微分思想（共10篇）
微分思想 篇1
微分思想在高中物理乃至于物理学的发展中都极其重要,高中生学习微积分的知识尽管不是很多,但是对微分的思想应该还是懂得的, 在物理习题中常常遇到多个物理量变化相互联系的问题, 有时运用此思想解决问题可能达到意想不到的效果。
一、微分思想的渗透
例1:如图1,两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ,间距为L。导轨上端接有一平行板电容器,电容为C。导轨处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒,棒可沿导轨下滑,且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑,求:金属棒的加速度。
分析:金属棒的速度和电容器带电量是变化的,变化的电荷量又和通过金属棒的电流相关,而电流受到安培力又与加速度有联系,所以我们可以取一段微小的时间观察它,探索其规律。
设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t,通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上,大小为f1=BLi设在时间间隔 (t,t+Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ/Δt,按定义有i=ΔQ(注意 :在这段微小时间内i看做定值 )
ΔQ也是平行板电容器极板在时间间隔(t,t+Δt)内增加的电荷量。由此得ΔQ=CBLΔv,Δv为金属棒的速度变化量。
按定义有a=Δv/Δt(注意 :在这段微小时间内a也看做定值 )
金属棒所受到的摩擦力方向斜向上,大小为f2=μN
式中,N是金属棒对于轨道的正压力的大小,有
N=mgcosθ
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下,设其大小为a,根据牛顿第二定律有
mgsinθ-f1-f2=ma
联立5到11式得
求出的结果a与任何微小时间无关系,即可判断是匀变速直线运动。
二、微分求和
例2:如图所示,在空中有一水平方向的匀强磁场区域,区域的上下边缘间距为h,磁感应强度为B。有一长度为L、宽度为b(b<h)、电阻为R、质量为m的矩形线圈紧贴磁场区域的上边缘从静止起竖直下落,当线圈的下边穿出磁场时的速率为v已知重力加速度为g,求线圈进入磁场过程中所经历的时间t。
分析:进入磁场的过程中,加速度与速度相关,时间又与加速度相关,相互依存,所以取一短微小时间观察,总时间就是微小时间的求和。
线圈进入磁场过程中,下边进入磁场时线圈的速率为0,上边进入磁场时线圈的速率为v1。当其速率为V时,由定义a=Δv/Δt
三、微分求导
例3:一个质量为m、直径为D、电阻为R的金属圆环,在范围够大的磁场中竖直向下落,磁场的分布情况如图所示。已知磁感应强度竖直方向分量By的大小只随高度变化,其随高度y变化关系为By=B0-·(1+ky)(此处k为比例常数 ,且k>0),其中沿圆环轴线的磁场方向始终竖直向上,金属圆环在下落过程中的环面始终保持水平,速度越来越大,最终稳定为某一数值,称为收尾速度。求:(1)圆环中感应电流方向;(2)圆环收尾速度的大小。
解析:
(1)根据楞次定律可知 ,感应电流的方向为顺时针 (俯视观察)。
(2)设圆环下落稳定时的收尾速度为vm,经时间t圆环下落高度y=vmt穿过圆环的磁通量为Φ=ByS=π/4d2B0(1+kvmt)产生的感应电动势为E=dΦ/dt=πk B0d2vm/4。圆环中感应电流的电功率为PE=E2/R重力做功的功率为PG=mgvm根据能量关系有pE=PG可得圆环收尾速度。
总之,在处理物理问题中,不仅要注意“微元”的信息,而且要相应的公式推导。关注题目中的信息, 灵活运用微分思想,应该渗透在解决问题的方案中。
微分学的“人文概述” 篇2
关键词：导数；微分；起源；发展；应用
中图分类号：G712 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）18-378-01
引例：嫌疑犯问题
受害者的尸体在晚上7：30被发现。法医在晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体的体温为32.6度，一小时过后，当尸体即将被抬走时，测得尸体的温度为31.4度。假设室温在几小时内始终保持21.1度，此案最大的嫌疑犯是张某，但他声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是：张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？
该实际生活中的例子，我们可以由微分学的理论通过温度的变化计算出受害者的死亡时间。微分学是高等数学的主要内容之一，它很的理论当中都有应用，那么，微分学是怎么发展以来的呢？
一、微分学的起源
刺激微分学的发展主要是以下问题：
1、已知曲线 ，求在其上某一点 处的切线的斜率？
2、设一物体做变速直线运动，其位移 随时间 的变化规律为 ，求物体在某一个时刻 时的瞬时速度？
阿基米德、阿波罗尼奥斯等否曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点。后来，中国学者多以惯用的数值手段研究天文历法中的极大极小值问题，回避了连续变化率。直到1629年费尔玛给出了如何确定极值的方法。这是微分方法的第一个真正的先驱工作。在牛顿、莱布尼兹大体完成微分理论之前，他是为微分学做出贡献最多的人。其后剑桥大学教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。
1684年，德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼兹发表的《一种求极大值极小值和切线的新方法及这种新方法的奇妙微积分计算》是第一次正式出版的微积分著述。论文标题末尾最后出现的“微积分（Calculi）”在这里表示的是“一组规则”——它是适用于有关极大值极小值，切线等一类问题的规则。
可以说微积分是17世纪数学的最高成就。尽管莱布尼兹首先在17世纪80年代中期公开描述了微积分，但事实上，是牛顿在1664到1666年间首先研究了这个课题。当时还在剑桥大学的牛顿创造了所谓的“流数”，这也是一组“规则”，利用它们可以求得极大极小值，切线。但是莱布尼兹所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在人们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
牛顿和莱布尼茨虽然把微积分系统化，但它还是不够严谨。不过，当微积分被成功地用来解决许多问题时，却使得十八世纪的数学家偏向其应用，而少致力于其是否严谨。当时，微积分学的发展幸而掌握在几个优秀的数学家，如欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔及伯努利等人的手里。研究的問题由自然现象而来，所以能以自然现象的数据来验合微积分的许多推论，从而使微积分学不因基础不稳而隐含错误。微分的概念从萌发到完整，其严格化经历了几个世纪。即使在微积分蓬勃发展的牛顿-莱布尼茨-欧拉时代，数学家们尽管能用微分进行近似计算，布列并求解微分方程，但由于无穷小量的概念尚未精确化，微分的概念并不明晰。直至19世纪，数学的严格性发展到了新的高度，微分的概念才被确切地理解。
总之，微积分的系统发展归功于两位伟大的科学先驱----牛顿和莱布尼兹.这一系统成功地发现：过去一直分别研究的微分和积分实际上是两个互逆的运算.因此他俩的关系后来才知道的。
二、微分学的应用
1、经济学中的应用（边际分析问题）。“边际”这个词可以理解为“增加的”的意思，“边际量”也就是“增量”的意思。说的确切一些，自变量增加1单位，因变量所增加的量就是边际量。比如说，生产要素（自变量）增加1单位，产量（因变量）增加了2个单位，这因变量增加的两个单位就是边际产量。这种分析方法广泛运用于经济行为和经济变量的分析过程，如对效用、成本、产量、收益、利润、消费、储蓄、投资、要素效率等等的分析多有边际概念。
2、工程技术中的几个常见应用。（细杆的线密度模型）设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在[0，x]上的质量m是x的函数m=m（x），求杆上 处的线密度。
（化学反应速度模型）在化学反应中某种物质的浓度N和时间t的关系为 ，求在t时刻该物质的瞬时反应速度。
类似上述问题，我们在生活中遇到的诸如：功对时间的变化率，位移对时间的变化率，速度对时间的变化率，人口问题等等都是微分问题。
参考文献：
[1] 余 丹.微分学简史[J].高校理科研究，2015.
