偏微分方程法

偏微分方程法（精选8篇）

偏微分方程法 篇1

摘要：管线水锤是复杂供水工程中常见的水力现象, 具有极大的危害性, 会对输水管线造成十分严重的破坏, 造成经济上的巨大损失。本文介绍了水锤方程的有限元解法, 包括适用于有限元法的流体流动方程描述, 有限元法的变分原理, 有限单元的分割, 刚度矩阵的构造, 并最终计算出水锤方程的有限元数值解。

关键词：水锤,有限元,数值模拟

在长距离输水管线的运行过程中, 对输水管线威胁最大的就是水流因运动状态变化而产生的水锤。水锤是管道中液体瞬变流动中的一种压力波, 它的产生是由于管道中某一截面液体流速发生了改变。这种改变可能是正常的流量调节, 或者是事故而使流量堵截, 从而使该处压力产生一个突然的跃升或下跌, 这个压力的瞬变波称为水锤。一旦出现水锤就经常会造成管线供水事故, 造成经济上的巨大损失, 因此对管线的水锤防护提出了很高的要求。

水锤模型通常用偏微分方程组描述为:

其中K为流体弹性模数, E管道材料杨氏模量, e为管壁厚度, C为与管道支撑方式和材料泊松比有关的常数。

偏微分方程一般没有解析解, 所以研究其数值近似解法成为关键性的问题, 接下来如图1所示, 用P1和P2来表示节点的流体水头或势。

最后合成单元方程以得到总体方程并引入边界条件

可见, 当管道中的流体在稳定流动时, 管道中流体速度处处相等, 可得方法的有效性。

本文在数学上推演了管道中水锤波的产生和传播, 最终计算出水锤方程的数值解, 对水锤方程的有限元数值解法进行了探索性的研究, 取得了较好的结果, 为城市安全供水提供了参考和一定的理论依据。

参考文献

[1]刘德有, 索丽生.变特性长管道内水流冲击气团的刚性数学模型.水动力学研究与进展.2005, (1) :44～49

[2]熊水应.多处水柱分离与断流弥合水锤综合防护问题及设计实例.给水排水.2003, (7) :1～4

[3]L.Daryl.有限元方法基础教程.电子工业出版社.2003:398～413.

[4]N.Eleodor, R.Farzad.A Heterogeneous Finite Element Method in Diffusion Theory.Annals of Nuclear Energy.2003, 30 (2) :317～347

偏微分方程法 篇2

(x,y)(x,y)其中它们具有二连续偏导数，而且在M0处的雅可比行列式。

(,)x yxy-yx(x,y)x y根据隐函数存在定理，在M0领域内存在逆变换

xx(,)yy(,)因为uxuxux，uyuyuyuxxu2x2uxxu2xuxxuxxuyyu2y2uyyu2yuyyuyyuxyuxxu(xyyx)uxyuxyuxy将代入①使其变为A11u2A12uA22uB1uB2uCuF经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以A11,A12,A22不全为。并可验证22A12A11A22(a12a11a22)(xyyx)2

2a11a22保持相同的这表明，在可逆变换下A12A11A22与a1222正负号。定理在M0的领域内，不为常数的函数(x,y)是偏微分方程a11x22a12xya22y20之解的充分必要条件是：(x,y)C是常微分方程的a11(dy)22a12dxdya22(dx)20通解。方程的类型及其标准形式根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程：dyaaaadyaaaa，dxadza***1221111(1)若在M0的邻域内a12a11a220时，方程可以化为

2uuB1uB2uCuF，该式称为双曲线方程的标准形式，其中B1,B2,C,F是自变量、的已知函数。(2)若M0的邻域内a12a11a220时，可将方程简化成2________A22uB1uB2uCuF，该式称为抛物型方程的标准形式，其中A22,B1,B2,C,F是自变量、的已知函数。(3)若M0的邻域内a12a11a220时，可将方程简化成2A11(uu)B1uB2uCuF，该式称为椭圆型方程的标准形式，其中A11,B1,B2,C,F是自变量、的已知函数。总之，根据a12a11a22的正负号能将

2a11uxx2a12uxya22uyyb1uxb2uycuf简化成三种标准形式。定义若在区域D中M0(x0,y0)点处满足a12a11a220或

2是，或是，则称方程a11uxx2a12uxya22uyyb1uxb2uycuf在该点M0处是双曲线的或是抛物型的，或是椭圆型的。二n个自变量的二阶线性方程方程的分类n个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成i,j1auubucuf①

ijxixji1ixinn其中aij，bi，c，f都是自变量x1,...,xn的已知函数，假设它们在n维空间中某一区域内连续，而且不全为。在区域内某点M0(x10,...,xn0)处，由二阶导数项的系数可构成相应的二次型q(1,...,n)aijxxT(aij)②

i,j1ijn其中(1,...,n)T，而(aij)是n阶对称矩阵。定义如果在点M0的二次型②为非退化且是不定的，即它恰有n个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程①在点M0是双曲线型。如果其中n1个非零特征值同号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点M0是狭义双曲线型的。如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点M0是超双曲线型的。定义如果在点M0的二次型②为非退化的，即它至少有一个零特征值，则称方程①在点M0是抛物型。如果只有一个零特征值，而另外n1个非零特征值同号，则称方程在点M0是狭义抛物型的。如果是其它有零特征值的情形，则称方程在点M0是广义抛物型的。定义如果在点M0的二次型②为正定或负定的，即它恰有n个同号的非零特征值，则称方程在M0点是椭圆型的。方程的简化当方程①中二阶偏导数项的系数aij全是常数时，相应的二次型②是常系数实二次型。根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换(p)，即ijpi1,...,n

i1ikkn其中(pij)是可逆矩阵，将二次型q(1,...,n)化成标准形Q(1,...,n)，即q(1,...,n)T(aij)T(pij)T(aij)(pij)112...nun2Q(1,...,n)

