常微分方程组论文

常微分方程组论文（精选12篇）

常微分方程组论文 篇1

引言

求解常系数线性微分方程 (组) 的解在常微分方程课程中是一项重要内容.由线性非齐次微分方程 (组) 解的结构定理可知, 线性非齐次微分方程 (组) 的通解等于对应的齐次方程 (组) 的通解加上非齐次微分方程 (组) 的一个特解[1,2].到目前为止, 关于常微分方程组解的研究已经取得了丰硕的成果.例如, 可以采用初等变换法、消去法、递推公式、矩阵解法等求解一阶线性微分方程组[3,4,5,6,7].在常系数微分方程 (组) 中, 当非齐次项是某种相对较特殊的形式时, 我们可以用待定系数法求出非齐次微分方程 (组) 的一个特解.文献[8]给出了非齐次项为n次多项式的通解, 文献[9]给出了非齐次项为二次多项式与三角函数乘积的通解.本文中, 我们将给出非齐次项为n次多项式与三角函数乘积时的通解.

1.主要结果

本文讨论如下常微分方程组的通解:

其中fi=fi (x) , i=1, 2, 3是关于x的函数, ti (x) , i=1, 2, 3 是关于x的n次多项式与三角函数的乘积, aij, bij, (i, j=1, 2, 3) 是常数.将方程组 (1) 写成矩阵形式:

记, 将 (2) 式整理后可以得到

其中

2.方程组的通解

2.1齐次方程组的通解

方程组 (3) 对应的齐次方程组为

则方程组 (4) 的通解为f=V[exp (Λx) C1+exp (-Λx) C2], 其中, Λ=diag (λ1, λ2, λ3) , 而λi (i=1, 2, 3) 是矩阵C的特征值, V是矩阵C的列特征向量, C1, C2是常数向量.

2.2非齐次方程组的通解

对方程组 (3) , 设

其中Lni, L (n-1) i, …, Loi, Mni, Mni, M (n-1) i, …, M0i (i=1, 2, 3) 是常数.

由待定系数法, 可设方程组 (3) 的一个特解是

其中Ln, Ln-1, …, L0, Mn, Mn-1, …, M0是3×3阶矩阵.代入方程 (3) , 经过化简, 由和相同三角函数的系数相同, 可以得到2n+2个等式,

可以将Ln, Ln-1, … , L0, Mn, Mn-1, … , M0解出, 那么特解ft就能够求出.故得到 (3) 的通解为f*=V[exp (Λx) C1+exp (-Λx) C2]+ft

3.算例

故可以得到方程组的一个特解是

结语

本文用待定系数法求解非齐次线性微分方程组的通解, 将文献的结论进行了进一步的推广, 将二次多项式推广到了任意次多项式.由算例看到, 随着多项式次数的提高, 运算会越加繁琐.因此, 如果工程中遇到此类问题时, 可以通过编程实现求解, 使得其运用范围更加广泛.

参考文献

[1]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 等.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社, 2006.

[2]丁同仁, 李承志.常微分方程教程[M].2版.北京:高等教育出版社, 2004.

[3]宋燕.常系数齐次线性微分方程组的初等变换解法[J].辽宁师范大学学报 (自然科学版) , 1995, 18 (1) :76-81.

[4]汤光宋.对用消去法解常系数线性方程组的注记[J].抚州师范学报, 1994 (3) :17-21.

[5]戴中林.常见线性齐次微分方程组的递推公式解法[J].四川师范学院学报 (自然科学版) , 1995, 16 (2) :158-160.

[6]曹玉平.一阶线性常系数微分方程组的矩阵解法[J].河北理工学院学报, 2004, 26 (1) :104-107.

[7]唐烁.常系数线性非齐次微分方程组的初等解法[J].安徽教育学院学报, 2005, 23 (6) :15-17.

[9]吴幼明, 孔碧洁.一类二阶常微分方程组特解形式的探讨[J].四川理工学院学报 (自然科学版) , 2007, 20 (1) :20-25.

常微分方程组论文 篇2

1.求方程dyxy2通过点(0,0)的第三次近似解。dx

解：fx,yxy2，令0(x)y00，则

1xy0fx,0xdxxdxx00xx12x 2

2xy0fx,1xdxx0xx0121215xxdxxx 2202

3xy0fx,2xdxx0x

x

0 12152121518111xxxxxdxxx2022016044002

为所求的第三次近似解。

3.求初值问题

dy22xy,R:x11,y1,(1)dx

y10的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。解：因为fx,yx2y2，ab1，Mmaxfx,y4，所以x,yR

153b1hmina，从而解得存在区间为x1，即x。444M4

又因为fx,yx2y2在R上连续，且由fy2y2L可得fx,y在R上关于y满足Lipschitz条件，所以Cauchy问题(1)在53x有唯一解44yx。

令0(x)y00，则

1xy0fx,0xdxx2dxx01xx13x1 3

2xy0x

x0221311xx3x4x7fx,1xdxxx1dx1429318633x

MLh1

误差为：2xx

L21!24

10.给定积分方程

xfxKx,d(*)

a

b

其中fx是a,b上的已知连续函数，Kx,是axb，ab上的已知连续函数。证明当足够小时(是常数)，(*)在a,b上存在唯一的连续解。证明：分四个步骤来证明。

㈠.构造逐步逼近函数序列

0xfx

n1xfxKx,nd,n0,1,2,

ab

由fx是a,b上的连续函数可得0x在a,b上连续，故再由Kx,是

axb，ab上的连续函数可得1x在a,b上连续，由数学归纳法易证

nx在a,b上连续。

㈡.证明函数列nx在a,b上一致收敛。

考虑级数

0xkxk1x,k1



xa,b(2)

由

0xkxk1xnx

k1

n

知，nx的一致收敛性与级数(2)的一致收敛性等价。

令Mmaxfx，LbamaxKx,。由(2)有

axb

axb,ab

1x0xKx,fd

a

b

Kx,fd

a

b

maxKx,maxf

axb,ab

ab



b

a

dML

所以

2x1xKx,10d

a

b

Kx,10d

a

b

MLKx,dML2

a

b

假设对正整数n，有不等式

nxn1xMLn,则

b

xa,b(3)

n1xnxKx,nn1d

a

Kx,nn1d

a

b

xa,b

ML

n1

Kx,dMLn,a

b

所以(3)对任意正整数n都成立。

因为MLn为正项级数，且当足够小时，n1

LbamaxKx,1(4)

axb,ab

故ML收敛，从而由Weierstrass判别法，级数kxk1x一致收敛，n

n1

k1



故级数(2)一致收敛，所以函数列nx在a,b上一致收敛。

㈢.证明limnxx是积分方程(*)在a,b上的连续解。

n

因为由㈠和㈡可得nx在a,b上连续，nx在a,b上一致收敛，故

x在a,b上连续，且函数列Kx,nx在a,b上一致收敛，所以对

n1xfxKx,nd

a

b

两边取极限可得

limn1xfxlimKx,nd

n

nab

b

fxKx,limnd

a

n

从而

xfxKx,d

a

b

所以x是积分方程(*)在a,b上的连续解。

㈣.证明x是积分方程(*)在a,b上的唯一解。

设x是积分方程(*)在a,b上的另一连续解，则

xfxKx,d

a

b

令gxxx，则

gxKx,d

a

b

Kx,d

a

b

maxxxKx,d

axb

a

b

Lmaxgx

axb

对xa,b都成立，上式两边对x取最大值可得

maxgxLmaxgx

axb

axb

如果maxgx0，则由上式有

axb

L1

这与(4)矛盾，故maxgx0，即gx0，所以xx，从而x是积

axb

常微分方程教学改革的探索 篇3

【关键词】高校数学教育 常微分方程 改革

近代以来，微分方程发展迅猛，很多著名的数学家创立了各种经典的微分方程甚至分数阶微分方程的经典方程，并且找到了许多有效的求解微分方程的解法，尽管如此，我们发现当代高校常微分方程的教学过程中，依然存在了一些困难和不足，本文首先分析了常微分方程教学的现状，其次阐述了常微分方程改革的必要性，最后重点介绍了常微分方程改革的具体实施措施。

