微分对策（通用7篇）
微分对策 篇1
产品的回收再制造可以有效降低企业的生产成本、减少碳排放，很多企业早已通过产品回收再制造来降低生产成本，如Xerox、Kodak、HP等[1,2,3]。目前进行产品再制造的企业已经广泛覆盖各个行业，如电脑、复印机、墨盒、家具、汽车零部件、医用器材、轮胎等[4]。鉴于闭环供应链在社会、经济和环境等方面的巨大优势，针对闭环供应链的运作及管理研究就显得尤为重要。本文拟在零售商竞争的背景下研究制造商对闭环供应链系统中废旧产品的最优回收控制策略。
在已有关于闭环供应链的研究文献中，大多数均是建立相应优化或博弈模型，探讨企业的产品回收策略。Savaskan等[1]对闭环供应链系统中常见的三种旧产品回收渠道进行建模分析，发现零售商负责回收的模式优于制造商和第三方负责回收的模式。Savaskan和Wassenhove[2]则进一步在竞争性零售商的背景下探讨了逆向渠道的设计问题。黄祖庆和达庆利[3]以及黄祖庆等[6]研究了在不同决策结构下再制造闭环供应链的供应链收益。Guide和Wassenhove[5]研究了存在质量不确定下的旧产品回收决策问题。顾巧论等[7]和王玉燕等[8]分别研究了逆向供应链系统中的废旧产品回收定价问题。聂佳佳和熊中楷[9,10]研究了零售商不同的信息分享模式对第三方回收和制造商回收闭环供应链的影响。熊中楷等[11]和黄宗盛等[12]则考察了原制造商拥有专利保护时闭环供应链的再制造决策问题。
以上关于闭环供应链的模型均为时间静态模型，没有考虑系统的特征随时间的动态变化情况。在闭环供应链的动态模型方面，Kiesmüller[13]考察了一个具有提前期的动态产品回收系统，采用极大值原理求解了系统的最优控制策略。Nakashima等[14]研究了在需求为随机变量下再制造系统的最优控制问题。Geyer等[15]在考虑产品零部件耐用性和有限生命周期的条件下研究了企业的动态再制造策略。黄小原和邱若臻[16]以及黄小原等[17]分别考察了闭环供应链动态系统的鲁棒运作问题，但主要关注的是动态库存控制策略。以上关于闭环供应链的动态模型，主要是在集中式供应链的架构下，从整体研究系统的最优策略，系统动态特征以考察库存特征为主。然而闭环供应链中产品的回收过程亦具有动态特征，针对这一情况，黄宗盛等[18]研究了动态回收过程下的闭环供应链微分对策模型，分析了制造商回收和零售商回收下各方的最优控制策略。对比发现，制造商回收可能对供应链成员更为有利。但其研究仅在单个零售商的背景下，实践中零售商竞争的情况则更具代表性。因此，本文将进一步研究具竞争性零售商的闭环供应链系统中产品的动态回收问题。
在闭环供应链系统中，产品的回收是一个动态长期的过程。回收企业需要持续投入资金进行回收宣传、逆向回收设施建设等，以维持系统的产品回收率。当企业某一时期投入的资金较多，其产品回收率将上升，但这个上升并不是即时的，而是一个动态的过程。考虑产品回收率的动态变化过程，可以更好地描述回收率随回收投入的动态变化情况[18]。本文将在具有竞争性零售商的供应链架构下考察制造商进行回收时的最优控制策略。
1 模型
在闭环供应链系统中，回收企业的产品回收投入主要包括对消费者的回收宣传、逆向物流设施建设、供应链协调等，维持相应的产品回收率。目前关于回收率的模型多为时间静态模型[1,2]，此时主要从总体战略的角度考察是否进行产品回收或者如何进行回收。这样的模型可以对企业的产品回收提供战略参考，但无法指导企业如何进行回收投入，即无法得到回收投入的时间控制路径。实际上，企业的产品回收是一个动态的投入产出过程。当企业某一时期投入的资金较多，容易想象其产品回收率将上升，但这个上升并不是即时的，而是一个动态的过程。若将产品回收率看作系统的状态变量，而回收努力投入为控制变量，则有[18]
其中，A(t）表示t时刻的回收投入，包括回收设施的建设、维护以及对消费者的回收宣传等；τ（t）表示t时刻的产品回收率。ρ表示回收投入对回收率的影响系数，ρ越大表明回收投入对回收率的变化影响越明显。δ则表示回收率的衰减系数。在一个回收系统中，随着时间的推移，回收设施会逐渐陈旧，同时消费者对企业的回收宣传也会逐渐遗忘，这些都会造成产品回收率的衰减。从式（1）可以看出，企业的回收投入越高，则系统的产品回收率上升的越快。但若当企业降低投入，则回收率会相应下降。式（1）很清楚地反应了产品回收率随回收投入的动态变化过程。另外，若衰减系数δ较大时，即回收设施质量下降速度较快或者消费者对回收宣传遗忘较快时，即使企业进行投入，产品回收率也可能下降。
闭环供应链由一个制造商和两个竞争性零售商组成。制造商生产的产品既可完全利用新材料，也可利用旧产品进行再制造，且两种情况下生产出的产品完全一致。零售商负责对制造商的产品进行销售。零售商任意时刻的市场需求为该时刻自身产品价格和竞争对手市场价格的函数，即
其中，i=1,2。φ>0表示市场容量，γ∈（0,1）表示产品替代效应，可反映零售商的竞争强度。值得注意的是，式（2）相当于假设两个零售商的潜在需求一致，即为对称的零售商[2]，本文后面将进一步讨论零售商需求不对称的情况。
闭环供应链系统的假设为：
(1)制造商废旧产品进行再制造所需的单位成本为cr，而采用全新材料所需的单位成本为cm，且cr<cm，表示制造商具有选择再制造的经济驱动性，否者制造商不会选择进行再制造。用Δ=cm-cr表示通过再制造节约的单位成本。
(2)制造商进行产品回收的成本函数假设为kA2(t），其中k表示回收成本系数。k越大，同等投入下的回收成本也越大。由于废旧产品可能分布在销售商所在区域的任何一个位置，不仅需要企业进行回收宣传、回收设施建设及维护、大量人力成本，同时还需要消费者具有良好的环保意识，这些都可能造成回收企业较高的成本系数。
(3)在供应链系统中，制造商为渠道的领导者，零售商为追随者。
(4)假设制造商对于返回旧产品的消费者给予的单位支付为σ．在不失一般性的前提下，设σ=0。值得说明的是，该假设只是简化了本文的数学处理难度，并不会影响本文的结论。
(5)制造商和零售商的决策期为[0，∞），贴现率为r.