[2] 杜瑞芝.微分学前史[J].辽宁师范大学学报自然科学版，1986：42-49.
[3] 李经文.微分学与积分学的发展及历史评价[J].邵阳师范高等专科学校学报，2002（24）：1-6..
[4] 郜欣春，贾仙勤.微分学在微观经济学中的几处应用[J].科技经济市场，2011（4）：13-14.
微分思想 篇3
对于一阶显式常微分方程,从初等解法的角度来看,我们可以把它们分为变量分离方程与恰当方程这两种基本类型,而其他类型可通过适当的“变换”,化为这两种类型之一。其求解方法的过程可分析总结如下。
一、变量分离方程类型
二、恰当方程
通过以上分析我们看出,一阶常微分方程的初等解法除了初等积分,不外乎“变换”这一数学基本思想方法,因此在教学中很有必要梳理总结,有所强调与突出该思想,使得学生心中能够清楚的留下“一阶常微分方程总是可以求解出来的”这种感性认识,这对于增强学生求解问题的自信心、培养学习兴趣乃至提高学生的数学素养,都将有非常好的作用。
摘要：文章从数学的基本思想之一——“变换”的角度,分析了常微分方程的初等解法,并结合实际教学经历,对常微分方程课程在教学上提出了可供借鉴的建议。
关键词：数学思想,常微分方程,初等解法,变换
参考文献
[1]梁宗巨.世界数学史简编[M].第一版.沈阳:辽宁人民出版社,1980:237.
饮酒驾车问题的微分方程模型 篇4
一、提出问题
体重为70kg的人在喝下(认为是瞬时饮酒)1瓶啤酒后,测量他的血液中酒精含量(毫克/百毫升),得数据[1]如下
问题1.饮酒后多长时间后血液中含酒精量最大。
问题2.某人在早上8点喝了一瓶啤酒,下午2点检查时符合新的驾车标准,他在19点吃晚饭时又喝了一瓶啤酒,过了6小时后驾车回家,又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车,这让他陷入困惑,为什么喝同样多的酒,两次检查结果会不一样呢?过六小时后再喝一瓶,过多长时间才可以驾车。
问题3.一次喝3瓶啤酒多长时间可以驾车。
二、基本假设
短时间饮酒是一次饮入,中间时差不计。酒精在血液与体液中含量相同。酒精进入体内后不受其他因素对酒精的分解,不考虑个体差异。转移过程为,胃→体液→体外。人的体液占人体重的65%至70%,血液占体重的7%左右;而酒精在血液与体液中的含量是一样的。
三、参数说明
t为饮酒时间,y1(t)为 时刻人体消化的酒精量,y2(t)为时刻人体的酒精量,k1为酒精在人体中的吸收率常数,k2为酒精在人体中的消除率常数,c(t)为 时刻内血液中酒精浓度。f为酒在人体的吸收度(为一常数,其值等于血液与体液的重量之比)。
四、模型建立与求解
可把酒精在体内的代谢看成进与出的过程,用和
分别表示酒精输入速率和酒精输出速率,这样问题可简化为血液中酒精的变化律等于输入速率减去输出速率,即。
通过一系列计算得到人体内酒精含量。
可以看出,当酒精含量最大,解得,且此时c(t)达到最大值。
五、问题的回答
1.饮酒后多长时间后血液中含酒精量最大。根据以上数据拟合出参数k1,k2,的值分别为k1=2.0079,k2=0.1855,
代入可得喝一瓶啤酒的酒精含量随时间变化的函数图像:
把k1=2.0079,k2=0.1855代入得:t≈1.2,即当饮酒1.2小时后,体内酒精含量最大。
2.分两次喝酒的情况。第一次遭遇检查时的酒精含量为c(6)=19.4mg/100ml<20mg/100ml,不违反新的交通法则,而第一瓶酒在17小时后的残余酒精量为c(17)=3.1mg/100ml。第二次遭遇检查时喝酒精量为第瓶酒17小时后的酒精残余与第二瓶酒6小时后的酒精残余量之和等于22.5mg/100ml,大于20mg/100ml属于饮酒驾车行为,这样问题2就得到了很好的解释。
3.喝3瓶酒的情况。事实上喝三瓶啤酒的酒精含量与时间的函数图如下:
由图可知在饮酒后的12小时内驾车都违反交通规则,其中0.35-4.5h内属于醉酒驾车。根据医学知识:“一次进酒后,24小时基本全部排泄完,即24小时之后就可以认为血液中的酒精含量约为零。”但喝酒必有一定的度。对于想喝一点酒的司机同志,根据国家标准和对模型分析,因此应在一次饮3瓶啤酒12小时后驾车。
微分思想 篇5
高职数学教学面临课时少、任务重、学生整体素质不高的现状，学生的数学学习积极性不高，部分学生学习习惯存在问题，一些学生错误地认为高职数学就是枯燥的理论，没有什么实际的用处，数学考试就是背公式，套公式。因此，帮助学生增强自信心，转变学生的数学学习方式，注重数学思想、方法的教学，培养学生良好的数学学习习惯，提升学生的数学学习品质是高职数学教师面临的重要任务。
