微分控制方程（通用9篇）
微分控制方程 篇1
摘要：本文分析轴向运动弹性矩形薄板的物理模型, 利用相关定理推出相应偏微分控制方程。在建模中, 考虑薄板变形导致非线性的影响, 在控制方程中加入附加力σA。
关键词：弯曲薄板,附加力,微分控制方程
一、建立力矩的平衡方程
矩形薄板, 材料密度为ρ, 薄板厚为h, 初始弹性模量为E, 两端受有不变拉力N1和N2, 且以速度v沿x轴方向运动。下面分析轴向运动板内力, 它的尺寸为dx和dy。
对过薄板中心与x、y轴平行的直线取力矩, 由力矩的平衡, 略去微量, 整理可得:
剪力在z轴上的投影之和分别为:
二、中面的内力分析
由于板变形的影响, 板的轴向力不再是板的初始应力N, 还会多出一项由于板横向位移导致板轴向伸长而引起的附加力, 考虑形变后x方向的附加力为:
所以作用在x方向的中面法向内力在z轴上的投影之和为:
同理, 考虑形变后作用在y方向的中面法向力在z轴上的投影之和为:
六面体上的切向力Nxy, Nyx在z轴上的投影之和分别为:
略去微量, 并且Nxy=Nyx, 可得
三、建立偏微分控制方程
因为薄板轴向恒速运动产生横向振动, 因此板的惯性力为:
因此:
将上面各项表达式带入 (1.21) 中, 消去等式两侧的dxdy, 可得
将 (1.11) 、 (1.12) 式代入 (1.22) 式, 并化简得:
将各内力表达式:
带入 (1.23) 式可得轴向运动薄板横向振动的微分控制方程:
四、小结
本文利用相关定律推出相应偏微分控制方程, 根据实际需要, 我们可利用偏微分运动方程, 讨论轴向运动薄板的振动特性。
微分控制方程 篇2
微分方程是高等数学的重要内容之一，是一门与实际联系较密切的一个内容。
在自然科学和技术科学领域中，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。
在实际教学过程中应注重实际应用例子或应用背景，使学生对所学微分方程内容有具体地，形象地认识，从而激发他们强大的学习兴趣。
1 应用问题举例
1.1 生态系统中的弱肉强食问题
在这里考虑两个种群的系统，一种以另一种为食，比如鲨鱼(捕食者)与食用鱼(被捕食者)，这种系统称为“被食者—捕食者”系统。
Volterra提出：记食用鱼数量为，鲨鱼数量为，因为大海的资源很丰富，可以认为如果，则将以自然生长率增长，即。
但是鲨鱼以食用鱼为食，致使食用鱼的增长率降低，设降低程度与鲨鱼数量成正比，于是相对增长率为。
常数，反映了鲨鱼掠取食用鱼的能力。
如果没有食用鱼，鲨鱼无法生存，设鲨鱼的自然死亡率为，则。
食用鱼为鲨鱼提供了食物，致使鲨鱼死亡率降低，即食用鱼为鲨鱼提供了增长的条件。
设增长率与食用鱼的数量成正比，于是鲨鱼的相对增长率为。
常数>0，反映了食用鱼对鲨鱼的供养能力。
所以最终建立的模型为：
这就是一个非线性的微分方程。
1.2 雪球融化问题
有一个雪球，假设它是一个半径为r的球体，融化时体积V的变化率与雪球的表面积成正比，比例常数为>0，则可建立如下模型：
1.3 冷却(加热)问题
牛顿冷却定律具体表述是，物体的温度随时间的变化率跟环境的的温差成正比。
记T 为物体的温度，为周围环境的温度，则物体温度随时
2 结语
文中通过举生态系统中弱肉强食问题，雪球融化及物理学中冷却定律问题为例给出了微分方程在实际中的应用。
在讲解高等数学微分方程这一章内容时经常举些应用例子，能引起学生对微分方程的学习兴趣，能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论，达到事半功倍之效。
参考文献
[1] 王嘉谋，石林.高等数学[M].北京：高等教育出版社，.
[2] 王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].2版.北京：科学出版社，.
[3] 齐欢.数学建模方法[M].武汉：华中理工大学出版社，.
微分方程在数学建模中的应用【2】
【摘 要】微分方程是现代数学的一个重要分支，是研究函数变化规律的有力工具，它在科技、教育、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。
本文主要从交通红绿灯模型和市场价格模型来论述微分方程在数学建模中的应用。
【关键词】微分方程;数学建模;交通红绿灯模型;市场价格调整模型
数学建模是数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机技术的快速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越重要，而且已经应用到各个领域。
用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程。
这首先要根据实际问题所提供的条件，选择确定模型的变量，再根据有关学科，如物理、化学、生物、经济等学科理论，找到这些变量遵循的规律，用微分方程的形式将其表示出来。
一、交通红绿灯模型
在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则。
这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适?
