线性偏微分方程（通用10篇）
线性偏微分方程 篇1
偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程, 描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系.符合这个关系的函数是方程的解.偏微分方程是一门重要的课程, 在数学和物理问题求解中起着重要的作用.我们现在讨论其最基本的三种线性偏微分方程的求解:抛物线方程、双曲线方程和椭圆方程.
Ax2+2Bxy+Cy2+…=0.
1.B2-AC<0:椭圆方程;
2.B2-AC=0:抛物线方程;
3.B2-AC>0:双曲线方程.
这三类线性偏微分方程是我们在学习中会最先遇到的, 而且在大学学习中基本就只是这三类方程.在物理上分类可以分为:1.调和方程;2.热传导方程;3.波动方程 (以下所说的偏微分方程只包含这三种类型) .
在学习中, 这三类方程都有公式可以求解, 但是在遇到特定的某一方程的时候, 往往不知道该使用哪一公式和如何使用公式, 并且面对边界条件和初始条件的时候不知道该如何处理.以下讲解这三种基本线性偏微分方程的基本思想和基本求解步骤.
一、判断方程的基本类型
一共三种基本类型, 根据其对时间求导的阶数分类.如果是对时间求导两次, 就是波动方程, 求导一次就是热传导方程, 如果在方程中不出现时间t, 就是调和方程.如:
uxx+uyy+uzz=f (x, y, z) , 是调和方程;
ut=k (uxx+uyy+uzz) , 是热传导方程;
utt=c2 (uxx+uyy+uzz) , 是波动方程.
二、判断边值和初值条件
无论是哪一类方程, 在确定方程类型之后, 都需要去判断其边值和初值条件.我们求解的时候都先求解方程是齐次的, 即方程右端为零.如果边值和初值条件都是齐次的, 那么我们应用基本的公式就可以求解, 如达朗贝尔公式、柯西公式.可是我们遇到的偏微分方程往往都不是齐次的, 这时候我们的想法只有一个:把它们都化为齐次的, 再应用基本公式求解.
把边值和初值化为齐次的顺序也是有讲究的.对于非齐次初值, 应用叠加原理, 可以处理非齐次初值问题.但是遇到非齐次边值问题, 就麻烦多了.我们需要设:undefined, 然后作变换V=u3-U (t) .u3是原来方程的解.这样V就满足齐次边界条件, 再应用一次达朗贝尔公式或者分离变量法就可以把问题解决.而在作变换之后, 方程的初值条件也改变了, 但是这个容易解决, 也是使用叠加原理就可以了.对于柯西问题 (就是没有边界条件) , 可以直接使用柯西公式或者达朗贝尔公式就可以了.
三、判断方程的齐次性
当方程的初边值条件都化为齐次的时候, 考虑方程的齐次性.若方程不是齐次的, 先解一个方程是齐次的, 初边值条件都是非齐次的问题, 解决方法上面已经列出.然后解一个方程是非齐次的, 初边值条件都是齐次的方程, 解决方法是运用齐次化原理.使用齐次化原理之后, 会出现一个齐次方程, 且非齐次初边值条件.那么我们就再一次运用解齐次方程的方法来求解即可.最后把齐次的和非齐次的方程的解加在一起就是偏微分方程的通解.
四、总 结
从上面的解方程的过程可以看出, 解基本的偏微分方程的思路:我们首先要了解方程的分类, 然后我们要尽量把方程化为齐次的初边值条件, 因为齐次的初边值条件的偏微分方程是我们唯一可以简单套用公式解出的.通过解题的思路可以看出, 求解非齐次初边值条件, 且非齐次的方程最为复杂, 但是所要做的东西都是很重复的, 要重复三次同样的解题步骤.而其他情况就稍微简单一点, 也是使用以上的解题思路可以解决.
我们只要认清我们要解的方程是什么, 坚定一个方向 (化为齐次初边值) , 这三类基本的偏微分方程就只是计算问题了.因为计算量较大, 我们要通过多做练习来巩固, 避免在计算方面出现错误.
参考文献
[1]孔德兴.偏微分方程.北京:高等教育出版社.
[2]谷超豪, 等.数学物理方程.北京:高等教育出版社.
[3]齐民友.广义函数与数学物理方程.北京:高等教育出版社.
[4]奥列尼克.偏微分方程讲义 (第3版) .北京:高等教育出版社.
线性偏微分方程 篇2
非线性脉冲时滞抛物型偏微分方程组边值问题的振动准则
考虑一类具非线性扩散系数的脉冲时滞抛物型偏微分方程组, 利用Green公式、垂直相加法和脉冲时滞微分不等式, 获得了该类方程组在Robin边值条件下所有解振动的充分判据. 所得结果充分反映了脉冲和时滞在振动中的影响作用.
作 者：罗李平LUO Li-ping 作者单位：衡阳师范学院,数学系,湖南,衡阳,421008刊 名：空军工程大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF AIR FORCE ENGINEERING UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：8(5)分类号：O175.26关键词：脉冲 时滞 抛物型偏微分方程组 振动性 非线性扩散系数
线性偏微分方程 篇3
关键词：精品课程；建设巩固；推广；扩大交流
结合近几年关于“偏微分方程”国家精品课程的申报与建设工作，在我们前期体验的基础上（见参考文献[4]），进一步就“偏微分方程”国家精品课程的建设、巩固与推广工作谈谈几点思考：思考我们前期建设的经验和不足，思考如何让我们的精品课程为全国同类课程起到更大的示范作用，思考能否把我们的课程打造成精品视频公开课。
一、前期建设经验的回顾
在借鉴诸多精品课程建设经验的基础上[1～3]，我校也取得了一些经验，概括如下四方面[4]：第一，在建设过程中一方面要全面围绕精品课程的整体目标落实好每一个环节，但又要凸显课程自身的特色。以我们申报和建设的“偏微分方程”国家精品课程为例，教学队伍建设是一个最大的特色。选择课程负责人，发挥引领示范作用。一名优秀的课程负责人应该是一流的科研工作者，一流的教学工作者，一流的管理工作者，这三个要素缺一不可。① 具备一流的科研水平，才能为课程组其他成员的研究指明方向，特别是对青年教师在疑难问题上进行关键性的指导，对外有很大的影响力，发挥该学科课程的学术带头作用。② 具备一流的教学经验和良好的师德师风，才能潜心搞好课堂教学，全面推动教学研究、改革和创新，对其他院校同类课程起到示范作用。③ 具备一流的管理能力，才可以领导课程组集体攻关，善于调动课程组教师的积极性、主动性，善于同课程组成员沟通；能够营造和谐愉快的工作氛围，对内具有很强的凝聚力。遴选主讲教师，促进优势互补。在课程组中，主讲教师既与课程负责人形成互补，各位主讲教师之间也应该形成优势互补。多元化的经验丰富的主讲教师使教学形式，教学方法呈现多样性。另外，主讲教师肩负着提高教学和培养青年教师的职责和使命。因此，主讲教师应专业基础深厚，知识结构全面，且有较高的素质和专业水平，经验丰富，注重把握学科发展的最新动态，密切关注学科的实践应用，能熟练应用现代教学手段和方法。除了搞好课堂教学以外，还十分注重教学研究、改革和创新。加强青年教师培养，推动可持续性发展。第二，对相关课程形成的课程群进行全面的建设，相互推动。我们所在的“数学与应用数学专业主干课程”国家级教学团队除了把与偏微分方程密切相关的课程“高等代数”、“数学分析”、“实变函数”建设成省级精品课程，“复变函数”建设成为校级精品课程外，正着力把“常微分方程”建设成为校级甚至国家精品课程。第三，科研成果的积累对教学起到促进作用，形成良性循环的发展态势。第四，通过硕士、博士学位点的建设，形成本硕博一体化的教学，进而推动精品课程的建设。
二、巩固与推广的探索
精品课程建设是一个复杂的系统工程，内容涉及之多，时间跨越之长。建设只是手段，全面推广才是目的。为此，需要持续性地加强巩固。以我们的“偏微分方程”国家精品课程的巩固和推广工作为例，从以下几个方面进行了探索。
1. 扩大交流——丰富交流形式、扩大交流范围
