微分变换法

2024-11-02

微分变换法（共4篇）

微分变换法篇1

1 非线性微分方程的微分变换法解法

微分变换法是将函数变换为泰勒级数的变换。微分变换理论的基本原理就是将描述系统的方程进行微分变换, 得到由离散函数构成的方程。

这个方程的求解很简单, 只要依次将自然数顺次代入整数自变量, 即可求得方程解得离散值, 进而得到用级数形式表示的方程的解。

微分变换法的基本公式为:

为x (t) 的k阶导数, 利用上述微分变换处理微分方程, 得到关于X (k) 的方程, 可利用递推关系, 获得幂级数各项系数X (k) 的值, 之后利用微分变换法的逆变换:

x (t) =∑X (k) tk

得到微分方程的幂级数解。

2 Duffing方程的微分变换解法

Duffing方程是混沌现象的一个典型例子, 它的基本形式如下式:

对其进行微分变换:

可以得到其求根的递推公式:

由此, 我们利用微分变换法的逆变换, 可以得到Duffing方程的的幂级数解:

y=∑Y (k) yk

3 弱非线性单摆的运动方程

我们知道, 无阻尼单摆的运动方程为:

当阻尼存在时, 设阻尼与摆的速度成正比, 单摆的运动方程为:

在解方程时, 通常将sinθ线性化处理。

4 弱非线性单摆的微分变换解

设摆长为0.15m, 阻尼系数为0.02, 利用微分变换法得到单摆的弱非线性单摆的时间位移曲线:

摘要：单摆的运动方程是一种含正弦函数的微分方程, 一般在解方程时, 通常将正弦项线性化处理, 取其泰勒展开的前一项, 当摆幅较大时, 为减小误差, 通常取其泰勒展开的前两项, 此时方程为典型Duffing方程。对于Duffing方程的求解问题, 微分变换法是一种简单快捷的方法。本文利用微分变换法, 获得了大摆幅单摆的时间位移曲线。

关键词：Duffing方程,微分变换法

参考文献

[1]Feng-Ming Li, nonlineardynamicsanalysisofathinrectangular plate in subsonic airflow[J].Mathematics and Mechanics of solids, 2014.

[2]丁同仁, 李承治编.常微分方程教程[M].高等教育出版社, 1991.

[3]王彦博.求解微分方程的微分变换法[D].南京农业大学, 2009.

[4]Charbonneau E, Lakis A A.Semi_Analytical Shape Functions in the Finite Element Analysis of Rectangular Plates.Journal of Sound and Vibration, 2001.

微分变换法篇2

分数阶微分算子在分数阶控制系统的求解计算中具有重要作用, 其固有特性决定了理论上的分数阶控制器实际上是无穷维线性滤波器, 这就要求在分数阶控制器的实现过程中使用有限带宽的整数阶控制器对其进行近似[4]。而在计算机控制系统中, 分数阶微分算子的离散化是分数阶控制器数字化实现的关键[5]。一般地, 有两种离散化方法:一种是直接离散化方法, 如Euler算子的直接幂级数展开法 (power series expansion, PSE) [6]、Tustin算子的连分式展开法 (continued fractional expansion, CFE) [7]和Muir递归展开法 (Muir-recursion) [8]等;另一种是间接离散化方法, 一般是先进行连续时间频域拟合, 然后将拟合得到的s函数离散化, 如Oustaloup算法[9]、Charef算法[10]等。

Tustin变换是连续系统离散化的常用方法。研究了基于Tustin变换的分数阶微分算子直接离散化方法并比较了基于PSE、CFE和Muir递归展开法的近似离散化方法。

1 分数阶微积分基础

1.1 分数阶微积分的定义

分数阶微积分是经典整数阶微积分的自然扩展, 它允许微积分的阶次为任意实数甚至可以为复数。常用的两种分数阶微积分定义是Grünwald-Letniko定义和Riemann-Liouville定义[11]。对连续可导函数f (t) 的r阶Grünwald-Letnikov微积分定义如下

