全微分法

2024-08-05

全微分法（共7篇）

全微分法篇1

学生在上学期学习一元函数时, 关于复合函数求导和隐函数求导就很难掌握, 现在解决多元函数这些问题, 对学生来说就更难理解。历年学生在这一部分掌握的都不是很好。在教学过程中发现一阶全微分形式不变性不仅可以将多元函数微分的知识转化为一元函数的内容来解决, 而且还可以将多元函数微分法这一章的主要问题统一起来。

1 一阶微分形式不变性

一阶全微分形式不变性是指[1]:无论u, v是自变量还是中间变量, 函数zz ff ( (uu, , vv) 的全微分形式是一样的。此性质的好处:一方面可以直接不用区分变量直接利用一元函数的微分性质计算;另一方面不用区分变量是自变量、因变量还是中间变量, 以及它们的结构问题就可以直接利用微分性质直接计算。

2 一阶全微分形式不变性在求偏导数中的应用

对于多元函数求偏导数, 实际就是利用一元函数的求导公式, 但是不同的是对其中一个变量求偏导时, 要将其它变量都看成常量。但这一点学生往往容易出错, 而一阶微分形式不变性可以解决这一问题, 同时对于变量更多时可以一次求出所有偏导数。

解:

从而对应变量微分的系数就是此变量的偏导数, 即

3 一阶全微分形式不变性在求多元复合函数求导中的应用

多元复合函数求导是多元函数微分法这一章的重点, 同时也是一个难点。第一, 学生对变量之间的结构分析不清楚, 尤其三层或更多层复合情形时, 导致用树形图画不出来, 就很难用链式法则求解;第二, 对有些变量既是中间变量又是最终自变量这一情形很容易出错;第三, 对外层是抽象函数, 学生一方面不会设中间变量, 另一个方面学生对抽象问题很害怕, 无从下手。但是用一阶全微分形式不变性就可以轻松解决这些问题。

从而得:

4 一阶全微分形式不变性在求隐函数求导中的应用

隐函数求导最容易出错的就是学生忘记因变量是自变量的复合函数, 必须按复合函数求导法则计算。但是利用一阶全微分形式不变性就可以避免出现这样的错误。且微分时根本不需要管谁是自变量, 谁是因变量, 只需在最后求出因变量的微分即可。

解:两边微分得:

一次求出四个偏导数, 且不需考虑隐函数的复合形式。

结束语

从上例的计算过程可以发现, 求偏导数、复合函数求导以及隐函数求导这些不同问题都可以用统一方法———全微分形式不变性来解决;且所有解决过程不需要考虑变量的结构或是自变量、中间变量、因变量, 一律用微分的性质或定义可以直接计算。同时关于这一章后面几节--多元函数微分法的几何应用、方向导数和梯度、多元函数的极值及其求法, 其实还是求偏导问题, 都可以用上面所用的一阶全微分形式不变性解决。因此, 这一章用一种方法就可以将其统一, 便于学生掌握, 同时简化计算的复杂性, 使学生可以用上学期学过的微分的性质加这学期的全微分定义就可以轻松解决这些复杂问题。

摘要：多元函数微分法这一章对学生来说有一定的难度, 且每节内容的解决方法都不同, 这就导致学生难以掌握。而一阶全微分形式不变性可以将这些内容的解决方法统一起来, 使学生轻松解题。

关键词：多元函数,全微分,偏导数,隐函数,微分形式不变性

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (下) [M].高等教育出版社, 2007;63-89.

[2]哈尔滨工业大学数学系分析教研室.工科数学分析 (下) [M].北京:高等教育出版社, 2013;7-25.

全微分法篇2

一、偏导数存在与全微分存在之间的关系

二、偏导数存在与任意方向的方向导数存在之间的关系

首先,函数z=f(x,y)在点(x,y)两个偏导数存在,只能说明该函数在点(x,y)沿el=(1,0)(或el=(-1,0))及el=(0,1)(或el=(0,-1))的方向导数存在,并不能保证函数在点(x,y)沿任意方向的方向导数存在.

其次,函数z=f(x,y)在点(x,y)沿任意方向的方向导数都存在并不能保证该函数在点(x,y)偏导数存在.

所以函数z=f(x,y)在点(x,y)处沿任意方向的方向导数存在既不是它在点(x,y)处偏导数存在的充分条件也不是必要条件.