尽管我们的“偏微分方程”课程已通过批准立项国家精品课程建设项目近两年了，但课程组成员并没有松懈，而是倍加珍惜项目获得的来之不易，一直努力把该课程建设得更好，期望得到进一步的巩固和推广。更不因为我们的课程是“精品”，就故步自封，而是摆正姿态，仍然虚心地不断加强学习和交流。加强交流，便意味着要丰富交流形式，不拘一格，形式多样化：以网络资源形式的交流，以论文形式的交流，以讲座形式的交流，以会议形式的交流。同时，也扩大交流范围，打破领域、地域、时空等各种限制：从领域上扩大，从地域上扩大，从时间上扩大，从人力投入上扩大。我们的学习和交流手段主要是“走出去”和“请进来”。看似平常普通的两种交流形式，然而在我们“偏微分方程”课程组的巩固和推广过程中蕴含有很多内涵。
（1）走出去——积极开辟多渠道的交流。走出去，使我们放开眼界，扩大视野，多方面地学习。首先，学习不同学科精品课程建设的经验。尽管各学科之间有这样或那样的差异，然而从教学形式、教学规律和教学手段等方面都有许多共性。一方面，我们充分利用国家精品课程资源网站，经常广泛浏览各学科和专业精品课程建设的最新状况。另一方面，很多高校的网站都设有“精品课程”专栏，这些也成为我们不断学习的资源。其次，我们课程组成员积极主动参加各种教学会议。这些会议或者直接围绕精品课程建设为主题，或者间接为精品课程的建设借鉴经验。我们在会议期间，既积极与同行探讨教学中的各种实际问题，也主动向专家请教精品课程建设的宝贵经验。
学习只是“走出去”的目的之一。另一个很重要的目的是交流传播，让别人了解我们，更好地为我们的课程建设提出宝贵建议。一方面，把我们的课程网站“推销”出去，在让更多高校的学生和教师学习受益的同时，也有助于请这些学生和教师为我们的课程网站指出不足。另一方面，在各种会议上，课程组成员毫无保留地与同行和专家交流我们的课程建设状况，有助于得到全方位的指导和改进。
走出去，不仅仅局限于走出校门，而且要大踏步地走出国门。为了响应学校加快国际化办学的政策，课程组选派了一些青年教师赴美国霍普金斯大学、匹兹堡大学、普渡大学学习交流。以后还将陆续派出相关教师出国出境学习。他们在学习国外大学的先进教学理念和教学模式的同时，也将提高自身的英语水平，为将来开设双语教学甚至全英文教学奠定基础。
（2）请进来——主动邀请专家同行指导。请进来，便意味着我们要敞着大门搞教育，真情实意邀请同行专家莅临学校指导工作。我们于2010年5月，与学校教务处通力合作，成功举办了第七十四期“博雅大讲堂”，邀请了复旦大学李大潜院士为本科生作了“回望欧拉，学习欧拉”的公众报告。2011年5月，又请首届高等学校教学名师奖获得者、南开大学数学科学学院顾沛教授做客第九十二期“博雅大讲堂”，为我校师生带来了以“数学文化”为主题的精彩讲座。为了活跃学校学术氛围，拓展研究生国际视野，提高研究生科学修养，进一步促进学校发展空间提升，我校研究生院于2011年特设立了“华大论坛”，拟在全球范围内聘请知名专家来我校讲学。充分利用这一平台，又于2011年10月，与学校研究生院合作，成功举办了第一期“华大论坛”，再次邀请到李大潜院士为全体研究生和教师作了题为“漫谈偏微分方程的学习”的高端讲座。
除了个别邀请之外，为了争取到更多的专家同行来学校传经送宝，我们还积极筹备各种研讨会或教学会议，这方面的工作使我校数学与统计学学院实现了零的突破。2011年11月，华中师范大学成功举办了“国家级教学团队和精品课程建设研讨会”，邀请了国家级教学名师奖得主南昌大学朱传喜教授、南京理工大学杨孝平教授、华南师范大学尹景学教授以及福建省教学名师谭忠教授作会议特邀报告。这些名师都是偏微分方程及相关领域的知名专家。同时参加会议的专家学者还有包括来自武汉大学、武汉理工大学、中南财经政法大学、华中农业大学、湖北大学等高校的数学各分支的国家精品课程负责人、教学团队负责人以及各级教学名师等，他们为我们的精品课程建设献言献策，提出了许多可借鉴的宝贵经验。
2. 与时俱进——充分利用好各级资源和平台
我们在精品课程建设的过程中，始终坚持解放思想、实事求是和开拓进取，在大胆探索中继承发展，观念、行动和时代一起进步。关注学校、省教育厅和教育部的方针政策，适时适度作出调整。
（1）教育部启动的精品视频公开课于2012年将范围扩大至“211工程”高校。为深入贯彻胡锦涛总书记在庆祝清华大学建校100周年大会上的重要讲话精神及十七届六中全会精神，落实教育规划纲要，根据《教育部关于国家精品开放课程建设的实施意见》（教高〔2011〕8号），“十二五”期间，教育部、财政部实施的“高等学校本科教学质量与教学改革工程”中将立项建设1000门精品视频公开课。教育部高等教育司决定在“985工程”高校试点建设的基础上，2012年将精品视频公开课建设学校范围扩大至“211工程”高校及少量具有鲜明学科特色优势的高校，建设350门精品视频公开课。
其中“对已经建设的国家精品课程进行升级改造”是精品视频公开课建设的内容之一。这将为“211工程”高校的国家精品课程建设的进一步巩固和推广带来契机，同时也为我们这些“211工程”高校的国家精品课程负责人和建设者增添了一份责任和使命。为了抓住这一契机，为了承担起这份责无旁贷的使命，课程组立即作出响应，着手精心准备精品视频公开课的申报。申报的过程本身也是促进课程建设的过程，本着这样一种心态，课程负责人朱长江在偏微分方程课程部分录像的基础上，启动录制课程全程录像等工作。力争把我们的“偏微分方程”国家精品课程打造成精品视频公开课，为全国同类课程起到更大的示范作用。
（2）华中师范大学“十二五”发展规划中提出国际化信息化战略。除了用好教育部以及湖北省的有限资源。我们更要充分运用好学校的各级平台和政策。近期学校在“十二五”发展规划中提出国际化信息化战略，并相应采取了一系列举措。就国际化战略而言，学校加大了选派教师出国学习交流的力度。我们课程组充分利用这一政策，选派了多名课程组成员或与课程组密切相关的教师到国外知名大学学习交流。就信息化战略而言，这对我们数学这样的传统学科是一项新的挑战，但同时，也为精品课程建设提供了平台和必要的帮助。例如，在课程网站的维护等方面，将会提供更多的技术指导。为精品课程建设提供更多必要的软件和硬件设施。学院选派了课程组青年教师参加电子双板培训，这将会对提高该课程及相关课程的信息化教学起到积极的促进作用。
3. 群策群力——推动其他教学质量工程的建设工作
国家精品课程建设仅仅是“高等学校教学质量和教学改革工程”的一个方面。事实上，“高等学校教学质量和教学改革工程”是一个庞大而复杂的工程，涵盖内容之广泛，如国家级教学团队、双语教学示范课程、高等学校特色专业建设点、高等学校教学名师奖、大学生数学建模竞赛和万种新教材建设等。但每一个方面并不是独立的，而是相互促进的。其中许多工作需要我们去做，值得我们去做。我们“偏微分方程”国家精品课程中的许多成员在建设好“偏微分方程”国家精品课程的同时，充分利用这一平台，正承担着“高等学校教学质量和教学改革工程”的多方面工作，逐步推动了其他教学质量工程的建设工作。在我校数学与统计学学院营造了一股浓厚的教研教改之风，带动了其他教师在质量工程建设的其他方面不断出新思路、新成绩。这些也将为进一步申报教学成果奖和铸就教学名师起到积极的推动作用。
三、课程建设后期展望
我们将进一步充分利用华中师范大学偏微分方程教
学研究团队强大的师资力量，在已取得成果的基础上，紧紧围绕复合型高素质数学人才培养这一根本任务，以提高本科教学质量为核心，大力提升人才培养水平，充分发挥“偏微分方程”国家级项目在推进教学改革、加强教学建设、提高教学质量上的引领、示范、辐射作用，更好地满足全国经济社会发展对应用型人才、复合型人才和拔尖创新人才的需求。按照资源共享的技术标准，对已经建设的国家精品课程进行升级改造，更新完善课程内容，建设成资源共享课程。借着学校国际化办学战略的实施，利用大部分教师都有出国出境访问讲学的经历，有些教师还在境外从事过偏微分方程课程的教学这一特色，力争把偏微分方程建设成为国家级双语教学示范课程。
参考文献：
[1] 柳礼泉，丁蕾. 精品课程和国家精品课程建设研究综述[J]. 大学教育科学，2010(5)：34-37.
