渗透变系数

渗透变系数（精选8篇）

渗透变系数 篇1

渗透, 是液体在均匀多孔介质中运动的现象。渗透系数, 是土的一项重要的力学指标, 常用于设计与施工开挖工程中选择排水、降水方法, 计算斜坡稳定、坝基渗流, 确定路堤、河堤断面浸润线位置等。渗透系数的测定, 以现场抽水注水法测定结果较为可靠, 但由于设备复杂, 耗费大, 仅在特殊需要时才采用。大部分工程在勘察阶段以室内试验为主。室内渗透试验分为常水头法和变水头法, 常水头法适用于砂土及含少量砾石的无黏聚性土, 变水头法适用于粉土和黏性土。本文主要探讨变水头法测定粉土和黏性土的渗透系数。

1 变水头法测定渗透系数的试验方法及计算

1.1 试验方法

试验装置见图1。

试验操作应按下列步骤进行:1) 根据工程需要, 用环刀在垂直或平行土样层面切取原状试样或由扰动土制备成给定密度的试样。切土时不得用切土刀反复涂抹试样表面。2) 将容器套环内壁涂抹一薄层凡士林, 然后将盛有试样的环刀推入套环内, 擦净挤出的凡士林, 装好带有透水石和垫圈的上下盖, 拧紧螺丝, 使其不漏气, 不漏水。对不易透水的试样, 进行抽气饱和;对饱和试样和易透水的试样, 直接用变水头装置的水头进行试样饱和。3) 将渗透容器的进水口与水头装置连通, 关闭管夹5 (2) , 5 (3) , 开启管夹4, 使供水瓶注满水。然后关闭管夹4开启管夹5 (2) 及5 (3) , 使水头管内充满水。4) 将容器侧立, 排气管6向上, 并打开排气管管夹。打开进水口管夹5 (1) , 充水排出渗透容器底部的空气, 直至溢出水无夹带气泡为止。关闭排气管管夹, 放平渗透容器。5) 在一定水头 (应根据试样结构疏松程度确定, 一般不宜大于2.0 m) 作用下, 静置一段时间, 待上出水管口有水溢出时, 可开始测定。6) 将水头管充水至需要高度后, 关闭管夹5 (2) 。当水位降至所选定的开始水头H1时, 开动秒表, 经过时间t后, 测记终了水头H2。如此连续测记2次~3次后, 再使水头管的水位回升至另一需要高度, 重复以上步骤试验5次~6次。每次测记水头时同时测定水温, 准确至0.5℃。

1.2 试验结果计算

渗透系数kT:

标准温度下的渗透系数k20:

其中, a为变水头管的断面积, cm2;2.3为ln和lg的变换因数;L为渗径, 即试样高度, cm;t1, t2分别为测读水头的起始和终止时间, s;H1, H2分别为起始和终止水头, cm;ηT为T℃时水的动力粘度, 10-6k Pa·s;η20为20℃时水的动力粘度, 10-6k Pa·s。

2 变水头法测定渗透系数的影响因素分析

1) 土的渗透性, 是水流通过土孔隙的能力, 土的孔隙大小, 决定着渗透系数的大小, 如果土样扰动, 土的孔隙就会发生改变, 对试验数据影响巨大, 为准确测定土的渗透系数, 试验样品应采用原状样进行试验, 试样在取样、包装、运送过程中避免土样扰动。2) 为保证试验数据准确, 制取样品要有代表性, 制取试件过程中, 保持土样的完整性, 环刀壁涂抹凡士林润滑, 避免土样涩滞, 与环刀壁之间出现缝隙。切土时不得用切土刀反复涂抹试样表面, 保证试样上下两面正常渗水。3) 安装过程中, 将试样装入渗透仪中, 使各部件紧密接触, 确保仪器不漏水, 不漏气。试样上下垫滤纸, 保持透水石透水性良好, 减少透水石堵塞带来的影响。4) 土体的饱和度对渗透系数的量测具有很重要的影响, 土样的饱和度越小, 土的孔隙内残留的气体越多, 使土的有效渗透面积越小。同时由于气体因孔隙水压力的变化而胀缩, 因而饱和度的影响即成为一个不定的因素, 为了保持试验精度, 要求试样必须充分饱和, 排尽土孔隙中的气体。如果土样没有完全饱和, 会使测得的渗透系数偏小。5) 起始水头高度的控制。根据土质的不同, 选择不同的起始水头高度。起始水头高度对黏性土影响较小, 粉土类粘聚性小的试样起始水头不能太高, 避免水头压力过大造成管涌现象。6) 试验过程中, 水中含气对渗透系数的影响, 主要由于水中气体分离, 形成气泡, 堵塞土的孔隙, 致使渗透系数逐渐降低。为减少试验用水带来的影响, 本试验应采用纯水, 并应在试验前用抽气法或煮沸法脱气。7) 试验结果进行合理性分析。试验结束后应拆下试件观察有无缝隙、孔洞造成渗透假象, 试验结果应与具体试件的物理性质相匹配, 避免不合理试验数据出现。

3 结语

为准确测得土的渗透系数, 根据土质的不同应选择不同的试验方法。对于粉土和黏性土, 应采用变水头法测定渗透系数。为提高变水头试验测定渗透系数的成功率及准确性, 针对具体试样, 试验过程必须做到以下几点:1) 保持土的原状性。2) 制件应具有代表性, 试件完整。3) 保证土体及设备的透水性。4) 对试样进行饱和。5) 控制起始水头高度。6) 试验用水采用纯水, 并进行脱气。7) 对试验结果进行合理性分析, 确保试验数据准确合理。

参考文献

[1]TB 10102-2010, 铁路工程土工试验规程[S].

[2]SD 128-84, 土工试验规程[S].

渗透变系数 篇2

二阶变系数线性微分方程的一个可积类型

对变系数线性微分方程进行了研究, 通过函数变换, 将满足一定条件的`二阶变系数线性微分方程转化为可积的线性微分方程进而求其通解. 从而找到了二阶变系数线性微分方程的一个新的可积类型.