停车线的确定，要确定停车线位置应当考虑到两点：一是驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间 ，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。
二是驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离。
驾驶员的反应时间(实际为平均反应时间) 较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求(在考驾照时都必须经过测试)。
例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，(反应时间的长短并不影响到计算方法)。
停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下。
设汽车质量为m，刹车摩擦系数为f，x(t)为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg(g为重力加速度)。
由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程：
md2xdt2=-fmg
x(0)=0， dxdtt=0=v0
(1)
在方程(1)两边同除以 并积分一次，并注意到当t=0时dxdt=V0，得到
dxdt=-fgt+v0
(2)
刹车时间t2可这样求得，当t=t2时，dxdt=0，故
t2=v0fg
将(2)再积分一次，得
x(t)=-12fgt2+v0t
将t2=v0fg代入，即可求得停车距离为
x(t2)=1v202fg
据此可知，停车线到路口的距离应为：
L=v0t1+12v20fg
等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。
黄灯时间的计算，现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。
在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口，记街道的宽度为D(D很容易测得)，平均车身长度为 ，这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：
T=L+D+lv0
二、市场价格调整模型
对于纯粹的市场经济来说，商品市场价格取决于市场供需之间的关系，市场价格能促使商品的供给与需求相等这样的价格称为(静态)均衡价格。
也就是说，如果不考虑商品价格形成的动态过程，那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡，但是，实际的市场价格不会恰好等于均衡价格，而且价格也不会是静态的，应是随时间不断变化的动态过程。
如果设某商品在时刻t的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数D(P)，S(P)，则在时刻t的价格p(t)对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，即有微分方程
dPdt=k[D(P)-S(P)] (k>0)
(3)
在D(P)和S(P)确定情况下，可解出价格与t的函数关系，这就是商品的价格调整模型。
某种商品的价格变化主要服从市场供求关系。
血液流速的微分方程模型 篇3
关键词： 微分方程 模型 血液流速
1.问题分析及基本假设
根据生理学可知，人体不同部位的血管粗细是不一样的，所以不同部位的血液流速也是不相等的。并且同一段血管内，管壁处的血液流速与血管管轴处的流速是不相同的。图1是血管和及流动血液的纵剖面，当血液从管壁移向管轴时，流动速度逐渐增加。那么，人体内血液的流动速度与血管粗细之间具体关系可以怎么表示呢？为了便于研究，需要做如下假设：
（1）设血液在血管中的流动是稳定流动的（即流动速度与时间无关，只与位置有关）；
（2）设血管的半径R，长度为L（R比L小得多）；
（3）血液流动的速度为V；
（4）血液的黏滞度为常数η；
（5）单位长度的血管，左端血压力为P，右端血压力为P（P>P）。
2.模型建立
由于各层流体运动速度不同，之间产生摩擦力，则上层液体促使下层液体运动，同时下层液体延缓上层液体的运动。可以设想血液中平放着一块面积为A的平板，根据黏滞流体动力学知识，作用于面积A上的力F等于ηA。
利用微元法，现对血液中的部分血液（看成空心圆柱体状，长度为一个单位）的流动速度进行讨论，此空心圆柱的内半径为r，圆柱的厚度为dr，设它的轴与血管的轴相重合（如图2）。圆柱的内表面面积为2πr，上面受到的力为F=η·2πr。
该力方向与血液运动方向相同，圆柱的外表面上受到相反的力的作用，
F=η·2πr-d（η·2πr）
因而两力之和（摩擦力）为：
F+F=-d（η·2πr）=-2πη（+r）dr
因为血液是稳定流动的，所以摩擦力的大小应该和促使空心圆柱沿着轴流动的力相等。这个促使空心圆柱沿着轴流动的力决定于压力降，就等于：
F′=（P-P）2πrdr
由此有：
-2πη（+r）dr=（P-P）2πrdr
整理得：
+·=-（1）
由此得到微分方程模型。
3.模型求解
令=u，则=，方程（1）可化为
+u=-（2）
利用一阶线性微分方程的通解公式，可得方程（2）的通解为u=-r，即：
=-r（3）
方程（3）为可分离变量的微分方程，通过分离变量、两边积分可得方程（1）的通解为：
V=Clnr-r+C
因为r→0时，lnr→∞，但运动速度是一个有限数，所以C=0；当r=R时，运动速度V=0，所以C=R。综上所得，血液的流动速度与血管半径之间的关系为：
V=（R-r）
4.模型总结
根据模型的求解结果可知，血液流速与其黏滞系数成反比，与血管两端压力降成正比，血管的半径越大则流速越大。血管内血液流速的分布符合医学生理学知识。
参考文献：
[1]周义仓，勒祯，秦军林.常微分方程及其应用[M].北京：科技出版社，2003.
[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].高等教育出版社，2005.