[2] 王晶晶，李建辉. 高等学校精品课程教师队伍建设之探究[J]. 漳州师范学院学报(哲学社会科学版)，2010(2)：132-136.
[3] 柳礼泉. 精品课程建设与一流师资队伍培养[J]. 高等教育研究，2007(3)：77-81.
[4] 朱长江，阮立志. 关于“偏微分方程”国家精品课程建设的几点体会[J]. 数学教育学报，2011，20(4)：84-86.
[5] 宁芬. 关于精品课程建设的思考[J]. 中国教育导刊，2005 (4)：15-16.
[基金项目：教育部财政部2010年度国家精品课程“偏微分方程”建设项目（教高函[2010]14号）；教育部财政部2010年度国家级教学团队“数学与应用数学专业主干课程”建设项目（教高函[2010]12号）；湖北省教育厅2010年高等学校教学研究项目“数学专业分析类课程群教学的综合研究与实践”（项目批号：2010070）；国家自然科学基金项目：11071093，10901068]
偏微分方程的应用 篇4
1 偏微分方程的发展
1746年, 达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中, 提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。由此开创了偏微分方程这门学科。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题, 提出了解弹性系振动问题的一般方法, 对偏微分方程的发展起了比较大的影响。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪, 那时候, 数学物理问题的研究繁荣起来了, 许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶, 他在从事热流动的研究中, 写出了《热的解析理论》, 在文章中他提出了三维空间的热方程, 也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的[3]。
2 偏微分方程在某些具体问题中的应用
2.1 偏微分方程在弦振动中的应用
弦是一个力学系统, 是一个质点组, 故它的运动符合牛顿第二定律。设弦在未受扰动时平衡位置是x轴, 其上各点均以该点的横坐标表示。弦上各点的位移假设发生在某个平面内垂直于x轴的方向上, t时刻的形状是曲线u=u (x, t) , 适当假设如下:
(Ⅰ) 弦是一个“柔软”的连续体, 之所以能维持其形状是由于弦能抵抗弯矩, 因此任何时刻弦的张力总是沿着弦的切线方向, 且弦的重力可忽略不计[4]。
(Ⅱ) 弦的振动发生在一个平面内, 且弦上各点的运动方向垂直于平衡位置。
(Ⅲ) 微小是指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很小, u (x, t) 是弦上横坐标为x的点在时刻t的位置。
(Ⅳ) 弦的扰动是小扰动, 即弦上各点的位移与弦长相比很小, 且振动平稳即弦在任意位置的倾角都很小, 这并不是说u (x, t) 的数值很小, 而是ux很小。
为了导出弦的横振动方程, 我们选择平面直角坐标系, 弦的平衡位置为x轴, 其两端分别固定在x=0及x=1处。
再证明弦上每点张力也不随地点的变化而变化。将点M1和M2的张力分别记为T1和T2, 张力的方向分别沿着弦在点M1和M2处的切方向。由于假定弦只做横向振动, 因此张力在x轴方向分量的代数和为零, 即有
T2cosβ-T1cosα=0 (α, β分别是曲线u (x, t) 的切线与x轴的夹角)
对于微小振动α≈0, β≈0, 所以cosα=cosβ, 于是可得T1=T2, 这说明张力不随地点变化。
综上所述张力为常数, 记为T。根据牛顿第二定律可以建立弦的横向振动方向。
作用在弦的这一微小元素上的垂直方向的力即为在横向分量的代数和为:
由于微小振动, 所以α, β都较小, 即:
应用微分中值定理可将上式化为:
(1) 弦自由振动的方程
当弦自由振动时, 不受外力, 由牛顿第二定律可知合力为惯性力, 可得下式:
(2) 弦强迫振动方程
若在弦的每单位长度上还有横向外力作用, 外力密度为F (x, t) , 由于弦段M1和M2很小, 其上各点处的外力密度近似相等, 故作用在弦段上的外力近似等于[1]:
2.2 偏微分方程在“人口”问题中的应用
人口问题是生物学家非常感兴趣的问题之一 (人口并不仅限于人, 它可以是任何一个与人有类似性质的生命群体) 。对人口的发展进行研究我们所采用威尔霍斯特模型:
威尔霍斯特模型是将生物群体中每一个个体视为同等地位来对待的, 而这个原则只适用于低等动物。对于人类群体来说, 必须考虑不同个体之间的差别, 特别是年龄因素的影响。人口的数量不仅和时间有关, 还应该和年龄有关, 而且人口的出生、死亡等都和年龄有关。不考虑年龄因素就不能正确的把握人口的发展动态。此时, 我们必须给出用偏微分方程描述的人口模型:
其中, p (t, x) 表示任意时刻t按年龄x的人口分布密度, d (x) 表示年龄为x的人口死亡率, b (x) 表示年龄为x (ɑ≤x≤A) 的人的生育率, ɑ表示可以生育的最低年龄, A表示人的最大年龄。
对于上述偏微分方程模型成立如下结论:
定理1:对偏微分方程的初值问题 (3) , 如果下列条件成立:
(Ⅰ) 在闭区间0到A上, p0 (x) ≥0且适当光滑;
则该初边值问题 (1) - (3) 存在唯一的整体解p (t, x) 同时满足p (t, x) ≥0且p (t, A) =0。
该模型在经过适当的简化假设后, 例如假设d (x) ≡d=常数, b (x) ≡b=常数, 就可以回到常微分方程模型。但在偏微分方程模型中d=d (x) 、b=b (x) 均与年龄有关, 这与现实情况相符。因此, 偏微分方程模型确实更能精确地描述人口分布的发展过程。
3 结论
随着物理学、医学、生物学等学科所研究的现象在广度和深度两方面的不断扩展, 偏微分方程的应用范围变得更加广泛。而从数学自身的角度来看, 偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、常微分方程、数值分析、微分几何等各方面均有不同程度的发展。所以从这个角度来说, 偏微分方程变成了数学的中心。由于同一类型的偏微分方程往往可以用来描述许多性质上颇不相同的自然现象, 所以对一些重要的偏微分方程开展研究, 可以有许多方面的应用前景, 并有望在新兴学科或边缘学科的开发中及时的发挥作用。
参考文献
[1]吴方同.数学物理方程[M].武汉:武汉大学出版社, 2001:18-36.