作 者：胡劲松 HU Jin-song 作者单位：西华大学数学与计算机学院,四川成都,610039刊 名：西南民族大学学报(自然科学版) ISTIC英文刊名：JOURNAL OF SOUTHWEST UNIVERSITY FOR NATIONALITIES(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：200834(5)分类号：P642关键词：二阶变系数线性微分方程 函数变换 通解

变系数二阶线性方程解法拓展 篇3

一、通过选择法来求出方程的特解, 从而得到方程的通解

例1求方程 (2x+1) y″+4xy′-4y=0的通解.

解用选择法来求其特解.这里可用形如y1=eax或者y1=xn+a1xn-1+a2xn-2+…求出其特解.我们将y1=eax代入原方程, 通过比较系数得:a=-2, 即得y1=e-2x是原方程的一个特解.我们再用y2=x2+a1x+a2代入方程中得到方程的另一特解:y2=x.

所以我们可得到原方程的通解:y=c1x+c2e-2x (其中c1, c2为任意常数) .

例2求方程x (x-1) y″-xy′+y=0的通解.

解可用例1的选择法求得方程的一个特解y1=x, 它不含有形如y=eax的特解, 我们可利用变换公式方程就化为:解得一个特解为z=xln x+1, 则可得原方程的通解为:y=c1x+c2 (x ln x+1) (其中c1, c2为任意常数) .

二、对于非齐变系数线性方程, 则可先求出对应的齐

线性方程的通解, 再用常数变易法 (通用之法) 求得非齐线性方程的通解

例3求方程的通解.

解先求对应的齐线性方程x (x+1) y″+ (x+2) y′-y=0 (1) 的一个基本解组, 为此只要求出 (1) 的两个特解.用选择法, 可知 (1) 的一个特解为y1=x+2, 作变换令将 (2) 代入 (1) 得另一个特解为

我们已求得方程 (1) 的两个解为:

所以方程 (1) 的通解为: (其中c1, c2为任意常数) (3) , 把 (3) 中任意常数看作x的待定函数c1 (x) , c2 (x) , 这时 (3) 变为 (4) 可求得原方程的通解为: (其中c1, c2为任意常数) .

三、如果变系数齐线性方程的特解不好用选择法求出, 可以采用未知函数的线性代换y=a (x) z消去含有一阶导数的项, 把方程变为常系数方程

例4求方程 (x2y″-2xy′+ (x2+2) y=0的通解.

解令y=a (x) z, 则y′=a′ (x) z+a (x) z′, y″=a″ (x) z+2a′ (x) z′+a (x) z″.

令含有z一阶导数的系数为零, 得2x2a′ (x) -2xa (x) =0 (2) , 这是一个一阶变量分离方程.解得一个特解为a (x) =x, 可知a′ (x) =1, a″ (x) =0, 代入 (1) 化简得z″+z=0 (3) , 方程 (3) 是一个很简单的常系数齐线性方程, 解之得z=c1cos x+c2sin x… (4) (其中c1, c2为任意常数) .

所以原方程的通解为y=c1xcosx+c2x sin x (其中c1, c2为任意常数)

四、用自变量代换t=φ (x) 消去含有一阶导数的项来求方程的通解

例5求方程 (x2+1) y″+xy′+y=0的通解.

分析这个方程用选择法不容易得到方程的特解, 我们可采用变量代换t=φ (x) 来消去含有一阶导数的项, 把方程变为简单的常系数方程.

在 (3) 中令含有一阶导数的项的系数为零即:

将 (4) (5) 代入方程 (3) 中得:yt″+y=0这是一个常系数齐线性方程, 解之得:

将 (6) 代入 (7) 得原方程的通解为 (其中c1, c2为任意常数) .

摘要：线性微分方程是常微分方程中重要的一部分内容, 本文通过归纳举例对教材中的变系数线性方程的解法进行补充.

徐变系数对挠度的影响分析研究 篇4

徐变是指荷载在维持不变的情况下,混凝土的变形随时间增加而徐徐增加的现象。它具有下列特性:1)徐变在初期发展特别快,而后发展逐渐减慢,延续时间可达数年。一般在加载的第一个月内完成全部徐变量的40%,3个月完成60%,1年～1.5年约完成80%,在3年～5年内基本完成。2)在卸载时,一部分变形立即恢复,另一部分变形在相当长时间内逐渐恢复,而更大部分的残余变形永不恢复。3)徐变量与加载的应力大小有关,应力越大,徐变量越大。当应力小于棱柱体强度的50%～60%时,应力与徐变量成近似线性的关系。4)徐变量与加载时混凝土的龄期有关,龄期越短,徐变量越大。5)徐变量与水灰比、水泥用量有关,水灰比大,徐变量大;水泥用量大,徐变量大。6)徐变量与混凝土所用的骨料有关,骨料弹性模量高,徐变量小。7)徐变量与施工条件有关,振捣密实的混凝土和养护好的混凝土徐变量小。8)徐变发生在结构施加预应力之后,故对预应力混凝土结构产生很大的影响,会引起预应力损失[1,2,3,4,5,6,7,8]。

JTG D62-2004公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范(以下简称新《桥规》)中,混凝土徐变系数采用1990年CEB-FIP模式规范提供的公式计算(见新《桥规》)。从混凝土徐变系数的计算公式可以看出,影响徐变系数的因素主要有加荷应力、加荷龄期、持荷时间、环境湿度、环境温度和构件尺寸等因素。

2 计算模型的建立与结果分析

利用Midas建立梁单元模型,如图1所示。改变模型徐变系数的不同取值来分析施工阶段梁的挠度对徐变系数的敏感程度。由于改变徐变的途径很多,现只通过改变年平均相对湿度来改变徐变系数从而反应徐变系数对最后一个施工阶段挠度的影响规律。加载龄期为10 d,不同年平均相对湿度条件下徐变系数如图2所示。