二、微分方程产生的背景
微分方程接近是和微积分同时期先后产生的，牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。其他数学家又不断地研究和丰富了微分方程理论。牛顿在研究机械力学和天体力学时，利用了微分方程工具，在理论上得到了行星运动规律。法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯利用微分方程各自计算出当时尚未发现的海王星的位置。
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程。常微分方程的形成及发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展紧密相关的。数学其他分支的新发展，如复变函数、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而今计算机的发展更是为常微分方程的理论研究及应用提供了很有力的工具。事实上，微分方程本身就是为了解决实际问题而设立的学科。
三、数学建模及其思想
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段，是数学知识与数学应用的桥梁。研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，利用数学的理论和方法去分析和解决问题。
四、在高职常微分方程教学中的渗透数学建模思想
大学生数学建模竞赛，目前规模虽然逐年扩大，但参与的人数有限，教师有必要在平时的高职数学教学中融入数学建模思想。
函数是事物内部联系在数量方面的反映，如何寻找变量之间的函数关系，在实际应用中有重要意义。在很多实际问题中，我们往往不能直接找出变量间的函数关系，但可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，从而得到微分方程模型。
1. 在建立常微分方程过程中，教师应注意数学建模思想的渗透。在讲解常微分方程模型的过程中，注重说明如何用数学语言阐述实际问题，如何合理假设，运用了哪些原理建立微分方程。例如：考虑一个由电阻R、电感L、电容C串联组成的简单闭合电路，如果在某一时刻将电容器充电使它得到一个电位差，然后断开电源。在电感的作用下这个闭合电路中开始了电流振荡。试建立电容器两极间的电位差和时间之间关系的微分方程。
先用数学语言表述实际问题：用Q (t) 表示在时刻t电容器上的电量，i (t) 表示在时刻t电路中的电流强度，C表示电容器的电容。v (t) 表示在时刻t电容器两极间的电位差，R表示电阻的阻值，L表示电感的电感系数，用v (t) 的函数规律来刻画该电路振荡的规律。
假设：忽略电感中的电阻，忽略电阻中的电感效应，忽略线路中的电阻，认为电容器两极间没有电流。
电学原理：按照总电动势i (t) R等于电容器的电位差v (t) 和电感电动势的总和。
建立模型:由电学原理可得因为, 其中所以从而得到v (t) 满足的微分方程
2. 在常微分方程教学中，教师应适当增加一些与全国大学生数学建模竞赛相关的微分方程模型，激发学生学习课程的兴趣。如介绍分析2006年全国大学生数学建模竞赛试题“SIR传染病模型”，2007年全国大学生数学建模竞赛试题“人口增长模型”。
3. 本着“面向社会，服务专业”，“改善思维，融入专业”的精神，为了提高高职数学教学实效，提高学生学习数学的积极性，感受数学工具的价值，在常微分数学教学中，教师应渗透建模思想，根据不同的专业，选择合适的例题和专题。如在我院电专业学生的教学中，我选择一些RL电路，RC电路的微分方程模型讲解，而在我院经济类专业学生的教学中，我则选取经济类背景的题目讲授，如各种经济增长的微分方程模型。
4. 教师应在学生学习中能够练中学、习中得，教为主导、学为主体，发挥学生的主体作用。教师应调动学生的积极性，让学生用微分方程探索解决日常生活中遇到的问题。如利用微分方程探求凶杀案件中谋杀发生的时间，降落伞降落速度与时间函数关系，减肥问题，等等。
另外教师还可在微分方程的教学中引入数学软件的使用。
总之，学习常微分方程的目的是提高学生的思维能力，运算能力，实际应用能力。教师在教学中渗入数学建模思想，能使学生的思考力、洞察力和创造力得到培养和提高的同时，增强学生应用数学思想、知识、方法解决实际问题的能力。
参考文献
[1]王高雄.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2006.
