导数与微分经典课件

导数与微分经典课件（精选3篇）

导数与微分经典课件 篇1

第二讲

导数、微分及其应用

一、导数、偏导数和微分的定义

对于一元函数

对于多元函数

对于函数微分

注：注意左、右导数的定义和记号。

二、导数、偏导数和微分的计算：

1）能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分；

2）隐函数、参数方程的导数

3）高阶导数：特别要注意莱布尼茨公式的运用。

例1：求函数在处的阶导数。

解：，所以有

（1）

利用莱布尼茨公式对（1）两边求阶导数得

当时，由此可得

例2：求的阶导数。

解：

设

其中，则有

注：计算时注意一阶微分不变性的应用。

4）方向导数与梯度

三、导数、偏导数及微分的应用

1）达布定理：设在上可导，若则对介于的一切值，必有，使得。

证明：在上可导，则在上一定有最大值和最小值。

1、如果异号，无妨设，由于，由极

限的保号性，当充分接近时有；当充分接近时有，这就说明不可能是在上的最大值，所以一定存在，使得是在上的最大值，由费马

定理可得。

2、对于一般的的情形，设是介于的值，考虑函

数，则有异号，由前

面的证明可得，存在有，即。

2）罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

其中，这里在与之间的某个值。

3）一元函数的单调性及极值、最值

4）一元函数的凹凸性：

在区间上凹：和，若，则；

在区间上凸：和，若，则；

性质：1、如果在区间上是凹的，则和，若，一定有；

2、如果在区间上是凸的，则和，若，一定有

证明：因为

其中，所以用数学归纳法可证明以上结论。

例3：证明：若，则有

证明：考虑函数，因为

所以时，是凹函数。因此对于由性质有

5）多元函数几何应用

6）多元函数的极值：拉格朗日乘数法。

例4：设在上连续，在上可导。又在上连续，证明：至少存在一点使得。

证明：因为在上连续，所以在上存在原函数，即有。

考虑函数，则有，由罗尔中值定理可得至少存在一点使得

因此至少存在一点使得。

例5：设函数在上连续，在上可导，（1）如果，证明：至少存在一点，使得。

（2）如果，且对一切有，证明：至少存在一点，使得。

证明：（1）如果函数在上是常数，则对于任意的都有。下面设不是常数，此种情形下存在使得，无妨设，取，因为，所以存在，当时有

因此我们有，由此我们可得在上的最大值不在端点取得，由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点使得

(2)因为，由夹逼准则得

考虑函数，则有在上连续，在上可导，并且，由（1）的结论可得至少存在一点，使得。

例6：设函数在区间上可微，是个正数，且，证明：存在使得

证明：利用介值定理，存在使得，无妨我们设，对函数分别在以为端点区间上运用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之间使得

因此我们有

例7：设在上可导，证明：。

证明：1）设在内的最大值为，则有

这就得到在上有，特别是；

2）设在上有，设设在内的最大值为，则有

这就得到在上有，由数学归纳法可得在上有。同理可得在上有。

例8：设在上有二阶导数，证明：存在，使得

证明：设，将在点处展成三阶泰勒公式

当时，（1）

当时，(2)

得

因为在可导，且在之间，由达布定理可得，存在使得，此时即有

例9：设在上二阶可导，证明：对于，存在使得

证明：构造函数，则有，利用罗尔中值定理，存在有，再利用一次罗尔中值定，存在使得，又因为

由此可得

即有

例10：设函数在连续，在内可微，且。证明：（1）存在使得；

（2）存在使得。

证明：（1）考虑函数，因为，由零点定理，存在使得；

（2）考虑函数，因为，由罗尔中值定理，存在使得，即有。

例11：设在上无穷次可微，并且满足：存在，使得，；且，求证：在上。

四、练习题

1）求函数的阶导数。

2）设在上有阶导数，且，证明：存在，使得。

3）设在上有二阶导数，且存在使得证明：存在，使得。

4）设在区间上三次可微，证明：存在，使得

5）设函数在上是导数连续的有界函数，证明：

五、

导数与微分经典课件 篇2

统招专升本是指在普通高等学校专科应届毕业生中选择优秀学生升入本科进行两年制的深造学习,修完所需学分,毕业时授予普通高等教育本科学历证书和学位证书,派发本科就业报到证。统招专升本属于国家计划内统一招录(统招),享受与普通四年制本科同等待遇,报考人数众多。

本人开设“高等数学专升本”选修课多年,一直跟踪、研究数学专升本考试,现根据往年的出题特点、特征,对考试中导数与微分部分内容进行解析。

1精细解读教学大纲,明确该部分的基本要求

1.1理解导数的概念及几何意义,了解可导性与连续性的关系,掌握用定义求函数在一点处导数的方法。

1.2会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

1.3熟练掌握导数的基本公式,四则运算法则及复合函数的求导方法,会求反函数的导数。

1.4掌握隐函数的求导法,对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法,会求分段函数的导数。

1.5理解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。

1.6理解函数的微分概念,掌握微分法则,了解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分。

2研讨历年试题,筛查考试热点

2.1用导数的定义求函数在一点处的导数或求极限。

2.2用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算及复合函数求函数的一阶导数、二阶导数,求函数的一阶微分。

2.3求曲线上一点处的切线的斜率,求曲线上一点处的切线与法线方程。

3典型试题解析

解析:本题主要考察利用导数定义,由已知的导数值求极限值。利用导数定义求导数的解题步骤如下:

(1)求增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);

这里函数的改变量(增量)为Δy=f(x0+2h)-f(x0),自变量的改变量应为Δx=2h,应用导数的定义,则有

解析:已知函数为正弦函数,对数函数和幂函数复合而成的复合函数,需用复合函数的链式法则求导。

故切线方程为y-1=1/2(x-1),

即x-2y+1=0

法线方程为y-1=-2(x-1),

即2x+y-3=0

4结语

在专升本的历年考试中,这部分内容没有超出数学大纲基本要求,基础题、简答题较多,综合题、复杂题较少,细节步骤要求高。学生想得高分需强化基础,牢记公式,并能灵活运用。

摘要：统招专升本考试由它的权威性,每年都吸引着一批优秀的专科学生报考。通过全面研读考试大纲及多年专升本真题后,对近几年黑龙江省专升本《高等数学》考试中导数与微分部分内容进行了全面的解读,对热点中的典型问题进行解析,并预测今后考试趋势,为专升本考生提供参考。

关键词：专升本,考试热点,导数与微分

参考文献

[1]金桂唐.高等数学[M].海南出版社,2008.

高考导数与微分复习要点 篇3

导数在研究函数的性态中有着广泛的应用，关键是它能使许多用初等方法研究非常困难的函数题变得较为容易，这已使之成为当今高考的一个新兴热点，考查题型涵盖选择、填空和解答题，应引起广大备考师生的足够重视。

1 高考大纲（理科数学）的要求

考试内容：导数的概念；导数的几何意义；几种常见函数的导数；两个函数的和、差、积、商的导数；复合函数的导数；基本导数公式；利用导数研究函数的单调性和极值；函数的最大值和最小值。

考试要求：1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。2）熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3）理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

2 高考试题解析