制造商同时负责产品的生产制造及旧产品的回收，决定产品的批发价格w(t）和废旧产品的回收投入A(t）。零售商i负责销售制造商的产品，决定产品的零售价格pi(t）。因此，制造商的目标函数为
零售商i的目标函数为
约束条件为（1）。下节将利用微分对策理论求解双方的最优控制策略(1)。控制策略与状态或时间有关，指控制系统达到最优状态的策略路径。由于本文的微分对策模型较为复杂，闭环控制策略难以求解，因此将采取开环控制策略进行求解。在求解过程上参考了文献[19]。
2 最优控制策略
2.1 制造商和零售商的最优控制策略
制造商为渠道的领导者，零售商为追随者，因而该微分对策的决策顺序为：首先由制造商决定产品的批发价格和回收投入，然后由零售商决定产品零售价格。根据逆向归纳法的原理，首先构造零售商i的现值Hamilton函数为
其中，μri为协状态变量。根据最大值原理的最优化必要条件为
通过式（6）求解得到零售商的最优反应函数为piR=（φ+w）/（2-γ）。根据零售商的最优反应构造制造商的现值Hamilton函数为
根据最大值原理的最优化必要条件为
μm为制造商的协状态变量。由式（8）和式（9）可求解得到制造商的最优策略为
将式（12）代入零售商的最优反应函数可得零售商的最优策略为
再将式（12）代入式（10）和式（11），进行化简可得
命题1给出了闭环供应链系统稳态均衡的存在条件。
命题1当2kδ（r+δ）>-ρ2(F1+F2）时，闭环供应链系统存在稳态均衡，且此时稳态均衡为鞍点均衡，系统的稳态均衡为
稳态时制造商的回收努力投入和批发价格分别为
稳态时零售商的零售价格为
证明式（14）微分方程组的两个特征根为
当4k2δr+4k2δ2+2kρ2 F1<0时，Ω1,2>0，此时微分方程组的解为发散；当4k2δr+4k2δ2+2kρ2 F1>0时，Ω1>0，Ω2<0，此时微分方程组的稳态为鞍点均衡。联立τ=0和μm=0可易得（15）中系统达到稳定时的状态。同时，由于本文的实际问题，产品回收率应有即2kδ（r+δ）>-ρ2(F1+F2），又根据F2<0及鞍点均衡的存在条件4k2δr+4k2δ2+2kρ2 F1>0，可得闭环供应链系统稳态均衡的存在条件为2kδ（r+δ）>-ρ2(F1+F2）。证毕。
将命题1中的稳态解代入供应链成员的利润表达式中可得制造商的稳态瞬时利润率为
零售商的稳态瞬时利润率
命题1给出了系统稳态均衡的存在条件，表明只有制造商的回收成本系数较大时系统才能达到稳定的状态，如果回收商的成本系数太小对于系统而言反而是不稳定的。现实中废旧产品的分布比较分散，同时制造商需要进行产品的回收宣传、逆向渠道建设等，因此对于制造商而言，要进行产品的回收可能会产生巨大的成本，这使得其回收成本系数不会太低。因而我们认为稳态均衡存在的条件是基本能够满足的。命题2给出了制造商和零售商达到稳态均衡的最优控制策略。
命题2在开环控制策略下，制造商的最优回收努力投入为
制造商的最优批发价格为
零售商的最优零售价格为
证明（14）为一微分方程组，由于本文讨论的是无穷时间限问题，选取的终止条件为Tli→m∞τ（t）=珋τ，结合初始条件τ（0）=τ0≥0，求得该微分方程的通解为
将（24）分别回代入（12）和（13）中即可得到命题2中制造商和零售商的开环控制策略。证毕。
命题3在最优控制策略下的闭环供应链系统：(1)产品回收率随时间推移而增大，并收敛到稳态均衡；(2)零售商的最优零售价格随时间推移而减小，产品销售速率则随时间推移而增大；(3)制造商的最优回收投入随时间推移而增大，而最优批发价格则随时间推移而减小。
命题3给出了闭环供应链系统中制造商的最优回收努力投入路径及批发价格路径，零售商的最优零售价格路径。可以发现，制造商应当逐步提升其回收投入并最终达到一个稳定的状态，系统的产品回收率也会逐渐上升到稳定时的回收率。同时，由于回收率上升，平均生产成本下降，制造商应当随之降低批发价格，而零售商也应当降低零售价格，最终达到系统最优的状态。在闭环供应链系统中，不仅回收废旧产品的投入应当逐步上升，而且系统的产品价格也应当逐步下降，才能达到系统的最优状态。
通过积分可得开环控制策略下，制造商的总利润为
零售商的总利润为
其中
2.2 参数变化对系统的影响分析
以上求解了闭环供应链系统中制造商和零售商的最优控制策略，下面对制造商的最优回收控制策略、系统回收率以及各成员的瞬时利润的动态变化情况展开分析，在分析时着重考察产品替代效应、系统动态特征及成本变化对以上结果的影响。值得指出的是，由于本文模型的复杂性，主要采用数值仿真的方法展开研究。
系统的基准参数设定为τ0=0，ρ=2，Δ=2，φ=50,cm=6，δ=1,r=0.15,k=100，γ=0.15。下面在分析时将控制其中某个参数在一定范围内变化，而其他参数将保持不变。
(1）零售商竞争强度的影响
图1主要考察零售商之间竞争强度对系统的影响。由仿真结果可以看出，零售商之间的竞争强度会影响制造商的逆向回收决策。零售商之间的竞争越激烈，制造商进行产品回收的积极性越高，系统的回收率也越高。同时这也会带来供应链成员利润水平的提升。这说明，在一个竞争相对激烈的闭环供应链系统中，产品的回收率会更高，对供应链成员的利润水平会更为有利。
(2）系统动态特征的影响
图2主要是考察回收系统的动态特征对系统的影响，在这里选取的参数是回收率的衰减系数δ．当δ越大，系统回收率的衰减越快，此时也可以看作是ρ较小的情况；反之，当δ较小时，也可以衡量ρ较大时的情况。由图2可以看出，制造商的最优回收投入仍随时间推移而提高，当系统的衰减较快时，制造商的回收投入相应较低，此时系统的稳态回收率也较低。说明当系统的衰减较快时，制造商不愿意投入更多来获取更高的产品回收率。而较高的衰减系数也会降低制造商和零售商的稳态瞬时利润。
(3）成本的影响
