导数与垄断

导数与垄断（共4篇）

导数与垄断 篇1

市场经济体制改革使我国资源优化配置、效率得到大幅提高的同时, 收入差距也呈现出逐年扩大趋势, 其中因为效率的提高而带来的收入差距的扩大是合理的。但目前我国少数行业存在的收入过高现象并不是因为高效率所致, 而是由于垄断, 也就是不公平因素, 尤其是行政垄断的大量存在、自然垄断与行政垄断“狐假虎威”所致, 这种由于非效率因素所导致的收入的过大差距是不合理的。本文试图通过我国历年行业收入差距的表象数据中所体现的垄断行业收入高于其他行业收入的内质, 联系自然垄断和我国特有的行政垄断来解读这一现象背后更深层的本质。

一、我国行业收入差距现状

根据世界银行报告, 我国的基尼系数在改革开放前为0.16, 2004年已经至0.465, 超过了国际公认的警戒线0.4, 2005年逼近0.47。在全国居民收入差距不断扩大的背景下, 行业收入差距更令人关注。从历年的统计年鉴上我们可以查得我国各行业收入数据的变动轨迹。1985年职工平均工资最高的行业是地质勘查业、水利管理业, 为1406元, 最低的行业是社会服务业, 为777元, 两者相差629元, 比1978年拉大了1.37倍, 扣除物价因素, 实际拉大1.02倍。1995年, 职工平均工资最高的行业是电力、煤气及水的生产和供应业, 为7843元, 最低的行业是农、林、牧、渔业, 为3522元, 前者是后者的2.23倍, 相差4321元。2O00年收入最高的是交通运输、仓储及邮电通信业当中的航空运输业, 为21342元, 最低的是采掘业当中的木材及竹材采运业, 为4535元, 二者相差4.7l倍;2003年收入最高的是金融业当中的证券业为42582元, 最低的是农、林、牧、渔业当中的林业, 为6139元, 二者相差6.94倍;2004年人均收入最高的证券业为50529元, 最低的是林业, 为6718元, 前者是后者的7.52倍。此外, 电力、电信、金融、保险、水电气供应、烟草等行业职工的平均工资是其他行业职工平均工资的2~3倍, 如果再加上工资外收入和福利待遇上的差异, 实际收入差距可能在5~10倍之间。也就是说, 收入最低的行业职工要工作五到十年才能得到收入最高行业职工一年的工资收入。

从以上数据可以看到, 职工平均工资排在前列的是电力、煤气及水的生产和供应业、金融保险业、邮电通讯业等传统意义上的自然垄断行业;排在后列的是农林牧渔业、采掘业、批发零售贸易、餐饮业等竞争较充分的行业。行业收入差距主要体现为垄断性行业与非垄断性行业之间的差距, 同时垄断性行业收入水平的增长速度也明显快于非垄断性行业的收入增长速度。行业收入的高低越来越取决于行业的垄断程度。

二、自然垄断、行政垄断与垄断行业收入差距关系分析

(一) 自然垄断和行政垄断。根据垄断的起源、基本特点划分及进入障碍角度划分, 基本上将垄断分为自然垄断、市场垄断、行政垄断三种形式。市场垄断也称之为经济垄断, 是指企业在长期的竞争中所积累获得的比同行业其他企业在技术、规模、资金、人力资本等等方面的市场优势或市场力量而出现的垄断。此种垄断目前在我国亦有出现, 但在以上三种垄断中只占少数, 可以说随着行业集中度的提升、产业重组步伐的加快以及行业竞争力的提高, 经济垄断以后会逐渐增多, 但目前我国经济垄断并未构成垄断行业收入过高的诱因, 所以本文将不予讨论。