微分思想 篇6
现代复杂机电产品（如航空航天器、机器人、汽车等）通常是集机、电、液、控、磁等多学科领域于一体的复杂物理系统，经常表现出时间依赖（对时间导数）与空间依赖（对坐标偏导）共存的行为特征，而且可能呈现出多领域之间及时间域与空间域之间的耦合特性[1]。
物理系统行为规律的描述通常有两种主要的形式。系统在单纯时间域的物理行为往往由常微分方程（ordinary differential equation,ODE）描述，如果涉及代数约束，则形成微分代数方程（differential-algebraic equation,DAE),DAE是描述时间域物理规律的普遍形式，如机械多体、电子电路等系统规律的描述；若物理行为涉及空间场，出现对空间变量的偏导，则往往由偏微分方程（partial differential equation,PDE）描述，如位势、传热、波动等相关物理系统的规律描述[1]。
物理系统建模经历了从面向过程建模到面向对象建模、连续域与离散域分散建模到连续-离散混合建模、单一领域独立建模到多领域统一建模的发展阶段。Modelica语言是近年来欧洲仿真界为解决复杂物理系统建模与仿真问题而提出的一种多领域统一建模语言[2,3]，然而，目前Modelica语言只能对时间域的物理系统进行统一建模，还不能对空间域的物理系统进行描述，更无法对其进行仿真优化，这大大限制了Modelica语言的应用范围。为此，国外已有学者着手扩展Modelica语言以支持PDE问题的建模与仿真[4]。周凡利等[1]提出了解决该问题的思路，但没有具体实现。李志华等[5,6]也开展了这方面的研究工作，初步实现了Modelica语言对PDE问题的描述、建模以及仿真求解。然而现有的这些方法都是采用简单的有限差分法或线上法来求解具有规则区域（如矩形）的PDE问题，对于不规则区域的复杂PDE问题则无法求解。
本文在李志华等原有工作[5,6]的基础上，从多领域统一建模与仿真的角度，针对一般性的PDE问题（包括不规则求解区域、复杂边界条件、线性或非线性PDE系统），提出一种PDE与DAE的一致求解方法，为Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题奠定基础。
1 PDE的已有解法
PDE的解法主要分为解析法和数值法。到目前为止，只有有限形式的PDE能够得到解析解，在工程实际中一般采用数值求解。PDE的数值求解技术比较成熟，可用的方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法以及线上法等[7]。但有限差分法和线上法只适用于规则的求解区域，而有限元法和有限体积法是基于网格的计算方法，在某些工程问题（如动态裂纹扩展、高速撞击、冲击破坏、流固耦合等）中存在网格的束缚，使得计算遇到很大的困难，因此出现了无网格方法[8]。
无网格方法只需要节点的信息，不需要节点与节点之间相互联系的信息，这样很容易在复杂计算区域内布置节点。无网格方法的构建主要包括近似函数的构建方法和微分方程的离散方法两个部分，根据近似函数构建方法和微分方程离散方法的不同，可以构建出许多不同的无网格方法[8]。目前比较常用的近似函数的构建方法有：核函数近似方法、再生核近似方法、移动最小二乘近似方法、单位分解近似方法、径向基函数近似方法、点插值近似方法等。微分方程的离散方法包括加权残量法、配点法、Galerkin法以及局部Petrov-Galerkin法。
Khattak等[9]运用无网格配点法成功求解了一类非线性PDE;Yao等[10]应用全局和局部径向基函数来求解三维抛物线型PDE，并比较了这两种无网格方法的性能；Kamruzzaman等[11]利用多项式点插值和配点法来构造无网格方法，较好地求解了椭圆形、抛物线型和双曲线型PDE；吴宗敏[12]介绍了散乱数据拟合研究中的径向基函数方法，及其在散乱线性泛函信息插值、无网格PDE数值解中的应用；吴孝钿[13]应用Sobolev splines径向基函数和紧支柱正定径向基函数，得到求解PDE边值问题的无网格算法，并针对散乱数据的特点，给出了计算整体稠密度h的算法及如何通过加密节点使h值缩小的一个可行方法。然而上述无网格方法都是直接对时间变量和空间变量进行离散，只适合求解单纯的PDE问题，不适合求解复杂的PDE与DAE耦合问题。
本文借鉴传统的求解PDE的无网格方法，选用径向基函数和配点法来构建径向基函数配点无网格法，并对其进行改进，即只对空间变量离散而保持时间变量连续，直接将PDE在空间上（即配点处）离散成一系列的DAE，然后利用成熟的DAE求解器进行统一求解。
2 径向基函数配点无网格法
对于d维实空间中定义在域Ω上的PDE问题：
式中，L、B为微分算子；u(X,t）为未知量场函数；f(X,t）、g(X,t）为已知函数。
我们所构建的径向基函数配点无网格法的基本思想是：首先采用径向基函数构造近似函数，将未知量场函数的时-空变量分开，然后运用配点法对空间变量进行离散，而保持时间变量连续，这样就将PDE问题在空间上离散成一系列只含时间变量的DAE问题，具体过程如下。
首先在PDE的不规则求解区域Ω内和边界Ω上选定N=Nu+Nb个离散的节点（即配点），然后应用径向基函数构造u(X,t）的近似函数，并将其构成时间与空间分离的形式：
其中，N为节点总数；Nu为域内节点数；Nb为边界节点数；αi(t）为待定系数；Xi为实空间上的配点；φi（‖X-Xi‖）为径向基函数，φi（‖X-Xi‖）=φ（ri(X));ri(X）为Euclidian范数，ri(X）=‖X-Xi‖。
为确保解的唯一性，（ri(X））必须无条件正定，这种径向基函数包括Gaussian函数e-cr2、逆MQ函数（r2+c2）β（β<0）和紧支正定径向基函数等。本文采用Gaussian函数。
将式（2）代入式（1）中，并使这N个点满足式（1）的微分方程和边界条件，得到
当微分算子L、B为空间变量的偏导时，由于空间变量已与时间变量分离，且径向基函数φi（‖X-Xi‖）对空间变量可求导，在每一节点处，空间坐标已知，因此Lφ（ri(Xk））或Bφ（ri(Xk））就是一个已知值，这样，式（3）中就只剩下时间的导数，即每个节点处对应一个只与时间有关的DAE，这样就将PDE转化为一系列的DAE（具体过程可参见实例部分）。
进一步，PDE问题（式（1））可变为求解一个N×N的线性方程组问题，用矩阵表示为
其中，S为N×N的矩阵，S=(Ski)N×N;a为待求的系数向量，a=（α1(t），α2(t），…，αN(t));b=(b1,b2，…，bN）；且
由式（4）求出未知系数αi(t)(i=1,2，…，N）后，通过式（2）就可以获得域内和边界上任意一点的场函数值u(X,t）。
3 实例及求解过程
通过编程，利用径向基函数配点无网格法对PDE进行空间离散，自动将PDE问题转化成DAE问题。本文采用MATLAB编程，首先将带时间域的PDE问题进行时间与空间分离（若不带时间域则不用分离），然后通过径向基函数配点无网格法对空间变量进行离散，得到一系列离散点处的DAE，并把这些DAE数据用mat格式保存起来，接着将该mat格式文件导入到基于Modelica语言的多领域统一建模与仿真平台MWorks中[14]，并利用其成熟的DAE/ODE求解器进行PDE与DAE的一致求解。整个流程如图1所示。
