常微分方程的教学（精选8篇）
常微分方程的教学 篇1
广西师范学院师园学院 (以下简称“我院”) 是高等教育体制改革中创办的一所独立学院.自办学以来, 主要利用母体学校 (广西师范学院) 的师资队伍、科研力量和教学资源, 借鉴母体学校的教学经验为其教学提供保障.就常微分方程这门课程, 其课程体系、使用教材和教法跟母体学校几乎没有区别.但是我院的生源和母体学校的生源质量相差较大, 而且我院和母体学校的教学要求和培养人才目标是不相同的.因此, 不能照搬母体学校的教学大纲和教学目标.由此可见, 常微分方程课程教学改革势在必行.本文根据我院教学现状和人才培养目标, 对常微分方程课程教学改革进行探讨.
1当前常微分方程课程教学中存在的问题
1.1采用“灌输式”教学法
关于这门课程的教学, 我院多数教师采用“灌输式”教学法, 以教师讲授为中心, 老师滔滔不绝地讲, 学生不厌其烦地听与抄笔记.这种教学方法的最大弊端:一方面, 课堂上留给学生思考的时间很少, 而且过多的灌输, 只能导致学生精疲力尽, 精力分散, 学习效率降低;另一方面, 师生在课堂教学中缺乏互动性.学生学习的积极性和主动性不高.在教学过程中, 学生总处于一种被动模式, 忽视了学生学习能力和实践能力的培养, 忽视了理论与实践相结合.
1.2学时数减少
我院使用教材是王高雄等编写的《常微分方程》第3版.该课程的学时数, 我院课时总数显然比母体学校少一些.随着教学改革的深入, 课时数会进一步重新调整, 学时数会再少一些.由于学时数减少了, 有些章节只能给学生自学或者省略不讲.例如:一阶隐式微分方程及参数表示、解的延拓、奇解、奇点、极限环等.但是, 教师课堂上不讲授的内容, 绝大多数学生不会去自学的.
1.3没有掌握好与该课程相关的知识衔接
要想学好常微分方程, 必须先修《数学分析》、《高等代数》和《普通物理》这几门课程.微分和积分运算是互逆的.有些学生由于没有掌握好微分和积分的运算技巧, 对学习一阶微分方程的初等解法感到很吃力, 做题目无从下手.数学分析中的一致收敛性、连续性和可微性等概念十分重要, 而有些学生对这些概念理解不透.因此, 对一阶微分方程解的存在定理的证明过程难以理解.高阶微分方程涉及到高等代数的知识点.如果对方程的重根、代数重数和几何重数这些基本概念不理解, 那么想学好这一章节内容是十分困难的.
1.4教学内容处理不当
有些教师喜欢讲授一些内容比较浅易的章节, 把难度大的一些内容删掉不讲, 例如, 一阶微分方程解的存在性唯一性定理, 解的延拓, 解对初值的连续性和可微性定理, 常微分方程模型等.这种做法只能导致学生知识点断层, 对后面章节内容的学习产生困难.领会一门学科, 其思想和方法是最重要的.然而, 有些教师却省略了教材中某些有难度的定理证明, 只讲解课本例题.学生对所学的内容模棱两可, 没有做到真正理解.这些显然给教学带来不利的影响.
2常微分方程课程教学改革的几点思考
2.1优化教材章节内容
有些教师照着课本章节顺序从第一章讲到第六章, 这样显然不是很科学, 不利于学生接受新的知识.我们认为按下面顺序讲授比较科学:常微分方程简史—常微分方程基本概念—一阶微分方程的初等解法—常微分方程模型—一阶微分方程解的存在定理—微分方程组—高阶微分方程—非线性微分方程.将方法相同的内容放在一起来讲, 既避免重复又提高教学效率.俗话说:好的开始等于成功的一半.要想学好一门课程, 必须了解它的过去、现在和将来.例如, 讲授常微分方程简史可以分如下几方面来讲:第一, 常微分方程产生的实际背景, 每个阶段的研究任务, 从17世纪末到18世纪, 主要研究通解的表达式, 从19世纪末到20世纪, 主要研究解的定性理论和稳定性问题, 从20世纪进入新的阶段, 定性上升到理论, 进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法等;第二, 数学家贝努利、欧拉、拉格朗日等人丰富了微分方程的理论;第三, 复变函数、李群、拓扑学等学科对常微分方程的发展产生了深刻的影响.兴趣是最好的老师.通过对常微分方程简史的介绍和一些数学家所做的数学工作, 会激发学生的学习兴趣, 增加他们学好这门课程的信心和决心.
2.2重视理论与实践相结合
引入Maple, Mathematica, Matlab数学软件, 增加数学实验内容.大部分微分方程要给出其解析解是十分困难, 往往只能通过数学软件给出数值解.这几个数学软件有各自的优点, 通过它们可以求解某些常微分方程, 而且还可以通过绘图来观察其解的几何意义和几何特征.数学软件可代替繁杂难度大的手工演算, 很大程度上提高工作效率和准确性.一阶常微分方程的初等解法、常系数线性常微分方程、高阶微分方程幂级数解法、求函数的拉普拉斯变换、求常微分方程的数值解等内容都可以用数学软件来解决.学生既动脑又动手, 增强了他们实践能力和应用能力, 提高了他们的学习兴趣和求知欲.多数院校常微分方程教学偏重于理论学习, 学生学习起来难免有枯燥无味的感觉.通过增加数学实验课程内容, 有利于提高学生学习的积极性、主动性和能动性.
2.3采用“启发式”教学法和“探究式”教学法相结合
“教学有法, 但无定法”.只要能够激发学生学习的兴趣, 调动学生学习的积极性与主动性, 提高学生分析问题和解决问题的能力, 达到好的教学效果, 都是好的教学法.高效的课堂教学应该是把学生作为主体, 教师作为主导, 学生是教学的主体.课堂学生是主人, 教师把学习主动权交给学生, 让学生能够从课堂教学中获得成功和乐趣.启发式教学法正好与灌输式教学法相反, 它是一种主张学生的主体性、开发学生的潜能、发挥学生的创造性、健全学生人格的教学模式.共同属性的知识归类, 知识体系示意图和一题多解等教学内容比较适合采用“启发式”教学.但是, 并非所有的教学内容都适合采用启发式教学方式来进行.探究式教学指学生在教师指导下, 以学生为主体, 让学生自觉地、主动地探索、掌握、认识和解决问题的方法和步骤, 发现事物内部的联系, 从中找出规律, 形成自己的概念.探究式教学调动了学生学习的积极性和主动性, 提高了学生应用数学知识去分析问题和解决问题, 让学生感受到了数学的理论价值和应用价值, 激发了学生学习数学的兴趣和热情.探究式教学过程可归纳为:问题引入, 问题探究, 问题解决和知识建构四个阶段.探究式教学也有一定的适用条件:第一, 教学内容有一定的深度和复杂性;第二, 学生对该问题的探讨有充分准备;第三, 教师对该问题有深入的研究和思考.因此, 盲目使用探究式教学有时会收到负面教学效果.