图3则主要考察成本变化对系统的影响，在这里选取的参数是新产品的制造成本cm．当cm上升时，制造商采用原材料生产新产品的成本上升，此时相当于利用废旧产品制造产品可节约的成本Δ下降。类似当cm下降，则相当于Δ上升。从图3可以看出，制造商的最优回收投入随时间上升，当生产新产品的成本上升时，制造商的最优回收投入随之下降，同时稳态时的系统回收率也随之下降，但下降的幅度并不是很明显。尽管生产成本的上升对系统回收率的影响不大，但由于所能获取的边际利润降低，制造商和零售商的瞬时利润有较大程度下降。由此也可说明，当Δ上升时，制造商更有动力进行产品的回收，同时也更有利于双方利润的提升。
3 潜在需求非对称的零售商
以上讨论了零售商竞争下制造商的最优回收控制策略，模型中的零售商在各方面均为对称的，因而对两个零售商而言其最优的零售价格也是一致的。然而实际中零售商之间往往是不完全对称的，特别是零售商的潜在市场份额[2]。因此本节中将考察零售商潜在需求非对称对制造商产品回收的影响。设定零售商1潜在市场份额φ1，零售商2的潜在市场份额φ2．φ2>φ1表明零售商2拥有高于零售商1的潜在市场份额，而φ2≤φ1则表明零售商2的潜在市场份额较低，在两个零售商中处于弱势地位。两个零售商的需求函数为
模型其他设定保持不变。用上标N表示零售商潜在需求非对称的情况，用上标U表示零售商对称的情况。求解制造商和零售商的最优控制策略可得以下结论。
命题4零售商非对称下，制造商的最优回收努力投入为
制造商的最优批发价格为
零售商的最优零售价格为
其中：
证明同命题1，此处略。
命题5零售商非对称下，当2kδ（r+δ）+ρ2 F1>0时，制造商和零售商在系统达到稳态时的均衡为鞍点均衡，且此时系统的稳态均衡为
稳态时制造商的回收努力投入和批发价格分别为
稳态时零售商的零售价格为
同理可得，制造商的稳态瞬时利润
零售商的稳态瞬时利润
命题6表明，制造商的最优控制策略与零售商之间的市场份额分配是无关的，只与两个零售商总的市场份额有关。同时，系统的产品回收率及稳态时制造商的瞬时利润也只与零售商的总市场份额有关。而市场份额在两个零售商之间的分配情况仅影响他们相互的价格策略及利润情况。拥有较大市场份额的零售商在竞争中拥有更高的要价权力，因此也能获得更高的边际利润，同时稳态时的瞬时利润也更大。但两个零售商之间的市场份额差异情况对系统的稳态均衡却没有影响。
4 结论和展望
在考虑闭环供应链系统产品回收率的动态变化特征的基础上，构建了制造商回收下具有竞争性零售商的二级供应链系统的微分对策模型。利用最优控制及微分对策理论求得制造商和零售商的开环最优控制策略并对最优策略进行分析。当回收成本系数不那么低时系统存在稳态均衡，仅在一定的最优控制策略下系统收敛到稳态均衡。在开环控制策略下：(1)系统的产品回收率随时间推移而增大；零售商的最优零售价格随时间推移而减小，产品销售速率则随时间推移而增大；制造商的最优回收投入随时间推移而增大，而最优批发价格则随时间推移而减小；(2)制造商的最优控制策略、稳态时的瞬时利润及系统的产品回收率与零售商之间的市场份额分配是无关的，只与两个零售商总的市场份额有关。而市场份额在两个零售商之间的分配情况仅影响他们相互的价格策略及利润情况。本文只考虑了制造商回收的情况，实际中零售商回收和第三方回收同样很普遍，有必要开展后续研究，同时应进一步求解微分对策的闭环控制策略。
微分对策 篇2
现代复杂机电产品（如航空航天器、机器人、汽车等）通常是集机、电、液、控、磁等多学科领域于一体的复杂物理系统，经常表现出时间依赖（对时间导数）与空间依赖（对坐标偏导）共存的行为特征，而且可能呈现出多领域之间及时间域与空间域之间的耦合特性[1]。
物理系统行为规律的描述通常有两种主要的形式。系统在单纯时间域的物理行为往往由常微分方程（ordinary differential equation,ODE）描述，如果涉及代数约束，则形成微分代数方程（differential-algebraic equation,DAE),DAE是描述时间域物理规律的普遍形式，如机械多体、电子电路等系统规律的描述；若物理行为涉及空间场，出现对空间变量的偏导，则往往由偏微分方程（partial differential equation,PDE）描述，如位势、传热、波动等相关物理系统的规律描述[1]。
物理系统建模经历了从面向过程建模到面向对象建模、连续域与离散域分散建模到连续-离散混合建模、单一领域独立建模到多领域统一建模的发展阶段。Modelica语言是近年来欧洲仿真界为解决复杂物理系统建模与仿真问题而提出的一种多领域统一建模语言[2,3]，然而，目前Modelica语言只能对时间域的物理系统进行统一建模，还不能对空间域的物理系统进行描述，更无法对其进行仿真优化，这大大限制了Modelica语言的应用范围。为此，国外已有学者着手扩展Modelica语言以支持PDE问题的建模与仿真[4]。周凡利等[1]提出了解决该问题的思路，但没有具体实现。李志华等[5,6]也开展了这方面的研究工作，初步实现了Modelica语言对PDE问题的描述、建模以及仿真求解。然而现有的这些方法都是采用简单的有限差分法或线上法来求解具有规则区域（如矩形）的PDE问题，对于不规则区域的复杂PDE问题则无法求解。
本文在李志华等原有工作[5,6]的基础上，从多领域统一建模与仿真的角度，针对一般性的PDE问题（包括不规则求解区域、复杂边界条件、线性或非线性PDE系统），提出一种PDE与DAE的一致求解方法，为Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题奠定基础。
1 PDE的已有解法
PDE的解法主要分为解析法和数值法。到目前为止，只有有限形式的PDE能够得到解析解，在工程实际中一般采用数值求解。PDE的数值求解技术比较成熟，可用的方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法以及线上法等[7]。但有限差分法和线上法只适用于规则的求解区域，而有限元法和有限体积法是基于网格的计算方法，在某些工程问题（如动态裂纹扩展、高速撞击、冲击破坏、流固耦合等）中存在网格的束缚，使得计算遇到很大的困难，因此出现了无网格方法[8]。