三、任意方向的方向导数存在与全微分存在之间的关系

定理三如果函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分存在,则该函数在点(x,y)沿任意方向的方向导数存在.反之不成立.

但由例1可知,该函数在点(0,0)处的全微分不存在.

上述定理的证明,可参考同济大学数学系编的《高等数学》,在此不再赘述.

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2009.

全微分法篇3

微分变换法是将函数变换为泰勒级数的变换。微分变换理论的基本原理就是将描述系统的方程进行微分变换, 得到由离散函数构成的方程。

这个方程的求解很简单, 只要依次将自然数顺次代入整数自变量, 即可求得方程解得离散值, 进而得到用级数形式表示的方程的解。

微分变换法的基本公式为:

为x (t) 的k阶导数, 利用上述微分变换处理微分方程, 得到关于X (k) 的方程, 可利用递推关系, 获得幂级数各项系数X (k) 的值, 之后利用微分变换法的逆变换:

x (t) =∑X (k) tk

得到微分方程的幂级数解。

2 Duffing方程的微分变换解法

Duffing方程是混沌现象的一个典型例子, 它的基本形式如下式:

对其进行微分变换:

可以得到其求根的递推公式:

由此, 我们利用微分变换法的逆变换, 可以得到Duffing方程的的幂级数解:

y=∑Y (k) yk

3 弱非线性单摆的运动方程

我们知道, 无阻尼单摆的运动方程为:

当阻尼存在时, 设阻尼与摆的速度成正比, 单摆的运动方程为:

在解方程时, 通常将sinθ线性化处理。

4 弱非线性单摆的微分变换解

设摆长为0.15m, 阻尼系数为0.02, 利用微分变换法得到单摆的弱非线性单摆的时间位移曲线:

摘要：单摆的运动方程是一种含正弦函数的微分方程, 一般在解方程时, 通常将正弦项线性化处理, 取其泰勒展开的前一项, 当摆幅较大时, 为减小误差, 通常取其泰勒展开的前两项, 此时方程为典型Duffing方程。对于Duffing方程的求解问题, 微分变换法是一种简单快捷的方法。本文利用微分变换法, 获得了大摆幅单摆的时间位移曲线。

关键词：Duffing方程,微分变换法

参考文献

[1]Feng-Ming Li, nonlineardynamicsanalysisofathinrectangular plate in subsonic airflow[J].Mathematics and Mechanics of solids, 2014.

[2]丁同仁, 李承治编.常微分方程教程[M].高等教育出版社, 1991.

[3]王彦博.求解微分方程的微分变换法[D].南京农业大学, 2009.

全微分法篇4

关键词：配网重构,网损,分布式电源,微分进化,代数连通度

0 引言

随着电力电子、通信和信息技术的不断进步, 以及“坚强智能电网”发展战略的提出, 智能配电网将得到快速的发展。在灵活可重构的配电网络拓扑基础上实现系统快速仿真与模拟 (Fast Simulation and Modeling, FSM) 等高级应用是未来智能配电网的发展趋势, 其中配网重构就是配电FSM需要实现的一项重要功能[1,2], 也是配电网络优化运行的重要手段[3,4], 其目的是通过改变馈线分段开关和联络开关的开合状态调整网络结构, 进而优化供电路径, 以实现均衡负荷、消除过载、提高电能质量、降低系统有功损耗等功能。本文主要关注重构对系统网损及电能质量的影响。

配网重构是一个大规模的多目标非线性组合优化问题, 特别是实际配电系统中节点众多, 存在大量分段开关和联络开关, 重构过程中很容易造成“组合爆炸问题”, 产生大量的无效解。目前, 相关科研人员对此进行了大量研究。文献[3]通过基环变换降低了染色体编码个数, 但仍会产生大量无效解;文献[5]提出了一种环路编码方法以引导进化, 这种方法极大缩小了解空间, 提高了可行解比例, 却仍未完全去除无效解;文献[6-7]在此基础上进行了进一步改进, 提出了基于支路-环路矩阵和T节点度数法的无效解处理方法, 这些方法虽然有效, 但是实现起来较为麻烦。鉴于此, 本文结合图论相关知识提出一种新的、简单实用的无效解处理方案。同时, 考虑DG并网对配网重构的影响, 将采用整数编码的微分进化算法应用到配网重构问题中, 以降低变量维数、提升算法寻优效率。最后, 通过算例测试验证了上述方案的优越性。