2.4辅导答疑
辅导答疑是课堂教学的补充环节.其目的在于促使教师深入了解学生的学习情况, 帮助学生加深理解和全面掌握课堂教学讲授的知识内容, 解答疑难问题, 同时指导学生的学习方法和思维方法.要想给学生一杯水, 教师必须自己有一桶水.教师要辅导答疑, 必须精通教材, 知识渊博.辅导答疑要注意几个方面:第一, 对基本概念必须做到理解深透, 对基本方法必须掌握其实质.常微分方程基本概念和基本方法繁多, 基本概念:通解、特解、奇解、积分曲线、积分因子、可点、特征方程、基本解组等;基本方法:常数变易法、积分因子法、待定系数法、拉氏变换法和级数解法等, 这些必须要求学生理解搞清楚.第二, 一题多解, 善于比较, 总结经验.方程类型繁多, 解法也多, 各有其特点.第三, 重视理论与实际生活联系.第四, 多做练习, 善于归类总结.我们可以采用如下几种方式辅导答疑:第一, 每周教师抽出两个小时在办公室答疑学生提出的问题;第二, 利用习题课和课堂讨论等多种形式向学生解答问题;第三, 利用在电子邮件或者QQ方式进行网上辅导和答疑.
2.5注重考核
多数高校按照如下两种方式考核学生的综合成绩:综合成绩=平时成绩*30%+期末成绩*70%或者综合成绩=平时成绩*60%+期末成绩*40%.平时成绩包括迟到、早退、旷课、作业、课堂表现等.如果学生迟到、早退、旷课、不能按时完成作业, 则扣分;这样的评定方法不科学, 不能真正调动学生学习的积极性和主动性.前一种考核方式期末成绩比重太大, 会导致学生平时不够努力学习, 临考前突击复习应付考试.后一种考核方式平时成绩比重偏大, 会导致学生不太重视考试, 从而学生不会花太多时间去钻研课本.在课程考核中, 我们认为下面的考核是比较科学:综合成绩=平时成绩*30%+期中成绩*30%+期末成绩*40%.平时成绩包括迟到、早退、旷课、课外作业、课堂作业等.这样的考核方式权重恰当, 平时、期中和期末等三项成绩都必须重视, 考试才能通过.对学生正确的评价能够调动学生学习的积极性和主动性, 激励学生不断完善学习方法, 增强学生的学习能力和应用能力.
参考文献
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常微分方程的教学探讨 篇2
关键词： 常微分方程 教学方法 数学建模 线性代数 微课
在自然科学和社会科学的研究中，许多现象及事物发展的规律都可用数学模型表示出来，而常微分方程是数学建模中最基本的工具。同时，又是应用数学专业一门重要的基础课，对先修课程及后续相关课程起到承上启下作用。现我对于怎样教好常微分方程这门课以达到该课程教学目的，提高教学质量，谈谈一些体会和看法。
一、让学生了解常微分方程课程的特点，认识到学好该课程的重要意义。
常微分方程是学习其他数学理论后续课程的基础，这些课程包括数理方程、微分几何、泛函分析等。课程本身既有严密的逻辑性，又有一定的应用性，但目前高校常微分方程课程大多还停留在传统教师主讲形式，偏理论，轻应用，使学生极易产生排斥心理。因此，讲授这门课内容之前，教师不妨先利用一些简单的物理、生物和化学等相关学科的模型引入，让学生深刻认识到这门课是解决实际问题的有力工具，提高学生对课程的兴趣。
二、培养学生的学习兴趣。
教师要注意采用多种教学方法，不能为了赶教学进度直接把定义、定理、证明一一搬出来，使学生陷入枯燥的学习中，进而失去学好这门课的兴趣。因此，教师在教学过程中既要充分发挥自身的主导作用，又要让学生积极、主动地参与到教学中。比如，学习了二阶常系数线性方程的求解后，可以引导学生根据中学时接触过的单摆问题，先让他们尝试建立简单的物理模型并加以讨论，由此得到出现简谐振动、共振现象的条件。
三、根据授课对象，对教学内容进行适当增减，教学难度应有所不同。
学生所学的专业对数学基础的要求不尽相同，因此，教师应该根据学生专业选择授课内容。比如，若授课对象是应用数学或数理专业的学生，则除了要求掌握常微分方程的计算技巧外，还应强调基本数学定理的证明。若授课对象为金融数学专业，常微分方程的作用主要体现在应用上，因此教师在授课中应侧重数值计算，复杂的定理推导可以仅介绍证明思路。此外，若教师在平时工作中注意收集相关实际案例，把这些案例引入各类专业课堂教学中，则对促进学生学习积极性提高起到至关重要的作用。
四、注意本课程与其他课程的相互渗透。
常微分方程教学内容中，计算占了很大比例，而课程本身就是结合线性代数、解析几何等相关数学知识解决数学理论和其他学科中出现的微分方程问题。因此，教学中，除了让学生掌握基本计算方法外，还要注意与其他课程的相互渗透。如学习求解常系数线性方程组的基解矩阵这部分内容时，若方程组的系数矩阵A（设为n阶）恰好有n个线性无关的特征向量，则可直接利用课本上的定理写出其基解矩阵。此外，还可引导学生根据线性代数的知识知A可对角化，则通过可逆的线性变换必能将系数矩阵化为对角形，使得方程组的求解易于进行。
五、结合运用多媒体技术。
传统的教学方法以板书为主，但是由于常微分方程这门课中定理的理论证明比较多，一味板书和讲授会让学生产生厌烦心理。因此，教师应该把传统教学方式与现代教学手段结合起来，借助多媒体把板书内容适当变得有趣一些。如学习解的延拓时，可以用动态画面把这部分内容展现出来，让学生在脑海里有较为直观的印象，接着引导学生思考、总结方程的解向左右两边延拓的情形究竟如何，最后教师对学生总结出的内容给予相应修改、补充。这样教师既可以较为轻松地把抽象的定理内容传授给学生，又可以让学生参与到课堂讨论中。
六、将微课形式融入教学中。
近年来，微课在我国发展很快，这一新的教学形式逐渐成为教育信息化的热点之一。它不同于传统课程，主要以教学视频为表现形式，具有内容少而精的特点。由于常微分方程课时的限制，教师不可能将课程全部内容都在课堂教学中呈现出来，而且有些较难的知识点通过教师的讲授可能还有部分学生无法掌握。因此，教师可根据课程内容的特点，将微课适当引入教学中。例如，讲授求常系数线性方程组基解矩阵这一部分内容时，在课堂上教师主要介绍根据空间分解理论所得的基本计算公式，至于其他计算方法，如利用约当标准形，以及利用哈密杜顿-凯莱定理的方法，教师可将其录制成微课放在网上，供感兴趣的学生自行学习。这样可以让学生充分利用课余时间学习这门课，激发学生的学习热情和创造性。但需要注意的是，微课只是教学辅助手段，并不是所有常微分方程的知识都适合制作成微课，因此在知识点选择上还需教师反复推敲，在教学中适当融入微课，才能达到提高教学质量的目的。
常微分方程是一门重要的基础课程，随着科技进步，高校教师应紧跟时代前进步伐，更好地设置教学内容和教学模式，尽可能深入浅出地讲授这门课程。
参考文献：
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[4]白灏.方程在数学建模中的思想及应用研究[J].湖北第二师范学院学报，2015，32（2）：106-108.