对于自然垄断的认识, 就其发展历史看, 主要经历了自然条件决定论、规模经济、范围经济和成本弱增性三个阶段。就规模经济角度来理解, 自然垄断是在一定的产出范围内生产函数呈规模报酬递增状态, 即平均成本随着产量的增加而递减。这样由一家企业来提供产品就会比多家企业提供产品有更高的效率和更低的成本。范围经济基于多产品的角度, 认为成本的节约是源于企业的范围而不是企业的规模, 多产品的成本弱增性又与范围经济紧密相连。从成本弱增性角度来理解自然垄断则认为, 在整个有关产出范围内, 即使没有规模经济的作用, 即使平均成本曲线上升, 但只要单个企业供应整个市场的成本小于多个企业分别生产的成本之和, 由单一企业垄断市场生产的社会成本仍然最小。具备这一秉性的行业就是自然垄断行业。即自然垄断的特点在于一个代表性企业成本函数的劣加性。目前普遍被接受的关于自然垄断的经济和技术观点是基于范围经济和成本弱增性基础上的, 但我们可以看出不管何种观点均认为, 一旦一个行业被确定为自然垄断行业, 垄断就是合理的, 就应该独家经营。但垄断并不是静态不变的, 在以往研究成果的基础上, 强弱自然垄断理论被提出, 之后又有自然垄断的永久性理论和短暂性理论, 这些定义使自然垄断的边界发生相应的变化。实践中, 随着社会需求的变化、科学技术的进展也使得自然垄断的边界在逐渐缩小。

行政垄断, 本人倾向于凡与行政权力相关的垄断都属于行政垄断的范畴。行政垄断的目的是垄断主体为了部门、地方或企业的经济或非经济利益采取的禁止、限制或妨碍市场竞争的行为。我国的垄断大多是由计划经济直接转化而来, 计划经济是由行政权力维系运转的, 惯性作用目前我国的垄断, 多带有浓厚的行政垄断色彩。行政垄断主要由两种表现形式:地区垄断和行业垄断。地区垄断指的是地方政府或其职能部门利用行政权力设立市场壁垒的行为。行业垄断指的是政府或政府的行业主管部门为保护特定行业的企业及其经济利益而实施排斥、限制或妨碍其他行业参与竞争的行为。目前, 我国广泛存在的行政垄断要比行政性垄断行业存在的范围大得多, 有代表性的行政垄断行业主要有:石油、成品油、广播电台、无线有线电视台、烟草专卖、食盐专卖等。但实际上在我国, 行政垄断存在于更广泛的行业和领域, 并且扎根于自然垄断, 使得行政垄断问题更加复杂, 带来的后果也更具危害性。

自然垄断和行政垄断有着根本的区别, 但在我国从计划经济转型到市场经济的过程中二者又似乎不分彼此。自然垄断行业的一个主要特征是具备由一家企业垄断经营比竞争更有利于节约成本, 生产更有效率, 更有利于消费者利益的秉性, 所以垄断经营有其存在的正当性和合理性, 即使在成熟的市场体制下, 也是有存在的必要性的。而行政垄断则是必须由政府权力管住市场准入, 如果放开经营, 对市场准入不进行管制, 实行自由化经营, 行政垄断就会自然瓦解。行政垄断对于经营成本、提高行业经营效率没有必然意义。它在大多数情况下是不合理的, 违背了市场经济原则和平均利润率。在我国, 没有自然垄断性的行政垄断很多。这种垄断形式主要是由于市场经济之前的计划经济体制的历史遗留问题、改革进程、部门保护等原因保存下来的, 一部分形成行政垄断行业, 大多数成为有地区限制或行业限制的行政垄断。