1 配网重构的数学模型

配网重构后能优化网络的供电路径、均衡负荷、消除过载, 还能提高电能质量、减少系统有功网损, 本文将网损最小作为优化目标, 其函数表达式如式 (1) 。

式中:Ploss为系统有功损耗;n为支路总数;Pi、Qi分别为流过支路i的有功和无功功率;Vi为支路i末端的节点电压;ri为支路i的电阻;ki为开关i的状态变量, 0表示断开, 1表示闭合。

配网重构时需要满足相应的约束条件:1) 拓扑约束, 即配电网必须始终保持辐射状结构, 并且网络中不能存在孤岛和环网;2) 节点电压约束, Vimin≤Vi≤Vimax, 即电压必须在允许的上下限范围内波动;3) 支路容量约束, Si≤Simax, 即支路实际功率不能超过其允许容量。

2 含分布式电源的微分进化重构算法

2.1 含分布式电源的配网重构潮流计算

分布式电源 (DG) 的并网不仅改变了配电系统的潮流特性, 而且对系统网络损耗及稳态电压分布会产生较大影响[8,9]。不同形式的DG并网时, 其潮流计算模型各不相同, 相应的处理方法及潮流计算流程在文献[8]中已有详细介绍, 此处不再赘述。这些DG并网后最终都要转换成PQ型节点计算, 因此本文将其视为“负的负荷”, 按普通PQ节点负荷处理。

特别要强调的是, 重构后节点顺序被打乱, 导致潮流流向和节点顺序不符。为解决此问题, 本文结合图论知识, 首先在重构后网络基础上生成节点-支路关联矩阵;接着对其进行深度优先搜索, 得出重构后网络的正确节点顺序, 为利用初始网络中其他潮流计算参数, 将其和初始网络数据进行比对进而调整初始网络中节点的顺序;最后, 可用文献[8]的前推回代潮流算法进行重构后网络的潮流计算。

2.2 基于独立环路的整数编码方法

编码方法的好坏将直接影响搜索效率[3], 现有编码方法大多采用二进制编码方式, 用“0”和“1”表示网络中开关的开合状态, 通常“0”代表开关断开, “1”代表开关闭合, 每个开关对应染色体的一位, 染色体长度等于网络中开关的个数。实际配电网开关众多, 以致染色体冗长、搜索空间激增, 严重降低了搜索效率。针对此问题, 文献[3]通过基环变换法, 将网络分解成独立的环路, 采用相应的策略, 缩短了染色体编码长度。但是, 此方法仍会产生大量无效解, 需要进行可行解的判断和修复, 影响搜索效率。文献[5]提出的整数环路编码方法能进一步缩小解空间, 对于简单的环网甚至可以去除全部无效解, 显示了其优越性, 但对于复杂网络不适应, 对此, 文献[6-7, 10]做了进一步研究, 运行结果表明, 整数环路编码的可行解比例最大, 是编码长度最低的编码策略。

鉴于以上分析, 本文网络重构过程中采用基于独立环路的整数编码策略, 编码表示各断开支路在其所处环路的位置序列集合。为了降低编码维度, 缩小解空间, 将编码简化规则[3]简单重述如下:

1) 重构前闭合所有联络开关, 形成若干独立环路。电网运行时, 不在任何环路内的支路上的开关必须闭合, 编码时可以不考虑该类开关。

2) 与电源点相连的开关通常也应闭合, 编码时不予考虑。

结合上述简化策略, 以图1所示IEEE33节点配电系统为例对编码方式进行详细说明。图中联络开关为{33、34、35、36、37}。环路1由支路分段开关{2、3、4、5、6、7、18、19、20}及联络开关33组成, 将这10个开关统一编号为{1, 2, …, 10}, 选择断开的开关编号可任取其中的数。同理, 可对另外四个环路进行编号, 其环路编号如表1所示。

重构前, 环路中虚线所表示联络开关33~37全部断开, 此时断开支路依次处于对应环路{1、2、3、4、5}中, 所处位置编号分别为10、7、7、16、11, 则该网络结构的重构编码可用[10, 7, 7, 16, 11]表示。由此可知, 采用此编码方式可极大的降低变量维数, 提高搜索效率。