常微分方程的教学 篇3
一类非线性二阶常微分方程的正周期解
考察非线性二阶常微分方程u″(t)=,(t,u(t))关于周期边界条件u(0)=u(2π),u′(0)=u′(2π)的正解,由于该方程没有Green函数,通常的方法是无效的.利用适当的转换技巧和锥上的不动点定理证明了这个周期边值问题的.n个正解的存在性,其中n是一个任意的自然数.
作 者：姚庆六 YAO Qingliu 作者单位：南京财经大学数学系,南京,210003 刊 名：系统科学与数学 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCE AND MATHEMATICAL SCIENCES 年，卷(期)： 28(1) 分类号：O1 关键词：二阶常微分方程 周期边值问题 正解 存在性 多解性.常微分方程的教学 篇4
关键词：常微分方程,龙格库塔法,Simulink仿真
数学实验是高等学校迎接21世纪数学教学改革的一门新课程, 它将数学知识、数学建模和计算机应用三者有机结合在一起, 使学生可以深入理解数学的基本概念、基本理论, 熟悉常用数学软件, 这样既培养了学生进行数值计算和数据处理的能力, 也培养了学生应用数学知识建立数学模型、解决实际问题的能力, 同时使学生真正做到了“学数学, 用数学”, 激发了学生学习数学的兴趣[1]。随着教学改革的不断深入, 许多高校都在积极探讨数学实验的课程建设[2~3]、教学内容和教学方法[4]。实践表明, 数学实验的重要性越来越被人们认识到, 其研究方法也逐渐渗透到高校各大课程中。常微分方程求解是《数学实验》课程中的教学重点以及教学难点之一, 本文根据多年教学经验, 结合实际教学情况, 探讨了数学实验课程中常微分方程求解的讲授方法。
一、教学方法研究
(一) 借助实际案例提出问题, 激发学生兴趣。教师在教学过程中, 将数学建模思想融入到数学实验教学当中[5], 根据学生的知识基础提出问题, 给出实验问题的背景介绍。比如, 以实际案例“缉私艇追击走私船”出发, 抓住学生胃口, 吸引学生眼球, 让学生带着问题而入, 从而引出本节内容。这样不仅能让学生对建模思想有初步了解, 培养学生创新能力, 而且有助于加强学生的求知欲, 提高学生的学习兴趣。
(二) 由浅入深, 由表及里, 介绍龙格库塔法的思想。所谓数值方法, 是将连续的微分方程的初值问题离散化为差分方程的初值问题, 用差分方程的解近似代替微分方程的解[6]。常用的微分方程的数值解法有欧拉法、梯形公式、龙格库塔方法。本章主要是用龙格库塔方法编程序求解。为了便于学生掌握, 由浅入深, 由表及里, 先从简单的方法 (欧拉法、梯形公式) 入手, 然后导出龙格库塔方法。
微分方程的初值问题:
假设 (1) 式的解存在并且唯一 (即楋 (x, y) 在矩形区域R={ (x, y) |x0≤x≤xn, y0≤y≤yn}上连续, 且关于y满足Lipschitz条件) 。
把定义域n等分, 对微分方程y'=楋 (x, y) 在第i个小区间[xi, xi+1]上积分得:
对于 (2) 式中的定积分, 用不同的数值方法 (左矩形公式、右矩形公式、复合梯形公式) 求解, 便得到不同的求解常微分方程的数值方法 (向前欧拉公式、向后欧拉公式、梯形公式) 。
如, 用左矩形公式求 (2) 中的定积分, 得:
又有yi+1=y (xi+1) , yi≈y (xi) , 所以yi+1=y+h楋 (xi, yi) , i=0, 1, …, 即向前欧拉公式。显然, 步长越小, 结果越精确。
同理, 用右矩形公式求 (2) 中的定积分, 得y (xi+1) ≈y (xi) +h楋 (xi+1, y (xi+1) ) , 即向后欧拉公式, 这是隐式格式, 求解时需采用预测校正方法, 即先用向前欧拉法提供初值, 然后再用向后欧拉公式迭代, 计算公式为:
用复合梯形公式求定积分, 得数值解的计算公式为:
综上, 欧拉公式在计算 (2) 中的定积分时只用到了一个点 (左端点或右端点) 处的导数值 (即楋 (x, y) 值) ;梯形公式用了两个点 (左、右端点) 的导数值;在此基础上, 在小区间[xi, xi+1]上多取几个点, 计算这些结点处的导数值, 然后作这些导数值的线性组合, 构造近似公式, 这就是龙格库塔法的基本思想。
常用的龙格库塔法有二级二阶R-K方法
在介绍各种数值方法时, 可用Matlab进行仿真, 把每一步迭代结果动态的反映到图像中, 将抽象的算法直观地呈现在学生面前, 加深学生的理解, 激发学生的兴趣。
编写函数文件exf:
编写主程序:
运行结果见图1。
仿真画出y及其导数的图像, 结果同图1。
由上, simulink不需要学生对算法有很深的了解, 只需画出模块连接图, 就可以将结果可视化。而且, 模拟是交互的, 学生可以快速改变参数, 并立刻得到相应的结果, 该方法的优点是简单、快速、直观, 对于初学者来说更容易掌握。
(五) 引入科学前沿问题, 开拓学生视野。随着科学技术的发展, 长期不变的实验教学已不能满足教学需要, 所以应将新的科研成果融入教学中, 让学生掌握科学前沿知识, 这样可以丰富教学内容, 开拓学生视野, 活跃学生思想, 培养创新意识, 从而提高教学质量。
本章内容其中一个重要的应用就是混沌系统的求解。混沌是非线性动力学系统中特有的一种运动形式, 广泛存在于自然界, 如生物学、物理、化学、电子学、信息学科以及技术科学、社会科学等各种领域。混沌是学者们研究的学术前沿问题之一。其中研究的最为深入的是Lorenz系统, 其状态方程为:
式中a=10, b=30, c=8/3, 给定初始条件为x (0) =0, y (0) =ε, z (0) =0, 其三维相图见图3。给初始值一个微小扰动, 然后求解观察, 会发现两次计算结果完全不同, 这就是混沌系统对初始条件的高度敏感性 (失之毫厘, 差之千里) , 称之为蝴蝶效应。