1 T其中(pij)(aij)(pij).，而且i或或。

 n可取转置矩阵(pij)T构造自变量可逆线性变换(pij)Tx，即

px，i1,...,n

ik1kikn就能将在区域内方程①简化为BCuF。

偏微分方程的应用 篇3

1 偏微分方程的发展

1746年, 达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中, 提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。由此开创了偏微分方程这门学科。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题, 提出了解弹性系振动问题的一般方法, 对偏微分方程的发展起了比较大的影响。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪, 那时候, 数学物理问题的研究繁荣起来了, 许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶, 他在从事热流动的研究中, 写出了《热的解析理论》, 在文章中他提出了三维空间的热方程, 也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的[3]。

2 偏微分方程在某些具体问题中的应用

2.1 偏微分方程在弦振动中的应用

弦是一个力学系统, 是一个质点组, 故它的运动符合牛顿第二定律。设弦在未受扰动时平衡位置是x轴, 其上各点均以该点的横坐标表示。弦上各点的位移假设发生在某个平面内垂直于x轴的方向上, t时刻的形状是曲线u=u (x, t) , 适当假设如下:

(Ⅰ) 弦是一个“柔软”的连续体, 之所以能维持其形状是由于弦能抵抗弯矩, 因此任何时刻弦的张力总是沿着弦的切线方向, 且弦的重力可忽略不计[4]。

(Ⅱ) 弦的振动发生在一个平面内, 且弦上各点的运动方向垂直于平衡位置。

(Ⅲ) 微小是指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很小, u (x, t) 是弦上横坐标为x的点在时刻t的位置。

(Ⅳ) 弦的扰动是小扰动, 即弦上各点的位移与弦长相比很小, 且振动平稳即弦在任意位置的倾角都很小, 这并不是说u (x, t) 的数值很小, 而是ux很小。

为了导出弦的横振动方程, 我们选择平面直角坐标系, 弦的平衡位置为x轴, 其两端分别固定在x=0及x=1处。

再证明弦上每点张力也不随地点的变化而变化。将点M1和M2的张力分别记为T1和T2, 张力的方向分别沿着弦在点M1和M2处的切方向。由于假定弦只做横向振动, 因此张力在x轴方向分量的代数和为零, 即有

T2cosβ-T1cosα=0 (α, β分别是曲线u (x, t) 的切线与x轴的夹角)

对于微小振动α≈0, β≈0, 所以cosα=cosβ, 于是可得T1=T2, 这说明张力不随地点变化。

综上所述张力为常数, 记为T。根据牛顿第二定律可以建立弦的横向振动方向。

作用在弦的这一微小元素上的垂直方向的力即为在横向分量的代数和为:

由于微小振动, 所以α, β都较小, 即:

应用微分中值定理可将上式化为:

(1) 弦自由振动的方程

当弦自由振动时, 不受外力, 由牛顿第二定律可知合力为惯性力, 可得下式:

(2) 弦强迫振动方程

若在弦的每单位长度上还有横向外力作用, 外力密度为F (x, t) , 由于弦段M1和M2很小, 其上各点处的外力密度近似相等, 故作用在弦段上的外力近似等于[1]:

2.2 偏微分方程在“人口”问题中的应用

人口问题是生物学家非常感兴趣的问题之一 (人口并不仅限于人, 它可以是任何一个与人有类似性质的生命群体) 。对人口的发展进行研究我们所采用威尔霍斯特模型:

威尔霍斯特模型是将生物群体中每一个个体视为同等地位来对待的, 而这个原则只适用于低等动物。对于人类群体来说, 必须考虑不同个体之间的差别, 特别是年龄因素的影响。人口的数量不仅和时间有关, 还应该和年龄有关, 而且人口的出生、死亡等都和年龄有关。不考虑年龄因素就不能正确的把握人口的发展动态。此时, 我们必须给出用偏微分方程描述的人口模型:

其中, p (t, x) 表示任意时刻t按年龄x的人口分布密度, d (x) 表示年龄为x的人口死亡率, b (x) 表示年龄为x (ɑ≤x≤A) 的人的生育率, ɑ表示可以生育的最低年龄, A表示人的最大年龄。

对于上述偏微分方程模型成立如下结论:

定理1:对偏微分方程的初值问题 (3) , 如果下列条件成立:

(Ⅰ) 在闭区间0到A上, p0 (x) ≥0且适当光滑;

则该初边值问题 (1) - (3) 存在唯一的整体解p (t, x) 同时满足p (t, x) ≥0且p (t, A) =0。

该模型在经过适当的简化假设后, 例如假设d (x) ≡d=常数, b (x) ≡b=常数, 就可以回到常微分方程模型。但在偏微分方程模型中d=d (x) 、b=b (x) 均与年龄有关, 这与现实情况相符。因此, 偏微分方程模型确实更能精确地描述人口分布的发展过程。

3 结论

随着物理学、医学、生物学等学科所研究的现象在广度和深度两方面的不断扩展, 偏微分方程的应用范围变得更加广泛。而从数学自身的角度来看, 偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、常微分方程、数值分析、微分几何等各方面均有不同程度的发展。所以从这个角度来说, 偏微分方程变成了数学的中心。由于同一类型的偏微分方程往往可以用来描述许多性质上颇不相同的自然现象, 所以对一些重要的偏微分方程开展研究, 可以有许多方面的应用前景, 并有望在新兴学科或边缘学科的开发中及时的发挥作用。

参考文献

[1]吴方同.数学物理方程[M].武汉:武汉大学出版社, 2001:18-36.

[2]朱长江, 邓引斌.偏微分方程教程[M].北京:科学出版社, 2005:106-112.

[3]李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社, 2002:19-26.

三类基本线性偏微分方程求解思路 篇4

Ax2+2Bxy+Cy2+…=0.

1.B2-AC<0:椭圆方程;

2.B2-AC=0:抛物线方程;

3.B2-AC>0:双曲线方程.

这三类线性偏微分方程是我们在学习中会最先遇到的, 而且在大学学习中基本就只是这三类方程.在物理上分类可以分为:1.调和方程;2.热传导方程;3.波动方程 (以下所说的偏微分方程只包含这三种类型) .

在学习中, 这三类方程都有公式可以求解, 但是在遇到特定的某一方程的时候, 往往不知道该使用哪一公式和如何使用公式, 并且面对边界条件和初始条件的时候不知道该如何处理.以下讲解这三种基本线性偏微分方程的基本思想和基本求解步骤.