2.3 无效解处理

配网重构过程中会产生不满足辐射状要求的无效解, 而实际运行的配电网络必须保证为辐射状, 因此, 需要通过判据去除重构过程中产生的这些无效解。相关研究[7,11]表明, 无效解归纳起来主要包括以下三类:1) 仅含环网;2) 仅含“孤岛”;3) 同时存在环网和“孤岛”, 且环网数等于“孤岛”。为判断重构后的网络是否为辐射网, 本文在有关研究基础上提出以下两个判据:

1) B (支路数) =N (节点数) -1;

2) 配电网络中不存在电力“孤岛”, 即按判据1断开相应数量的开关后, 网络中各负荷节点都和电源节点连通。

上述第1、2类无效解都不满足N-1的要求, 因此, 可以通过判据1排除。对于第3类无效解, 虽然满足判据1, 但网络中存在构成环网的孤岛, 造成网络中一部分节点未能和电源点连通, 即存在电力“孤岛”, 因此可通过判据2判定剔除。

具体以33节点配电系统的操作过程为例进行详细说明, 在5个环路中各自任选一个开关断开, 通过循环程序进行比较, 保证五个开关各不相等, (否则说明有相同的支路断开, 不满足判据1) 。在满足第一个条件后, 应用图论中代数连通度[12,13] (即次小拉普拉斯特征值λn-1 (G) ) 对网络拓扑图的连通性进行判断, 如果λn-1 (G) >0, 则说明网络中所有节点都和电源点是连通的, 也能保证网络中不存在电力“孤岛”, 至此, 网络辐射状结构就能得到满足。

2.4 微分进化算法 (Differential Evolution Algorithm)

微分进化算法 (DEA) 是由Storn和Price于1995年提出的一种性能优良的智能优化算法[14], 该算法直接采用实数运算, 无需繁琐的编码和解码操作, 具有良好的收敛性和稳定性, 对各种非线性函数适应性强, 在许多领域得到了应用, 其性能被证明优于遗传算法、粒子群优化等其他算法[15,16]。

1) 初始化。产生一定数量随机分布的初始种群, 设XiG= (xiG, 1, xiG, 2, , xiG, D) 为第G代的第i个个体, 其中D为个体的维数, 则初始种群s={X 1, X 2, , XNP}, NP为种群数量, 一般取5~10倍规模的维数。个体向量的各个元素可由下式计算得到。

式中:rand () 为0~1间的随机数;xi, jmax、xi, jmin为个体向量Xi的第j维分量的上、下限。

2) 变异操作。本文采用F随进化过程动态调整的改进变异策略[15]。

式中, xGbest, j为第G代最佳个体向量;F∈[0, 2], 为变异尺度因子, 是DE算法的一个重要控制参数;Fmax、Fmin分别为F的最大、最小值;λmax、λ分别为设定的最大迭代次数和当前的迭代次数。由于本文采用整数环路编码, 上述变异策略已不完全适应, 产生的结果可能超出个体向量在环路中编号的上下限, 因此, 每次变异时对式 (3) 中F向上取整后代入式 (4) 进行计算, 如结果中个体向量某一维取值超出上限, 则用其上限值代替, 反之亦然。

3) 交叉操作。标准DE算法中, 引入交叉操作以提高变异向量的多样性。相应的目标向量UiG+1= (ui, 1G+1, ui, 2G+1, uGi, j+1) 可由变异向量和源向量生成, 具体可按下式计算得到。

式中:CR为交叉概率因子, 是范围在0~1之间的实常数;randb为0~1之间的随机数;randr为在1~n随机选择的整数。

4) 选择。采用标准DE算法中的“贪婪”选择模式, 即如果UiG+1的适应度比XiG的适应度好, 那么UiG+1将取代XiG进入下一代, 否则保留XiG。对于最小化问题, 选择操作可表述为

