架和上框架上部的动能;

Tsx———上框架下部的动能;

Txb———下臂杆的动能;

TL———拉杆的动能。

式中:mt———弓头的质量;

IT———弓头相对于其质心的转动惯量;

mz———支架的质量;

Iz———支架的侧滚转动惯量;

Iz0———弓头的俯仰转动惯量;

msx———上框架下半部分的质量;

Isx———上框架下半部分相对于上框架下铰的转动惯量;

lsxc———上框架下半部分的质心到上框架下铰的距离;

I1———拉杆相对于拉杆下铰的转动惯量;

m1———拉杆的质量;

lc1———拉杆质心到下臂杆下铰的距离;

I2———下臂杆相对于下臂杆下铰的转动惯量;

m2———下臂杆的质量;

lc2———下臂杆质心到下臂杆下铰的距离。

2.2 受电弓的耗散函数

耗散函数反映了系统阻尼所消耗的能量, 可以表示为:

式中:A=fb1l2cosβ+fc1l3cosαc;

CT———弓头弹簧的阻尼系数;

Czφ———上框架的侧滚阻尼系数;

Cz———上框架的垂向阻尼系数;

Mc———下臂杆上阻尼器的阻尼系数。

2.3 受电弓的势能函数

式中:KT———弓头弹簧的弹性系数;

KT0———弓头的俯仰弹簧系数;

Kzφ———上框架的侧滚弹簧系数;

b0———2个弓头弹簧之间的距离。

2.4 受电弓上广义力

设2根滑板的间距为d;受电弓的静态升弓压力为PN;对于某一个特定的升弓角α, 在机车运动过程中, 相对于这个升角的波动角为αt。利用虚位移原理, 可以求得对应于各自由度的广义力;

2.5 受电弓的运动微分方程

将前面所得到的动能T, 势能U和耗散函数Φ的微分以及广义力分别代入拉格朗日方程得:

最终得到高速受电弓的运动微分方程为:

将式 (20) 与相应的接触网的运动微分方程耦合在一起即可得到整个弓网系统的微分方程[7]。在这些方程的基础上, 利用C语言编程计算, 即可对高速弓网系统进行模拟分析。从力学角度看, 由于接触网是一个变弹性结构[8], 受电弓和接触网动态耦合系统, 是一个时变系统, 单独地讨论受电弓或单独地讨论接触网都是很不够的。因此必须把受电弓和接触网的运动微分方程耦合起来整体进行讨论, 才能得出具体实际应用价值的结论。

参考文献

微分方程模型篇5

3.1建立一元一次方程模型

教学目标

1.会从简单的实际问题中建立一元一次方程模型；

2.通过观察、归纳一元一次方程的概念；

3.理解什么是方程的解及解方程，学会检验一个数值是不是方程的解的方法.教学重点

建立一元一次方程模型和一元一次方程的概念.教学难点

从实际问题中寻找相等关系.教学过程

一、创设情境，导入新课

1.问题引入

问题1：武广高铁全长1068km,“和谐号高速列车从广州站开出2.5h后，离武汉还有318km.求该高速列车的平均速度是多少？(1)你能用语言表示该问题中的等量关系吗？

(2)设该高速列车的平均速度是xkm∕h,试用含x的式子表示该问题中的等量关系.问题2：一个长方体形的电视机包装盒，它的底面长为1.2米，高为1米，且包装盒的表面积为6.8平方米，求该包装盒的底面宽是多少米？(1)你能用语言表示该问题中的等量关系吗？

(2)设该包装盒的底面宽是y米,试用含y的式子表示该问题中的等量关系.说明：教师以问题形式，引导学生完成问题1、2，并感知在实际问题中建立一元一次方程模型.2.引入方程概念

(1)在等式2.5x＋318＝1068中，2.5、318、1068叫已知数，字母x表示的数叫未知数.(2)我们把含有未知数的等式叫作方程，如：2y＋2.4y＋2.4＝6.8，2.5x＋318＝1068中，x、y都是未知数，这些等式都是方程.(3)像问题1和问题2那样，把所要求的量用字母x(或y等)表示，根据问题中的数量关系列出方程，这叫作建立方程模型.二、合作交流，探究新知

例题讲解（补充例题）

【例1】检验下列各数是不是方程2x-5=3x的解?（1）x=-5；（2）x=2.小结：检验一个数是否为方程的解，其方法是什么？

【例2】已知方程(1a)x22x32是关于x的一元一次方程，求a的值.三、应用迁移，拓展提高

1.在5x0,4k3,x2xyy25,235,3x6,（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.教材P85练习第2题.3.若方程4x52k+3=0是关于的一元一次方程，则k=.4.某校七年级328名师生乘车外出，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？设需租用客车x辆，列出方程是_____________________.5.小颖种了一株小树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约15厘米，大约几周后树苗长高到1米？设x周后树苗长高到一米，列出方程是____________________.四、总结反思，拓展升华

1.实际生活中很多问题可以利用方程来解决.2.方程，一元一次方程，方程的解等概念.3.检验一个数是否为方程的解.五、作业

课本P85习题3.1A组第2、3题．

微分方程模型篇6

最后，将隶属度代入模糊关系方程中，得到中国火灾损失平均值隶属度的预估值，再进行代回，就可以得到中国火灾损失平均值的预估值。

关键词：模糊关系方程系统聚类隶属度

中图分类号：X928.7 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）05（a）-0171-02

1 研究意义

火灾是始终威胁着人类的财产，以及生命的安全。每年给中国带来巨额损失，从2000年以来，中国由于火灾造成的损失每年平均达到151 15亿元。通过对火灾的分析和研究，能够为火灾的防护工作提供帮助，为政府规划提供依据。

2 研究内容

利用系统聚类的方法将中国火灾损失折款进行分类，得到如下结果：第一类：1995年、1996年、2006年、2007年；第二类：1997年、1998年、1999年、2000年、2001年、2002年、2003年、2004年、2005年；第三类：2008年。

利用平均火灾损失，将每一类取平均值，得到的结果为：16 836.75万元、7 542.922 222万元、13 315万元。利用上述分类，将其他的因素进行平均，得到每一类中的平均值。国内生产总值为：150 585.9亿元、117 064.2亿元、302 853.4亿元；总人口：126 771.8万人、127 440.8万人、132 802万人；能源生产总量：179 537.8万吨、149 987.4万吨、248 083.9万吨；固定资产投资：72 563.73亿元、45 738.97亿元、172 828.4亿元。

由模糊关系方程[1]。按照最大最小原则展开，得到如下模糊线性方程组[2]：

3 结语

该文在深入研究了中国火灾损失的具体情况之后，建立了中国火灾平均损失的模糊关系方程的函数模型，用模糊关系方程预估中国火灾的平均损失，关键是各因子隶属函数的确定、隶属函数的设计。该文的研究表明，用模糊关系方程来预估中国火灾损失的平均损失的方法简单易行，便于实际应用。

參考文献

[1]陈大业，王秀文.利用模糊关系方程预报大华北地区的最大震缓范围[J].西北地震学报，1989（4）：64-70.