以下面一个不规则区域的二维热传导问题为例来说明本文所提方法的有效性：
式中，T为某个时间值。
其求解区域由如下边界组成：
对该不规则求解区域用配点法进行不规则离散，得其节点分布如图2所示，其中域内节点数Nu=61，边界上节点数Nb=42。然后对这些节点从左到右、从下到上进行编号。
对该二维热传导PDE问题，运用上述PDE与DAE的一致求解方法和过程进行一致求解，令
对于求解域内的Nu个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nu），满足域内的偏微分方程，即
对于求解域边界上的Nb个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nb），满足边界条件方程，即
对于域内及边界上的所有离散节点（xi,yi(i=1,2，…，N),N=Nu+Nb，满足初始条件方程，即
本文采用Gaussian径向基函数，在各离散节点处均可计算出它们的值。这样，式（5）～式（7）中就只剩下时间的变量，即利用径向基函数配点无网格法已将PDE在离散节点处转化为一系列的DAE，然后就可以在MWorks环境中利用其自带的DAE求解器进行求解，从而方便地得出场函数在各个离散节点处随时间变化的函数值。图3表示的是场函数在编号为15节点处的仿真结果；图4所示为本文的数值解与其精确解u(x,y,t)=e-2tsin(x+y）之间的比较，此处t=0.5s。
由图4可以看出，本文的数值解uP与精确解uQ非常吻合，达到了较高的求解精度。进一步，定义本文的数值解与精确解之间的误差为，通过计算得到er=7.1×10-5。
4 求解精度影响因素分析
为了更好地应用径向基函数配点无网格法来求解PDE问题，本文研究了不同离散节点数、平均节点间距和径向基函数参数c的取值对求解精度的影响，如表1所示。
由表1可以看出，一般情况下，当参数不变时，离散节点数越大、平均节点间距越小，则求解精度越高。例如，在c=1不变的情况下，当节点数为14、平均节点间距为0.47时，误差为2.2475×10-4；而当节点数为30、平均节点间距为0.28时，误差则为1.7142×10-5。同时还可以看出，随着参数c的不断增大，求解精度并不是呈递增或递减状态，而是有起伏变化，只有当c取适当的值时，误差er才较小。由此可见，恰当确定径向基函数参数c的取值很关键，然而目前还没有规律可循，只能通过多次反复运算来确定一个合适的值。
5 结论
多领域统一建模要求用偏微分方程和微分代数方程来统一描述和统一求解，本文针对一般性的偏微分方程问题，提出了偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法，给出了该方法的实现过程，分析了离散节点数和径向基函数参数对求解精度的影响，得到如下结论：
(1）与传统的无网格方法相比，本文采用只对空间变量离散而保持时间变量连续的策略，能方便地将偏微分方程在离散节点处转化为一系列微分代数方程，从而在不改变Modelica语法的前提下，较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解，大大简化了复杂的偏微分方程与微分代数方程耦合问题的求解难度。
(2）实例结果表明，本文所提出的方法能较好地解决具有不规则求解区域的偏微分方程问题，且求解精度高，这有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。
摘要：Modelica语言是一种复杂物理系统多领域统一建模语言,但目前该语言只能解决由微分代数方程(DAE)描述的问题,而不能解决由偏微分方程(PDE)表达的问题。为此,提出一种偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法,利用所构建的径向基函数配点无网格法直接将偏微分方程在空间上离散成一系列的微分代数方程,然后采用成熟的微分代数方程求解器进行求解。实例结果表明,该方法在不改变Modelica语法的前提下,能较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解,且求解精度高、边界条件处理简单,有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。
微分方程应用举例 篇7
1 应用问题举例
1.1 生态系统中的弱肉强食问题
在这里考虑两个种群的系统, 一种以另一种为食, 比如鲨鱼 (捕食者) 与食用鱼 (被捕食者) , 这种系统称为“被食者—捕食者”系统。
Volterra提出:记食用鱼数量为x (t) , 鲨鱼数量为y (t) , 因为大海的资源很丰富, 可以认为如果y (t) =0, 则x (t) 将以自然生长率r (r>0) 增长, 即.x=rx。但是鲨鱼以食用鱼为食, 致使食用鱼的增长率降低, 设降低程度与鲨鱼数量y (t) 成正比, 于是相对增长率为r-λy。常数λ>0, 反映了鲨鱼掠取食用鱼的能力。如果没有食用鱼, 鲨鱼无.法生存, 设鲨鱼的自然死亡率为d, 则y=-dy。食用鱼为鲨鱼提供了食物, 致使鲨鱼死亡率降低, 即食用鱼为鲨鱼提供了增长的条件。设增长率与食用鱼的数量x (t) 成正比, 于是鲨鱼的相对增长率为-d+µx。常数µ>0, 反映了食用鱼对鲨鱼的供养能力。所以最终建立的模型为:
这就是一个非线性的微分方程。
1.2 雪球融化问题
有一个雪球, 假设它是一个半径为r的球体, 融化时体积V的变化率与雪球的表面积成正比, 比例常数为k>0, 则可建立如下模型:
其中, 带入上式得到如下一阶线性微分方程:
1.3 冷却 (加热) 问题
牛顿冷却定律具体表述是, 物体的温度随时间的变化率跟环境的的温差成正比。记T为物体的温度, Tm为周围环境的温度, 则物体温度随时间的变化率为, 牛顿冷却定律可表示为:
其中k是正的比例系数, 牛顿定律表示冷却过程时,
且:
T>Tm;
表示加热过程时,
且:
看到, 牛顿冷却定律也是一个一阶线性微分方程。
2 结语
文中通过举生态系统中弱肉强食问题, 雪球融化及物理学中冷却定律问题为例给出了微分方程在实际中的应用。在讲解高等数学微分方程这一章内容时经常举些应用例子, 能引起学生对微分方程的学习兴趣, 能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论, 达到事半功倍之效。
摘要：通过举例给出了微分方程在实际中的应用, 从而使学生易于理解和掌握微分方程概念及理论。
关键词：微分方程,应用
参考文献
[1]王嘉谋, 石林.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2012.
