常系数线性微分方程

2024-09-28

常系数线性微分方程（共8篇）

常系数线性微分方程篇1

一、引言

考虑常系数非齐次线性微分方程组:x′=Ax+f (t) , 其中A是n×n常数矩阵, f (t) 是连续的n维列向量函数。

在现行的常微分方程教材中对于常系数非齐次线性微分方程组的求解采用的几乎都是由常数变易法得到的常数变易公式:x (t) =准 (t) c+准 (t) 蘩准-1 (t) f (t) dt。[1,2]此公式是求解该类问题的基本公式, 具有普遍性意义。然而此公式在系数矩阵的阶数较高时, 基解矩阵的求解并不容易, 最后的积分计算量也比较大。本文对于一类系数矩阵具有互异特征值的常系数非齐次线性微分方程组给出了一种计算量相对较小的方法———线性变换法。

二、线性变换法应用

引理1[3]:矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关。

引理2[3]:矩阵A可化为对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理:设常系数非齐次线性微分方程组x′=Ax+f (t) 的系数矩阵A具有n个不同特征值λ1, λ2, …, λn, 对应的特征向量为α1, α2, …, αn, 令P= (α1, α2, …, αn) , g (t) = (g1 (t) , g2 (t) , …, gn (t) ) T=P-1f (t) , 则方程组x′=Ax+f (t) 的通解为:

证:由已知系数矩阵A具有n个不同特征值λ1, λ2…λn, 对应的特征向量为α1, α2, …, αn, 根据引理1和引理2, 系数矩阵A可化为对角矩阵:

作线性变换x=Py, 则方程组转化为:y′=Qy+g (t) , 其中g (t) =P-1f (t) 。

又设y= (y1, y2, …, yn) T, 则方程组又可化为:y′i=λiyi+gi (t) , (i=1, 2, …, n) 。

求解上述一阶微分方程得:yi (t) =eλ1t[蘩g1 (t) e-λ1tdt+c1] (i=1, 2, …, n) 。

再利用线性变换x=Py, 即可求得原方程组的解:

将方程组化为两个方程:

解之得:

再代入x=Py, 最后求得方程组的解为:

我们再用常数变易法来计算得特征值:λ1=5, λ2=-1。对应的特征向量:α1= (1, 2) T, α2= (1, -1) T。

利用常数变易公式, 得:

三、结语

两种方法比较来看, 殊途同归, 但从-1 (t) 的求解及最后的积分计算来看, 常数变易法的计算量明显大得多, 并且随着系数矩阵A的阶数的增加, 相应的计算量也会更大。因此, 笔者提出的线性变换法不失为一种比较好的计算方法。

摘要：本文探讨了常系数非齐次线性微分方程组在系数矩阵具有互异特征值时的一种解法——线性变换法, 并与一般解法——常数变易法作了比较。

关键词：常系数非齐次线性微分方程组,特征值,特征向量,线性变换

参考文献

[1]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松.常微分方程 (第二版) [M].北京:高教出版社, 1983.

[2]丁同仁, 李承志.常微分方程教程 (第二版) [M].北京:高教出版社, 2004.

[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数 (第二版) [M].北京:高教出版社, 1988.

常系数线性微分方程篇2

一类非线性二阶常微分方程的正周期解

考察非线性二阶常微分方程u″(t)=,(t,u(t))关于周期边界条件u(0)=u(2π),u′(0)=u′(2π)的正解,由于该方程没有Green函数,通常的方法是无效的.利用适当的转换技巧和锥上的不动点定理证明了这个周期边值问题的.n个正解的存在性,其中n是一个任意的自然数.

作者：姚庆六 YAO Qingliu 作者单位：南京财经大学数学系,南京,210003刊名：系统科学与数学 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCE AND MATHEMATICAL SCIENCES年，卷(期)：28(1)分类号：O1关键词：二阶常微分方程周期边值问题正解存在性多解性.