自然垄断可以因市场、需求、技术条件变化, 转变为非自然垄断行业。在自然垄断已经因技术进步、市场规模扩大、社会需求扩大等原因转变为非自然垄断后, 如果仍维持垄断状态, 就变成了行政垄断。这时, 垄断不仅不能降低成本, 增进效率, 还会降低效率。这时, 垄断的存在还有多大合理性, 就需要仔细考虑了。如从上世纪八十年代开始, 西方国家对垄断行业进行了引入竞争的改革, 一些原来被称为自然垄断的行业, 有的证明只有很有限的自然垄断性, 有的已经成为竞争性的行业, 这种改革后来被证明也是成功的。但是, 市场规模和社会需求扩大到何种程度、技术进步到何种程度会使自然垄断转变为非自然垄断, 很难找出一个公认的标准。于是, 人们对此的认识和界定往往有分歧。在我国, 自然垄断存在的范围要比西方发达国家自然垄断存在的范围大。另外, 对一个行业有多大自然垄断性出现更大分歧的原因, 是利益的考虑。对于与垄断行业利益攸关的利益集团来说, 不维持行业的自然垄断性质, 会从根本上损害其利益。与该行业利益攸关的相关人员, 往往不能站在公正立场上说话, 我国自然垄断和行政垄断纠葛不清的特征使得这种情况更加复杂。我国与垄断性行业相关的从业人员, 很多就认为其所在行业的垄断是合理的, 是自然垄断, 不仅现在应该垄断, 将来也应该垄断下去, 垄断的范围不仅不应缩小, 还应扩大。于是本该回归市场的部分不再具有自然垄断性的领域却找到了行政垄断的保护外衣, 继续垄断经营。行政性垄断得到了行业内部所有从业人员和主管部门的支持。

资料来源:《国挑战腐败》

资料来源:《国挑战腐败》

(二) 行政垄断与自然垄断交织在一起是垄断行业收入过高的制度性根源。随着改革开放的深入, 竞争性领域国有企业大多实行了以建立现代企业制度为方向的制度变革, 改革的目标是使企业真正成为市场竞争主体和法人实体, 使市场在资源配置中起基础性的作用。但在自然垄断行业, 没有对自然垄断边界进行科学合理的划分, 没有对其纯粹强自然垄断部分和可引入竞争部分进行剥离, 而仍然以其自然性全部处在国家行政性垄断的庇护之下, 形成了自然垄断和行政垄断交织在一起的双重垄断特征。自然垄断使企业具有取得垄断地位的经济理由, 而行政垄断能够排除在位垄断经营者的合法的、潜在的竞争对手, 由于其他的市场主体几乎无法进入, 导致垄断行业经济行为的扭曲。如, 超额垄断利润的获得多通过垄断价格而不是靠提高技术水平;使得企业垄断地位更具有行政色彩, 强化了企业在行为上的垄断, 造成了企业和行业的高收入居高不下并呈刚性增长, 行业的收入分配同市场脱节, 行业内普通岗位的工资收入高于我国平均的劳动力市场价位, 比其他行业同工种职工的收入高出很多, 因而造成行业间收入差距过大, 在全社会范围内造成分配不公。

其实自然垄断行业中尚不能引入竞争, 垄断具有合理性的部分并不多。但即便是这部分也不是完全没有竞争, 有的存在替代竞争。一些原来被认为自然垄断性很强的垄断, 如本地电话、有线电视, 事实上都可以引入竞争。但在我国除电信行业的无线寻呼和增值业务引入竞争外, 其他基本处于自然垄断业务和非自然垄断业务捆绑在一起交由政企不分的国有垄断企业经营的状态, 这种高度的自然垄断和行政垄断交织的状态, 促成了这些行业利用行政垄断的特权, 攫取高额垄断利润, 提高行业收入的行为。

从我国自然垄断产业治理模式改革看, 目前我国的自然垄断产业企业仍然主要是国有独资或国有控股企业, 不管是何种形式, 实质上与公司改革以前并没有太大区别, 还没有形成有效的公司治理模式, 由于政府目标、企业目标、管理者目标的差异和非对称信息, 自然就会产生较为严重的“内部人控制”和“所有者缺位”等问题, 这样使垄断性行业收入分配更具个人主义倾向, 行业收入偏高也就成了自然趋势。 (表1)

