非线性系数

2024-05-11

非线性系数（共9篇）

非线性系数篇1

变量间的相关性度量是进行系统结构与功能分析的基础。但以往的研究如简单相关、典范相关[1]和广义相关[2]等,均是建立在线性相关[3]的基础上,或者是造成了原有变异信息的损失[4],或者是计算复杂[5],它们反映了两个(组)变量之间的线性相关程度,但不能反映两个(组)变量之间的非线性相关程度[6]。现就自己定义的计算简单、无信息损失的非线性广义相关系数的计算过程,使用R语言编写了该广义相关系数的函数包,便于应用工作者使用,并且丰富了多元统计学的知识和R语言中的函数包。

1 非线性广义相关系数的定义

假设2个多维变量分别为[7]:X=(x1,x2,…,xm)T~Nm(μx,Σx),Y=(y1,y2,…,yp)T~Np(μy,Σy),其中μx=(μx1,μx2,…,μxm)T是X的均值向量,Σx为X的离差阵;μy=(μy1,μy2,…,μyp)T是Y的均值向量,Σy为Y的离差阵,Σx和Σy均是对称正定矩阵。设ΣXY是X,Y的协差阵。X,Y的相关阵分别记为:RX=(ρXij)m×m,RY=(ρYij)p×p。令

定义假设变量X的四阶中心矩为(μ4)i[8],四阶混合矩为(μ4)ij,(i,j=1,2,...,m;且i≠j),变量Y的四阶中心矩为(ν4)i,四阶混合矩为(ν4)ij,(i,j=1,2,...,p;i≠j),变量X,Y的四阶混合矩为(μν)4 ij,(i=1,2,...,m;j=1,2,...,p),并假设

则称

为变量X,Y的广义相关系数。

其中:(μ4)ij=E(Xi-μxi)2(Xj-μxj)2,i,j=1,2,...,m;

因为变量的四阶中心矩与其四阶混合矩组成矩阵中的每个元素,和相关阵的每个元素平方后所得的矩阵中每个元素相差3倍。

故定义2中的式(2)与下式是等价的,即:当

显然,当m=p=1时,X,Y的相关系数是其简单相关系数,即:r2(2)XY=ρ2。

对于任意的变量X,Y之间的广义相关系数有如下的性质[9]:

(1)对称性,即:r(2)XY=r(2)YX;

(2)相同的变量之间的相关系数是1,即:r(2)XX=r(2)YY=1;

(3)广义相关系数值在0与1之间,其中当X与Y相互独立时,r(2)XY=0;

(4)广义相关系数r(2)XY是非线性的。

2 非线性广义相关系数的R语言实现[10]

将变量X和Y之间的非线性广义相关系数用R语言编写的函数程序包generalized.correlation如下:

在R程序中,输入变量X和Y的原始数据值,再运行generalized.correlation(X,Y),就可直接得到变量X和Y的非线性广义相关系数值。

3 结论

本文就计算简单、无信息损失的非线性广义相关系数的计算过程,使用R语言编写了该广义相关系数的函数包,便于应用工作者使用,并且丰富了多元统计学的知识和扩充了R语言中的函数包

摘要：为了克服以往的相关性指标所存在的线性相关性和信息损失的问题,以期为实际应用工作提供一种新的多变量间的非线性相关分析方法。本文采用四阶矩法,提出一种用于描述变量间或向量间的相关性程度的广义相关系数,且该广义相关系数计算简单,无信息损失,并能度量变量之间的非线性相关性。并用R语言编写该函数包,便于应用工作者使用,且丰富了R语言中的函数包。

关键词：广义相关系数,非线性相关,信息损失,R语言

参考文献

[1]张尧庭.广义相关系数及其应用.应用数学学报,1978;(4):33—39

[2]胡永宏.一种广义相关系数.统计与信息论坛,1997;(1):20—23

[3]张尧庭.关于度量变量之间的相关程度.上海财经大学学报,1999;(2):60—63

[4]Nelsen N B.An introduction to copulas,lectures notes in statistics.New York:Spring Verlag,1998:139—142

[5]Kullback S.Information theory and statistics.[s.n.]:John Wiley&Sons Inc,1959

[6]刘垂玗.作物数量性状的遗传相关信息及其可加性.安徽农业科学,1981;(S1):52—57

[7]袁志发,周静芋.多元统计分析.北京:科学出版社,2002:172—180,241—256

[8]陈希孺.概率论与数理统计.安徽:科学出版社,2002:126—140

[9]董晓萌,曹彬婕,罗凤娟,等。一种度量生物性状非线性相关性的广义相关系数.西北农林科技大学学报,自然科学版,2008;(5):191—195

[10]汤银才.R语言与统计分析.北京:高等教育出版社,2008:27—67

[11]薛毅,陈立萍。统计建模与R软件.北京:清华大学出版社,2006:423—471

非线性系数篇2

线性回归模型系数的一个新的有偏估计

针对引起线性回归模型病态的根本原因,提出回归系数的S-R估计,讨论其均方误差的最优化,对有偏估计的改进进行研究.证明可以选择参数,使它在均方误差的意义下优于系数的Stein估计和LS估计,给出参数的最优值.然后讨论其偏差,证明它的`可容许性.

作者：杨斌张建军 YANG Bin ZHANG Jian-jun 作者单位：杨斌,YANG Bin(海军工程大学,管理工程系,湖北,武汉,430033)

张建军,ZHANG Jian-jun(海军工程大学,理学院,湖北,武汉,430033)

刊名：兵工自动化 ISTIC英文刊名：ORDNANCE INDUSTRY AUTOMATION 年，卷(期)：2009 28(11) 分类号：O316 关键词：有偏估计广义c-K估计岭估计广义岭估计均方误差可容许性

非线性系数篇3

涡街、涡轮等频率信号输出的流量传感器在较宽流量范围内都能获得具有良好重复性的输出信号。理想情况下其输出信号与瞬时流量成正比, 而实际上其仪表系数只在相对较小的范围内能够基本保持恒定[1]。传统的方法是将平均仪表系数作为传感器仪表系数的唯一值来使用, 这样导致流量计在保证测量精度前提下的测量范围较窄。基于此, 文章针对存在这一问题的涡街流量计进行研究, 以实现保证精度扩展测量范围的目的。

涡街流量计在正常流量范围内, 其仪表系数基本为一常数, 但在测量小流量时却表现出明显的非线性, 制约了涡街流量计测量范围和测量精度。普通模拟涡街流量计确保仪表系数线性度在1%以内时的量程比只能达到10∶1, 远低于理论量程100∶1[2]。随着工业技术的发展和进步, 对于宽量程高精度涡街流量计的需求日渐迫切, 各种仪表系数非线性修正方法和应用相继出现。

最早出现的是采用硬件电路进行修正[3]。在传感器前置放大电路中增加一些硬件电路, 人为掺加 (或减少) 一个固定频率信号, 从而使传感器实际输出信号频率得到修正, 改善其仪表系数的非线性程度。此方法的缺点是只适用于单调上升 (或下降) 的曲线形状, 而且硬件补偿灵活性差、补偿精度不高。但由于是硬件电路设计, 保证了良好的稳定性和可靠性。随着电子技术特别是单片机技术的迅猛发展, 这一问题得到了更好的解决。根据实际标定的结果可以回归出仪表系数与频率的函数表达式, 将表达式存入单片机系统的程序存储器中。测量时测出传感器信号频率, 根据函数表达式计算出此时的仪表系数来进行计算, 从而达到对仪表系数非线性的修正[4]。这种方法操作简单, 而且通用性好, 补偿精度更高、更灵活。但由于该方法是靠软件补偿来实现, 编程时出现的微小纰漏与应用现场复杂情况造成的不确定性, 都易造成程序“跑飞”或者死机的现象, 造成使用上的不稳定。近年来, 随着FPGA (FieldProgrammableGateArray) 与CPLD (Complex ProgrammableLogicDevice) 技术的飞速发展及其广泛应用, 因其具有高度的稳定性和可靠性, 设计简单灵活等优点[5], 本文提出了基于CPLD硬件结构实现涡街流量计仪表系数非线性修正的方法, 该方法综合了上述两种方法的优点, 具有良好的实用价值。 (1)

