线性方程组应用分析（精选10篇）
线性方程组应用分析 篇1
1 网络流模型
网络流模型是现在很多领域广泛应用的数学模型, 例如交通、通讯及城市规划等不同方面都有所涉及。当研究人员要研究某种网络中的流量问题时, 自然要用到线性方程组的相关知识, 很多网络流模型的方程组中都会有大量的未知量和线性方程出现, 要解决这些问题都是线性方程组的应用问题。
网络中流入总量与流出总量相等是网络流的基本假设, 而且每个联结点的流入和流出总量也是相等的。例如, 下面图1说明流量从一个支流流入联结点, 图2说明了流量从两个分支流入联结点, x1, x2和x3表示各支流流出的流量, x4和x5分别表示来自其它分支流入的流量。由于流量分别在每个联结点都是守恒的, 所以有x1+x2=60和x4+x5=x3+80成立。在相似的网络问题模型中, 都可以用一个线性方程去表示每个联结点的流量问题。在一部分信息 (如流入量) 已知的条件下, 来确定每一个分支中的流量问题, 正是在网络分析中, 要解决的问题。下面通过举例说明:
例1图3表示的是网络计算出了在上午8-9点钟, 大连市某区道路的交通流量 (以15分钟内能通过的车辆数为单位计算) 。试分析该网络流的模式问题。
解由模型的初始假设, 在联结点 (即交通路口) A, B, C, D处, 我们可以得到如下方程:
另外, 该网络流的总流入量 (20+30+50) 和该网络的总流出量 (30+x3+40+10) 必须相等, 经计算可得x3=20。联立四个方程与此方程, 可得下列方程组:
令x5=c (c为任意常数) , 则所求的网络流的模型可表示为
x1=40+c, x2=30+c, x3=20+c, x4=40+c, x5=c
网络流量的表示中, 负的流量是指与模型中所指方向相反的方向。因为道路是单向行驶, 所以流量不能是负值。这必然导致流量在取值 (正的) 时造成一些局限。
2 动物迁徙模型
数学建模应用广泛, 在工程、经济和生态学领域都时有应用。主要是要考虑随时间变化的动态系统来建立数学模型, 通常针对系统测量, 都是以离散时间间隔作为变量来做的, 如此便出现了与时间间隔相对应的一序列向量x0, x1, x2…, 用xk代表第k次测量时有关的系统相关状态信息, 则x0假定为初始变量。
如果给定了初始的变量x0, 同时存在着一个矩阵A, 使得x1=Ax0, x2=Ax1, 即
则称方程 (1) 为一个线性差分方程或者递归方程.
动物迁徙模型所研究的问题是动物的迁徙或种群的流动.当然此模型也可以广泛应用于工程、经济和生态学等领域, 也可以用于探讨人口迁移模型。先考察这样一个模型, 即某草原及其周边草原在几年内的动物数量变化的情况.此模型可以用于研究一些野生动物的迁徙问题。
首先确定初始年, 如2010年, 用r0, s0分别代表2016年A草原和B草原的动物数量。假设x0为初始年的动物数量, 即对2011年及其以后年份, 我们可以用向量
表示出每一年A草原和B草原的动物数量, 我们的目标是用数学公式表示出这些向量之间的关系。
假设在A草原一年约有95%的动物留在本草原, 有5%的动物离开到其他的草原去。在B草原中约有12%的动物迁徙到A草原, 当然仍有88%的动物留在B草原, 我们暂时忽略其它影响, 则一年之后, A草原与B草原的动物数量分别可表示为:
故, 2011年两个草原动物的数量分布将变为
即x1=Mx0, 则矩阵可以被称为迁徙矩阵。
如果动物迁徙的速度和比例不变, 即可以得到2012年, 2013年, …的动物数量分布公式:
x2=Mx1, x3=Mx2, …
一般地, 有
这里, 向量序列{x0, x1, x2, …}表述的是A草原和B草原在未来几年内的分布情况变化。
下面具体举例如下:
例2据统计某A草原2015年的某动物数量为500000000只, 周边B草原的动物数量为780000000只.试预测2017年的动物数量分布。
解因2015年的初始数量为故对2016年, 有
对2017年, 有
即2017年A草原和B草原动物数量分布分别为625538000只和654462000只。
参考文献
[1]吴赣昌.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社, 2007.
[2]马雪松.线性方程组的一个应用[J].唐山学院学报, 2006, (02) .
线性方程组应用分析 篇2
方程求根问题一直以来都是一个具有重要实践意义的问题。在科学技术和工程应用等领域中涉及的一些问题，通常需要先转化为方程或方程组的求根问题，然后再进行求解。其中，非线性方程组的求解是比较常见的一类问题，因而其求解方法一直以来都是数学和工程应用中的重要研究内容。
近十几年来，国内外的许多专家学者对非线性方程组的求解问题作了大量的研究，提出了许多行之有效的方法，常用的有牛顿法、迭代法、梯度法和共轭方向法等。但这些方法对方程组的要求较高，在求解一些相对复杂的方程组时还存在着一些缺陷。近年来，进化算法被广泛应用于优化问题的求解中。由于差分进化算法在求解非凸、多峰以及非线性函数等的优化问题上表现出显著的稳定性，在同样精度的要求下，差分进化算法的收敛速度更快，因而在求解优化问题及其他领域中得到了广泛的应用。
差分进化算法介绍
差分进化算法（DE）是最近几年流行的、比较新颖的一种进化算法，又称为差异演化算法、微分进化算法、微分演化算法、差分演化算法等，它是由Storn等人于1996年为求解切比雪夫多项式而提出的。该算法是对生物进化进行模拟的一种随机模型，通过一次一次的迭代，使得适应环境的那些个体被保留了下来。
算法的基本思想及特点。DE的基本思想是从一个随机生成的初始群体开始，从中随机选取两个个体，将其差向量作为第三个个体的随机变化源，再对差向量进行加权，然后按照特定的规则和第三个个体相加，从而产生变异个体，该过程称为变异；然后，将变异个体与某个预先决定的目标个体进行参数混合，从而产生新的实验个体，该过程称为交叉；如果新的实验个体的适应度值比目标个体的适应度值要好，则在下一代实验个体中选取新的目标个体来替换原有的目标个体，否则保留下当前的目标个体，该过程称为选择。在每一代的进化过程中，每一个个体只能作一次目标个体，DE算法通过反复地迭代计算，淘汰劣质个体，保留优良个体，使得搜索结果向全局最优解逼近。
DE算法是一种基于实数编码的，用于优化函数最小值的进化算法，变异是DE的主要操作。算法根据种群中个体间的差异向量来进行变异，从而达到修正各个体的值的目的。并且，DE采取基于种群的全局搜索策略，使遗传操作简单化。同时，DE会根据当前的搜索情况动态调整搜索策略，使得全局收敛能力较强，而且不需要借助问题的特征信息，因此适用于求解一些常规数学规划方法不能求解的复杂环境下的优化问题。
由方程组的收敛图可以看出，差分进化算法的收敛速度极快，能够快速的得到近似解。
线性方程组应用分析 篇3
关键词：微分方程,电路,暂态过程,应用
一、一阶线性微分方程及其通解