微分控制方程 篇4
现代复杂机电产品（如航空航天器、机器人、汽车等）通常是集机、电、液、控、磁等多学科领域于一体的复杂物理系统，经常表现出时间依赖（对时间导数）与空间依赖（对坐标偏导）共存的行为特征，而且可能呈现出多领域之间及时间域与空间域之间的耦合特性[1]。
物理系统行为规律的描述通常有两种主要的形式。系统在单纯时间域的物理行为往往由常微分方程（ordinary differential equation,ODE）描述，如果涉及代数约束，则形成微分代数方程（differential-algebraic equation,DAE),DAE是描述时间域物理规律的普遍形式，如机械多体、电子电路等系统规律的描述；若物理行为涉及空间场，出现对空间变量的偏导，则往往由偏微分方程（partial differential equation,PDE）描述，如位势、传热、波动等相关物理系统的规律描述[1]。
物理系统建模经历了从面向过程建模到面向对象建模、连续域与离散域分散建模到连续-离散混合建模、单一领域独立建模到多领域统一建模的发展阶段。Modelica语言是近年来欧洲仿真界为解决复杂物理系统建模与仿真问题而提出的一种多领域统一建模语言[2,3]，然而，目前Modelica语言只能对时间域的物理系统进行统一建模，还不能对空间域的物理系统进行描述，更无法对其进行仿真优化，这大大限制了Modelica语言的应用范围。为此，国外已有学者着手扩展Modelica语言以支持PDE问题的建模与仿真[4]。周凡利等[1]提出了解决该问题的思路，但没有具体实现。李志华等[5,6]也开展了这方面的研究工作，初步实现了Modelica语言对PDE问题的描述、建模以及仿真求解。然而现有的这些方法都是采用简单的有限差分法或线上法来求解具有规则区域（如矩形）的PDE问题，对于不规则区域的复杂PDE问题则无法求解。
本文在李志华等原有工作[5,6]的基础上，从多领域统一建模与仿真的角度，针对一般性的PDE问题（包括不规则求解区域、复杂边界条件、线性或非线性PDE系统），提出一种PDE与DAE的一致求解方法，为Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题奠定基础。
1 PDE的已有解法
PDE的解法主要分为解析法和数值法。到目前为止，只有有限形式的PDE能够得到解析解，在工程实际中一般采用数值求解。PDE的数值求解技术比较成熟，可用的方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法以及线上法等[7]。但有限差分法和线上法只适用于规则的求解区域，而有限元法和有限体积法是基于网格的计算方法，在某些工程问题（如动态裂纹扩展、高速撞击、冲击破坏、流固耦合等）中存在网格的束缚，使得计算遇到很大的困难，因此出现了无网格方法[8]。
无网格方法只需要节点的信息，不需要节点与节点之间相互联系的信息，这样很容易在复杂计算区域内布置节点。无网格方法的构建主要包括近似函数的构建方法和微分方程的离散方法两个部分，根据近似函数构建方法和微分方程离散方法的不同，可以构建出许多不同的无网格方法[8]。目前比较常用的近似函数的构建方法有：核函数近似方法、再生核近似方法、移动最小二乘近似方法、单位分解近似方法、径向基函数近似方法、点插值近似方法等。微分方程的离散方法包括加权残量法、配点法、Galerkin法以及局部Petrov-Galerkin法。
Khattak等[9]运用无网格配点法成功求解了一类非线性PDE;Yao等[10]应用全局和局部径向基函数来求解三维抛物线型PDE，并比较了这两种无网格方法的性能；Kamruzzaman等[11]利用多项式点插值和配点法来构造无网格方法，较好地求解了椭圆形、抛物线型和双曲线型PDE；吴宗敏[12]介绍了散乱数据拟合研究中的径向基函数方法，及其在散乱线性泛函信息插值、无网格PDE数值解中的应用；吴孝钿[13]应用Sobolev splines径向基函数和紧支柱正定径向基函数，得到求解PDE边值问题的无网格算法，并针对散乱数据的特点，给出了计算整体稠密度h的算法及如何通过加密节点使h值缩小的一个可行方法。然而上述无网格方法都是直接对时间变量和空间变量进行离散，只适合求解单纯的PDE问题，不适合求解复杂的PDE与DAE耦合问题。
本文借鉴传统的求解PDE的无网格方法，选用径向基函数和配点法来构建径向基函数配点无网格法，并对其进行改进，即只对空间变量离散而保持时间变量连续，直接将PDE在空间上（即配点处）离散成一系列的DAE，然后利用成熟的DAE求解器进行统一求解。
2 径向基函数配点无网格法
对于d维实空间中定义在域Ω上的PDE问题：
式中，L、B为微分算子；u(X,t）为未知量场函数；f(X,t）、g(X,t）为已知函数。
我们所构建的径向基函数配点无网格法的基本思想是：首先采用径向基函数构造近似函数，将未知量场函数的时-空变量分开，然后运用配点法对空间变量进行离散，而保持时间变量连续，这样就将PDE问题在空间上离散成一系列只含时间变量的DAE问题，具体过程如下。
首先在PDE的不规则求解区域Ω内和边界Ω上选定N=Nu+Nb个离散的节点（即配点），然后应用径向基函数构造u(X,t）的近似函数，并将其构成时间与空间分离的形式：
其中，N为节点总数；Nu为域内节点数；Nb为边界节点数；αi(t）为待定系数；Xi为实空间上的配点；φi（‖X-Xi‖）为径向基函数，φi（‖X-Xi‖）=φ（ri(X));ri(X）为Euclidian范数，ri(X）=‖X-Xi‖。
为确保解的唯一性，（ri(X））必须无条件正定，这种径向基函数包括Gaussian函数e-cr2、逆MQ函数（r2+c2）β（β<0）和紧支正定径向基函数等。本文采用Gaussian函数。
将式（2）代入式（1）中，并使这N个点满足式（1）的微分方程和边界条件，得到
当微分算子L、B为空间变量的偏导时，由于空间变量已与时间变量分离，且径向基函数φi（‖X-Xi‖）对空间变量可求导，在每一节点处，空间坐标已知，因此Lφ（ri(Xk））或Bφ（ri(Xk））就是一个已知值，这样，式（3）中就只剩下时间的导数，即每个节点处对应一个只与时间有关的DAE，这样就将PDE转化为一系列的DAE（具体过程可参见实例部分）。
进一步，PDE问题（式（1））可变为求解一个N×N的线性方程组问题，用矩阵表示为
其中，S为N×N的矩阵，S=(Ski)N×N;a为待求的系数向量，a=（α1(t），α2(t），…，αN(t));b=(b1,b2，…，bN）；且