[2]李文秀，候晓兵，王晶，等.模糊数学在预测溶解法采盐地面下沉中的应用[J].模糊系统与数学，2006，20（6）：143-148.

[3]吴卢荣，江希钿.用模糊关系方程预估林分蓄积量的研究[J].福建林学院学报，1993，13（2）：166-169.

结构方程模型概述篇7

一、基本原理

(一) SEM中的基本概念

1. 变量。

在SEM中, 根据变量能否被直接测量而将其分为观测变量和潜在变量。观测变量是可以直接被测量的变量, 如年龄、文化程度、身高、体重等。潜在变量是用理论或假设来建立的、无法直接测量的变量, 如智力、性格等, 不过它也可以用观测变量来构建。从相互关系上分为外源变量 (自变量) 和内源变量 (因变量) 。外源变量是引起其他变量变化和自身变化, 且假设有系统外其他因素所决定的变量。内源变量则是受其他变量影响而变化的变量。四种变量结合起来形成四类变量, 即内源观测变量和外源观测变量, 内源潜在变量和外源潜在变量。另外, 有些统计技术虽然允许因变量含有测量误差, 但却假设自变量是无误差的, 如回归分析。事实上, 任何测量都是会产生误差的, SEM则允许自变量和因变量都存在测量误差, 并且试图更正测量误差所导致的偏差。

2. 指标。

SEM的指标分反映性指标和形成性指标, 它们是因潜在变量与观测变量之间因果优先性而产生的不同概念指标体系。反映性指标是当潜在变量被看成是一种基础建构时, 产生某些被观测到的事物 (即观测变量是效果, 潜在变量是因子) , 反映这种潜在变量的指标称反映性指标。形成性指标是潜在变量被视为受观测变量影响 (即潜在变量是效果, 观测变量是因子) 时所形成的线性关系, 这时观测变量称形成性指标。指标含有随机误差和系统误差, 统称为测量误差或误差。随机误差指测量上不准确的行为, 系统误差反映指标也同时测量潜在变量以外的特性。

(二) SEM的结构

SEM中变量与变量之间的联结关系用结构参数表示, 提供变量间因果关系不变性的常数, 描述观测变量与观测变量之间、观测变量与潜在变量之间以及潜在变量与潜在变量之间的关系。这些变量又可归纳为两种模型, 即测量模型和结构模型。

1. 测量模型 (Measurement Model) 。

也称为验证性因子分析模型, 主要表示观测变量和潜变量之间的关系。度量模型一般由两个方程式组成, 分别规定了内源潜在变量η和内源观测变量y之间, 以及外源潜在变量ξ和外源观测变量x之间的联系, 模型形式为:

其中, x为外源观测变量组成的向量;y为内源观测变量组成的向量;Λx为外源观测变量与外源潜在变量之间的关系, 是外源观测变量在外源潜在变量上的因子负荷矩阵;Λy为内源观测变量与内源潜在变量之间的关系, 是内源观测变量在内源潜在变量上的因子负荷矩阵;δ为外源观测变量x的误差;ε为内源观测变量y的误差;ξ与η分别是x与y的潜在变量。

2. 结构模式 (Structural Equation Mode1) 。

又称为潜变量因果关系模型, 主要表示潜变量之间的关系。规定了所研究的系统中假设的外源潜在变量和内源潜在变量之间的因果关系, 模型形式为:

其中, η是内源潜在变量;ξ是外源潜在变量;β是内源潜在变量η的系数矩阵, 也是内源潜在变量间的通径系数矩阵;Γ是外生潜变量ξ的系数矩阵, 也是外源潜在变量对相应内源潜在变量的通径系数矩阵;ζ为残差, 是模式内未能解释的部分。

上述模型有以下一些假定:E (ζ) =0, E (δ) =0, E (ε) =0, E (ξ) =0, E (η) =0;ε与ζ相互独立, δ与ξ相互独立, ε与η相互独立, ζ、δ及ε相互独立。

二、SEM的基本过程

SEM的建立过程有四个主要步骤, 即模型构建 (model specification) 、模型拟合 (model fitting) 、模型评价 (model assessment) 以及模型修正 (model modification) 。

(一) 确定初始模型

利用SEM分析变量 (包括观测变量和潜在变量) 的关系, 关键一步是根据专业知识和研究目的, 构建出理论模型, 然后用测得的数据去验证这个理论模型的合理性。开始建立的理论模型有可能不是较理想模型, 需要在数据的拟合过程中修改、评价, 再修改、再评价……, 直至建立较理想模型。在建构模型时, 首先检查每一个测量模型中各因子 (潜在变量) 是否可以用研究的观察变量来测量, 这主要根据专业知识确定, 同时可借助于探索性因子分析, 建立测量模型;然后根据专业知识确定各因子之间可能存在的因果关系, 建立结构模型。在建构模型时, 应注意模型的识别问题, 可以用t法则、两步法则、MIMIC法则判定。

(二) 模型拟合

模型拟合就是通常所说的参数估计, 所要做的是使模型隐含的协方差矩阵 (即再生协方差矩阵) 与样本协方差矩阵之间的“距离”最小。这个“距离”称为拟合函数。两个矩阵之间的“距离”有多种不同的定义方法, 因而产生了不同的拟合函数, 即不同的参数估计方法。参数估计方法主要通过下列拟合函数:TSl S (两阶段最小二乘) 、ULS (非加权最小二乘) 、ML (最大似然) 、GIS (广义最小二乘) 、WLS (一般加权最小二乘) 、DWLS (对角加权最小二乘) 等。其中ML估计分布是渐进正态分布, 但ML是无偏、一致、渐进有效的估计方法, 且有尺度不变性, 因此在参数估计时以ML最为常用。

(三) 模型评价

参数估计出来之后, 就得到了拟合模型。但要知道模型拟合的好坏, 还应对模型进行评价。大致从以下三个方面讨论:一是参数合理性 (比如相关系数应在-1到+1之间、与先验假设不应有严重的冲突等) 和参数检验的显著性;二是决定系数的大小;三是拟合指数。