含有未知函数导数 (或微分) 的方程叫做微分方程, 未知函数是一元的微分方程叫常微分方程, 微分方程中未知函数的导数的最高阶数为一阶的微分方程叫一阶微分方程。本文所提到的微分方程均指一阶常微分方程。一阶微分方程的一般形式
通解为 (C为常数)
特殊地, 当Q (x) ≡0时, 方程变为y'+P (x) y=0称为一阶齐次线性微分方程, 通解为 (C为常数) 。当Q (x) ≡B (常数) 时, 方程变为y'+P (x) y=B, 通解为 (C为常数) 。在直流电源激励下一阶线性电路的暂态过程分析中, 主要就是用这两个方程的通解得到电路的响应公式。
二、一阶线性电路的暂态过程
只含有一个储能元件 (电容器或者电感线圈) 或可等效为为一个储能元件的线性电路, 不论是简单的还是复杂的, 它的都是一阶常系数微分方程, 这种电路叫做一阶线性微分电路。含有电容器和线圈的线性电路中, 由于储能元件电容器和电感线圈的能量的变化是连续的, 因此, 在接通或断开线性电路时, 电容器的端电压和电感中的电流均不能跃变, 而是随时间变化的, 这一变化时间是暂短的, 我们把这个暂短的变化过程, 也就是过渡过程, 叫做暂态过程。
如图 (1) 所示, 如果将两只同样的白炽灯泡EL1、EL2分别与电容器C、电感线圈L串联, 然后一起并联在电路中。开关S原来处于断开状态, 当开关S合上时, 就会看到在外加直流电源的作用下, 白炽灯EL1在开关S闭合瞬间突然闪亮了一下, 随着时间的延迟逐渐暗下去, 直到完全熄灭;白炽灯EL2由暗逐渐变亮, 最后稳定发光。
为什么两只相同的白炽灯泡在开关闭合时出现了两种不同的发光现象呢?其实在图 (1) 中两只灯泡分别与电容器和电感线圈串联, 分别构成了RC串联电路和RL串联电路。上述现象反映了在开关闭合 (换路) 时, RC电路、RL电路不同的响应。这是因为开关S原来是断开的, 电路中电容的端电压和通过电感的电流均为零, 两个灯泡都不亮, 电路处于一种稳定状态。合上开关S以后, 电路经历了一个短暂的过程, 电容支路电流变为零, 电感支路中的电流达到一个恒定值, 电路处于另一种稳定状态。
那么电路从原来的稳定状态到另一种稳定状态的变化过程中, 电容器的端电压和电感中的电流的时间函数关系如何?决定暂态过程快慢的因素又是什么?下面分别以RC线性电路和RL线性电路在直流电源激励下的暂态过程进行定量分析。
线性电路分析的基本思路:首先, 由于电路的暂态过程是一个短暂的变化过程, 变化前电路处于稳定状态, 变化后电路处于另一个稳定状态。为了论述的方便, 我们把变化前电路的稳定状态叫做原稳态, 用t=0-表示。把变化后的电路的稳定状态叫做新稳态, 用t=∞表示。用t=0+表示暂态过程的起始时刻。其次, 我们以相关电学知识为基础, 以基尔霍夫回路电压定律为依据, 列回路的电压方程, 建立电路的微分方程。最后, 通过求解电路的微分方程, 得出回路电流或电压的时间函数关系。
三、线性电路暂态过程的分析
(一) RC电路暂态过程
1.微分方程的建立。如图 (2) 所示, 电路中的直流电源电压为U, 电阻为R, 电容为C。接通开关到1位置, 分析电路中电容端电压随时间的变化规律。
以换路瞬间作为计时起点, 令此时t=0。
设当t≥0时, 电路中的电流为i, 电容端电压为uC, 电阻的端电压为uR。根据基尔霍夫回路电压定律, 可以知道uC+uR=U, 而。因此uC满足微分方程
2.电路中的电源为直流电源, 电源的电压U一定, 此方程的通解为, A为常数。
式中RC为电路的时间常数, 用τ表示。这样, 方程的通解可以表示为
3.RC串联电路的三种暂态过程讨论。
(1) RC串联电路的零状态响应。将图 (2) 中的开关
S合到1位置。直流电源开始给电容器充电, 电源电压U=恒量, 充电前电容端电压为零。根据换路定律, 可知t=0时, uC=0。将初始条件, 得A=U。于是有
这就是RC电路的零状态响应公式。
(2) RC串联电路的零输入响应。图 (2) 中的开关S在1位置且电路稳定后, 将开关S从1位置合到2位置, 电容器开始放电。这时, 电路与电源断开, 可以认为RC回路的电源电压为零, 电容开始放电。电容放电前两端电压为U0。根据换路定律, 可知t=0时, uC=U0。将初始条件, 得A=U0。
于是。这就是RC电路的零输入响应公式。
(3) RC串联电路的全响应。如图 (3) , 开关S在1位置且电路稳定后, 将开关S从1位置合到2位置。这时, 电容的端电压初始值和闭合回路中的电源电压均不为零。换路后RC回路电源电压为U, 电容两端的电压的初始值为U0。即t=0时, uC=U0。将uC|t=0=U0代入得这就是RC电路暂态过程的全响应公式。
4.RC电路对矩形输入脉冲电压波形的改变。输入微分电路和积分电路暂态
(二) RL电路的暂态过程
1.RL电路微分方程的建立。如图 (4) 所示, 电路中的直流电源电压为U, 电阻为R, 电感为L。仍然以换路瞬间作为计时起点, 令此时t=0。当t≥0时, 根据闭合回路电压定律, 可以知道uL+iLR=U。
2.RC电路微分方程的通解。式中的叫做RL电路的时间常数, 用τ表示。
3.RL串联电路的三种暂态过程的讨论。
这就是该RL串联电路全响应公式。
(三) 一阶线性电路暂态分析的一般公式
非线性微分方程的动力学特性研究 篇4
关键词：非线性动力学 微分方程 霍普夫分岔 中心流形
0.引言
随着科学的发展和进步，在自然科学与社会科学的研究领域内出现了很多新的具有挑战性的数学问题，其中动力系统解的性态分析是近年来研究的热点之一。对非线性动力系统的研究和发展已有一个多世纪， 20世纪70年代至今，非线性动力学的分岔理论及混沌现象的研究成为了非线性微分方程新的研究热点。
如今，幾乎每个学科领域都出现了动力系统现象，从化学中的振荡Belousov-Zhabotinsky反应到电子工程中的蔡氏电路，从天体力学中的复杂运动到生态学中的分岔。尤其在生物数学领域，动力系统被广泛的用来研究系统的稳定性及分岔。刘翠桃对具有密度制约情况下的HollingⅣ类功能反应的系统，徐胜林和肖东梅对一类扩展的捕食者-食饵系统进行了讨论，讨论了系统的平衡点的性态，并证明了极限环的存在性与唯一性及其全局稳定性。Canan Celik研究了对比率依赖性，系统地分析了时滞对模型稳定性的影响，选取时滞作为参数，利用分岔定理得出Hopf分岔，得到了系统周期解的稳定性，并进行了数值模拟。
本文通过对几类不同非线性系统的非线性现象进行研究，特别是几类系统霍普夫分岔进行详细分析，应用中心流形定理对部分系统进行了降维处理，部分系统应用形式级数法对细焦点进行分析。
1.二维非线性系统的霍普夫分岔分析
对式（1.1）所示的二维非线性系统，当
f（x，μ）=ax-y+bx（x2+y2）+cx（x+y2）sinπx2+y3
x+ay+by（x2+y2）+cy（x2+y2）2sinπx2+y2
（1.1）
时的情况，进行定性与分岔分析.