2 修正算法比较

实现非线性修正的前提是需要得到涡街流量计流量Q与仪表系数K的关系曲线, 再将超出线性度范围的仪表系数修正到合理的范围内。文章对三种常用的曲线逼近方法:线性插值法、三次样条插值法和最小二乘法进行了比较, 具体方法介绍见文献[6]。

对于涡街流量计来说, 由于在小流量时普遍存在着K-Q之间的非线性, 即使在线性度范围内, K也很难保证为常数, 这给用数学公式描述两者的之间关系带来很大困难, 插值 (或曲线拟和) 方法能很好地解决这一问题。根据速度式流量计检定规程[7], 可以将检定点作为插值函数的结点 (或曲线拟和的观测点) , 即各检定流量点Qi (i=0, 1, …, n) , 各结点 (或观测点) 对应的函数值为Ki (i=0, 1, …, n) , 即各流量点对应的仪表系数。根据这些列表函数, 可以利用插值多项式 (或拟和多项式) 对其他流量点的仪表系数进行逼近。

为了比较三种方法对涡街流量计K-Q关系描述的准确性, 在标准水流量装置上对DN 25涡街流量计进行实验, 其流量测量范围为1～11m 3/h, 受装置条件的限制, 最大流量只能做到9.3m 3/h。实验中发现, 当流量小于1m 3/h时, 虽然仪表的线性度已超出1%, 但其重复性依然很好, 这给仪表系数的非线性修正奠定了良好基础, 而修正的前提是要得到K-Q关系曲线。因此, 对表1中流量点进行了实验。

其中, 涡街流量计平均仪表系数K:

式中: (Ki) max———各检定流量点Qi的仪表系数Ki中最大值; (Ki) min———各检定流量点Qi的仪表系数Ki中最小值。

线性度EL:

重复性Er:各检定点重复性的最大值:

各检定点重复性 (Er) i:

式中:Ki———每个检定点平均仪表系数;Kij———第i检定点第j次检定的仪表系数。

选择流量点0.509、0.997、1.649、2.737、4.41、7.742和9.26m 3/h作为插值函数的结点进行分段插值, 采用线性插值法和三次样条插值法, 同时作为最小二乘法的观测点进行曲线拟和, 对剩余流量点0.601、0.696、0.801和0.898m 3/h的仪表系数进行逼近, 最后与实验结果进行比较得到表2与图1～图3。

通过比较, 利用三次样条插值法得到的逼近点误差相对较小, 且能够很好反映曲线变化趋势。所以在利用CPLD进行仪表系数非线性修正时, 选择用三次样条插值法对各流量点的仪表系数进行逼近。

3 CPLD程序设计

以上讨论的修正算法都要通过CPLD程序语言来实现, 选择了美国ALTERA公司最新推出的MAX II系列器件, 这是迄今为止成本最低、功耗最小、密度最高的CPLD器件[8]。考虑到功耗和逻辑资源数两方面的影响, 最终选取EPM 570GT100这款芯片。

3.1 软件总体设计

由于CPLD的程序设计可以同时进行多个进程, 因此将程序分为四个模块, 即四个进程, 提高了程序运行速度。

(1) 时钟模块。

各模块的运行都要有一个时钟基准, 此模块提供了时钟频率c。考虑到时钟频率的大小会影响到功耗, 这里选择用一个1MHz的无源晶振经32分频后得到的c=31 250Hz作为整个电路的时钟基准。

(2) 频率采集模块。

由于涡街信号是一个脉冲信号, 因此利用脉冲捕获方法进行计频。如图4所示, 涡街信号相邻脉冲上升沿的时间间隔通过高频时钟c来进行计数。计数值N、涡街频率f和时钟c存在如下关系:

这样, 通过对每个脉冲间隔进行计数, 就间接获得了涡街频率。

(3) 频率修正 (查找表) 模块。

对仪表系数进行修正实际上是对涡街频率进行修正。由式 (5) , 对频率的修正可以转化为对计数值N的修正, 即CPLD频率采集模块得到N值, 经上位机生成查找表后, 直接输出对应的修正值N′ (如图5所示) , 查找表反映了N-N′的对应关系。此部分为整个程序设计的重点, 将在3.2部分进行详细说明。

(4) 脉冲 (或PWM波) 输出模块。

将修正后的计数值N′, 根据式 (5) , 对高频时钟c进行N′分频, 最终将修正后的涡街频率以方波 (或PWM波) 形式输出。

各模块之间关系如图5所示。

3.2 基于查找表修正方法的设计

查找表法常用于FPGA的设计中。在FPGA设计中常常要实现一些复杂运算 (如乘法、除法、三角函数等) , 而这些运算会占用大量的逻辑单元, 且速度难以满足信号实时处理的要求, 查找表法是解决这一问题的最简单、有效的方法。其基本原理[9]为:将函数所有输入变量的运算结果写入FPGA的存储单元中, 同时以这些输入变量作为该存储单元的地址。当运算时, 通过读取存储单元地址的方式获取计算结果, 这样一来, 不仅大幅减少了运算所需逻辑单元, 又满足了实时运算的要求。

非线性修正方法的本质其实是对涡街频率的修正, 也可以转化为对涡街信号周期长度计数值N的修正, 即对于每个输入的周期长度计数值N (反映的是涡街频率的真实大小) , 总有一个修正后的周期长度计数值输出N′ (反映的是修正后的涡街频率) 与之对应, 可见这种方法尤其适宜采用查找表方法来实现。

受CPLD资源数以及功耗的限制, 要求在满足涡街流量计线性度的前提下, 尽可能地利用较少的CPLD资源对仪表系数进行修正, 使涡街流量计的量程可以扩展。而程序中查找表占据了CPLD的大部分资源, 因此对其进行优化是十分必要的。

为了说明修正思想及如何优化查找表, 仍以表1实验数据进行说明, 采用三次样条插值法进行仪表系数曲线逼近。如图6所示, 在正常流量范围内1～9.3m 3/h (频率20.41～185.87Hz) , 线性度在1%以内, 在此范围的流量点不需要仪表系数修正。流量在0.5～1m 3/h (频率10.86～20.41Hz) 时, 可以保证良好的重复性, 因此可以通过修正将仪表系数降到正常流量范围所在的仪表系数区间Kmin～Kmax。如式 (6) , 其中K为正常流量范围1～9.3m 3/h得到的平均仪表系数, EL为所要求的线性度误差即仪表的精度等级, 对于液体涡街流量计EL=0.01, 气体涡街流量计EL=0.015。

为保证各修正点的仪表系数Ki落在Kmin～Kmax区间, 其计数值Ni必须落在Nimin～Nimax, 根据式 (5) 可得:

即每一个Ni都对应一个修正空间Nimin～Nimax, 只要修正后的Ni′落在此区域内就可以实现仪表系数的修正。由于Kmin～Kmax是基于线性度误差的一个较宽范围, 由式 (7) 和式 (8) 可以推测, Nimin～Nimax也应是一个较宽的范围, 因此相邻几个修正点的Ni所对应的Ni′的允许范围一定存在重叠部分, 可以将这几个修正点的查找表合并成一个, 输出同一个修正值N′。这样既节约了查找表资源, 也降低了功耗。

基于以上思想, 首先利用Matlab在上位机编写查找表生成程序, 再将生成的查找表拷贝到CPLD程序中, 最终完成整个CPLD程序的编写。由于查找表程序是整个程序设计的核心, 兼顾着非线性算法实现以及资源优化的双重使命, 因此以下将进行详细介绍。查找表程序流程图如图7所示。

对每一个步骤作具体说明:

(1) 初始化:根据第一次实验结果 (表1) , 设置插值结点, 选择线性度范围内的6个检定点和最小流量点 (图2) ;设置新插值点的插值步长sf, 在整个量程范围内每0.01Hz插一个点;高频时钟频率c设置为31 250Hz;仪表的精度等级EL=0.01。

(2) 根据实验结果, 计算在EL精度内的K, Kmin, Kmax (式6) 。

(3) 根据三次样条插值方法, 对整个量程范围内步长间隔为sf的频率点fi进行插值, 得到Ki, i=1, 2, …, n, n为插值点数。按照式 (5) , 得到相应的Ni。