其中, 拟合指数是最为常用的。拟合指数分为三类:绝对拟合指数、相对拟合指数及简约指数。相对于绝对拟合指数和相对拟合指数来说, 简约指数较少用。绝对拟合指数是将理论模型 (Mt) 和饱和模型 (Ms) 比较得到的一个统计量, 常用的绝对拟合指数有x2、RMSEA (近似误差均方根) 、SRMR (标准化残差均方根) 、GFI (拟合优度指数) 、AGFI (调整拟合优度指数) 。其中x2值越小越好, RMSEA值越小越好, 当RMSEA小于0.1时, 表示好的拟合。SRMR的取值范围0~1, 其值越小越好, 当小于0.08时认为模型可以接受。常用的相对拟合指数有NNFI (非范拟合指数) 、NFI (赋范拟合指数) 、CFI (比较拟合指数) 。对模型评价时, 不应单靠某几个拟合指数就做出模型拟合程度的结论, 而应将它们联合考察。

(四) 模型修正

对模型进行评价的目的, 不是简单地接受或拒绝一个假设的理论模型, 而是根据评价的结果来寻求一个理论上和统计上都有意义的相对较好的模型。一个好的模型应具备以下几个条件: (1) 测量模型中的因子负荷和因果模型中的结构系数的估计值都有实际意义和统计学意义; (2) 模型中所有固定参数的修正指数 (MI) 不要过高; (3) 几种主要的拟合指数达到了一般要求; (4) 测量模型和因果模型中的主要方程的决定系数R应足够大; (5) 所有的标准拟合残差都小于1.96。

如果我们希望看到的上述情况中的一种或几种没有出现, 可以根据具体的结果做出如下改变: (1) 删除相应的自由参数。 (2) 将最大或较大MI的参数改为自由参数。 (3) 当评价结果中有较大的标准残差时, 通过不断添加与删除自由参数, 直到所有的标准残差均小于2为止。 (4) 如主要方程的决定系数很小, 则可能是以下某个或某几个方面的原因:一是缺少重要的观察变量;二是样本量不够大;三是所设定的初始模型不正确。

三、结语

从SEM的原理及分析步骤可以看出, 结构方程模型包含了验证性因子分析与路径分析的优点, 分析结果更加接近实际。SEM从构建初始模型到比较理想模型的确定, 就是一个不断修正、评价的过程。SEM的广泛应用反映了数据分析方法的进步, 我们应该掌握SEM的基本原理、基本过程等, 并在使用过程中遵循一定的标准并注意使用条件, 为发挥这种新方法的优势提供可靠的保证。

摘要：结构方程模型被称为近年来统计学三大发展之一, 与传统的统计分析方法相比有很大的优势。文章主要介绍结构方程模型的基本原理、建模的基本过程等方面内容。它的使用为分析复杂的多变量关系奠定了方法论的基础。

关键词：结构方程模型,因果关系,统计方法

参考文献

[1]黄芳铭.结构方程模式理论与应用[M].北京:中国税务出版社, 2005.

[2]吴兆龙, 丁晓.结构方程模型的理论、建立与应用[J].科技管理研究, 2004, (6) .

[3]曲波, 郭海强, 任继萍, 孙高.结构方程模型及其应用[J].中国卫生统计, 2005, (6) .

[4]田晓明, 傅珏生.结构方程模型的统计方法及比较[J].苏州大学学报, 2005, (4) .

[5]秦浩, 陈景武.结构方程模型原理及其应用注意事项[J].中国卫生统计, 2006, (4) .

微分方程模型篇8

在实际生活中, 人们需要对图像按照需求进行必要的放大, 其本身有着非常重要的实用价值。例如人类对宇宙的探索, 通过卫星传感器传回到地球表明的照片, 为了得到有关宇宙的有效的细节信息, 就需要对卫星图片进行放大;在医学方面, 比如对CT图像的放大, 可以更方便医生去把握病人的具体病情;因此图像放大在图像处理技术是一个热门的研究方向。本文中研究了基于小波的偏微分方程综合模型的图像放大方法, 此算法将传统的各向异性偏微分方程模型和高阶偏微分方程模型自适应结合, 然后应用小波算法对结合后的模型得到的图像实行小波分解, 将得到的低频图像的幅值做更改, 重构, 取得最后的放大图像。

二、综合模型

(一) 综合模型及其特性。在图像的边缘保持方面各向异性扩散模型效果很好, 然而, 方块效应会产生在图像的平滑区域。但是四阶偏微分方程模型却能避免“方块效应”的产生, 能保留细小的纹理。所以文中研究了将四阶偏微分方程模型及异性扩散模型自适应结合的方法, 对应模型为:

div是散度算子, ▽是梯度算子, g (x) 的表达式如下:

k为梯度门限, s为自适应权重因子[1], 其表达式如下:

在 (1) 中权重因子的作用:根据图像局部梯度的大小可以自适应调节各向异性扩散模型和四阶PDE。图像的非边缘区域, 它的像素点灰度值梯度值也很小, 对应的值也很小, 此时可看作采用四阶偏微分方程模型处理;图像的边缘区域, 它的像素点灰度值梯度值很大, 对应的值也很大, 此时可看作采用各向异性扩散模型来对它来处理。采用这种综合的模型对图像进行处理, 各向同性扩散模型及各向异性扩散模型的优点都得到了很好的利用, 它们的缺点也都摒弃了。c是正的参数[2], 图像不同, c的选取不同的。当然该模型也存在自己的缺点, 比如P-M方程只需要迭代三次就可以达到很好的效果, 四阶需要5次, 而本文提出的模型则需要10次。

(二) 实现综合模型。实际计算中, 对这个综合模型直接进行离散化很难, 故可应用这种方法:对将要放大的图像, 首先可以分别算出各向异性扩散模型和四阶偏微分方程模型的解, 其次将它们的解再结合。设u为向异性扩散偏微分方程的解、v为四阶偏微分方程的解, 利用权函数s, 把u及v凸合并得到综合模型的解:

基于上述思想, 可给出各向异性扩散模型和四阶偏微分方程的离散格式如下所示:

各向异性扩散模型的差分格式为:

四阶偏微分方程的差分格式为:

三、基于小波的偏微分方程综合模型的图像放大方法

利用上述的综合偏微分方程模型, 取得的放大图像, 它的边缘和纹理信息得到了很好的保护。但却得不到高频大量的信息, 从而使得放大后的图像整体效果很差, 由于具有良好的时域和频域局部化性质, 可采用小波变换将图像分解, 得到低频和高频分量, 然后利用低频图像来预测出在高频分量即细节部分所丢失掉的量, 最后进行小波重构获得最终放大的图像。此方法充分考虑了细节分量, 因此取得的图像其效果也是比较很令人满意的。[3~5]。