无网格方法只需要节点的信息，不需要节点与节点之间相互联系的信息，这样很容易在复杂计算区域内布置节点。无网格方法的构建主要包括近似函数的构建方法和微分方程的离散方法两个部分，根据近似函数构建方法和微分方程离散方法的不同，可以构建出许多不同的无网格方法[8]。目前比较常用的近似函数的构建方法有：核函数近似方法、再生核近似方法、移动最小二乘近似方法、单位分解近似方法、径向基函数近似方法、点插值近似方法等。微分方程的离散方法包括加权残量法、配点法、Galerkin法以及局部Petrov-Galerkin法。
Khattak等[9]运用无网格配点法成功求解了一类非线性PDE;Yao等[10]应用全局和局部径向基函数来求解三维抛物线型PDE，并比较了这两种无网格方法的性能；Kamruzzaman等[11]利用多项式点插值和配点法来构造无网格方法，较好地求解了椭圆形、抛物线型和双曲线型PDE；吴宗敏[12]介绍了散乱数据拟合研究中的径向基函数方法，及其在散乱线性泛函信息插值、无网格PDE数值解中的应用；吴孝钿[13]应用Sobolev splines径向基函数和紧支柱正定径向基函数，得到求解PDE边值问题的无网格算法，并针对散乱数据的特点，给出了计算整体稠密度h的算法及如何通过加密节点使h值缩小的一个可行方法。然而上述无网格方法都是直接对时间变量和空间变量进行离散，只适合求解单纯的PDE问题，不适合求解复杂的PDE与DAE耦合问题。
本文借鉴传统的求解PDE的无网格方法，选用径向基函数和配点法来构建径向基函数配点无网格法，并对其进行改进，即只对空间变量离散而保持时间变量连续，直接将PDE在空间上（即配点处）离散成一系列的DAE，然后利用成熟的DAE求解器进行统一求解。
2 径向基函数配点无网格法
对于d维实空间中定义在域Ω上的PDE问题：
式中，L、B为微分算子；u(X,t）为未知量场函数；f(X,t）、g(X,t）为已知函数。
我们所构建的径向基函数配点无网格法的基本思想是：首先采用径向基函数构造近似函数，将未知量场函数的时-空变量分开，然后运用配点法对空间变量进行离散，而保持时间变量连续，这样就将PDE问题在空间上离散成一系列只含时间变量的DAE问题，具体过程如下。
首先在PDE的不规则求解区域Ω内和边界Ω上选定N=Nu+Nb个离散的节点（即配点），然后应用径向基函数构造u(X,t）的近似函数，并将其构成时间与空间分离的形式：
其中，N为节点总数；Nu为域内节点数；Nb为边界节点数；αi(t）为待定系数；Xi为实空间上的配点；φi（‖X-Xi‖）为径向基函数，φi（‖X-Xi‖）=φ（ri(X));ri(X）为Euclidian范数，ri(X）=‖X-Xi‖。
为确保解的唯一性，（ri(X））必须无条件正定，这种径向基函数包括Gaussian函数e-cr2、逆MQ函数（r2+c2）β（β<0）和紧支正定径向基函数等。本文采用Gaussian函数。
将式（2）代入式（1）中，并使这N个点满足式（1）的微分方程和边界条件，得到
当微分算子L、B为空间变量的偏导时，由于空间变量已与时间变量分离，且径向基函数φi（‖X-Xi‖）对空间变量可求导，在每一节点处，空间坐标已知，因此Lφ（ri(Xk））或Bφ（ri(Xk））就是一个已知值，这样，式（3）中就只剩下时间的导数，即每个节点处对应一个只与时间有关的DAE，这样就将PDE转化为一系列的DAE（具体过程可参见实例部分）。
进一步，PDE问题（式（1））可变为求解一个N×N的线性方程组问题，用矩阵表示为
其中，S为N×N的矩阵，S=(Ski)N×N;a为待求的系数向量，a=（α1(t），α2(t），…，αN(t));b=(b1,b2，…，bN）；且
由式（4）求出未知系数αi(t)(i=1,2，…，N）后，通过式（2）就可以获得域内和边界上任意一点的场函数值u(X,t）。
3 实例及求解过程
通过编程，利用径向基函数配点无网格法对PDE进行空间离散，自动将PDE问题转化成DAE问题。本文采用MATLAB编程，首先将带时间域的PDE问题进行时间与空间分离（若不带时间域则不用分离），然后通过径向基函数配点无网格法对空间变量进行离散，得到一系列离散点处的DAE，并把这些DAE数据用mat格式保存起来，接着将该mat格式文件导入到基于Modelica语言的多领域统一建模与仿真平台MWorks中[14]，并利用其成熟的DAE/ODE求解器进行PDE与DAE的一致求解。整个流程如图1所示。
以下面一个不规则区域的二维热传导问题为例来说明本文所提方法的有效性：
式中，T为某个时间值。
其求解区域由如下边界组成：
对该不规则求解区域用配点法进行不规则离散，得其节点分布如图2所示，其中域内节点数Nu=61，边界上节点数Nb=42。然后对这些节点从左到右、从下到上进行编号。
对该二维热传导PDE问题，运用上述PDE与DAE的一致求解方法和过程进行一致求解，令
对于求解域内的Nu个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nu），满足域内的偏微分方程，即
对于求解域边界上的Nb个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nb），满足边界条件方程，即
对于域内及边界上的所有离散节点（xi,yi(i=1,2，…，N),N=Nu+Nb，满足初始条件方程，即
本文采用Gaussian径向基函数，在各离散节点处均可计算出它们的值。这样，式（5）～式（7）中就只剩下时间的变量，即利用径向基函数配点无网格法已将PDE在离散节点处转化为一系列的DAE，然后就可以在MWorks环境中利用其自带的DAE求解器进行求解，从而方便地得出场函数在各个离散节点处随时间变化的函数值。图3表示的是场函数在编号为15节点处的仿真结果；图4所示为本文的数值解与其精确解u(x,y,t)=e-2tsin(x+y）之间的比较，此处t=0.5s。