此时，n=2，m=3，X=x
y，μ=a
b
c.显然， O（0，0）为系统的奇点.
为了对参数变化时平衡点处的情况进行分析，做极坐标变换x=rcocθ
y=rsinθ，对时间t求导，
dxdt=drdtcosθ-rdθdtsinθ=arcosθ-rsinθ+br3cosθ+cr5cosθsinπr
（1.2）
dydt=drdtsinθ+rdθdtcosθ=rcosθ+arsinθ+br3sinθ+cr5sinθsinπr
（1.3）
分别进行（1.2）×cosθ+（1.3）×sinθ，（1.2）×（-sinθ）+（1.3）×cosθ可以得到
drdt=ar+br3+cr5sinπr，
dθdt=1.
（1.4）
对参数c分两种情况进行讨论.
（1） 当c=0时，
若a=0，b=0，有drdt=0，此时平衡点O（0，0）为系统的中心，系统零解稳定但不渐近稳定；
若a=0，b≠0，有drdt=br3，
当b>0，有drdt>0，平衡点O（0，0）为不稳定细焦点，系统零解不稳定；
当b<0，有drdt<0，平衡点O（0，0）为稳定细焦点，系统零解稳定.
若a≠0，b=0，有drdt=ar，
当a>0，有drdt>0，平衡点O（0，0）为不稳定焦点，系统零解不稳定；
当a<0，有drdt<0，平衡点O（0，0）为稳定焦点，系统零解稳定.
若a>0，b>0，有drdt>0，此时drdt>0，系统零解不稳定；
若a>0，b<0，此时系统有闭轨r=r0=-ab，又
当r>r0时，drrt<0，t→+∞时，系统的轨线趋向于r=r0；
当0 因此，系统有唯一的闭轨，即极限环，且极限环稳定. 若a<0，b<0，有drdt<0，所有的解都趋于平衡点O（0，0），平衡点O（0，0）为稳定焦点，系统零解稳定； 若a<0，b>0，此时系统有闭轨r=r0=-ab， 当r>r0时，drdt>0，t→+∞时，r→+∞； 当0 因此，系统有唯一的闭轨，即极限环，且极限环不稳定. 图1给出了c=0时的双参数分岔图. （2） 当c≠0时， 若a=0，b=0，有drdt=cr5sinπr，当r=1n，（n=1，2，3，…），drdt=0，有一系列的闭轨出现； 若a=0，b≠0，有drdt=br3+o（r3），当b>0时，平衡点为不稳定细焦点，零解不稳定；当b<0时，平衡点为稳定的细焦点，零解稳定； 若a≠0，b=0，有drdt=ar+o（r），当a>0时，平衡点为不稳定焦点，零解不稳定；当a<0时，平衡点为稳定的焦点，零解稳定. 图1 时系统的双参数分岔图2.三维非线性系统的霍普分岔分析 对式（2.1）所示的三维非线性系统，当 f（x，μ）=（λ-1）x-y-axz x+（λ-1）y-ayz nlc202309011820 -z+x2+y2-2xyz， （2.1） 时的情况，进行定性与分岔分析. 此时，n=3，m=2，X=x y z，μ=λ a.分离非线性项，系统变为 dXdt=λ-1-10 1λ-10 00-1X+f1 f2 f3， （2.2） 其中，f1=-axz，f2=-ayz，f3=x2+y2-2xyz为非线性项. 显然，非线性项满足定理的条件，则对于双曲奇点非线性系统与线性系统奇点类型相同.且O（0，0，0）为系统的平衡点，对于线性化系统矩阵为 A=λ-1-10 1λ-10 00-1， 且A的特征值λ1=-1.λ2，3=λ-1±i.当λ<1时，特征值实部都小于零，平衡点为稳定的焦点；当λ>1时，存在特征值实部大于零，平衡点为鞍点，不稳定.则非线性系统的平衡点O（0，0，0）也分别为稳定的焦点和不稳定的鞍点. 当λ=1时显然满足中心流形存在条件，故设存在中心流形 z=h（x，y）=h20x2+h11xy+h02y2+O（r3） （2.3） 其中r=x2+y2. 将（2.3）代入hx·dxdt+hy·dydt=-hx2+y2-2xyh，有 （2h20x+h11y）（-y+ah20x3+ah11x2+ah02xy2） +（h11x+2h02y）（x-ah20x2y-ah11xy2-ah02y3）+O（r5） =-h20x2-h11xy-h02y2+x2+y2-2xy（h20x2+h11xy+h02y2）. 比较x2、y2及xy的系数，得到h11=-h20+1 -h11=-h02+1 -2h20+2h02=h11，解得h02=h20=1，h11=0.故有中心流形z=h（x，y）=x2+y2+O（r3），将其代入系统（2.1）的第一、二式，有 dxdt=-y-ax（x2+y2）-aO（r4）， dydt=x-ay（x2+y2）-aO（r4）， （2.4） 由于系统（2.1）与系统（2.4）的零解稳定性相同，故对（2.4）的零解进行稳定性分析即可. 在零点处的线性化矩阵=0 -1 1 0，特征值为λ=±i. 当a=0时，平衡点O（0，0）为中心，（2.4）零解为稳定但非渐近稳定的. 当a≠0时，取Liapunov函数V（x，y）=12（x2+y2），显然V（x，y）是正定函数，沿系统（2.4）的解求全导数得到 dVdt=x（-y-ax（x2+y2））+y（x-ay（x2+y2））=-a（x2+y2）2. 故根據Liapunov稳定性判定定理，可以知道，当a>0时dVdt<0，零解渐近稳定，O（0，0）为稳定的细焦点；当a<0时dVdt>0，零解不稳定，O（0，0）为不稳定的细焦点. 故对于系统（2.1）的平衡点O（0，0，0），在λ=0时，当a=0时为中心，零解为稳定但非渐近稳定的.由定理知，在原点邻域内的某一曲面上全是闭轨. 当a>0时，零解渐近稳定，O（0，0）为稳定的细焦点，当a<0时，零解不稳定，O（0，0）为不稳定的细焦点.由定理知，λ在小范围内变化时，存在极限环. 3.食饵-捕食者系统的零解稳定性及霍普夫分岔分析 这一部分将对一类正平衡点平移到原点后的两种群非线性食饵-捕食者系统的零解稳定性及霍普夫分岔情况进行讨论.平移后，系统有 f（X，μ）=-y+λx+αxy1+x+y x+λy+y2+αxy1+x+y， （3.1） 此时，n=2，m=2，X=x y，μ=λ α.分离非线性项，系统变为 dXdt=λ -1 1 λX+f1 f2， （3.2） 其中，f1=αxy1+x+y，f2=y2+αxy1+x+y为非线性项. 显然，非线性项满足定理的条件，则对于双曲奇点非线性系统与线性系统奇点类型相同.O（0，0）为系统的平衡点. 对系统（3.1）的线性化系统进行分析，则A=λ -1 1-λ，得到A的特征值λ1，2=λ±i.当λ<0时，特征值实部都小于零，平衡点为稳定的焦点；当λ>0时，特征值实部都大于零，平衡点为不稳定焦点； 当λ=0时，做变换dτ=dt1+x+y，则系统变为 dxdτ=（-y）（1+x+y）+αxy=-y-y2+（α-1）xy， dydτ=（x+y2）（1+x+y）+αxy=x+x2+y2 +（a+1）xy+xy2+y3. （3.3） 用形式级数法对O（0，0）进行判断.