所以, 小波的偏微分方程综合模型的图像放大算法过程是:对文中给出的偏微分方程综合模型进行迭代, 能够取得初始放大的图像;对初始放大的图像进行小波分解;用幅值增强的方法, 对原始图像进行处理;对初始放大的图像进行小波重构, 并进行软阈值小波去噪。

四、实验结果及其分析

将lena (512×512) 和coins (246×300) 作为原图, 并分别取其一部分, 对其图像采样后的图像加噪 (Gaussian noise (方差为0.002) 和不加噪的放大效果。

五、结语

本文研究了基于小波的偏微分方程综合模型的图像放大算法, 首先组合P-M方程和四阶PDE的综合模型, 这种综合模型结合了各向同性扩散模型和各向异性扩散模型的优点, 对这两个模型本身所存在的缺点做到了最大程度的摒弃, 又由于用这个综合模型得到的放大图像不能提供更多的高频信息, 因此对此图像再进行处理, 先进行小波分解, 然后对它进行重构。实验结果说明, 文中提出的算法放大后的图像整体看来边缘和纹理方向保持清晰, 在细节部分刻画的也比较好, 图像的整体看起来也比较清晰, 其对于含有噪声的图像同样适用。

摘要：本文研究了基于小波的偏微分方程综合模型的图像放大方法, 此算法首先将传统的各向异性偏微分方程模型和高阶偏微分方程模型自适应结合, 其次应用小波变化对结合后的模型得到的图像实行小波分解, 得到低频和高频分量, 然后利用低频图像来预测出在高频分量即细节部分所丢失掉的量, 最后进行小波重构获得最终放大的图像。

关键词：各向异性偏微分方程,高阶偏微分方程,小波变换,图像放大

参考文献

[1]肖甫, 管文坛.一种基于非线性扩散的图像放大算法[J].南京邮电大学学报 (自然科学版) 2008, 28 (5) :79~83

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[6]孙即祥.图像分析[M].北京:科学出版社, 2005

[7]杨翔英, 章毓晋.小波轮廓描述符及在图像查询中的应用[J].计算机学报, 1999, 22

方程模型与应用题教学篇9

1 数学模型

数学模型是针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系, 用形式化的数学语言, 概括地或近似地表述出来的一种数学结构。这种数学结构, 必须经过数学抽象, 舍弃与关系无本质联系的一切属性;必须借助于数学概念和数学符号来描述的结构形式。

数学模型可作广义理解和狭义理解, 按广义理解, 凡一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可称为数学模型;按狭义理解, 只有反映特定问题或特定的具体事物系统数学关系结构, 才叫做数学模型。在现代应用数学中, 数学模型都作狭义的解释, 构造数学模型的目的, 主要是为了解决具体的实际问题。

2 方程模型

2.1 方程与方程组

方程和方程组是中学代数的重要内容之一, 它在数学及其它学科中都有广泛的应用。从某种意义上说, 解方程是初中代数的主线。方程是学习初中其它数学知识和进一步学习高中数学必不可少的基础, 通过方程可以学到很多重要的数学思想和数学方法, 可以培养学生分析问题和解决问题的能力。

2.2 中学代数中常见的方程模型

在一定意义上说, 列方程 (组) 解应用题就是用数学模型方法解决问题的。中学数学课程中方程模型的运用十分广泛, 其中许多问题都能采用几乎是完全采用数学方程模型的方法来解决。将实际问题中的文字语言用方程 (组) 来表示, 解出方程 (组) , 问题便迎刃而解了。

根据中学代数课程中接触到的方程, 将它们与数学模型联系, 得到中学代数中常见的六类数学方程模型:

模型Ⅰ:一元一次方程模型:

ax+b=0 (a≠0)

模型Ⅱ:二元一次方程组模型:

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模型Ⅲ:三元一次方程组模型:

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模型Ⅳ:可化为一次方程的分式方程模型:

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3 方程模型与应用题教学

3.1 应用题教学

列方程 (组) 解应用题是运用方程 (组) 的知识解决实际问题的重要课题, 对于培养学生分析问题和解决问题的能力十分有益, 它既是教学中的重点内容, 又是教学中的难点内容。在初中代数里, 曾先后五次出现列方程 (组) 解应用题:列一元一次方程解应用题;列二元 (三元) 一次方程组解应用题;列可化为一次方程的分式方程解应用题;列一元二次方程解应用题;列可化为一元二次方程的分式方程解应用题。

通过列一元一次方程解应用题与列二元 (三元) 一次方程组解应用题, 列方程 (组) 解应用题的一般步骤是:

(1) 审:分清题中的已知量、未知量及其关系。

(2) 设:用字母表示题中的未知数。

(3) 表:用含有未知数的式子表示题中有关的代数式。

(4) 列:根据题中已知数与未知数的相等关系列出方程。

(5) 解:解出所列的方程。

(6) 验:判断方程的解是否符合题意。

(7) 答:对题目提出的问题作明确的回答。

以上七步, 前三步是基础, 第四步是关键。教学重点放在前四步, 这是教学列方程 (组) 解应用题成败的关键, 当然后三步也不能忽视。

解应用题的前三步是密切相关的, 有时甚至是交织在一起的, 首先要认真审题, 分清题中哪些是已知量, 哪些是未知量, 已知量与未知量之间有怎样的关系, 这些关系是直接给出的, 还是间接给出的。对于条件较多、关系复杂的应用题, 可采用列表或画图的方式, 仔细分析, 加深理解题意。其次, 要重视“用未知数表示代数式”这一环节, 一个应用题往往含有多个量, 当选择某一未知量为未知数后, 就要用这个未知数表示其它相关的量, 不要设完未知数就立即进入布列方程的工作。第三, 搞清一些常见的基本数量关系式, 并熟悉它们的变形, 这对解决常见的应用问题是很有好处的。要寻找题中的等量关系, 这是布列方程的关键所在, 可按“等量关系语”去考虑, 如“多”、“少”、“早”、“迟”、“是”、“为”、“比”等;或者按基本公式去考虑;或者按各类应用题中常用的等量关系去考虑, 如“加水前含盐重量=加水后含盐重量”等;也要注意挖掘隐藏的等量关系, 抓住了这一点, 问题就容易解决了。

3.2 应用举例

例1. 甲和乙从东、西两地同时出发, 相向而行, 两地相距100km。甲每小时走6km, 乙每小时走4km, 同时甲带了一只狗, 和甲同时出发, 狗以每小时10km的速度向乙奔去, 遇到乙后即回头向甲奔去;遇到甲后又回头向乙奔去, 直到甲、乙两人相遇时狗才停住。这只狗一共奔了多少路?