另外, 自然垄断和行政垄断的交织, 在客观上为“政策寻租”创造了很大的空间。 (表2) 寻租耗费大量的时间、精力和资源, 滋生更多的非生产行为, 造成社会资源的浪费、社会成本的提高、经济效率的下降。特权和垄断的存在带来寻租的市场化和社会化, 进一步引起权力的市场化和社会利益机制的扭曲, 对行业收入分配产生不利影响, 造成了严重的分配不公和腐败问题, 更加不利于纠正和改善行业收入分配格局中的不合理因素。同时, 使得垄断行业占有社会的更多财富。又由于我国体制的不完善和市场发育不健全, 加上缺乏必要的审计与约束机制, 无法有效地区别垄断行业中的资产收益与劳动收益, 致使经营者和劳动者抱成一团, 共谋“工资侵蚀利润”的私家大业。同时, 垄断部门在垄断高价内包含的行政垄断租金, 转化为这些行业或部门的高收入和高福利, 一方面引起人民群众的强烈不满, 另一方面又刺激其他垄断部门的仿效和攀比。

这种制度性因素导致的行业收入差距过大的问题, 靠制度本身的改革去解决。比如, 科学合理地划分自然垄断的边界, 该引入竞争的就交由市场机制发挥应有的作用;消除特权和限制垄断, 压缩“政策寻租空间”;进行制度创新和政治体制改革, 反对行政垄断, 切断行政特权和自然垄断行业的利益纽带, 抑制行政垄断行为和特权对相关利益主体的倾斜等。如果不从制度上寻找根源, 就难以从根本上解决这些行业收入过高的问题, 所有的努力都将是治标不治本。

三、结束语

造成居民收入差距拉大的因素既有市场经济的原因, 也有体制和制度安排的原因, 造成垄断行业收入过高的因素更多的是来自于制度安排的原因。由于市场机制按要素分配, 政策造成的收入差距, 从国际经验来看, 可以通过收入再分配等一系列政策措施得以较好的解决。但在我国效果并不明显, 原因就在于我国自然垄断和行政垄断交织不清的特点及由此引发的一系列的制度安排和管制的不力致使垄断行业形成的过高收入, 本质上是多年来体制上的遗留问题, 政府资源配置职能的越位, 行政垄断对相关利益单位在资源配置等方面的倾斜, 自然垄断行业产权改革和公司治理模式改革的不彻底所致使政企的表面分离而实质上的千丝万缕, 均造成市场机制的“要素价格均等化”作用无法实现, 行业收入差距因此不会缩小, 只会扩大。

显然以市场化为取向的经济体制改革所造成的因为效率的提高而带来的收入差距的扩大是合理的, 但由于非效率因素所导致的收入的过大差距是不合理的, 最终也会导致各阶层利益的冲突。目前, 我国少数垄断行业存在的收入过高现象并不是因为高效率所致, 而是因为垄断权力的存在所致。很明显对于这一问题的解决, 收入再分配政策已不是“对症下药”的良方, 根本上应该抓住致使垄断行业收入过高的制度性因素, 进行改革。如, 针对我国行政垄断进行体制改革, 切断行政权力庇护相关利益集团的通道, 最大限度地消除行政垄断带来的加重收入差距和分配不公的危害。同时, 对于自然垄断行业随着技术、需求等的变化所带来的边界的动态变动, 及时做出反应, 将已不再具有自然垄断特性的领域与仍具有强自然垄断性质的业务进行剥离, 对于已不再具有自然垄断特性的领域或自然垄断性较弱的领域引入竞争, 交由市场发挥作用, 政企做到真正意义上的分开和相互独立, 减少自然垄断借助行政垄断为本行业攫取高额利润的机会。

函数与导数考点预测 篇2

距2015年的广东高考只有两个来月时间，函数与导数这一内容在高考数学中将怎样考，现追踪寻源，试作如下分析，以探轨求迹.