Lorenz方程是没有解析解的, 如果要手工绘出其图形很困难, 但是用Matlab仿真, 其效果和直观性是非常好的, 便于学生理解与掌握。
另外, 在绘制洛伦兹系统的相图时, 可以固定参数a, c, 令b从0到30变化, 进一步观察相图, 初步引入分岔的概念, 如此有利于激发学生的求知欲, 为日后的进一步研究奠定基础。
二、结语
对于常微分方程数值解的讲授, 首先提出实际案例, 让学生带着问题而入, 激发学生求知欲;然后介绍算法, 理论与实践相结合;再用Matlab仿真, 主要介绍两种方法 (龙格库塔法以及Simulink仿真) 求解, 结果表明:两种方法各有优点, 前者帮助学生理解算法理论;后者从繁琐的算法中解脱出来, 简单、直观, 只需要画出模块连接图就可得到结果;最后引入科学前沿问题———混沌系统的求解, 开拓了学生的视野, 提高了学生兴趣, 培养了创新意识, 使教学质量上了一个新台阶。
参考文献
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常微分方程的教学 篇5
［关键词］CBE教学模式常微分方程职业能力
［中图分类号］G642［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2014）03-0117-02
常微分方程是有着悠久历史的学科，它是数学专业的骨干课程。随着非线性科学越来越成为热点，力学、机械工程、生物、电力工程等快速发展，对常微分方程的教学提出了更高的要求。作为地方应用型高校，以培养适合社会需要的一线实用型人才为目标，如何将这个理念融入实际的教学中去是当前常微分方程课程教学所面临的关键问题。因此，在教学内容和教学方法上应该坚持“精讲以求实用，应用培养能力”的原则，通过对常微分方程课程的学习，使学生能够具备自主分析和解决问题能力，这是适应社会，满足岗位技能要求的重要保证。在实际的常微分方程课程教学活动中，常常面临诸如教学理念落后、教材陈旧、教学方式单一等情况。因此，通过引入新的教学模式，优化教材，更新理念是常微分方程教学改革的重要途径。
CBE（Competency Based Education）是以培养能力为核心，以满足就业岗位能力的需求为中心，进而确定、学习和掌握内容的教学体系。 CBE的教学模式有以下几个特点：以是否具备职业能力为评价方式；以培养能力为目标；强调自我学习和评价；办学形式灵活、管理科学。作为应用型高校，课题组在常微分方程教学活动中引入CBE教育模式，结合CBE教育模式特点，针对性进行了以下的研究和实践。
一、以是否具备职业能力为评价方式，优化教材
能够培养出适合社会需求的一线实用型人才，是应用型高校可持续发展的关键。传统的常微分方程教学理念是侧重学科性，教师往往看重的是相关具体的定理和结论的证明与推导，将所讲授的问题仅仅当作是个数学问题加以讨论。由于常微分方程课程的特点和课时等原因，在实际教学过程中，教师为了完成教学任务，重点讲解的是抽象理论证明，一味看重计算技巧。这种理念下，学生成为学习活动中的配角，只是被动地去接受教师所讲授的内容，没有足够的时间去理解和分析，更不知道如何将所学的知识应用到实际问题中。教师成为教学活动的主体，所需完成的工作是讲授，能将讲授的教材按部就班地讲完就完成了教学任务，学生学完课程后也不明白自己为什么需要学习这门课程，缺乏学习的目的性。此外，部分教师的教学理念还拘泥于传统，认为所谓的经典教材可以应付各个专业的需求；同时，多数教师由于专业知识所限，不知道或懒于知道学生就业需要什么样的技能，需要什么样的专业知识与之匹配，从而造成了在教学活动中的教学资源和学生精力的浪费。学生的学习兴趣因此也随之降低甚至出现抵触现象，培养学生利用常微分方程这个强有力的工具去解决实际问题的能力也就无从谈起。因此，引入CBE教学模式，以是否具备职业能力为评价方式，要求教师所选取的知识必须围绕岗位的需要，按由易到难的顺序安排教学计划。知识的选取，必须与岗位密切相关，遵循“够用”原则，打破以学科的学术体系来安排授课内容的教育体系，按专业的不同，制订不同的常微分方程课程大纲，修订教学计划。在保证基本理论、基本方法、基本技能的前提下，整合优化教材，将所需内容筛选后重新编排。
对于文、工科类学生，其职业方向决定了常微分方程应该是一个强而有力的工具，为其学习后续专业课程服务，提高专业技能。在教学内容上应该针对性体现应用的特征。在实际教学活动中，对于常微分方程的初等解法和数值解法成为学习的主要内容，而对于常微分方程的一般理论则选择性讲解，重点讲解常见的一阶常微分、恰当方程、可降阶的常微分方程以及数值解法中具有代表性的欧拉和龙格-库塔方法。对于理科数学系学生，其未来从业方向是继续进修或从事教育行业，常微分方程应该是其以后进修学习研究的坚实基础，因此常微分的一般理论部分的内容应成为教学重点，此外对于常微分方程的稳定性分析也作了适量的补充。重点讲解关于常微分方程（组）的解的存在唯一性定理，并由此展开，分析讲解李雅普诺夫定理、极限环和Lorenz方程与混沌的基础知识。教学内容的删减与搭配始终遵循内容服从于各专业就业岗位需求的原则，在现有教学资源下，让学生所学的知识尽可能覆盖未来职业的需求。
二、以培养能力为目标，完善教学过程
教学过程是教师将知识传授给学生，学生通过学习，能够将所学知识转化成为能力的过程。由于常微分方程课程的特点，抽象的定理证明和复杂计算无法真正体现出多媒体教学的优势，因此教学过程依然比较单一，在实际教学活动中，由于教学资源和教学习惯，板书的同时辅助以多媒体教学讲解依然是主要形式。因此，完善教学过程，遵循CBE教学模式中的以培养能力为目标，将学生作为教学活动的主体，教学过程的设计应紧紧围绕着培养学生的能力进行。常微分方程数值解法在实际工程、力学等方面应用十分广泛，通常不以找出精确解析解为目的，而是通过计算得到满足误差的方程近似解。因此，在实际的教学过程中，以Mathematica和Matlab为平台，学生实际操作为基础，通过自己编程，让学生熟悉和掌握欧拉，改进欧拉和龙格-库塔方法，经过调试和数据分析，学生自主解决问题的能力得到了提高。