(4) 各插值点的Ki若要保证在线性度范围内, 必须使Ki落在Kmin～Kmax区间, 相应地, 其Ni必须落在Nimin～Nimax (式7, 式8) 。

(5) 若Nimin<Ni<Nimax, 则不需要进行修正, Ni′=Ni。反之, 则需要将不满足条件的m个点筛选出来, 以备修正, m<n。

对于待修正的Ni, i=1, 2, …, m, 总有一个满足线性度条件的区间Nimin～Nimax与之对应。在计算中发现, 相邻k个Ni的Nimin～Nimax区间存在重叠部分, 因此可以将这k个Ni修正为同一个Ni′, 使得Ni′落在k个Nimin～Nimax区间的交集中。这种方法可以大幅度减少查找表的数量, 使CPLD资源得到优化。

4 实验结果

为了检验提出的基于CPLD仪表系数非线性修正方法的测量效果, 分别对DN 25和DN 50涡街流量计在水流量标准装置上进行实验, 比较修正前后的实验效果。

DN 25修正前的实验数据已在表1中给出, 表3列出了修正后的实验数据。

DN 50修正前、后的实验数据如表4、表5所示。第3期李向阳等.UML面向对象建模在质谱仪测控系统中的应用·65·

可见, 两个口径在修正后其测量范围明显扩大与DN 25情况不同, 从DN 50实验数据来看, 除小流量外, 流量上限的重复性也很好, 因此有仪表系数修正的空间, 只需要将仪表系数修正到合理的线性度范围内即可, 说明该方法不仅对扩展下限有很好的效果, 在重复性良好的前提下, 对于扩展流量上限也同样适用。由此, 经CPLD仪表系数修正后, 涡街流量计的测量范围在保证精度的前提下得到了明显扩展。

5总结

本文提出了一种基于CPLD的硬件式仪表系数非线性修正方法, 并将该方法应用于涡街流量计中, 扩展其测量范围, 即利用CPLD对超出线性度范围但重复性较好的流量点进行仪表系数非线性修正采用三次样条插值法对K-Q曲线进行逼近, 通过优化CPLD查找表资源, 不仅实现了仪表系数的非线性修正, 扩展了量程, 而且为实现低功耗作足准备该方法实现简单, 效果明显, 对于存在仪表系数非线性问题的其他流量仪表也同样适用, 易于推广。

参考文献

[1]姜仲霞, 姜川涛, 刘桂芳.涡街流量计[M].北京:中国石化出版社, 2006.

[2]张涛, 段瑞峰, 孙宏军.基于双核技术的数字涡街流量计信号处理系统[J].化工自动化及仪表, 2004, 31 (6) :71-74.

[3]杨金生, 唐怀璞.大口径低流速插入式切向涡轮流量计的研制[C]//天津电子仪表质量品种效益学术会议论文集.1991.

[4]王翥, 佟晓筠, 陈晓娟.提高涡街流量计精度的一种补偿算法及实现[J].化工自动化及仪表, 2005, 32 (3) :78-80.

[5]王道宪.CPLD/FPGA可编程逻辑器件应用与开发[M].北京:国防工业出版社, 2004.

[6]徐士良.数值分析与算法[M].北京:机械工业出版社, 2003.

[7]JJG198-94.中华人民共和国国家计量检定规程——速度式流量计[S].

[8]MAX II Device Handbook[M].Altera Corporation, 2004.

非线性系数篇4

讨论约束条件下多元随机效应线性模型中回归系数和参数的.线性估计的可容许性,在二次损失函数下,给出了随机回归系数和参数的线性估计分别在齐次和非齐次线性估计类中是可容许估计的特征.

作者：张尚立伍长春 ZHANG Shang-li WU Chang-chun 作者单位：张尚立,ZHANG Shang-li(北京交通大学理学院,北京,100044)

伍长春,WU Chang-chun(嘉兴学院数学与信息科学学院,浙江,嘉兴,314001)

非线性系数篇5

关键词：广义相关系数,非线性相关,抽样分布,假设检验,R语言

变量间的相关性度量是进行系统结构与功能分析的基础。但以往的研究如简单相关、典范相关[1]和广义相关[2]等,均是建立在线性相关[3]的基础上,或者是造成了原有变异信息的损失[4],或者是计算复杂[5],它们反映了两个(组)变量之间的线性相关程度,但不能反映两个(组)变量之间的非线性相关程度[6]。本文就自己定义的计算简单、无信息损失的非线性广义相关系数的抽样分布及假设检验问题,使用R语言编写了该非线性广义相关系数抽样分布及假设检验的函数包,便于应用工作者使用,并且丰富了多元统计学的知识和R语言中的函数包。

1 一种非线性广义相关系数的定义

定义:假设变量X的四阶中心矩为(μ4)i[8],四阶混合矩为(μ4)ij,(i,j=1,2,…,m;且i≠j),变量Y的四阶中心矩为(ν4)i,四阶混合矩为(ν4)ij,(i,j=1,2,…,p;i≠j);变量X、Y的四阶混合矩为(μν)4 ij,(i=1,2,…,m;j=1,2,…,p),并假设

为变量X、Y的广义相关系数。

式(1)中:

(μ4)ij=E(Xi-μxi)2(Xj-μxj)2,i,j=1,2,…,m;(ν4)ij=E(Yi-μyi)2(Yj-μyj)2,i,j=1,2,…,p;(μν4)ij=E(Xi-μxi)2(Yj-μyj)2,i=1,2,…,m;

因为变量的四阶中心矩与其四阶混合矩组成矩阵中的每个元素,与相关阵的每个元素平方后所得的矩阵中每个元素相差3倍。故定义中的式(1)与下式是等价的,即:当

显然,当m=p=1时,X、Y的相关系数是其简单相关系数,即:r2XY=ρ2。

2 非线性广义相关系数的假设检验

2.1 定义中非线性相关性广义相关系数的抽样分

布及假设检验问题

建立Y(2)关于X(2)的一元线性回归模型,记为:Yi(2)=β0+βXi(2)+εi,且εi~N(0,σ2)。应用最小二乘估计可得β0=珔Y(2)-b珔X(2),其中珔X(2)、珔Y(2)分别是X(2)、Y(2)的均值;

由一元线性回归方程的统计检验可得:

再由t分布和F分布的关系可得:

以上分析表明,定义中的广义相关系数即是X(2)与Y(2)之间的简单相关系数,所以定义中广义相关系数r=0的检验即可应用t检验或者F检验进行。

2.2 假设检验步骤

为了方便应用,现将检验步骤列举如下:

第1步:由定义中的公式计算出广义相关系数值r;

第2步:将r代入式(3)或(4)中,算出相应的F值和t值;

第3步:给定置信水平α,查表得Fα(1,n-2)或者tα(n-2):若|F|<Fα(1,n-2)或者|t|<tα(n-2),则接受原假设,即广义相关系数r与0无显著性差异;否则原假设不成立,即广义相关系数r与0有显著性差异。

3 非线性广义相关系数的抽样分布、假设检验及其R语言实现[10]

将变量X和Y之间的非线性广义相关系数的抽样分布及假设检验问题是用R语言[11]编写的函数程序包generalized.correlation如下:

在R程序中,输入变量X和Y的原始数据值,再运行generalized.correlation(X,Y),,就可直接得到变量X和Y的非线性广义相关系数值,并能检验出该非线性广义相关系数与0之间是否有显著性差异。

4 结论

本文就计算简单、无信息损失的非线性广义相关系数的计算,及其抽样分布与假设检验问题,使用R语言编写了其函数包,便于应用工作者使用,并且丰富了多元统计学的知识和扩充了R语言中的函数包。

参考文献

[1]张尧庭.广义相关系数及其应用.应用数学学报,1978;(4):33—39

[2]胡永宏.一种广义相关系数.统计与信息论坛,1997;(1):20—23

[3]张尧庭.关于度量变量之间的相关程度.上海财经大学学报,1999;(2):60—63

[4]Nelsen N B.An Introduction to copulas,lectures notes in statistics.New York:Spring Verlag,1998:139

[5]Kullback S.Information theory and statistics.[s.n.]:John Wiley&Sons Inc,1959

[6]刘垂玗.作物数量性状的遗传相关信息及其可加性.安徽农业科学,1981;(S1):52—57

[7]袁志发,周静芋.多元统计分析.北京:科学出版社,2002:172—180,241—256

[8]陈希孺.概率论与数理统计.安徽:科学出版社,2002:126—140

[9]董晓萌,曹彬婕,罗凤娟,等.一种度量生物性状非线性相关性的广义相关系数.西北农林科技大学学报:自然科学版,2008;(5):191—195

[10]汤银才.R语言与统计分析.北京:高等教育出版社,2008:27—67

变系数二阶线性方程解法拓展篇6

一、通过选择法来求出方程的特解, 从而得到方程的通解

例1求方程 (2x+1) y″+4xy′-4y=0的通解.