式中, f (uiG, j+1) , f (xiG, j) 分别表示个体uiG, j+1, xiG, j所对应的目标函数值。

2.5 采用微分进化算法的配网重构流程

综合上述微分进化算法和基于独立环路且可完全去除无效解的整数编码方法, 本文配网重构的流程图如图2所示。

1) 输入配电系统初始数据, 包括电源基准电压, 节点及支路编号, 各节点负荷值, 开关所属环路编号;设定相应算法参数。

2) 按照2.2节编码方法确定环路数及环路中开关对应的编号, 并随机生成相应规模 (Np=5~10倍维度) 的初始种群。

3) 根据2.3节所提判据对初始种群进行判断, 如果是无效解, 则令返回适应值为无穷大 (即淘汰掉该无效解) , 否则, 利用文献[8]所述前推回代算法对初始种群进行潮流计算, 得出目标函数 (网损) 适应值。

4) 依据2.4节所述微分进化算法对初始种群进行变异、交叉、选择操作。

5) 判断是否收敛到全局最优解, 依据为迭代次数是否到达设定进化代数。若是, 则输出结果, 否则重新生成种群再次进化。

3 算例与分析

为验证本文方法的有效性, 选取如图1所示IEEE33节点配网测试系统[17]进行仿真计算。系统额定电压为12.66 k V, 包含33个节点, 37条支路, 其中联络开关5个 (33, 34, 35, 36, 37) , 网络总负荷为3715 k W+j2300 kvar。设置种群数量为50, 个体编码长度为5, Fmax为1.1, Fmin为0.2, CR为0.8, 最大迭代次数为25, 测试结果如表2所示。

由表2数据可知, 重构后配电系统的网络损耗大大降低, 节点电压质量也得到了有效的改善。采用本文算法得到的网损结果略优于文献[11], 和文献[7]一致。

分布式电源并网后IEEE33节点测试系统重构的结果如表3所示, 其中DG接入点及容量参考文献[18]数据。

表3数据说明, DG并网后不仅能进一步降低系统网损, 而且对节点电压也有很好的支撑作用。

此外, 为反映本文算法的寻优性能, 按上述IEEE33节点算例中设置好的参数将其连续运行50次, 每次进化5代后都能稳定收敛, 如图3所示。

最后, 为和其他算法对比, 列出本文算法和相关文献的迭代次数如表4所示。

数据显示本文算法的迭代次数最少, 说明微分进化算法对解决配电网重构问题有良好的寻优性能。

4 结语

全微分法篇5

微分中值定理在内容上通常包括Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理, 后两个定理都是通过构造辅助函数, 再借助Rolle中值定理来证明的.微分中值定理在分析学中极为重要, 一方面, 它揭示了函数与导数之间的内在联系, 奠定了导数应用的理论基础;另一方面, 它可以用来证明众多如下命题的成立:设f (x) 在[a, b]上连续, (a, b) 内可导, 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使某个含有f (ξ) 、f′ (ξ) 、f″ (ξ) 的等式成立.在应用微分中值定理的过程中, 大量使用辅助函数法, 其构造技巧既是重点, 又是难点.本文拟通过对Lagrange中值定理和Cauchy中值定理证明中辅助函数做法的分析, 提炼出可以普遍使用的一般方法.

为了讨论方便, 先将三个中值定理叙述如下:

Rolle中值定理设函数f (x) 满足下列三个条件:

(i) 在闭区间[a, b]上连续; (ii) 开区间 (a, b) 内可导; (iii) f (a) =f (b) , 则在开区间 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得f′ (ξ) =0.

Lagrange中值定理设函数f (x) 满足下列条件:

(i) 在闭区间[a, b]上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 内可导, 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得:

Cauchy中值定理设函数f (x) , g (x) 满足下列条件:

(i) 在闭区间[a, b]上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 内可导, 且g (b) -g (a) ≠0, 和f′2 (x) +g′2 (x) ≠0, , 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得:

1 原函数法

将Lagrange中值定理中所证结论 (1) 中ξ换成x, 成为:

为了借助Rolle中值定理, 需构造一个辅助函数F (x) , 使其导数为上述等式中不为零的一端.为此, 可用积分的方法, 对上式两边积分可得:

由于F′ (x) =0圯F′ (x) =C, 故移项使等式一端为C, 则:

容易验证F (x) 在[a, b]上满足Rolle中值定理的条件, 因此它可以作为证明Lagrange中值定理所作的辅助函数.

这种方法是通过不定积分反求出原函数, 故可以称为原函数法, 适用于采用Rolle中值定理证明结论为某一函数的导函数的零点问题.其步骤可以总结为:

(1) 将所证结论中的ξ换成x;

(2) 通过恒等变形将结论转换为易积分的形式并两边积分;

(3) 移项, 使等式一边为积分常数C, 则另一边即为所作的辅助函数.