三、培养学习兴趣，强调自我学习和评价
大学学习的过程和初、高中不一样，学生往往将以前养成的学习习惯带入大学的课程学习中去，却往往效果很不理想。初、高中的学习以应试教育为主，在高考中考出好成绩是目的；大学教育是学历教育，它是以传授知识、技能，满足就业岗位需求为目的。因此，如何在实际教学中培养学生学习的兴趣，喜欢选择的专业是关键。兴趣产生的一个重要来源是获得成就感，在实际教学活动中，如何培养成就感往往被忽略了。常微分方程课程学科性很强，具有严谨的逻辑、复杂的计算，如何在教学中让学生获得成就感是将CBE模式教学理念融入教学中的一个关键环节，而细分模块化是实现目标的一条可取的途径。学生在刚刚面对这门课程时，由于对该门课程缺乏相关了解，对抽象概念和繁琐计算会产生抵触思想，经过一个较长时间的学习，学生往往对一个章节的内容没有及时消化，随后的新内容却又随之而来，久而久之，学生就容易失去学习的信心，产生厌学思想。因此，应将常微分方程针对不同岗位需求细分为子模块，每个专业的子模块由易到难，层次性渐进，细分后的子模块对应有自己的学分。学生在能不断完成各个子模块的学习，不断获得学分时，信心不断得以提高，学习的兴趣也能够长久保持。自我学习是学生提高自主解决问题能力的重要途径，在教学活动中，教师应对常微分方程各个子模块能解决的问题及相互之间的联系做详细讲解，让学生对这门课程有较为清晰的轮廓，再安排各个子模块的教学内容。课堂讲解的效果是有限的，多安排学生课后分组讨论，通过相关资料和文献的查找、过程的验证来解决问题。自我评价是检验学生学习效果的重要手段，也是学生自我提高的重要环节。学生学习效果仅仅通过教师的评价是不够的，学生需要学会不断自我评价，评价的标准应该是客观的，不以人的主观为判断。常微分方程课程的科学性、严谨性、逻辑性使得学生有机会学习和掌握自我评价，了解自己已经掌握的知识和将要掌握的知识、自身学习方法的优劣性，并在以后的学习中不断调整。
四、考核方式多样化，实行科学管理
现阶段，高校都实行了学分制。在实际的考核过程中，结合常微分方程模块化特点，将学分制进一步进行了优化，显现了学分制的灵活性和科学性。各个专业的常微分方程子模块都分别设置了学分，完成这门课程的学习，只需要学完一定数量的子模块，拿到相应的学分即可。考核的形式也摆脱了传统的试卷，考核的目的是为了检验学生是否具备解决相应问题的能力，因此，考核形式采取了多样化，始终围绕着CBE教学体系的核心进行。除了传统的试卷考试外，上机能力测试、参加各种竞赛、参与课题研究等都可以替代试卷考试，并获得相应的学分。考核方式多样化，能够发挥各个学生自身的特点，调动学生学习的积极性，教学方式也灵活多样，而最终的目的是为了培养学生的能力。
在常微分方程的教学过程中，突破以传统学科为本位的教育体系，突出以培养能力为核心的教育改革是社会发展的需要。在实际的教学活动中，只有不断融入新的教学理念，不断创新和发展新的教学模式才是提高教学质量，培养合格人才的重要保证。
［参考文献］
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［责任编辑：钟岚］
常微分方程的教学 篇6
关键词：创新培养；常微分方程；大学生；创新；联系
随着大众创业，万众创新的口号的提出，全国都在开展着大学生创新创业的教育和培育。当前大学生也的确需要创新思维的灌输和创新能力的培养，这不仅是时代所需，也是学生自身发展的要求。创新培养包含的内容非常丰富，凡事皆可创新，凡知识皆可用来创新。在这种情况下，我们的课堂教学就显得尤为重要，不仅要教会知识，更需要教会学生如何运用该知识，还要在教学的过程中培养学生自主思维的能力。
常微分方程[1]是一门探索事物间微量变化的学科，在生理学、医学、物理学等几乎所有学科都有应用。因此该课程对于大学生创新教育的培养有突出的作用。许多研究也在探索多种教学方法[2]，如分层教学法[3]等等。在本文中，笔者结合自身教学的经验以及在科研实践中对常微分方程应用的理解，总结出培养大学生创新思维的一些观点和看法。
1.变化的思维
常微分方程主要是定量的研究一些实际问题的变化规律，也就是说任何连续的有变化规律的过程都可以用常微分方程来描述和求解。这个思维是创新思维的重要基础。人无常性，水无常态，我们只有运用变化的思维去思考问题，我们才能发现问题的本质，才能在此基础上实现发现和创新。因此建立微分方程的过程就是在不断探索变化规律的过程，教学者要不断的举例子对学生进行引导，如镭的衰变速率、疾病的传播等等。要实现对学生对变化思维的理解，可以引导学生随便寻找一个过程并对其进行分析，看看其中是否存在着变化，如果存在，那么就尝试着列一个方程，重在列方程的过程。一旦学生熟悉了变化，那么他们就有了创新的发现眼光。
在实践教学中，教学者应该在课本知识的基础上灵活的提出生活中的实例让学生去思考其中存在的变化和其中的不变，从而激发学生探索变化的热情，否则教会学生变化也仅仅限于告诉他们例子中内容存在变化，而不是处处有变化。
2.宏观的思维
常微分方程讲究先从整体的角度思考问题，然后再局部的进行剖析和挖掘，这就是宏观的思维。这个思维为我们从全局角度思考问题打下了坚实的基础。比如在进行疾病扩散模型中，我们只有先从整体分析出疾病包括易感人群和非易感人群，疾病才能扩散，同时我们需要将所有个体都纳入分析系统来保证模型的完整性。这就是宏观的思维。我们在教学的过程中应该强调宏观的思维，然后再逐步的引导学生去思考。然后教育学生要不断的从宏观的角度思考问题。在实践教学中，教学者都是从宏观的角度去推敲问题，然后逐步的进行深入探索和分析。只要我们将我们分析的过程传输给学生，那么学生才能体会到宏观思考的优势和用途，他们才会更进一步的去尝试和应用。