[2]朱长江, 邓引斌.偏微分方程教程[M].北京:科学出版社, 2005:106-112.
[3]李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社, 2002:19-26.
线性偏微分方程 篇5
偶数阶中立型偏微分方程系统的振动准则
研究一类偶数阶中立型偏微分方程系统的振动性,利用Green公式和微分不等式方法,建立了该类系统在两类不同边值条件下所有解振动的.充分判据,主要结果由一些实例加以阐明.
作 者：罗李平王艳群 LUO Li-ping WANG Yan-qun 作者单位：衡阳师范学院数学系,湖南,衡阳,421008刊 名：广西大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：33(2)分类号：O175.4关键词：偶数阶 中立型 偏微分方程系统 振动
线性偏微分方程 篇6
现代复杂机电产品（如航空航天器、机器人、汽车等）通常是集机、电、液、控、磁等多学科领域于一体的复杂物理系统，经常表现出时间依赖（对时间导数）与空间依赖（对坐标偏导）共存的行为特征，而且可能呈现出多领域之间及时间域与空间域之间的耦合特性[1]。
物理系统行为规律的描述通常有两种主要的形式。系统在单纯时间域的物理行为往往由常微分方程（ordinary differential equation,ODE）描述，如果涉及代数约束，则形成微分代数方程（differential-algebraic equation,DAE),DAE是描述时间域物理规律的普遍形式，如机械多体、电子电路等系统规律的描述；若物理行为涉及空间场，出现对空间变量的偏导，则往往由偏微分方程（partial differential equation,PDE）描述，如位势、传热、波动等相关物理系统的规律描述[1]。
物理系统建模经历了从面向过程建模到面向对象建模、连续域与离散域分散建模到连续-离散混合建模、单一领域独立建模到多领域统一建模的发展阶段。Modelica语言是近年来欧洲仿真界为解决复杂物理系统建模与仿真问题而提出的一种多领域统一建模语言[2,3]，然而，目前Modelica语言只能对时间域的物理系统进行统一建模，还不能对空间域的物理系统进行描述，更无法对其进行仿真优化，这大大限制了Modelica语言的应用范围。为此，国外已有学者着手扩展Modelica语言以支持PDE问题的建模与仿真[4]。周凡利等[1]提出了解决该问题的思路，但没有具体实现。李志华等[5,6]也开展了这方面的研究工作，初步实现了Modelica语言对PDE问题的描述、建模以及仿真求解。然而现有的这些方法都是采用简单的有限差分法或线上法来求解具有规则区域（如矩形）的PDE问题，对于不规则区域的复杂PDE问题则无法求解。
本文在李志华等原有工作[5,6]的基础上，从多领域统一建模与仿真的角度，针对一般性的PDE问题（包括不规则求解区域、复杂边界条件、线性或非线性PDE系统），提出一种PDE与DAE的一致求解方法，为Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题奠定基础。
1 PDE的已有解法
PDE的解法主要分为解析法和数值法。到目前为止，只有有限形式的PDE能够得到解析解，在工程实际中一般采用数值求解。PDE的数值求解技术比较成熟，可用的方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法以及线上法等[7]。但有限差分法和线上法只适用于规则的求解区域，而有限元法和有限体积法是基于网格的计算方法，在某些工程问题（如动态裂纹扩展、高速撞击、冲击破坏、流固耦合等）中存在网格的束缚，使得计算遇到很大的困难，因此出现了无网格方法[8]。
无网格方法只需要节点的信息，不需要节点与节点之间相互联系的信息，这样很容易在复杂计算区域内布置节点。无网格方法的构建主要包括近似函数的构建方法和微分方程的离散方法两个部分，根据近似函数构建方法和微分方程离散方法的不同，可以构建出许多不同的无网格方法[8]。目前比较常用的近似函数的构建方法有：核函数近似方法、再生核近似方法、移动最小二乘近似方法、单位分解近似方法、径向基函数近似方法、点插值近似方法等。微分方程的离散方法包括加权残量法、配点法、Galerkin法以及局部Petrov-Galerkin法。
Khattak等[9]运用无网格配点法成功求解了一类非线性PDE;Yao等[10]应用全局和局部径向基函数来求解三维抛物线型PDE，并比较了这两种无网格方法的性能；Kamruzzaman等[11]利用多项式点插值和配点法来构造无网格方法，较好地求解了椭圆形、抛物线型和双曲线型PDE；吴宗敏[12]介绍了散乱数据拟合研究中的径向基函数方法，及其在散乱线性泛函信息插值、无网格PDE数值解中的应用；吴孝钿[13]应用Sobolev splines径向基函数和紧支柱正定径向基函数，得到求解PDE边值问题的无网格算法，并针对散乱数据的特点，给出了计算整体稠密度h的算法及如何通过加密节点使h值缩小的一个可行方法。然而上述无网格方法都是直接对时间变量和空间变量进行离散，只适合求解单纯的PDE问题，不适合求解复杂的PDE与DAE耦合问题。
本文借鉴传统的求解PDE的无网格方法，选用径向基函数和配点法来构建径向基函数配点无网格法，并对其进行改进，即只对空间变量离散而保持时间变量连续，直接将PDE在空间上（即配点处）离散成一系列的DAE，然后利用成熟的DAE求解器进行统一求解。
2 径向基函数配点无网格法
对于d维实空间中定义在域Ω上的PDE问题：
式中，L、B为微分算子；u(X,t）为未知量场函数；f(X,t）、g(X,t）为已知函数。
我们所构建的径向基函数配点无网格法的基本思想是：首先采用径向基函数构造近似函数，将未知量场函数的时-空变量分开，然后运用配点法对空间变量进行离散，而保持时间变量连续，这样就将PDE问题在空间上离散成一系列只含时间变量的DAE问题，具体过程如下。
首先在PDE的不规则求解区域Ω内和边界Ω上选定N=Nu+Nb个离散的节点（即配点），然后应用径向基函数构造u(X,t）的近似函数，并将其构成时间与空间分离的形式：
其中，N为节点总数；Nu为域内节点数；Nb为边界节点数；αi(t）为待定系数；Xi为实空间上的配点；φi（‖X-Xi‖）为径向基函数，φi（‖X-Xi‖）=φ（ri(X));ri(X）为Euclidian范数，ri(X）=‖X-Xi‖。
为确保解的唯一性，（ri(X））必须无条件正定，这种径向基函数包括Gaussian函数e-cr2、逆MQ函数（r2+c2）β（β<0）和紧支正定径向基函数等。本文采用Gaussian函数。
将式（2）代入式（1）中，并使这N个点满足式（1）的微分方程和边界条件，得到
当微分算子L、B为空间变量的偏导时，由于空间变量已与时间变量分离，且径向基函数φi（‖X-Xi‖）对空间变量可求导，在每一节点处，空间坐标已知，因此Lφ（ri(Xk））或Bφ（ri(Xk））就是一个已知值，这样，式（3）中就只剩下时间的导数，即每个节点处对应一个只与时间有关的DAE，这样就将PDE转化为一系列的DAE（具体过程可参见实例部分）。