解用选择法来求其特解.这里可用形如y1=eax或者y1=xn+a1xn-1+a2xn-2+…求出其特解.我们将y1=eax代入原方程, 通过比较系数得:a=-2, 即得y1=e-2x是原方程的一个特解.我们再用y2=x2+a1x+a2代入方程中得到方程的另一特解:y2=x.

所以我们可得到原方程的通解:y=c1x+c2e-2x (其中c1, c2为任意常数) .

例2求方程x (x-1) y″-xy′+y=0的通解.

解可用例1的选择法求得方程的一个特解y1=x, 它不含有形如y=eax的特解, 我们可利用变换公式方程就化为:解得一个特解为z=xln x+1, 则可得原方程的通解为:y=c1x+c2 (x ln x+1) (其中c1, c2为任意常数) .

二、对于非齐变系数线性方程, 则可先求出对应的齐

线性方程的通解, 再用常数变易法 (通用之法) 求得非齐线性方程的通解

例3求方程的通解.

解先求对应的齐线性方程x (x+1) y″+ (x+2) y′-y=0 (1) 的一个基本解组, 为此只要求出 (1) 的两个特解.用选择法, 可知 (1) 的一个特解为y1=x+2, 作变换令将 (2) 代入 (1) 得另一个特解为

我们已求得方程 (1) 的两个解为:

所以方程 (1) 的通解为: (其中c1, c2为任意常数) (3) , 把 (3) 中任意常数看作x的待定函数c1 (x) , c2 (x) , 这时 (3) 变为 (4) 可求得原方程的通解为: (其中c1, c2为任意常数) .

三、如果变系数齐线性方程的特解不好用选择法求出, 可以采用未知函数的线性代换y=a (x) z消去含有一阶导数的项, 把方程变为常系数方程

例4求方程 (x2y″-2xy′+ (x2+2) y=0的通解.

解令y=a (x) z, 则y′=a′ (x) z+a (x) z′, y″=a″ (x) z+2a′ (x) z′+a (x) z″.

令含有z一阶导数的系数为零, 得2x2a′ (x) -2xa (x) =0 (2) , 这是一个一阶变量分离方程.解得一个特解为a (x) =x, 可知a′ (x) =1, a″ (x) =0, 代入 (1) 化简得z″+z=0 (3) , 方程 (3) 是一个很简单的常系数齐线性方程, 解之得z=c1cos x+c2sin x… (4) (其中c1, c2为任意常数) .

所以原方程的通解为y=c1xcosx+c2x sin x (其中c1, c2为任意常数)

四、用自变量代换t=φ (x) 消去含有一阶导数的项来求方程的通解

例5求方程 (x2+1) y″+xy′+y=0的通解.

分析这个方程用选择法不容易得到方程的特解, 我们可采用变量代换t=φ (x) 来消去含有一阶导数的项, 把方程变为简单的常系数方程.

在 (3) 中令含有一阶导数的项的系数为零即:

将 (4) (5) 代入方程 (3) 中得:yt″+y=0这是一个常系数齐线性方程, 解之得:

将 (6) 代入 (7) 得原方程的通解为 (其中c1, c2为任意常数) .

摘要：线性微分方程是常微分方程中重要的一部分内容, 本文通过归纳举例对教材中的变系数线性方程的解法进行补充.

非线性系数篇7

关键词：增长曲线模型,Minimax估计,二次损失

考虑由生物学家Pottohoff和S.N.Roy提出的增长曲线模型

其中Y, ε均为n×p阶随机矩阵, X1, X2分别为n×k阶, p×q阶的已知设计矩阵, B为阶k×p未知参数矩阵, σ2>0未知, V和∑分别为p×p阶和n×n阶已知正定矩阵, V⨂∑表示V和∑的Kronecker乘积。文中对刘郁文给出的二次损失函数做了修改, 分别在齐次线性估计类L0={MYN∶M, N分别为m1×n阶, p×m2阶常数阵, MX1=K}和非齐次线性估计类L1={MYN+C∶MYN∈L0, C为m1×m2阶常数阵}中考虑可估函数KBL (即μ (k) ⊆μ (X1) , μ (L) ⊆μ (X′2) ) 的Minimax可容许估计, 其中K, L分别为m1×k, q×m2阶常数矩阵, 取二次损失函数为

$\begin{array}{l} L_{0} / (d, Κ B L) = (d - Κ B L)^{'} U (d - Κ B L) / {σ^{2} + ξ \max_{1 \leq i \leq r} (α_{i} B Τ B^{'} α^{'}_{i})} (2) \\ L_{1} (d, Κ B Ι) = (d - Κ B L)^{'} U (d - Κ B L) / {σ^{2} + ξ \max_{1 \leq i \leq r} (α_{i} B Τ B^{'} α^{'}_{i}) + c} (3) \end{array}$

其中ξ=tr (K′UK) /tr{UK (X′1∑-1X1) -K}, T=X′2V-1X2, U是已知m1阶方阵, K′UK≥0 (≠0) , 其谱分解为K′UK记MYN和MYN+C的风险函数为R0 (MYN, KBL, σ2) 和R1 (MYN+C, KBL, σ2) , 并且MYN和是M1YN1是KBL的两个估计。

1 在中的Minimax可容许估计

引理1 在模型 (1) 下, 若MYN∈L0, 则

$(1) R_{0} (Μ Y Ν, Κ B L, σ^{2}) = \frac{σ^{2} t r (U Μ \sum Μ^{'}) Ν^{'} V Ν + [Κ B (X^{'}_{2} Ν - L)]^{'} U [Κ B (X^{'}_{2} Ν - L)]}{σ^{2} + ξ m a \underset{1 \leq i \leq r}{x} (α_{i} B Τ B^{'} α^{'}_{i})} (4)$

(2) R0 (MPX1YP′X21N, KBL, σ2) ≤R0 (MYN, KBL, σ2) 对一切 (B, σ2) 成立, 且等号成立的充要条件是UM=UMPX1, N′=NPX2, 其中PX1=X1 (X′1∑-1X1) X′1∑-1, PX2=X2 (X′2V-1X2) X′2V-1

引理2 在模型式 (1) 和损失式 (2) 下, 若KBL可估, 则MYN在L0中是KBL的可容许估计的充要条件为: (i) UM=UMPX1; (ii) N′=N′PX2; (iii) X′2N=L或X′2N≠L, 但对任意h∈ (0, 1) , 有N′VN-L′T-L+h (X′2N-L) ′T- (X′2N-L) ≥0不成立, 其中T=X′2V-1X2。

引理3 设MYN∈L0是KBL的一个容许估计, q为MYN的关于L0 (d, KBL) 的一个风险上界的充要条件为

(1) q≥tr (UM∑M′) l′N′VNl (5)

(2) q≥tr[UK (X′1∑-1X1) -K′]l′ (X′2N-L) ′T- (X′2N-L) l (6)

定理1 取损失函数L0 (d, KBL) , 则 $\frac{1}{2} Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} X^{'}_{1} \sum^{- 1} Y V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L$ 是KBL在L0中的惟一容许Minimax估计。

证明 $\frac{1}{2} Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} X^{'}_{1} \sum^{- 1} Y V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L$ 的风险函数为 $l^{'} R_{0} (Μ Y Ν, Κ B Ι, σ^{2}) l - \frac{\frac{1}{4} σ^{2} t r (U Μ \sum Μ^{'}) l^{'} L^{'} Τ^{-} L l + \frac{1}{4} l^{'} L^{'} B^{'} Κ^{'} U Κ B L l}{σ^{2} + ξ m a \underset{1 \leq i \leq r}{x} (α_{i} B Τ B^{'} α^{'}_{i})} \leq \frac{1}{4} λ_{1} (L^{'} Τ^{-} L) (λ_{1}$ 是方阵的最大特征根) (7)