令 F（x，y）=x2+y2+F3（x，y）+F4（x，y）+…， 沿系统（3.1）的解求全导数得到 dFdt=（2x+F3x+F4x+…）[-y-y2+（α-1）xy]+（2y+F3y+F4y+…）[x+x2+y2+（α+1）xy+xy2+y3] 令dFdt=0，对三次项进行考察，有 -yFx+xF3y=-2y3-2αxy2-2αx2y， （3.4） 进行极坐标变换，令F3（x，y）=r3Φ3（θ），对θ进行求导， nlc202309011820 r3dΦ3（θ）dθ=F3θ=-rsinθF3x+rcosθF3y=-yF3x+xF3y， （3.5） 由（3.4）和（3.5）式可以知道dΦ3（θ）dθ=-2sin3θ-2αcosθsin2θ-2αcos2θsinθ，积分有 Φ3（θ）=-23αsin3θ+23（α-1）cos3θ+2cosθ， 变回直角坐标系，故有 F3（x，y）=-23αy3+23（α-1）x3+2x（x2+y2）=-23αy3+2xy2+23（α+2）x3. （3.6） 对四次项进行考察，有 -yF3x+xF4y =F3x[y2-（α-1）xy]-F3y[x2+y2+（α+1）xy]-2y（xy2+y3） 2αy4+（2α2-4）xy3-2αx2y2-2α（α+1）x3y. （3.7） 进行极坐标变换可以得到 dΦ4（θ）dθ =4αsin4θ-2αsin2θ+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ， =α（cos22θ-cos2θ）+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ， =α1-cos4θ2-αcos2θ+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ， =12α+ψ*（θ）. （3.8） 其中，ψ*（θ）以2π为周期，且∫2π0ψ*（θ）dθ=0.记ψ（θ）=12α+ψ*（θ）.. 由于12α≠0，则（3.8）不存在以2π为周期的解.令 d（θ）dθ=ψ（θ）-12α， （3.9） 则（3.9）不存在以2π为周期的解.故 f4（x，y）=r4（θ）， （3.10） 为4次齐次多项式，且 r4（θ）θ=r4ψ（θ）-12αr4， （3.11） 将（3.11）式返回直角坐标系，得到 -yf4x+xf4y =2αy4+（2α2-4）xy3-2αx2y2-2α（α+1）x3y-12α（x2+y2）2. （3.12） 取 F*（x，y）=x2+y2+F3（x，y）+f4（x，y）， （3.13） 则有， dF*dt=12α（x2+y2）2+o（r4）， （3.14） 所以，由（3.14）知，O（0，0）在的邻域内找到了一正定函数F*（x，y），系统（3.4）对t的导数为（3.14）. 故，由Liapunov稳定性定理知，当λ=0时，若α>0时，零解不稳定，O为一阶不稳定细焦点；当α<0时，零解渐近稳定，O为一阶稳定细焦点. 由定理知，在α>0（α<0）时，对充分小的λ<0（λ>0），在O（0，0）的邻域内有渐近稳定的极限环. 由于原系统正平衡点的稳定性与平移后原点的稳定性相同，故当λ<0时，平衡点是稳定的，故当两种群数量在平衡点附近时，两个种群的数量都将趋于这一点.又在α>0时，对充分小的λ<0，在平衡点的邻域内有渐近稳定的极限环，则此时两种群的数量可能会产生周期性的变化. 4.结论 本文对几类非线性系统的非线性动力学特性进行了深入研究，对两类二维和三维系统发生霍普夫分岔的参数条件进行了详细的分析，应用中心流行定理对系统进行降维约化，给出了系统产生霍普夫分岔的参数范围。随后对食饵-捕食者系统进行分析，得到了系统平衡点的稳定性。 参考文献： [1]马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法.科学出版社，2001. [2]徐胜林，肖冬梅.一类捕食与被捕食系统的定性分析.华中师范大学学报（自然科学版），1999，33（1）：1-10. [3]程榮福，蔡淑云.一类具功能反应的食饵—捕食者两种群模型的定性分析.生物数学学报，2002，17（4）：406-410. [4]刘翠桃.捕食者与被捕食者问题的定性分析.河南科学.2009，27（9）： 1044-1046. [5]Canan Celik.The stability and Hopf bifureation for a predator-prey system with time delay[J] .Chaos. Solitions and Fractals，2008（37）：87-99. 传统的教学法比较偏重理论的系统性, 往往对线性代数在其他领域的应用重视不够; 现行教材多重理论, 轻应用, 重公式推导, 轻数值计算, 教材大多忽略了概念, 原理和模型的实际意义. 往往学生学完线性代数这门课程后, 只会套用解题, 即“算数学”, 并不知道线性代数在哪些领域应用, 如何应用, 即“用数学”. 导致学生学习目的不明确, 为了应付考试而学习, 这不利于激发学生学习兴趣, 不利于培养学生创新能力和实践能力. 线性方程组是线性代数的核心, 行列式、矩阵、向量空间等都是为研究线性方程组创造的工具. 线性方程组广泛的应用于商业、经济学、社会学、生态学、人口统计学、遗传学、电子学、工程学以及物理学等领域, 大量实际问题都可以转换成线性方程组求解问题. 根据线性方程组的解的理论, 通常可用克莱默法则; 矩阵的逆以及更一般的将增广矩阵进行初等行变换的方法 ( 即高斯消元法) 求解. 本文将通过这几个方面给出线性方程组课堂教学的几个典型应用案例. 一、利用克莱默法则求解的应用案例案例1 “鸡兔同笼”问题 案例1“鸡兔同笼”问题 这是我国古代著名趣题之一, 记载于《孙子算经》之中. 问题设有若干只鸡和兔子, 它们共有88 个头, 244 只脚, 问鸡和兔各有多少只? 解设鸡和兔子各有x, y只, 案例2 在空间解析几何中的应用问题[1] 在解析几何中, 我们知道: 平面中建立了坐标系后, 一个二元一次方程就表示平面上的一条直线. 空间中建立了一个坐标系后, 三元一次方程表示一个平面. 因此线性方程组的理论在解析几何中有着重要的应用. 问题求通过空间不在同一直线上三点A ( x1, y1, z1) , B ( x2, y2, z2) , C ( x3, y3, z3) 的平面方程. 解设所求平面的方程为: 将上述三点坐标代入方程, 并和 ( 1) 合并得方程组: ( 2) 这是一个关于a, b, c, d的齐次线性方程组, 由于a, b, c, d不全为零, 即 方程组 ( 2) 有非零解, 故 ( 3) 这就是通过空间不在同一直线上三点A ( x1, y1, z1) , B ( x2, y2, z2) , C ( x3, y3, z3) 的平面方程. 