常系数线性微分方程篇3

在《高等数学》课程中, 常微分方程的基本解法是课程的重要部分, 这部分内容的难点集中在二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法[1,2]. 笔者在教学中发现很多学生对这种方程的特解公式难以掌握, 又由于计算量较大, 许多学生即使掌握了求特解的公式, 但在计算待定系数时错误仍然较多. 例如求系数的代数方程列错, 或代数方程列对, 但结果求错.

本文介绍二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法, 归纳记忆特解公式的几个原则, 并提出求待定系数的简化公式法. 利用简化公式法, 更容易得到待定系数的代数方程.

2. 特解公式及其记忆原则

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为

其中p, q为常数, f ( x) 为非齐次项, 或称为自由项, 不恒等于0. 下面介绍f ( x) 为多项式、指数函数 ( 以e为底) 、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.

其解法是先求对应齐次方程y″ + py' + qy = 0 的通解Y, 再求方程 ( 2. 1) 的一个特解y* , 则 ( 2. 1) 的通解为y = Y +y* . 对于齐次方程的通解Y的求法, 本文不作介绍. 我们只介绍 ( 2. 1) 的特解y* 的求法.

对于f ( x) = Pm ( x) ekx的二阶常系数非齐次线性微分方程 ( 2. 1) , 可设特解为y* = xsQm ( x) ekx, 其中Qm ( x) 是和Pm ( x) 同次 ( m次) 的系数待定的多项式, s的取值为

对于f ( x) = eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx], 同样用待定系数法, 可设 ( 2. 1) 的一个特解为y* = xseαx[Ql ( x) cosβx + Rl ( x) sinβx],

其中l = max{ m1, m2} , Ql ( x) , Rl ( x) 为l次系数待定的多项式, s的取值为

求特解y* 的关键是如何正确设出y* 的形式. 初学者常常设错, 为此我们归纳设y* 的几个基本原则.

原则一: 与自由项形式相同原则

该原则是指, 当k或 α ± βi不是方程的特征根, 则所设特解y* 与自由项f ( x) 的形式相同.

例如, 若0 不是方程的特征根且f ( x) = x3+ 1, 则设y*=Ax3+Bx2+Cx+D;

若5不是方程的特征根且f (x) =4e5x, 则设y*=Ae5x;

若2不是方程的特征根且f (x) =e2x (x2-1) , 应设y*=e2x (Ax2+Bx+C) ;

若 ± 4i不是方程的特征根且f ( x) = sin4x, 应设y* =Acos4x + Bsin4x; 等等.

原则二: 乘以x或x2的原则

若k或 α ± βi为方程的单特征根, 则所设的特解中除了包含与自由项形式相同的部分, 还应乘以x; 若k或 α ± βi为方程的二重特征根, 则所设的特解中除了包含与自由项形式相同的部分, 还应乘以x2.

原则三: 叠加原理求特解原则

该原则是指: 若自由项较为复杂, 应将自由项拆成若干Pm ( x) ekx和eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx]的形式和, 从而将方程拆成若干个简单 ( 即自由项为以上两种情况) 的二阶常系数非齐次线性微分方程, 每个简单方程分别求出特解, 则原方程的特解即为这些简单方程特解的和.

例如, 若f ( x) = f1 ( x) + f2 ( x) 且f1 ( x) , f2 ( x) 都是Pm ( x) ekx或eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx]的形式, 则先分别对f1 ( x) , f2 ( x) 求出特解y1*, y2*. 利用叠加原理, 其和y1*+ y2*为f ( x) 的特解.

原则一和原则二说明, 方程 ( 2. 1) 的一个特解的形式常从自由项f ( x) 的形式推出. 从本质上讲, 这整个工作只不过是作一种巧妙的猜测, 其中包含足够多的待定系数供调配, 以适合各类函数的要求.

3. 求待定系数的简化公式法

设非齐次方程的特解y*的形式掌握后, 剩下的就是计算问题. 但由于计算量较大, 初学者错误较多, 一般错误集中在求系数的代数方程列错. 下面我们提出求待定系数的简化公式法, 利用该方法, 可更为便捷地计算待定系数.