先证 $\frac{1}{2} Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} X^{'}_{1} \sum^{- 1} Y V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L$ 为KBL的容许估计, 显然此估计满足引理2中 (i) , (ii) 。下证满足 (iii) , 对于任何0<h<1, 有

$[\frac{1}{2} V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L] ´ V [\frac{1}{2} V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L] - L^{'} Τ^{-} L + h (Ν^{'} X_{2} - L^{'}) Τ^{-} (X^{'}_{2} Ν - L) = \frac{1}{4} L^{'} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} X^{'}_{2} (V^{- 1})^{'} V V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L - L^{'} Τ^{-} L + h [\frac{1}{2} L^{'} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} X^{'}_{2} (V^{- 1})^{'} X_{2}) - L^{'}] Τ^{-} [\frac{1}{2} X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{'} L - L] = \frac{1}{4} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L - L^{'} Τ^{-} L + \frac{1}{4} h L^{'} Τ^{-} L = \frac{h - 3}{4} L^{'} Τ^{-} L \leq 0$

即引理2 (iii) 也满足, 从而 $\frac{1}{2} Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} X^{'}_{1} \sum^{- 1} Y V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L$ 为KBL的容许估计。

下证 $\frac{1}{2} Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} X^{'}_{1} \sum^{- 1} Y V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L$ 为KBL的Minimax估计, 设MYN∈L0为KBL的可容许估计, 由引理 (3) 知MYN的关于L0 (d, KBL) 的风险上界为q, 满足式 (5) 、式 (6) , 从而 $q \geq \frac{1}{2} {t r (U Μ \sum Μ^{'}) l^{'} Ν^{'} V Ν l + t r [U Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} Κ^{'}] l^{'} (X^{'}_{2} Ν - L)^{'} Τ^{-} (X^{'}_{2} Ν - L) l} = \frac{1}{2} [t r (U Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} Κ^{'})] l^{'} [Ν^{'} (V - X_{2} Τ^{-} X^{'}_{2}) Ν + 2 (X^{'}_{2} Ν - \frac{1}{2} L) ´ Τ^{-} (X^{'}_{2} Ν - \frac{1}{2} L) + \frac{1}{2} L^{'} Τ^{-} L] l \geq \frac{1}{4} t r (U Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1})^{-} Κ^{'})] l^{'} L^{'} Τ - L l (8)$

所以, 由定义知 $\frac{1}{2} Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} X^{'}_{1} \sum^{- 1} Y V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L$ 为KBL的一个在L0中的容许Minimax估计。

再证惟一性, 若存在M*YN*∈L0为另一个在L0中的Minimax估计。由定义知, 存在q*为M*YN*的一个风险上界, 使 $q^{*} \leq \frac{1}{4} t r (U Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} Κ^{'})] l^{'} L^{'} Τ^{-} L l$ , 由引理3知

(1) q*≤tr (UM*∑M*′) l′N*′VN*l

(2) q*≥tr[UK (X′1∑-1X1) -K′]l′ (X′2N*-L) ′T- (X′2N*-L) l

则 $t r [U Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} Κ^{'}] l^{'} L^{'} Τ^{-} L l \geq 2 t r [U Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} Κ^{'}] l^{'} [Ν^{*^{'}} (V - X_{2} Τ^{-} X^{'}_{2}) Ν^{*}] l + 4 t r [U Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} Κ^{'}] l^{'} (X^{'}_{2} Ν^{*} - \frac{1}{2} L) ´ Τ^{-} (X^{'}_{2} Ν^{*} - \frac{1}{2} L) l + t r [U Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} Κ^{'}] l^{'} L^{'} Τ^{-} L l$

由tr[UK (X′1∑-1X1) -K′]≠0, 则可得上式中

l′N*′ (V-X2T-X′2) =0 (9)

$l^{'} (X^{'}_{2} Ν^{*} - \frac{1}{2} L)^{'} Τ^{-} = 0$ (10)

从式 (9) 和式 (10) 中可解得 $Ν^{*} = \frac{1}{2} V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L$

另一方面, 如果M*≠K (X′1∑-1X1) -X′1∑-1, 则 $l^{'} R_{0} [\frac{1}{2} Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} X^{'}_{1} \sum^{- 1} Y V^{- 1} X_{2}$

(X′2V-1X2) -L;B; $σ^{2}] l \leq l^{'} R_{0} [\frac{1}{2} Μ^{*} Y V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-}$ ;B;σ2]l

对一切B∈Rt×q, σ2>0, 且当B=0时等号不成立, 这与M*YN*为KBL的容许估计相矛盾。所以M*=K (X′1∑-1X1) -X′1∑-1, 即在L0中的容许Minimax估计是惟一的定理证毕。

2 在L1中的Minimax可容许估计

引理4 在模型 (1) 下, 若MYN+C∈L1, 则

$(1) R_{1} (Μ Y Ν + C, Κ B L, σ^{2}) = \frac{σ^{2} t r (U Μ \sum Μ^{'}) Ν^{'} V Ν + [Κ B (X^{'}_{2} Ν - L) + C]^{'} U [Κ B (X^{'}_{2} Ν - L) + C]}{σ^{2} + ξ m a \underset{1 \leq i \leq r}{x} (α_{i} B Τ B^{'} α^{'}_{i})}$

(2) R1 (MPX1YP′X21N+C, KBI, σ2) ≤R1 (MYN+C, KBL, σ2) 对一切 (B, σ2) 成立, 且等号成立的充要条件与引理1中的条件相同。

引理5 在模型 (1) 和损失 (3) 下, 若KBL可估, 则MYN+C在L1中是KBL的可容许估计的充要条件是引理2中的 (i) , (ii) , (iii) :X′2N=L且UC=0。

引理6 设MYN+C∈L1是KBL的一个容许估计, q为MYN+C的关于L1 (d, KBL) 的一个风险上界的充要条件为引理3中的 (1) , (2) 。

定理2 取损失函数L1 (d, KBL) , 则 $\frac{1}{2} Κ (X^{'}_{1} \sum^{- 1} X_{1})^{-} X^{'}_{1} \sum^{- 1} Y V^{- 1} X_{2} (X^{'}_{2} V^{- 1} X_{2})^{-} L$ 是KBL在L1中的惟一容许Minimax估计。

3 应用背景

线性模型参数估计理论一直在科学实验和生产实践中占有极其重要的地位, 尤其是在测量数据处理中。目前任何一种参数估计方法来处理测量数据都是不严密的, 因此在实际测量数据中都要根据现有实际情况对现有参数估计模型进行修正。

参考文献

[1]尤进红.生长曲线模型中共同均值参数的线性估计的可容许性[J].应用概率统计, 1977, 13 (3) :243-251.

[2]孙孝前, 尤进红.增长曲线模型系数矩阵的线性容许Minimax估计[J].应用数学, 1998, 11 (4) :74-79.

[3]Lehmann E L.Theory of Point Estimation[M].Pacific Grove:Calif Wadsworth ann Brooks, 1991.