[2]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 等.常微分方程[M].2版.北京:科学出版社, 2000.
微分中值定理教法研讨 篇8
微分中值定理在高等数学中应用广泛,占有很重要的地位,它反映了函数局部性与函数的整体性之间的关系.但学生在学习中,现行的教材及参考资料往往直接给出辅助函数,并没有分析过程,过渡不自然,使学生感到很突然.本文以Rolle中值定理为基础,采用逆推法将Langrange中值定理与Cauchy中值定理构造辅助函数的详细过程给出.并以此分析过程为思路,构造出与教材不同的新函数,通过此教学方法的使用,使学生更加容易接受,且收到较好的教学效果.
二、预备知识
(B)Lagrange中值定理的内容是:如果函数f(x)满足下列条件:
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导.
(C)Cauchy中值定理的内容是:设函数f(x)和g(x)满足:
(1)在[a,b]上都连续;
从Rolle中值定理出发,该定理表达的几何含义是切线平行于弦,观察Lagrange中值定理与Cauchy中值定理的结论可以看出,上述两个定理均表达了切线平行于弦的几何含义;从这个意义上说可以将Lagrange中值定理与Cauchy中值定理看作是Rolle中值定理的推广.故在如下的分析和证明过程中,我们将用Rolle中值定理作为真命题,去推导另外两个定理,这是基本出发点.
(一)分析与证明过程(针对Lagrange中值定理)
(1)首先我们画出用Rolle中值定理从函数对象f(x)到结论的过程图;
通过上述的分析,我们得到用Rolle中值定理去证明Lagrange中值定理构造函数的结构(f(x)与一个线性函数的代数和),然后再具体解出k,m这些待定参数;将(P1)与(P2)过程图对比,可构造函数:
(2)该过程图可表示如下:
常微分方程计算机辅助分析 篇9
【摘 要】论文探讨软件对常微分方程进行计算机辅助分析，其工作不但可促进常微分方程的教学和研究，并为进一步进行常微分方程的课程和教学改革提供资料。
【关键词】计算机辅助分析；常微分方程；软件
1数学软件在常微分方程中的实践应用
下面结合数学软件探讨常微分方程的计算机辅助分析，并讨论两种常用的数学软件MATLAB和Maple在应用时的异同点。对常微分方程的教学和研究的内容而言，有如下四个方面可应用计算机软件进行辅助分析计算：
求解线性微分方程要用到的矩阵特征值、特征向量、行列式和指数函数的计算和计算、检验微分方程组的平衡点需要用到的代数方程组的（符号）求解。
3种数学软件都有各种函数可供使用：Mathematica中相应的函数为：Exp[A] （指数函数）、Eigenvalues[A] （特征值）、Eigenvectors[A]（特征向量）、Eigensystem[A] （特征值和特征向量）、Det[A] （行列式值）、Solve[{eqns}，{vars}] （解代数方程或方程组）；MATLAB中为Expm（A）（指数函数）、[V，D]=eig（A）（特征值和特征向量）、det（A）（行列式）、x=A＼b（解矩阵方程Ax=b）、[x，y]=solve（‘eqnl，eqn2）（解方程组eqnl，eqn2，变量为x，y）；Malpe中为exp（A）（指数函数）、eigenvals（A）（特征值）、eigenvectors（A）（特征向量）、det（A）（行列式）、solve（{eqns}，{vars}）（解方程组{eqns}，变量为{vars}）。
常微分方程（组）的解（积分曲线或轨线）或辅助曲线的图形显示。
一方面是空间或平面中常微分方程所定义的向量场和其辅助分析曲线函数如等倾斜线、V函数曲线及积分曲线或轨线图的绘制：Mathematica中基本的绘图函数有Plot[f，{x，xmin，xmax}] （平面曲线图）、Plot3D[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}] （空间曲线图）、ContourPlit[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}]（等高线图）、ListPlot[{xl，y1}，…] （平面点列图）、ParametricPlot[{x（t），y（t） }，{t，tmin，tmax}] （平面参数图）、PammetricPlot[{x（t），y（t），z（t）），{t，tmin，tmax}] （空间参数图）、PlotVectorField[{funs}，{vars}]（平面向量场）、PlotVectorField3D[{funs），{vars}]（空间向量场）；MATLAB中为quiver（x，y，u，v）（向量场）、contour（X，Y，z，m）（等高线图）、contour3（X，Y，Z，[a，b]）（等高线立体图）；Maple中为dfieldplot（向量场）、contourplot（等高线图）、contour3d（等高线立体图）。
另一方面是绘制曲线或轨线图所需要的数学函数、代数方程（组）及常微分方程（组）的数值求解。因只有少数特殊方程才能求得准确解，所以，特别是常微分方程或方程组要绘制积分曲线或轨线图要先求其数值解，用足够精度的近似数值解进行图形绘制。Mathematica中其常微分方程（组）的数值解函数为不含初始条件sol=NDSolve[{eqnl，eqn2，…}，{yl[x]，y2[x]，…，}，{x，xmin，xmax}]与含初始条件sol=NDSolve[{eqnl，eqn2，…，ini_conds}，{y1[x]，y2[x]，…，），{x，xmin，xmax}]，其积分曲线图用Plot[Evaluate[y[x]/.sol]，{x，xmin，xmax}，PlotRange->A11]、轨线图用ParametricPlot[Evaluate[{y1[x]，y2[x]}/.sol，{x，xmin，xmax}，PlotRange->All，AspetRatio->Automatic]。MATLAB中要先将高阶微分方程化为一阶微分方程组形式，再编写微分方程组的M文件F.m，然后才调用微分方程数值解函数[T，Y]=ode45（‘F， [a，b]，y0），再将结果转化为积分曲线图plot（T，Y（：，1），-r，T，Y（：，2），.g）或轨线图plot（Y（：，1），Y（：，2），-r）。Maple较为特殊，可不必先求其数值解，直接调用常微分方程积分曲线图及轨线图函数Deplot（平面）、Deplot3d（空间），而且可以同时画出不同初始条件的多条轨线，非常方便。