根据图2得出最后一个施工阶段挠度与年平均相对湿度的线性关系如图3所示,回归计算得:

Y=-0.036 6x+8.857 3。

其中,Y为挠度值;x为年相对湿度。

回归相关系数R2=0.989 6。

因此,我们可以看到,混凝土在较干燥空气中的徐变一般比在较潮湿空气中的大。对于其他因素的影响程度就不一一详细介绍了。

总的规律如下:

1)混凝土构件厚度对徐变量大小及过程有很大影响,厚构件比薄构件有较小的极限徐变量。

2)混凝土加载龄期越大,徐变变形越小。

3)水泥与水含量增加会导致徐变量增大,周围空气温度对混凝土徐变也有一定影响,温度较低(+5 ℃～-15 ℃)时,混凝土徐变已基本停止。但新《桥规》的计算公式未反映水泥和水含量及空气温度对混凝土徐变的影响。

摘要：根据《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》,利用Midas建立梁单元模型,分别取不同的混凝土徐变系数,计算了在施工过程中连续梁由混凝土徐变产生的挠度,并分析了连续梁在施工过程中徐变系数对挠度的影响。

关键词：桥梁,梁单元,徐变系数,挠度

参考文献

[1]惠荣炎,黄国兴,易冰若.混凝土的徐变[M].北京:中国铁道出版社,1988:1-208.

[2]周履,陈永春.收缩徐变[M].北京:中国铁道出版社,1994:7-60.

[3]傅作新.工程徐变力学[M].北京:水利电力出版社,1985:1-14.

[4]杜国华,毛昌时,司徒妙龄.桥梁结构分析[M].上海:同济大学出版社,1994:137-175.

[5]唐崇钊.混凝土的徐变力学与试验技术[M].北京:水利电力出版社,1982:1-55.

[6]Neville A.M.Creep of plain and structural concrete[M].Lon-don and New York:Construction Press,1983:1-39.

[7]Lain F.,William R.H..Creep of engineering materials[M].New York:McGraw-Hill Book Company,1959:10-23.

东沟尾矿坝渗透系数反演分析 篇5

陕西太白黄金矿业有限责任公司东沟尾矿库地处秦岭中部地区,海拔在1240~1945m之间,相对高差在200~800m之间,属中高山侵蚀地貌。矿区地形总体为南西倾向的单面山,北高南低,属太白河左岸的一级支沟,沟长5.2km,沟底宽3~10m,西侧沟坡35°~50°,属“∨”型谷,局部地段沟有高20~40m的第四系冲洪积平台,而且地形切割剧烈。山势陡峻,植被茂密,属秦岭腹地不明显流失造林种草区。尾矿库坝址选在距东沟沟口1400m处的狭窄地段,由两期坝组成。初期坝为碎石土坝,用碎石土逐层碾压筑坝,坝高28m,坝顶宽3.5m,坝上游坡为:1∶1.7,下游坡为:1∶2.2,下游坡设2条宽2m的马道;后期坝为尾矿堆积坝,共设6个平台,平台宽2m,最大堆积高度69m,堆积外坡为1∶5.0,内坡为自然沉积坡1∶100,平均年堆积高度2.76m,最终总坝高97 m,总库容为1279.1×104m3,尾矿库汇水面积:10.125km2,尾矿库类别为:三等库;服务年限25年。

尾矿库的防洪标准:初期洪水校核为50~100年一遇;中、后期为200年一遇校核。

库区下游无人居住,坝底下游600m处有建筑物一处。

尾矿库分为初期坝(28m)和后期堆积坝(69m)形成整个的尾矿库,库内设有5个排水井、一支排洪涵洞、回水泵站一座,坝面设置有平台、排水沟、截洪沟、简易公路(1500m)、马道,在坝体上游设置拦洪坝。

尾矿库采用排水井—排水管—排水涵洞的排水方式,共设有5座(直径:5.5m)框架式排水井,前三座高21m,后两座高24m。其中第5座为2003年10月增补设计。隧洞断面为:高3.5m×宽3.0m的平底圆拱直墙涵洞,最大泻洪量达103.7m3/h,全长1720m ;坝体上游修筑拦洪坝及坝体修筑截洪沟共350m和在坝体上游较大支沟设置长450mФ500mm的截洪引水钢质涵管,同时将地表水引流到坝底而不进入库内。 库内溢流水可以通过排水井—排水管—排水涵洞到达回水泵站输送回工艺循环再利用。

为延长该尾矿库使用年限,分析尾矿坝现有运行状况,然后决定是否对该尾矿坝进行筑坝加高扩容改造设计。

尾矿坝的渗流和稳定分析[1,2,3,4,5,6]一直是尾矿坝设计和研究中的最主要问题之一,而尾矿坝加高后的渗流和稳定分析就显得更为重要。

本文基于东沟尾矿坝的实测钻孔水头数据,采用“反问题正算法”,通过三维渗流有限元法以最小二乘法拟合出和实测钻孔水位误差最小的最佳渗透系数[7,8]。该渗透系数综合考虑了尾矿坝各方面影响的是综合渗流参数,用以为尾矿坝运行及加高是否可行方案提供基本依据。

1 东沟尾矿坝渗流参数模型的建立

图1为尾矿坝中包含了所有钻孔实测水位的工程局部图。渗流参数反演分析计算模型建立以工程提供的断面ZK1~ZK8位置和水头为基本依据,钻孔水位资料见表3。计算模型区域为ZK1~ZK8之间实测渗流自由面(浸润面)之下的坝体(含尾矿坝体和初期坝堆石体)和强风化岩体,反演分析计算模型及三维有限元网格分别见图2、图3。