例1设函数f (x) 在[1, 2]上连续, 在 (1, 2) 内可导, 且f (x) ≠0, 又f (1) =f (2) =0.证明:存在ξ∈ (1, 2) , 使得

分析将所证结论中的ξ换成x, 再两边积分可得f (x) =Ce3x.

2 待定系数法

这种方法将所证结论中的唯一微分中值换成确定常数λ, 故可以称为待定系数法.其步骤可以总结如下:

(1) 将所证结论中的唯一微分中值, 用常数λ表示.

(2) 代入所证结论, 移项 (积分) 得辅助函数 (有时需将代表区间端点的常数替换为x) .

例3设函数f (x) 在[a, b]上二阶可导, f (a) =f (b) .证明:对每个x∈ (a, b) , 存在ξ∈ (a, b) , 使得:

由条件f (a) =f (b) =0得到F (a) =F (b) =0, 由λ的定义还可以得到F (x) =0.在区间[a, x]和[x, b]上分别对F用Rolle中值定理得到ξ1∈ (a, x) , ξ2∈ (x, b) , 使F′ (ξ1) =F′ (ξ2) =0.再在[ξ1, ξ2]上对F′用Rolle中值定理可得结论成立.

例4设f (x) 在 (0, 1) 内有三阶连续导数, 0<a<b<1.证明:存在ξ∈ (a, b) , 使:

分析在结论 (4) 中求出f″′ (ξ) , 令其为λ, 即:

于是只要证明存在ξ∈ (a, b) , 使得f″′ (ξ) =λ.

为了构造辅助函数, 我们可将f″′ (ξ) =λ代入 (4) 式, 并令b=x, 移项便可构造出辅助函数:

则F (a) =0, 由λ的定义还可以得到F (b) =0.在区间[a, b]上对F用Rolle中值定理得到η∈ (a, b) , 使f′ (η) =0.

又由可知, f′ (a) =0.在区间[a, η]上对F′用Rolle中值定理得到ξ∈ (a, η) , 使f″ (ξ) =0.这就是f″′ (ξ) =0.

摘要：微分中值定理的证明可借助辅助函数法, 本文总结了两种构造辅助函数的方法, 并将其用于一些证明题, 取得了较好的效果.

关键词：微分中值定理,原函数法,待定系数法

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 1991.

[2]朱崇军.微分中值定理应用中辅助函数的构造[J].高等函授学报:自然科学版, 2008, 2, 22 (1) :18-20.

全微分法篇6

关键词：水锤,有限元,数值模拟

在长距离输水管线的运行过程中, 对输水管线威胁最大的就是水流因运动状态变化而产生的水锤。水锤是管道中液体瞬变流动中的一种压力波, 它的产生是由于管道中某一截面液体流速发生了改变。这种改变可能是正常的流量调节, 或者是事故而使流量堵截, 从而使该处压力产生一个突然的跃升或下跌, 这个压力的瞬变波称为水锤。一旦出现水锤就经常会造成管线供水事故, 造成经济上的巨大损失, 因此对管线的水锤防护提出了很高的要求。

水锤模型通常用偏微分方程组描述为:

其中K为流体弹性模数, E管道材料杨氏模量, e为管壁厚度, C为与管道支撑方式和材料泊松比有关的常数。

偏微分方程一般没有解析解, 所以研究其数值近似解法成为关键性的问题, 接下来如图1所示, 用P1和P2来表示节点的流体水头或势。

最后合成单元方程以得到总体方程并引入边界条件

可见, 当管道中的流体在稳定流动时, 管道中流体速度处处相等, 可得方法的有效性。

本文在数学上推演了管道中水锤波的产生和传播, 最终计算出水锤方程的数值解, 对水锤方程的有限元数值解法进行了探索性的研究, 取得了较好的结果, 为城市安全供水提供了参考和一定的理论依据。

参考文献

[1]刘德有, 索丽生.变特性长管道内水流冲击气团的刚性数学模型.水动力学研究与进展.2005, (1) :44～49

[2]熊水应.多处水柱分离与断流弥合水锤综合防护问题及设计实例.给水排水.2003, (7) :1～4

[3]L.Daryl.有限元方法基础教程.电子工业出版社.2003:398～413.