一、判断方程的基本类型

一共三种基本类型, 根据其对时间求导的阶数分类.如果是对时间求导两次, 就是波动方程, 求导一次就是热传导方程, 如果在方程中不出现时间t, 就是调和方程.如:

uxx+uyy+uzz=f (x, y, z) , 是调和方程;

ut=k (uxx+uyy+uzz) , 是热传导方程;

utt=c2 (uxx+uyy+uzz) , 是波动方程.

二、判断边值和初值条件

无论是哪一类方程, 在确定方程类型之后, 都需要去判断其边值和初值条件.我们求解的时候都先求解方程是齐次的, 即方程右端为零.如果边值和初值条件都是齐次的, 那么我们应用基本的公式就可以求解, 如达朗贝尔公式、柯西公式.可是我们遇到的偏微分方程往往都不是齐次的, 这时候我们的想法只有一个:把它们都化为齐次的, 再应用基本公式求解.

把边值和初值化为齐次的顺序也是有讲究的.对于非齐次初值, 应用叠加原理, 可以处理非齐次初值问题.但是遇到非齐次边值问题, 就麻烦多了.我们需要设:undefined, 然后作变换V=u3-U (t) .u3是原来方程的解.这样V就满足齐次边界条件, 再应用一次达朗贝尔公式或者分离变量法就可以把问题解决.而在作变换之后, 方程的初值条件也改变了, 但是这个容易解决, 也是使用叠加原理就可以了.对于柯西问题 (就是没有边界条件) , 可以直接使用柯西公式或者达朗贝尔公式就可以了.

三、判断方程的齐次性

当方程的初边值条件都化为齐次的时候, 考虑方程的齐次性.若方程不是齐次的, 先解一个方程是齐次的, 初边值条件都是非齐次的问题, 解决方法上面已经列出.然后解一个方程是非齐次的, 初边值条件都是齐次的方程, 解决方法是运用齐次化原理.使用齐次化原理之后, 会出现一个齐次方程, 且非齐次初边值条件.那么我们就再一次运用解齐次方程的方法来求解即可.最后把齐次的和非齐次的方程的解加在一起就是偏微分方程的通解.

四、总 结

从上面的解方程的过程可以看出, 解基本的偏微分方程的思路:我们首先要了解方程的分类, 然后我们要尽量把方程化为齐次的初边值条件, 因为齐次的初边值条件的偏微分方程是我们唯一可以简单套用公式解出的.通过解题的思路可以看出, 求解非齐次初边值条件, 且非齐次的方程最为复杂, 但是所要做的东西都是很重复的, 要重复三次同样的解题步骤.而其他情况就稍微简单一点, 也是使用以上的解题思路可以解决.

我们只要认清我们要解的方程是什么, 坚定一个方向 (化为齐次初边值) , 这三类基本的偏微分方程就只是计算问题了.因为计算量较大, 我们要通过多做练习来巩固, 避免在计算方面出现错误.

参考文献

[1]孔德兴.偏微分方程.北京:高等教育出版社.

[2]谷超豪, 等.数学物理方程.北京:高等教育出版社.

[3]齐民友.广义函数与数学物理方程.北京:高等教育出版社.

偏微分方程法 篇5

现代复杂机电产品（如航空航天器、机器人、汽车等）通常是集机、电、液、控、磁等多学科领域于一体的复杂物理系统，经常表现出时间依赖（对时间导数）与空间依赖（对坐标偏导）共存的行为特征，而且可能呈现出多领域之间及时间域与空间域之间的耦合特性[1]。

物理系统行为规律的描述通常有两种主要的形式。系统在单纯时间域的物理行为往往由常微分方程（ordinary differential equation,ODE）描述，如果涉及代数约束，则形成微分代数方程（differential-algebraic equation,DAE),DAE是描述时间域物理规律的普遍形式，如机械多体、电子电路等系统规律的描述；若物理行为涉及空间场，出现对空间变量的偏导，则往往由偏微分方程（partial differential equation,PDE）描述，如位势、传热、波动等相关物理系统的规律描述[1]。

物理系统建模经历了从面向过程建模到面向对象建模、连续域与离散域分散建模到连续-离散混合建模、单一领域独立建模到多领域统一建模的发展阶段。Modelica语言是近年来欧洲仿真界为解决复杂物理系统建模与仿真问题而提出的一种多领域统一建模语言[2,3]，然而，目前Modelica语言只能对时间域的物理系统进行统一建模，还不能对空间域的物理系统进行描述，更无法对其进行仿真优化，这大大限制了Modelica语言的应用范围。为此，国外已有学者着手扩展Modelica语言以支持PDE问题的建模与仿真[4]。周凡利等[1]提出了解决该问题的思路，但没有具体实现。李志华等[5,6]也开展了这方面的研究工作，初步实现了Modelica语言对PDE问题的描述、建模以及仿真求解。然而现有的这些方法都是采用简单的有限差分法或线上法来求解具有规则区域（如矩形）的PDE问题，对于不规则区域的复杂PDE问题则无法求解。

本文在李志华等原有工作[5,6]的基础上，从多领域统一建模与仿真的角度，针对一般性的PDE问题（包括不规则求解区域、复杂边界条件、线性或非线性PDE系统），提出一种PDE与DAE的一致求解方法，为Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题奠定基础。

1 PDE的已有解法

PDE的解法主要分为解析法和数值法。到目前为止，只有有限形式的PDE能够得到解析解，在工程实际中一般采用数值求解。PDE的数值求解技术比较成熟，可用的方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法以及线上法等[7]。但有限差分法和线上法只适用于规则的求解区域，而有限元法和有限体积法是基于网格的计算方法，在某些工程问题（如动态裂纹扩展、高速撞击、冲击破坏、流固耦合等）中存在网格的束缚，使得计算遇到很大的困难，因此出现了无网格方法[8]。