在图2、图3所示计算模型中,整体坐标系的坐标原点取在钻孔ZK1-2处,东西方向为y 轴方向,x轴与y轴正交,z坐标仍为高程。反演分析计算模型共被剖分为51362个结点,八面体尾矿砂单元36000个,风化岩体单元4200个,初期坝单元8000个。

2 渗透系数反演数值分析

考虑到模型渗流参数(渗透系数)和实验室试验渗流参数、现场试验渗流参数的不同,此尾矿坝渗流参数反演分析拟合的模型渗流参数(渗透系数)的取值范围和试算初值如表1所示。

经反演分析和拟合计算,东沟尾矿坝最佳拟合的模型渗流参数见表2,各钻孔水位拟合误差见表3,表3中相对误差为绝对误差和总水头(钻孔1和钻孔8水头差)的比值。最佳拟合模型渗流场分布(各钻孔连线纵剖面)见图5~7。

3 结论

从以上反演分析可以看出:

(1)最佳拟合模型尾矿砂(拟合渗透系数2.0×10-6m/s)渗透系数远大于室内测试平均值9.26×10-8m/s(0.008m/d)。最佳拟合模型渗透系数中已等效反映了排渗措施的作用。

(2)每个剖面中间的钻孔反演误差比两边钻孔的大,这与实测浸润面两边高、中间较低吻合。各钻孔的最佳拟合水位普遍高于实测值,且距离钻孔ZK1和ZK8越远,其误差越大,最大相对误差为7.45%,这说明了虽然反演分析模型可以等效反映排渗措施的作用,但拟合的浸润线位置仍然总体偏高。从另一方面讲,采用等效反映排渗措施作用的最佳拟合模型渗透系数进行计算是偏于安全的。

(3)此尾矿坝加高扩容改造后堆积高程达1359m,渗流分析时尾矿砂、风化岩体和初期坝堆石的模型渗透系数可分别取为2×10-6m/s、4×10-6m/s 和1×10-4m/s。

(4)模型渗透系数中已等效反映了排渗设施的影响,当尾矿坝加高扩容改造堆积高程达1259m时,相应总水头将增加20m,加高方案中应加强排渗设施。

(5)由钻孔实测水位资料可以看出,浸润线位置较高,距坝面较近;加高扩容改造后堆积高程达1359m时浸润线位置将进一步抬高。因此加高方案设计中也应加强排渗设施。

参考文献

[1]赵坚,纪伟,刘志敏.尾矿坝地质剖面概化及其对渗流场计算的影响[J].金属矿山,2003,(12):24~2.

[2]胡明鉴,陈守义,郭爱国,张华.某上游法尾矿坝抗滑稳定性浅析[J].岩土力学,2003,24(s2):254~258.

[3]赵坚,沈振中.尾矿坝复杂排水系统渗流计算方法的改进[J].河海大学学报,1997,25(2):110~113.

[4]蒋卫东,李夕兵.尾矿坝浸润线时空混沌模型及反分析[J].中南工业大学学报自然科学版,2003,34(6):704.

[5]李守义,陈尧隆,胡再强,柴军瑞.米箭沟尾矿坝渗流与稳定分析研究报告[R].西安:西安理工大学,2004.

[6]段蔚平,汪斌.尾矿坝非饱和带滞水曲线模型的建立及应用[J].岩土力学,2003,24(s2):65~68.

[7]柳厚祥,宋军,陈克军.尾矿坝二维固结稳定渗流分析[J].矿冶工程,2002,22(4):8~11.

渗透变系数 篇6

对Painlevé分析, 首先我们考虑变系数KDV方程:

此处, 方程的系数函数f和～g只与t有关, 我们寻找以下形式的解:

其中流形为:

uj (t) 是u (x, t) 在x=ψ (t) 处的泰勒展式系数, 把 (2) 代入方程 (1) , 按φ的幂次排列, 令其系数等于零, 这样我们得到:

(1) 决定首项阶数的方程; (2) 关于uj的递推关系.

若要方程 (1) 通过Painlevé分析, 则p必须为正整数, 且递推关系也必须在所有的j点一致成立, 包括共振点.

1 确定首项阶数

为了确定p, 利用首项阶数分析方法, 即在 (2) 中取j=0带入方程 (1) , 经过计算我们得到

2 确定递推关系

Painlevé分析的下一步是将 (2) 和 (3) , 以及p=2带入方程 (1) 中, 我们得到

经过一些代数计算, 我们得到如下的递推关系:

在这里我们规定, 当一个记号的下标小于零时, 该记号取零.

3 共振点

令A= (j-4) u0f+g (j3-9j2+26j-24) , 从递推关系 (5) , 我们很容易看出uj的系数必不等于零, 使得A=0的j的值, 称为变系数KDV方程的共振点, 由计算得:

于是, 变系数KDV方程的共振点为

共振点j=-1对应于任意的奇性流行φ (x, t) .

4 相容性条件

在每一个jres点, 递推关系 (5) 不能用于计算展开系数, 从而每一个展开式不一定唯一, 为了要使解的表达式有我们所期望的形式, 递推关系必须在这些jres点一致成立.在共振点递推关系成立的条件称为相容性条件.当j=4时, 递推关系 (5) 恒成立;当j=6时, 递推关系 (5) 的系数A=0, 经过计算我们得到相容性条件为:

5 可积性条件

将j=1, 2, 3, 5分别带入递推关系 (5) , 我们可以得到

将其及 (4) 带入j=6时的相容性条件 (7) , 我们得到变系数KDV方程 (1) 在Painlevé意义下的非线性可积条件:

其中C1, C2, 是任一常数.

摘要：寻找可积模型是非线性物理中的重要问题之一, 而Painlevé奇性分析方法已经成为研究非线性偏微分方程可积性的一个有力工具。本文研究一类变系数KDV方程的可积性, 该方程在物理领域有重要的应用。本文运用Painlevé分析方法得到了该方程通过Painlevé PDE检验时系数函数应满足的可积条件, 将此类KDV方程的可积性作了进一步的推广。

关键词：变系数KDV方程,Painlevé奇性分析

参考文献

【1】M.J.Ablowitz and P.A.Clarkson:Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, volume149of London Mathematical Society Lecture Note Series Cambridge University Press, The Edinburgh Building, Shaftesbury Road, Cambridge, CB22RU, December (1991) .