一、追踪寻源

高考数学试题的范围本源《课程标准》，试题的深浅难易遵循《考试大纲》.两者就如同孙悟空给唐僧划出的金光守护圆圈.从近年广东高考趋势看，所考核的函数与导数这一内容越来越蜗居于《课程标准》与《考试大纲》，形式趋向稳定.

1.《考试大纲》（2014年广东高考大纲，以下同）中对函数的要求，如下表1：

【点评】守标依纲靠本是高考数学命题一首永恒的歌.在每年的高考中，使出浑身解数的命题者就像孙悟空，而《课程标准》与《考试大纲》就像孙悟空头上的两道紧箍咒，保证了去西天取经的学子都能发挥应有的水平，顺利拿到真经.

与往年高考数学试题相比，原来重点对函数的考查，近三年渐渐转移为对导数内容的考查.整份试卷前面是常规简易的函数选择题，接着是难度中等的导数填空题，而最后压轴的是可充分体现综合分析能力及运算求解能力的要求较高的导数应用大题.构题内容平实却能彰显考生的功力与素养，估计2015年高考广东数学在函数与导数这一内容上将继续保持这一风格.

二、探轨求迹

对2015年的广东高考数学展望，想必也不外乎近几年态势.即函数与导数这块内容估计与近三年试题布局不变，概括为：函数概念图形始；导数运算次相随；数圆结义三兄弟，携参前行潜能溢.下面以题组练习形式展现，边实践边梳理，感悟消化提高.

（一）函数概念图形始

近三年在选择题或填空题中常以函数概念中的定义域、值域、解析式、图像、单调性、奇偶性等作为考查目标，试题难度不大，属容易题.有的是送分题，但在求解时容易漏掉部分约束条件，也是易错题.载体是各种初等函数及其多姿的组合函数.

（三）数圆结义三兄弟，携参前行潜能溢

在近三年的广东高考数学试题中，最后登台亮相的压轴题都是导数的综合应用大题.本题考查考生的分析问题及解决问题的能力，综合能力要求较高，抽象思维能力要求较强，旨在检验考生未来学习的潜能.该类导数试题的一个共同特点是：把高中数学中的函数（导数）、方程与不等式三者的知识关联到一起，在始终伴随至少一个参变量的推理论证与运算求解过程中，在复杂、抽象的情境中，通过对各种情况的讨论、分析、论证、求解而顺利到达彼岸.做到这一点不光要有坚韧不拔的意志品质，还要有较高的综合素质与数学素养.

【锦囊妙计】

1. “山高人为峰”. 在处理压轴题中的多变量问题时，首先要理清关系，分清主元与次元，确定变元的活动范围，借助知识，寻找突破口，找到解决问题的办法.数形结合，推证严谨，表述简练，不忘收官.

2. 善用各种数学思想，如①由参数的变化引起的分类讨论思想，分类时统一标准，层次要分明，不重不漏；②化“难生繁未”为“易熟简知”的转化与化归思想；③函数与方程的思想，把握好数园三结义（函数、方程、不等式）的密切相关；④观数思形，数形互化，化形显数的数形结合思想等.

三、备考建议

在距2015年广东高考不足3个月的时间里，如何抓住重点，收缩聚焦，高效复习好函数与导数这一内容，我提出以下建议：

1. 依纲靠本 梳理排查

在二轮复习中对照课本与《考试大纲》查漏补缺.如对待函数的复习，要重视对函数概念和基本性质的理解.包括函数的定义域、值域（最、极值）、对应法则、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性、图像变换等.研究函数的性质要注意分析函数解析式（数）的特征，同时要注意函数图像（形）的作用.进一步加强对函数与导数的基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练，争取容易题、中档题不失分.