非线性系数篇8

非接触密封作为重要装备的关键基础件,被广泛应用在航空航天、能源环境、石油化工等领域(如石化泵、涡轮泵及核泵等)中[1,2,3,4]。在一些极端工况条件下,由于轴向振动过大或者受到瞬态冲击,机械密封经常会出现变形或者密封副表面损坏等,这些现象极易引起密封的失效[2,5,6]。考虑瞬态过程非线性因素的振动特性研究正成为非接触式机械密封设计和研究中的一个重要内容[3],这对机械密封可靠、稳定地运行有着举足轻重的作用,因此对机械密封瞬态快速启动过程的响应特性进行研究就变得更为重要。然而已有的研究大多是采用商用软件对密封模型进行流固耦合下的稳态性能分析,主要是对其静态润滑特性进行分析,如研究密封的膜厚变化、平均温升、热变形等,对振动响应研究较少。张国渊等[1,2,7]对非接触机械密封瞬态启动过程中脱开转速和密封可控性进行了研究,分析了密封的静态润滑特性和密封效应;Brunetière等[4,8]研究了密封的稳态热动力模型及稳态热效应;王之栎等[5]、张伟政等[9]研究了气膜密封因外界扰动而引起的振动和角向摆动对密封动态特性的影响;贺立峰等[6]分析了弹簧刚度改变对端面接触式机械密封振动的影响;丁雪兴等[10]对螺旋槽干气密封系统非线性动力学行为进行了研究。然而,上述研究都未对密封考虑摆动时的非线性相关的动态特性系数进行研究,对其瞬态过程的振动特性的研究也很少。为此,本文提出考虑倾斜情况的弹性补偿单元支撑的包含Reynolds方程、运动方程等的非接触机械密封瞬态非线性振动分析模型,并以此研究受外部轴向冲击载荷时密封的振动响应以及响应过程中密封的非线性轴向力、刚度和阻尼系数的响应特征。

1 瞬态非线性振动响应模型

1.1 瞬态Reynolds方程

本文研究的非接触机械密封结构见图1,它依靠在密封端面间形成的微小间隙(流体膜)实现密封副的非接触密封,其密封机理是,允许微小的在可控制范围内的流体泄漏,但保证密封的长寿命、高可靠性以及密封良好的外部轴向小振动的跟随性。

根据流体力学中的N-S方程和连续性方程,在相应的假设条件下可得到柱坐标(r, θ)下的量纲一Reynolds方程[11]:

式中,r1、r2、B分别为密封环外径、内径和径向长度;h、h0分别为瞬态、稳态时油膜厚度;μ0为初始动力黏度;ω为转速;p为油膜压力值, $\dot{h}$ 为油膜的挤压速度。

量纲一边界条件为

其中,p0为边界压力值;n为法线方向;Γ1表示密封的介质入口,Γ2表示除Γ1外的其他边界,Γ表示全部边界。

1.2 瞬态运动方程

根据Newton力学第二定律,可以建立动环和静环配对的动力学方程和静环力矩平衡方程如下:

$m Δ \bar{\ddot{z}} + Κ_{\dot{z}} Δ \bar{\dot{z}} + Κ_{z} Δ \bar{z} = \bar{F} (t)$ (3)

$J Δ \bar{\ddot{ϕ}} + Κ_{\dot{ϕ}} Δ \bar{\dot{ϕ}} + Κ_{ϕ} Δ \bar{ϕ} = \bar{Ν} (t)$ (4)

式中,z为密封环轴向运动量;m为密封环的质量;Kz、 $Κ_{\dot{z}}$ 分别为油膜对密封环的力刚度与阻尼系数;F(t)为外部轴向载荷变化量(稳态时,F(t)=0);J为密封环的转动惯量;Kϕ、 $Κ_{\dot{ϕ}}$ 分别为油膜对密封环的力矩刚度和阻尼系数;ϕ为倾斜静环的倾角;N(t)为油膜对密封环的外力矩(倾覆力矩)。

从式(3)、式(4)可以看出,密封环的轴向运动与其倾斜摆动无关。实际上并非如此,密封副振动影响油膜厚度分布,从而使油膜压力分布发生变化,结果导致产生倾覆力矩而使得密封环摆动。同样,密封环摆动也会引起轴向振动,这可以从下面的分析看到,然而线性分析是无法了解密封环运动与摆动之间的关系的。

1.3 考虑密封环倾斜的密封间隙方程和轴向载荷密封间隙控制方程为

h=hp+rsin(θp-θ)sin ϕ (5)

式中,hp为弹性补偿单元作用支点处的油膜厚度;θp为密封倾斜节线的周向角。

对密封间隙内油膜承载区域的压力进行积分,可得到油膜轴向承载力公式:

$\bar{F} = \int_{0}^{θ_{s}} \int_{\bar{r}_{1}}^{\bar{r}_{2}} \bar{p} \bar{r} d \bar{r} d θ = F h_{0}^{2} / (μ_{0} ω B^{4})$ (6)

式中,F为承载力;θs为油膜边界值。

非接触机械密封正常工作过程中,由油膜产生的轴向承载力即为密封开启力,密封的闭合力由弹簧等补偿单元的弹性补偿力和密封腔内作用在密封环的介质压力构成,这些力构成的闭合力和开启力的大小相等、方向相反。

对于考虑密封环倾斜的机械密封,还必须考虑其倾覆力矩:

$\bar{Ν} = \int_{0}^{θ_{s}} \int_{\bar{r}_{1}}^{\bar{r}_{2}} \bar{p} \bar{r}^{2} \sin (θ_{p} - θ) d \bar{r} d θ = Ν h_{0}^{2} / (μ_{0} ω B^{5})$ (7)

1.4 二阶非线性动特性求解模型

1.4.1 密封间隙的油膜厚度二阶级数

油膜厚度在扰动下的方程为

$\begin{array}{l} h = h_{0} + Δ h = h_{0} + r \sin (θ_{p} - θ) \sin ϕ_{0} + \\ Δ z + r \sin (θ_{p} - θ) \cos ϕ_{0} Δ ϕ - \\ \frac{1}{2} r \sin (θ_{p} - θ) \sin ϕ_{0} (Δ ϕ)^{2} (8) \end{array}$

式中,ϕ0为稳态下的密封静环倾角;Δz为h0沿轴向的增量;Δϕ为ϕ0沿周向的增量。

在瞬态下有

$\begin{array}{l} \frac{\partial h}{\partial θ} = - r \cos (θ_{p} - θ) \sin ϕ_{0} - r \cos (θ_{p} - θ) \cos ϕ_{0} (Δ ϕ) + \\ \frac{1}{2} r \cos (θ_{p} - θ) \sin ϕ_{0} (Δ ϕ)^{2} (9) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{\partial h}{\partial t} = Δ \dot{z} + r \sin (θ_{p} - θ) \cos ϕ_{0} (Δ \dot{ϕ}) - \\ r \sin (θ_{p} - θ) \sin ϕ_{0} (Δ ϕ) (Δ \dot{ϕ}) (10) \end{array}$

1.4.2 密封开启力及倾覆力矩的二阶级数

静态开启力为F0时,瞬态下密封间隙内油膜对密封副的作用力矩阵形式为

$\begin{array}{l} F (h, \dot{h}) = F_{0} + [\frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial \dot{z}} \frac{\partial F}{\partial ϕ} \frac{\partial F}{\partial \dot{ϕ}}] [\begin{matrix} Δ z \\ Δ \dot{z} \\ Δ ϕ \\ Δ \dot{ϕ} \end{matrix}] + \\ [\begin{matrix} Δ z \\ Δ \dot{z} \\ Δ ϕ \\ Δ \dot{ϕ} \end{matrix}]^{Τ} [\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial z^{2}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial z \partial \dot{z}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial z \partial ϕ} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial z \partial \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial \dot{z} \partial z} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial \dot{z}^{2}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial \dot{z} \partial ϕ} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial \dot{z} \partial \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial ϕ \partial z} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial ϕ \partial \dot{z}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial ϕ^{2}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial ϕ \partial \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial \dot{ϕ} \partial z} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial \dot{ϕ} \partial \dot{z}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial \dot{ϕ} \partial ϕ} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial \dot{ϕ}^{2}} \end{matrix}] [\begin{matrix} Δ z \\ Δ \dot{z} \\ Δ ϕ \\ Δ \dot{ϕ} \end{matrix}] + \\ Ο (Δ z^{3}, Δ \dot{z}^{3}, Δ ϕ^{3}, Δ \dot{ϕ}^{3}) (11) \end{array}$

瞬态下油膜对倾覆力矩的矩阵形式为

$\begin{array}{l} Ν (h, \dot{h}) = Ν_{0} + [\frac{\partial Ν}{\partial z} \frac{\partial Ν}{\partial \dot{z}} \frac{\partial Ν}{\partial ϕ} \frac{\partial Ν}{\partial \dot{ϕ}}] [Δ z Δ \dot{z} Δ ϕ Δ \dot{ϕ}]^{Τ} + \\ [\begin{matrix} Δ z \\ Δ \dot{z} \\ Δ ϕ \\ Δ \dot{ϕ} \end{matrix}]^{Τ} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial z^{2}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial z \partial \dot{z}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial z \partial ϕ} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial z \partial \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial \dot{z} \partial z} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial \dot{z}^{2}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial \dot{z} \partial ϕ} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial \dot{z} \partial \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial ϕ \partial z} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial ϕ \partial \dot{z}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial ϕ^{2}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial ϕ \partial \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial \dot{ϕ} \partial z} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial \dot{ϕ} \partial \dot{z}} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial \dot{ϕ} \partial ϕ} & \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ν}{\partial \dot{ϕ}^{2}} \end{matrix}) (\begin{matrix} Δ z \\ Δ \dot{z} \\ Δ ϕ \\ Δ \dot{ϕ} \end{matrix}) + \\ Ο (Δ z^{3}, Δ \dot{z}^{3}, Δ ϕ^{3}, Δ \dot{ϕ}^{3}) (12) \end{array}$