谈到创新，我们首要想到的事情就是从哪里创新，从哪些角度去创新，要做到这个要求，我们必须拥有宏观的思维，从某事物的整体角度进行观察和分析后提出可行的方案，只有这样我们的创新才能有用，只有这样我们的创新才能简化问题。因此常微分方程和创新都需要宏观的思维。
3.联系的思维
事物之间是内在联系的，只有抓住了联系，才能掌握事务的本质；只有抓住了联系，我们才能用宏观的思维进行思考；只有抓住了联系，我们才能发现其中存在的变化。常微分方程往往解决连续变化的问题，在这个过程中，多种元素之间必然存在某种联系，如果我们分析疾病扩散不考虑当前人群数和发病人数是不行的；如果我们分析生猪的销售价格不考虑当地人的喜好和需求是不行的。因此，在常微分方程的教学中是离不开联系的思维的，也只有将联系的观点深入的进行讲解，学生才会学有所用。
在创新培养中，我们往往是发现了事务之间固有的特质后衍生出新的事物或者方法的，因此创新是离不开联系的。我们要在日常的教学中不断的锻炼学生要用联系的观点看待问题，并善于发现任何2种事物之间的联系，这样就会为使学生潜移默化的具备了创新的条件。
4.创新的思维
创新需要创新的思维。不是所有人都具备创新的能力的，只有拥有创新思维的人才有可能创新。正所谓条条大道通罗马，我们在生活中往往一直在寻找通罗马的最佳路径。常微分方程中经常遇见纷繁复杂的公式，而高明的人只需列几个看似简单的公式即可达到目标，其中的差距主要是因为不同的人看待事物的角度不同，有的人时刻具备着创新的思维，他们能在原有的思维基础上继续探究符合本事务的方式或者方法。因此，我们在常微分方程的教学中应不断深入创新思维的培养。在实践的教学中，教育者应该不断的从多个角度进行微分方程的建立，并对各种方法进行对比和比较，这样才能使得学生感悟到创新的魅力，接受了创新的魅力会使其在今后的学习生活中不断的去寻求最佳的方法，长此以往，创新的思维也就形成了。
创新是一个过程，也是一个结果，要实现创新或者用于创新的能力，不是一蹴而就就能实现的。综合常微分方程的几个特点，不难看出这都是哲学中辩证唯物主义的思想和内容，只有运用辩证唯物主义的思想去思考问题，我们才能得到解决问题的最佳方式，得到最佳的结果。
创新不是一句话，也不是一堂课，是一个逐渐养成的过程。常微分方程的课程融入了许多的生活实例，也都是创新最突出的地方。有生活的地方就有创新，有创新的地方就离不开对事物的宏观的观察，细致的关联的分析，和辩证的变化的思考。在常微分方程的课程中只有不断的融入创新的思维，我们的课程开展的才更有意义，学生的收获也会更多。
参考文献：
[1] 潘家齐.常微分方程[M].北京：中央广播电视大学出版社，2008.6
[2] 赵才地，王玮明，应裕林，郭正光，安荣 《常微分方程》课程教学改革研究与实践——数学应用创新教学模式探究，《鄂州大学学报》，2014.9
常微分方程的教学 篇7
高职数学教学面临课时少、任务重、学生整体素质不高的现状，学生的数学学习积极性不高，部分学生学习习惯存在问题，一些学生错误地认为高职数学就是枯燥的理论，没有什么实际的用处，数学考试就是背公式，套公式。因此，帮助学生增强自信心，转变学生的数学学习方式，注重数学思想、方法的教学，培养学生良好的数学学习习惯，提升学生的数学学习品质是高职数学教师面临的重要任务。
二、微分方程产生的背景
微分方程接近是和微积分同时期先后产生的，牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。其他数学家又不断地研究和丰富了微分方程理论。牛顿在研究机械力学和天体力学时，利用了微分方程工具，在理论上得到了行星运动规律。法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯利用微分方程各自计算出当时尚未发现的海王星的位置。
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程。常微分方程的形成及发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展紧密相关的。数学其他分支的新发展，如复变函数、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而今计算机的发展更是为常微分方程的理论研究及应用提供了很有力的工具。事实上，微分方程本身就是为了解决实际问题而设立的学科。
三、数学建模及其思想
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段，是数学知识与数学应用的桥梁。研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，利用数学的理论和方法去分析和解决问题。
四、在高职常微分方程教学中的渗透数学建模思想
大学生数学建模竞赛，目前规模虽然逐年扩大，但参与的人数有限，教师有必要在平时的高职数学教学中融入数学建模思想。
函数是事物内部联系在数量方面的反映，如何寻找变量之间的函数关系，在实际应用中有重要意义。在很多实际问题中，我们往往不能直接找出变量间的函数关系，但可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，从而得到微分方程模型。