二、利用矩阵的逆求解的应用案例 案例3减肥食谱问题[2] 这是一种在20 世纪80 年代很流行的食谱, 是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过八年对过度肥胖病人的临床研究, 在剑桥完成的, 称为剑桥食谱. 这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生物、矿物质、微量元素和电解质. 近年来, 数百万人应用这一食谱实现了快速和有效的减肥. 设三种食物脱脂牛奶、大豆粉和乳清每100 克中蛋白质、碳水化合和脂肪的含量如下表. 问题如果用这三种食物作为每天的主要食物, 它们的用量应各取多少, 才能全面准确地实现这个营养要求? 解设x, y, z分别表示这些实物的数量 ( 以100 克为单位) , 则它们的组合所具有的营养应达到减肥所要求的每日营养量, 故 将对应的方程组的增广矩阵进行初等行变换得: 这样就能保证所需的综合营养量. 案例4生产总值问题[1] 一个城市有三个重要的企业: 一个煤矿, 一个发电厂和一条地方铁路. 开采一元钱的煤, 煤矿必须支付0. 25 元的电费来驱动它的设备和照明, 还需支付0. 25 元的运输费.而生产一元钱的电力, 发电厂需支付0. 65 元的煤作燃料, 自己亦需支付0. 05 元的电费来驱动辅助设备及支付0. 05元的运输费. 而提供一元钱的运输费, 铁路需支付0. 55 元的煤作燃料, 0. 10 元的电费驱动它的辅助设备. 某个星期内, 煤矿从外面接到50000 元钱煤的订货, 发电厂从外面接到25000 元电力的订货, 外界对地方铁路没有要求. 问这三个企业在那一个星期内生产总值多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求? 解对于一个星期的周期 x1表示煤矿的总产值; x2表示电厂的总产值; x3表示铁路的总产值. 根据题意, 得 则上式写为: X - CX = d即 ( I - C) X = d, 因为系数矩阵行列式I - C = 0. 62875≠0, 根据克莱默法则, 此方程组有唯一解, 其解为: 得煤矿总产值为102087 元, 发电厂总产值为56163 元, 铁路总产值为28330 元. 这是宏观经济学中投入—产出模型中的开式模型. 投入—产出模型是哈佛大学教授瓦西里·列昂惕夫 ( Wassily Leontief, 1906 - 1999) 于1949 年夏末提出的. 并由此诞生了研究宏观经济学的投入- 产出法, 它是列昂惕夫的杰出创作, 编制投入- 产出表、建立相应的线性代数方程体系, 就能综合分析和确定国民经济各部门之间错综复杂的联系, 分析重要的宏观经济比例关系及产业结构等基本问题. 总之, 投入- 产出模型就是用数学形式体现投入产出表所反映的经济内容的线性代数方程组. 列昂惕夫由于从事“投入产出分析”, 于1973 年获得第五届诺贝尔经济学奖, 他的一生研究是数学在经济领域里应用的最好典范. 三、利用高斯消元法求解的应用案例 案例5百鸡问题 该问题记载于我国古代算书《张邱建算经》中. 百鸡问题是中国古代解一次不定方程的整数解一种方法, 导致三元不定方程组, 其重要之处在于开创“一问多答”的先例, 这是过去中国古算书中所没有的. 问题: 今有鸡翁一, 值钱伍; 鸡母一, 值钱三; 鸡刍鸟三, 值钱一. 凡百钱买鸡百只, 问鸡翁、母、刍鸟各几何? 答曰: 鸡翁四, 值钱二十; 鸡母十八, 值钱五十四; 鸡刍鸟七十八, 值钱二十六. 又答: 鸡翁八, 值钱四十; 鸡母十一, 值钱三十三, 鸡刍鸟八十一, 值钱二十七. 又答: 鸡翁十二, 值钱六十; 鸡母四, 值钱十二; 鸡刍鸟八十四, 值钱二十八. 解设公鸡、母鸡、小鸡分别为x, y, z只, 由题意得: 可求得符合题意的四组不同的整数解: 如果不考虑问题的实际背景, 由于这个三元一次方程组中有两个方程、三个未知数, 那么它有无穷多组解. 案例6 交通流量问题[3] 某城市有两组单行道, 构成了一个包含四个节点ABCD的十字路口, 如图1, 在每个进出口都记录有单位时间内进出该路段的流量 ( 每小时的车流数) . 试问每两个节点之间路段上的交通流量是多少? 解决此问题可假设: 每两个节点之间路段上的交通流量为: D→A: x1, A→B: x2, B→C: x3, C→D: x4. 且假设针对每个节点, 进入和离开的车流数相等, 则由已知条件可建立四个节点的流通线性方程组: 上面线性方程组有无穷多个解: 此时方程组有无穷多组解, 表明: 如果有一些车围绕十字路D→A→B→C绕行, 流量x1, x2, x3, x4都会增加, 但并不影响出入十字路口的流量, 仍然满足方程组. 案例7 化学方程式配平问题[2] 化学方程式描述了化学反应的物质消耗和生产的数量. 例如, 当丙烷气体燃烧时, 丙烷 ( C3H8) 与氧 ( O2) 结合生成二氧化碳 ( CO2) 和水 ( H2O) , 按照如下形式的一个方程式: 为了“配平”这个方程式, 需要适当的选择其中的x1, x2, x3, x4, 使得方程式两边的碳、氢和氧原子的数量分别相等 ( 因为在化学反应中原子既不会被破坏, 也不会被创造) . 配平化学方程式的一个系统方法是建立描述一个化学反应中每一种类型的原子的数目的一个向量方程. 由于方程式包含三种类型的原子 ( 碳、氢、氧) , 给上式的每一种反应物和生成物构造一个属于R3的向量, 列出每个分子的组成原子的数目如下: 要配平方程式, x1, x2, x3, x4的系数必须满足: 将右边项移到等式左边 ( 修改第三和第四个向量的符号) 得到: 将方程组的增广矩阵进行初等行变换得到通解: 因为化学方程式的系数应为整数, 取x4= 4, 则x1= 1, x2= 5, x3= 3, 配平的方程式为: 如果方程式中的每个系数乘两倍的话, 该方程式也是配平的. 然而在一般情况下, 人们更倾向于使用全体系数尽可能小的数来配平方程式. 总之, 线性方程组的应用非常广泛, 小到“鸡兔同笼”问题, 大到国民经济“投入产出”问题, 从“减肥食谱”问题到“化学方程式配平”问题等等. 教师在讲授线性方程组理论时, 可从实际问题出发, 通过对实际问题的分析引入线性方程组, 再从解决实际问题的需要, 运用矩阵相关理论, 可使用数学软件解决实际问题. 这样, 一方面能让学生认识到学习线性方程组理论的重要性和必要性, 另一方面能让学生了解运用数学知识解决实际问题的基本过程, 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力. 当他们了解到现实中许许多多实际问题与复杂线性方程组的联系时, 就能认识到学习线性代数的必要性. 摘要：线性方程组是线性代数的核心, 但是传统的教学法重理论、轻应用, 不利于激发学生学习兴趣.本文从求解线性方程组的不同方法入手介绍线性方程组课堂教学的几个典型应用案例, 培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力. 