一、常微分方程教学的现状

经过笔者多年来在高等数学教学工作中经验，总结了几点大学数学与应用数学专业中常微分方程教学的相关现状。

（一）常微分方程教学内容更新率偏低。我们强调学习知识要与时俱进，要不断跟随当下生产实际和经济社会的发展，然而当下常微分方程教学内容往往沿用了90年代或者陈旧的知识结构和内容。

（二）常微分方程教学方式单一传统，缺乏先进性。数学规律和数学定理必须经过推导和证明才能给出，因此教师往往单一而枯燥地给学生演示推导过程，这样的教学模式容易引发学生的厌学情绪。

（三）常微分方程评价考核制度不够完善。由于常微分方程在某一种程度上属于技能课程，需要一定的操作性和实践性，不单单通过一张试卷来确定学生的学习好坏，这也暴露出当下常微分方程的考试弊端。

（四）常微分方程教学过程中教师的重复工作致使缺乏教学创新。教师每年都重复相同的教学内容，因此，许多教师由于惰性不愿意在常微分教学过程中创新教学模式、开拓教学手段。

二、常微分方程课程教学改革的必要性

常微分方程作为数学与应用数学专业学生所必修的一门专业课，它的开设严格贯彻了素质教育的方针政策，为我国高等教育人才培养方向与生产实际接轨奠定了扎实的基础。

常微分方程课程教学传授给学生的不单单是数学基础知识和微分系统理论，还间接地教会学生数学规律与生产实际相结合，拿数学知识去解决问题，提高学生的数学知识应用能力。

常微分方程方程教学模式的改革势在必行，这是由于当下高校学生扩招，需要配合全体学生的综合素质和已有知识结构，这要求学校的课程安排和教师的教学方式都要做出相应的改变。

三、常微分方程课程改革的措施

高等院校常微分方程课程的改革实施不仅仅需要学校以及各个部门的支持，还需要一定的时间和精力，笔者总结了常微分方程改革的一些具体措施。

（一）校方要加强管理，确保常微分方程课程安排合理。由于当下微分方程内容繁多，校方要设置一定的微分方程必修课和选修课，通过控制微分方程知识的利用率，来合理安排学生学习的时间和课程。

（二）教师要不断学习，创新教育教学方式。常微分教师要在备课过程中，关注所授课程的最新动态，要将最前沿的知识和当下的教学相结合，传递给学生当代所需要的知识内容，与此同时，教师也要不断地创新教学模式，增强学生学习的兴趣和自信心。

（三）教师要改革考试评价制度，开创新型评价体系。由于常微分方程不仅仅包含有数学基础理论，还涵盖了一些数学技能和数学实际操作技巧，需要在评价常微分方程学习成果的时候，改变传统的一张考卷就决定结果，要适当地安排软件编程考试来进行测试，考察和评价学生学习成果。

（四）教师要改革教学目标，以提升学生能力为主。微分方程的主要特点决定了其知识体系是为了针对性解决实际问题，因此，教师在教授这门课程的过程中，要注意培养学生运用微分方程的数学知识去解决实际问题的意识，并且教会学生解决实际问题的主要方法，用自己的教育方式实践“授之以鱼不如授之以渔”的根本教育宗旨。

（五）校方要组织教师科研探讨，改革合作结构。微分方程教学一般采取集体备课和集体探讨的模式展开，因此，校方在遵循这一基本模式的前提下，改革调研方式，可以通过网络拓宽多个高校之间的互动和合作，彼此取长补短，共同为微分方程教学的发展和进步做出一定的贡献。

综上所述，我们不难看出，在高校数学与应用数学专业中展开微分方程课程的教学改革并非易事，不仅仅需要高等院校的支持和努力作为，也需要高校微分方程教师的学习和创新，除此之外，我们更加关注大学生的心理状态和学习兴趣，只有研究和把握好学生的情况，针对性地选择恰当的教学方式，改善评价结构，优化合作理念，那么高校微分方程之一课程的教学改革一定能够收到不错的效果。笔者认为，常微分方程的教学改革重中之重还是放在教师的“教”上，改革教学内容、教学模式和教学方法，真正地让学生有丰富的知识结构和解决实际问题的能力。

【参考文献】

[1]杨继明.常微分线性方程改革[J].宝鸡文理学报，2007（1）.

[2]贡丽红.近代分算子与常微分方程的初值问题[J].长春大学学报，2006，7（1）.

常微分方程的数值解法论述 篇4

实际工程问题中的大量数学模型都可以用微分方程来描述, 很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程.所以在包括自然科学和工程技术的诸多领域中, 常常需要求解常微分方程的定解问题.其中绝大多数的问题是无法求出解析解的, 因而只能用近似法进行求解.在实际计算中, 主要依靠数值解法.在这里, 我们将重点放在解决一阶常微分方程的初值问题:

undefined

只要函数f (x, y) 满足适当的光滑条件, 就可以保证上述处置问题解的存在唯一性.上述问题的数值解法就是求解y (x) 在一系列离散点x0

二、几种简单的单步法

(一) 著名的Euler公式

Euler公式的具体形式:

yn+1=yn+hf (xn, yn) (n=0, 1…) (2)

这里给出几种对Euler公式重要的解释:

(1) 数值积分

对式 (1) , 从x到x+k进行积分, 可以得到以下形式:

y (x+k) -y (x) =∫undefinedf (t, y (t) ) dt

取x=xn, k=h, 被积函数f (t, y (t) ) 取常数f (xn, yn) 即可得式 (2) .

(2) 差商代替微商

用向前差商代替式 (1) 中的微商可得.

(3) Taylor级数

将y (x) 在xn处Taylor展开, 取h的线性部分即可得.

由Euler公式数值积分解释中被积函数f (t, y (t) ) 取常数f (xn+1, yn+1) 可以推导出向后Euler公式.通过一些校正的方法还可以推导出改进的Euler公式, 这里就再不一一介绍.

(二) 梯形公式[2]

将式 (1) 中的微分方程两端从xn到xn+1积分, 并将所得积分用梯形求积公式计算, 可得到梯形公式的具体形式:

undefined

梯形公式是一种极其重要的单步法, 可视为由Euler公式和向后Euler公式进行算术平均所得.