由式（4）求出未知系数αi(t)(i=1,2，…，N）后，通过式（2）就可以获得域内和边界上任意一点的场函数值u(X,t）。
3 实例及求解过程
通过编程，利用径向基函数配点无网格法对PDE进行空间离散，自动将PDE问题转化成DAE问题。本文采用MATLAB编程，首先将带时间域的PDE问题进行时间与空间分离（若不带时间域则不用分离），然后通过径向基函数配点无网格法对空间变量进行离散，得到一系列离散点处的DAE，并把这些DAE数据用mat格式保存起来，接着将该mat格式文件导入到基于Modelica语言的多领域统一建模与仿真平台MWorks中[14]，并利用其成熟的DAE/ODE求解器进行PDE与DAE的一致求解。整个流程如图1所示。
以下面一个不规则区域的二维热传导问题为例来说明本文所提方法的有效性：
式中，T为某个时间值。
其求解区域由如下边界组成：
对该不规则求解区域用配点法进行不规则离散，得其节点分布如图2所示，其中域内节点数Nu=61，边界上节点数Nb=42。然后对这些节点从左到右、从下到上进行编号。
对该二维热传导PDE问题，运用上述PDE与DAE的一致求解方法和过程进行一致求解，令
对于求解域内的Nu个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nu），满足域内的偏微分方程，即
对于求解域边界上的Nb个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nb），满足边界条件方程，即
对于域内及边界上的所有离散节点（xi,yi(i=1,2，…，N),N=Nu+Nb，满足初始条件方程，即
本文采用Gaussian径向基函数，在各离散节点处均可计算出它们的值。这样，式（5）～式（7）中就只剩下时间的变量，即利用径向基函数配点无网格法已将PDE在离散节点处转化为一系列的DAE，然后就可以在MWorks环境中利用其自带的DAE求解器进行求解，从而方便地得出场函数在各个离散节点处随时间变化的函数值。图3表示的是场函数在编号为15节点处的仿真结果；图4所示为本文的数值解与其精确解u(x,y,t)=e-2tsin(x+y）之间的比较，此处t=0.5s。
由图4可以看出，本文的数值解uP与精确解uQ非常吻合，达到了较高的求解精度。进一步，定义本文的数值解与精确解之间的误差为，通过计算得到er=7.1×10-5。
4 求解精度影响因素分析
为了更好地应用径向基函数配点无网格法来求解PDE问题，本文研究了不同离散节点数、平均节点间距和径向基函数参数c的取值对求解精度的影响，如表1所示。
由表1可以看出，一般情况下，当参数不变时，离散节点数越大、平均节点间距越小，则求解精度越高。例如，在c=1不变的情况下，当节点数为14、平均节点间距为0.47时，误差为2.2475×10-4；而当节点数为30、平均节点间距为0.28时，误差则为1.7142×10-5。同时还可以看出，随着参数c的不断增大，求解精度并不是呈递增或递减状态，而是有起伏变化，只有当c取适当的值时，误差er才较小。由此可见，恰当确定径向基函数参数c的取值很关键，然而目前还没有规律可循，只能通过多次反复运算来确定一个合适的值。
5 结论
多领域统一建模要求用偏微分方程和微分代数方程来统一描述和统一求解，本文针对一般性的偏微分方程问题，提出了偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法，给出了该方法的实现过程，分析了离散节点数和径向基函数参数对求解精度的影响，得到如下结论：
(1）与传统的无网格方法相比，本文采用只对空间变量离散而保持时间变量连续的策略，能方便地将偏微分方程在离散节点处转化为一系列微分代数方程，从而在不改变Modelica语法的前提下，较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解，大大简化了复杂的偏微分方程与微分代数方程耦合问题的求解难度。
(2）实例结果表明，本文所提出的方法能较好地解决具有不规则求解区域的偏微分方程问题，且求解精度高，这有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。
摘要：Modelica语言是一种复杂物理系统多领域统一建模语言,但目前该语言只能解决由微分代数方程(DAE)描述的问题,而不能解决由偏微分方程(PDE)表达的问题。为此,提出一种偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法,利用所构建的径向基函数配点无网格法直接将偏微分方程在空间上离散成一系列的微分代数方程,然后采用成熟的微分代数方程求解器进行求解。实例结果表明,该方法在不改变Modelica语法的前提下,能较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解,且求解精度高、边界条件处理简单,有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。
偏微分方程的应用 篇5
1 偏微分方程的发展
1746年, 达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中, 提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。由此开创了偏微分方程这门学科。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题, 提出了解弹性系振动问题的一般方法, 对偏微分方程的发展起了比较大的影响。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪, 那时候, 数学物理问题的研究繁荣起来了, 许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶, 他在从事热流动的研究中, 写出了《热的解析理论》, 在文章中他提出了三维空间的热方程, 也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的[3]。
2 偏微分方程在某些具体问题中的应用
2.1 偏微分方程在弦振动中的应用