【2】W.H.Steeb and N.Euler, Nonlinear evolution equationsand Painlevétest, World Scientific Publishing Company, Incorporated, PO Box128, Farrer Road, Singapore9128, hardcover edition (1988) .

【3】Weiss J, Tabor M and Carnevale G, Painlevéproperty for partial differential equations, J.Math.Phys. (1983) 24, 522-526.

【4】M.J.Ablowitz, A.Ramani and H.Segur, A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type, I, II, J.Math.Phys.21 (1980) , p.p.715-721;p.p.1006-1015.

渗透变系数 篇7

笔者借助于线性微分方程常数变易法和函数在一点的连续定义, 对在纯粹数学和应用数学中, 在工程技术及力学、物理学中极为重要的一阶、二阶变系数线性微分方程当自由项为分段函数时的初值问题作出以下探讨.

一、定理及其证明

1.自由项为分段函数的一阶变系数线性微分方程初值问题的连续解

定理1 一阶变系数线性微分方程初值问题

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+p(x)y=f(x)‚\\ y(a)=y{}_0‚\end{array}f(x)=\begin{array}{l}f{}_1(x)‚a\le x<b,\\ f{}_2(x),b\le x.\end{array}$

(p (x) , f1 (x) , f2 (x) 为连续函数, a, b, y0为任意常数) 的连续解为:

$y=\{\begin{array}{l}y{}_0\text{e}{}^{{\displaystyle {\int }_x^{a}p}(x)\text{d}x}+\text{e}{}^{-{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}{\displaystyle {\int }_a^{x}f}{}_1(x)\text{e}{}^{{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}\text{d}x‚a\le x<b,\\ y{}_0\text{e}{}^{{\displaystyle {\int }_x^{a}p}(x)\text{d}x}+\text{e}{}^{-{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}{\displaystyle {\int }_a^{b}f}{}_1(x)\text{e}{}^{{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}\text{d}x‚\\ +\text{e}{}^{-{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}{\displaystyle {\int }_a^{x}f}{}_2(x)\text{e}{}^{{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}\text{d}x‚b\le x.\end{array}(1)$

证明 (1) 当a≤x<b时, 由常数变易法知$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+p(x)y=f{}_1(x)$的通解为$y=\text{e}{}^{-{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}$[∫$f{}_1(x)\text{e}{}^{{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}\text{d}x+c{}_1].$

代入初始条件y (a) =y0, 得

(2) 当b≤x时, 由常数变易法知$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+p(x)y=f{}_2(x)$的通解为$y=\text{e}{}^{-{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}$[∫$f{}_2(x)\text{e}{}^{{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}\text{d}x+c{}_2]$.为了使

$y=\{\begin{array}{l}y{}_0\text{e}{}^{{\displaystyle {\int }_x^{a}p}(x)\text{d}x}+\text{e}{}^{-{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}{\displaystyle {\int }_a^{x}f}{}_1(x)\text{e}{}^{{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}\text{d}x‚a\le x<b‚\\ \text{e}{}^{-{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}[{\displaystyle \int f}{}_2(x)\text{e}{}^{{\displaystyle \int p}(x)\text{d}x}\text{d}x+c{}_2]‚b\le x\end{array}$

在分段点x=b处连续, 可令

即

因此, 给定初值问题的连续解为式 (1) , 定理得证.

2.自由项为分段函数的二阶变系数线性微分方程初值问题的连续解

在给出定理2之前, 先看下面引理.

引理 设φ1 (x) , φ2 (x) 是对应于二阶变系数线性微分方程y″ (x) +a1 (x) y′ (x) +a2 (x) y (x) =f (x) 的齐次方程的基本解组, a1 (x) , a2 (x) , f (x) 在[a, b]上连续, 则在[a, b]上该方程的通解为

其中 (证明可参考文献[2]第322页) .

定理2 二阶变系数线性微分方程初值问题为连续函数, a, b, y0, y1为任意常数) 的连续解为

$y(x)=\{\begin{array}{l}\alpha \phi {}_1(x)+\beta \phi {}_2(x)+\\ {\displaystyle {\int }_a^x\frac{\phi {}_1(\tau )\phi {}_2(x)-\phi {}_1(x)\phi {}_2(\tau )}{W[\phi {}_1(\tau ),\phi {}_2(\tau )]}}f{}_1(\tau )\text{d}\tau ‚a\le x<b‚\\ \left[\alpha -{\displaystyle {\int }_a^b\frac{\phi {}_2(\tau )f{}_1(\tau )}{W[\phi {}_1(\tau ),\phi {}_2(\tau )]}}\text{d}\tau \right]\phi {}_1(x)+\\ \left[\beta +{\displaystyle {\int }_a^b\frac{\phi {}_1(\tau )f{}_1(\tau )}{W[\phi {}_1(\tau ),\phi {}_2(\tau )]}}\text{d}\tau \right]\phi {}_2(x)+\\ {\displaystyle {\int }_b^x\frac{\phi {}_1(\tau )\phi {}_2(x)-\phi {}_1(x)\phi {}_2(\tau )}{W[\phi {}_1(\tau ),\phi {}_2(\tau )]}}f{}_2(\tau )\text{d}\tau ‚b\le x.\end{array}(2)$

其中$\alpha =\frac{y{}_0{\phi }^{\prime }{}_2(a)-y{}_1\phi {}_2(a)}{W[\phi {}_1(a),\phi {}_2(a)]}‚\beta =\frac{y{}_1\phi {}_1(a)-y{}_0{\phi }^{\prime }{}_1(a)}{W[\phi {}_1(a),\phi {}_2(a)]}‚\phi {}_1(x)‚\phi {}_2(x)$为对应齐次方程的基本解组.