进一步，PDE问题（式（1））可变为求解一个N×N的线性方程组问题，用矩阵表示为
其中，S为N×N的矩阵，S=(Ski)N×N;a为待求的系数向量，a=（α1(t），α2(t），…，αN(t));b=(b1,b2，…，bN）；且
由式（4）求出未知系数αi(t)(i=1,2，…，N）后，通过式（2）就可以获得域内和边界上任意一点的场函数值u(X,t）。
3 实例及求解过程
通过编程，利用径向基函数配点无网格法对PDE进行空间离散，自动将PDE问题转化成DAE问题。本文采用MATLAB编程，首先将带时间域的PDE问题进行时间与空间分离（若不带时间域则不用分离），然后通过径向基函数配点无网格法对空间变量进行离散，得到一系列离散点处的DAE，并把这些DAE数据用mat格式保存起来，接着将该mat格式文件导入到基于Modelica语言的多领域统一建模与仿真平台MWorks中[14]，并利用其成熟的DAE/ODE求解器进行PDE与DAE的一致求解。整个流程如图1所示。
以下面一个不规则区域的二维热传导问题为例来说明本文所提方法的有效性：
式中，T为某个时间值。
其求解区域由如下边界组成：
对该不规则求解区域用配点法进行不规则离散，得其节点分布如图2所示，其中域内节点数Nu=61，边界上节点数Nb=42。然后对这些节点从左到右、从下到上进行编号。
对该二维热传导PDE问题，运用上述PDE与DAE的一致求解方法和过程进行一致求解，令
对于求解域内的Nu个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nu），满足域内的偏微分方程，即
对于求解域边界上的Nb个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nb），满足边界条件方程，即
对于域内及边界上的所有离散节点（xi,yi(i=1,2，…，N),N=Nu+Nb，满足初始条件方程，即
本文采用Gaussian径向基函数，在各离散节点处均可计算出它们的值。这样，式（5）～式（7）中就只剩下时间的变量，即利用径向基函数配点无网格法已将PDE在离散节点处转化为一系列的DAE，然后就可以在MWorks环境中利用其自带的DAE求解器进行求解，从而方便地得出场函数在各个离散节点处随时间变化的函数值。图3表示的是场函数在编号为15节点处的仿真结果；图4所示为本文的数值解与其精确解u(x,y,t)=e-2tsin(x+y）之间的比较，此处t=0.5s。
由图4可以看出，本文的数值解uP与精确解uQ非常吻合，达到了较高的求解精度。进一步，定义本文的数值解与精确解之间的误差为，通过计算得到er=7.1×10-5。
4 求解精度影响因素分析
为了更好地应用径向基函数配点无网格法来求解PDE问题，本文研究了不同离散节点数、平均节点间距和径向基函数参数c的取值对求解精度的影响，如表1所示。
由表1可以看出，一般情况下，当参数不变时，离散节点数越大、平均节点间距越小，则求解精度越高。例如，在c=1不变的情况下，当节点数为14、平均节点间距为0.47时，误差为2.2475×10-4；而当节点数为30、平均节点间距为0.28时，误差则为1.7142×10-5。同时还可以看出，随着参数c的不断增大，求解精度并不是呈递增或递减状态，而是有起伏变化，只有当c取适当的值时，误差er才较小。由此可见，恰当确定径向基函数参数c的取值很关键，然而目前还没有规律可循，只能通过多次反复运算来确定一个合适的值。
5 结论
多领域统一建模要求用偏微分方程和微分代数方程来统一描述和统一求解，本文针对一般性的偏微分方程问题，提出了偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法，给出了该方法的实现过程，分析了离散节点数和径向基函数参数对求解精度的影响，得到如下结论：
(1）与传统的无网格方法相比，本文采用只对空间变量离散而保持时间变量连续的策略，能方便地将偏微分方程在离散节点处转化为一系列微分代数方程，从而在不改变Modelica语法的前提下，较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解，大大简化了复杂的偏微分方程与微分代数方程耦合问题的求解难度。
(2）实例结果表明，本文所提出的方法能较好地解决具有不规则求解区域的偏微分方程问题，且求解精度高，这有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。
摘要：Modelica语言是一种复杂物理系统多领域统一建模语言,但目前该语言只能解决由微分代数方程(DAE)描述的问题,而不能解决由偏微分方程(PDE)表达的问题。为此,提出一种偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法,利用所构建的径向基函数配点无网格法直接将偏微分方程在空间上离散成一系列的微分代数方程,然后采用成熟的微分代数方程求解器进行求解。实例结果表明,该方法在不改变Modelica语法的前提下,能较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解,且求解精度高、边界条件处理简单,有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。
线性偏微分方程 篇7
由于获取和传输过程往往会对图像引入噪声,使得图像的视觉效果受到严重的影响,对图像后继处理和分析带来很大不便。图像平滑作为图像的预处理过程,平滑质量的好坏直接影响到后继处理和分析的结果。传统的图像平滑算法有均值滤波、中值滤波和高斯滤波等,这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征,如边缘、纹理等。
基于偏微分方程(PDE)的图像处理方法已经在图像处理领域得到了广泛应用。偏微分方程方法与通常的图像处理算法相比,虽然计算量较大,耗时较长,但由于其灵活的拓扑学结构、广阔的应用领域逐渐受到人们的重视。
图像平滑作为图像处理重要的环节,基于偏微分方程的图像平滑方法得到了迅速的发展。本文在介绍经典的基于偏微分方程的图像平滑方法基础上,详细分析各种模型的优缺点,以便为图像平滑方法的改进提供一些启示。
2 整体变分(TV)平滑模型[1,2]
在基于偏微分方程方法的平滑模型中,整体变分(TV,Total Variation)模型表现出色。设Ω是Rn中的有界开子集,μ为局部可积函数,其整体变分定义为
有界变差函数空间可定义为
设μ0为观测到的图像,于是μ0=μ+n,则:
定义图像的能量函数:
其中λ为拉格朗日乘数。
由变分法知识,能量泛函取得极小值得必要条件是满足Euler-Lagrange方程,即
由梯度下降法,则得到TV平滑模型:
对|▽μ|进行正则化,可得到正则化模型:
由有限差分法得到离散格式:
3 四阶偏微分方程平滑模型
TV模型的偏微分方程是一个二阶微分方程,为了解决二阶偏微分方程处理时对图像分块产生的阶梯效应,可以采用四阶偏微分方程。