关键词：线性方程组,克莱默法则,矩阵的逆,高斯消元法 参考文献 [1]归行茂, 曹冬孙, 李重华.线性代数的应用[M].上海:上海科学普及出版社, 1994. [2]David C.Lay.线性代数及其应用[M].刘深泉等译.北京:机械工业出版社, 2005. [3]白梅花.线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯, 2011 (27) 200. [4]曹铁川等.应用线性代数[M].大连理工大学出版社, 2011. [5]李尚志.从问题出发引入线性代数概念[J].高等数学研究, 2008 (9) 6-15. 齐次线性方程组AX=0解的判定: 命题:齐次线性方程组AX=0一定有解 (至少有零解) :当秩A=n (未知数个数) 时, AX=0只有零解;当秩A=r<0时, AX=0只有非零解, 即有无穷多解。 这里还需要明确, AB=0时, 则B的列向量为AX=0的解向量, 而A的行向量为XTB=0的解向量, X为列向量, XT为行向量。 1应用AX=0或XTB=0只有零解, 证明AB=0时, B=0或A=0。 例1已知A, B, C分别为m×n, n×p, p×s矩阵, 且秩 (A) =n, 秩 (C) =p, ABC=0, 试证B=0。 证:因秩 (A) =n=A的列数=X的维数, 故AX=0只有零解。而BC的s个列向量显然由ABC=0可知为AX=0的解向量, 故这s个列向量均为零向量, 即BC=0。 再考察方程XTC=0, 因秩 (C) =p=C的行数=XT的维数, 故XTC=0只有零解, 而B的n个行向量为XTC=0的解向量, 故B=0, 证毕。 2应用AX=0或XTB=0有非零解, 求出若干个非零解作为所求矩阵C的列向量或行向量, 使AC=0或CB=0。 例2设A为m×n矩阵, 秩为m, B为n× (n-m) 矩阵, 秩为n-m, 又已知AB=0, α是满足AX=0的一个n维向量, 证明存在唯一的一个n-m维列向量β, 使α=Bβ。 证:设B=[B1, B2, …, Bn-m], 由AB=0可知, B1, B2…, Bn-m是AX=0的解向量。又因秩 (B) =n-m, 故它们线性无关, 而AX=0的一个基础解系所含解向量的个数为n-m, 故B1, B2, …, Bn-m为AX=0的一个基础解系, 于是解向量α可写成它们的线性组合, 设: 其中β=[k1, k2, …kn-m]T, 因B1, B2…, Bn-m线性无关, 故上述线性表示唯一, 因而β唯一, 证毕。 3应用AX=0或XTB=0有非零解, 得到矩阵A或B的秩满足一些关系式。 例3 n阶矩阵A≠0, 试证存在一个非零n阶矩阵B, 使AB=0的充要条件是 (A) <n。 证:先证必要性。 证明一设B=[B1, B2, …, Bn], 则: AB=A[B1, B2…, Bn]=[AB1, AB2, …, ABn]=0 因而ABj=0 (j=1, 2…, n) , 即Bj为AX=0的解向量。 又B≠0, 故B中至少有一列向量Bj≠0, 使ABi=0, 即AX=0有非零解。由AX=0有非零解的必要条件知 (A) <n。 证明二如|A|≠0, 则A可逆.由AB=0得到B=0, 与题设B≠0矛盾, 故|A|=0, 即秩 (A) <n。 下证充分性。 因秩 (A) <n, 故AX=0有非零解。任取其一非零解B1, 则有AB1=0。令B= (B1, 0, …0) , 则有B≠0, 且B中每个列向量都是AX=0的解, 即: AB=A (B1, 0, …, 0) = (AB1, 0, …, 0) =0 于是n阶矩阵B即为所求, 证毕。 4应用AX=0或XTB=0只有零解, 有非零解, 证明A的列向量组或B的行向量组线性无关, 线性相关。 例4设α1, α2…αn是n个向量, β1, β2…βm都是α1, α2…αn的线性组合, 如果m>n, 那么β1, β2…βn线性相关。 证设 其中B=[β1, β2…βm], A= (αij) mxn。如m>n, 则因方程个数少于未知数个数, AX=0必有非零解X0, 将X0代入上式, 得到BX0=0, 即BX=0有非零解, 故β1, β2…βm线性相关, 证毕。 摘要：应用齐次线性方程组有非零解, 只有零解的理论, 对四种不同的情况证明矩阵的秩的关系, 以及矩阵间的线性关系。 关键词：齐次线性方程组,解,秩,应用 参考文献 [1].王爱青, 王廷明.线性方程组解空间的进一步性质及应用[J].大学数学, 2008, 4 [2].周尚启.线性方程组解的结构[J].高等数学研究, 2005, 3 [3].潘劲松.线性方程组解的应用[J].哈尔滨师范大学自然科学学报, 2013, 1 [4].徐德余.线性方程组理论在高等代数中的应用[J].绵阳师范学院学报, 2008, 11 许多工程系统问题太复杂不能直接转换为系统方程去求解, 且常常涉及到参数的不确定性, 而这种复杂性和不确定性往往表现为一个模糊数[1,2].因此, 在解决这类问题时, 经常需要将它转换为一个模糊系统方程去考虑, 这就使得模糊系统方程的求解显得非常重要.近年来, 模糊微分方程 (FDEs) 是一个受众多学者关注的热点, 在理论和应用方面已有很多研究[3,4,5,6]. 由于模糊数和模糊值函数关于加减法运算不存在逆关系, 致使模糊微分方程的求解远远比普通微分方程求解困难得多.2001, Buckley和Feuring[7]就模糊线性微分方程初值问题, 提出两种复杂的分析解法.2007年, 陈明浩等人[8]用实分析的方法讨论模糊函数的微分和积分, 并且研究了模糊微分方程初值问题的解的存在性与唯一性.2008年, 张东凯等人[9]对系数为常数的一阶齐次与非齐次模糊微分方程, 提出了一种新解法.2013年, 郭晓斌等人[10]利用配置法近似模糊微分方程初值问题, 得到了其模糊近似解. 本文将普通微分方程[11]和模糊线性方程组[12]的解法相结合, 提出了一种对n阶模糊线性微分方程初值问题 (其中ai (t) , i=0, 1, …, n-1为[t0, T]上的连续函数, b珘i, i=0, 1, …, n-1为模糊数) 求解的一般方法.例子表明, 我们的方法是有效的. 2 预备知识 定义1 (模糊数) 记E1={u|u:R→I=[0, 1]满足一下性质 (1) - (4) : (1) u是正规的模糊集, 即有x0∈R使得u (x0) =1; (2) 是凸模糊集, 即对x, y∈R, λ∈[0, 1], 有 (3) u是上半连续函数; (4) [u]0={x∈R:u (x) >0}是紧集. 对u∈E1, 称为模糊数, 而E1称为模糊数空间. 基于Zadeh的扩张原理, Dubois和Prade[2]就模糊数的加法, 减法和数乘给出了如下的计算公式.