无网格方法只需要节点的信息，不需要节点与节点之间相互联系的信息，这样很容易在复杂计算区域内布置节点。无网格方法的构建主要包括近似函数的构建方法和微分方程的离散方法两个部分，根据近似函数构建方法和微分方程离散方法的不同，可以构建出许多不同的无网格方法[8]。目前比较常用的近似函数的构建方法有：核函数近似方法、再生核近似方法、移动最小二乘近似方法、单位分解近似方法、径向基函数近似方法、点插值近似方法等。微分方程的离散方法包括加权残量法、配点法、Galerkin法以及局部Petrov-Galerkin法。

Khattak等[9]运用无网格配点法成功求解了一类非线性PDE;Yao等[10]应用全局和局部径向基函数来求解三维抛物线型PDE，并比较了这两种无网格方法的性能；Kamruzzaman等[11]利用多项式点插值和配点法来构造无网格方法，较好地求解了椭圆形、抛物线型和双曲线型PDE；吴宗敏[12]介绍了散乱数据拟合研究中的径向基函数方法，及其在散乱线性泛函信息插值、无网格PDE数值解中的应用；吴孝钿[13]应用Sobolev splines径向基函数和紧支柱正定径向基函数，得到求解PDE边值问题的无网格算法，并针对散乱数据的特点，给出了计算整体稠密度h的算法及如何通过加密节点使h值缩小的一个可行方法。然而上述无网格方法都是直接对时间变量和空间变量进行离散，只适合求解单纯的PDE问题，不适合求解复杂的PDE与DAE耦合问题。

本文借鉴传统的求解PDE的无网格方法，选用径向基函数和配点法来构建径向基函数配点无网格法，并对其进行改进，即只对空间变量离散而保持时间变量连续，直接将PDE在空间上（即配点处）离散成一系列的DAE，然后利用成熟的DAE求解器进行统一求解。

2 径向基函数配点无网格法

对于d维实空间中定义在域Ω上的PDE问题：

式中，L、B为微分算子；u(X,t）为未知量场函数；f(X,t）、g(X,t）为已知函数。

我们所构建的径向基函数配点无网格法的基本思想是：首先采用径向基函数构造近似函数，将未知量场函数的时-空变量分开，然后运用配点法对空间变量进行离散，而保持时间变量连续，这样就将PDE问题在空间上离散成一系列只含时间变量的DAE问题，具体过程如下。

首先在PDE的不规则求解区域Ω内和边界Ω上选定N=Nu+Nb个离散的节点（即配点），然后应用径向基函数构造u(X,t）的近似函数，并将其构成时间与空间分离的形式：

其中，N为节点总数；Nu为域内节点数；Nb为边界节点数；αi(t）为待定系数；Xi为实空间上的配点；φi（‖X-Xi‖）为径向基函数，φi（‖X-Xi‖）=φ（ri(X));ri(X）为Euclidian范数，ri(X）=‖X-Xi‖。

为确保解的唯一性，（ri(X））必须无条件正定，这种径向基函数包括Gaussian函数e-cr2、逆MQ函数（r2+c2）β（β<0）和紧支正定径向基函数等。本文采用Gaussian函数。

将式（2）代入式（1）中，并使这N个点满足式（1）的微分方程和边界条件，得到

当微分算子L、B为空间变量的偏导时，由于空间变量已与时间变量分离，且径向基函数φi（‖X-Xi‖）对空间变量可求导，在每一节点处，空间坐标已知，因此Lφ（ri(Xk））或Bφ（ri(Xk））就是一个已知值，这样，式（3）中就只剩下时间的导数，即每个节点处对应一个只与时间有关的DAE，这样就将PDE转化为一系列的DAE（具体过程可参见实例部分）。

进一步，PDE问题（式（1））可变为求解一个N×N的线性方程组问题，用矩阵表示为

其中，S为N×N的矩阵，S=(Ski)N×N;a为待求的系数向量，a=（α1(t），α2(t），…，αN(t));b=(b1,b2，…，bN）；且

由式（4）求出未知系数αi(t)(i=1,2，…，N）后，通过式（2）就可以获得域内和边界上任意一点的场函数值u(X,t）。

3 实例及求解过程

通过编程，利用径向基函数配点无网格法对PDE进行空间离散，自动将PDE问题转化成DAE问题。本文采用MATLAB编程，首先将带时间域的PDE问题进行时间与空间分离（若不带时间域则不用分离），然后通过径向基函数配点无网格法对空间变量进行离散，得到一系列离散点处的DAE，并把这些DAE数据用mat格式保存起来，接着将该mat格式文件导入到基于Modelica语言的多领域统一建模与仿真平台MWorks中[14]，并利用其成熟的DAE/ODE求解器进行PDE与DAE的一致求解。整个流程如图1所示。

以下面一个不规则区域的二维热传导问题为例来说明本文所提方法的有效性：

式中，T为某个时间值。

其求解区域由如下边界组成：

对该不规则求解区域用配点法进行不规则离散，得其节点分布如图2所示，其中域内节点数Nu=61，边界上节点数Nb=42。然后对这些节点从左到右、从下到上进行编号。

对该二维热传导PDE问题，运用上述PDE与DAE的一致求解方法和过程进行一致求解，令

对于求解域内的Nu个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nu），满足域内的偏微分方程，即

对于求解域边界上的Nb个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nb），满足边界条件方程，即

对于域内及边界上的所有离散节点（xi,yi(i=1,2，…，N),N=Nu+Nb，满足初始条件方程，即

本文采用Gaussian径向基函数，在各离散节点处均可计算出它们的值。这样，式（5）～式（7）中就只剩下时间的变量，即利用径向基函数配点无网格法已将PDE在离散节点处转化为一系列的DAE，然后就可以在MWorks环境中利用其自带的DAE求解器进行求解，从而方便地得出场函数在各个离散节点处随时间变化的函数值。图3表示的是场函数在编号为15节点处的仿真结果；图4所示为本文的数值解与其精确解u(x,y,t)=e-2tsin(x+y）之间的比较，此处t=0.5s。