证明 (1) 当a≤x<b时, 由引理知方程y″ (x) +a1 (x) y′ (x) +a2 (x) y (x) =f1 (x) 的通解为y (x) =c1φ1 (x) +c2φ2 (x) +∫${}_a^x$$\frac{\phi {}_1(\tau )\phi {}_2(x)-\phi {}_1(x)\phi {}_2(\tau )}{W[\phi {}_1(\tau )‚\phi {}_2(\tau )]}f{}_1(\tau )\text{d}\tau$, 代入初始条件y (a) =y0, y′ (a) =y1, 整理后得到关于c1, c2的代数方程组

解之

(2) 当b≤x时, 由引理知方程y″ (x) +a1 (x) y′ (x) +a2 (x) y (x) =f2 (x) 的通解为

为了使

$y(x)=\{\begin{array}{l}\alpha \phi {}_1(x)+\beta \phi {}_2(x)+\\ {\displaystyle {\int }_a^x\frac{\phi {}_1(\tau )\phi {}_2(x)-\phi {}_1(x)\phi {}_2(\tau )}{W[\phi {}_1(\tau ),\phi {}_2(\tau )]}}f{}_1(\tau )\text{d}\tau ‚a\le x<b‚\\ c{}_1^{*}\phi {}_1(x)+c{}_2^{*}\phi {}_2(x)+\\ {\displaystyle {\int }_b^x\frac{\phi {}_1(\tau )\phi {}_2(x)-\phi {}_1(x)\phi {}_2(\tau )}{W[\phi {}_1(\tau ),\phi {}_2(\tau )]}}f{}_2(\tau )\text{d}\tau ‚b\le x.\end{array}$

在点x=b连续, 可令

即αφ1 (b) +βφ2 (b) +∫${}_a^b$$\frac{\phi {}_1(\tau )\phi {}_2(b)-\phi {}_1(b)\phi {}_2(\tau )}{W[\phi {}_1(\tau ),\phi {}_2(\tau )]}f{}_1(\tau )\text{d}\tau =c{}_1^{*}\phi {}_1(b)+c{}_2^{*}\phi {}_2(b).$

$\begin{array}{l}\text{也}\text{就}\text{是}\left[\alpha -{\displaystyle {\int }_a^b\frac{\phi {}_2(\tau )f{}_1(\tau )}{W[\phi {}_1(\tau ),\phi {}_2(\tau )]}}\text{d}\tau \right]\phi {}_1(b)+\\ \left[\beta +{\displaystyle {\int }_a^b\frac{\phi {}_1(\tau )f{}_1(\tau )}{W[\phi {}_1(\tau ),\phi {}_2(\tau )]}}\text{d}\tau \right]\phi {}_2(b)\\ =c{}_1^{*}\phi {}_1(b)+c{}_2^{*}\phi {}_2(b).\end{array}$

比较两边同类项系数有

由上述 (1) , (2) 两个结果, 于是得到给定初值问题的连续解为式 (2) , 定理得证.

二、定理的应用

$\begin{array}{l}\text{问}\text{题}1\text{求}\text{解}\text{初}\text{值}\text{问}\text{题}\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+3y=f(x)‚\\ y(0)=\frac{1}{5}‚\end{array}\\ f(x)=\{\begin{array}{l}\text{e}{}^{2x}‚0\le x<3‚\\ 1,x\ge 3.\end{array}\end{array}$

解 这里$p(x)=3‚f{}_1(x)=\text{e}{}^{2x}‚f{}_2(x)=1‚a=0,b=3‚y{}_0=\frac{1}{5}$, 利用定理 的式 (1) , 求得初值问题的解为

$y=\{\begin{array}{l}\frac{1}{5}\text{e}{}^{-3x}+\text{e}{}^{-3x}{\displaystyle {\int }_0^x\text{e}}{}^{2x}\text{e}{}^{3x}\text{d}x‚0\le x<3‚\\ \frac{1}{5}\text{e}{}^{-3x}+\text{e}{}^{-3x}{\displaystyle {\int }_0^3\text{e}}{}^{2x}\text{e}{}^{3x}\text{d}x+\text{e}{}^{-3x}{\displaystyle {\int }_3^x\text{e}}{}^{3x}\text{d}x‚x\ge 3‚\end{array}$

即

$\begin{array}{l}\text{问}\text{题}2\text{求}\text{解}\text{初}\text{值}\text{问}\text{题}\{\begin{array}{l}{y}^{″}(x)-4y(x)=f(x)‚\\ y(0)=1‚y^{\prime }(0)=2‚\end{array}\\ f(x)=\{\begin{array}{l}\text{e}{}^{2x}‚0\le x<1,\\ 1,1\le x.\end{array}\end{array}$

解 由欧拉 (Euler) 待定指函数法容易求得对应齐次方程的基本解组为φ1 (x) =e2x, φ2 (x) =e-2x, 并且代入定理2的式 (2) 求得初值问题的解为

$y(x)=\{\begin{array}{l}1\cdot \text{e}{}^{2x}+0\cdot \text{e}{}^{-2x}+{\displaystyle {\int }_0^x\frac{\text{e}{}^{2\tau }\text{e}{}^{-2x}-\text{e}{}^{2x}\text{e}{}^{-2\tau }}{-4}}\text{e}{}^{2\tau }\text{d}\tau ‚\\ 0\le x<1‚\\ \left[1-{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\text{e}{}^{-2\tau }\text{e}{}^{2\tau }}{-4}}\text{d}\tau \right]\text{e}{}^{2x}+\left[0+{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\text{e}{}^{2\tau }\text{e}{}^{2\tau }}{-4}}\text{d}\tau \right]\text{e}{}^{-2x}+\\ {\displaystyle {\int }_1^x\frac{\text{e}{}^{2\tau }\text{e}{}^{-2x}-\text{e}{}^{2x}\text{e}{}^{-2x}}{-4}}1\cdot \text{d}\tau ‚1\le x‚\end{array}$

参考文献

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[2]庄万.常微分方程习题解[M].济南:山东科学技术出版社, 2003:322-323.