设0≤r≤1和任意实数k, 1.x=y当且仅当且 引理1 对u∈E1, 以u (r) , u珔 (r) 记[u]r的上、下端点, 则u (r) , u珔 (r) 均为[0, 1]上的函数, 且满足 (1) u (r) 单调非降左连续; (2) (r) 单调非增左连续; (4) 在r=0处右连续. 反之, 若对任何满足上述条件 (1) - (4) 的[0, 1]上的函数a (r) , b (r) , 存在唯一的模糊数u∈E1使 3 解法分析 对n阶线性微分方程模糊初值问题 我们的解法分4步进行: 首先, 用常微分方程的方法求出n阶线性微分方程 (3.1) 的通解 其中i (t) , i=1, 2, …, n方程 (3.1) 的一个基础解系, Ci, i=1, 2, …, n为任意常数. 其次, 将初值条件代入, 建立一个模糊线性方程组 该方程组以C1, C2, …Cn为未知量. 第三, 应用M.Friedman等人[12]的方法, 将方程 (3.4) 整理为 其中si, j这样确定: 当 当 任何无须用上述条件确定的sij均赋值0, i≤i, j≤2n. 最后, 求出线性方程组 (3.5) 的唯一解 从而得到原问题的模糊解为 或者 如果 (3.5) 的解不唯一, 则说明该阶线性微分方程模糊初值问题的解不存在或者存在不唯一. 4例子 例1 考虑下列三阶模糊线性微分方程初值问题 首先, 求得线性微分方程的通解为 则 其次, 利用初值条件建立 其扩展的线性方程组为 解上述方程组得到 C1 (r) = (2+r, 4-r) , C2 (r) = (-5-2r, -9+2r) , C3 (r) = (3+2r, 7-2r) .由此得到方程的准确解为: 例2 考虑下列二阶模糊线性微分方程初值问题 首先, 求得线性微分方程y″+y′-2y=et (cos t-7sin t) 的通解为 则 其次, 利用初值条件建立 其扩展的线性方程组为 解上述方程组得到 由此得到方程的准确解为 预应力混凝土经过近半世纪的发展, 目前在我国已成为土建工程中一种十分重要的结构材料, 应用范围日益扩大, 由以往的单层及多层房屋到公路、铁路桥梁、水塔等。在桥梁结构领域中, 预应力技术作为一种结构手段, 又将与施工方法结合形成一套以节段式施工为主体的预应力施工方法。主要有预应力悬臂分段施工技术, 大节段预制吊装技术等。这些施工技术与预应力技术是紧密相关的。 我们知道, 预应力一般都是通过千斤顶与压力表配套来施加, 由于预应力应用广泛, 力值变化多, 如何通过力值确定压力表读数就成了问题。为了解决这类问题就需要研究两个变量间的关系, 一元线性回归方程是处理两个变量相关关系的一种统计技术。 2 一元线性回归方程的建立 在客观世界中, 变量之间的关系大致可分为两种类型, 函数关系和相关关系。当两个变量存在相关关系时, 常常希望在两者间建立定量关系, 两个相关变量间的定量关系表达的就是一元线性回归方程。假如, n个点在一条直线附近波动, 一元线性回归方程便是对这条直线的估计。 1) 设一元线性回归方程的表达式为: 对给定的n对数据 (Fi, Pi) , i=1, 2, …, n, 要我们根据这些数据去估计a和b。如果a和b已经估计出来, 那么在给定的Fi值上, 回归直线上对应点的纵坐标为: 称 b=LFP/LFF (2) 这一组解称为最小二乘估计, 其中, b为回归直线的斜率, 称为回归系数;a为回归直线的截距, 称为常数项。 2) 一元线性回归方程求解。 TF=∑Fi;TP=∑Pi。 3 一元线性回归方程的显著性检验 建立回归方程的目的是表达两个具有线性相关的变量间的定量关系, 因此, 只有当两个变量具有线性相关关系时所建立的回归方程才有意义。检验两个变量间是否存在线性相关关系的问题便是对回归方程的显著性检验。通常的方法是相关系数检验法。 相关系数:是两随机变量间线性联系密切程度的度量, 这个量称为相关系数r。随机变量之间的线性相关性就是:当一个变量增大时, 另一变量有按线性关系增大或减小的趋势。当|r|越接近1时, 这种趋势就越明显。当|r|=0时, 两变量就不存在线性联系, 即无线性相关性。 根据所求的两个变量的相关系数r, 对于给定的显著水平α, 相关系数r显著性判定为: |r|>r1-α/2 (n-2) (8) r1-α/2 (n-2) 是检验相关系数的临界值, 通过查表求得 (见表1) 。如果相关系数r满足式 (8) , 便认为两个变量间存在线性相关关系, 所求回归方程是显著的, 即回归方程有意义。 例如:根据公式 (4) , (5) , (6) 所求数据: 显著性判断:根据式 (8) , 查表1: 假如显著水平α=5%, r1-α/2 (n-2) =r97.5 (9) =0.602;假如显著水平α=1%, r1-α/2 (n-2) =r99.5 (9) =0.735, 因此认为千斤顶的力值与压力表读数存在线性相关关系, 即回归方程有意义, 可以用于实践。 4 一元线性回归方程的应用 当所求一元线性回归方程经检验为有意义的方程后, 就可用于实践。在预应力施工中, 当知道力值, 即可求出压力表读数, 从而不必每次对千斤顶和压力表进行校验。 例如:已知F=1 150 kN, 根据所求回归方程: 5 应用中注意事项 1) 千斤顶与压力表必须是经配套检验, 并且配套使用。2) 尽量采用高精度耐振压力表, 以减小误差。3) 一旦压力表或者千斤顶损坏, 经修理后, 必须重新进行配套检验, 建立方程, 进行显著性检验, 合格后方可使用。 6 结语 通过一元线性回归方程的建立, 在预应力施工中, 我们可以根据所需的应力值求出任一相对应的压力表值, 从而减少了重新配套校验的程序, 大大节省了时间, 并节约了成本。 摘要：着重介绍了预应力张拉施工中, 千斤顶与压力表配套校验后一元线性回归方程的建立、显著性检验、应用及注意事项, 通过一元线性回归方程的建立, 可以减少重新配套校验的程序, 大大节约时间和成本。 关键词：预应力,回归方程,相关系数,显著性检验 参考文献 [1]JTJ 041-2000, 公路桥涵施工技术规范[S]. 关键词：线性回归分析化学应用 1 概述 线性回归法在煤质化验中应用十分广泛，例如煤中砷、氯、锗、硅等元素的测定都用到了一元线性回归分析法。当我们研究客观现象时，发现某些变量之间存在一定的关系。这种关系可以分为两类：一类是变量之间存在着确定性关系，即数学上的函数关系，只要自变量x的取值确定了，因变量y的取值就唯一地确定了；另一类关系为非确定性关系，即相关关系。函数关系与相关关系的差别在于：函数关系是由x决定y的值，相关关系是由x取值决定y值的概率分布。我们用ei来表示某一个点与拟合直线的垂直偏差，基于适合度要求的最小二乘标准要求我们将这些垂直偏差的平方和最小化。 2 一元线性回归 2.1 一元线性回归方程的建立 一元线性回归方程是回归分析中最重要且最简单的情况。 对于具有n个实验点（xi，yi）（i=1，2，…，n）的校正曲线为： yi=a+bxi+ei（1） 式中ei为残差。 