假设方程 ( 2. 1) 的自由项f ( x) = G ( x) ekx, 其中G ( x) 是没有指数形式的x的函数. 设y*= H ( x) ekx为方程 ( 2. 1) 的一个特解, 其中H ( x) 是x的待定函数.

将y*= H ( x) ekx代入方程 ( 2. 1) 进行计算并消去ekx≠0, 得

要得到原方程的特解y*, 即要求出H ( x) , 而这只需比较 ( 3. 1) 左右两端的系数.

因此, 当我们设好了特解y*, 无须把y*代入原方程, 只要确定了y*中的H ( x) , 将H ( x) 直接代入 ( 3. 1) 式即可. 用公式 ( 3. 1) 的优点在于, 不需要把y*中的指数函数ekx代入原方程求导, 这极大简化了中间计算过程. 而且当k是方程的特征根, 还可以更加简单. 在计算时, 按照k可以分成三种情况:

( 1) 如果k是方程的二重特征根, 那么k2+ pk + q = 0 且2k + p = 0, 此时 ( 3. 1) 式简化为H″ ( x) = G ( x) .

( 2) 如果k是方程的单重特征根, 那么k2+ pk + q = 0, 但2k + p≠0, 此时 ( 3. 1) 式简化为H″ ( x) + ( 2k + p) H' ( x) =G ( x) .

( 3) 如果k不是方程的特征根, 那么k2+ pk + q ≠0 且2k + p≠0, 此时 ( 3. 1) 式不能简化.

例3 求微分方程y″ + 4y' + 3y = xe- 3x的通解.

一般解法: 特征方程r2+ 4r + 3 = 0, 解得r1= - 1, r2=- 3, 所以原方程对应的齐次方程通解为Y = C1e- x+ C2e- 3x.再求原方程的一个特解y*. 因为原方程自由项为f ( x) =xe- 3x, 而- 3 是特征方程的单根, 故可设特解形式为y*=xe- 3x ( Ax + B) , 其中A, B为待定系数. 将y*= xe- 3x ( Ax + B) 代入原方程. 为此, 需先计算

再将 ( y*) '和 ( y*) ″代入原方程, 得

化简, 得e-3x (-4Ax-2B+2A) =xe-3x,

亦即-4Ax-2B+2A=x.

由2A - 2B = 0, - 4A = 1, 得

所以原方程的通解为

可以看到, 设好特解y*后, 求 ( y*) '和 ( y*) ″的计算量很大. 下面我们利用公式 ( 3. 1) 的方法来进行计算.

简化公式法: 求对应齐次方程的通解Y和设原方程的一个特解y*= xe- 3x ( Ax + B) 与一般解法一样, 我们此处不再赘述. 下面我们来计算A和B. 为利用公式 ( 3. 1) , 先找出G ( x) = x, H ( x) = Ax2+ Bx, k = - 3, p = 4, q = 3. 因为k =- 3 是特征方程的单根, 故公式 ( 3. 1) 为H″ ( x) + ( 2k + p) H' ( x) = G ( x) ,

即2A+ (-6+4) (2Ax+B) =x,

亦即-4Ax+2A-2B=x.

接下来的解法与一般方法一样, 通过比较系数求得, 从而.所以原方程的通解为

4. 结论

从第3 节例子可以看到, 一般解法中将y*代入原方程的计算量往往非常大. 大部分学生都只能设出特解, 解不出待定系数或解出的结果有误.

利用简化公式法, 可以避开求 ( y*) '和 ( y*) ″的过程, 而是计算更简单的H″ ( x) , H' ( x) , 这将使计算量大为减少.在教学中我们发现, 采用简化公式 ( 3. 1) , 大部分学生都能算正确结果.

参考文献

[1]张效成, 刘克勤, 孙凤芝.高等数学 (下) [M].北京:北京邮电大学出版社, 2012:242-248.

[2]陈新明, 胡新姣.常系数线性非齐次微分方程的简单解法[J].大学数学2008, 3:156-159.