[3]汤光宋.常微分方程专题研究[M].武汉:华中理工大学出版社, 1994:3-6.

渗透变系数 篇8

大容量波动性负荷对电网的危害不仅仅局限在负荷自身所在节点,当系统短路容量较小的时候,其产生的波动电流在供电线路阻抗上产生波动的压降,导致电网中多个电压等级的节点电压波动,造成更大范围内的电能质量恶化,危害电网运行的安全性、可靠性。研究闪变的传播,对于闪变污染源的定位[1,2,3]、治理[4],闪变污染主要责任的确定,闪变允许值的计算,都具有重要意义。

对于辐射型网络,当闪变由负荷侧向电源侧传播时,其传播系数可采用短路阻抗比(短路容量比)计算[5]。若由电源侧向负荷侧传播时,情况较复杂,根据负荷情况的不同而不同。文献[6-7]给出了如何搭建闪变研究的仿真模型,文献[8]通过仿真的方式定性分析了电动机负荷有助于闪变的阻尼衰减,文献[9]通过具体算例研究了居民负荷和工业负荷情况下闪变传播系数的不同,文献[10]采用文献[11]给出的电动机负荷的小信号模型,给出了闪变传播系数的计算方法,文献[12-13]则建立了d P/d U、d Q/d U表示的配电网负荷模型,计算闪变传播系数。

环网闪变传播系数的计算更加复杂。文献[5]将短路计算法和负荷潮流计算法运用于具体实例,文献[14]采用节点电压和电流之间的传递函数来描述感应电动机,并进一步计算感应电动机负荷存在情况下环网的闪变传播系数。

目前,国内对电压闪变的研究多是对闪变进行检测[15,16,17,18,19]与抑制[20,21],闪变干扰源搜索定位[22]研究工作刚刚起步,相关的研究较少,闪变传播的理论研究尚未开展。

现有的研究没有考虑不同的波动波形对闪变传播系数的影响。本文应用动态相量法建立电网的数学模型,求取电压的动态相量,即电压包络线,直接反映了电压RMS值的波动情况。本文首先介绍了动态相量法,然后证明了电压动态相量与电压RMS值的一致性,继而计算了一般性电力网络的闪变传播系数,最后用仿真验证了理论分析的正确性并给出了结论。

1 动态相量法

对于时域中以T为周期的函数x(τ)在任一区间τ(t-T,t]可以用时变傅里叶级数展开[23,24]:

其中,ωs=2π/T,Xk(t)为时变傅里叶系数,称之为第k阶动态相量。在时刻t的时变傅里叶系数为

波形x(t)的动态相量具有以下特性[23]:

a.微分特性

b.乘积特性

电压闪变分析中,节点电压通常采用以工频电压为载波的调制波,通过对该调制波进行时变傅里叶系数计算,可以得到电压波形中基波以及各次谐波分量的时变函数。因为电压闪变研究的是工频分量的波动情况,所以只进行一阶动态相量计算。

而闪变研究中的电压波动指电压RMS值的波动情况。在理想正弦电压情况下,电压基波的时变傅里叶系数计算结果和电压RMS值一致,而存在电压波动的情况下,两者的一致性的证明将在下面给出。该一致性的证明,使得对闪变传播的研究,从电压RMS值波动量的传播研究,转化为电压动态相量的研究,从而不必囿于算例的仿真研究,进入了一般性计算方法的研究。

2 动态相量与RMS值一致性的证明

假设电压具有如下形式:

其中,A和fsys分别为工频载波电压的幅值和频率;m和fm分别为调幅波电压的幅值与工频幅值的比值、调幅波频率。

u(t)的RMS值定义为y(t),计算公式为

其中,fsys=50 Hz,T=0.02 s。利用动态相量法求解,可以得到y(t)的各频率分量,令ωm=2πfm,则y(t)中位于闪变频率范围内的fm频率分量的大小为

u(t)的一阶动态相量(基频为工频)的计算公式为

其中,T=0.02 s。

式(7)中的最后2项分别是2ωsys±ωm角频率分量。可见,通过动态相量计算,电压中的调制频率分量得以与其他分量解耦。

以上计算结果表明u(t)的一阶动态相量中fm频率分量的大小为(A/2)msin(ωmT/2)/(ωmT/2),与其RMS值一致,采用动态相量法求得的电压动态相量直接反映了RMS值的波动情况。

3 闪变传播系数计算

3.1 闪变传播系数计算方法

图1所示为一般性电网示意图,在节点K处有一波动性负荷,用一个波动电压源表示其造成的闪变影响,该电压源的波形为正弦调制波,闪变频率为fm。电力网络包含阻抗元件和电压源。首先对所示电路元件建立其动态相量模型。具体步骤为:先列写微分方程,表述其基本电压、电流关系;然后进行一阶动态相量计算(基频为工频),得到能够反映电压RMS值波动情况的微分方程;为了简化计算,对该微分方程进一步进行以调幅波频率fm为基频的一阶动态相量计算,以转换为简单的复数代数方程。最后,从基尔霍夫定律出发,建立并求解以节点电压波动量为变量的复数代数方程组,并进一步求取闪变传播系数。

3.2 阻抗元件的动态相量模型

设阻抗支路节点为p和q,支路电流为ipq(t),参考方向由p指向q,电阻为R,电感为L,可写出如下微分方程:up(t)-uq(t)=Ripq(t)+Ld ipq(t)/dt,方程两侧同时进行一阶动态相量计算,可以得到〈up〉1(t)-〈uq〉1(t)=R〈ipq〉1(t)+L〈dipq(t)/dt〉1,其中基频为工频。根据动态相量微分特性可得到〈up〉1(t)-〈uq〉1(t)=R〈ipq〉1(t)+Ld〈ipq〉1(t)/d t+L jωsys〈ipq〉1(t)。