式 (1) 中, [·]表示整数部分, 为分数阶微积分算子, r为正表示微分, r为负表示积分, a和t分别为积分上下限。

Riemann-Liouville微积分定义如下

式 (2) 中, n-1<r<n, Г[·]为伽马函数。在实际的物理系统和工程应用中, 上述两个微积分定义是等效的[12]。

拉普拉斯变换常用于解决用传统微分方程描述的工程问题, 同样可以用于分数阶微积分。根据Riemann-Liouville微积分定义, 考虑零初始条件分数阶微积分的拉普拉斯变换为

式 (3) 中, 0<r<1, 表示拉普拉斯变换, s为拉普拉斯算子。

1.2 分数阶动态系统的离散化

分数阶动态系统可用如下分数阶微分方程描述[13]

式 (4) 中, , ak (k=0, …, n) 和bk (k=0, …, m) 为常数, αk (k=0, …, n) 和βk (k=0, …, m) 为任意实数。不失一般性, 可假设αn>αn-1>…>α0及βm>βm-1>…>β0。考虑式 (3) , 则分数阶动态系统的传递函数为

为进一步得到分数阶系统的离散化模型, 首先要对分数阶微积分算子s±r进行离散化近似, 首先将拉普拉斯算子用所谓的生成函数s=ω (z-1) 来表示, 于是可得到动态系统离散时间传递函数的一般表达式为

式 (6) 中, 生成函数ω (z-1) 通常表达成复变量z或移位算子z-1的函数。此生成函数及其展开式决定了分数阶微积分算子逼近的形式和系数。例如, 当使用后向差分进行离散化时, ω (z-1) = (1-z-1) /T, 其中T为采样周期。通过幂级数展开可以得到离散化的分数阶微分算子为FIR形式的数字滤波器[14]。

2 分数阶微分算子的离散化

分数阶微积分算子的离散化方法对分数阶控制系统的具体实现具有十分重要的影响。本文采用Tustin变换为生成函数, 并应用不同的展开方法对式 (7) 进行展开得到分数阶微分算子的离散化近似。

2.1 基于PSE的离散化

分数阶微分算子离散化最简单的方法是对Tustin算子直接幂级数展开。通过幂级数展开可以得到其离散时间传递函数, 这实际上是一个FIR形式的数字滤波器。对其进行适当的截断处理[6], 则可以得到近似的离散时间传递函数, 其表达式如下

式 (8) 中, PSE{u}表示函数u的幂级数展开, n为近似阶数。文献[15]给出了一种Tustin算子直接幂级数展开的IIR形式数字滤波器算法, 其表达式如式 (9) 。

式 (9) 中, Pp和Qq分别是阶数为p和q的多项式。

2.2 基于CFE的离散化

基于PSE的分数阶微分算子离散化得到的是多项式函数, 而有理函数在计算或插值中往往要优于多项式。连分式是对函数或数值的一种有效近似形式, 它比幂级数展开的收敛速度快, 并且可以应用到复数空间[7]。因此, 应用连分式展开来进行分数阶微分算子的近似, 能得到更好的近似效果。一般地, 函数G (z) 可用连分式形式表示为

式 (10) 中, ai (z) 和bi (z) 为z的有理函数或常量。于是通过截断处理, 可以得到近似的有理函数G^ (z) 为

式 (11) 中, CFE{u}表示对函数u的连分式展开, Pp和Qq分别是阶数为p和q的多项式。

2.3 基于Muir-recursion的离散化

如何得到分数阶微分算子离散化的递推算法是分数阶控制数字实现的关键。文献[8]介绍了Muir递推算法, 该算法最初应用于石油探测的数据处理。目前, 常与Tustin变换结合用于分数阶微分算子的离散化。不失一般性, 假设r∈[0, 1], 分数阶微分算子的递推公式为

式 (12) 中, A0 (z-1, r) =1, 且

式 (13) 中, n为奇数时cn=r/n, n为偶数时cn=0。对于已给定的近似阶数n, An (z-1, r) 和An (z-1, -r) 可用MATLAB符号工具箱得到, 从而分数阶微分算子sr的近似离散化传递函数可由式 (14) 计算。