一阶特殊微分方程的辅助求解、微分方程的辅助判断和常微分方程（组）的特殊求解，包括拉普拉斯变换方法及幂级数解方法以及特殊函数的求解。
在Mathematica中拉普拉斯变换方法用拉普拉斯变换函数Laplace Transform[f（t），t，s]化为代数方程（组），再通过符号求解代数方程（组）函数Solve[{eqns}，{vars}]解出解后再应用反拉普拉斯变换函数Inverse Laplace Transform[F（s），s，t]得到结果。幂级数解方法必须调用有限项级数代入一项一项对比求解，不能一步到位。MATLAB中不能直接应用拉普拉斯变换和反变换函数解方程，另有信息处理程序包供使用，亦可转为Maple符号处理环境下应用。Maple中的拉普拉斯变换和反变换函数为laplace（F，t，z）和invlaplace（L，z，t）。3种数学软件均有众多的特殊函数供使用。
常微分方程（组）的直接积分。Mathematica和Maple是符号计算软件，可以应用其符号计算求解常微分方程或方程组的函数DSolve[]和dsolve（），根据参数形式的不同可解不带初始条件的常微分方程（组），如含初始条件则在方程或方程组后附上初始条件。MATLAB的符号计算核是借助Maple语言，要先作变量说明才能使用。
必须指出的是，正如常微分方程（组）不一定有初等解即能用初等函数或超越函数积出一样，使用数学软件不一定保证能解出给定的常微分方程（组）。甚至能积出的常微分方程（组）也不一定能用数学软件解出，因常微分方程（组）的求解没有统一方法，要用人工智能处理计算机的求解过程。
2常微分方程计算机辅助分析的具体处理
常微分方程用数学软件进行辅助分析时往往需要经过几个步骤调用不同函数才能得到最后结果。下面以常微分方程教材中的常用方法进行讨论。
2.1一阶微分方程直接求解
2.1.1齐次方程
2.3常微分方程（组）的向量场和积分曲线（轨线）图
向量场图必须确定其范围及向量的大小密度，积分曲线（轨线）图要先求给定初值和时间区间的方程的数值解（一般选自动定步长），再转换成图形。可将同范围的向量场和多条积分曲线（轨线）合并成一个图形，以方便分析处理。
2.4拉普拉斯变换方法
对非齐次常系数线性微分方程（组），可用拉普拉斯变换化为代数方程（组），求解代数方程（组）后再通过反拉普拉斯变换得到微分方程（组）的解。在Mathematic和Maple中，由于拉普拉斯变换得到的变量符号较长，需重定变量名较为方便。MATLAB则要另调用动态系统建模仿真软件包Simulink或优化工具箱使用专用模块进行处理。
3 3种数学软件的常微分方程程序选
下面给出3种数学软件的常微分方程习题中的部分程序。仅列出纲目，具体程序及结果见书《常微分方程学习辅导与习题解答》第十章。Ex5.3-3（2）表《常微分方程（第3版）》[5]中§5.3习题3-（2），余类推。
3.1Mathematica程序
3 .1 .1 辅助计算
3.1.1.1微分、积分D[f.x]，D[f，{x，n}]，Dt[f，x]，ND[f，x，x0]，
Integrate[f，x]，Integrate[f，{x，a，b}]，NIntegrate[f，{x，a，b}]；
3.1.1.2求行列式、逆矩阵和转置矩阵Det[A]，Inverse[A]，Transpose[A]；
3.1.1.3求矩阵特征方程、特征值和特征向量 Ex5.3-3（2）；
3.1.1.4求奇点（解方程组）Ex6.1-3（2）；
3.1.1.5微分方程数值解Ex3.5-1（计算结果见《常微分方程学习辅导与习题解答》§3.4.6-1）。
3.1 .2辅助判断
3.1.2.1恰当方程Ex2.3-1（1）；
3.1.2.2积分因子Ex2.3-2（5）；
3.1.2.3里卡蒂方程Ex2.5-5（3），（b）Ex2.5-5（6）；
3.1.2.4验证方程组解Ex5.2-8（1）；
3.1.2.5判断奇点类型Ex6.3-1（2）。
3.1.3绘图
3.1.3.1平面向量场及轨线图貌 （a）Ex6.1-1，（b）Ex6.4-6（1）；
3.1.3.2等高线图Ex6.6-2（2）；
3.1.3.3空间曲线、曲面（a）Ex6.5-4，（b）Ex6.6-6。
3.1.4解二阶及高阶微分方程直接求解
3.1.4.1一阶微分方程 Ex2.1-1（1）；
3.1.4.2二阶及高阶微分方程 （a）Ex4.1-3（3）；（b）Ex4.2-2（7）；
3.1.4.3微分方程组 （a）Ex5.2-8（2）；（b）Ex7-l（2）；
3.1.4.4微分方程近似解和幂级数解 （a）Ex3.1-1；（b）Ex4.3-2（2）；
3.1.4.5矩阵指数、基解矩阵及微分方程组解
（a）§5.4.1-6（3）；（b）Ex5.3-4（4）；（c）Ex5.3-5（3）；
3.1.4.6用拉普拉斯变换求微分方程组解Ex5.3-9[5（1） ]。
参考文献：
[1]秦大康，张宝善.Mathematica软件在微分方程中的应用研究.徐州师范大学学报（自然科学版）.2001，3
[2]桂占吉，宋作忠.一阶常微分方程的计算机辅助教学.数学的实践与认识.2004，5
[3]何延生.常微分方程的CAI教学.延边大学学报（自然科学版）.2007，2
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微分中值定理的教学探讨 篇10
微分中值定理是微分学的基本定理, 也是微分学的理论基础.一般教科书在讲述这一部分时, 大多先后介绍费马 (Fermat) 引理、洛尔 (Rolle) 引理、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理、柯西 (Cauchy) 中值定理等内容.这样处理, 逐步深入, 自然易懂, 已经成为公认的标准讲法.Rolle定理是证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的预备定理, 以Rolle定理为基础, 通过引进适当的满足Rolle定理的辅助函数便可证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理, 然而, 教学中学生总感到老师给出的辅助函数不好想, 很突然, 很难.因而, 辅助函数的引入一直是教学上的一个难点.