1. 在建立常微分方程过程中，教师应注意数学建模思想的渗透。在讲解常微分方程模型的过程中，注重说明如何用数学语言阐述实际问题，如何合理假设，运用了哪些原理建立微分方程。例如：考虑一个由电阻R、电感L、电容C串联组成的简单闭合电路，如果在某一时刻将电容器充电使它得到一个电位差，然后断开电源。在电感的作用下这个闭合电路中开始了电流振荡。试建立电容器两极间的电位差和时间之间关系的微分方程。
先用数学语言表述实际问题：用Q (t) 表示在时刻t电容器上的电量，i (t) 表示在时刻t电路中的电流强度，C表示电容器的电容。v (t) 表示在时刻t电容器两极间的电位差，R表示电阻的阻值，L表示电感的电感系数，用v (t) 的函数规律来刻画该电路振荡的规律。
假设：忽略电感中的电阻，忽略电阻中的电感效应，忽略线路中的电阻，认为电容器两极间没有电流。
电学原理：按照总电动势i (t) R等于电容器的电位差v (t) 和电感电动势的总和。
建立模型:由电学原理可得因为, 其中所以从而得到v (t) 满足的微分方程
2. 在常微分方程教学中，教师应适当增加一些与全国大学生数学建模竞赛相关的微分方程模型，激发学生学习课程的兴趣。如介绍分析2006年全国大学生数学建模竞赛试题“SIR传染病模型”，2007年全国大学生数学建模竞赛试题“人口增长模型”。
3. 本着“面向社会，服务专业”，“改善思维，融入专业”的精神，为了提高高职数学教学实效，提高学生学习数学的积极性，感受数学工具的价值，在常微分数学教学中，教师应渗透建模思想，根据不同的专业，选择合适的例题和专题。如在我院电专业学生的教学中，我选择一些RL电路，RC电路的微分方程模型讲解，而在我院经济类专业学生的教学中，我则选取经济类背景的题目讲授，如各种经济增长的微分方程模型。
4. 教师应在学生学习中能够练中学、习中得，教为主导、学为主体，发挥学生的主体作用。教师应调动学生的积极性，让学生用微分方程探索解决日常生活中遇到的问题。如利用微分方程探求凶杀案件中谋杀发生的时间，降落伞降落速度与时间函数关系，减肥问题，等等。
另外教师还可在微分方程的教学中引入数学软件的使用。
总之，学习常微分方程的目的是提高学生的思维能力，运算能力，实际应用能力。教师在教学中渗入数学建模思想，能使学生的思考力、洞察力和创造力得到培养和提高的同时，增强学生应用数学思想、知识、方法解决实际问题的能力。
参考文献
[1]王高雄.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2006.
常微分方程的教学 篇8
目前, 高校很多课程都面临缩减学时的问题, 在安徽建筑大学常微分方程这门课只有40学时, 而教学实践表明, 要用40学时把这门课上完时间是相当紧张的。如果按照常规的方法教学, 则稳定性这部分内容都来不及讲, 而这部分内容是我们学习后继课程比较重要的一部分内容。怎样用较少的授课时间获得较高的教学质量? 在广大教师研究成果的基础上, 我结合在常微分方程教学过程中的感受和体会, 对于如何培养学生的学习兴趣, 提高教学质量提出看法和见解。
我认为教学效果不理想, 不能简单地归因于学生, 我自己常常在想一个问题:能考上安徽建筑大学的学生基础应该不会太差, 为什么有的学生有些课学不会呢? 所以还要从老师自身找原因。著名教育家陈鹤琴先生曾说:“没有教 不好的学生 , 只有不会 教的老师 。”我认为 这句话很 有道理。
1.高校常微分方程教学中存在的问题
(1) 学生没有学 习兴趣 , 学习的积 极性和主 动性不高。 爱因斯坦说:“兴趣是最好的老师。”这句话自从我有了自己的孩子后感受就更深刻。每个孩子都是不同的, 因此他们的兴趣也不尽相同, 通过对孩子观察, 我发现只要是他感兴趣的事情, 他都做得很好。所以培养学生的学习兴趣非常重要。目前, 高校学生学习的积极性、主动性不高似乎是一种普遍现象, 具体表现在平时很少有学生提问题, 有的学生不做作业, 多数学生只做老师布置的作业, 甚至出现抄袭的现象。对老师讲的知识自己不多练习、多思考, 很难做到举一反三, 融会贯通。出现这种现象, 我认为原因是多方面的, 比如, 很多大学生进入高校感觉很迷茫, 失去了努力的方向, 不知道为什么学习。另外, 现在大学毕业生就业压力很大, 而我们所教的一些课程, 尤其是一些数学基础课, 短时间内看不出它有什么用, 有些学生认为学得好不一定能找到好工作。当然这与教师的课堂教学引导也有很大关系。
(2) 教师教学 方法不当 。现在多数老师还是采取教师传授为主的教学模式, 学生只管听, 被动地接受知识。不管面对什么样的班级, 什么样的专业, 采取的都是千篇一律的教学内容和教学方法, 这样很难取得好的教学效果。我认为针对不同的学生, 应该采取不同的教学方法, 最好把我们所教的课程与他们的专业紧密联系起来。
(3) 教学内容 的处理不 合理。老师要想把一门课教 好 , 首先要对该课程了如指掌;其次, 对教材的处理很重要。怎样在规 定的课时 内把本门 课的内容 较好地呈 现给学生 , 是每一位教师都应该深思的问题。现在由于学时减少了, 如果不对教学内容进行恰当处理, 就根本无法达到大纲要求。
2.如何在常微分方程教学中解决问题
下面我结合自己的教学实践及安徽建筑大学常微分方程课程教学的现状, 从激发学生的学习兴趣出发, 提出解决教学过程中出现问题的措施。
(1) 重视绪论 课。好的开始是成功的一半。 绪论课是一门课的开始, 怎样通过绪论课激发学生学习常方程的兴趣是相当重要的。常微分方程是一门数学基础课, 按照课程的要求, 我们要把注意力集中到弄清常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法这两方面, 这是本课程的重点, 也是我们解决实际问题的必要工具。但考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程, 我们自然应该注意它的实际背景与应用。