三、Runge-Kutta方法

Taylor级数展开和数值积分方法是常微分方程初值问题数值方法推广的两条重要的途径, Runge-Kutta方法就是以Taylor级数展开法为基础的单步高阶方法.

Runge-Kutta方法是极其重要的常微分数值解法, 其起源于Euler折线法.德国数学家C.D.T.Runge是数值方法发展史上具有里程碑作用的人物, 1895年, 他在Hanovet上发表了《常微分方程数值解法》, 成为Runge-Kutta方法的起源.

(一) Runge-Kutta方法的基本思想

Runge-Kutta方法本质上是利用Taylor级数法来构造的一种数值方法.根据微分中值定理有

undefined

根据 (1) 式, (4) 可以写为以下形式:

y (xn+1) -y (xn) +hf (xn+θh, y (xn+θh) ) (5)

令K=f (xn+θh, y (xn+θh) ) 为区间[xn, xn+1]上的平均斜率, 如设法在区间[xn, xn+1]内多用几个点的斜率值, 然后将它们加权平均作为平均斜率K, 则有可能构造出精度更高的计算公式, 此即为Runge-Kutta方法的基本思想.

(二) 现代的Runge-Kutta方法的具体形式

下面是Runge-Kutta方法的一般形式:

undefined

有以下点阵[3]:

定义以下向量和矩阵:

c=[c1, c2, …, cs]T, b=[b1, b2, …, bs], A=[aij]s×s.

那么, 一个s级的Runge-Kutta方法被上面定义的c, b, A完全确定, 所以研究Runge-Kutta方法的性质就可以转化为研究系数A的性质.

四、多步法

单步法在计算yn+1的时候只用到了前一步的信息即yn, 这是单步法的一大优点.但是, 如果想利用单步法提高精度, 则需要计算区间[xn, xn+1]的内点的函数值, 也可以理解为增加节点个数, 所以, 这就在很大程度上增大了相当大的计算量.而事实上, 在计算yn+1之前, y0, y1, …, yn已经计算出来, 如果我们充分利用这些已知信息来计算yn+1, 也许会获得较理想的精度, 这就是多步法的初始思想.下面将给出几种多步法的具体形式, 它们均可以通过Taylor级数展开的方式来构造.

(一) Adams显式公式[4]

利用r+1个已知条件 (xn, fn) , (xn-1, fn-1) , …, (xn-r, fn-r) 构造r次插值多项式Pr (x) .用Newton后插公式来表示Pr (x) .Adams显式公式具体表示形式如下:

yn+1=yn+hundefinedβjΔjfn-j (7)

其中, 系数βj与n, r无关.事实上, 在实际计算时, Δjfn-j=undefined

可以看出当r=0时, 即变成单步法, 式 (7) 就是Euler公式 (2) .

(二) Milne公式

一般的线性多步法公式具有以下具体形式:

yn+1=a0yn+a1yn-1+…+aryn-r+h (β-1fn+1+β0fn+…+βrfn-r) =undefinedakyn-k+hundefinedβkfn-k (8)

通常对式 (8) 的右端在xn处进行Taylor展开, 然后用待定系数法来求具体表达.

Milne公式就是由上述方法取β-1=0, a0=a1=a2=0可以得到具体形式:

undefined

(三) Hamming公式

若取β-1≠0, a1=a3=0, β2=β3=0, 然后用待定系数法可得到Hamming公式的具体表达形式:

undefined

五、常微分方程组和高阶微分方程的数值解法

对于一阶常微分方程组的初值问题[5]:

undefined

只要把y和f理解为向量, 其本质和解微分方程 (1) 是相同的.

对于高阶微分方程问题, 只需要引入变量:y1=y, y2=y′, …, 其总可以化为一阶方程组来求解, 这里就不再一一列举.

六、结 语

常微分方程的数值解法模型在实际中有非常广泛的应用, 利用这些可以有效地解决很多实际问题.虽然实际问题和工程中的模型很大程度上并不像本文中提到的那么简单, 但是本文中提到的几种单步法和多步法及其Taylor级数展开方法为我们解决实际问题提供了非常重要的思路.通常情况下, 在实际计算时, 对一般的常微分方程初值问题, 通常采用的是二阶方法.如果被积函数f非常光滑, 计算精度又要求很高, 常用经典的四阶Runge-Kutta方法等, 但是计算量较大, 相比之下, 可采用同阶的线性多步法.

参考文献

[1]胡兵, 李清朗.现代科学与工程计算基础.成都:四川大学出版社, 2003.

[2]阎喜杰.近似微积分学.北京:科技卫生出版社, 1959.

[3]林立军.常微分方程数值解法Runge-Kutta法的历史浅析, 2003.

[4]李立康.微分方程数值解法.上海:复旦大学出版社, 1999.

解常微分方程的勒让德小波算法 篇5

解常微分方程的勒让德小波算法

利用勒让德小波算法,解一类常微分方程边值问题,得到其数值解.数值实验结果表明,本方法具有较高的精度,在科学与工程计算中有重要应用.

作 者：孙跃刚 李辉来 SUN Yue-gang LI Hui-lai  作者单位：吉林大学,数学研究所,长春,130012 刊 名：吉林大学学报（理学版）  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF JILIN UNIVERSITY(SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 45(6) 分类号：O241.1 关键词：常微分方程   小波算法   勒让德多项式  

常微分方程组论文 篇6

关键词： 解的存在唯一性定理 Lipschitz常数 Runge-Kutta方法 整体误差

1.引言

空中飞行的物体在运动时会受到重力与空气阻力的作用，通过受力分析我们可以建立相应的常微分方程初值问题.但事实上对于某些情况，比如当物体曲线运动时，很难获得速度关于时间的解析表达式.此时我们希望通过寻找高效的数值方法，从而找到尽可能符合实际的近似值.因此研究常微分方程初值问题的数值方法十分重要.

常微分方程数值解可采用导数化差商的方法，数值积分法，以及Taylor展开法，通过不同的途径所得结果大体一样.比如显示Euler方法、改进的Euler方法、Runge-Kutta方法[1]等.

本文研究了常微分方程组的解的存在唯一性定理在运动问题中的应用，利用三阶Runge-Kutta方法对运动问题进行数值实验，通过误差分析，证明了该方法的有效性.

2.常微分方程组的解的存在唯一性定理

在常微分方程不能用初等方法求出它的通解时，一方面，我们应确定该方程是否有解，如果没有解，数值方法的求解将毫无意义.另一方面，如果有解，解是否唯一；如果不唯一，求解是不明确的.下面的解的存在唯一性定理给出了判断依据.

2.1定理描述

5.结语

本文将常微分方程组的解的存在唯一性定理及Runge-Kutta数值方法应用于运动问题的计算，取得了较准确的结果，如何根据具体问题调整待定参数以获得较小的误差没有特定规律，需要做进一步研究.

参考文献：

[1]张平文，李铁军.数值分析.北京：北京大学出版社，2007.