2. 通性通法 熟门熟路

要对函数与导数的各类性质应用比较熟悉，对处理函数与导数问题的方法得心应手.通过题组练习来检测用时与准确度，及时评估解题效能，不断提高熟悉程度.除本文提到的部分锦囊妙记之外，还需自己动手整理补全，不留漏洞.

3. 数学思想 深谙其道

不练功，到老空.数学思想犹如武侠小说中的内功心法，若在平时稍加感悟与练习，则数学能力将会有长足的进步.数学中函数与导数的问题解决离不开数学思想，其分类讨论思想、转化与化归思想、函数与方程的思想、数形结合思想对解决压轴题十分重要！

4. 紧抓重点 突破难点

函数是导数的研究对象.导数是研究函数的通用、有效、简便的工具.必须熟悉各类已学函数的导数公式.用导数研究函数是对函数概念又一次螺旋上升的理解.

重点把握导数的几何意义、函数的极值、单调性和最值问题，突破导数与其它知识（如方程、不等式）结合的难点问题.

用导数解决函数问题时，重在训练分析思路、方法手段、数学思想的应用.放过那些已知已会的，专攻自己一知半解的.通过题组练习，整合聚焦，反思对照，落到实处，提高能力.逐步使知识和方法系统化，同时规范书写，完整表述，争取压轴题多拿分.

5. 提升能力 降妖服魔

铁打的营盘流水的兵.提升数学能力，增强数学综合实力，培养更好的数学素养就是不动的营盘，而年年变化的高考试题则是流动的兵.只要我们有足够的营盘，就可以装载下流动变化的兵！由于《课程标准》与《考试大纲》就像命题者头上的两道紧箍咒，所以不管试题怎样变化，而考查函数与导数的主干知识与核心能力将永远不变.只要你储备好相应的能力，便能过关斩将，顺利发挥好你的水平，取得应有的好成绩！

本文是对2015年高考广东函数与导数的粗浅认识，仅供参考，由于时间紧迫，错漏之处，敬请原谅.最后祝考生顺利发挥水平，考出好的成绩.

（作者单位：江门市新会华侨中学）

导数、积分、推理与证明的试题 篇3

1.(1)演绎推理是由一般到特殊的推理;(2)演绎推理得到的结论一定是正确的;(3)演绎推理一般模式是“三段论”形式;(4)演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.以上说法正确的有()

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)4个

2.已知f(x)=e-x,则f'(-1)=()

3.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为()

(A)1 (B)(C)(D)

4.函数y=x-2sinx在(0,π)上的单调递增区间为()

(A)(B)

(C)(D)

5.当x∈[-1,2]时,若恒成立,则实数m的取值范围是()

(A)(B)(C)(D)(2,+∞)

6.方程x3-6x2+9x-10=0的实根的个数是().

(A)1 (B)2 (C)0 (D)3

7.函数f(x)的定义域为(-1,2),导函数f'(x)在(-1,2)内的图像如图1所示,则函数f(x)在开区间(-1,2)内有极小值点()

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)4个

8.已知数列{an}满足a1=2,(n∈N*),则a2011的值为()

(A)-3 (B)(C)(D)2

9.过点(2,1)的曲线y=x3的切线的条数是()

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

10.由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形的面积的最小值为()

(A)(B)(C)(D)

二、填空题(本大题共5题,每小题5分,共25分.把答案添在答题卡的相应位置)

11.按一定规律排列的一列数依次为:,,按此规律排列下去,这列数中的第7个数是______.

12.若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则三角形的面积,根据类比思想,若四面体内切球的半径为R,四个面的面积为S1,S2,S3,S4,则四面体的体积V=______.

13.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比.如果车辆启动后车轮转动第一圈需要0.8 s,则转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度=_____.

15.若函数f(x)=loga(x3-ax)(0

三、解答题(本大题共6题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16.(本小题满分12分)求函数的单调区间和极值.

17.(本小题满分12分)已知a,b均为正数,求证:.