由图4可以看出，本文的数值解uP与精确解uQ非常吻合，达到了较高的求解精度。进一步，定义本文的数值解与精确解之间的误差为，通过计算得到er=7.1×10-5。

4 求解精度影响因素分析

为了更好地应用径向基函数配点无网格法来求解PDE问题，本文研究了不同离散节点数、平均节点间距和径向基函数参数c的取值对求解精度的影响，如表1所示。

由表1可以看出，一般情况下，当参数不变时，离散节点数越大、平均节点间距越小，则求解精度越高。例如，在c=1不变的情况下，当节点数为14、平均节点间距为0.47时，误差为2.2475×10-4；而当节点数为30、平均节点间距为0.28时，误差则为1.7142×10-5。同时还可以看出，随着参数c的不断增大，求解精度并不是呈递增或递减状态，而是有起伏变化，只有当c取适当的值时，误差er才较小。由此可见，恰当确定径向基函数参数c的取值很关键，然而目前还没有规律可循，只能通过多次反复运算来确定一个合适的值。

5 结论

多领域统一建模要求用偏微分方程和微分代数方程来统一描述和统一求解，本文针对一般性的偏微分方程问题，提出了偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法，给出了该方法的实现过程，分析了离散节点数和径向基函数参数对求解精度的影响，得到如下结论：

(1）与传统的无网格方法相比，本文采用只对空间变量离散而保持时间变量连续的策略，能方便地将偏微分方程在离散节点处转化为一系列微分代数方程，从而在不改变Modelica语法的前提下，较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解，大大简化了复杂的偏微分方程与微分代数方程耦合问题的求解难度。

(2）实例结果表明，本文所提出的方法能较好地解决具有不规则求解区域的偏微分方程问题，且求解精度高，这有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。

摘要：Modelica语言是一种复杂物理系统多领域统一建模语言,但目前该语言只能解决由微分代数方程(DAE)描述的问题,而不能解决由偏微分方程(PDE)表达的问题。为此,提出一种偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法,利用所构建的径向基函数配点无网格法直接将偏微分方程在空间上离散成一系列的微分代数方程,然后采用成熟的微分代数方程求解器进行求解。实例结果表明,该方法在不改变Modelica语法的前提下,能较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解,且求解精度高、边界条件处理简单,有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。

偏微分方程法 篇6

商业图像是信息可视化的重要手段, 它能以直观形式给我们提供重要的信息, 对人们的视觉产生冲击, 直接影响商品的形象和销售情况。但是, 有很多商业原始图像由于受到成像设备和获取条件等多种因素的影响, 可能出现图像质量的退化, 甚至伪迹。因此, 用计算机对图像进行处理, 首先突出感兴趣对象区域或边缘从而为进一步分析和计算奠定基础要的任务就是对获取的图像进行增强信噪比的工作。即滤除图像的噪声和干扰。图像增强技术成为图像实际应用中不可或缺的一项工作。然而, 图像的平滑去噪和边缘细节的保持是一对矛盾关系, 尽管经典图像处理技术中存在不同的图像平滑技术, 但是大多数难以在平滑图像的同时很好地保持图像中的边缘。基于PDEs的图像处理方法在这个领域得到了广泛的重视, 因为它在平滑噪声的同时, 可以使边缘得到保持。

二、偏微分方程 (P D E s) 在图像增强中的应用

1. 均匀线性各向同性扩散模型

1983年, A.P.Witkin严格地介绍了尺度空间理论。将原始图像与具有不同尺度σ的高斯函数进行卷积, 得到源图像在不同尺度下的平滑图像, 即。令σ从0连续变化到∞, 所得到的图像序列可以用来描述尺度空间;J.J.Koenderink指出, 尺度空间等价于求解以原图像为初值的热传导方程的解:

然而, Gaussian滤波是各向同性扩散, 使得的在滤除噪声的同时不能很好地保留原有图像中的微细结构, 进而导致边缘定位提取的错误.所以改进滤波技术, 使得在滤噪同时保护重要边缘信息始终是关注的问题。

2. 各向异性扩散模型

1987年, P.Perona和J.Malik提出了保持边界的异性扩散方程代替Gaussian平滑滤波, 模型为:

其中, g为光滑非增函数, 且g (0) =1, g (x) >=0, g (x) →0 (x→+∞) , 函数g通常有形式:, K为梯度阙值。当g=g0时, 模型简化为经典的高斯滤波模型;当g=gk (k>0) 时, 模型允许根据图像梯度模大小实现有选择的扩散磨光.因为边缘具有较大的梯度模值, 所以取得较小值, 这样随着扩散时间的增加, 低对比度区域内部变得越来越平滑, 而高对比度区域 (如边界等) 则得以保持。

然而模型 (2) 仍存在严重缺陷:I各向异性扩散模型不但在垂直梯度方向扩散, 同时在梯度方向也在扩散, 而且与梯度幅值有关;II当初始图像u0被噪声严重污染时, 大幅度振荡, 进而大幅度振荡, 会导致大量虚假边缘的出现;III模型方程本身是不适定的问题, 在某些情况下可能得到不稳定解。在理论与实际应用中, 减少参数数量, 实现自适应滤波是快速、准确获取边缘信息的一个原则。

关于各向异性扩散滤波方法的数学模型, 许多人做了改进。为了更好地保持图像边缘, 1997年, C.Andrew等人提出在对图像进行平滑前先用非线性形态学算子对图像进行滤波, 从而在平滑图像的同时能很好保持局部边缘, 其数学模型如下:

其中 , Z是原始图像, K是梯度门限, 是数学形态学中的开?闭算子。用像素点的梯度大小与梯度门限K做比较来决定是否对该点进行扩散。如果该点的梯度门先幅度大于梯度门限K, 那么在迭代过程中起其幅度将随着迭代次数增加而增强, 达到锐化边缘的作用, 如果该点的梯度门限幅度小于梯度门限K, 那么在迭代过程中起其幅度将随着迭代次数增加而减弱, 达到平滑噪声的作用。所以梯度门限K的选取非常重要, 如果太大则会使图像的边缘模糊, 丢失掉有用的信息。如果太小噪声决不能被滤除。而且, 理论上说有些噪声点具有无限大的梯度, 这样的噪声就无法滤除, 而且还会得到增强。