我认为在常微分方程教学中绪论课是必不可少的。首先, 绪论介绍了常微分方程的一些实际背景和方程的建立问题, 说明学习常微分方程这门课背景与意义, 它对学生的学习态度、学习兴趣、学习效果都有着重大影响。其次, 绪论里介绍了○数学教学与研究2014年第54期周刊本课程的研究对象, 学习重点, 给学生一个整体的印象。另外, 绪论里通过具体的例子讲述了常微分方程的一些基本概念。这肯定比单纯的讲那些概念效果要好得多。
我校对数学建模比较重视, 也取得了较好的成绩。许多实际问题的数学模型恰好是微分方程, 解决这些实际问题都可以转化为常微分方程的求解问题。为了激发学生学习常微分方程的兴趣, 教师在讲授绪论课的过程中, 多介绍一些微分方程的来源, 如:人口增长模型、环境污染问题、遗传学模型及传染病模型等, 让学生知道微分方程的用途, 从而调动学生学习的积极性和主动性。
(2) 优化常微 分方程的 教学内容。 教师上课绝不是一字不差甚至连一个标点符号都不错的写在黑板上, 如果能做到这样, 就只能说明这位老师的记忆力很好, 不能说明他教得好, 当然也不一定有好的教学效果。教师不仅要对教学内容很熟悉, 当然这是最基本的要求, 最重要的是要根据常微分方程知识体系的要求合理分配教学时间, 详略得当地把教学内容呈现给学生, 启发学生完成学习任务, 充分发挥教为主导、学为主体的作用, 使学生的身心得到最大限度的发展。教师准备的教学内容要尽量精辟、简练。
由于课时减少, 如果教师不恰当地对教材内容进行处理, 就很难把大纲要求的内容讲完, 因此教师可以根据教材内容, 兼顾不同层次的学生, 对教学内容进行分块。我认为可以分为四个模块。第一个模块, 主要讲绪论, 把微分方程的基本概念, 微分方程的来源和应用讲清楚;第二个模块, 主要包括一阶微分方程的初等解法、高阶微分方程解的结构与解法和线性微分方程组的一般理论, 通过这一模块的讲解, 让学生掌握一阶微分方程的常见类型与解法, 知道高阶微分方程可以通过变换化为线性微分方程组, 这样高阶微分方程的许多定理和公式和线性微分方程组的相应定理和结论只要讲一个即可;第三个模块, 主要讲解一阶微分方程的解的存在定理和线性微分方程组的存在定理;把拉普拉斯变换求解方程和方程组, 非线性方程和稳定性理论及需要补充的知识放在第四模块。
(3) 分层教学 。由于个体差异及每个学生的基础、兴趣爱好及将来想从事的职业不同, 我认为采取一刀切的教学方式是不妥当的。按照一刀切的教学模式, 一个学生的某门课考不过并不能代表这个学生就是“差生”, 而现在多数大学生恰恰就因为某一门或两门课没考过拿不到学位。我认为在此政策下, 老师可以采取灵活的教学方法, 分层教学法不失为一种可行的方法。文献中作者通过具体实践说明了这一点。根据对常微分方程教学内容的分块, 我们可以把全班学生分层三个层次进行教学和考核, 把数学基础较薄弱, 以后从事的工作与常微分方程关系不大的作为第一层次。对于这一层次的学生, 我们着重考察他们对第二模块知识的掌握;把数学基础一般, 但对常微分方程感兴趣的同学作为第二层次, 对于他们可以考察对第二模块、第三模块知识的掌握情况, 着重培养他们解决实际问题的能力;最后, 把数学基础较好, 对常微分方程有浓厚兴趣, 以后可能从事这方面问题的研究的学生视为第三层次。对于这一类学生, 除了要求他们掌握大纲要求的基本内容外, 老师还可以引导他们看一些微分方程的其他书籍, 让他们了解有关微分方程的前沿问题, 培养他们的创新能力。
(4) 在整个教 学过程中渗 透数学建 模的思想 。一些学生缺乏学习兴趣, 就是因为他们看不到所学课程的用途。在常微分方程的教学中, 如果老师只是按照大纲要求把基本知识点讲完, 学生未必能掌握。实际上常微分方程是和实际问题联系紧密的一门数学课程, 我们可以把这些实际问题转化为数学模型, 然后用数学知识对实际问题作出解释。这样不仅能让学生掌握常微分方程的基础知识, 而且有利于激发学生的学习兴趣, 更利于提高学生解决实际问题的能力、创新能力和科研能力, 综合素质大大提高, 因此, 将数学建模思想融入常微分方程课程教学中能收到事半功倍的效果。
在常微分方程教学中融入的每一个数学模型都应反映出常微分方程知识的本质, 通过讲解这些模型让学生对常微分方程的知识点有充分的认识和理解, 激发他们学习常微分方程的兴趣。考虑到学生的心理特征和认知水平, 模型的选取应具有时代性、实际性和适用性。例如, 在讲常微分方程通解和特解的基本概念时, 可以介绍物体冷却过程的数学模型, 数学摆模型等, 从而使学生自然地理解常微分方程定解问题的概念;在讲解一阶微分方程的初等解法时, 可以介绍R-C电路模型, 放射性废物处理问题等;在讲一阶微分方程解的存在定理时, 可以介绍人口的发展预测模型;在讲高阶微分方程时, 可以引入悬链线问题, 质点摆动模型;在讲线性微分方程组时, 可以介绍药物在体内的分布与排除模型, 一般战争模型等;在介绍常微分方程定性和稳定性理论时, 可以分析捕食—被捕食模型。这样通过与实际的例子结合起来, 不但能使学生很容易理解书中的基本知识, 还能使他们了解学习微分方程的意义, 这样会大大调动他们学习的积极性和主动性。所以我认为在常微分方程教学过程中渗透数学建模的思想很重要。
3.结语
以上是我在广大教师研究成果的基础上, 结合自己在常微分方程教学过程中的感受和体会, 对于如何培养学生的学习兴趣, 提高教学质量提出的看法和见解。究竟如何提高常微分方程的教学质量, 我认为没有一个固定的模式, 它涉及很多方面, 如教学条件、学生的实际情况及对学生的培养要求等, 具体如何取得令人满意的教学效果, 我认为每个教师可以根据实际情况摸索出适合自己的教学方法。
参考文献
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