[3]赵志勇, 薛运华.高等数学习题课讲义 (下) [M].天津:南开大学出版社, 2008:190-194.

常系数线性微分方程篇4

通过求导可以发现特征多项式的i阶导就是i! Ji其中将λ换成指数系数s.

i重根满足f ( k) = 0 ( k = 1, 2, …, i - 1) , f ( i) ≠0.

若s是特征方程的i重根, 则Jk= 0 ( i = 0, 1, …, i - 1) , Ji≠0.

显然只有满足l = i, 才能使等式两边可能相等

而又由x = yest,

则可假设x = ti ( d0+ d1t + d2t2+ … + dmtm) est.

x代入初始方程两边相等便可列出等价方程, 此方程一定可解出di ( i = 0, 1, …, m) , 这样我们便完整地证明了线性非齐次常系数方程待定系数法求特解的方法.

2. 满足一定条件的微分方程有界性引例

给定方程x″ + 8x + 7 = q ( t) , 已知q ( t) 在0≤x≤+ ∞连续,

( 1) 若q ( t) 在0≤x≤+ ∞上有界, 则此方程的每一个解在0≤x < + ∞上有界.

( 2) , 则此方程每一个解x ( t) 都有

( 1) 解: 可列出特征方程λ2+ 8λ + 7 = 0,

得λ1= - 1, λ2= - 7.

∴相应的线性齐次方程的解为C1e- t+ C2e-7t ( C1, C2为任意常数) .

由常数变异法取x = C1 ( t) e- t+ C2 ( t) e-7t ( * ) .

先只考虑C1 ( t) ,

可取C'1 ( t) 的特殊积分作为C1 ( t) .

代回 ( * ) 中,

由于p ( t) 有界, 不妨设|p (t) | < 6M, 则

则I有界.

同理可证C2 ( t) e-7t有界.

由常数变异法可知 ( * ) 为一特解, 则这一特解有界

可得方程任一解均可表示为

显然x在 ( 0, + ∞ ) 有界.

( 2) 解: 同题 ( 1) 中可以得到方程的解为 ( * ) + C1e- t+C2e-7t.

显然对任一C1, C2, C1e- t+ C2e-7t均是趋于无穷极限为零的.

那么就只需讨论 ( * ) 的极限.

同样我们先考虑可取C1' ( t) 的特殊积分作为C1 ( t) 的极限.

∴对时, |q ( t) | < 6ε由于t总会趋于无穷, 不妨取t > N

这样就证明了I取t→+ ∞时极限为0.

同理可证C2 (t) e-7t极限为0.

3. 满足一定条件的微分方程有界性说明分析证明

经过引例的证明, 可以发现引例的方程的特征多项式的解均为负实值.

不妨设一微分方程的特征多项式的解为b1, b2, …, bn均为负实值且互不相同, p ( t) 在 ( 0, + ∞ ) 上有界来讨论其解的有界性.

证: 显然方程对应的齐次方程的解为:

与引例同样, 根据常数变异法:

可列出方程:

可得系数行列式

这里也先只考虑C1 ( t) , 通过cramer法则, 可以解得:

∴方程的任一解x均在 ( 0, + ∞ ) 有界.

这样就证得了满足一定条件的微分方程的有界性.

当也可仿照引例的方法证明, 这里不再赘述.

参考文献

常系数线性微分方程篇5

1变系数二阶线性微分方程的应用

随着信息技术的快速发展, 数学知识越来越多地被应用到这些信息技术领域。无论在电力网络, 交通运输业, 电子技术, 工程造价, 化学, 自动运输网, 生物学, 建筑工程, 数字通讯网中, 还是简单的日常生活, 利用数学知识解决现实生活问题的现象已经越来越广泛。

从古至今, 人们对解答微分方程的问题已经深有研究, 针对变系数二阶线性微分方程也有一定的解决方法。但是, 由于是二阶的微分方程, 计算量很大, 幂的次数较高, 所以解决的时候会比较麻烦。而降阶法的运用在解决变系数二阶线性微分方程中还是较为方便快捷的。用降阶法解决这类问题, 最关键的是要把二阶线性微分方程如何转化为一阶线性微分方程, 当然之前也要了解这个方程能否可以进行降阶转化。