从笔者多年的教学经验看, 在讲完Rolle定理后先不急于讲Lagrange中值定理和Cauchy定理, 而是先由Rolle定理为出发点引进一个推论, 它是Lagrange中值定理和Cauchy定理的高度概括, 可作为它们的预备定理, 利用它学生会很容易地发现并证明Lagrange中值定理和Cauchy定理, 起到事半功倍的作用.
先回顾一下Rolle定理:设函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且f (a) =f (b) , 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
现在设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 再加上什么条件, 函数f (x) -g (x) 就能满足Rolle定理的条件呢?由Rolle定理的条件知, 还需要添加以下条件:f (a) -g (a) =f (b) -g (b) , 即g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 这样由Rolle定理知, 在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
推论1设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
有了这一推论就可以引导学生去发现并证明Lagrange中值定理和Cauchy定理了.事实上, 设f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导.若取, 它们的连续性与可导性是显然的, 又有f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上有相同的增量g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 由推论1, 因而存在ξ∈ (a, b) 使得f′ (ξ) =g′ (ξ) , 即成立.由此可以得到:
Lagrange中值定理:设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
那么, 又如何发现Cauchy定理呢?设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 很明显, 函数[f (b) -f (a) ]g (x) 与函数[g (b) -g (a) ]f (x) 也在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 而且在[a, b]上有相同的增量[g (b) -g (a) ][f (b) -f (a) ], 由推论1, 因而存在ξ∈ (a, b) , 使得[f (b) -f (a) ]g′ (ξ) =[g (b) -g (a) ]f′ (ξ) … (1) .又若在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 必然g (a) ≠g (b) , (否则, 由Rolle定理g′ (x) 在 (a, b) 内有零点) , 由 (1) 得.由此可以得到:
Cauchy定理:若f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, g′ (x) ≠0, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
很明显, 在Cauchy定理中若取g (x) =x又回到Lagrange中值定理的结论.另外, 由Rolle定理还可以得到以下推论.
推论2设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在区间[a, b) 上有连续的n阶导数, 在开区间 (a, b) 内有n+1阶导数, 且g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , f (k) (a) =g (k) (a) (k=1, 2, 3, …, n) , 则在[a, b]内至少存在一点ξ (a<ξ
推论2可以作为台劳定理的预备定理.
综合以上知识点, 下面给出一种微分中值定理巧妙简明、独具一格的证明方法.
微分中值定理设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 并且在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 则至少存在一点ξ (a<ξ
证明由在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 得到g (b) ≠g (a) , 令, 则有f (b) -f (a) =λg (b) -λg (a) , 或f (b) -λg (b) =f (a) -λg (a) , 作函数φ (x) =f (x) -λg (x) , x∈[a, b], 则φ (a) =φ (b) , 利用Rolle定理, 存在ξ∈ (a, b) , 使得φ′ (ξ) =0, 即, 证毕.
注在去掉条件g′ (x) ≠0的情形下, 则存在ξ∈ (a, b) , 使得[f (b) -f (a) ]g′ (ξ) =[g (b) -g (a) ]f′ (ξ) .
二、为了更好地理解和应用微分中值定理, 对其进行几点分析探讨
(1) 为了把证明简化且便于记忆, 也可以把Lagrange中值定理和Cauchy定理综合推广为如下的一般中值定理:若f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
其证明既简单又容易想到.事实上, 只要对辅助函数φ (x) =[f (b) -f (a) ]g (x) -[g (b) -g (a) ]f (x) 在[a, b]上应用Rolle定理就可以得证.此时, 若g (x) =x, 就是Lagrange中值定理;若g′ (x) ≠0, 就是Cauchy定理.
(2) 微分中值定理的证明关键在于如何构造一个辅助函数, 很多高等数学和经济数学的教材中都是采用传统的辅助函数, 这个函数的引入, 主要是借助几何直观, 不妨归类为几何方法, 尽管有几何形象, 学生接受起来还是不易理解, 下面用演绎、推理的方法寻求所需的辅助函数F (x) .
在证明Lagrange中值定理时, 传统的方法是引入辅助函数:
假设F (x) 已得出, 它符合Rolle定理的条件, 则至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得F′ (ξ) =0… (4) , 由此可得:, 但其形式有较大差异, 为此将 (5) 式变为:式左边在没有求导数之前应为 (不是唯一的) , 如果想象中的辅助函数F (x) 确实存在的话, 可以假设是:, 经验证F (a) =F (b) , 即 (7) 式所确定的F (x) 为所需要的辅助函数. (7) 式与 (3) 式比较只是少了一串常数而已.同样, 可以用此方法推出证明Cauchy定理所需要的辅助函数
(3) 在微分学中还有一条关于导函数的达布中值定理:若f (x) 在[a, b]可导, 则f′ (x) 可以取到介于f′ (a) 与f′ (b) 之间的一切值. (参见菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》一卷一分册) .根据这个定理就不难证明:若f (x) 在一区间上有原函数, 则f (x) 在该区间上有介质性.这一结论在积分中值定理中有广泛的应用.
(4) 关于微分中值定理, 还可给出以下结论.
定理1若f (x) 是[a, b]上的二次可微函数, 且f″ (x) >0, 则对任意的ξ∈ (a, b) , 必存在x0∈[a, b], 使得公式之一必成立.
因为f′ (x) 是单调递增的, 故有g (a)