3. 自适应选择光滑能力的模型

1992年, Catte等给出如下具有自适应选择光滑能力的模型

其中, 。是u与卷积实现的高斯光滑结果, 比高斯核尺寸小的噪声和细小的结构杯去除。模型提高了滤噪处理能力, 在一定程度上较好保护了重要的边缘信息.并建立了单一规则解.但由于较光滑算子△u的存在, 重要的边缘, 特别是角点和铰接点表现出明显的圆滑化。

1992年, Alvarez等人给出了如下各向异性扩散模型对 (5) 模型实行了改进:

其中表示梯度图像的高斯平滑, 如果点 (x, y) 位于图像灰度变化不大的区域, 则的值相对较小, 而g (s) 为非增函数, 因此, 相对较强;反之, 在图像的边缘点上, 的值相对较大, 则扩散速度相对较小。所以, 退化扩散模型的解使得图像边缘得以保持, 而灰度变化不大的地方更加平滑。

4. 一致增强性扩散模型

1995年, Weickert等人提出了一致增强性扩散, 扩散方程为:

其中D称为扩散矩阵, x= (x, y) ∈Ω, Ω为图像空间定义域.下面介绍由结构张量形成扩散张量的过程。

首先利用图像梯度▽u|形成张量积

其中 表示尺度为σ的高斯函数。

由于S0 w为半正定矩阵, 则具有互相正交的特征向量 进行卷积就可以得到结构张量

当 则为半正定矩阵, 其同样具有正交的特征向量 , 相应的特征值为

为 进行卷积就可以得到结构张量

当S1 1≠S2 2或者S1 2≠0时, Sρ则为半正定矩阵, 其同样具有正交的特征向量 , 相应的特征值为:

其中特征向量的差值 特征值λ1和反映当前象素在尺度为ρ的领域内特征方向上的平均对比度, 即在特征方向上灰度值的波动。在平滑区域有λ1=λ2=0, 直线边缘处有λ1>>λ2=0, 角点处有λ1≥λ2>>0, 所以λ2指向波动最小的方向, 既具有一致性结构的纹线的方向, 将ω1和ω2作为特征向量, 并令特征值为:

由此可构造扩散张量:

其中 所对应的特征向量与梯度▽uc方向平行, C2是一个与α有关的增函数, 其对应的特征向量与梯度方向垂直, 既具有一致性结构的纹线的方向, 由此构成的扩散张量作为扩散系数, 则形成了由式 (6) 给出的非线性各项异性扩散方程。

由于扩散系数为反映纹理方向的矩阵, 所以在去噪的同时可以保护线形纹理等一些重要结构, 通过C1和C2控制垂直纹线方向和沿着纹线方向的扩散程度, 在去噪的同时增强具有一致性的线形纹理, 称之为一致增强性扩散.该方法已被应用于指纹、纤维编织物图像的去噪, 已经取得了很好的效果.

三、结论

在图像处理中, 傅里叶分析 (小波分析) 与统计一直是主要的数学工具。最近十多年, 基于偏微分方程的图像处理技术开始作为一类新的重要的图像处理方法被提出与研究。这类技术在某些方面具有经典的图像处理算法不具备的优点, 被广泛的应用于各种图像的处理。本文介绍了在图像增强中各种偏微分方程模型的应用, 通过理论说明各种模型各自的特点, 其中一致增强性扩散模型集中了前几中模型的优点, 并且在去噪的同时对纹理的保持具有更好的效果, 具有更好的特性。理论和实验结果表明, 应用偏微分方程模型进行商业图像处理是一种有效的工具。

参考文献

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[2]Koenderink J J.The structure of images[J].Biological Cybernation, 1984;50:363～370

[3]Perona P, Malik J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1990;12 (7) :629-639

[4]Segall C A, Acton S T.Morphological anisotropic diffusion[A].Proceedings of International Conference on Image Processing[C].1997, 3:348～351

[5]Catte F, Lions P L, Morel J M, coll T.Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion[J].SIAM J Number Anal.1992, 29 (1) :182～193

[6]Alvarez L, Lions P L, Morel J M.Image Selective Smoothing and Edge Detection by Nonlinear Diffusion II[J].SIAM J Number Anal.1992, 29 (3) :845～866

[7]Weickert J.Multiscale texture enhancement[A].In:Proceedings of the6th International Conference on Computer Analysis of Images and Patterns[C], Prague Czech, 1995, 230～237

偏微分方程法 篇7

科学计算的主要问题是求解偏微分方程。随着计算机计算能力的加强和工程界要求更大的计算规模、更高的计算精度,如何在大规模的并行机上高效地求解偏微分方程,当计算的问题增大时,如何能稳定的计算下去,已成为数值算法研究的热点问题[1,2]。1973年,Stone提出了三对角系统线性方程组求解的一组有效的并行算法,1976年,Bunch和Rose介绍了预处理共轭斜量法(PCG法),近年来,又先后提出了一系列针对多处理机系统的同步和异步并行算法,如并行波前法、Givens变换方法、镜像影射法、逐次混乱松弛法等[3,4]。

1 偏微分方程的离散

对于偏微分方程的离散求解,差分格式是最常用的离散方法,并行差分格式的研究主要是采用区域分解的方法将计算区域分裂成若干块,然后对每一块采用一个人工的边界条件进行计算。构造并行差分格式时需要考虑以下3个因素:差分格式的稳定性、精度及在分布式并行计算机上执行时所需要的通信量。

考虑满足边界条件的偏微分方程:

$\{\begin{array}{l}C{}_{x}u{}_{xx}+C{}_{y}u{}_{yy}+(C{}_1\sin 2\text{π}x+C{}_2)u{}_x+\\ (D{}_1\sin 2\text{π}y+D{}_2)u{}_y+Eu=0,\\ u|{}_{x=0}=u|{}_{x=1}=F+\cos \text{π}y,\\ u|{}_{y=0}=u|{}_{y=1}=F+\cos \text{π}x\end{array}(1)$

式中:0≤x,y≤1。特别地,为了计算方便,不妨取Cx=Cy=C1=D1=E=1,C2=D2=0,F=10,利用有限差分法将式(1)进行离散,其中uxx,uyy采用二阶中心差商,ux,uy采用向前差商,步长为h=1/51,离散后差分格式为:

(1+hsin 2πih)ui+1,j-(4+hsin 2πih+sin 2πjh-h2)ui,j+ui-1,j+(1+hsin 2πjh)ui,j+1+ui,j-1=0,i,j=1,2,…,50。

算法1:并行差分格式

第1步,用界面点将整个区域分解成许多个子区域;第2步,在界面上用上述格式计算界面的值;第3步,每个子区域用界面值作为Dirichlet边界条件,计算子区域上的问题;第4步,计算下一个时间层。由于边界网格点的值已知,所以只需求解区域内部网格点处的值。下面对内部离散的网格点进行编号,编号规则为:按照从左至右、从下至上的顺序,节点号依次从1～2 500。

组装成线性方程组Ax=b,其中:

$\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccccc}B{}_1& C{}_1& & & \\ A{}_2& B{}_2& C{}_2& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & A{}_{49}& B{}_{49}& C{}_{49}\\ & & & A{}_{50}& B{}_{50}\end{array}\right]{}_{2500\times 2500}‚\mathit{b}=\left[\begin{array}{c}b{}_1\\ b{}_2\\ ⋮\\ b{}_{49}\\ b{}_{50}\end{array}\right]{}_{2500\times 1}$

且Ai,Ci分别为50×50阶对角阵;Bi为50×50阶三对角阵,bi为50×1阶矩阵,i=1,2,…,50。

2 多分裂迭代并行算法

2.1 多分裂迭代法

并行多分裂迭代法是由O′Leary和White于1985年基于矩阵多分裂提出的。其后许多国内外学者对此类方法进行了深入的研究,使其方法得到了长足的发展,如Bai,Bru等,Frommer等[3]。

求解大型线性方程组Ax=b,其中A是N×N非奇异矩阵。令Ml,Nl和El都是N×N矩阵,l=1,2,…,α,若满足:①A=Ml-Nl,M${}_l^{-1}$存在;$②{\displaystyle \sum _{l=1}^{\alpha }\mathit{E}}{}_l=\mathit{{\rm I}}(\mathit{{\rm I}}$为N×N单位矩阵),El是非负对角矩阵,则称三元组(Ml,Nl,El)为A的一个多分裂。多分裂迭代格式为:x(k+1)=Hx(k)+Gb,k=0,1,2,…;其中H称为多分裂迭代法的迭代矩阵;

算法2:多分裂迭代并行算法

第1步,任取初始近似x(0)∈RN,对k=0,1,2,…;第2步,对l=1,2,…,α,求解yl,Mlyl=Nlx(k)+b;第3步,算$x{}^{(k+1)}={\displaystyle \sum _{l=1}^{\alpha }\mathit{E}}{}_{l}y{}_l$;第4步,判断是否收敛。若收敛,则停止,否则转第2步。

2.2 多分裂迭代法并行性及通信分析

显然算法2有自然的并行性。由于在算法2中yl的计算是相互独立的,因此若有一台具有一个主机与p个处理机的并行机,则法2可这样并行实现:每台处理机处理一个局部迭代,并将局部迭代值yl送到主机,然后主机对yl(l=1,2,…,p)进行加权平均而得到整体迭代值x(k+1),最后将x(k+1)送回各处理机以开始下一步的局部迭代由于方程(1)离散后转化成为线性方程组的求解,而方程组的矩阵规模较大,计算量主要是由矩阵向量积的计算量控制,在并行机上实现时,注意到如果El的某个对角元素为零,则yl的相应分量无需计算,从而大大节省工作量。因此,应尽量选择El,使得各处理机间大致做到负载平衡,从而减少同步等待的开销。

3 相关结论

众所周知,并行算法的最根本目的是缩短计算机的解题时间和提高机器各处理单元的使用率。并行算法的效率定义为:EP=SP/P,其中P为处理机台数,SP为并行算法的加速比,SP=T1/TP。其中:T1为串行算法在单处理机上的执行时间;TP为并行算法在具有P台处理机的系统上的执行时间。下面将用3种并行迭代解法来求解方程式(1),并分析3种并行算法的加速比、并行效率及可扩展性等。

3.1 多分裂迭代并行算法求解结果

设迭代过程中收敛误差Epsilon=1.0×10-10,多分裂迭代并行算法求解偏微分方程计算结果如表1,偏微分方程式(1)用差分法求解数值模拟如图1所示。

从可扩展性来说,多分裂方法更有利于实现并行,即当问题的规模增大时计算时间递减、加速比呈递增趋势,这对求解大规模的线性方程组具有更好的适用性。

3.2 三种并行算法求解结果比较

利用红-黑排序法、共轭梯度法和多分裂迭代法求解方程式(1),3种方法加速比、并行效率如图2所示。

图2表明,利用共轭梯度求解时,要求系数矩阵A是对称正定的,而方程(1)在实际计算中,系数矩阵A并非对称正定,只是近似认为满足采用共轭梯度法的条件,最终影响问题数值解的精度。CG方法虽然对存储量要求较少,迭代次数较少,;但同时也存在一些缺陷:当并行机数目增加时,迭代过程中通信开销较大,使得并行系统的性能与其规模不能成线性比例增长;各个处理器间负载没有达到平衡,程序设计中0进程的任务过重,加速比却越来越小,CG方法并行效率低,可扩展性较差;红黑排序迭代次数居于其他方法中间,但在计算时不仅耗时,而且其加速比在并行机数目增加时呈现递减趋势,可扩展性较差。而多分裂迭代法随问题的规模增大时计算时间递减、加速比呈递增趋势,具有很好的扩展性。

参考文献

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[3]秦雨.有限元若干问题的并行处理[D].西安:西北工业大学,2007.

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[8]胡长军,张纪林.迭代空间交错条块并行Gauss-Seidel算法[J].软件学报,2008,19(6):1274-1282.