常微分方程课程教学改革初探 篇7

一、更新教学内容

(一) 合理选配教科书和参考书

关于常微分方程的教材有很多, 如何合理地选配教科书和参考书是搞好教学改革的关键一环。事实上, 给学生指定一些参考书, 让他们在课余时间对照课堂上教师讲授的内容进行学习, 有助于学生进一步加深对常微分方程这门课程的了解, 从而让他们从单纯的课堂中走出来。对于不同层次的学生, 由于培养目标和教学计划的差异而有所区分, 因此应根据学生具体情况的不同选取教材。

对于基础较好的学生, 可选择理论内容较为丰富的教材[1,2]。对于此类学生, 他们不但要掌握一些基本的计算方法和推导公式, 如一阶微分方程的初等解法、高阶微分方程的求解公式及线性微分方程组的求解公式等, 还要知道这些公式、方法的具体来源, 推导过程。这就需要教师在教授过程中注重这些公式、原理的理论分析与证明, 因此对教材的选取, 应以理论侧重为主。对于特别优秀的学生, 可直接选用国外原版教材[3], 让学生在学习之余提高阅读外文文献的能力。对于基础一般的学生来说, 侧重于使之掌握相关公式的应用, 对于相关理论的含义, 只需了解其内容并能熟练应用即可。在教学上应侧重使学生领会公式的推导原理和方法, 熟练掌握公式的具体运用, 淡化理论证明为主。因此, 可选用理论与计算兼而有之, 侧重于计算为主的教材[4]。

(二) 精心选取教学内容

像常微分方程这样的基础课, 其教学内容比较经典成熟, 但仍应该根据科学和社会发展的需要, 用现代数学的思想、观点为指导, 重新审视教学内容, 与时俱进地吐故纳新, 加入一些最新的前沿性知识。例如, 近几十年来动力系统及其非线性科学得到了迅猛发展, 极大地促进了力学、物理、生物、地理等领域的发展, 如果能将这方面的新理论新方法同常微分方程中的一些知识结合起来进行讲授, 将会起到很好的效果。

对于具体的教学内容还应在选定教材后, 根据学时等的安排合理选择教学内容。当学时较少时, 可适当删减一些复杂且将来会随着深造而进一步学习的内容, 如文献[1]中的第六章非线性微分方程中的第五、第六节, 以及第七章一阶线性偏微分方程。在学时较充裕的情况下, 可增加一些当今微分方程中的热点问题。例如, 加强Picard逼近法及解的存在唯一性证明, 将它们同运用等价积分方程建立迭代推导关系同后面动力系统思想联系起来, 不但给出了存在唯一性的相关证明, 更对当今动力系统中的一些思想和观点给出一定的介绍和阐释[5]。这样, 不但可以让学生学到的知识具有前瞻性, 而且还可以帮助他们开阔思维, 拓展视野, 培养兴趣, 增加学习积极性。

二、改进教学方法

(一) 传统教学法与现代教学法相结合

教学方法一般是指与一定教学目标和任务相关的具体操作程序, 是完成教学任务所使用的方法。我们可以把现行的教学方法大体分为传统教法和现代教法。站在形势发展需要的角度看, 传统教法有其弊端:教师的主要精力在于讲授教材, 学生的学习是被动的、消极的。可是它毕竟是在人类社会发展的历史中流传下来的, 到如今仍有它合理性的一面, 有的仍是教师教学中不可缺少的方法, 所以不能一概否定。新方法的出现, 是随着社会发展的需要、社会的变革产生的, 是积极的, 它与传统教法的出发点不同, 是从灌输知识为主转变到启发学习为主。在教学观念上倡导适应个别差异、因材施教, 强调把教学的重心从怎么“教”转到怎么“学”上。若能结合这两种方法, 在教学实践的应用中做全面的、客观的分析, 深入研究, 总结效果, 会大大提高教学效果。

在常微分方程课程的讲授中, 有许多公式定理需要推导。若教师只是灌输式地教学, 学生只是被动地接受, 将会逐渐失去对这门课程的兴趣和积极性。因此, 在讲授课程的同时, 可将启发式、对话式教学引入课堂。例如, 在讲完一阶微分方程的初等解法后, 我们可以引导学生自己考虑几种常见的一阶微分方程的类型之间的关系, 从而引出微分方程中的“化归思想”。在教学过程中将讲授式与启发式教学结合起来, 不但能增加学生的学习兴趣, 让他们在教师的引导和自己的主动思考中拓展思维空间和知识结构, 更能让他们较为全面地掌握系统的理论知识。

(二) 注重考核方式的多元化

恰当、正确的考核方式可以及时反映教师的教学效果, 因此, 制定适当的考核方式是了解学生对所学知识掌握情况的有效手段之一。对此, 我们将考核分成三个部分:学习态度考核、随机口试考核、期末考试[6]。

学习态度考核是由教师和课代表平时详细记录每一个学生的出勤、上课表现、作业完成情况等方面, 学期末由课代表和主讲教师共同评定成绩。随机口试考核则是由教师事先准备一系列的问题, 在课堂或课后由学生随机抽取一道题目作答。这种方式可以引导学生注重常微分方程的基本概念和重要思想, 使教师能直接掌握学生对知识细节的熟悉度以及学生的思维能力和综合运用知识的能力。期末考试以闭卷的方式进行, 其内容包含本课程的主要理论知识, 应突出考查学生对知识的理解程度和运用能力。在试题的选定过程中, 应以考查学生对基本概念、基本理论的理解度以及对知识的综合运用度为基本原则。通过这三方面的考核, 不但使教师较全面地把握学生对所学知识的掌握程度, 也能增进学生与教师之间的学习和交流。

三、运用多样化的教学手段

(一) 引入多媒体教学

使用多媒体教学是一种新型的教学模式, 需要在教学过程中不断总结与交流, 努力将传统教学模式的优点和现代教学模式的长处有机地结合起来。实践证明:两者结合得好坏是新型教学模式成败的关键, 传统教学模式讲得好的教师往往使用现代教学模式也更加成功, 原因在于保持了传统教学模式的优势[7]。随着计算机技术的发展, 多媒体教学具有传统教学模式无法取代的优势。

图文并茂, 从直观上展示公式、定理的意义, 并激发学生学习微分方程的兴趣。多媒体教学利用图像和图形的结合, 能够给学生更多感官上的刺激。变抽象的定理内容为具体, 这就使学生更容易理解和掌握教学内容。节省课堂时间, 提高教学效率。常微分方程课程涉及大量复杂烦琐的公式计算和定理的推导, 如果只使用黑板加粉笔的传统教学模式, 将在板书上花费过多的时间和精力。若能合理地运用多媒体教学, 把需要的教学内容制作成简洁、生动的课件, 并直接在课堂上播放, 便能大大减少教师花在板书上的时间, 使教学内容变得紧凑而有条理。

(二) 充分利用网络资源

由于课堂教学在时间上的限制, 学生无法完全掌握在课堂上所学的知识。对此, 一方面教师可以利用课余时间对学生的课程进行辅导和讲解。在答疑过程中, 要注意引导学生对所学内容进行归纳总结, 进一步梳理重、难点, 提炼出自己的想法和观点, 这样才能较好地发挥答疑的作用。另一方面还可充分利用网络资源。如将课件上传到校园网上供学生自学;通过QQ或电子邮件等网络工具, 这便打破了学生在学习时间上的限制, 真正实现了教学相长, 同时调动了学生学习的积极性, 弥补了课堂教学的不足, 进而提高教学质量。

在教学中应根据课时等因素合理安排教学内容, 注意避简就难, 突出解决重点、难点。授课时不拘泥于教材内容的排序, 注重对各知识点进行重组和精炼。注重讨论式教学、启发式教学。充分利用网络资源, 引导学生进行自主式、探究式学习。针对学生平时的考核, 了解学生对所学知识的掌握情况, 进而不断改进和提高教学方法和教学手段, 认真总结教学经验, 从而逐步提高该课程的教学质量和教学水平。

参考文献

[1]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2006:120-129.