定义图像的正则能量为:
由变分法知识,得欧拉公式为:
则梯度下降模型为:
定义g(s)=f'(s)/s并规定:
则(10)可化为:
其离散过程为:
1)计算u的二阶差分:
2)计算函数g:
3)计算函数g的二阶差分:
4)离散格式为:
4 基于各向异性扩散方程的图像平滑
4.1 P-M模型
为了达到去噪同时保护边缘,可以采用扩散过程中的传导系数依赖于图像的局部特征。具体来说,在图像比较平坦的区域,传导系数能自动增大。这可使平坦区域中较小的起伏被平滑;而在图像的边缘附近,传导系数能自动减小,可使边缘几乎不受影响。Perona和Malik于1990年在热传导方程的基础上得到了以下的各向异性扩散模型:
其中,g(|▽μ|)规定了扩散程度。
若g(0)=1当s->∞时g(s)->0。在平滑过程中,在边缘处|▽μ|很大,g(s)很小,扩散程度变小;在平坦区域|▽μ|很小,g(s)很大,扩散程度变大。因此在进行平滑时,边缘处平滑的少,而在平坦的区域平滑的。
可取:
利用有限差分法对(16)进行离散可得离散格式为
4.2 正则化P-M模型
Catte等人指出P-M方法是“病态”的,输入的微小变化会导致输出完全改变;Whitaker证明P-M方法处理所得的图像受“阶梯”效应干扰,视觉效果差。
对P-M模型加以修改,得到以下正则化P-M模型
可以证明该模型为完全适定问题,并具有以下性质:1)存在唯一的连续依赖初值μ0(x,y)的解;2)服从极值原理;3)具有灰度不变性;4)收敛于常数稳态解,即:μ(x,y,t)->μ(t->∞);5)具有Lyapunov泛函递减性。
5 实验结果及模型比较分析
5.1 实验结果
图1(a)-(e)分别表示原始图像、加入高斯噪声图像、TV模型平滑后图像、四阶模型平滑后图像及正则化P-M模型(Catte模型)平滑后图像。
5.2 模型比较分析
经理论分析和实验结果可以看出:
1)由于TV滤波器在去除噪声时并不会把图像模糊或者边缘扭曲。TV平滑模型会出现噪声抑制不充分,甚至出现虚假边缘,产生阶梯效应.TV平滑模型属于二阶PDE模型。
2)TV平滑模型把图像变成几个灰度值不同的色块,四阶PDE模型是将它平滑成一个灰度渐变的区域,这块区域内梯度恒定,虽然和真实图像的灰度变化不一定相同但它一般不会产生额外的边缘,与二阶PDE的结果相比四阶PDE具有更好的视觉效果。因此可以考虑用更高阶的PDE来逼近真实的灰度变化。
3)P-M模型是“病态”模型,即输入的微小变化会导致输出完全改变,去噪后图像受“阶梯”效应干扰,视觉效果差。Catte经修正改进后模型为适定问题,平滑后图像视觉效果明显改善。
摘要：近年来,基于偏微分方程的图像平滑技术受到越来越多的关注。该文详细介绍了几种基于偏微分方程的图像平滑方法,进而根据理论分析和实验结果对几种方法进行比较。
关键词：偏微分方程,图像平滑,比较研究
参考文献
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[2]吴斌.基于变分偏微分方程的图像复原技术[M].北京:北京大学出版社,2008.
[3]贾迪野,黄凤岗,文小芳.基于四阶偏微分方程平滑的图像分割新方法[J].计算机应用,2004,24(9):19-21.
[4]Perona P,Malik J.Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1990,12(7):629-639.
线性偏微分方程 篇8
科学计算的主要问题是求解偏微分方程。随着计算机计算能力的加强和工程界要求更大的计算规模、更高的计算精度,如何在大规模的并行机上高效地求解偏微分方程,当计算的问题增大时,如何能稳定的计算下去,已成为数值算法研究的热点问题[1,2]。1973年,Stone提出了三对角系统线性方程组求解的一组有效的并行算法,1976年,Bunch和Rose介绍了预处理共轭斜量法(PCG法),近年来,又先后提出了一系列针对多处理机系统的同步和异步并行算法,如并行波前法、Givens变换方法、镜像影射法、逐次混乱松弛法等[3,4]。
1 偏微分方程的离散
对于偏微分方程的离散求解,差分格式是最常用的离散方法,并行差分格式的研究主要是采用区域分解的方法将计算区域分裂成若干块,然后对每一块采用一个人工的边界条件进行计算。构造并行差分格式时需要考虑以下3个因素:差分格式的稳定性、精度及在分布式并行计算机上执行时所需要的通信量。
考虑满足边界条件的偏微分方程:
式中:0≤x,y≤1。特别地,为了计算方便,不妨取Cx=Cy=C1=D1=E=1,C2=D2=0,F=10,利用有限差分法将式(1)进行离散,其中uxx,uyy采用二阶中心差商,ux,uy采用向前差商,步长为h=1/51,离散后差分格式为:
(1+hsin 2πih)ui+1,j-(4+hsin 2πih+sin 2πjh-h2)ui,j+ui-1,j+(1+hsin 2πjh)ui,j+1+ui,j-1=0,i,j=1,2,…,50。
算法1:并行差分格式
第1步,用界面点将整个区域分解成许多个子区域;第2步,在界面上用上述格式计算界面的值;第3步,每个子区域用界面值作为Dirichlet边界条件,计算子区域上的问题;第4步,计算下一个时间层。由于边界网格点的值已知,所以只需求解区域内部网格点处的值。下面对内部离散的网格点进行编号,编号规则为:按照从左至右、从下至上的顺序,节点号依次从1～2 500。
组装成线性方程组Ax=b,其中:
且Ai,Ci分别为50×50阶对角阵;Bi为50×50阶三对角阵,bi为50×1阶矩阵,i=1,2,…,50。
2 多分裂迭代并行算法
2.1 多分裂迭代法
并行多分裂迭代法是由O′Leary和White于1985年基于矩阵多分裂提出的。其后许多国内外学者对此类方法进行了深入的研究,使其方法得到了长足的发展,如Bai,Bru等,Frommer等[3]。
求解大型线性方程组Ax=b,其中A是N×N非奇异矩阵。令Ml,Nl和El都是N×N矩阵,l=1,2,…,α,若满足:①A=Ml-Nl,M
算法2:多分裂迭代并行算法
第1步,任取初始近似x(0)∈RN,对k=0,1,2,…;第2步,对l=1,2,…,α,求解yl,Mlyl=Nlx(k)+b;第3步,算
2.2 多分裂迭代法并行性及通信分析
显然算法2有自然的并行性。由于在算法2中yl的计算是相互独立的,因此若有一台具有一个主机与p个处理机的并行机,则法2可这样并行实现:每台处理机处理一个局部迭代,并将局部迭代值yl送到主机,然后主机对yl(l=1,2,…,p)进行加权平均而得到整体迭代值x(k+1),最后将x(k+1)送回各处理机以开始下一步的局部迭代由于方程(1)离散后转化成为线性方程组的求解,而方程组的矩阵规模较大,计算量主要是由矩阵向量积的计算量控制,在并行机上实现时,注意到如果El的某个对角元素为零,则yl的相应分量无需计算,从而大大节省工作量。因此,应尽量选择El,使得各处理机间大致做到负载平衡,从而减少同步等待的开销。
3 相关结论