18.(本小题满分12分)某厂生产某种产品x件的总成本(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,该厂产量定为多少件时总利润最大?最大总利润是多少?(利润=收入-成本)

19.(本小题满分12分)在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上式性质,相应地:在等比数列{bn}中,若b11=1,则存在怎样的等式?并证明你得到的等式.

20.(本小题满分13分)设函数f(x)=-x3+ax,x∈(0,1],a∈R.

(1)若a>3,试判定f(x)在(0,1]上的单调性,并证明你的结论;

(2)是否存在实数a,使当x∈(0,1]时,f(x)有最大值-1?

21.(本小题满分14分)设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.

(1)当时,不等式f(x)

(2)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题.

1.(C) 2.(B) 3.(B) 4.(C) 5.(D) 6.(A) 7.(A) 8.(B) 9.(D) 10.(A)

二、填空题

三.解答题

16.解:增区间为(-∞,-1),(1,+∞);减区间为(-1,0),(0,1);极大值为-2,极小值为2.

17.解:两式相加可得所证不等式成立.

18.解:设总利润为y万元,由题意的,利用导数易得当产量x=25万件时,总利润最大,最大值为万元.

20.解(1)f'(x)=-3x2+a,因为x∈(0,1],a>3,所以f'(x)>0,f(x)在(0,1]上是增函数.

(2)当a>3时,f(x)在(0,1]上是增函数,f(1)=a-1=-1⇒a=0(舍去)

当0≤a≤3时,由无解.

当a<0时,f'(ax)<0,f(x)在(0,1]上是减函数,f(x)在(0,1]上无最大值.

高中导数与积分教学策略分析 篇4

随着高中课程的改革, 原本需在大学学习的导数、积分已经走进了高中的课堂, 学生长期以来养成的中学数学思维已满足不了导数与积分课程的需要.因此, 如何提高导数与积分课程的教学效率是每一位教师都应该思考的重要问题.

二、新课程理念下中学导数积分课程的定位

1.课程内容的定位

函数是高中数学研究的最基本的对象.在必修的数学课程中, 学生在初中阶段学习的函数的基础上对函数有了新的认识和理解, 学习了部分常见的函数模型、函数与不等式以及方程的关系和函数的应用, 讨论了函数的周期性、单调性等性质.导数积分课程内容将在必修教学基础上, 提供了一种研究函数的新的工具.

高中课程中的导数积分与大学高等数学中的微积分有所不同.微积分研究的是函数的变化以及函数图像围成的面积.变化率是刻画函数变化的最基本概念, 积分则是用来描述面积的最基本概念.它们是微积分基本思想的核心.微积分学的基本定理是连接变化率与积分的桥梁.这些都是牛顿和莱布尼茨发明的微积分学的最核心内容, 是微积分学的本质所在.

2.教学定位

(1) 强调对导数积分本质和数学本质的认识, 除了作为一种规则, 更是作为一种重要的方法和思想来学习.

(2) 广泛体现数学的应用价值.熟悉导数积分是研究函数单调性、研究事物变化的快慢、函数极小 (大) 值、函数最小 (大) 值以及解决实际生活中最优值问题的强有力工具.

三、提高导数积分教学质量的方法

1.重视导数积分概念的教学

概念教学是导数积分的核心.但是, 导数积分的基本概念比较多, 而且都包含着变化、运动的辩证观点, 对于习惯于处理静态数学的高中生来讲, 理解并掌握这些数学概念并不是件容易的事, 所以, 老师在教学过程中处理要重视概念的引入, 还要对部分重要的概念进行深入的剖析, 并分析概念的本质, 借此强化学生对概念的理解.