[2]丁同仁, 李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社, 2004:76-88.

[3]V.I.Arnold, Ordinary Differential Equations[M].Cambridge:MIT press, 1973:80-93.

[4]焦宝聪, 王在洪, 时红廷.常微分方程[M].北京:清华大学出版社, 2008:69-79.

[5]张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J].高等理科教育, 2003, (1) .

[6]刘会民, 那文忠, 陶凤梅.“常微分方程”课程教学模式的改革与探索[J].数学教育学报, 2006, (15) .

一类常微分方程的初等解法浅析 篇8

关键词：常微分方程,初等解法,教学

《常微分方程》作为高等院校信科专业的一门学科基础课, 受到师生的普遍重视, 如何学好这门课, 除了学生自身的努力外, 还与教师的教学方法有关。

教师在教学过程中, 不仅要重视一题多解, 培养学生的发散思维能力, 还要注意归纳总结, 使知识系统化, 以培养学生的综合能力, 此外还要抓住难点、疑点引导学生作深入研究, 以培养学生的探索研究能力。比如讲到可化为变量分离方程的类型, 须归纳总结一下, 大概有以下几种类型:

类型1齐次方程

其中g (u) 是u的连续函数。该类型的方程只须利用变量变换即可。

类型2形如

的方程, 只需利用变量变换u=ax+by+c即可

类型3形如

的方程也可经变量变换化为变量分离方程。该类型的方程可分三种情形讨论其变量变换, 可转为情形1或情形2, 并将其推广到更一般的方程类型

类型4其他类型, 诸如yf (xy) dx+xg (xy) dy=0,

其中M, N为x, y的齐次函数, 次数可以不相同。

教材上只是说这几种类型的方程可化为变量分离方程, 但没说具体的解法。实际上, 可引导学生, 前两个利用变量变换u=xy, 后一个利用变量变换均可化为变量分离方程。但是最后一个方程即方程 (1) 的变量变换是不明显的, 是同学们难以想到的。所以在这里对该问题的解法提出自己的一点见解。

一、方程 (1) 的初等解法探讨

方程 (1) 可改写为

即

其中M=M (x, y) , N=N (x, y) 。

令方程 (2) 可化为

注意到M, N为x, y的齐次函数且次数不一定相同, 不妨假设M, N的次数分别为m, n, 即有M (tx, ty) =tm M (x, y) , N (tx, ty) =tn N (x, y) (t>0) 。容易证得

其中f (u) , g (u) 是u的连续函数。因此 (3) 为

然后对 (4) 况讨论。

情形1:当m=n时, 方程 (4) 显然是变量分离方程, 易求得其通解为

这里c为任意常数。

情形2:当m≠n时, 令n-m=l, 显然, l≠0由方程 (4) 得

当l=-1时, 可利用常数变易法得到其通解为

这里c为任意常数。然后回代变量y=ux便可得到方程 (1) 的通解。

当l≠-1时, 令v=x-l, 因l+1≠-0, 1故方程 (6) 是伯努利方程, 可改为

利用常数变易法求得其通解为

这里c为任意常数。然后回代变量y=ux, 便可得到方程 (1) 的通解。

二、举例说明

例1 M (x, y) =x2, N (x, y) =x2+xy (此时令则有f (u) =1+u, g (u) =1

于是由 (5) 可知方程 (1) 的通解为

这里c为任意常数。

例2 M (x, y) =xy, N (x, y) =x此时令则有f (u) =1, g (u) =u, 于是由 (7) 可知方程 (1) 的通解为

这里c为任意常数。

例3 M (x, y) =x, N (x, y) =1, 此时令则有f (u) =1, g (u) =1, 于是由 (8) 知方程 (1) 的通解为u=y x,

这里为任意常数。

三、结论

通过对方程 (1) 的初等解法的探讨, 可使学生熟练掌握变量分离方程的解法、常数变易法及伯努利方程的解法, 理解齐次函数的涵义, 并熟练掌握变量变换的技巧和可化为变量分离方程的方程类型, 且培养了学生的探索研究能力。

参考文献

常微分方程组论文 篇9

广西师范学院师园学院 (以下简称“我院”) 是高等教育体制改革中创办的一所独立学院.自办学以来, 主要利用母体学校 (广西师范学院) 的师资队伍、科研力量和教学资源, 借鉴母体学校的教学经验为其教学提供保障.就常微分方程这门课程, 其课程体系、使用教材和教法跟母体学校几乎没有区别.但是我院的生源和母体学校的生源质量相差较大, 而且我院和母体学校的教学要求和培养人才目标是不相同的.因此, 不能照搬母体学校的教学大纲和教学目标.由此可见, 常微分方程课程教学改革势在必行.本文根据我院教学现状和人才培养目标, 对常微分方程课程教学改革进行探讨.

1当前常微分方程课程教学中存在的问题

1.1采用“灌输式”教学法

关于这门课程的教学, 我院多数教师采用“灌输式”教学法, 以教师讲授为中心, 老师滔滔不绝地讲, 学生不厌其烦地听与抄笔记.这种教学方法的最大弊端:一方面, 课堂上留给学生思考的时间很少, 而且过多的灌输, 只能导致学生精疲力尽, 精力分散, 学习效率降低;另一方面, 师生在课堂教学中缺乏互动性.学生学习的积极性和主动性不高.在教学过程中, 学生总处于一种被动模式, 忽视了学生学习能力和实践能力的培养, 忽视了理论与实践相结合.

1.2学时数减少

我院使用教材是王高雄等编写的《常微分方程》第3版.该课程的学时数, 我院课时总数显然比母体学校少一些.随着教学改革的深入, 课时数会进一步重新调整, 学时数会再少一些.由于学时数减少了, 有些章节只能给学生自学或者省略不讲.例如:一阶隐式微分方程及参数表示、解的延拓、奇解、奇点、极限环等.但是, 教师课堂上不讲授的内容, 绝大多数学生不会去自学的.

1.3没有掌握好与该课程相关的知识衔接

要想学好常微分方程, 必须先修《数学分析》、《高等代数》和《普通物理》这几门课程.微分和积分运算是互逆的.有些学生由于没有掌握好微分和积分的运算技巧, 对学习一阶微分方程的初等解法感到很吃力, 做题目无从下手.数学分析中的一致收敛性、连续性和可微性等概念十分重要, 而有些学生对这些概念理解不透.因此, 对一阶微分方程解的存在定理的证明过程难以理解.高阶微分方程涉及到高等代数的知识点.如果对方程的重根、代数重数和几何重数这些基本概念不理解, 那么想学好这一章节内容是十分困难的.