此外, 数学的其他分支与变系数二阶线性微分方程也是有密切关系的, 二者可以互相促进, 共同发展。众所周知, 在数学学习过程中, 几何学的解决很多就要用到变系数二阶线性微分方程的知识, 所以说, 变系数二阶线性微分方程的进步发展与完善, 对于几何学来说也是至关重要的;在另一个角度说, 也就是, 变系数二阶线性微分方程的发展可以有力地促进数学领域其他分支的进步。

2一种求解变系数二阶线性微分方程的方法

利用变量替换法可以使方程降价进行求解, 利用这种方法解决变系数二阶线性微分方程也是可以的。例如下面这个方程:2

设其中的非零特解y1是已知的, 并让y1作替换变量,

其中, 为未知的函数, 求导为

求二阶导数可得:

带入式可得:

易知, 这是一个关于的二阶线性齐次方程, 每一项系数都为x的已知函数, 因为1是式的解, 所以其中的

所以, 式可以转化为

替换变量, 使得, 由此可得:

下一步, 分离变量, 可得:

两边积分, 得到通解:

其中, c2为任意一个常数。再一次进行积分运算得:

带回原来的变量得到式的通解:

这个公式是二阶线性齐次方程式中的一种公式, 对于这类方程, 解答的过程中采用降价法, 已知一个非零特解, 通过两次转变之后, 就可以把二阶线性微分方程转化成一阶形式, 这样就可以求得通解。当然, 对于非齐次微方程, 运用这种方法解决也是可以的, 知道了一个特解就可以做出方程转化, 进行降价, 这种转变并不影响方程的结构。

其实, 所有的系数微方程都是可以解决的, 但是, 对于变系数二阶线性微分方程来说, 由于计算量比较大, 除了近似的解法之外, 还没有发现更为普遍的解决方法。所以说, 发现一种较为简便的方法是十分必要的。

综上所述, 常系数微方程在数学研究领域占有十分重要的地位, 变系数二阶线性微分方程在自然科学、物理学等科学技术领域的应用也是非常广泛的。运用降阶法解决这类问题是比较有效的, 加大对变系数二阶线性微分方程的研究力度, 寻求更为便捷的解决方式, 不仅对于数学研究和其他数学分支的进一步发展有重要意义, 而且可以对其他相关领域的研究进步做出更大的贡献。可以说, 二阶变系数线性微方程已经取得了很大的成就, 但是, 这些并不能满足相关研究领域的需要, 还需要我们继续付出更大的努力, 寻求更好的解决方法, 促进这一学科的完善, 使得我国这方面的成就跻身于世界数学研究的巅峰之上。

摘要：变系数二阶线性微分方程是大学数学学习的重要内容, 本文对变系数二阶线性微分方程的解法进行探究, 得到了几种求解方法。笔者通过求解该类方程的过程, 以进一步指导大学数学教育的进步。

关键词：变系数二阶线性微分方程,解法,常数变易法

参考文献

[1]夏敦行.二阶变系数线性微方程方程的解法[D].武汉:武汉科技大学, 2009.

常系数线性微分方程篇6

在流体力学、弹性震动理论等许多科研领域中, 常常需要研究具有周期系数的微分方程问题的解。关于这类问题的解的稳定性理论已得到较为系统的研究, 常用的方法有李雅普洛夫方法、摄动方法等, 形成了一套较为完善的理论, 如Floquet理论[1][2]。遇到此类问题一般都采用数值方法求取近似解, 主要原因是因为一般很难得到问题的解析解。

求解周期系数线性微分方程组的精确解, 最关键的步骤是求出对应齐次方程的基础解系。本文旨在初步探讨对于一些特殊的周期系数微分方程的初值问题, 采用特殊的方法求出其精确解。