弦是一个力学系统, 是一个质点组, 故它的运动符合牛顿第二定律。设弦在未受扰动时平衡位置是x轴, 其上各点均以该点的横坐标表示。弦上各点的位移假设发生在某个平面内垂直于x轴的方向上, t时刻的形状是曲线u=u (x, t) , 适当假设如下:
(Ⅰ) 弦是一个“柔软”的连续体, 之所以能维持其形状是由于弦能抵抗弯矩, 因此任何时刻弦的张力总是沿着弦的切线方向, 且弦的重力可忽略不计[4]。
(Ⅱ) 弦的振动发生在一个平面内, 且弦上各点的运动方向垂直于平衡位置。
(Ⅲ) 微小是指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很小, u (x, t) 是弦上横坐标为x的点在时刻t的位置。
(Ⅳ) 弦的扰动是小扰动, 即弦上各点的位移与弦长相比很小, 且振动平稳即弦在任意位置的倾角都很小, 这并不是说u (x, t) 的数值很小, 而是ux很小。
为了导出弦的横振动方程, 我们选择平面直角坐标系, 弦的平衡位置为x轴, 其两端分别固定在x=0及x=1处。
再证明弦上每点张力也不随地点的变化而变化。将点M1和M2的张力分别记为T1和T2, 张力的方向分别沿着弦在点M1和M2处的切方向。由于假定弦只做横向振动, 因此张力在x轴方向分量的代数和为零, 即有
T2cosβ-T1cosα=0 (α, β分别是曲线u (x, t) 的切线与x轴的夹角)
对于微小振动α≈0, β≈0, 所以cosα=cosβ, 于是可得T1=T2, 这说明张力不随地点变化。
综上所述张力为常数, 记为T。根据牛顿第二定律可以建立弦的横向振动方向。
作用在弦的这一微小元素上的垂直方向的力即为在横向分量的代数和为:
由于微小振动, 所以α, β都较小, 即:
应用微分中值定理可将上式化为:
(1) 弦自由振动的方程
当弦自由振动时, 不受外力, 由牛顿第二定律可知合力为惯性力, 可得下式:
(2) 弦强迫振动方程
若在弦的每单位长度上还有横向外力作用, 外力密度为F (x, t) , 由于弦段M1和M2很小, 其上各点处的外力密度近似相等, 故作用在弦段上的外力近似等于[1]:
2.2 偏微分方程在“人口”问题中的应用
人口问题是生物学家非常感兴趣的问题之一 (人口并不仅限于人, 它可以是任何一个与人有类似性质的生命群体) 。对人口的发展进行研究我们所采用威尔霍斯特模型:
威尔霍斯特模型是将生物群体中每一个个体视为同等地位来对待的, 而这个原则只适用于低等动物。对于人类群体来说, 必须考虑不同个体之间的差别, 特别是年龄因素的影响。人口的数量不仅和时间有关, 还应该和年龄有关, 而且人口的出生、死亡等都和年龄有关。不考虑年龄因素就不能正确的把握人口的发展动态。此时, 我们必须给出用偏微分方程描述的人口模型:
其中, p (t, x) 表示任意时刻t按年龄x的人口分布密度, d (x) 表示年龄为x的人口死亡率, b (x) 表示年龄为x (ɑ≤x≤A) 的人的生育率, ɑ表示可以生育的最低年龄, A表示人的最大年龄。
对于上述偏微分方程模型成立如下结论:
定理1:对偏微分方程的初值问题 (3) , 如果下列条件成立:
(Ⅰ) 在闭区间0到A上, p0 (x) ≥0且适当光滑;
则该初边值问题 (1) - (3) 存在唯一的整体解p (t, x) 同时满足p (t, x) ≥0且p (t, A) =0。
该模型在经过适当的简化假设后, 例如假设d (x) ≡d=常数, b (x) ≡b=常数, 就可以回到常微分方程模型。但在偏微分方程模型中d=d (x) 、b=b (x) 均与年龄有关, 这与现实情况相符。因此, 偏微分方程模型确实更能精确地描述人口分布的发展过程。
3 结论
随着物理学、医学、生物学等学科所研究的现象在广度和深度两方面的不断扩展, 偏微分方程的应用范围变得更加广泛。而从数学自身的角度来看, 偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、常微分方程、数值分析、微分几何等各方面均有不同程度的发展。所以从这个角度来说, 偏微分方程变成了数学的中心。由于同一类型的偏微分方程往往可以用来描述许多性质上颇不相同的自然现象, 所以对一些重要的偏微分方程开展研究, 可以有许多方面的应用前景, 并有望在新兴学科或边缘学科的开发中及时的发挥作用。
参考文献
[1]吴方同.数学物理方程[M].武汉:武汉大学出版社, 2001:18-36.
[2]朱长江, 邓引斌.偏微分方程教程[M].北京:科学出版社, 2005:106-112.
[3]李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社, 2002:19-26.
浅谈微分方程的应用 篇6
微分方程在各个学科领域的应用都伴随着有关领域的专业知识, 我们将微分方程理论与实际应用统一起来, 通过推导微分方程来建立实际问题的模型, 最后求解而获得答案, 并将答案结果和现实世界中的具体数据相比较, 以示微分方程在现实世界中应用的力量与质量。典型实例有:“两物种愈相似, 则其生存竞争愈激烈”这一达尔文定律的数学证明;Tacoma桥灾难的数学解释;证明比利时伦勃朗协会所购买的一幅名画为近代膺品;血糖调节系统模型用于诊断糖尿病。因此, 数学上, 研究这些问题的着重点就放在了应用的基本方法和步骤上。
微分方程的应用从数学上讲, 重点在解方程;从应用的角度讲, 列方程、定条件是关键。从数学方法的角度看, 列方程主要有两种方法:
几何、物理、力学中已有规律或原理, 原有的几何条件等用数学语言表示出来, 列出微分方程;
2、已知条件中找未知函数微分的关系。
下面仅就微分方程在几何、物理、力学几方面谈谈其应用。
一、微分方程在几何方面的应用
例1:曲线簇由微分方程2xyy′-y2+x2=0所确定, 求另一簇曲线, 它与前簇曲线在相交点处均相互垂直, 即在交点处切线相互正交。
解:由已知222xyy′-y+x=0解出:
此簇曲线在点 (x, y) 的切线斜率为:
整理得:x2y′-2xy-y2y′=0这就是所求曲线簇的微分方程。
下面我们来解这个方程:
方程可以变形为: (x2-y2) dy-2xydx=0
这是一簇通过原点, 圆心在 (0, c) 的圆。
二、微分方程在物理方面的应用
涉及到这方面问题列微分方程主要是根据物理学中的一些基本定律和基本定理。如:热力学定律, 电阻定律等。
例2:一物体放在空气中散热, 在t=0时刻, 测得温度为T0, 15分钟后测得温度为Ta, 要求确定温度T与时间t的关系。