3 仿真与比较

为比较以上三种基于Tustin变换的分数阶微分算子离散化方法 (以下分别简记为PSE+Tustin、CFE+tustin、Mur+Tustin) , 取10以内奇数近似阶次, 采样周期T=0.001 s对分数阶微分算子s0.5进行离散化近似。以下图1~图3分别为PSE+Tustin、CFE+Tustin和Mur+Tustin方法的伯德图。其中, 图例Gf表示s0.5的连续域伯德图, Gp3、Gc3、Gr3分别代表近似阶次为3的s0.5离散化数字滤波器的伯德图, 其他图例含义以此类推。

由伯德图可见, 就以上三种离散化近似方法而言, 在低频段幅频特性和相频特性的误差都较大, 而在高频段则较小, 且频率越低误差越大。就某一种方法而言, 离散化近似的幅频特性结果要好于其相频特性, 且近似阶数越高近似效果越好。然而, 需要特别注意的是, 在频率很高时, 各种方法的近似效果又都急剧变差。

相比较而言, CFE+Tustin方法在较宽频带内对幅频特性和相频特性的近似效果都要好于另外两种方法, 也就是说采用较低阶次可以得到另外两种方法取较高阶次时的近似结果, 这就易于数字滤波器的设计和数字化控制器的实现。但从仿真计算过程来看, 当进一步提高近似阶次以期进一步提高近似精度时, 将耗费过多的计算时间。

本文中的PSE+Tustin方法和Mur+Tustin方法都是递推方法, 为比较增加近似阶次时近似误差的变化, 定义误差指数如公式 (15) 。

式 (15) 中, Bd (jω) 和Bc (jω) 分别表示数字滤波器和连续微分算子的幅频特性或相频特性;ωu和ωl分别为所考查频率的上下界。图4示出了这一变化趋势。可见, 随着近似阶数的提高, 这两种方法的近似误差都快速减小, 并在阶数较高时趋于稳定。但从实际的仿真计算过程来看, PSE+Tustin算法比Mur+Tustin算法的运算速度更快, 在近似阶数超过25阶以后差别尤其显著。

4 结束语

分数阶微分算子的离散化是分数阶控制器数字实现的关键。论文研究了基于Tustin变换的分数阶微分算子直接离散化方法, 并对PSE+Tustin、CFE+Tustin和Mur+Tustin三种方法进行了比较。

微分变换法篇3

一、拉普拉斯变换的概念

二、拉普拉斯变换的微分性质

若L[f (t) ]=F (p) , 且L[f (t) ]存在, 则L[f (t) ]=p F (p) -f (0) , 将此性质连续施用n次, 则有L[f (n) (t) ]=pnF (p) -pn-1f (0) -pn-2f (0) -……-f (n-1) (0) , n=1, 2, …利用拉式变换解常系数线性微分方程, 先对方程两边取拉式变换, 设L[y]=Y (p) , 得出关于Y (p) 的代数方程, 解此方程求出Y (p) , 再对Y (p) 作拉式逆变换, 即可求出微分方程的解。

例1:求微分方程y〃+4y=0满足初始条件y (0) =-2, y′ (0) =4的特解。

对方程组中的每个方程两边取拉式变换, 得

容易看出, 用拉式变换法求解线性微分方程组比用经典法简便, 且可以单独求出每一个未知函数, 而不必知道其余的未知函数, 一般来说经典法做不到这一点。因而, 若只要求出一个未知函数, 则用拉式变换求解就格外优越了。

例3:某电路中, 当t=0时, 开关K闭合, 接入信号源e (t) =E0sinωt, 电感起始电流等于零, 求电流i (t) 。

得

以上仅从数学问题和物理问题两个方面的实例给出拉普拉斯变换求解微分方程的过程, 像这样的例子数不胜数。科技飞速发展的今天, 应用数学己渗透到生活中的方方面面, 解决问题时采用某种捷径方法, 不仅能提高我们的工作效率, 在高等数学的教学中也能激发学生的研究兴趣。

参考文献

[1]马凤敏, 节存来, 宋从芝.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2009.