分析:本题是初中数学教材中的一类重要的一元一次方程的应用题——相遇问题, 但它不是一道一般的相遇问题的应用题。由题目中所给条件可以看出, 狗奔行的路线是不断往复的, 在通常的解法中, 学生常将这种运动加以分解, 然后逐段计算。但在此题中, 这样做很困难。事实上若从整体考虑, 狗实际上是在作匀速运动, 要计算运动的路程, 只须求出运动时间, 再乘以已知的运动速度即可, 而狗运动的时间, 显然就是甲、乙两人从出发到相遇所需的时间, 这是很容易计算的。

此时, 我们设甲、乙两人从出发到相遇所用的时间为x小时, 根据题目中条件, 可列出一元一次方程:6x+4x=100。求出x后, 与狗的速度相乘即可求出狗一共奔过的路程。而上式正是这一问题的一个数学模型 (方程模型) 。

解: 设甲、乙两人从出发到相遇所用的时间为x小时, 根据题意, 得

6x+4x=100

解这个一元一次方程, 得

x=10

10×10=100 (km)

答: 这只狗一共奔了100km的路程。

例2. 甲对乙说, 我像你这样大岁数的那年, 你的岁数等于我今年岁数的一半;当你到我这样大的岁数时, 我的岁数是你今年岁数的2倍少7岁。甲、乙两人说话的那年各几岁?

分析:假设x、y分别是甲、乙两人说话那年的岁数, 那么当甲的年龄是说话那年乙的岁数即y岁时, 乙的年龄即为undefined岁;当乙的年龄到了说话那年甲的岁数即x岁时, 甲的年龄即为 (2y-7) 岁, 由表1可清晰地看出:

甲乙两人的岁数在说话那年的以前和以后到说话那年经过的时间 (即年数) 是一样的, 据此我们可列出二元一次方程组:

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该二元一次方程组即为此问题的一个数学模型, 说得更确切些即为它的一个方程模型。解这个方程组, 即可得到该问题的解:x=28, y=21, 即在说话那年, 甲28岁, 乙21岁。

解: 设x、y分别是甲、乙两人说话那年的岁数, 那么当甲的年龄是说话那年乙的岁数即y岁时, 乙的年龄即为岁;当乙的年龄到了说话那年甲的岁数即x岁时, 甲的年龄即为 (2y-7) 岁, 根据题意, 得

undefined

解这个二元一次方程组, 得

undefined

答: 在说话那年, 甲28岁, 乙21岁。

这些题目的特点在于要求学生创设问题解决的情境来构造数学模型 (多个未知数用多个方程形式联立方程组) 。这个问题难就难在根据实际情况找出等量关系, 进而构造出数学模型。这一数学思想在中学数学教学中的应用十分广泛, 在讲解时, 时常特别强调这一关键。

由此看来, 中学数学课程中的方程模型的运用十分广泛, 其中的许多问题都能采用数学方程模型的方法来解决。教学时, 指导学生将实际问题中的文字语言用方程 (组) 来表示, 解出方程组, 问题便迎刃而解了, 同时要讲清列方程 (组) 的关键——找等量关系, 此即为构造方程模型的关键。

中学数学内容包括代数、几何、三角等几个部分, 它们都各自构成数学模型, 每一个这样的数学模型又可分为若干个小的数学模型, 这许许多多的数学模型, 经过教法设计和逻辑处理后, 有机地结合起来, 构成了中学数学的知识系统, 依此观点, 可以认为中学数学教学实际上是数学模型的教学, 而方程模型是重要的数学模型之一。因此要在中学数学教学中加强这方面的指导。

摘要：对模型、数学模型、数学模型方法及方程和方程组进行了概述, 归纳总结了中学代数中常见的六类方程模型, 并对中学代数教学中的应用题教学进行了分析与论述;最后结合数学模型方法解决了部分实际应用题, 体现了这一思想方法在中学代数应用题教学中的广泛应用。

关键词：数学模型方法,方程模型,应用题教学

参考文献

[1]王仲春.数学思维与数学方法论[M].北京:高等教育出版社, 1999.

[2]赵振威.中学数学教材教法[M].上海:华东师范大学出版社, 2006.

微分方程模型篇10

Labview是由美国国家仪器有限公司开发的一款虚拟仪器软件,其最大的特点在于它利用G语言进行编程(既图形化编程语言)。相对于文本编程语言(如C,Jave,VB)图形化编程语言更直观也更易被理解,并在Labview中提供了大量的控件供用户使用,很大程度的减少了用户的工作量;因此被广泛的应用于教学,科研,测试和工业自动化领域。

图形化交互界面(GUI)使用户能够更直观的,更方便的与计算机进行交流,从而加的了其灵活性和虚拟系统设计的方便性;并以其在硬件和开发时间上的低成本而见长。本文以Labview和控制设计和仿真工具包等为平台进行控制系统的设计与仿真。本文主要是进行对于各种状态空间模型、传递函数模型和零点/极点/增益模型进行相互转化系统进行仿真和设计,设计一个能简单转化的设计。

2、程序与模型

控制系统的数学模型在进行转化的时候简单点的可以通过手算实现,但如果模型较为复杂,那就大大的提高了手算的难度,就算利用编程来实现也不是那么的方便。因此利用labview的GUI的优势,利用软件提供的控制设计和仿真工具包中的控制模块进行了最常见的几种模型转换的设计,如图1.1所示为程序设计版,其中运用了分支结构和顺序结构。

控制模型功能介绍。本节将程序要用到的一些控制模型的功能与作用进行简要的介绍。

状态方程模块的函数的端子如上图2.1所示。如果采样间隔端子没有连接,那么系统被默认为是连续采样。将一个值连到采样间隔端子上会使系统变为离散系统,它使用给定的时间作为采样间隔。状态空间模型的A、B、C、D矩阵都有对应的端子。

传递函数模块(如图2.3)中的重要的端子为分子和分母。与前一个例子一样,一旦模型被创建,那么它既可以被显示在前面板中,也可以连接到其它函数上在LabVIEW软件中,数组的第一个元素为s0的系数,第二个元素为s1的系数,第三个元素为s2的系数…这是需要注意的。