2、周期系数线性微分方程组的解

对于线性系统

其中A是以T为周期的连续函数, 即对任意的t有A (t+T) =A (t) 。根据Floquet理论[1], 方程 (1) 的解存在并且具有如下结构

其中ρi为特征指数, pi (t) 是与A (t) 具有相同周期的周期函数。

求此类微分方程精确解的方法主要是通过矩阵变换。令

其中x, u皆为列向量。将 (2) 代入 (1) 中可得

如果能找到变换矩阵U (t) , 使为若当型矩阵或对角型矩阵, 则 (3) 可解, 从而 (1) 可解。特别地, 当 (4) 为常数矩阵时, (3) 或 (1) 是可解的。整理 (4) 可得

我们可以根据等式 (5) 构造U (t) 来对方程组 (1) 求解。

3、几个例子

例1

其中p为常数，对于方程组（6）我们可得

为正交矩阵, 其中a (t) , b (t) 为待定函数。将 (7) 代入等式 (5) 中可得

可知当a (t) cos t, b (t) =sin t时等式 (5) 成立。从而在变换

下，我们可得

当时，方程（9）得基本解组为

(1 0) 代入变换 (8) , 得方程 (6) 的基本解组为

当时，设时于此相同），方程（9）变

方程（11）的基本解组为

从而（6）的基本解组为

当|p|<1时, 方程 (9) 的基本解组为

从而可得方程组 (6) 的基本解组。

例2对于方程组

令

复数域求解B的特征根和其他特征向量得

求得对应得特征向量为我们可得

在变换

将 (3 5) 代入 (3 0) 整理得

求解方程 (1 7) 得

带入变换可得（13）得基解矩阵为

例3对于型如方程组

的问题, 由于无法找到合适的矩阵变换, 用上述方法难以求得精确解表达式。

参考文献

[1]D. W. Jordan, P. Smith. Nonlinear Ordinary Differential Equation[M], 3rd Edition, Oxford University Press, 1999.

变系数二阶线性方程解法拓展篇7

一、通过选择法来求出方程的特解, 从而得到方程的通解

例1求方程 (2x+1) y″+4xy′-4y=0的通解.

解用选择法来求其特解.这里可用形如y1=eax或者y1=xn+a1xn-1+a2xn-2+…求出其特解.我们将y1=eax代入原方程, 通过比较系数得:a=-2, 即得y1=e-2x是原方程的一个特解.我们再用y2=x2+a1x+a2代入方程中得到方程的另一特解:y2=x.

所以我们可得到原方程的通解:y=c1x+c2e-2x (其中c1, c2为任意常数) .

例2求方程x (x-1) y″-xy′+y=0的通解.

解可用例1的选择法求得方程的一个特解y1=x, 它不含有形如y=eax的特解, 我们可利用变换公式方程就化为:解得一个特解为z=xln x+1, 则可得原方程的通解为:y=c1x+c2 (x ln x+1) (其中c1, c2为任意常数) .

二、对于非齐变系数线性方程, 则可先求出对应的齐

线性方程的通解, 再用常数变易法 (通用之法) 求得非齐线性方程的通解

例3求方程的通解.

解先求对应的齐线性方程x (x+1) y″+ (x+2) y′-y=0 (1) 的一个基本解组, 为此只要求出 (1) 的两个特解.用选择法, 可知 (1) 的一个特解为y1=x+2, 作变换令将 (2) 代入 (1) 得另一个特解为

我们已求得方程 (1) 的两个解为:

所以方程 (1) 的通解为: (其中c1, c2为任意常数) (3) , 把 (3) 中任意常数看作x的待定函数c1 (x) , c2 (x) , 这时 (3) 变为 (4) 可求得原方程的通解为: (其中c1, c2为任意常数) .

三、如果变系数齐线性方程的特解不好用选择法求出, 可以采用未知函数的线性代换y=a (x) z消去含有一阶导数的项, 把方程变为常系数方程

例4求方程 (x2y″-2xy′+ (x2+2) y=0的通解.

解令y=a (x) z, 则y′=a′ (x) z+a (x) z′, y″=a″ (x) z+2a′ (x) z′+a (x) z″.