众所周知,并行算法的最根本目的是缩短计算机的解题时间和提高机器各处理单元的使用率。并行算法的效率定义为:EP=SP/P,其中P为处理机台数,SP为并行算法的加速比,SP=T1/TP。其中:T1为串行算法在单处理机上的执行时间;TP为并行算法在具有P台处理机的系统上的执行时间。下面将用3种并行迭代解法来求解方程式(1),并分析3种并行算法的加速比、并行效率及可扩展性等。
3.1 多分裂迭代并行算法求解结果
设迭代过程中收敛误差Epsilon=1.0×10-10,多分裂迭代并行算法求解偏微分方程计算结果如表1,偏微分方程式(1)用差分法求解数值模拟如图1所示。
从可扩展性来说,多分裂方法更有利于实现并行,即当问题的规模增大时计算时间递减、加速比呈递增趋势,这对求解大规模的线性方程组具有更好的适用性。
3.2 三种并行算法求解结果比较
利用红-黑排序法、共轭梯度法和多分裂迭代法求解方程式(1),3种方法加速比、并行效率如图2所示。
图2表明,利用共轭梯度求解时,要求系数矩阵A是对称正定的,而方程(1)在实际计算中,系数矩阵A并非对称正定,只是近似认为满足采用共轭梯度法的条件,最终影响问题数值解的精度。CG方法虽然对存储量要求较少,迭代次数较少,;但同时也存在一些缺陷:当并行机数目增加时,迭代过程中通信开销较大,使得并行系统的性能与其规模不能成线性比例增长;各个处理器间负载没有达到平衡,程序设计中0进程的任务过重,加速比却越来越小,CG方法并行效率低,可扩展性较差;红黑排序迭代次数居于其他方法中间,但在计算时不仅耗时,而且其加速比在并行机数目增加时呈现递减趋势,可扩展性较差。而多分裂迭代法随问题的规模增大时计算时间递减、加速比呈递增趋势,具有很好的扩展性。
参考文献
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线性偏微分方程 篇9
关键词：煤矿图像,去噪,二阶全变分模型,四阶偏微分方程,边缘保持,纹理细节,阶梯效应
0 引言
煤矿复杂的环境使得矿井图像很容易受到噪声污染, 去除噪声是煤矿图像处理应用 (如目标跟踪[1]、图像融合[2]及视频监控[3]) 中重要的前提条件。基于二阶偏微分方程的模型广泛应用于图像去噪, 包括各向异性扩散模型[4,5]及基于全变分理论的模型[6,7,8,9,10,11]。这些二阶模型尽管能够在去除噪声和边缘保持上达到很好的平衡, 但非常容易使去噪后的图像产生块状区域, 即阶梯效应。该现象会被计算机视觉系统误认为源图像本身的结构, 从而造成目标识别等应用方面的误匹配, 且模型的收敛速度较慢。为克服全变分等二阶模型的缺点, 许多学者提出了更高阶的偏微分方程模型[11,12,13,14], 如四阶偏微分方程模型[15,16], 其收敛速度快、梯度效应小, 但容易模糊边缘。
本文结合二阶与四阶偏微分方程模型的优点, 通过有效耦合, 提出了一种基于二阶和四阶偏微分方程耦合的煤矿图像去噪算法。该算法收敛速度快, 可有效保护图像边缘, 同时避免产生阶梯效应, 为煤矿图像进一步的处理奠定了基础。
1 改进模型
煤矿图像中所含噪声一般以高斯噪声为主, 其去噪问题如下表述:假定一幅图像u0:被零均值、标准差为σ的高斯噪声污染, 去噪的目的在于从含噪图像u0=u+n中恢复u。
经典的全变分模型为求解能量泛函的最小值, 该能量泛函由图像u的正则项及忠诚项组成:
式中:Ω为以x-y轴笛卡尔坐标系表示的图像域;为图像的梯度模值;为正则项, 用于平滑图像、去除噪声;为忠诚项, 以保证去噪过程中图像的相似度;λ为尺度因子, λ>0。
基于参考文献[17]中对扩散方程的分析, 式 (1) 可以改为更一般的形式:
式中:为以梯度模值为变量的正则函数, , 可避免在梯度值为零时产生奇异点。
通过最陡梯度下降法求解式 (2) , 得到二阶去噪方程:
式中:为散度运算符;为正则函数的一阶导数。
同样四阶偏微分方程模型可通过求解能量泛函得到:
式中:为拉普拉斯算子。
用相同的最陡梯度下降法求解式 (4) , 得到四阶去噪方程:
式中:下标x, y分别表示对变量沿x, y方向求一阶及二阶偏导;为避免分母为零造成方程不能收敛, 故在分母表达式中添加极小的正数ε (实验中一般取ε=0.001) 。
对于式 (3) 、式 (5) , 它们的初始边界条件为
2 耦合算子
对于耦合二阶、四阶偏微分方程模型的算子, 采用差分曲率边缘算子来表示。图像一般分解为平坦区域或斜坡区域、纹理及边缘区域。边缘通常是所关注的图像的特征, 一个优秀的边缘检测算子必须具有很强的噪声免疫性。传统的基于图像一阶梯度的边缘检测算子不能有效地分辨边缘区域和斜坡区域, 但二阶导数可以有效地区分, 而以此为基础的差分曲率可表示为
差分曲率分辨图像边缘区域和斜坡区域的功能实现:
(1) 在边缘区域, 很大, 而很小, 故d很大。
(2) 在平坦区域或斜坡区域, 都很小, 所以d也很小。
(3) 对于噪声来说, 都很大且基本大小相等, 但d却很小。
根据以上分析, 图像的边缘区域就可区分出来, 且具有区分噪声的作用。从图1、图2可看出, 差分曲率比梯度算子的边缘提取效果好。
3 尺度因子
尺度因子λ的作用:使通过求解式 (3) 、式 (5) 得到的去噪图像更加逼近原始图。λ越大, 模型的去噪能力越弱, 即模型保持细节能力越强;反之, λ越小, 去噪能力越强, 图像中的细节部分越容易丢失。经典的全变分及四阶偏微分方程模型中的尺度因子为固定常数, 会使去噪图像丢失细节。本文基于图像的纹理特征提出了一种局部空间能量算子来表示尺度因子。
用Ir表示滤除结构信息后的图像部分, 即图像的纹理细节区域。定义Ir的一个像素点的局部空间可变能量算子为
式中:E I (r) 为Ir的均值;为归一化径向对称的光滑窗函数, 为归一化窗函数的像素坐标;
本文采用归一化的高斯函数作为窗口函数。实际上, 这里的局部空间能量算子就是将在窗口范围内各点的值按照窗口函数做加权平均, 从而估计出Ir在 (x, y) 点处的能量。图像中噪声在各点的平均能量Pn定义为噪声的方差, 即Pn=σ2。
根据以上定义, 本文提出局部空间能量算子作为尺度因子:
该值能够表征图像的纹理细节信息, 当 (x, y) 位于过滤图像Ir的平坦区域时, Ir在该位置上基本只包含有噪声, 此时局部空间能量P (x, y) =Pn=σ2, 则;当 (x, y) 位于图像中的纹理细节区域时, Ir在该位置不仅包含噪声信息, 还有许多细节信息, 此时P (x, y) =Pω (x, y) +Pn=Pω (x, y) +σ2, 其中, Pω (x, y) 为窗口范围内纹理细节的能量, 最终得到的尺度因子值较大。通过对尺度因子进行归一化, 可以控制模型对图像纹理细节的保护程度。
4 耦合模型
基于上述分析, 利用耦合算子及尺度因子将改进的二阶、四阶偏微分方程模型有效组合, 形成耦合模型:
具体实现方式为由差分曲率算子控制模型的扩散能力, 尺度因子保护去噪图像的纹理细节。
下面分析差分曲率算子如何控制本模型的扩散性能。首先将d进行归一化, 在图像平坦和斜坡区域, d较小, 模型扩散主要以四阶偏微分方程为主, 可减小全变分模型在该区域内产生的阶梯效应;在图像边缘区域, d较大, 模型扩散以改进型全变分模型为主, 从而保护图像的边缘。参考文献[9]中, 全变分模型在扩散时仅沿图像梯度的正交方向, 故能够保护图像边缘, 但意味着全变分模型收敛速度较四阶偏微分方程模型的双向扩散速度慢。