在闪变研究中,波动性电压、电流为以工频量为载波的调制波,根据式(7)的分析,可以看出该调制波在经过基频为工频的一阶动态相量计算后,包含有直流、ωm频率分量以及2ωsys±ωm频率分量,要使得在任何时刻t,以上等式恒成立,各个频率分量分别要相等,因此闪变频率分量可以从其他分量中分离出来并单独求解。用符号Δup(t)、Δuq(t)和Δipq(t)表示〈up〉1(t)、〈uq〉1(t)和〈ipq〉1(t)中的闪变频率分量,可写出如下所示微分方程:Δup(t)-Δuq(t)=RΔipq(t)+LdΔipq(t)/d t+LjωsysΔipq(t)。

此方程仍然是微分方程,不利于求解。考虑到方程中各部分均为闪变频率分量,可以设置基频为fm,通过再一次的一阶动态相量计算将微分方程转化为代数方程。分别用符号ΔUp、ΔUq和ΔIpq表示Δup(t)、Δuq(t)和Δipq(t)经过该动态相量计算后得到的复常数,则ΔUp-ΔUq=ΔIpq·[R+j(ωsys+ωm)L],或者写成如下形式:ΔIpq=(ΔUp-ΔUq)·Y′pq,其中Y′pq=1/[R+j(ωsys+ωm)L],为ωsys+ωm角频率下的元件导纳值。

3.3 电压源的动态相量模型

网络中的电压源为理想电压源,其经过上述动态相量计算后为零,因此在动态相量模型中作短路处理。

3.4 闪变传播系数的计算

假设网络中有n个独立节点。为了叙述方便,将闪变源所在节点定义为节点1。在任意一个节点处,根据基尔霍夫电流定律,流入电流之和为零。各支路电流经过2次动态相量计算之后,仍然满足基尔霍夫电流定律。分析不包含节点1的其他n-1个独立节点,可以列写n-1个以全部独立节点的电压波动量为变量的方程:Y′0ΔU=0,其中Y′0为角频率ωsys+ωm下自导纳和互导纳组成的(n-1)×n阶矩阵。ΔU(n×1阶矩阵)是各个独立节点电压波动量矩阵。为了便于矩阵的逆阵求解,加入由节点1的电压波动量ΔU1构成的恒等式ΔU1≡ΔU1,构成n个方程:Y′ΔU=[ΔU10…0]T,其中Y′为n×n阶矩阵,假设:Z′=(Y′)-1,则ΔU=(Y′)-1[ΔU10…0]T=Z′·[ΔU10…0]T,可以计算出第x个节点的电压波动值:ΔUx=Z′x1·ΔU1。其中,符号Z′x1表示Z′矩阵中第x行第1列的数据。

同理,可以得到多闪变频率下的电压波动值。下标i用以表示第i个闪变频率。例如,符号ΔUx.i表示节点x的电压波动中第i个闪变频率分量;Z′x1.i表示在第i个闪变频率下,计算Z′x1;ΔU1.i表示节点1的电压波动中第i个闪变频率分量,可以得到ΔUx.i=Z′x1.i·ΔU1.i,i=1,…,N,其中N为闪变频率的个数。

短时闪变严重度指标计算公式为

综合以上分析,闪变传播系数结果如下:

其中,N为闪变频率的个数,U軍1和U軍x是节点1和节点x的电压RMS值的平均值,可以通过潮流计算获得;d ui表示第i个闪变频率下,使得瞬时闪变视感度S等于1的相对电压波动。

4 仿真结果

图2用以仿真某110 kV网络的闪变传播。其中Es为理想电压源,Rs=1.09Ω,Ls=0.077 70 H;R12=6.75Ω,L12=0.033 45 H,R23=6.75Ω,L23=0.033 45 H;R34=8.10Ω,L34=0.039 80 H;R45=1.09Ω,L45=0.077 70H;R46=8.10Ω,L46=0.039 80 H;R61=18.00Ω,L61=0.054 00 H。节点5和节点6的负荷均为(6+j 4.5)MV·A,节点1处有2个负荷,其中一个为(6+j 4.5)MV·A,另外一个为波动性负荷,用波动电压源表示,其闪变频率分量有2个:fm1=1 Hz,m1=0.716%;fm2=2 Hz,m2=0.35%。

从节点1到节点2~6的闪变传播系数的Matlab仿真结果为KP12=0.788,KP13=0.579,KP14=0.696,KP15=0.696,KP16=0.816。式(9)的计算结果KP12=0.792,KP13=0.596,KP14=0.706,KP15=0.706,KP16=0.822。相对误差均不超过3%。

5 结论

波动性负荷,如电弧炉等会引起电压闪变,并以一定的衰减系数向电网传播,其衰减程度取决于电力网络结构、参数以及负荷特性,用闪变传播系数描述。本文通过动态相量法,建立了电力系统动态相量模型,并给出了一般性电力网络的闪变传播系数的计算公式,该公式考虑了电压波动过程的影响。计算结果表明,闪变传播系数除了与以上要素有关,还与闪变源中各闪变频率分量的分布有关。

摘要：波动性负荷引起的电压闪变会传播到电力系统的其他部分,相同的电压变动量可能由不同的电压波动波形引起。为此利用动态相量法建立了电力网络的数学模型,根据基尔霍夫定律求取电压的动态相量,即电压波形的包络线,可以直接反映电压RMS值的波动情况,并且在此基础上给出了一般性电力网络的电压闪变传播系数的计算公式。计算结果表明闪变传播系数不仅和电力网络的结构、参数以及负荷特性有关,还与闪变源的特征量,即闪变频率分量的频率及其分布密切相关。最后利用仿真软件验证了理论分析的正确性。