由图4可以看出，本文的数值解uP与精确解uQ非常吻合，达到了较高的求解精度。进一步，定义本文的数值解与精确解之间的误差为，通过计算得到er=7.1×10-5。
4 求解精度影响因素分析
为了更好地应用径向基函数配点无网格法来求解PDE问题，本文研究了不同离散节点数、平均节点间距和径向基函数参数c的取值对求解精度的影响，如表1所示。
由表1可以看出，一般情况下，当参数不变时，离散节点数越大、平均节点间距越小，则求解精度越高。例如，在c=1不变的情况下，当节点数为14、平均节点间距为0.47时，误差为2.2475×10-4；而当节点数为30、平均节点间距为0.28时，误差则为1.7142×10-5。同时还可以看出，随着参数c的不断增大，求解精度并不是呈递增或递减状态，而是有起伏变化，只有当c取适当的值时，误差er才较小。由此可见，恰当确定径向基函数参数c的取值很关键，然而目前还没有规律可循，只能通过多次反复运算来确定一个合适的值。
5 结论
多领域统一建模要求用偏微分方程和微分代数方程来统一描述和统一求解，本文针对一般性的偏微分方程问题，提出了偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法，给出了该方法的实现过程，分析了离散节点数和径向基函数参数对求解精度的影响，得到如下结论：
(1）与传统的无网格方法相比，本文采用只对空间变量离散而保持时间变量连续的策略，能方便地将偏微分方程在离散节点处转化为一系列微分代数方程，从而在不改变Modelica语法的前提下，较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解，大大简化了复杂的偏微分方程与微分代数方程耦合问题的求解难度。
(2）实例结果表明，本文所提出的方法能较好地解决具有不规则求解区域的偏微分方程问题，且求解精度高，这有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。
摘要：Modelica语言是一种复杂物理系统多领域统一建模语言,但目前该语言只能解决由微分代数方程(DAE)描述的问题,而不能解决由偏微分方程(PDE)表达的问题。为此,提出一种偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法,利用所构建的径向基函数配点无网格法直接将偏微分方程在空间上离散成一系列的微分代数方程,然后采用成熟的微分代数方程求解器进行求解。实例结果表明,该方法在不改变Modelica语法的前提下,能较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解,且求解精度高、边界条件处理简单,有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。
微分方程应用举例 篇3
1 应用问题举例
1.1 生态系统中的弱肉强食问题
在这里考虑两个种群的系统, 一种以另一种为食, 比如鲨鱼 (捕食者) 与食用鱼 (被捕食者) , 这种系统称为“被食者—捕食者”系统。
Volterra提出:记食用鱼数量为x (t) , 鲨鱼数量为y (t) , 因为大海的资源很丰富, 可以认为如果y (t) =0, 则x (t) 将以自然生长率r (r>0) 增长, 即.x=rx。但是鲨鱼以食用鱼为食, 致使食用鱼的增长率降低, 设降低程度与鲨鱼数量y (t) 成正比, 于是相对增长率为r-λy。常数λ>0, 反映了鲨鱼掠取食用鱼的能力。如果没有食用鱼, 鲨鱼无.法生存, 设鲨鱼的自然死亡率为d, 则y=-dy。食用鱼为鲨鱼提供了食物, 致使鲨鱼死亡率降低, 即食用鱼为鲨鱼提供了增长的条件。设增长率与食用鱼的数量x (t) 成正比, 于是鲨鱼的相对增长率为-d+µx。常数µ>0, 反映了食用鱼对鲨鱼的供养能力。所以最终建立的模型为:
这就是一个非线性的微分方程。
1.2 雪球融化问题
有一个雪球, 假设它是一个半径为r的球体, 融化时体积V的变化率与雪球的表面积成正比, 比例常数为k>0, 则可建立如下模型:
其中, 带入上式得到如下一阶线性微分方程:
1.3 冷却 (加热) 问题
牛顿冷却定律具体表述是, 物体的温度随时间的变化率跟环境的的温差成正比。记T为物体的温度, Tm为周围环境的温度, 则物体温度随时间的变化率为, 牛顿冷却定律可表示为:
其中k是正的比例系数, 牛顿定律表示冷却过程时,
且:
T>Tm;
表示加热过程时,
且:
看到, 牛顿冷却定律也是一个一阶线性微分方程。
2 结语
文中通过举生态系统中弱肉强食问题, 雪球融化及物理学中冷却定律问题为例给出了微分方程在实际中的应用。在讲解高等数学微分方程这一章内容时经常举些应用例子, 能引起学生对微分方程的学习兴趣, 能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论, 达到事半功倍之效。
摘要：通过举例给出了微分方程在实际中的应用, 从而使学生易于理解和掌握微分方程概念及理论。
关键词：微分方程,应用
参考文献
[1]王嘉谋, 石林.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2012.
[2]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 等.常微分方程[M].2版.北京:科学出版社, 2000.
微分中值定理教法研讨 篇4
微分中值定理在高等数学中应用广泛,占有很重要的地位,它反映了函数局部性与函数的整体性之间的关系.但学生在学习中,现行的教材及参考资料往往直接给出辅助函数,并没有分析过程,过渡不自然,使学生感到很突然.本文以Rolle中值定理为基础,采用逆推法将Langrange中值定理与Cauchy中值定理构造辅助函数的详细过程给出.并以此分析过程为思路,构造出与教材不同的新函数,通过此教学方法的使用,使学生更加容易接受,且收到较好的教学效果.
二、预备知识