1.4.3 二阶非线性动特性系数

静态倾覆力矩为N0时,瞬态下油膜对密封的开启力用刚度阻尼系数的矩阵形式表示为

$\begin{array}{l} F (h, \dot{h}) = F_{0} + [Κ_{z} Κ_{\dot{z}} Κ_{ϕ} Κ_{\dot{ϕ}}] [Δ z Δ \dot{z} Δ ϕ Δ \dot{ϕ}]^{Τ} + \\ [\begin{matrix} Δ z \\ Δ \dot{z} \\ Δ ϕ \\ Δ \dot{ϕ} \end{matrix}]^{Τ} (\begin{matrix} \frac{1}{2} Κ_{z z} & \frac{1}{2} Κ_{z \dot{z}} & \frac{1}{2} Κ_{z ϕ} & \frac{1}{2} Κ_{z \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} Κ_{\dot{z} z} & \frac{1}{2} Κ_{\dot{z} \dot{z}} & \frac{1}{2} Κ_{\dot{z} ϕ} & \frac{1}{2} Κ_{\dot{z} \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} Κ_{\dot{ϕ} z} & \frac{1}{2} Κ_{ϕ \dot{z}} & \frac{1}{2} Κ_{ϕ ϕ} & \frac{1}{2} Κ_{ϕ \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} Κ_{\dot{ϕ} z} & \frac{1}{2} Κ_{\dot{ϕ} \dot{z}} & \frac{1}{2} Κ_{\dot{ϕ} ϕ} & \frac{1}{2} Κ_{\dot{ϕ} \dot{ϕ}} \end{matrix}) [\begin{matrix} Δ z \\ Δ \dot{z} \\ Δ ϕ \\ Δ \dot{ϕ} \end{matrix}] + \\ Ο (Δ z^{3}, Δ \dot{z}^{3}, Δ ϕ^{3}, Δ \dot{ϕ}^{3}) (13) \end{array}$

其中,K为力刚度阻尼参数,下标z、ϕ、 $\dot{z}$ 、 $\dot{ϕ}$ 分别表示沿轴向、周向的位移和速度项。

由式(6)、式(11)、式(13)可得到瞬态下油膜对密封环的作用力的非线性动力学系数,其中线性刚度系数为(P为量纲一压力)

Kz=I1 [Pz],Kϕ=I1[Pϕ]

ST]线性阻尼系数为

$Κ_{\dot{z}} = Ι_{1} [Ρ_{\dot{z}}], Κ_{\dot{ϕ}} = Ι_{1} [Ρ_{\dot{ϕ}}]$

二阶非线性主刚度和交叉刚度系数为

Kz z=I1[Pz z],Kϕϕ=I1[Pϕϕ];Kz ϕ=Kϕ z=I1[Pz ϕ]

ST]二阶非线性主阻尼和交叉阻尼系数为

$\begin{array}{l} Κ_{\dot{z} \dot{z}} = Ι_{1} [Ρ_{\dot{z} \dot{z}}] = 0, Κ_{\dot{ϕ} \dot{ϕ}} = Ι_{1} [Ρ_{\dot{ϕ} \dot{ϕ}}] = 0 \\ Κ_{\dot{z} \dot{ϕ}} = Κ_{\dot{ϕ} \dot{z}} = Ι_{1} [Ρ_{\dot{ϕ} \dot{z}}] = 0 \end{array}$

非线性刚度阻尼耦合系数为

$\begin{array}{l} Κ_{z \dot{z}} = Κ_{\dot{z} z} = Ι_{1} [Ρ_{z \dot{z}}], Κ_{z \dot{ϕ}} = Κ_{\dot{ϕ} z} = Ι_{1} [Ρ_{z \dot{ϕ}}] \\ Κ_{\dot{z} ϕ} = Κ_{ϕ z} = Ι_{1} [Ρ_{\dot{z} ϕ}], Κ_{ϕ \dot{ϕ}} = Κ_{\dot{ϕ} ϕ} = Ι_{1} [Ρ_{ϕ \dot{ϕ}}] \end{array}$

其中,I1[·]=∫θs0∫r2r1[·]rdrdθ。

瞬态下油膜引起的倾覆力矩用摆动刚度阻尼系数表示的矩阵形式为(V为摆动刚度阻尼系数的统一标示量):

$\begin{array}{l} Ν (h, \dot{h}) = Ν (z_{0} + Δ z, \dot{z}_{0} + Δ \dot{z}, ϕ_{0} + Δ ϕ, \dot{ϕ}_{0} + Δ \dot{ϕ}) = \\ Ν_{0} + [V_{z} V_{\dot{z}} V_{ϕ} V_{\dot{ϕ}}] [Δ z Δ \dot{z} Δ ϕ Δ \dot{ϕ}]^{Τ} + \\ [\begin{matrix} Δ z \\ Δ \dot{z} \\ Δ ϕ \\ Δ \dot{ϕ} \end{matrix}]^{Τ} [\begin{matrix} \frac{1}{2} V_{z z} & \frac{1}{2} V_{z \dot{z}} & \frac{1}{2} V_{z ϕ} & \frac{1}{2} V_{z \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} V_{\dot{z} z} & \frac{1}{2} V_{\dot{z} \dot{z}} & \frac{1}{2} V_{\dot{z} ϕ} & \frac{1}{2} V_{\dot{z} \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} V_{ϕ z} & \frac{1}{2} V_{ϕ \dot{z}} & \frac{1}{2} V_{ϕ ϕ} & \frac{1}{2} V_{ϕ \dot{ϕ}} \\ \frac{1}{2} V_{\dot{ϕ} z} & \frac{1}{2} V_{\dot{ϕ} \dot{z}} & \frac{1}{2} V_{\dot{ϕ} ϕ} & \frac{1}{2} V_{\dot{ϕ} \dot{ϕ}} \end{matrix}) [\begin{matrix} Δ z \\ Δ \dot{z} \\ Δ ϕ \\ Δ \dot{ϕ} \end{matrix}] + \\ Ο (Δ z^{3}, Δ \dot{z}^{3}, Δ ϕ^{3}, Δ \dot{ϕ}^{3}) (14) \end{array}$

由式(7)、式(12)、式(14)可得到油膜对倾覆力矩的线性及非线性动力学系数,其中线性刚度系数为

Vz=I2[Pz],Vϕ=I2[Pϕ]

ST]线性阻尼系数为

$V_{\dot{z}} = Ι_{2} [Ρ_{\dot{z}}], V_{\dot{ϕ}} = Ι_{2} [Ρ_{\dot{ϕ}}]$

二阶非线性刚度系数为

Vz z=I2[Pz z];Vϕ ϕ=I2[Pϕ ϕ]

ST]二阶非线性交叉刚度系数为

Vz ϕ=Vϕ z=I2[Pz ϕ]

ST]二阶非线性阻尼系数为

$V_{\dot{z} \dot{z}} = Ι_{2} [Ρ_{\dot{z} \dot{z}}] = 0 ‚ V_{\dot{ϕ} \dot{ϕ}} = Ι_{2} [Ρ_{\dot{ϕ} \dot{ϕ}}] = 0$