偏微分方程法 篇8

图像是我们人类进行传递信息的媒介, 因为图像的重要性所以图像逐渐作为一种科学研究的重要工具和对象。我们平时生活中常见的图像都会带有噪声, 因为各种各样的因素, 在图像的形成或者传输过程中, 外界噪声会导致图像的质量问题, 从而直接影响视觉效果, 那么下一步的处理将会更加复杂。不过高质量图像几乎是图像领域里必须要有的, 所以为了获得高质量清晰的图像, 需要对图像进行去噪处理。随着数学计算的发展, 偏微分方程开始被应用到图像处理等很多领域。本文主要介绍几种偏微分方程在图像去噪处理中的应用。

1 偏微分方程的简介

微积分方程这门学科产生于十八世纪, 欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程, 随后法国数学家也提出特殊的偏微分方程, 也就是由对弦震动的研究开创了偏微分方程。偏微分方程是一种重要的数学分析模型, 利用偏微分方程可以得出不同的处理方式。在过去二十多年中, 基于偏微分方程的图像处理方法是图像处理领域所得到的比较重要的成果, 应用了偏微分方程解决了图像处理过程中面对的很多难题。偏微分方程应用在图像处理中的步骤主要是通过以下几步, 第一步就是建立图像的偏微分方程模型, 然后就是对图像进行分析和研究。我们可以认为图像是实数域上关于x、y的二维函数, 因为图像并不是持续的, 而是分片连续的, 可以在连续区域内用函数逼近原始图像。另外, 还可以应用这种方式, 就是构造图像梯度的函数, 这样两种图像组成一个新的变分方程。模型的建立不是一蹴而就的, 而是需要考虑很多方面, 所以, 偏微分方程在图像处理中的应用也经过了很长的探索。

2 热扩散方程

根据物理模型建立热扩散方程, 其具体是:利用物理原理, 将一根钢管进行局部加热, 然后伴随着导热过程, 钢管的热量会逐渐慢慢消散均匀, 等到整个钢管的温度达到均匀。这种模型就应用在图像去噪中, 就像将图像的噪声扩散到整个图像的灰度道道一致。

我们就设原始图像为u (x.y.0) 。设u (x.y.t) 为时间t时的扩散图像, 那么计算图像的热扩散偏微分方程就是以下方程:

其中, △u (x, y, t) 为图像的算子, 其初始条件是u (x, y, 0) , 这样的方程解为以下公式:u (x, y, t) =Gt*u (x, y, 0)

从这个公式可以看出, 扩散后的图像相当于低通滤波器, 因此, 也看出热扩散方程就是同性扩散, 扩散随着时间的延长, 而逐渐过滤了图像的边缘。

3 P-M扩散方程

数学家Perona和Malik针对热扩散方程存在的缺陷, 而对其进行了相应的改进和完善, 因为热扩散方程是同性扩散, 而Perona和Malik将图像分片光滑的特征, 把图像分成不同的区域, 然后在区域内进行相同程度的扩散, 而区域外不进行扩散。

20世纪90年代, Perona和Malik在热扩散方程中引入了新的函数, c (x, y, t) 作为扩散系数, 当然初始条件还是u (x, y, 0) 。具体方程为:

方程中u表示输入图像, div表示散度算子, c表示扩散系数, ▽表示梯度。按照最初的预想, 图像的扩散程度应该是由c (x, y, t) 决定的。在灰度平坦区域, c (x, y, t) =1, 上述方程退化成热扩散方程, 对图像进行各向同性扩散。但是在灰度变化的区域, 就不会扩散。

在实际中, 我们无法提前知道图像的边缘信息, 此时我们就需要另外一个函数, 一般情况下图像的边缘信息是梯度的函数, 所以我们就用梯度算子建立一个函数, 定义g (s) 是光滑而又不增的函数, g (0) =1, 而且g (s) 大于等于0, 方程为:

在扩散函数g中, k是常量, 当然根据数学特性, k的值越大的话扩散也就越强, 当k是一个适当的取值时, 就能够增强边缘, 去除图像中的小区域。这种扩散函数g的取值范围都在0到1之间, 它随着梯度的增加而下降。作为一种局部自适应扩散方式, 它会在图像梯度变化不大的地方进行扩散, 反而在图像梯度变化大的地方不再进行扩散。

4 结果对比分析

我们选取一个灰度图像, 加入噪声。然后分别采用热扩散和P-M扩散方式来对图像进行去噪处理, 次数为十次和二十次。通过处理之后, 迭代十次之后的去噪效果基本相同, 但是通过迭代二十次之后, P-M扩散方法显然好于热扩散, 而且通过P-M扩散方法, 能够将噪声处理干净, 同时还保护了图片的边缘。首先, 运用热扩散方程法, 发现当迭代次数为五次逐渐上升到十次甚至十五次时, 噪声慢慢逐渐消失, 当迭代达到二十次时, 噪声几乎全没有了, 不过噪声消除的同时图像的边缘却被消除了, 而且一些细节性的信息也没有了, 最终导致图像很模糊了。

热扩散方程方法将图像去噪问题转化成了偏微分问题, 不过实验操作已经看出它的去噪效果并不明显, 边缘信息几乎都没有了。采用P-M扩散方程进行图像去噪, 效果显然高于热扩散方程, 噪声被去掉的同时还及时保护了边缘, 使得整个图像比较清晰。

但是P-M扩散方程存在一些问题, 主要是以下几点:第一, P-M扩散方程的数值很不稳定, 输入的微小变化可能带来结果的巨大变化。应用在图像处理过程中, 可以表现在输入两幅差异较小的含噪声图像, 经过P-M扩散方程得到一个去过噪声图像, 就会出现很大的差异。第二, 对于一些梯度很大的噪声, 因为P-M扩散方程而被错误的认为是边缘, 所以没有被去除, 相反得到了强化。第三, 利用P-M扩散方程处理后的图像会出现阶梯效应。第四, 利用P-M扩散方程, 针对一些细微的边缘和图像纹理, 和细节等信息, 因为梯度值太小而不容易被保留, 被消掉了。其原因主要是扩散系数函数对图像中的大变化和大特征比较敏感。在小区域内P-M扩散相当于同性扩散。不过这个也有解决的办法, 比如不对整个一幅图像进行P-M扩散方程处理, 而是将图像分解成不同的成分, 然后分别对其进行处理, 特殊对待, 对于纹理类的小细节我们可以将它们放大, 然后利用P-M扩散方程将它们捕捉到, 这样就能最大发挥P-M扩散方程的效果。

参考文献

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