具体的算法实现步骤:
(1) 通过有限差分方法求解uξξ, uηη, 得到整幅图像的差分曲率, 取其中最大值dmax, 得到归一化的
(2) 对于尺度因子的计算, 首先采用自适应全变分算法[17]对原噪声图像进行若干次迭代滤波, 得到图像的纹理细节部分, 求解式 (8) 、式 (9) 得到最终的尺度因子λ, 遍历整幅图像得到尺度因子的最大值λmax, 然后归一化得到
(3) u xi, yj, t (k) 简化为uki, j表示像素点在i, (j) 处迭代k次后的值, tk为程序迭代k次所用的时间;导数也可用差分表示, Δt为每次迭代的时间间隔, 本文设Δt=1。其他的差分运算由下列算法计算:
式中:D±为前向及后向差分运算符。
由式 (11) —式 (12) 得到最终的迭代模型:
该模型边界为对称性边界条件:
式中:M×N为图像的尺寸;为图像在坐标 (x, y) 处的二阶差分模值。D2运算的展开式为
5 实验结果及分析
采用Matlab R2008a对本文算法和其他几种去噪方法进行对比实验, 并引入了客观评价指标———信噪比 (Signal to Noise Ratio, SNR) 来验证对比结果。信噪比定义为
式中:u (i, j) 为原始图像值;为原始图像的均值;为去噪图像值。
采用一幅低照度、大小为256×256像素的矿工图像作为原始测试图, 如图3 (a) 所示。图3 (b) 为被标准差σ=20的高斯噪声污染的图像。图3 (c) —图3 (h) 分别为基于全变分模型、Gilboa模型、P-harmonic模型、Corina模型、四阶偏微分方程LLT模型及耦合模型去噪算法的结果。各算法去噪结果的信噪比及收敛时间见表1。
由图3 (c) —图3 (h) 可知, 本文算法较其他算法具有图像边缘保持好的优势, 且阶梯效应不明显。表1中, 耦合模型去噪图的信噪比也是各种模型中最大的, 但是由于差分曲率及尺度因子的计算, 使得本模型的收敛时间加长。
为证明耦合模型保护图像细节的能力, 通过另一个对比实验可看出, 图4 (a) 原始图像中的白色窗口区域为2颗小星星, 图4 (b) —图4 (e) 中的星星均已淹没在噪声中, 而图4 (f) 则很好地保护了这一细节。
6 结语
线性偏微分方程 篇10
在实际生活中, 人们需要对图像按照需求进行必要的放大, 其本身有着非常重要的实用价值。例如人类对宇宙的探索, 通过卫星传感器传回到地球表明的照片, 为了得到有关宇宙的有效的细节信息, 就需要对卫星图片进行放大;在医学方面, 比如对CT图像的放大, 可以更方便医生去把握病人的具体病情;因此图像放大在图像处理技术是一个热门的研究方向。本文中研究了基于小波的偏微分方程综合模型的图像放大方法, 此算法将传统的各向异性偏微分方程模型和高阶偏微分方程模型自适应结合, 然后应用小波算法对结合后的模型得到的图像实行小波分解, 将得到的低频图像的幅值做更改, 重构, 取得最后的放大图像。
二、综合模型
(一) 综合模型及其特性。在图像的边缘保持方面各向异性扩散模型效果很好, 然而, 方块效应会产生在图像的平滑区域。但是四阶偏微分方程模型却能避免“方块效应”的产生, 能保留细小的纹理。所以文中研究了将四阶偏微分方程模型及异性扩散模型自适应结合的方法, 对应模型为:
div是散度算子, ▽是梯度算子, g (x) 的表达式如下:
k为梯度门限, s为自适应权重因子[1], 其表达式如下:
在 (1) 中权重因子的作用:根据图像局部梯度的大小可以自适应调节各向异性扩散模型和四阶PDE。图像的非边缘区域, 它的像素点灰度值梯度值也很小, 对应的值也很小, 此时可看作采用四阶偏微分方程模型处理;图像的边缘区域, 它的像素点灰度值梯度值很大, 对应的值也很大, 此时可看作采用各向异性扩散模型来对它来处理。采用这种综合的模型对图像进行处理, 各向同性扩散模型及各向异性扩散模型的优点都得到了很好的利用, 它们的缺点也都摒弃了。c是正的参数[2], 图像不同, c的选取不同的。当然该模型也存在自己的缺点, 比如P-M方程只需要迭代三次就可以达到很好的效果, 四阶需要5次, 而本文提出的模型则需要10次。
(二) 实现综合模型。实际计算中, 对这个综合模型直接进行离散化很难, 故可应用这种方法:对将要放大的图像, 首先可以分别算出各向异性扩散模型和四阶偏微分方程模型的解, 其次将它们的解再结合。设u为向异性扩散偏微分方程的解、v为四阶偏微分方程的解, 利用权函数s, 把u及v凸合并得到综合模型的解:
基于上述思想, 可给出各向异性扩散模型和四阶偏微分方程的离散格式如下所示:
各向异性扩散模型的差分格式为:
四阶偏微分方程的差分格式为:
三、基于小波的偏微分方程综合模型的图像放大方法
利用上述的综合偏微分方程模型, 取得的放大图像, 它的边缘和纹理信息得到了很好的保护。但却得不到高频大量的信息, 从而使得放大后的图像整体效果很差, 由于具有良好的时域和频域局部化性质, 可采用小波变换将图像分解, 得到低频和高频分量, 然后利用低频图像来预测出在高频分量即细节部分所丢失掉的量, 最后进行小波重构获得最终放大的图像。此方法充分考虑了细节分量, 因此取得的图像其效果也是比较很令人满意的。[3~5]。
所以, 小波的偏微分方程综合模型的图像放大算法过程是:对文中给出的偏微分方程综合模型进行迭代, 能够取得初始放大的图像;对初始放大的图像进行小波分解;用幅值增强的方法, 对原始图像进行处理;对初始放大的图像进行小波重构, 并进行软阈值小波去噪。
四、实验结果及其分析
将lena (512×512) 和coins (246×300) 作为原图, 并分别取其一部分, 对其图像采样后的图像加噪 (Gaussian noise (方差为0.002) 和不加噪的放大效果。
五、结语
本文研究了基于小波的偏微分方程综合模型的图像放大算法, 首先组合P-M方程和四阶PDE的综合模型, 这种综合模型结合了各向同性扩散模型和各向异性扩散模型的优点, 对这两个模型本身所存在的缺点做到了最大程度的摒弃, 又由于用这个综合模型得到的放大图像不能提供更多的高频信息, 因此对此图像再进行处理, 先进行小波分解, 然后对它进行重构。实验结果说明, 文中提出的算法放大后的图像整体看来边缘和纹理方向保持清晰, 在细节部分刻画的也比较好, 图像的整体看起来也比较清晰, 其对于含有噪声的图像同样适用。
摘要：本文研究了基于小波的偏微分方程综合模型的图像放大方法, 此算法首先将传统的各向异性偏微分方程模型和高阶偏微分方程模型自适应结合, 其次应用小波变化对结合后的模型得到的图像实行小波分解, 得到低频和高频分量, 然后利用低频图像来预测出在高频分量即细节部分所丢失掉的量, 最后进行小波重构获得最终放大的图像。
关键词：各向异性偏微分方程,高阶偏微分方程,小波变换,图像放大
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