令含有z一阶导数的系数为零, 得2x2a′ (x) -2xa (x) =0 (2) , 这是一个一阶变量分离方程.解得一个特解为a (x) =x, 可知a′ (x) =1, a″ (x) =0, 代入 (1) 化简得z″+z=0 (3) , 方程 (3) 是一个很简单的常系数齐线性方程, 解之得z=c1cos x+c2sin x… (4) (其中c1, c2为任意常数) .

所以原方程的通解为y=c1xcosx+c2x sin x (其中c1, c2为任意常数)

四、用自变量代换t=φ (x) 消去含有一阶导数的项来求方程的通解

例5求方程 (x2+1) y″+xy′+y=0的通解.

分析这个方程用选择法不容易得到方程的特解, 我们可采用变量代换t=φ (x) 来消去含有一阶导数的项, 把方程变为简单的常系数方程.

在 (3) 中令含有一阶导数的项的系数为零即:

将 (4) (5) 代入方程 (3) 中得:yt″+y=0这是一个常系数齐线性方程, 解之得:

将 (6) 代入 (7) 得原方程的通解为 (其中c1, c2为任意常数) .

摘要：线性微分方程是常微分方程中重要的一部分内容, 本文通过归纳举例对教材中的变系数线性方程的解法进行补充.

常系数线性微分方程篇8

本文考虑如下形式的常系数Kd V-Burgers方程

方程中第一项表示演化项, 第二项表示非线性项, 第三项表示线性耗散项, 第四项表示色散项。设则方程化简为

这是一个非常重要的方程, 已经有很多关于该方程的研究成果[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]。经过研究文献可以发现基于向量场的延拓求得该方程的对称的问题尚未有人解决。本文补充了这一空白, 并且用方程的单参数不变群进一步求得了方程的迭代解和约化解。在求约化解的过程中, 遇到了非线性的非自治的行波约化方程, 运用幂级数法求得了它的幂级数精确解, 使得该方程的解更加完善。

2经典李群对称方法分析Kd V-Burgers方程

考虑单参数李群的无穷小变换

将三阶延拓应用于 (3) 可得

将 (3) , (4) , (5) 分别代入 (7) , (8) , (9) , (10) , 然后将 (7) , (8) , (9) , (10) 代入 (11) , 通过比较相同的的各阶导数及各次幂的系数, 可以得到一系列方程, 解这些方程可得

3 Kd V-Burgers方程的对称约化与精确解

进一步, 这种迭代可以无限进行下去。也就是说, 根据 (15) , 我们可以得到方程的迭代解。为方便起见, 记

于是我们可以得到

一般的, 由归纳法不难得到方程 (3) 的迭代解如下

3.2 Kd V-Burgers方程的约化解

将 (18) 代入 (3) 可得Kd V-Burgers方程的约化方程

则可以得到

将 (21) 代入 (3) 可得Kd V-Burgers方程的约化方程

假设 (24) 有下列形式的幂级数解。

将 (25) 代入 (24) 可得

比较系数可得

由 (17) 、 (20) 、 (28) , 通过文章开头的两个简单变换, 很容易可以得到Kd V-Burgers方程 (1) 的精确解, 在这里不一一赘叙。

4结论

在文章中得到了四个对称, 前三个对称是非常明显的, 一般称这种对称为平凡对称, 第四个对称是非平凡的, 可以非常容易的验证它是方程的对称。在求约化解的过程中, 可以发现约化后的行波方程是非线性非自治的, 没有一般的求解方法。本文运用幂级数法求得了它的精确解, 并且可以看出, 这个解收敛比较快。因此, 非常便于通过近似计算求得它的近似解。这在实际应用中是非常重要和方便的。

摘要：文章分两个部分, 第一部分对常系数KdV-Burgers方程作对称分析, 基于向量场的延拓求得该方程的对称, 得到了它的向量场和单参数变换群;第二部分利用方程的单参数不变群进一步求得了方程的迭代解和约化解。

关键词：常系数KdV-Burgers方程,经典李群方法,精确解

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