为了确定物体的温度T与时间t的关系, 我们要从 (1) 式中解出T.因为是常数Ta, 且T-Ta>0, (1) 式可改写为:
两边积分, 得:ln (T-Ta) =-kt+c%
根据对数的定义, 得:T-Ta=e-k t+c%
令ec%=c, 即得:T=Ta+ce-kt
由初始条件:当t=0时, T=Ta
所以, 得到:c=T0-Ta
于是:T=Ta+ (T0-Ta) e-kt
这就得到了物化温度T与时间t之间的关系。
三、微分方程在力学方面的应用
在力学问题中, 用牛顿第二定律和力的平衡方程式列微分方程是很普遍的一种方法。
例3:质量为m的物体, 在t=0时刻是自由下落, 在空气中受到的阻力与物体下落的速度成正比, 建立受空气阻力的自由落体运动规律所满足的微分方程。
解:将质量为m的物体视为一个质点, 设x (t) 为t时刻质点m下落的距离, 则质点下落的规律为:x=x (t)
这就是空气阻力的自由落体运动规律所满足的微分方程。
我们可以看到例题中运用了牛顿第二定律和力的平衡方程式来列微分方程。
四、微分方程在其他方面的应用
微分方程应用是非常广泛的。牛顿在研究天体力学和机械力学的时候, 正是利用微分方程这个工具, 从理论上得到了行星运动规律;法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯也是正是使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
微分方程的理论逐步完善的时候, 利用它就可以精确的表述事物变化所遵循的基本规律, 只要列出相应的微分方程, 有了解方程的方法, 微分方程也就成了最有生命力的数学分支。此外, 常微分方程与数学其它分支的关系也是非常密切的, 他们往往互相联系, 互相促进。应该说, 常微分方程理论已经取得了很大的成就。但是, 它的现有理论还远远不能满足需要, 还有待于进一步的发展, 使这门学科的理论更加完善。
参考文献
[1]王高雄:《常微分方程》 (第二版) , 高等教育出版社.1983, 1-25。
微分方程的一些实际应用 篇7
含有未知 (需求的) 函数的导数或微分的方程叫做微分方程, 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数叫做该微分方程的阶数. 解微分方程就是通过数学方法求未知函数的过程.
2.微分方程应用举例
例1.设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时 (t=0) 速度为零, 求降落伞下落速度与时间的函数关系.
解:设降落伞下落速度为v (t) .降落伞在空中下落时, 同时受到重力P与阻力R的作用.重力大小为mg, 方向与v一致;阻力大小为kv (k为比例常数) , 方向与v相反, 从而降落伞所受外力为F=mg-kv.
例2.如图1所示, 位于坐标原点的我舰向位于x轴上A (1, 0) 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数v0沿平行与y轴的直线行驶, 又设鱼雷的速度为2v0, 求鱼雷的航行曲线方程.
解:设鱼雷的航行曲线方程为y=y (x) , 在时刻t, 鱼雷的坐标巍巍P (x, y) , 敌舰的坐标为Q (1, v0t) . (如图1)
3.结语
从以上举例可以看到, 对于较复杂的实际应用问题, 利用微分方程求解是较容易的, 因此微分方程具有广泛的应用背景.
摘要：方程有代数方程和微分方程, 微分方程在解决实际问题中常常能发挥较好的作用.一些用中学数学方法难以解决的问题, 应用微分方程往往容易解决.
关键词：微分方程,实际问题,应用举例
参考文献
[1]侯风波.工科高等数学[M].沈阳:辽宁大学出版社, 2006.
常微分方程的数值解法论述 篇8
实际工程问题中的大量数学模型都可以用微分方程来描述, 很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程.所以在包括自然科学和工程技术的诸多领域中, 常常需要求解常微分方程的定解问题.其中绝大多数的问题是无法求出解析解的, 因而只能用近似法进行求解.在实际计算中, 主要依靠数值解法.在这里, 我们将重点放在解决一阶常微分方程的初值问题:
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只要函数f (x, y) 满足适当的光滑条件, 就可以保证上述处置问题解的存在唯一性.上述问题的数值解法就是求解y (x) 在一系列离散点x0
二、几种简单的单步法
(一) 著名的Euler公式
Euler公式的具体形式:
yn+1=yn+hf (xn, yn) (n=0, 1…) (2)
这里给出几种对Euler公式重要的解释:
(1) 数值积分
对式 (1) , 从x到x+k进行积分, 可以得到以下形式:
y (x+k) -y (x) =∫undefinedf (t, y (t) ) dt
取x=xn, k=h, 被积函数f (t, y (t) ) 取常数f (xn, yn) 即可得式 (2) .
(2) 差商代替微商
用向前差商代替式 (1) 中的微商可得.
(3) Taylor级数
将y (x) 在xn处Taylor展开, 取h的线性部分即可得.
由Euler公式数值积分解释中被积函数f (t, y (t) ) 取常数f (xn+1, yn+1) 可以推导出向后Euler公式.通过一些校正的方法还可以推导出改进的Euler公式, 这里就再不一一介绍.
(二) 梯形公式[2]
将式 (1) 中的微分方程两端从xn到xn+1积分, 并将所得积分用梯形求积公式计算, 可得到梯形公式的具体形式:
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梯形公式是一种极其重要的单步法, 可视为由Euler公式和向后Euler公式进行算术平均所得.
三、Runge-Kutta方法
Taylor级数展开和数值积分方法是常微分方程初值问题数值方法推广的两条重要的途径, Runge-Kutta方法就是以Taylor级数展开法为基础的单步高阶方法.
Runge-Kutta方法是极其重要的常微分数值解法, 其起源于Euler折线法.德国数学家C.D.T.Runge是数值方法发展史上具有里程碑作用的人物, 1895年, 他在Hanovet上发表了《常微分方程数值解法》, 成为Runge-Kutta方法的起源.