零极点函数模块(如图2.3)中零点和极点处和增益系数为重要的输入端一旦模型被创建,那么它既可以被显示在前面板中,也可以连接到其它函数上在LabVIEW软件中,来实现控制仿真。

时间选项板(如图2.4)中有经常使用的虚拟仪器包括控制设计阶跃响应和控制设计冲击响应,其图像可以通过输出端连接图形显示器。

3、仿真结果

经前面版显示结果得:

如图3.1所示左边初始输入方程为传递函数,右边显示为状态方程和常见的响应。

4、结语

本文主要介绍了利用LABVIEW进行控制模型的转换及常用响应的显示。并且利用labview还可以将其转换为EXE程序或ZIP程序,这样的话就算电脑上没有安装LABVIEW软件也可以使程序运行,在运用过程中增加了方便程度。不过本程序还可以进一步的完善和扩展如可以增加串并联模块和反馈模块,在图形显示方面还可以加入根轨迹模型和Nyquist图形等。LABVIEW的运用一些工程计算变得方便和直观,也简化了工程人员的工作量。

摘要：本文主要介绍了利用LABVIEW软件和控制设计和仿真工具包进行对于控制方程模型进行转化和常见响应的图形行显示的程序设计与仿真。

关键词：LABVIEW,控制方程,设计与仿真

参考文献

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微分方程模型篇11

关键词期权定价；倒向随机微分方程；拟线性抛物型法；概率表示；分层方法

中图分类号F830.9， O241.81 文献标识码A

1引言

期权是金融衍生工具的一种基本形式，近年来，金融衍生工具变得越来越重要，主要是因为它可以作为保值和减小风险的工具，又可以被当做高风险和高收益的机会.金融衍生工具本身是一种证劵，其价值依赖于其他更基本的“标的资产”，在今天的国际金融市场上，金融衍生工具形形色色，多种多样，且新产品层出不穷，但最基本的形式有期权（Option），期货（Futures），远期（Forwards）和掉期（Swaps）等等.

在金融经济学中，期权定价及其套期保值策略的构造具有重要的地位，对于定价已有很多研究成果[1，2]，传统的期权定价理论一般以随机分析中的鞅表示定理和Gisanov定理作为研究工具，近年来，随着倒向随机微分方程理论的迅速发展，文献[3，4]采用不同方法分别研究了期权定价问题，并得到相应的结果，即对期权定价模型的处理最终转化为求解倒向随机微分方程或偏微分方程，而对倒向随机微分方程的离散也可转化为求解相应的偏微分方程，故求解偏微分方程变得非常重要.然而，由于非线性偏微分方程的解析解一般很难给出，人们开始转向寻求其数值解，进行数值模拟.在相关的数值研究方面，关于确定性方法研究的文章和著作比较多[5]，通过不确定性的方法来构造数值算法的研究成果相对较少[6-9].本文引入的分层方法就是通过随机方法构造一类求解偏微分方程的数值方法，进而给出求解期权定价模型的数值模拟方法.

经济数学第 29卷第4期

谷伟等：倒向随机方程期权定价模型的一类随机算法

2传统期权定价模型

其中X为期权的执行价格，式（2）中第一个条件是买入期权的终端支付条件；第二个条件是说当股票价值为零时，由于以后的股票价一直为零，故期权价值也为零；第三个条件是说当股票价格无限地递增时，期权越来越可能执行，且执行价格的大小变得不太重要，此时，期权价值就变成了股票价值.引入记号

由以上对传统欧式期权定价公式的介绍可见，欧式期权价格的求解最终转化为对方程（1）的求解，这些抛物型方程只是线性形式的偏微分方程，容易求出其显示解.而对于更复杂的期权模型的研究，很难找到其解析解，就需要通过其他办法来处理，文献[3，4]是其中代表性的研究成果，引入倒向随机微分方程对期权进行定价研究.

3基于倒向随机微分方程的期权定价模型

通过可以由解正倒向随机微分方程得到BlackScholes公式这一事实，不仅说明了倒向随机微分方程理论可以用来对期权定价问题进行更精确更合乎实际的计算和分析，更重要的是人们可以用它来帮助投资者进行回避风险的套期保值及其他各类风险分析.特别是倒向随机微分方程理论可以用来对不完全市场中的各种派生证券的定价及套期保值问题提供有力的分析和近似计算方法.

4离散抛物型微分方程的分层方法

下面考虑如下稍复杂些的一维二阶拟线性抛物型偏微分方程初值问题的离散方法：

方法（17）就是所构造的分层方法，它是隐式格式.以上就是分层方法的基本思想.虽然在分层方法的构造中采用了解的概率表示，但方法本身却是确定性的，事实上，由于对数学期望的计算采用的一般是显示方法，这种不确定性就不存在了.值得注意的是它和通常所见的差分方法的区别是这里仅需对时间区间进行离散，而和x没有必然联系，因此分层方法的优越性就在于它的稳定性是方法本身所固有的[6-9].后来尽管也对x进行了离散，那也只是为了减少计算量.

5算例分析

案例1设股票A现在价格为58.875元，年无风险利率为0.08，设股票年回报标准差为0.22，估计三个月后到期，求执行价格为60元的欧式看涨期权的值？

从表1中可以看出，本文所提供的新的数值算法能够很好的近似期权定价问题的真实解，说明这种新的数值算法在应用上的可行性.并且随着步长h的变小，数值解会越来越接近真实解，并且不同算法获得结果之间的差异也越来越小.本文的算法还适合于求解更为复杂的半线性和拟线性抛物型方程，进而可以用于求解更复杂的期权定价问题.所构造的新算法具有相当的精确性、实用性和可执行性.

总之，自1973年Black和Scholes得到BlackScholes公式时还没有倒向随机微分的概念，而若干年后，人们又从倒向随机微分方程理论再一次推导出来该公式，科学竟产生了如此美妙的共鸣.期权定价理论的发展在客观上极大的促进了倒向随机微分方程的产生和发展，并进一步推动了偏微分方程在理论和计算技术上的发展，而倒向随机微分方程和偏微分方程在期权定价问题中也发挥着越来越重要的作用.

随着市场经济的深入发展，以及我国经济与国际经济的全面接轨，期权定价理论和倒向随机微分方程理论以及偏微分方程计算技术在我国经济金融领域必将得到更加广泛的应用，并且势必对其他的理论产生更大的促进作用和深远的影响.