二阶非线性交叉阻尼系数为

$V_{\dot{z} \dot{ϕ}} = V_{\dot{ϕ} \dot{z}} = Ι_{2} [Ρ_{\dot{z} \dot{ϕ}}] = 0$

二阶非线性刚度阻尼耦合系数为

$\begin{array}{l} V_{z \dot{z}} = V_{\dot{z} z} = Ι_{2} [Ρ_{z \dot{z}}], V_{z \dot{ϕ}} = V_{\dot{ϕ} z} = Ι_{2} [Ρ_{z \dot{ϕ}}] \\ V_{\dot{z} ϕ} = V_{ϕ \dot{z}} = Ι_{2} [Ρ_{\dot{z} ϕ}], V_{ϕ \dot{ϕ}} = V_{\dot{ϕ} ϕ} = Ι_{2} [Ρ_{ϕ \dot{ϕ}}] \end{array}$

其中,I2[·]=∫θs0∫r2r1[·]r2sin(θp-θ)drd θ。

由式(13)和式(14)知,瞬态油膜作用时,与密封副轴向力和倾覆力矩相关的动特性系数各有20个,由于式(13)和式(14)中矩阵是对称的,因此分别包含14个动特性系数。

从推导中知:

(1)非线性阻尼系数均等于0,这说明油膜阻尼对密封副和摆动的影响是线性的,这是由于瞬态Reynolds方程中瞬态项∂h/∂t是一阶的缘故。

(2)密封副振动影响油膜厚度分布,从而使油膜压力分布发生变化,导致密封环摆动;同样,密封副摆动也会引起密封轴向振动。

1.4.4 瞬态运动方程

考虑密封环的惯性时,将刚度阻尼代入式(5)和式(6)后,密封环的二阶非线性量纲一轴向振动方程为

$\begin{array}{l} \bar{m} Δ \ddot{z} + \bar{Κ}_{\dot{z}} Δ \bar{\dot{z}} + \bar{Κ}_{\dot{ϕ}} Δ \bar{\dot{ϕ}} + \bar{Κ}_{z \dot{z}} Δ \bar{z} Δ \bar{\dot{z}} + \bar{Κ}_{z \dot{ϕ}} Δ \bar{z} Δ \bar{\dot{ϕ}} + \\ \bar{Κ}_{\dot{z} ϕ} Δ \bar{\dot{z}} Δ \bar{ϕ} + \bar{Κ}_{ϕ \dot{ϕ}} Δ \bar{ϕ} Δ \bar{\dot{ϕ}} + \bar{Κ}_{z} Δ \bar{z} + \bar{Κ}_{ϕ} Δ \bar{ϕ} + \\ \frac{1}{2} \bar{Κ}_{z z} Δ \bar{z}^{2} + \frac{1}{2} \bar{Κ}_{ϕ ϕ} Δ \bar{ϕ}^{2} + \bar{Κ}_{z ϕ} Δ \bar{z} Δ \bar{ϕ} = 0 (15) \end{array}$

式中, $\bar{m}$ 为量纲一质量, $\bar{m} = m ω h_{0}^{3} / (μ_{0} B^{4})$ 。

摆动下的二阶非线性量纲一运动方程为

$\begin{array}{l} \bar{J} Δ \bar{\ddot{ϕ}} + \bar{V}_{\dot{z}} Δ \bar{\dot{z}} + \bar{V}_{\dot{ϕ}} Δ \bar{\dot{ϕ}} + \bar{V}_{z \dot{z}} Δ \bar{z} Δ \bar{\dot{z}} + \bar{V}_{z \dot{ϕ}} Δ \bar{z} Δ \bar{\dot{ϕ}} + \\ \bar{V}_{\dot{z} ϕ} Δ \bar{\dot{z}} Δ \bar{ϕ} + \bar{V}_{ϕ \dot{ϕ}} Δ \bar{ϕ} Δ \bar{\dot{ϕ}} + \bar{V}_{z} Δ \bar{z} + \bar{V}_{ϕ} Δ \bar{ϕ} + \\ \frac{1}{2} \bar{V}_{z z} Δ \bar{z}^{2} + \frac{1}{2} \bar{V}_{ϕ ϕ} Δ \bar{ϕ}^{2} + \bar{V}_{z ϕ} Δ \bar{z} Δ \bar{ϕ} = 0 (16) \end{array}$

式中, $\bar{J}$ 为量纲一转动惯量, $\bar{J} = J ω h_{m}^{3} / (μ_{0} B^{6})$ 。

2 算例分析

2.1 计算对象和刚度阻尼计算结果分析

计算对象机械密封的几何参数如下:r1=0.125m,r2=0.21m,θs=0.452rad,θp=0.265rad;被密封介质温度t=40℃,μ0=0.04315Pa·s,密度998kg/m3。密封运行条件:ω=3500r/min,轴向载荷W=1.8×105N。

在已有程序基础上[1,7,12],引入式(8)～式(14),编制程序并计算,获得的非线性动特性系数的量纲一数值如表1所示。

2.2 密封瞬态振动响应过程计算结果分析

采用Euler法编制程序求解式(15)、式(16),取初始条件 $Δ \bar{z} = 0.3, Δ \bar{ϕ} = 0$ ,可得到密封环位移随时间变化的量纲一变化量即静环支点处的量纲一油膜厚度的变化量,和静环倾角随时间变化的变化量,如图2和3所示。由图2可以看出,密封环位移随时间的增大逐渐减小,油膜作用于密封环的阻尼是过阻尼。由图3可以看出,静环摆动很快达到最大幅值,然后是一种按指数规律衰减的非周期性蠕动,静环也处于过阻尼运动状态。当取初始条件 $Δ \bar{z} = 0 ‚ Δ \bar{ϕ} = 1.0 \times 10^{- 3}$ 时,密封环位移很快达到最大幅值,然后按指数规律衰减做非周期性蠕动,如图4所示;静环摆动幅值随时间逐渐减小,如图5所示,密封环和静环均处于过阻尼运动状态。从以上两个初始条件以及密封环振动和静环摆动可以看出,密封环振动能够引起静环摆动,静环摆动能够引起密封环振动。

(Δ=0.3,Δ=0)

(Δ=0,Δ=1.0×10-3)

3 结论

(1)建立了考虑倾斜情况的弹性补偿单元支撑的非接触机械密封瞬态振动响应分析模型,该模型包括了瞬态Reynolds方程、运动方程以及二阶非线性动特性求解方程等。(2)通过Euler法求解获得了非接触机械密封在轴向振动位移和静环倾角随时间变化时的瞬态振动响应特性。(3)计算得到了瞬态油膜对密封副作用力和倾覆力矩的各14个动特性系数,结果表明:油膜阻尼对密封副和摆动的影响是线性的;密封的副振动影响油膜厚度分布,从而引起油膜压力分布发生变化,导致密封环摆动;密封副摆动同样也会引起密封轴向振动。

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具有级数系数的线性递推数列探讨篇9

关键词：线性递推数列,算术级数,几何级数,广义Fibonacci数

近年来,求线性递推数列的通项公式成为众多数学爱好者关注的对象.目前,常用的方法有归纳法、特征方程法、待定系数法、生成函数法、微分法和矩阵法等.本文在复数域上,利用生成函数研究系数为特殊级数项的线性递推数列通项公式的求法.同时,揭示了一类常系数线性递推数列与广义Fibonacci数的关系.

所谓α和β阶广义Fibonacci数是指由广义Fibonacci递推关系xn+1=αxn+βxn-1,n=1,2,…所确定的数xn,其中初始条件x0和x1任意.若xn满足通常的Fibonacci递推关系xn+1=xn+xn-1,则称xn为Fibonacci型数.特别地,当初始条件为x0=0,x1=1时,xn就是通常的Fibonacci数.

一、系数为算术级数项的线性递推数列

定理1以算术级数的项为系数,初始条件为x0的线性递推数列

其中

利用两个幂级数的乘积公式,可得

因为

其中t1=1/λ1,t2=1/λ2是方程(c+1)t2-(a+2)t+1=0的根,数λ1,2由(3)给出.于是

因此,生成函数X(t)的系数为

将恒等式[cλ1+r-c]/λ2=b-aλ2和[cλ2+r-c]/λ1=b-aλ1代入上面xn的表达式即可得到(2).

注意到,(1)的通项xn是由广义Fibonacci递推关系xn+1=(a+2)xn-(a-r+1)xn-1,n=2,3,…所确定的广义Fibonacci数.事实上,由递推关系(1)可得

推论1具有初始条件x0=1的线性递推数列

的通项公式为

证明令a=r=x0=1,由定理1及注i)可知,(4)可化简为广义Fibonacci递推关系