(一) Runge-Kutta方法的基本思想
Runge-Kutta方法本质上是利用Taylor级数法来构造的一种数值方法.根据微分中值定理有
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根据 (1) 式, (4) 可以写为以下形式:
y (xn+1) -y (xn) +hf (xn+θh, y (xn+θh) ) (5)
令K=f (xn+θh, y (xn+θh) ) 为区间[xn, xn+1]上的平均斜率, 如设法在区间[xn, xn+1]内多用几个点的斜率值, 然后将它们加权平均作为平均斜率K, 则有可能构造出精度更高的计算公式, 此即为Runge-Kutta方法的基本思想.
(二) 现代的Runge-Kutta方法的具体形式
下面是Runge-Kutta方法的一般形式:
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有以下点阵[3]:
定义以下向量和矩阵:
c=[c1, c2, …, cs]T, b=[b1, b2, …, bs], A=[aij]s×s.
那么, 一个s级的Runge-Kutta方法被上面定义的c, b, A完全确定, 所以研究Runge-Kutta方法的性质就可以转化为研究系数A的性质.
四、多步法
单步法在计算yn+1的时候只用到了前一步的信息即yn, 这是单步法的一大优点.但是, 如果想利用单步法提高精度, 则需要计算区间[xn, xn+1]的内点的函数值, 也可以理解为增加节点个数, 所以, 这就在很大程度上增大了相当大的计算量.而事实上, 在计算yn+1之前, y0, y1, …, yn已经计算出来, 如果我们充分利用这些已知信息来计算yn+1, 也许会获得较理想的精度, 这就是多步法的初始思想.下面将给出几种多步法的具体形式, 它们均可以通过Taylor级数展开的方式来构造.
(一) Adams显式公式[4]
利用r+1个已知条件 (xn, fn) , (xn-1, fn-1) , …, (xn-r, fn-r) 构造r次插值多项式Pr (x) .用Newton后插公式来表示Pr (x) .Adams显式公式具体表示形式如下:
yn+1=yn+hundefinedβjΔjfn-j (7)
其中, 系数βj与n, r无关.事实上, 在实际计算时, Δjfn-j=undefined
可以看出当r=0时, 即变成单步法, 式 (7) 就是Euler公式 (2) .
(二) Milne公式
一般的线性多步法公式具有以下具体形式:
yn+1=a0yn+a1yn-1+…+aryn-r+h (β-1fn+1+β0fn+…+βrfn-r) =undefinedakyn-k+hundefinedβkfn-k (8)
通常对式 (8) 的右端在xn处进行Taylor展开, 然后用待定系数法来求具体表达.
Milne公式就是由上述方法取β-1=0, a0=a1=a2=0可以得到具体形式:
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(三) Hamming公式
若取β-1≠0, a1=a3=0, β2=β3=0, 然后用待定系数法可得到Hamming公式的具体表达形式:
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五、常微分方程组和高阶微分方程的数值解法
对于一阶常微分方程组的初值问题[5]:
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只要把y和f理解为向量, 其本质和解微分方程 (1) 是相同的.
对于高阶微分方程问题, 只需要引入变量:y1=y, y2=y′, …, 其总可以化为一阶方程组来求解, 这里就不再一一列举.
六、结 语
常微分方程的数值解法模型在实际中有非常广泛的应用, 利用这些可以有效地解决很多实际问题.虽然实际问题和工程中的模型很大程度上并不像本文中提到的那么简单, 但是本文中提到的几种单步法和多步法及其Taylor级数展开方法为我们解决实际问题提供了非常重要的思路.通常情况下, 在实际计算时, 对一般的常微分方程初值问题, 通常采用的是二阶方法.如果被积函数f非常光滑, 计算精度又要求很高, 常用经典的四阶Runge-Kutta方法等, 但是计算量较大, 相比之下, 可采用同阶的线性多步法.
参考文献
[1]胡兵, 李清朗.现代科学与工程计算基础.成都:四川大学出版社, 2003.
[2]阎喜杰.近似微积分学.北京:科技卫生出版社, 1959.
[3]林立军.常微分方程数值解法Runge-Kutta法的历史浅析, 2003.
[4]李立康.微分方程数值解法.上海:复旦大学出版社, 1999.