(B)Lagrange中值定理的内容是:如果函数f(x)满足下列条件:
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导.
(C)Cauchy中值定理的内容是:设函数f(x)和g(x)满足:
(1)在[a,b]上都连续;
从Rolle中值定理出发,该定理表达的几何含义是切线平行于弦,观察Lagrange中值定理与Cauchy中值定理的结论可以看出,上述两个定理均表达了切线平行于弦的几何含义;从这个意义上说可以将Lagrange中值定理与Cauchy中值定理看作是Rolle中值定理的推广.故在如下的分析和证明过程中,我们将用Rolle中值定理作为真命题,去推导另外两个定理,这是基本出发点.
(一)分析与证明过程(针对Lagrange中值定理)
(1)首先我们画出用Rolle中值定理从函数对象f(x)到结论的过程图;
通过上述的分析,我们得到用Rolle中值定理去证明Lagrange中值定理构造函数的结构(f(x)与一个线性函数的代数和),然后再具体解出k,m这些待定参数;将(P1)与(P2)过程图对比,可构造函数:
(2)该过程图可表示如下:
微分中值定理的教学探讨 篇5
微分中值定理是微分学的基本定理, 也是微分学的理论基础.一般教科书在讲述这一部分时, 大多先后介绍费马 (Fermat) 引理、洛尔 (Rolle) 引理、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理、柯西 (Cauchy) 中值定理等内容.这样处理, 逐步深入, 自然易懂, 已经成为公认的标准讲法.Rolle定理是证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的预备定理, 以Rolle定理为基础, 通过引进适当的满足Rolle定理的辅助函数便可证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理, 然而, 教学中学生总感到老师给出的辅助函数不好想, 很突然, 很难.因而, 辅助函数的引入一直是教学上的一个难点.
从笔者多年的教学经验看, 在讲完Rolle定理后先不急于讲Lagrange中值定理和Cauchy定理, 而是先由Rolle定理为出发点引进一个推论, 它是Lagrange中值定理和Cauchy定理的高度概括, 可作为它们的预备定理, 利用它学生会很容易地发现并证明Lagrange中值定理和Cauchy定理, 起到事半功倍的作用.
先回顾一下Rolle定理:设函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且f (a) =f (b) , 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
现在设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 再加上什么条件, 函数f (x) -g (x) 就能满足Rolle定理的条件呢?由Rolle定理的条件知, 还需要添加以下条件:f (a) -g (a) =f (b) -g (b) , 即g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 这样由Rolle定理知, 在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
推论1设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
有了这一推论就可以引导学生去发现并证明Lagrange中值定理和Cauchy定理了.事实上, 设f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导.若取, 它们的连续性与可导性是显然的, 又有f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上有相同的增量g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 由推论1, 因而存在ξ∈ (a, b) 使得f′ (ξ) =g′ (ξ) , 即成立.由此可以得到:
Lagrange中值定理:设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
那么, 又如何发现Cauchy定理呢?设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 很明显, 函数[f (b) -f (a) ]g (x) 与函数[g (b) -g (a) ]f (x) 也在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 而且在[a, b]上有相同的增量[g (b) -g (a) ][f (b) -f (a) ], 由推论1, 因而存在ξ∈ (a, b) , 使得[f (b) -f (a) ]g′ (ξ) =[g (b) -g (a) ]f′ (ξ) … (1) .又若在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 必然g (a) ≠g (b) , (否则, 由Rolle定理g′ (x) 在 (a, b) 内有零点) , 由 (1) 得.由此可以得到:
Cauchy定理:若f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, g′ (x) ≠0, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
很明显, 在Cauchy定理中若取g (x) =x又回到Lagrange中值定理的结论.另外, 由Rolle定理还可以得到以下推论.