在分析校正时，可取不同的xi值测量yi，用最小二乘法估计a与b值，其目的在于使残差平方和达到最小。 2.2 一元线性回归方程的显著性检验 用最小二乘法拟合回归方程与回归线只表明各实验点与所拟合的回归方程和回归线的变差平方和最小，并没有证明所拟合回归方程与回归线肯定有意义。至于所拟合回归方程是否有意义，尚需进行统计检验。回归方程的显著性检验，可使用F检验法和相关系数检验法，其中相关系数检验法更常用。 r=1时，x与y完全线性相关，所有的yi值都在回归线上。 r=0时，b=0，即根据最小二乘法确定的回归直线平行于x轴，这说明y的变化与x无关，这时x与y没有线性关系。 0<｜r｜<1这是绝大多数的情形，x与y之间存在着一定线性关系。当r>0时，b>0，直线的斜率是正的，y值随着x增加而增加，此时称x与y为正相关。当r<0时，b <0，直线的斜率是负的，y值随着x增加而减小，此时称x与y为负相关。 以相关系数判断线性关系的好与不好时，还应考虑测量的次数和置信水平。r出现的概率遵从统计分布规律，根据对r出现概率的研究，数学家已经编制出了检验相关系数的临界值表。 3 二元回归分析 3.1 二元回归方程的建立 在分析测试实际工作中，在许多情况下，影响分析信号强度（吸光度、谱线强度、极谱电流等）的因素不止一个，要找到分析信号强度（因变量y）与影响它的因素（自变量x）之间的关系，就要用到多元回归。其中，二元回归分析是多元回归分析中一种最简单的情况。 设两个自变量分别为x1和x2，因变量为y，则二元线性回归方程可表示为： y=a+b1x1+b2x2 3.2 二元回归方程的显著性检验 与一元线性回归相似，需要对所建立的二元线性回归方程进行显著性检验，要用一个称之为全相关系数的量R来表征它们之间的相关程度。 R=■ 式中i=1，2，…，m，m为自变量的数目。全相关系数R取值在0≤R≤1，R越接近于1，说明相关的程度越好。相关系数临界值可以由相关系数表中查出，判断方法同一元线性回归方程相似。 4 利用计算机技术在分析化学中进行回归分析 回归分析是用于实验数据处理的一个非常重要的数学工具，在分析化学领域得到了广泛的应用。然而对于分析化学实验中的大量数据进行回归分析，计算工作是较为繁复的。为此，可通过计算机编程的方法减少计算量。目前很多统计软件被开发出来用于回归分析，使得回归分析的应用更加方便快捷。 常用的统计软件有SAS(Statistical Analysis System)，SPSS(Statistical Package for the Social Science) 和Excel等，其中Excel比专业统计软件更易学、易用，是一种较好的统计软件，在数据处理中得到了广泛的应用。 Excel提供了众多的回归分析手段，如分析工具库、规划求解、图表功能和内置函数都能用于回归分析。 用Excel计算，可免去繁复的计算，具体步骤如下：①在Excel表格中输入实验数据。②用上述数据绘制散点图。③通过添加趋势线计算回归方程。 5 结束语 在分析化学的数据处理中，回归分析尤其是线性回归分析有着举足轻重的地位，在环境监测、生物、食品、钢铁冶炼等多个领域都有着广泛应用，计算机的引入更是使得回归分析更加快捷方便，减少了大量的繁复的计算。线性回归定将在分析化学各个领域发挥更大的作用。 参考文献： [1]王学仁，温忠粦编译.应用回归分析[M].重庆大学出版社，1989. [2]邓勃.分析测试数据的统计处理方法[M].北京.清华大学出版社，1995.105-151. [3]梁潇.一种计算机处理分析化学实验数据的方法[J].化工高等教育，2003，4：67-68. 关键词：一元线性回归,曲线拟合,标准曲线,相互关系 本刊2010年第2期刊登的《一元线性回归方程在标准曲线上的应用》[1]方法原理明确,思路严谨,能为读者提供一种研究思路。然而,对于变量间的变化关系该文仅介绍了一元线性回归的方法,一元线性回归的方法在描述变量间的变化关系时适用范围有限,仅适用于直线或接近直线关系的情况,且通常精度不高。在该文研究的基础上,本文引入曲线拟合作为补充,其适用范围更广,以求为相关科技工作者寻找变量间的相关关系提供参考。 1 曲线拟合求解 对于变量间的相关关系研究,宜先作散点图,以观察变化趋势,进而确定其回归方程。曲线拟合中,主要的曲线形式有线性、二次曲线、三次曲线、复合曲线和对数曲线等,针对各种曲线的自身特点,并结合散点图,即可确定大致服从的曲线变化关系。该文实例中在(23±0.6)℃、相对湿度(90±2)%时,水蒸气通过某中空玻璃用丁基热熔密封胶进入干燥剂的速度数据见表1,其中横坐标x为时间/d,纵坐标y为质量/g,作散点图,经分析,其变化趋势应服从三次曲线分布,方程为: 运用最小二乘法原理,使达到最小。 求解时,对于曲线拟合中的众多线形,其公式甚为繁琐,运用最小二乘法原理计算工作量较大,因而对于求解部分可借助相关软件进行,运用Spss对上述数据进行三次拟合[2],可得回归方程: 根据回归方程可得其拟合曲线,见图1。 由图1可知,三次曲线比一元线性回归拟合效果更好,能更准确地反映变量间的变化关系。 2 回归方程相关性验证 依照该论文的验证方法,x与y之间确有线性关系时,回归方程才有实际意义,因此得到的回归方程必须进行相关性检验。一元回归方程习惯用相关系数r来检验。r=±1时,所有的实验点都落在回归线上,实验误差为0;r=0~1时,x与y之间有不同程度的相关性,r值愈接近1,x与y之间线性关系愈好。利用三次曲线相关系数为r=0.999 04,而该文中的相关系数才为0.997 9,因而三次曲线的相关系数r更接近于1,由相关系数的意义可知,三次曲线中x与y之间线性关系比一元线性回归要好。 对于置信度的检验,查表2,在置信度为99.9%,自由度f=n-2=10-2=8时,r99.9,8=0.872 1,r>rp,f。所以,该文中水蒸气透过丁基胶的质量和时间存在很好的线性关系。 3 结论 通过上述分析计算,曲线拟合较一元线性回归精度更高,可用于在材料性能检测与试验研究过程中准确寻找变量间的相关关系,且由于曲线拟合形式的多样性,使其适用范围更广,弥补了一元线性回归的方法在描述变量间的变化关系时适用范围有限的缺陷,可以为相关科技工作者寻找变量间的相关关系提供参考。 参考文献 [1]林良.一元线性回归方程在标准曲线上的应用[J].中国建筑防水,2010(2):41-42. 【线性方程组应用分析】推荐阅读： 序列线性方程组08-04 线性代数方程组08-23 n元线性方程组07-24 非线性微分代数方程组10-09 3线性方程组典型习题解析05-22 线性微分方程06-30 一元线性回归方程07-09 线性偏微分方程09-27 基于线性微分方程解06-22 变系数线性微分方程08-26线性方程组课堂教学的应用案例 篇5
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