一阶高次微分方程的求解 篇9
微分方程是常微分方程和偏微分方程的总称。数学上把联系着自变量、未知函数以及它的导数 (或微分) 的关系式叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时产生的, 但它的形成和发展与力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关。
常微分方程的概念、解法以及相关理论很多。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标, 不过求出解的情况不多, 在实际应用中多求满足某种指定条件的特解。
常微分方程在很多领域内有着重要的作用, 如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机、导弹飞行的稳定的研究、化学方程过程的稳定性的研究等等, 这些问题都可以化为求微分方程的解, 或者化为研究解的性质的问题。
二一阶二次微分方程在极坐标下的解法
N (x, y) , P (x, y) , M (x, y) 是定义在区域D⊂R2上的连续函数。这类方程在理论上的研究和应用中都具有重要的地位。
求解:众所周知, 有一类曲线在极坐标中的表达式十分简单, 因此, 曲线在极坐标中所满足的微分方程也应该是简单的。基于这类思想, 利用极坐标的变换。将方程 (1) 变换为极坐标中微分方程中进行了研究。为此, 将一阶二次微分方程 (1) 等价的方程记为:
引理1.1[1]在极坐标变换T:x=rcosθ, y=rsinθ下, 方程 (2) 变换为 (3) 式:
定理1.3[1]:方程 (2) 在极坐标变换T:x=rcosθ, y=rsinθ下。
三一阶三次微分方程在极坐标下的解法
在极坐标定理下的求解定理, 其中N (x, y) , P (x, y) , Q (x, y) , M (x, y) 是定义在区域D⊂R2上的连续函数。
求解:众所周知, 有一类曲线在极坐标中的表达式十分简单, 因此, 曲线在极坐标中所满足的微分方程也应是简单的, 基于这一思想, 利用极坐标变换, 将方程 (7) 变换为极坐标中的微分方程进行研究, 可将一阶三次微分方程 (7) 记为等价方程:
为简便起见, 把N (x, y) , P (x, y) , Q (x, y) , M (x, y) 分别简记为N, P, Q, M。
引理2.1:在极坐标变换T:x=rcost, y=rsint下, 方程 (7) 变换为 (9) 式:N1 (r, t) (dr) 3+P1 (r, t) (dr) 2
则方程式 (8) 在变换T:x=rcost, y=rsint下, 可以变换为方程N1 (r, t) (dr) 3+M1 (r, t) (dt) 3=0, 这里N1 (r, t) , M1 (r, t) 由 (10) 、 (13) 式给出。
定理2.3[2]方程式 (8) 在极坐标变化T:x=rcost, y=rsint下:第一, 若P, Q, M, N满足条件P=- (2Ny3-Mx3) / (x2y) , Q= (Ny3-2Mx3) / (x2y) , 则 (8) 式可以变换为方程[Q1 (r, t) (dr) +M1 (r, t) (dt) ] (dt) 2=0。第二, 若P, Q, M, N满足条件P=[Ny (y2-3x2) -2Mx3]/[x (x2-y2) ], Q=[2Ny3-Mx (x2-3y2) ]/[y (x2-y2) ], 则 (8) 式可以变换为方程P1= (r, t) (dr) 2 (dt) +M1 (r, t) (dt) 3=0;第三, 若P, Q, M, N满足条件P=-[Mxy+N (x2-y2) ]/ (xy) , Q=-[Nxy+M (x2-y2) ]/ (xy) , 则 (8) 式可以变换为方程P1 (r, t) (dr) 2 (dt) +Q1 (r, t) (dr) (dt) 2=0。第四, 若P, Q, M, N满足条件P=[Nx (x2-3y2) -2My3]/[y (x2-y2) ], Q=[My (3x2-y2) -2Nx2]/[y (x2-y2) ], 则 (8) 式可以变换为方程N1 (r, t) (dr) 3+Q1 (r, t) (dr) (dt) 2=0。第五, 若P, Q, M满足条件P= (My3+2Nx3/ (x2y) , Q= (2My3+Nx3/ (x2y) , 则 (8) 式可以变换为方程N1 (r, t) (dr) 3+P1 (r, t) (dr) 2 (dt) =0。
四一类一阶高次微分方程的解法
定义[4]:把形如方程P0 (y') n+P1 (y') n-1y+…+Pn-1y'y n-1+Pny n=0 (15) 称为一阶常系数高次微分方程, 其中各项系数P0, …, Pn均为常数, 方程 (15) 各项中y及y'的次数和为n。
求解:引理3.1:如果函数y1 (x) 是微分方程 (15) 式的解, 则y=cy1 (x) (c为任意常数) 是方程 (15) 式的通解。下面介绍微分方程 (15) 式的解法。
易知微分方程 (15) 式有解y=eλx (λ为待定常数) 。将其代入, 可得代数方程:
可见, 只要λ满足代数方程 (16) , 函数y=eλx就是微分方程 (15) 式的解, 由引理即得方程 (15) 式的通解y=ceλx。
我们称方程 (16) 式为微分方程 (15) 式的特征方程。现只要求出特征方程 (16) 式的特征根, 即可得出微分方程 (15) 式的解。
讨论如下[4]:
由引理可得, 微分方程 (15) 式在实数范围内的n个独立的通解。
第二, 若特征方程 (16) 式的特征根中含有重根, 设λ为特征方程 (16) 式的n重实根, 这时只给出微分方程 (15) 式的一个通解:y=ceλx (c为任意实数) 。
第三, 若特征方程 (16) 式的特征根中含有一对共轭的复根λ=α±βi时, 则方程 (15) 式在实数范围内通解中不含复数解, 但为复数范围内通解中含有两个共轭的复数解:y1=eαx (cosβx+isinβx) , y2=eαx (cosβx-isinβx) , 故微分方程 (15) 式在复数范围内有两个独立的通解:y1=ceαx (cosβx-isinβx) , y2=ceαx (cosβx-isinβx) (c为任意常数) 。
五总结
一阶高次微分方程的解法有很多, 在这里我们给出两种求一阶高次微分方程的方法, 针对不同的方程可以应用不同的方法, 这样解这类方程更为简便些, 也能进一步对高阶微分方程有所认识。
我们在开始给出了求一阶二次微分方程和一阶三次微分方程在极坐标下的求解方法, 通过给出它们的定义、求解方法以及对例题的分析, 能对一阶高次微分方程进行拓展和研究, 通过特殊的求解方法后, 我们又给出求一阶高次微分方程的一般方法, 这样能使一阶高次微分方程的解法通俗易懂。
参考文献
[1]刘许成.一阶二次微分方程在极坐标变换的求解定理[J].赣南师范学院学报, 2002 (6) :11~12
[2]刘许成.一阶三次微分方程在极坐标变换的求解定理[J].安阳师范学院学报, 2003 (3) :6~8
[3]刘许成.一阶三次微分方程在极坐标变换下的求解定理及应用[J].阜阳师范学院学报 (自然科学报) , 2002 (4) :54~56
[4]王高雄、周之铭、朱思铭等.常微分方程 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 1984:51~56