(1) 从实例引入概念

例如, 在引入极限的概念时, 可以向学生介绍我国古代著名数学家刘徽用“割圆术”来求解圆周率, 阿基米德用“穷举法”来求解抛物线弧形的面积等数学实例, 使学生对无限接近的极限思想有个清晰的印象, 从而为学习极限的概念打下一定的基础.导数和积分有着丰富的背景和广阔的应用, 在课堂引入导数的概念时, 可以以切线的斜率和瞬时速度这两个例子为出发点, 启示学生通过比较分析, 发现它们内在的区别和联系, 引出导数的概念, 并理解掌握导数的几何意义, 展示导数的本质.同样, 在学习定积分的概念时, 因为在某个局部小范围内“以不变代变”“以直代曲”是定积分概念中最基本的思想.因此这同样是应用定积分来解决问题的基本思想方法.在引入定积分的概念时, 可以通过求曲边梯形面积的例子, 指引学生理解定积分的思想.

(2) 深入剖析, 揭示概念的本质

在导数积分概念教学中除了要重视概念的引入, 对部分基本概念的定义也要深度分析, 阐述概念的本质, 强化学生对概念的理解.例如, 形式地记住极限的定义并不难, 但是要掌握极限的精神却很困难.事实上, 仅需要通过数列极限的ε-N定义, 去深入地体会这种准确描述极限状态的数学语言和思想方法, 真正地弄明白极限定义中的各种符号和式子的涵义和作用, 自然就会领会到数列极限的本质所在.ε在极限定义中的相对稳定性和绝对任意性, 证明了它是常量和变量的辩证统一.任意给定的正数ε可以衡量an与a的接近程度.ε愈小, 接近程度愈高.而ε的任意性, 正反映了an与a能接近到任意程度.虽然ε是任意的, 但一经给出, 就是一个相对固定的数, 无穷多个相对确定的正数体现出它的任意性, 且只有相对确定才能求出相应的, 的确依赖于但又不唯一.老师需要掌握住由有限到无限、由定量到定性的变化过程来进行教学, 这样可以消除学生由于抽象性而形成的恐惧, 从而掌握极限的本质.

2.在教学中引入数学建模的思想

传统的教学注重培养学生的计算能力和逻辑思维能力, 而忽略了学生解决实际问题的能力.因此, 在导数积分的课堂教学中, 应该引入“数学建模”的思想, 让学生可以学有所用.数学建模可以解决很多现实问题, 建模的目标不一样, 使用的方法也就不一样, 采用的数学工具当然也就不一样了, 结果所建立的模型也就不同.在解决现实的问题时, 它是运用数学的语言、原理和方法, 并通过简化建立能近似刻画并解决问题的一种手段.导数和积分课程的主要内容并不是孤立地建立数学模型, 而是利用数学建模来强化学生数学理论知识的应用能力, 提高学生学习导数积分课程的主动性和积极性.因此老师在课堂讲课时应从直观、简洁、联系实际出发, 达到不仅有助于理解教学的内容, 而且可以通过对现实问题的抽象、思考和归纳, 以及用课堂所学的数学知识进行解决.所选的模型, 需要结合实际问题, 且应该具备一定的趣味性, 从而让学生体会到数学源于生活实际, 又应用于生活实际, 以激发学生学好导数积分的决心, 从而提高他们应用数学解决现实问题的能力.

四、结 论

怎样进行导数积分教学是高中数学教学领域一个全新热门的课题, 相比较于对几何和代数等经典成熟已经趋于完美的教学研究, 导数积分的教学研究不是特别成熟, 还处于探索的阶段.总之, 只要老师在导数和积分的教学中遵循教学规律, 充分考虑学生的情况, 并积极探索、勇于实践、善于总结, 一定能使导数和积分的教学质量得到提高.

摘要：本文首先从课程内容和教学两个方面对新课程下导数积分教学进行课程定位, 然后针对导数和积分教学的教学质量, 从课堂内容设计、概念教学和数学建模三个方面提出了自己的看法.

关键词：导数,积分,教学,策略

参考文献

[1]王仲春, 等.数学思维与数学方法论[M].北京:高等教育出版社, 1989.