参考文献

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旅游学结构方程模型应用研究综述篇12

1 SEM原理与优点

SEM程序主要具有验证性功能,研究者利用一定的统计手段,对复杂的理论模型进行处理,并根据模型与数据关系的一致性程度,对理论模型做出适当地评价,从而证实或证伪研究者事先假设的理论模型[2]。SEM可同时估计测量变量和潜变量之间的关系(测量模型),以及潜变量之间的关系(结构模型),之所以流行是因为它在模型中同时结合了验证性因子和回归分析[3]。结构方程模型主要具有以下优点[4]:①可同时考虑和处理多个因变量。②容许自变量和因变量含有测量误差,而目前一般应用的主成分评价法、因子分析法、数据包络分析法、层次分析法、多因素综合评价法、模糊曲线法等统计分析方法的共同缺点是假定所有的变量都能直接测量没有误差、变量之间只有单向的因果关系等,而这些假设在现实中都是很难满足的[2]。③与因子分析相似,SEM容许潜变量(不能直接测量或观测的变量)由多个观测指标构成,并可同时估计各指标的信度和效度,与探索性因子分析不同的是:在因子分析中观测变量可在任何或所有的因子上载荷,且因子数目是受到限制的;而当使用SEM时,使用验证性因子分析(CFA),观测变量在特定因子上载荷[5]。④SEM可采用比传统方法更有弹性的测量模式,如某个观测指标可同时从属于两个潜变量,但在传统方法中一个指标大多只依附于某一个因子变量。⑤研究者可设计出潜变量之间的关系,并估计整个模型与数据的拟合程度。

2 在旅游学中的应用现状

研究者一般选择的变量多是通过李克特问卷量表获得数据,也有个别应用答题者个人统计特征为观测变量,如经济收入、社会地位等。根据调查研究对象可以划分为游客、居民和业者三类。在35篇相关文献中,除1篇为方法介绍外,其余26篇为有关游客感知与行为的研究,7篇为有关居民感知与态度的研究,1篇是针对旅游业从业者的研究,因此游客感知与行为的研究是当前SEM在旅游学领域的应用热点。

2.1 游客感知与行为的研究

SEM对于游客的研究相对较多,研究范围表现出既广泛又相对集中的特点。由于游客旅行体验中对产品和服务质量的感知与对价值的感知、满意度和忠诚度之间具有相关关系,由此形成一个质量—价值—满意度—忠诚度链[19],这是SEM用于游客感知与行为研究的焦点。

感知质量—感知价值—满意度—忠诚度链的研究:在26篇有关游客感知和行为的论文中,有18篇研究游客在目的地体验的感知质量与其满意度之间的关系,并进一步研究这种感知和满意度对其旅游过后的重游行为和推荐意愿之间的关系(表1)。这18篇论文通过不同的案例、不同的外生变量或全部、或部分地验证了这条感知质量—感知价值—满意度—忠诚度链的存在。如Murphy认为,环境、服务要素是目的地产品的两个次组成部分,对游客的感知质量、感知价值、重游意愿有显著影响[8];Oh发现,实际价格及其正负价格不公正对游客感知价格、感知质量与感知价值之间具有显著相关关系[15];Yoon发现,旅游“推—拉"动机、游客满意度与对目的地忠诚度之间存在着重要的关系[17];Lee则证实,旅游地功能价值、整体价值和情感价值对满意度、推荐意愿具有影响[22]。

与旅行动机有关的游客感知和行为研究:Swanson[24,25]检验了游客旅行动机、旅行活动安排和游客人口统计学特征与纪念品消费(纪念品产品、产品特性、商店特性)之间的关系。Reisinger[26]研究了美国、澳大利亚两个青年游客市场对目的地特性的重要性、旅行动机与对目的地特性感知之间的关系。路径模型分别用于每个市场,以检验假设路径并评价两个模型中的异同点,结果强调了比较不同国际游客市场的必要性。Funk[27]研究了来参观澳大利亚黄金海岸马拉松跑步项目比赛的国际游客动机,SEM分析揭示了参与动机主要是社会心理动机,以及基于文化体验和知识学习构成的文化教育动机。

网络利用与旅行实现的研究:在线旅行社区被认为是因特网营销和旅游业电子商务的核心。Wang[28]的研究结果显示,在线旅行社区的参与主要受社会和享乐利益驱动,同时对该旅行社区的贡献水平可由与动机有关的手段、功效、期望3个变量来解释。Kaplanidou[29]利用SEM研究了网站利用率对旅客的影响,其中包含了消费者特征,结果显示视觉动机和旅行信息功能很重要,网站利用率是到目的地旅行意愿的重要预测变量。此外,Neal[30]建立了休闲旅游服务的一种满意度测量模型,研究结果表明旅行经历对生活满意度有着重要的影响。Mazanec[31]则利用SEM探讨了感知利益、是否对欧洲统一货币有信心与游客选择团队旅行产品的偏好之间的路径关系。

2.2 旅游地居民感知与行为的研究

由于理解当地社区对旅游开发的感知,了解他们对旅游业发展态度及其影响因素,对能否成为一个有竞争力的旅游地非常重要[32]。因此,最常构建的内生变量就是居民对社区旅游开发的态度,即居民对社区旅游开发影响的感知与其对旅游开发态度之间是否存在相关关系是结构方程模型在旅游社区居民研究中的重点(表2)。

Lindberg[33]研究发现,经济净收益和认知影响对居民态度的影响大于感知犯罪率和审美的影响,结果支持人口统计学变量通过价值间接影响态度。Ko[3]基于732个韩国重要的国内旅游目的地居民问卷数据,发现居民对社区的满意度与旅游影响的正面感知和负面感知紧密相关,并直接影响到居民对旅游开发的态度。Gursoy[32]调查了美国弗吉尼亚州周围5个县的游憩区域的居民,研究显示接待社区对旅游业的支持态度受对旅游业的关注程度、经济价值感知、基于资源的收益、感知成本和旅游开发利益的影响。Yoon[34]研究发现,经济和文化感知是影响居民对旅游开发支持态度的最重要影响因素,而社会和环境影响与整体影响为负相关,说明居民对环境和文化影响的感知倾向于不支持旅游开发。Yoon[35]通过646份维吉尼亚州利益主体的随机调查发现,旅游利益主体对旅游吸引物/资源开发的偏好受旅游开发影响和地方依赖的共同作用,利益主体对旅游吸引物/资源开发的偏好越多,他们就越可能去支持诸如营销、目的地管理等目的地竞争战略,但也发现并不像原先假设旅游利益主体由于从旅游开发中受益,尤其是经济和文化方面受益,所以才去支持提升目的地竞争力战略。杨兴柱[36]的农户参与旅游决策行为概念模型认为,农户对开发基础认知、地方认同感、旅游影响感知3个外生变量影响农户参与旅游开发的态度,并和农户参与能力一起影响农户参与决策,而参与决策最终影响农户的旅游开发偏好与参与行为。与过去绝大多数居民感知研究都是基于在一个特定的时间内或在旅游开发过后得出的简单映像不同,Lee调查比较了博彩业开发前后居民感知与行为的差异[37]。