1.4教学内容处理不当

有些教师喜欢讲授一些内容比较浅易的章节, 把难度大的一些内容删掉不讲, 例如, 一阶微分方程解的存在性唯一性定理, 解的延拓, 解对初值的连续性和可微性定理, 常微分方程模型等.这种做法只能导致学生知识点断层, 对后面章节内容的学习产生困难.领会一门学科, 其思想和方法是最重要的.然而, 有些教师却省略了教材中某些有难度的定理证明, 只讲解课本例题.学生对所学的内容模棱两可, 没有做到真正理解.这些显然给教学带来不利的影响.

2常微分方程课程教学改革的几点思考

2.1优化教材章节内容

有些教师照着课本章节顺序从第一章讲到第六章, 这样显然不是很科学, 不利于学生接受新的知识.我们认为按下面顺序讲授比较科学:常微分方程简史—常微分方程基本概念—一阶微分方程的初等解法—常微分方程模型—一阶微分方程解的存在定理—微分方程组—高阶微分方程—非线性微分方程.将方法相同的内容放在一起来讲, 既避免重复又提高教学效率.俗话说:好的开始等于成功的一半.要想学好一门课程, 必须了解它的过去、现在和将来.例如, 讲授常微分方程简史可以分如下几方面来讲:第一, 常微分方程产生的实际背景, 每个阶段的研究任务, 从17世纪末到18世纪, 主要研究通解的表达式, 从19世纪末到20世纪, 主要研究解的定性理论和稳定性问题, 从20世纪进入新的阶段, 定性上升到理论, 进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法等;第二, 数学家贝努利、欧拉、拉格朗日等人丰富了微分方程的理论;第三, 复变函数、李群、拓扑学等学科对常微分方程的发展产生了深刻的影响.兴趣是最好的老师.通过对常微分方程简史的介绍和一些数学家所做的数学工作, 会激发学生的学习兴趣, 增加他们学好这门课程的信心和决心.

2.2重视理论与实践相结合

引入Maple, Mathematica, Matlab数学软件, 增加数学实验内容.大部分微分方程要给出其解析解是十分困难, 往往只能通过数学软件给出数值解.这几个数学软件有各自的优点, 通过它们可以求解某些常微分方程, 而且还可以通过绘图来观察其解的几何意义和几何特征.数学软件可代替繁杂难度大的手工演算, 很大程度上提高工作效率和准确性.一阶常微分方程的初等解法、常系数线性常微分方程、高阶微分方程幂级数解法、求函数的拉普拉斯变换、求常微分方程的数值解等内容都可以用数学软件来解决.学生既动脑又动手, 增强了他们实践能力和应用能力, 提高了他们的学习兴趣和求知欲.多数院校常微分方程教学偏重于理论学习, 学生学习起来难免有枯燥无味的感觉.通过增加数学实验课程内容, 有利于提高学生学习的积极性、主动性和能动性.

2.3采用“启发式”教学法和“探究式”教学法相结合

“教学有法, 但无定法”.只要能够激发学生学习的兴趣, 调动学生学习的积极性与主动性, 提高学生分析问题和解决问题的能力, 达到好的教学效果, 都是好的教学法.高效的课堂教学应该是把学生作为主体, 教师作为主导, 学生是教学的主体.课堂学生是主人, 教师把学习主动权交给学生, 让学生能够从课堂教学中获得成功和乐趣.启发式教学法正好与灌输式教学法相反, 它是一种主张学生的主体性、开发学生的潜能、发挥学生的创造性、健全学生人格的教学模式.共同属性的知识归类, 知识体系示意图和一题多解等教学内容比较适合采用“启发式”教学.但是, 并非所有的教学内容都适合采用启发式教学方式来进行.探究式教学指学生在教师指导下, 以学生为主体, 让学生自觉地、主动地探索、掌握、认识和解决问题的方法和步骤, 发现事物内部的联系, 从中找出规律, 形成自己的概念.探究式教学调动了学生学习的积极性和主动性, 提高了学生应用数学知识去分析问题和解决问题, 让学生感受到了数学的理论价值和应用价值, 激发了学生学习数学的兴趣和热情.探究式教学过程可归纳为:问题引入, 问题探究, 问题解决和知识建构四个阶段.探究式教学也有一定的适用条件:第一, 教学内容有一定的深度和复杂性;第二, 学生对该问题的探讨有充分准备;第三, 教师对该问题有深入的研究和思考.因此, 盲目使用探究式教学有时会收到负面教学效果.

2.4辅导答疑

辅导答疑是课堂教学的补充环节.其目的在于促使教师深入了解学生的学习情况, 帮助学生加深理解和全面掌握课堂教学讲授的知识内容, 解答疑难问题, 同时指导学生的学习方法和思维方法.要想给学生一杯水, 教师必须自己有一桶水.教师要辅导答疑, 必须精通教材, 知识渊博.辅导答疑要注意几个方面:第一, 对基本概念必须做到理解深透, 对基本方法必须掌握其实质.常微分方程基本概念和基本方法繁多, 基本概念:通解、特解、奇解、积分曲线、积分因子、可点、特征方程、基本解组等;基本方法:常数变易法、积分因子法、待定系数法、拉氏变换法和级数解法等, 这些必须要求学生理解搞清楚.第二, 一题多解, 善于比较, 总结经验.方程类型繁多, 解法也多, 各有其特点.第三, 重视理论与实际生活联系.第四, 多做练习, 善于归类总结.我们可以采用如下几种方式辅导答疑:第一, 每周教师抽出两个小时在办公室答疑学生提出的问题;第二, 利用习题课和课堂讨论等多种形式向学生解答问题;第三, 利用在电子邮件或者QQ方式进行网上辅导和答疑.

2.5注重考核

多数高校按照如下两种方式考核学生的综合成绩:综合成绩=平时成绩*30%+期末成绩*70%或者综合成绩=平时成绩*60%+期末成绩*40%.平时成绩包括迟到、早退、旷课、作业、课堂表现等.如果学生迟到、早退、旷课、不能按时完成作业, 则扣分;这样的评定方法不科学, 不能真正调动学生学习的积极性和主动性.前一种考核方式期末成绩比重太大, 会导致学生平时不够努力学习, 临考前突击复习应付考试.后一种考核方式平时成绩比重偏大, 会导致学生不太重视考试, 从而学生不会花太多时间去钻研课本.在课程考核中, 我们认为下面的考核是比较科学:综合成绩=平时成绩*30%+期中成绩*30%+期末成绩*40%.平时成绩包括迟到、早退、旷课、课外作业、课堂作业等.这样的考核方式权重恰当, 平时、期中和期末等三项成绩都必须重视, 考试才能通过.对学生正确的评价能够调动学生学习的积极性和主动性, 激励学生不断完善学习方法, 增强学生的学习能力和应用能力.