推论2设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在区间[a, b) 上有连续的n阶导数, 在开区间 (a, b) 内有n+1阶导数, 且g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , f (k) (a) =g (k) (a) (k=1, 2, 3, …, n) , 则在[a, b]内至少存在一点ξ (a<ξ
推论2可以作为台劳定理的预备定理.
综合以上知识点, 下面给出一种微分中值定理巧妙简明、独具一格的证明方法.
微分中值定理设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 并且在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 则至少存在一点ξ (a<ξ
证明由在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 得到g (b) ≠g (a) , 令, 则有f (b) -f (a) =λg (b) -λg (a) , 或f (b) -λg (b) =f (a) -λg (a) , 作函数φ (x) =f (x) -λg (x) , x∈[a, b], 则φ (a) =φ (b) , 利用Rolle定理, 存在ξ∈ (a, b) , 使得φ′ (ξ) =0, 即, 证毕.
注在去掉条件g′ (x) ≠0的情形下, 则存在ξ∈ (a, b) , 使得[f (b) -f (a) ]g′ (ξ) =[g (b) -g (a) ]f′ (ξ) .
二、为了更好地理解和应用微分中值定理, 对其进行几点分析探讨
(1) 为了把证明简化且便于记忆, 也可以把Lagrange中值定理和Cauchy定理综合推广为如下的一般中值定理:若f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ
其证明既简单又容易想到.事实上, 只要对辅助函数φ (x) =[f (b) -f (a) ]g (x) -[g (b) -g (a) ]f (x) 在[a, b]上应用Rolle定理就可以得证.此时, 若g (x) =x, 就是Lagrange中值定理;若g′ (x) ≠0, 就是Cauchy定理.
(2) 微分中值定理的证明关键在于如何构造一个辅助函数, 很多高等数学和经济数学的教材中都是采用传统的辅助函数, 这个函数的引入, 主要是借助几何直观, 不妨归类为几何方法, 尽管有几何形象, 学生接受起来还是不易理解, 下面用演绎、推理的方法寻求所需的辅助函数F (x) .
在证明Lagrange中值定理时, 传统的方法是引入辅助函数:
假设F (x) 已得出, 它符合Rolle定理的条件, 则至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得F′ (ξ) =0… (4) , 由此可得:, 但其形式有较大差异, 为此将 (5) 式变为:式左边在没有求导数之前应为 (不是唯一的) , 如果想象中的辅助函数F (x) 确实存在的话, 可以假设是:, 经验证F (a) =F (b) , 即 (7) 式所确定的F (x) 为所需要的辅助函数. (7) 式与 (3) 式比较只是少了一串常数而已.同样, 可以用此方法推出证明Cauchy定理所需要的辅助函数
(3) 在微分学中还有一条关于导函数的达布中值定理:若f (x) 在[a, b]可导, 则f′ (x) 可以取到介于f′ (a) 与f′ (b) 之间的一切值. (参见菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》一卷一分册) .根据这个定理就不难证明:若f (x) 在一区间上有原函数, 则f (x) 在该区间上有介质性.这一结论在积分中值定理中有广泛的应用.
(4) 关于微分中值定理, 还可给出以下结论.
定理1若f (x) 是[a, b]上的二次可微函数, 且f″ (x) >0, 则对任意的ξ∈ (a, b) , 必存在x0∈[a, b], 使得公式之一必成立.
因为f′ (x) 是单调递增的, 故有g (a)
浅析微分中值定理教法研究 篇6
一、引用几何意义讲解微分中值定理
1. 罗尔定理———水平切线的曲线
画出罗尔 (Rolle) 中值定理的几何图形, 然后再讲解能极大促进对于罗尔定理的掌握程度.如我们假设速度Y随着时间X变化而变化, 那么X是自变量, Y则是因变量, 现在我以X为横轴, Y为纵轴作函数图形.假设从某一时刻速度 (不是最快速度也不是最慢速度) 开始变化, 经过一段时间后速度回到了开始的速度, 那么我们可以肯定这中间速度必然经过了一次最快或者最低速度的时刻.
这种特殊几何图形表现为图1中一条连续的曲线函数 (即f (x) 在闭区间[a, b]上连续) , 除去两端端点外, 函数f (x) 在开区间 (a, b) 内可导, 同时对于函数f (x) 有f (a) =f (b) .从图形中我们可以看出曲线弧AB的最高点和最低点都存在水平切线 (若令曲线弧AB的最高点C横坐标为ξ, 那么f' (ξ) =0) .那么我们总结定理就是:若函数f (x) 满足 (1) 在闭区间[a, b]上连续, (2) 在开区间 (a, b) 内可导, (3) 并且f (a) =f (b) , 那么至少存在一点ξ∈ (a, b) 使得f' (ξ) =0.
2. 拉格朗日中值定理———倾斜切线的曲线
我们观察罗尔定理的几何意义会发现, 它实质是说明:只要切线平行于直线AB, 那么无论我们从什么角度去建立坐标系, 这种平行关系始终不会改变.既然如此我们可以通过推广将曲线弧AB向上倾斜, 于是就得到了拉格朗日中值定理的几何图形 (图2倾斜切线的曲线) .