2.3 旅游业从业者的研究

由于许多旅游业就业者日益面临不断增加的工作压力,尤其是工作和休闲之间的冲突,Wong[38]抽样选取380名旅游业的服务人员,研究了工作压力变量之间的关系及其与工作—休闲冲突之间的关系。结果显示,工作需求、工作调节和管理上的支持对工作—休闲冲突存在着显著、直接的影响。总体上可能存在的样本数量和问卷调查上的困难,目前对旅游业者的研究还很少。

3 SEM应用步骤与要求

通常SEM在旅游学上的应用具体可以划分为以下几类:①文献梳理。根据研究目的,对相关文献进行梳理,为潜变量的选择和理论模型的建立以及潜变量的测量变项设计做准备。②理论模型界定。建立潜变量之间理论联系的结构模型,提出模型假设。此模型称之为“理论模型”,通常可以按照规范先绘制路径图。③模型识别。即数据满足参数估计的条件是否充分。如果模型不识别,就不可能得到模型的参数。识别所必须的条件是估计参数少于或等于样本协方差矩阵中观测变量的数目[5]。④选择测量变项与实地搜集资料。在估计和解释SEM结果以及样本误差估计时,样本规模是很重要的因素。虽然没有明确的样本规模要求,建议规模为100—200,200为临界值,但与估计参数相比,样本数必须足够大,一般是估计参数的5倍,最低不能低于50[5]。当样本量大于200时,卡方统计就不再是一个很好的拟合指标,对最大似然估计技术就较敏感[39]。⑤数据分析与处理。首先在使用结构方程模型进行分析之前必须对数据的常态性进行检验说明,可利用SPSS、PRELIS程序进行。一般应分别进行单项和多变项的偏态(skewness)与峰度(kurtosis)或显著性检验。当偏态系数︱S︱>3、峰度系数︱K︱>10、显著性考验︱Z︱>1.96,可视为非常态。对非常态数据可通过变形,如取对数等方法进行转换[40],然后对问卷进行信度检验。一般采用Cronbach Alpha信度系数法,其中单项与项目整体相关度通常要大于0.3,如果小于0.3且删除后单项Alpha系数小于整体的Alpha系数,则该项目仍可视为可信,可保留[22,34];计算潜变量的信度和整体信度一般要大于0.7以上才较理想。对变项较多的数据,一般先进行探测性因子分析,常用主成分分析方法以减少变项数目,但也有通过因子分析来确定观测变量与潜变量之间的特定关系。一个模型一般最多包括20个变量(5—6个潜变量,每个包含3—4个观测指标)。变量数目过多就会产生解释上和统计显著性上的困难[5,19,22]。保留因子载荷大于0.40的变量,并对所有包含在一个因子中的项目计算得到一个组合因子,以组合因子作为潜变量的测量指标。该方法有助于减少在验证性因子分析中的共线性或指标间误差的相关性问题[17]。⑥模型估计。LISREL 共提供了7种参数估计的方法,但最常用的是最大似然估计[5],其假设前提是多变量常态分布。该方法需要较多的样本数量,一般要求样本数最低为100。首先进行测量模型的估计,目的是通过验证性因子分析方法检验模型中各观测变量与潜变量之间的关系,观测变量是否正确地测量其潜变量,检验是否存在观测变量在其它潜变量上也有载荷,不同的观测变量之间是否存在相关性。同时对个体变量信度过小或共线性较多的变项进行删除,以保证每个指标通常只包含在一个潜变量中[32]。一般如果t≥1.96,说明观测变量对潜变量的表示/解释是有效的[25]。当每个潜变量的观测指标满足3个条件:复相关系数R2大于0.50、标准化参数估计值在0.50—0.95、统计上显著(0.05水平上的显著)时,即说明测量模型比较理想[39]。其次进行结构模型的估计与信度和效度的检验,目的是通过验证性因子分析检验整体模型是否支持理论模型和假设路径。Fornell[41]建议,理想的潜变量的组合信度应大于0.6[24],收敛效度要求平均变异抽取量大于0.5。判别效度以潜变量的平均变异抽取量与该潜变量和其它潜变量的相关系数的平方之间的比较结果来判断,即潜变量的平均变异抽取量的平方根要大于该潜变量与其它潜变量的相关系数[38]。⑦整体模型拟合检验。通常单一的指标不能说明模型的整体拟合程度,因此对整体模型的拟合检验通常使用绝对拟合指数、相对拟合指数、简约拟合指数来分别进行评价(表3),分别代表模型在不同方面的拟合。从表1和表2中所列出的拟合指数可以看出,结构方程模型在旅游学上的应用日益严谨与完善。⑧模型修正。由于实际的样本数据与理论模型会存在一定的差距,因此常常要根据修正指数和期望改善值来对模型进行修正,但应以理论为基础,以能做出合理的解释为修正模型的前提,一般不提倡纯粹为拟合数据而修正模型。

4 结论与展望

从目前已有的研究成果来看,与国外结构方程模型在旅游学上的应用已成为旅游学研究的热点相比,国内的相关方面才刚刚起步,论文发表数量极少;从结构方程模型应用的研究对象看,游客感知与行为研究是热点,而对旅游地社区居民和经营业者的感知与态度的应用研究偏少;从应用空间上看,大多数只针对于某个特定的旅游地,缺少对比研究,因此建立的模型有待于验证与推广研究;从研究时段上看,无论是对游客还是旅游社区的研究,都局限于特定的时间段上,缺少长期的和动态的跟踪调查研究,而这对于理解模型对旅游地成长和发展的预测性具有重要意义。

摘要：对国外旅游学权威期刊与国内CNKI期刊网上发表的旅游学领域结构方程模型的应用研究文献进行了梳理。在阐释结构方程模型基本原理和主要优点的基础上,着重从游客、社区居民、旅游业者角度对结构方程模型在旅游学上的应用主题、潜变量、假设路径与拟合指数等进行了综述,并对研究的一般程序、步骤、规范与要求进行了归纳,认为国内将结构方程模型应用在旅游学上的研究较少,今后应加强居民和旅游业者模型的研究,注重时间和空间上的对比验证。

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