参考文献

[1]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 等.常微分方程 (第3版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

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[4]常广平.常微分方程的思想方法与应用[J].北京联合大学学报 (自然科学版) , 2005, 19 (2) :45-47.

常微分方程的解法与教学改革 篇10

关键词：常微分方程,解法,教学改革

作为高等院校中数学及应用数学等专业的一门重要课程, 常微分方程的教学过程中仍存在着一定的问题, 而常微分方程作为数学学科中实际问题的主要解决手段之一, 一直以来也备受人们的关注。在实际应用时, 如何进行常微分方程的求解非常重要。因此, 下文就常微分方程的主要解法进行了分析, 并就此门课程教学的改革及调整措施进行了研究。

1 常微分方程的主要解法分析

1.1 分离变量求解法

对于一阶可分离变量的常微分方程而言, 通常先对其进行变量的分离, 使得等式的某端只包含dy或y, 而另端则只包含dx或x。而后分别对两端进行积分, 便可以求出此类常微分方程的通解, 将初始条件代入即可获得此方程的特解。以下举例说明:

例:求y|x=0=3初始条件下, 方程y'+2y=0的特解。

解:原式移项后得dy/dx=-2y,

分离变量后得dy/y=-2dx,

两侧积分得ln|y|=-2x+c1,

即y=Ce-2x。

将y|x=0=3代入得C=3。得出所求特解:y=3e-2x。

1.2 拉氏变换求解法

此法如今已经在各类工程实践中均得到了十分广泛的应用, 尤其针对于电路及自动化控制研究中常系数线性微分方程的求解过程中, 此法的应用更为常见, 此法求解步骤主要是先对方程两侧进行拉氏变换, 以初始条件为依据, 将原方程进行拉氏变换, 并将其转化成象函数代数方程, 而后对其进行求解, 获得象函数, 并对其进行拉氏逆变换, 求出原微分方程的解。此法对于线性微分方程的求解而言较为简便, 采用此法可将微分方程进行代数方程的转换, 因而大幅度简化方程的求解过程。还以上例为例进行拉氏变换求解法的说明:

例:求y|x=0=3初始条件下, 方程y'+2y=0的特解。

解:设L[y (x) ]=Y (s)

对微分方程两侧进行拉氏变换后得L[y' (x) ]+2L[y (x) ]=0

sY (s) -y (0) +2Y (s) =0

将y|x=0=3代入得 (s+2) Y (s) =3

解得Y (s) =3/ (s+2)

再进行拉氏逆变换得y (x) =L-1[Y (s) ]=L-1[3/ (s+2) ]=3e-2t

解得y (x) =3e-2t为此方程的解。

1.3 分项组合求解法

此法即通过观察对方程进行凑微分, 通过函数f (x) 同原微分方程两侧进行相乘, 将y′+p (x) y=Q (x) 转化为f (x) y′+p (x) f (x) y=Q (x) f (x) , 即[f (x) y]′=Q (x) f (x) , f′ (x) =p (x) f (x) , 因此得到f (x) y=∫Q (x) f (x) dx。

例:对方程y′+2xy/ (x2+1) =4x2/ (x2+1) 进行求解。

解:两侧同时乘x2+1, 左侧恰为两函数乘积的导数

即 (x2+1) y′+2xy=4x2

此时[ (x2+1) y]′=4x2

即通解: (x2+1) y=4x3/3+c

1.4 借助积分因子转变为分项组合求解法

若凑微分较为困难时, 先求出积分因子, 并在两侧同乘u (x) 或者u (y) , 将方程左侧某些项进行组合, 成为全微分, 以简化求解过程。

例:对方程y′+ycosx=e-sinx进行求解

两侧同时乘esinx, 得esinxy′+y cosx esinx=1

解得esinxy=x+C

2 常微分方程教学改革措施分析

如今, 有关常微分方程的教学现状如下, 教学过程中, 大纲、内容、要求及考核等多个环节均各自为政, 因而对教学资源的利用以及教学质量等都十分不利。因此, 必须针对这些进行深入研究, 以适应教学需求。为此提出了如下改革措施:

2.1 对课程目标及其定位进行明确

作为数学学科中十分重要的一门专业课程, 常微分方程的教学时间通常在第四个学期。通常在线性代数、普通物理力学、数学分析及空间几何学习结束后才开始此门课程的学习。此门课程教学目标即结合空间解析几何、物理学、线性代数等学科知识, 采用微积分思想解决数学以及其他学科中基本微分方程等的相关问题, 学生通过掌握此方法, 以为其学习其他理论奠定基础。此外, 通过此门学科的学习及训练, 确保学生能够初步掌握数学建模的方法, 了解自然等学科中某些非线性问题的解决办法, 从而为以后相关领域的学科研究提供途径。

2.2 构建课程新体系

常微分方程课程新体系包括如下三个模块: (1) 理论模块, 也就是概念、初级解法等初步理论, 主要是基础内容。 (2) 解方程模块, 此模块内容分散于各个章节之中, 且内容较杂, 类型也较多, 需要及时进行归类和训练。 (3) 应用模块, 除了每章或某一节以实际问题进行建模外, 要应适当进行数学建模内容的补充, 同时结合Matlab等软件对方程进行求解。例如, 可先对学生进行实际背景的讲授, 而后进行微分方程的求解, 再回到实际问题中对此现象进行解释。这样不仅巩固了学生的理论知识, 提高了学生的兴趣, 还大幅度增强了其独立学习能力。除此以外, 还应注意将教材同实验进行有机结合, 并注意将建模引入教育过程中, 以发挥其在实际应用过程中的巨大作用, 以培养高素质开拓型及应用型人才。

2.3 教学手段和方法的改革

改变传统教学观念, 让学生主动参与学生过程中, 教师积极发挥其主导作用, 引导大家去发现、创新并思考, 采用讨论式、研究式等各种教学方法来吸引大家参于教学过程中来, 注重实际背景知识的讲解, 并明确概念及方法来源, 将抽象概念引入生动具体的实例中来, 采用探究式教学强化对学生逻辑思维能力的培养, 以精讲、慢讲, 辅以训练, 实现难点知识的化解, 并有效提高其教学效果。

参考文献

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[4]刘惠娟, 陈兴海.《常微分方程》教材研究与教学探讨 (二) [J].玉林师范学院学报, 2008, 29 (3) :9-14.

[5]陈永胜, 任燕.基于MATLAB求解常微分方程[J].通化师范学院学报, 2008, 29 (4) :103-105.

[6]黄赞, 罗佩芳.一类二阶常微分方程的几种解法[J].中国科技信息, 2009, (18) :203-204.