3. 柯西中值定理———参数方程推广的几何图形
二、循序渐进, 抓住证明微分中值定理的方法
在微分中值定理的教学方法中, 首先引用几何图形的方法便于学习理解定理, 然后再说明定理的证明, 最后循序渐进的讲解, 这样能使得学习更容易接受.对于微分中值定理的证明我们重点是讲拉格朗日中值定理的证明, 而对于罗尔定理与费马引理则只进行简单的说明.
1. 费马引理与罗尔定理
费马引理的意义在于说明, 如果函数在极大值点 (或极小值点) 处可导, 那么这一点的导数为零.而罗尔定理意义在于说明在每一点都可导的一段连续曲线上, 如果曲线的两端高度相等, 则至少存在一条水平切线.我们在课堂上讲解这两个定理只是为证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理做基础, 接下来我们说明如何运用辅助函数证明拉格朗日中值定理.
2. 拉格朗日中值定理的证明
拉格朗日中值定理的证明的方法一般是借助辅助函数, 然后应用罗尔定理来证明的, 下面我们就运用这种方法来对拉格朗日中值定理进行证明.
证首先作辅助函数
显然, F (a) =F (b) =0, 且F在[a, b]上满足罗尔定理的另外两个条件, 故存在ξ∈ (a, b) , 使得
移项后就可以得到要证明的拉格朗日中值定理.
对于柯西中值定理的证明在这里就不再赘述, 本文主要分析微分中值定理的教学方法研究, 就微分中值定理这一教学难点, 本人总结首先要应用数形结合、引用几何图形的方法将定理讲解清楚, 便于学生理解, 在此基础上对定理的证明进行讲解.分两个大的步骤讲授微分中值定理.
参考文献
[1]丁坚.高等数学探究性学习模式的研究与实践[J].教育与职业, 2006 (11) .
[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2002:126-132.
浅谈微分方程的应用 篇7
微分方程在各个学科领域的应用都伴随着有关领域的专业知识, 我们将微分方程理论与实际应用统一起来, 通过推导微分方程来建立实际问题的模型, 最后求解而获得答案, 并将答案结果和现实世界中的具体数据相比较, 以示微分方程在现实世界中应用的力量与质量。典型实例有:“两物种愈相似, 则其生存竞争愈激烈”这一达尔文定律的数学证明;Tacoma桥灾难的数学解释;证明比利时伦勃朗协会所购买的一幅名画为近代膺品;血糖调节系统模型用于诊断糖尿病。因此, 数学上, 研究这些问题的着重点就放在了应用的基本方法和步骤上。
微分方程的应用从数学上讲, 重点在解方程;从应用的角度讲, 列方程、定条件是关键。从数学方法的角度看, 列方程主要有两种方法:
几何、物理、力学中已有规律或原理, 原有的几何条件等用数学语言表示出来, 列出微分方程;
2、已知条件中找未知函数微分的关系。
下面仅就微分方程在几何、物理、力学几方面谈谈其应用。
一、微分方程在几何方面的应用
例1:曲线簇由微分方程2xyy′-y2+x2=0所确定, 求另一簇曲线, 它与前簇曲线在相交点处均相互垂直, 即在交点处切线相互正交。
解:由已知222xyy′-y+x=0解出:
此簇曲线在点 (x, y) 的切线斜率为:
整理得:x2y′-2xy-y2y′=0这就是所求曲线簇的微分方程。
下面我们来解这个方程:
方程可以变形为: (x2-y2) dy-2xydx=0
这是一簇通过原点, 圆心在 (0, c) 的圆。
二、微分方程在物理方面的应用
涉及到这方面问题列微分方程主要是根据物理学中的一些基本定律和基本定理。如:热力学定律, 电阻定律等。
例2:一物体放在空气中散热, 在t=0时刻, 测得温度为T0, 15分钟后测得温度为Ta, 要求确定温度T与时间t的关系。
为了确定物体的温度T与时间t的关系, 我们要从 (1) 式中解出T.因为是常数Ta, 且T-Ta>0, (1) 式可改写为:
两边积分, 得:ln (T-Ta) =-kt+c%
根据对数的定义, 得:T-Ta=e-k t+c%
令ec%=c, 即得:T=Ta+ce-kt
由初始条件:当t=0时, T=Ta
所以, 得到:c=T0-Ta
于是:T=Ta+ (T0-Ta) e-kt
这就得到了物化温度T与时间t之间的关系。
三、微分方程在力学方面的应用
在力学问题中, 用牛顿第二定律和力的平衡方程式列微分方程是很普遍的一种方法。
例3:质量为m的物体, 在t=0时刻是自由下落, 在空气中受到的阻力与物体下落的速度成正比, 建立受空气阻力的自由落体运动规律所满足的微分方程。
解:将质量为m的物体视为一个质点, 设x (t) 为t时刻质点m下落的距离, 则质点下落的规律为:x=x (t)
这就是空气阻力的自由落体运动规律所满足的微分方程。
我们可以看到例题中运用了牛顿第二定律和力的平衡方程式来列微分方程。
四、微分方程在其他方面的应用
微分方程应用是非常广泛的。牛顿在研究天体力学和机械力学的时候, 正是利用微分方程这个工具, 从理论上得到了行星运动规律;法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯也是正是使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
微分方程的理论逐步完善的时候, 利用它就可以精确的表述事物变化所遵循的基本规律, 只要列出相应的微分方程, 有了解方程的方法, 微分方程也就成了最有生命力的数学分支。此外, 常微分方程与数学其它分支的关系也是非常密切的, 他们往往互相联系, 互相促进。应该说, 常微分方程理论已经取得了很大的成就。但是, 它的现有理论还远远不能满足需要, 还有待于进一步的发展, 使这门学科的理论更加完善。
参考文献
[1]王高雄:《常微分方程》 (第二版) , 高等教育出版社.1983, 1-25。