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常微分方程组论文 篇11

关键词:数学与应用数学 信计与计算科学 常微分方程 教学

中图分类号:G424文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)02(b)-0136-01

《常微分方程》在大学数学学科课程设置中是《数学分析》的后续课程,又是《数理方程》、《数值计算》的先修课程。因此,在数学类本科生的教学体系中它有着特定的重要位置。《常微分方程》是数学与应用数学专业的一门基础课,是信息与计算科学专业的专业必修课。但是在实际的教学中,不管是从体系到内容,从讲授方法到教学要求,以及使用的教材,一直都是两专业一样或是稍加区别。笔者结合几年来常微分方程课程的教学实际,针对这两专业的教学目标、教学内容、课堂教学、以及实践动手能力的培养等方面做一些探讨。

1 教学目标

微分方程理论是一门综合性很强的知识体系。从知识结构来讲,它是以数学分析、高等代数作为基础。因此基础知识多及应用范围广是它的两个显著特点。大学生仅有常微分方程的基本理论是不够的,还需要应用的能力,即解决实际问题的能力。前者在学习常微分的过程中基本可具备,后者则需要在学习的过程中不断实践而学习到。数学与应用数学专业的学生要求掌握数学科学的基本理论与基本方法,注重学生逻辑思维能力,创新能力的培养。

信息与计算科学专业是以信息领域为背景数学与信息,管理相结合的交叉学科专业。该专业培养的学生具有良好的数学基础,能熟练地使用计算机,初步具备在信息与计算科学领域的某个方向上从事科学研究,解决实际问题,设计开发有关软件的能力。因此,在信息与计算科学专业学生的教学中突出其实践性是重点。

2 教学内容

常微分方程课程具有两个特点。第一,所需的基础知识较多,涉及到数学分析、高等代数和解析几何等课程。第二,运用范围很广,在物理学、化学、生物学以及社会经济、人文科学中都有应用常微分方程的方法和理论建立起来的数学模型。在教学内容上体现了多课程、多学科知识的交叉和渗透。对于数应专业的学生,这就要求教师在教学过程中要不断深化学生原有的知识,帮助学生建立起新的知识体系。不仅要使学生弄清楚常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法,同时介绍常微分方程发展过程中的新进展和新成果,让学生了解學科发展的现状,培养其具有一定的科研素质和能力。

而对于信计专业的学生则不需要重视学术,不需要过难过深的知识,只需要在学生掌握这门课程的基本概念,基本方法和基本思想的基础上,了解一些把实际问题归结为适当的数学模型的途径和方法,为他们今后运用数学知识解决实际问题(如数学建模)提供必要的训练和准备。比如延展定理和解对初值连续依赖性定理,我们只做非常直观的几何解释,略去了繁杂的证明,不但没有降低大纲要求,反而使学生对本内容理解得更为深刻。另外,还可适当增加方程建模内容,比如捕鱼模型、技术革新模型等,以展示数学技术的功能。

3 课堂教学

在常微分课程的教学中,多年采用的“教师+黑板”、“我讲你听”的填鸭式单向教学模式,以教师为中心,注重理论知识的传授,忽视学生学习能力、研究能力和实践能力的培养。另外,教学手段落后、教学模式与扩大招生的矛盾等问题也日益暴露出来。

根据数应专业学生的基础和特点,笔者认为在教学过程中应加大研究性教学的力度,在课堂教学中采取“启发式”、“讨论式”的教学方法。启发式教学是相对于注入式教学而言的。在现代教学中,启发式教学已不再是一种具体的教学方式或教学技巧,而是运用任何一种教学方法的总的指导思想,即在学生学习的关键环节或遇到问题时不直接告诉他们答案,而是给予点拨和诱导。启发式有利于发挥学生学习的主观能动性,开发其分析思维能力。“问题教学法”是实现这一教学目标的有效手段。在课堂教学中,提出一些问题供大家积极讨论,共同探索解决问题的途径,引导他们自己得出某些重要的结论,将讲授与讨论有机地溶为一体,活跃课堂气氛,培养学习兴趣,提高学生分析问题和解决问题的能力。

例如:n阶常系数线性齐次方程

求通解。教师可由一阶齐次线性方程的通解为,引导学生联想到n阶方程也有类似的解,其中为待定系数,将其代入原方程得

即,则得到该方程的特征方程。还可进一步地提出问题,当特征方程的根都是单根,如何得到原方程的通解;当特征方程的根有复根,如何得到原方程的通解;当特征方程的根有重根,如何得到原方程的通解。

对于信计专业的学生,在讲解中,着重介绍问题的背景,影响问题的主要因素及根据这些主要因素做出简化假设,建立方程,并利用所得的数学结果解释问题的现象。例如放射性元素的衰变模型、人口乃至生态系统模型、医学方面的传染模型、气象学中的模型、军事中的模型和作战模型等,对这些例子在课堂教学上要在常规的教学过程中把数学建模的思想方法贯穿在其中,使枯燥的数学课变得生动有趣,提高了学生的学习兴趣,同时也培养了学生的创新能力。

4 实践能力的培养

为了贯穿数学建模的思想和方法,体现该课程在理论方法、建模应用、计算机软件上互相渗透与补充,提高学生数学知识的应用能力,可在教学过程中增加实验课的课时。

对于数应专业的学生,可对课本内容作如下调整和补充:在第一章后面增加一节“微分方程建模”,介绍建立数学模型的一般方法及微分方程建模具体例子。

结合信计专业学生的基础以及数学软件Matlab的教学,在数应专业学生的基础上,训练学生在自己会手动解方程(组)的同时,也能用Matlab求解微分方程。同时,可以鼓励和指导学生编程,仿真微分方程中的实际问题,加强与学习计算机相关知识和掌握计算机操作技能的联系力度,既使学生深刻理解了基本概念,又培养了他们实际应用知识和解决问题的能力。

参考文献

[1]王高雄,周之铭,朱思铭,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2003.

常微分方程组论文 篇12

常微分方程 (组) 的解是一个函数或一族函数。所谓数值解法, 就是寻求解函数自变量的一系列离散点上的近似值。常微方程的数值解法很多, 常的是欧拉公式。

考虑微分方程的初问题

把微分方程中的导数用折线的斜率代替, 得到

假设对于不同的n, 有xn+1-xn相同, 记为h=xn+1-xn, 得到基本的欧拉公式, 其中, h称为步长。此外, 常用的数值计算公式还有后退的欧拉公式, 梯形公式, 龙格-库塔公式。

例用欧拉公式求下面初值问题的解

设计程序如下:

程序的前半部分求得初值问题的数值解并且把数值解绘制出来, 是使用小点绘制的, 程序的后半部分绘制出了初值问题的解析解, 是使用细线绘制的。该初值问题的解析解是从图中可以看出用欧拉公式求出的数值解与初值问题的解析解还是比较接近的, 如果改用更精确的二阶龙格-库 (下转第189页 (上接第194页) 塔公式, 可以求得与解析解更加接近的数值解。

设计程序如下:

从图中可以看出, 用二阶龙格-库塔公式计算的近似解更接近解析解, 在用Matlab计算常微分方程的数值解时, 其程序的设计是类似的, 要想减少误差, 应选取较合适的迭代公式。

摘要：常微分方程是数学与应用数学的一门专业必修课, 在理学、力学及物理学中有着广泛的应用, 本文主要介绍Matlab在常微分方程的数值解法中的一些简单应用。

关键词：Matlab,常微分方程,数值解法

参考文献

[1]王高雄, 周之铭等.2006.常微分方程.北京:高等教育出版社.

[2]于万波.2008.混沌的计算实验与分析.北京:科学出版社.